Как построить график функции ax2 bx c: Квадратичная функция y = ax² + bx + c. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Содержание

Урок алгебры в 9 классе по теме «График функции y = ax2 + bx + c».

Учитель	Малакмадзе Татьяна Леонидовна
Предмет	Алгебра
УМК	УМК Алгебра. Дорофеев Г.В. и др. (7-9).
Класс	9 класс.
Тема урока	График функции y = ax2 + bx + c.
№ урока по теме	Глава 2. Квадратичная функция (21 час): урок №12. Тема «График функции y = ax2 + bx + c»: урок №1.
Тип урока	Урок рефлексии.
Цель урока	Деятельностная: формировать у учеников способность к рефлексии коррекционно-контрольного типа, научить школьников находить причину своих затруднений, самостоятельно строить алгоритм действий по устранению затруднений, научить самоанализу действий и способам нахождения разрешения конфликта. Содержательная: закрепить усвоенные знания, понятия, способы действия и скорректировать их при необходимости.
Задачи урока	Предметные: развивать умение работать с учебным математическим текстом, точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики, проводить логические обоснования, доказательства математических утверждений; овладение языком алгебры; систематизировать знания о графике квадратичной функции и его свойствах. Метапредметные: развивать умение самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе и познавательной деятельности, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности; осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата, определять способы действий в рамках предложенных условий и требований; умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками; работать индивидуально и в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов; формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение; развивать смысловое чтение; умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности ее решения. Личностные: формирование умения наблюдать, анализировать, сравнивать, делать выводы; осуществление контроля и самоконтроля; развитие умения преодолевать трудности для достижения намеченной цели; воспитывать культуру работы в группе.
Межпредметные связи	Физика (баллистическое движение, движение тела под действием силы тяжести), информатика (построение графика квадратичной функции в различных программах), при просмотре видеофрагментов — иностранный язык (английский).
Методы и формы обучения	Групповая, фронтальная.
Используемые технологии	Технология развития критического мышления, информационные, здоровьесберегающие.
Приемы ТРКМ	«Мозговой штурм»; «Ромашка вопросов»; «ЗХУ»; «Эстафета»; «Кто быстрее».
Оборудование/ресурсное обеспечение урока:	Компьютер, мультимедийный проектор, учебник. Игра «Кто хочет стать миллионером?». URL: https://learningapps.org/4919238 Соответствие квадратичных функций и их свойств. URL: https://learningapps.org/4226780
Этап урока	Задачи этапа	УУД	Деятельность
			учителя	обучающихся
1. Организационный момент. (2 мин.)	Создать благоприятный психологический настрой на работу.	Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества со сверстниками. Личностные: психологическая готовность учеников к уроку, самоопределение.	Приветствует обучающихся, проверяет готовность к уроку, создает эмоциональный настрой.	Приветствуют учителя. Приветствуют друг друга, используя метод активного обучения «Поздоровайся локтями». Проверяют наличие учебного материала на столах, организуют свое рабочее место.
2. Актуализация знаний и формулирование темы и целей урока. (8 мин.)	Актуализация опорных знаний и способов действий.	Познавательные: структурирование знаний, рефлексия способов и условий действий, контроль и оценка процесса и результатов деятельности. Регулятивные: развитие умения формулировать тему и цель урока в соответствии с задачами и нормами русского языка. Коммуникативные: ориентация на партнера по общению, умение слушать собеседника, умение аргументировать свое мнение, убеждать и уступать. Личностные: развитие логического мышления.	Организует актуализацию имеющихся знаний о графике квадратичной функции. Задание: Выберите верный ответ. (Игра «Кто хочет стать миллионером?»). URL: https://learningapps.org/4919238 Постановка проблемы. Артур Кларк: «Мало знать, надо и применять. Мало очень хотеть, надо и делать!» Как слова писателя-фантаста связаны с тем, что мы будем делать на уроке? Предлагает отметить начальный уровень знаний по теме «График функции y=ax2+bx+c» на лесенке достижений; определить цели обучающихся на уроке. Заполнить 1 и 2 столбик таблицы «ЗХУ». Опрос выборочно о целях обучающихся.	Отвечают на вопросы задания и слушают ответы одноклассников. Формулируют тему урока. Ставят цели урока. Заполняют 1 и 2 столбик таблицы «ЗХУ».
