Как раскладывать на множители 8 класс: Способы разложения на множители — урок. Алгебра, 8 класс.

Разложение квадратноготрехчлена на множители | План-конспект урока по алгебре (8 класс):

Алгебра, 8 Класс Урок № Дата_______________

Тема урока	Разложение квадратного трехчлена на множители
Цели урока:
Образовательная	Изучить основные понятия, связанные с квадратным трехчленом; вывести формулу для разложения квадратного трехчлена на множители и сформировать умение ее применять
Развивающая	Развивать алгебраический аппарат у учащихся, грамотную математическую речь
Воспитательная	Воспитывать ответственность, чувство долга, аккуратность, лаконичность оформления решений
Тип урока	Изучение нового материала
Основные термины и понятия	Квадратное уравнение, формула для разложения трехчлена на множители
Оборудование	ПК, проектор, раздаточный материал, презентация

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Распознавать квадратные уравнения, классифицировать их. Решать квадратные уравнения-полные и неполные. Проводить простейшие исследования квадратных уравнений. Решать уравнения сводящиеся к квадратным, путем преобразований, а также с помощью замены переменной. Применять теорему Виета для решения разнообразных задач. Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения; решать составленное уравнение; интерпретировать результат. Распознавать квадратный трехчлен, выяснять возможность разложения на множители, представлять квадратный трехчлен в виде произведения линейных множителей. Применять различные приемы самоконтроля при выполнении преобразований. Проводить исследования квадратных уравнений с буквенным коэффициентами, выявлять закономерности.

Л: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, распределение функций и ролей участников, взаимодействие и общие способы работы; Р: планирование и прогнозирование своей деятельности, самоконтроль; К: умение владеть приёмами монологической и диалогической речи, работать индивидуально и в группе, формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение;

