Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения
В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.
Как найти значение числового выражения?
Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.
Простейшие случаи
Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий.
Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.
Если в выражении есть только числа и арифметические знаки «+», «·», «-«, «÷», то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.
Пример 1. Значение числового выраженияПусть нужно найти значения выражения 14-2·15÷6-3.
Выполним сначала умножение и деление. Получаем:
14-2·15÷6-3=14-30÷6-3=14-5-3.
Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:
14-5-3=9-3=6.
Пример 2. Значение числового выраженияВычислим: 0,5-2·-7+23÷234·1112.
Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:
0,5-2·-7+23÷234·1112=12-(-14)+23÷114·1112
Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:
12-(-14)+29=12+14+29=14+1318=141318.
Искомое значение найдено.
Выражения со скобками
Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.
Пример 3. Значение числового выраженияНайдем значение выражения 0,5·(0,76-0,06).
В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом — умножение.
0,5·(0,76-0,06)=0,5·0,7=0,35.
Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.
Пример 4. Значение числового выраженияВычислим значение 1+2·1+2·1+2·1-14.
Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.
1+2·1+2·1+2·1-14=1+2·1+2·1+2·34
1+2·1+2·1+2·34=1+2·1+2·2,5=1+2·6=13.
В нахождении значений выражений со скобками главное — соблюдать последовательность действий.
Выражения с корнями
Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня.
Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.
Вычислим значение выражения с корнями -2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5.
Сначала вычисляем подкоренные выражения.
-2·3-1+60÷43=-6-1+153=83=2
2,2+0,1·0,5=2,2+0,05=2,25=1,5.
Теперь можно вычислить значение всего выражения.
-2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5=2+3·1,5=6,5
Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.
Пример 6. Значение числового выраженияСколько будет 3+13-1-1
Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.
3+13-1=3-1.
Таким образом:
3+13-1-1=3-1-1=1.
Выражения со степенями
Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.
Пример 7. Значение числового выраженияНайдем значение выражения 23·4-10+161-123,5-2·14.
Начинаем вычислять по порядку.
23·4-10=212-10=22=4
16·1-123,5-2·14=16*0,53=16·18=2.
Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:
23·4-10+161-123,5-2·14=4+2=6.
Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.
Пример 8. Значение числового выраженияВычислим значение следующего выражения: 2-25·45-1+3136.
Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.
2-25·45-1+3136=2-25·225-1+313·6
2-25·225-1+313·6=2-25·22·5-2+32=22·5-2-25+32
22·5-2-25+32=2-2+3=14+3=314
Выражения с дробями
Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.
Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.
Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3,22-3·7-2·36÷1+2+39-6÷2.
Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.
3,22=3,2÷2=1,6
7-2·36=7-66=16
1+2+39-6÷2=1+2+39-3=66=1.
Перепишем наше выражение и вычислим его значение:
1,6-3·16÷1=1,6-0,5÷1=1,1
Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей.
Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.
Вычислим выражение 25-1-25-74-3.
Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.
25-1=25+15-15+1=25+15-1=25+24
Исходное выражение принимает вид:
25-1-25-74-3=25+24-25-74-3.
Вычислим значение этого выражения:
25+24-25-74-3=25+2-25+74-3=94-3=-34.
Выражения с логарифмами
Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log24+2·4 можно сразу вместо log24 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log24+2·4=2+2·4=2+8=10.
Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log5-6÷352+2+7.
Имеем:
log5-6÷352+2+7=log327+7=3+7=10.
Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.
Пример 11. Значение числового выраженияlog2log2256=log28=3.
По свойству логарифмов:
log62+log63=log6(2·3)=log66=1.
Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:
log5729log0,227=log5729log1527=log5729-log527=-log27729=-log27272=-2.
Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.
log2log2256+log62+log63+log5729log0,227=3+1+-2=2.
Выражения с тригонометрическими функциями
Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.
Пример 12. Значение числового выраженияНайдите значение выражения: tg24π3-sin-5π2+cosπ.
Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.
tg4π3=3
sin-5π2=-1
cosπ=-1.
Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:
tg24π3-sin-5π2+cosπ=32-(-1)+(-1)=3+1-1=3.
Значение выражения найдено.
Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.
Пример 13. Значение числового выраженияНужно найти значение выражения cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1.
Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.
cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1=cos2π8cos5π36+π9-1=cosπ4cosπ4-1=1-1=0.
Общий случай числового выражения
В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.
Как найти значение выражения- Корни, степени, логарифмы и т.
- Выполняются действия в скобках.
- Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала — умножение и деление, затем — сложение и вычитание.
Разберем пример.
Пример 14. Значение числового выраженияВычислим, чему равно значение выражения -2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39.
Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?
Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.
Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2·sinπ6+2·2π5+3π5+3. Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.
π6+2·2π5+3π5=π6+2·2π+3π5=π6+2·5π5=π6+2π
Теперь можно узнать значение синуса:
sinπ6+2·2π5+3π5=sinπ6+2π=sinπ6=12.
Вычисляем значение подкоренного выражения:
2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=2·12+3=4
Отсюда:
2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=4=2.
Со знаменателем дроби все проще:
lne2=2.
Теперь мы можем записать значение всей дроби:
2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2=22=1.
С учетом этого, запишем все выражение:
-1+1+39=-1+1+33=-1+1+27=27.
Окончательный результат:
-2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39=27.
В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.
Вычисление значений выражений рациональными способами
Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2·386+5+58941-sin3π4·0 равно нулю.
При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.
Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56+8-3,789lne2-56+8-3,789lne2 также равно нулю.
Еще один прием, позволяющий ускорить процесс — использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями — сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.
Например, возьмем выражение 23-15+3·289·343·23-15+3·289·34. Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 13.
Нахождение значений выражений с переменными
Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.
Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.
Вычислить значение выражения 0,5x-y при заданных x=2,4 и y=5.
Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:
0,5x-y=0,5·2,4-5=1,2-5=-3,8.
Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.
Например, выражение х+3-х, очевидно, имеет значение 3, и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.
Еще один пример. Значение выражения xx равно единице для всех положительных иксов.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Помогите найти значение выражений. Стр 110. Задания базового уровня № 2. ГДЗ Математика 3 класс Моро М.
И. – Рамблер/класс Помогите найти значение выражений. Стр 110. Задания базового уровня № 2. ГДЗ Математика 3 класс Моро М.И. – Рамблер/классИнтересные вопросы
Школа
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?
Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?
Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?
Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?
Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?
Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?
Найди значения выражений.
35-40:8 9 + 81:9
76 — (26 + 14) 28 — (18 + 9): 3
ответы
35 — 40 : 8 = 30 9 + 81 : 9 = 18
76 — (26 + 14) = 36 28 — (18 + 9) : 3 = 19
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
5 класс
Репетитор
Химия
Алгебра
похожие вопросы 5
ГДЗ, Моро М.
И, математика, 4 класс Часть 2, Задание № задание на полях стр48
(Подробнее…)
Моро М.И.Математика4 класс
Сколько было на выставке рисунков учеников из 4 Б класса? ГДЗ 3 класс математика Моро Часть 1 Табличное умножение и деление стр 37 Задание на полях
Доброго дня! Сидим с дочкой над домашкой, и затрудняемся ответить((( Подскажите!
На выставке было 6 рисунков учеников из 4 А (Подробнее…)
ГДЗ3 классМатематикаМоро М.И.
ЕГЭ Математика 11 класс. Ященко И. В. Тренировочная работа 22 Вопрос 9 Найти значение выражения
Привет! ЕГЭ, а упражнения как выполнить не знаю((( Поможете!?
Найдите значение выражения
(Подробнее…)
ЕГЭМатематикаЯщенко И.В.11 классСеменов А.В.