3.Выявление индивидуальных затруднений в реализации нового знания и умения. (7 мин. )	Проанализировать причины затруднений в реализации нового знания и умения.	Познавательные: структурирование знаний, рефлексия способов и условий действий, контроль и оценка процесса и результатов деятельности. Регулятивные: коррекция умения. Коммуникативные: ориентация на партнера по общению, умение слушать собеседника, умение аргументировать свое мнение, убеждать и уступать. Личностные: развитие логического мышления.	Отвечает на вопросы, анализирует ошибки. Организует устную работу («Ромашка вопросов»).	Задают вопросы. Вносят исправления. Отвечают и слушают ответы одноклассников, контролируют правильность ответов. Работают с листом диагностики.
«Ромашка вопросов» От чего зависит направление ветвей параболы? (От знака старшего коэффициента (коэффициента a). Ветви параболы направлены вверх при a>0, вниз при a<0.) Чтобы построить график функции y=ax2+q, нужно… (перенести параболу y=ax2 влево вдоль оси Ох на отрезок длины p, если p>0, или вправо на отрезок длины , если p<0.) Чтобы построить график функции y=a(x+p) 2, нужно… (перенести параболу y=ax2 влево вдоль оси Ох на отрезок длины p, если p>0, или вправо на отрезок длины , если p<0. ) Какие способы вы знаете для определения знака коэффициента b? (1. Теорема Виета; 2. Формулы для нахождения координат вершины параболы.) Что такое «нули функции»? (Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.) Как найти нули функции? (Решить квадратное уравнение.)
4. Реализация на практике выбранного плана, стратегии по разрешению проблемы. (5 мин.)	Организовать деятельность по применению ранее полученных знаний.	Познавательные: структурирование знаний, коррекция способов и условий действий. Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата. Личностные: развитие внимания, зрительной и слуховой памяти, возможность самостоятельно осуществлять деятельность обучения. Коммуникативные: умение работать в группах, развитие диалогической речи.	Организует работу по выполнению заданий, отвечает на вопросы («Эстафета»). Фронтальная форма работы.	Выполняют задания, отвечают и слушают ответы одноклассников, контролируют правильность ответов, анализируют, задают вопросы.
Ответ: а) 2 корня, а>0; б) нет корней, а>0; в) 2 корня, а<0; г) нет корней, а<0; д) 1 корень, а>0; е) 1 корень, а<0.
5. Динамическая пауза. (3 мин.)	Организовать физическую и психологическую разгрузку.	Коммуникативные: Взаимодействие с партнером по общению.	Проводит интеллектуальную физкультминутку. Демонстрация видеоролика «Парабола».	Выполняют упражнения для снятия физического и психического напряжения. Смотрят видеоролик.
6. Обобщение и систематизация знаний. Осуществление самостоятельной работы и самопроверки. Тренировочные упражнения. (12 мин.)	Повторить свойства графика квадратичной функции. Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков.	Познавательные: структурирование знаний, коррекция способов и условий действий. Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата, его оценка. Личностные: развитие внимания, зрительной и слуховой памяти, возможность самостоятельно осуществлять деятельность обучения. Коммуникативные: умение работать в группах, развитие диалогической речи.	Организует деятельность по применению полученных знаний: распределяет учащихся по вариантам, отслеживает прохождение тестов, организует проверку, оказывает индивидуальную помощь. Соответствие квадратичных функций и их свойств. URL: https://learningapps.org/4226780	Решают разноуровневые задачи на свойства графика квадратичной функции, сверяют свои результаты с предложенными, анализируют, задают вопросы.