Ход урока

Этапы урока	Время	Содержание		Формируемые УУД
		Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Организационный этап	2 мин	Приветствие. Создание благоприятной рабочей обстановки. Вступительное слово учителя	Приветствие учителя. Настрой на урок.	Л:самоопределение, настрой на работу; Р:целепологание.
Актуализация знаний	5мин	Организует устную работу. – Назовите коэффициенты квадратного уравнения. На какое число нужно умножить обе части уравнения, чтобы все его коэффициенты стали целыми? а) ; е) ; б) ; ж) ; в) ; з) ; г) ; и) ; д) ; к)	Фронтально работают с места	П: анализ предлагаемых заданий, выделение существенной информации; Р: умение слушать, дополнять и уточнять; К: решение возникающих проблемных вопросов.
Изучение нового материала	15мин	Организует изучение учебного материала по учебнику Объяснение материала проводится в несколько этапов. 1. Введение основных понятий. Начать следует с известных учащимся понятий. Так, они знают, что выражение 5×2 + 3x – 2 является многочленом второй степени с одной переменной. Сообщить им, что такой многочлен имеет специальное название – «квадратный трехчлен». Понятие 1. Квадратный трехчлен. Определение. Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2 + bx + c, где х – переменная, а, b и с – некоторые числа, причем а ≠ 0. Для усвоения понятия следует дать учащимся задание: определить, какие из следующих выражений являются квадратным трехчленом; ответ объяснить. а) ; г) 2x – 1;27 б) 2×3 + 5x – 1; д) ; в) ; е) . Далее заметить, что значение квадратного трехчлена 5×2 + 3x – 2 зависит от значения х. Например, если х = 0, то 5×2 + 3x – 2 = –2; если х = 2, то 5×2 + 3x – 2 = 24; если х = –1, то 5×2 + 3x – 2 = 0. Обратить внимание учащихся, что при х = –1 квадратный трехчлен 5×2 + 3x – 2 обращается в нуль. Сообщить им, что в этом случае число –1 называют корнем данного квадратного трехчлена и попросить их сформулировать определение корня квадратного трехчлена. Понятие 2. Корень квадратного трехчлена. Определение. Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение этого трехчлена равно нулю. Спросить учащихся, как отыскать корни квадратного трехчлена (решить соответствующее квадратное уравнение). Предложить им найти корни квадратного трехчлена 5×2 + 3x – 2. Затем заметить, что количество корней квадратного трехчлена зависит от количества корней соответствующего квадратного уравнения, которое, в свою очередь, зависит от дискриминанта. Так появляется новое понятие – дискриминант квадратного трехчлена. Понятие 3. Дискриминант квадратного трехчлена. Определение. Дискриминантом квадратного трехчлена ax2 + bx + c называется значение выражения D = b2 – 4ac. Сделать вывод, что если D 0, то квадратный трехчлен имеет два корня; если D = 0, то один корень; если D 2. Формула для разложения на множители квадратного трехчлена. Обратить внимание учащихся, что существует ряд задач, в которых требуется разложить на множители квадратный трехчлен. Затем показать им, как это можно сделать с помощью группировки (с. 128 учебника). После доказательства формулы разложения на множители квадратного трехчлена вынести на доску запись: Если x1 и x2 – корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, то ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). Сделать вывод: если квадратный трехчлен имеет корни, то он раскладывается на множители. Затем задать учащимся вопрос: можно ли разложить на множители квадратный трехчлен, не имеющий корней? В классе с высоким уровнем подготовки можно привести доказательство соответствующего утверждения. Доказательство. Пусть трехчлен ax2 + bx + c не имеет корней. Предположим, что его можно представить в виде произведения многочленов первой степени: ax2 + bx + c = (kx + m)(px + q), где k, m, p и q – некоторые числа, причем k ≠ 0 и p ≠ 0. Произведение (kx + m)(px + q) обращается в нуль при  и . Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ax2 + bx + c, то есть числа  и  являются его корнями. Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет. Итогом этого этапа объяснения материала должны быть следующие усвоенные учащимися утверждения: – если квадратный трехчлен имеет корни, то его можно разложить на множители; если квадратный трехчлен корней не имеет, то на множители (линейные) разложить его нельзя; – чтобы выяснить, разлагается ли трехчлен на множители, достаточно вычислить его дискриминант; – существует специальная формула, с помощью которой квадратный трехчлен, имеющий корни, можно разложить на множители: ax2 + bx + c = = a(x – x1)(x – x2). 3. Примеры разложения на множители квадратных трехчленов. Разобрать предложенные в учебнике примеры разложения квадратных трехчленов на множители, предложив при этом образец оформления соответствующих рассуждений. Пример. Разложить на множители трехчлен –3×2 – 5x + 2. Сначала следует сделать следующую запись: –3×2 – 5x + 2 = –3(х – ) (х – ). Затем найти корни данного квадратного трехчлена: –3×2 – 5x + 2 = 0;  и x2 = –2. Эти корни записать в оставленное для них место, а затем можно выполнить некоторые преобразования.	Изучают новый материал совместно с учителем. Делаю соответствующие записи в тетрадях.	П: умение логически рассуждать, анализировать и осмысливать текст задания; Л: осознание работы в группе; Р: контроль и коррекция выбора способа действий, критическая оценка полученного ответа;
Закрепление изученного материала	15мин	Организует закрепление учебного материала по учебнику На этом уроке основное внимание следует уделить усвоению учащимися всех введенных понятий, а также формированию умения пользоваться формулой разложения на множители квадратного трехчлена. 1. Какие из чисел –4, –3, –1, , 1 являются корнями квадратного трехчлена 3×2 + 7x – 6? 2. Проверьте, что число 1 является корнем каждого трехчлена: а) 7×2 – 6x – 1; б) –x2 + 5x – 4; в) . 3. № 531 (а, в), 532. 4. № 533 (а, в, д), 534 (а, в), 535 (а, в, д). После разложения на множители квадратных трехчленов, у которых коэффициент а равен единице, учащиеся могут допускать распространенную ошибку: при разложении на множители трехчленов, у которых коэффициент а отличен от единицы, подменяют формулу a(x – x1)(x – x2) формулой (x – x1)(x – x2), то есть забывают про коэффициент а. Во избежание этой ошибки следует на первых порах подставлять в формулу и значение а, равное 1, акцентируя внимание учащихся, что в рассматриваемой формуле всегда три множителя.	Самостоятельно решают по учебнику (1 человек у доски для самоконтроля)	П: самостоятельное выполнение действий, умение структурировать свои знания; Р: контроль и коррекция;
Подведение итогов урока. Рефлексия.	2мин	Организует обсуждение: Вопросы учащимся: – Что называется квадратным трехчленом? – Что называется корнем квадратного трехчлена? – Что такое дискриминант квадратного трехчлена? – Сколько корней может иметь квадратный трехчлен? – Как разложить на множители квадратный трехчлен? – Когда можно, а когда нельзя разложить квадратный трехчлен на множители?	Отвечают на вопросы учителя. Проводят самооценку своей деятельности на уроке.	Л: умение подводить итоги; Р: умение осуществлять самооценку; К: умение грамотно выражать свои мысли;
Домашнее задание	1мин	П.3.7 № 531 (в), 533 (в), 534 (в), 535 (в) .	Записывают домашнее задание в дневник.