ЕГЭ Математика 11 класс. Ященко И. В. Тренировочная работа 22 Вопрос 10 Найти значение выражения
Привет) Возникла путаница с этим вопросом, кто-нибудь сможет оказать помощь?
Найдите значение выражения
(Подробнее.
..)
ЕГЭМатематикаЯщенко И.В.Семенов А.В.11 класс
3. Вычислите… 6 класс А.П. Ершова Математика. К 2. Вариант А 1
3.
Вычислите: (Подробнее…)
ГДЗМатематика6 классЕршова А.П.
Основы алгебры — Вычисление выражений
Основы алгебры — Вычисление выражений — Первый взгляд| Дом | Учитель | Родители | Глоссарий | О нас |
Мы
узнали, что в алгебраическом выражении буквы могут обозначать числа.
Когда мы подставляем конкретное значение для каждой переменной,
а затем выполнять операции, это называется оценкой
выражение.
Оценим выражение 3y + 2y, когда 5 = y.
Нажмите на шагах, чтобы увидеть, как это делается.
- Заменить
каждая буква с присвоенным значением.
Первый шаг: 3(5) + 2(5)
(Используйте скобки!)
- Выполнить
операции, чтобы найти значение выражения.
Второй этап:
3(5) + 2(5) = 15 + 10 = 25
| Помощь с домашним заданием | Алгебра | Основы алгебры | Отправить эту страницу другу по электронной почте | ||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Оценка выражений и формул: правила и методы
Когда я рос подростком, мне никогда особо не нравились ЗАДАЧИ СЛОВА, не потому что они были сложными, а из-за названия ЗАДАЧА СЛОВА.
Разве нельзя было назвать это слово-задача, слово-математика или слово-что угодно, но только не ПРОБЛЕМА, потому что слово ПРОБЛЕМА само по себе было психологической проблемой для меня? Однако вскоре после этого я начал понимать, что эти ПРОБЛЕМЫ действительно лучше всего решать, когда выражает в алгебре , уравнениях, и формулах .
Таким образом, в дальнейшем вы узнаете об вычислении алгебраических выражений и формул, их правилах и шагах, а также о некоторых увлекательных примерах, чтобы манипулировать своей памятью. Перейти ВЫРАЖЕНИЕ, не ПРОБЛЕМА!
Вычисление алгебраических выражений с примерами
Выражения — это иллюстрации чисел, переменных и терминов, которые объединяются с помощью таких операций, как сложение, вычитание, деление и умножение. Другими словами, это предложения, используемые математиками для передачи своих идей. 92+6x+(−3)\)
Как бы математик выразил эту деталь: «Через \(5\) лет отец будет в два раза старше своего сына в настоящий момент»?
Решение:
Пусть текущий возраст отца равен \(f\), а сыну — \(s\).
2\), \(6xy\) и \(-3\). 93\)
Правила вычисления выражений
Правила, которым следуют при вычислении выражений, иначе называются законами алгебраических выражений.
Правило коммутативности
Правило коммутативности применимо как к операциям сложения, так и к умножению. В нем говорится, что положение термина (числа, переменной и т. д.), который подвергается любой из этих операций (сложение или умножение), не является определяющим фактором результата. Это означает, что если вам нужно найти сумму между \(x\) и \(y\) или произведение между \(x\) и \(y\), результат не изменится, даже если \(y\) равно позиционируется первым, а \(x\) позиционируется вторым в операции.
Коммутативность означает:
\[x+y=y+x\]
или
\[x\times y=y\times x\]
Вы должны попробовать числа с этим ниже.
Докажите коммутативный закон с помощью следующего:
a. \(5+3\)
б. \(6 \умножить на 11\)
Решение:
а.
Обратите внимание, что
\[5+3=8\]
и
\[3+5=8\]
Итак,
\[5+3=3+5\]
Следовательно, приведенное выше выражение удовлетворяет правилу коммутативности.