Карточка 2.

«Зеленый» уровень.

№1.

Ответ:

Нули функции при х =	Уравнение оси симметрии параболы	Координаты вершины параболы
х = — 6 и х= — 2	х = — 4	(-4; 2)

№2.

Ответ:

А	Б	В
3	2	1

№3.

. .

Ответ:

a	b	c	Координаты вершины параболы
3	‒ 6	‒ 9	(1; ‒ 12)

№4.

Ответ:

А	Б	В
3	2	1

Карточка 2.

«Желтый» уровень.

№1.

Найдите нули функции y = x2 ‒ 7x +10.

Ответ:

х1	х2
2	5

№2.

Ответ:

a	b	c	Координаты вершины параболы
‒	2	‒ 3	(3; 0)

№3.

Ответ:

А	Б	В	Г
1	4	2	3

Карточка 2.

«Красный» уровень.

№1.

Ответ:

А	Б	В
4	2	3

№2.

А)

Б)

В)

Г)

Д)

Ответ:

А	Б	В	Г	Д
4	2	1	3	5

8. Домашнее задание	Дать информацию и инструктаж по домашнему заданию.	Личностные: формирование навыков самоорганизации.	Осуществляет показ видеоролика «Квадратичная функция в жизни» при наличии резерва времени. (3 мин) Демонстрирует соответствующий слайд презентации и комментирует домашнее задание, отвечает на вопросы.	Слушают, задают вопросы, записывают задание в дневник.
Квадратичная функция в окружающем мире. График квадратичной функции подковообразной формы называется параболой. Параболы весьма широко распространены в окружающем мире. (На фото: арка Парабола в Сент-Луисе, штат Миссури, США; скалы Братья (Парабола), Саяны; римские акведуки (водопровод древних римлян)). Многие проблемы нашего мира могут быть решены с помощью квадратичных функций. Один тип проблем (вопросов) касается объектов, находящихся под действием силы тяжести. Их траектории являются параболами, потому что то, что подброшено вверх, в конце концов, обязательно упадет вниз. Запущенные объекты, такие как ракеты, снаряды, пушечные ядра, предметы, которые бросаются как баскетбольные мячи, предметы, которые пинают, как футбольные мячи, и предметы, пущенные из рогатки подобно злобным птичкам навстречу цели, — все совершают параболическое движение. Анализ графика в каждом случае позволяет ответить на важные вопросы, такие как… Какой была максимальная высота подъема объекта? Как далеко от точки старта предмет ударится о землю? Как долго объект был в полете? И так много ещё! А теперь найдите несколько парабол в вашей жизни!
П. 2.4, № 263, 264, 273. Дополнительно: № 281, 282. Подготовить сообщение «Парабола в нашей жизни».
9. Рефлексия. (5 мин.)	Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучающихся.	Познавательные: Построение речевого высказывания в устной форме, контроль и оценка процесса и результатов деятельности. Регулятивные: контроль и оценка своей деятельности в рамках урока. Коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог, формулирование и аргументация своего мнения. Личностные: рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.	Организует рефлексию и самооценку учениками собственной учебной деятельности на уроке.	Соотносят цель и результаты своей учебной деятельности и фиксируют степень их соответствия.

Квадратичная функция — Графики функций

•Квадратичной функцией называется функция вида y=ax²+bx+c, где a,b,c — числа, причем a≠0.
•Графиком квадратичной функции является парабола.

Чтобы построить график функции y=x² составим таблицу значений

и построим график, используя полученные точки:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x² при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции y=-x² имеет вид:

Итак:
•Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

•Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй этап построения графика функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x)=0.

В случае квадратичной функции y=ax²+bx+c нужно решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0.