Алгебра Макарычев 8 класс 22. Разложите на множители – Рамблер/класс

Алгебра Макарычев 8 класс 22. Разложите на множители – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

ответы

раскладываем так

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

Психология

ЕГЭ

10 класс

9 класс

похожие вопросы 5

150 Алгебра 9 класс Макарычев Помогите решить графически

Решите графически уравнение:
а) х3 = 2; б) х3 = 4; в) х3 = -5.
 

ЭкзаменыАлгебра9 классМакарычев Ю.Н.ГДЗ

Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308

 Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее…)

ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра

Приготовление раствора сахара и расчёт его массовой доли в растворе. Химия. 8 класс. Габриелян. ГДЗ. Хим. практикум № 1. Практ. работа № 5.

Попробуйте провести следующий опыт. Приготовление раствора
сахара и расчёт его массовой доли в растворе.
Отмерьте мерным (Подробнее…)

ГДЗШкола8 классХимияГабриелян О.С.

16. Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)… Цыбулько И. П. Русский язык ЕГЭ-2017 ГДЗ. Вариант 13.

16.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.

ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. Русский язык ГДЗ. Вариант 13. 18. Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)…

18.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.

Факторизация 8 класс Математика | 8 класс математика Факторизация

Многочлен – это сумма одного или нескольких членов, где каждый член состоит из константы и одной или нескольких переменных, возведенных в некоторые неотрицательные целые степени. Многочлен только с одним членом называется монономом, с двумя членами — биномом, а с тремя членами — трехчленом. Некоторые примеры каждого типа перечислены ниже.

Мономы: х, 1, 3x5y12

Биномы: x + 3, 2×2 + 5xy2

Трехчлены: x2 + 5x + 29, 2×7 + 40y3z2 + x2z5

Степень отдельного члена полинома – это сумма показателей степени переменных в этом члене. Например, термин x2y3 имеет степень 5, поскольку показатели степени переменных x и y (2 и 3 соответственно) дают в сумме 5.

ФАКТОРИНГ:

РАЗМЕЩЕНИЕ ТРЁХЧАСТНЫХ ЧАСТЕЙ:

Квадратичные трехчлены имеют вид ax2 + bx + c. Разлагая эти трехчлены на множители, мы хотим записать их как произведение двух двучленов. Два типа квадратных трехчленов перечислены ниже.

Унитарный квадратный трехчлен – это выражение, в котором старший коэффициент (a) равен 1. Например, x2 + 7x + 12 – это квадратичный трехчлен. Эти трехчлены проще всего разложить на множители. Для общего монического квадратного трехчлена, x2 + bx + c, мы должны найти корни многочлена, x1 и x2, такие, что x2 + bx + c = (x-x1)(x-x2). Развернув факторизацию, мы видим, что x2 + bx + c = x2 — (x1+x2)x + (x1x2). Из этого разложения получаем формулы b = -(x1+x2) и c = x1x2. Мы можем использовать эти формулы для нахождения корней многочлена, если его можно разложить на множители.

Самый простой способ разложить на множители монические квадратичные трехчлены — найти целые корни.

Однако, если мы не можем найти целые корни, это не означает, что трехчлен нельзя разложить на множители. Мы должны использовать квадратную формулу, которая дается в учебнике по квадратным уравнениям, чтобы найти нецелые корни квадратного трехчлена. Однако если корней не существует, то трехчлен нельзя разложить на множители.

Используя задачу на умножение, состоящую из двух двучленов, мы покажем некоторые важные вещи, которые следует помнить при разложении трехчленов на множители, что является обратным умножению двух двучленов.