б. Обратите внимание, что
\[6 \times 11=66\]
и
\[11 \times 6=66\]
Следовательно,
\[6\times 11=11\times 6\]
Следовательно, приведенное выше выражение удовлетворяет правилу коммутативности.
Обратите внимание, что когда правило коммутативности включает сложение, оно называется аддитивной коммутативностью . Между тем, когда задействовано умножение, оно называется мультипликативной коммутативностью .
Правило ассоциативности
Ассоциативное правило применяется как к операциям сложения, так и к умножению. В нем объясняется, что разделение или группировка (с помощью круглых скобок или квадратных скобок) не влияет на результат сумм или произведений. Это означает, что если \(x\) и \(y\) должны были быть разделены и умножены отдельно перед умножением на \(z\), это все равно эквивалентно умножению разделения \(y\) и \(z\).
) перед умножением на \(x\). Это правило относится и к дополнению.
Ассоциативность означает:
\[(x+y)+z=x+(y+z)\]
или
\[(x\times y)\times z=x\times (y\times z)\]
Вы должны попробовать числа с этим ниже.
Покажите ассоциативное свойство, используя следующее:
a. \((5+3)+7\)
б. \((3\умножить на 2)\умножить на 4\)
Решение:
а. Вычисляя,
\[(5+3)+7=8+7=15\]
и
\[5+(3+7)=5+10=15\]
Таким образом, приведенное выше выражение подчиняется ассоциативному правилу.
б. Вычислив,
\[(3\times 2)\times 4=6\times 4=24\]
и
\[3\times (2\times 4)=3\times 8=24\]
На самом деле приведенное выше выражение демонстрирует ассоциативное свойство.
Обратите внимание, что когда правило ассоциативности включает сложение, это называется аддитивной ассоциативностью . Между тем, когда задействовано умножение, оно называется мультипликативной ассоциативностью .
Правило дистрибутивности
Закон дистрибутивности применяется, когда операции сложения и умножения выполняются одновременно (одновременно). В нем говорится, что когда термин умножается на сегрегацию (сгруппированную в скобках), действующую при сложении, результат эквивалентен сумме произведения между этим термином и отдельными компонентами сегрегации. Отдельные компоненты сегрегата известны как складывает или складывает . Это означает, что когда определенный термин \(x\) умножается на отдельную сумму \(y\) и \(z\), он эквивалентен сумме произведений \(x\) и \(y \), а также \(x\) и \(z\).
Распределение означает:
\[x\times (y+z)=xy+xy\]
где \(y\) и \(z\) называются сложением суммы \ ((у+г)\).
Посмотрите на приведенный ниже пример, в котором используются числа, чтобы дать вам более четкое представление.
Определите закон распределения, используя следующее выражение:
\[5\times (4+3)\]
Решение:
В первом случае
\[5\times (4+3) =5\times 7=35\]
и во втором случае
\[5\times (4+3)=(5\times 4)+(5\times 3)\]
что равно
\[5\times (4+3)=20+15=35\]
Следовательно, выражение \(5\times (4+3)\) удовлетворяет правилу дистрибутивности.
Шаги по вычислению выражений и формул
Чтобы вычислить выражение, нужно выполнить два шага.
- Подставьте в выражение присвоенное значение каждой переменной. Лучше всего это сделать, заключив каждое заменяемое значение в круглые скобки.
- Выполнение операций над выражениями с использованием порядка операций.
Используйте PEMDAS. Взгляните на статью «Порядок операций» для лучшего понимания.
Если \(x = 6\), вычислить \(6+x\)
Решение:
Подставить \(6\) 92-(-4)-6\]
\[16+4-6\]
\[14\]
Помните, что вычитание минуса равносильно добавлению плюса.
Правила вычисления формул
Так же, как и правила, которые использовались ранее для описания выражений, формулы определяются правилами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Однако при вычислении формул обычно применяется дополнительное правило. Это правило обратной функции. Это правило поможет вам отменить то, что было сделано, чтобы получить выражение по вашему выбору.