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: D=b²-4ac, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:
1. Если D<0 ,то уравнение ax²+bx+c=0 не имеет решений, и, следовательно, парабола y=ax

2+bx+c не имеет точек пересечения с осью ОХ.
Если a>0,то график функции выглядит примерно так:

2. Если D=0 ,то уравнение ax²+bx+c=0 имеет одно решение, и, следовательно, парабола y=ax²+bx+c имеет одну точку пересечения с осью ОХ.
Если a>0,то график функции выглядит примерно так:

3.Если D>0, то уравнение ax²+bx+c=0 имеет два решения, и, следовательно, парабола y=ax²+bx+c имеет две точки пересечения с осью ОХ: ,
Если a>0, то график функции выглядит примерно так:

Значит, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный этап построения графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

Прямая, прохдящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один этап построения графика функции – точка пересечения параболы y=ax²+bx+c с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax²+bx+c с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные моменты построения графика квадратичной функции показаны на рисунке:

2 + б * х + с }

Построение квадратичной функции f(x)

Во-первых, мы должны выбрать область, в которой мы хотим построить f(x) .

Попробуем -10 ≤ x ≤ 10:


  # область, в которой мы хотим построить f(x)
х = -10:10
# график f(x)
plot(x, f(x), type = 'l') # type = 'l' строит линию вместо точек
# построить оси x и y
аблин (ч = 0)
abline(v = 0)

Вывод:

Нахождение вершины

Вершина V квадратного уравнения, в данном случае нижняя точка на графике f(x) , равно: \(V(\frac{-b}{2a}, f(\frac{-b}{2a}))\)

 find. vertex = function(a, b, в) {
  x_vertex = -b/(2 * а)
  у_вершина = е (х_вершина)
  с (х_вершина, у_вершина)
}
V = найти.вершина (а, б, с)
# print(V) выводит: -1 -21
# таким образом, вершина является точкой V(-1, -21)

Добавление вершины к графику:

 # добавление вершины к графику
точек (х = V[1], y = V[2],
       pch = 18, cex = 2) # pch управляет формой точки, а cex управляет ее размером
# добавить метку рядом с точкой
текст (х = V [1], у = V [2],
     labels = "Vertex", pos = 3) # pos = 3 размещает текст над точкой 92 - 4 * а * в
  если (дискриминант > 0) {
    c((-b - sqrt(дискриминант))/(2 * a), (-b + sqrt(дискриминант))/(2 * a))
  }
  иначе если (дискриминант == 0) {
    -б/(2*а)
  }
  еще {
    NaN
  }
}
решения = find.roots (a, b, c)
# print(solutions) outputs: -5.582576 3.582576
# таким образом, пересечения по оси x являются точками: (-5. 582576, 0) и (3.582576, 0)

Добавление пересечений по оси x к графику:

 # добавление пересечений по оси x к графику
points(x = решения, y = rep(0, length(solutions)), # координаты x и y точек пересечения x
 pch = 18, cex = 2, col = «красный»)
текст (x = решения, y = rep (0, длина (решения)),
 labels = rep ("x-intercept", длина (решения)),
 pos = 3, col = 'красный') 92 + б * х + с
}
# простой график f(x)
х = -10:10
график (х, е (х), тип = 'л')
# построить оси x и y
аблин (ч = 0)
аблин (v = 0)
# найти вершину
find.vertex = функция (a, b, c) {
 x_vertex = -b/(2 * а)
 у_вершина = е (х_вершина)
 с (х_вершина, у_вершина)
}
V = найти.вершина (а, б, с)
# добавляем вершину на график
точек (х = V[1], y = V[2],
 рч = 18, сэкс = 2)
текст (х = V [1], у = V [2],
 labels = "Вершина", pos = 3)
# найти точки пересечения x с f(x)
find.   
   
No related posts.

Урок алгебры в 9 классе по теме «График функции y = ax2 + bx + c».

Квадратичная функция — Графики функций

Построение квадратичной функции f(x)

Нахождение вершины

Добавить комментарий Отменить ответ