например (х — 6)(х + 3) = х2 — 6х + 3х — 18 = х2 — 3х — 18

Помня об этих важных вещах, вы можете разложить трехчлены на множители.

• Первый член трехчлена является произведением первых членов двучлена.
• Последний член трехчлена является произведением последних членов двучлена.
• Коэффициент среднего члена трехчлена — это сумма последних членов двучлена.
• Если все знаки в трехчлене положительные, то все знаки в обоих двучленах положительны.

вопрос 1. Фактор:   x2 — 14x — 15

Решение: Сначала запишите два набора скобок для обозначения продукта.

( )()

Поскольку первый член трехчлена равен

Произведение первых членов бинома, вы вводите x как первый член каждого бинома.

(х)(х)

Произведение последних членов бинома должно быть равно -15, а их сумма должна быть равна -14, и один из членов бинома должен быть отрицательным.

Произведение четырех различных пар множителей равно -15.

(3)(-5) = -15     (-15)(1) = -15

(-3)(5) = -15     (15)(-1) = -15

Однако только одна из этих пар имеет сумму -14.

(-15) + (1) = -14

Следовательно, вторые члены двучлена равны -15 и 1, потому что это единственные два множителя, произведение которых равно -15 (последний член трехчлена) и сумма которых равна -14 (коэффициент среднего члена трехчлена).

(x — 15)(x + 1) — это ответ.

вопрос 2. Фактор х2 + 6х + 8.

Решение: Чтобы разложить это квадратное уравнение на множители, мы должны найти корни x1 и x2, такие, что –(x1 + x2) = 6 и x1x2 = 8. Таким образом, мы должны найти два числа, сумма которых равна –6, а произведение равно 8. Ясно, что сложение –2 и –4 дает –6, а умножение дает 8. Теперь мы можем разложить выражение на множители.

х2 + 6х + 8 = (х – (–2)) (х – (–4))

х2 + 6х + 8 = (х + 2) (х + 4)

вопрос 3. Фактор y2 + 4y – 21

Решение: Чтобы разложить это квадратное уравнение на множители, мы должны найти корни y1 и y2 такие, что –(y1 + y2) = 4 и y1y2 = –21. Итак, мы должны найти корни y1 и y2 = –21. Итак, мы должны найти числа, сумма которых равна -4, а произведение -21. Ясно, что сложение –7 и 3 дает –4, а умножение дает –21. Теперь мы можем разложить выражение на множители.

у2 + 4у – 21 = (у – (–7)) (у – (3))

у2 + 4у – 21 = (у + 7) (у – 3)

Немонические квадратичные трехчлены – это выражения, в которых старший коэффициент (а) не равен 1. Например, 6×2 — 11x — 7 – это немонический квадратичный трехчлен. Чтобы разложить эти трехчлены на множители, мы снова должны найти такие корни x1 и x2, что ax2+bx+c = a(x — x1)(x — x2).

Самый простой способ разложить немонический трехчлен на множители — найти два целых числа m и n, такие что m + n = b и m x n = ac. Найдя два целых числа, замените сумму членов mx + nx членом bx. Затем удалите общие факторы. Если не удается найти целых чисел, это не обязательно означает, что многочлен нельзя разложить на множители. Мы должны найти нецелые корни многочлена, используя квадратичную формулу. Если у многочлена нет корней, его нельзя разложить на множители.

вопрос 4. Фактор 6х3 – 11х – 7

Решение: Нам нужно найти целые числа m, n такие, что m + n = –11 и m × n = (6) (–7) = –42. Выписав все множители –42, мы обнаружим, что –14 и 3 умножаются, чтобы дать –42, а сложение дает –11.

6×2 – 11x – 7 = 6×2 – 14x + 3x – 7

= 2x (3x – 7) + 3x – 7

= 2x (3x – 7) + 1(3x – 7)

= (3x – 7) (2x + 1)

Итак, 6×2 – 11x – 7 = (3x – 7) (2x + 1)

вопрос 5. фактор 4×2 + 13x – 5

Решение: Нам нужно найти целые числа m, n такие, что m + n = 13 и m × n = (2) (–5) = –20.

Выписывая все множители –20, мы находим, что не существует целых чисел, которые при сложении дают 13, а при умножении дают –20.

1 2 4 5 10 20

–20 –10 –5 –4 –2 –1

–19 –8 –1 1 8 19

Таким образом, 4×2 + 13x — 5 нельзя разложить на множители. Чтобы разложить многочлен на множители, нам нужно найти корни, используя квадратичную формулу.

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ:

Первый метод разложения полиномов на множители – это вынесение наибольшего общего делителя. При факторинге в целом это также будет первое, что мы должны попробовать, поскольку это часто упрощает проблему.

Чтобы использовать этот метод, все, что мы делаем, это смотрим на все термины и определяем, есть ли фактор, общий для всех терминов. Если есть, мы вынесем его из полинома. Также обратите внимание, что в этом случае мы действительно используем распределительный закон только в обратном порядке.

Помните, что распределительный закон гласит, что

а (б + в) = аб + ас

Вынося наибольший общий множитель, мы делаем это в обратном порядке. Мы замечаем, что в каждом члене есть а, и поэтому мы «факторизуем» его, используя дистрибутив в обратном порядке, следующим образом:

аб + ас = а(б + с)

Давайте посмотрим на некоторые примеры.

вопрос 1. Вынесите на множители наибольший общий делитель каждого из следующих многочленов.

(а) 8×4 – 4×3 + 10×2

(б) x3y2 + 3x4y + 5x5y3

(в) 3×6 – 9×2 + 3x

(г) 9×2 (2x + 7) – 12x (2x + 7)

Решение: (а) 8×4 – 4×3 + 10×2

Во-первых, мы заметим, что мы можем факторизовать 2 из каждого термина. Также обратите внимание, что мы можем умножить x2 из каждого термина. Вот факторинг для этой проблемы.

8×4 – 4×3 + 10×2 = 2×2 (4×2 – 2x + 5)

Обратите внимание, что мы всегда можем проверить факторинг, перемножив члены, чтобы убедиться, что мы получили исходный многочлен.

(б) x3y2 + 3x4y + 5x5y3

В этом случае у нас есть и x, и y в терминах, но это не меняет того, как работает процесс. Каждый термин содержит и x3 и y , поэтому мы можем вынести их оба. Выполнение этого дает,

x3 y2 + 3×4 y + 5×5 y3 = x3 y (y + 3x + 5×2 y2)

(в) 3х6 – 9х2 + 3х

В этом случае мы можем умножить каждое слагаемое на множитель в 3 раза. Вот работа для этого.

3х6 – 9х2 + 3х = 3х (х5 – 3х + 1)

Обратите внимание на «+1», где 3x изначально было в последнем термине, поскольку последний термин был термином, который мы вынесли из него, нам нужно было напомнить себе, что изначально там был термин. Для этого нам нужен «+1» и обратите внимание, что это «+1» вместо «-1», потому что термин изначально был положительным термином. Если бы изначально это был отрицательный термин, нам пришлось бы использовать «-1».

Одна из наиболее распространенных ошибок при решении таких задач факторинга — забыть об этой «1». Помните, что мы всегда можем проверить, умножив два обратно, чтобы убедиться, что мы получаем оригинал. Чтобы проверить, что «+1» требуется, давайте отбросим его, а затем умножим, чтобы посмотреть, что мы получим.

3x (x5 – 3x)= 3×6 – 9×2≠ 3×6 – 9×2 + 3x

Итак, без «+1» мы не получим исходный многочлен! Будьте осторожны с этим. Легко поторопиться и забыть добавить «+1» или «-1» по мере необходимости при разложении полного термина.

(г) 9×2 (2x + 7) – 12x (2x + 7)

Этот выглядит немного странно по сравнению с другими. Тем не менее, это работает так же. В каждом термине есть 3x, а также 2x + 7 в каждом термине, поэтому их также можно вынести за скобки. Выполнение факторинга для этой задачи дает

9×2 (2x + 7) – 12x (2x + 7) = 3x(2x + 7) (3x – 4)

ФАКТОРИЗАЦИЯ ПО ГРУППЕ:

Это метод, который используется не так часто, но когда его можно использовать, он может быть несколько полезен. Этот метод лучше всего иллюстрируется парой примеров.

вопрос 1. Фактор путем группировки каждого из следующих.

(а) 3×2 – 2x + 12x – 8

(б) х5 + х – 2х4 – 2

(в) х5 – 3х3 – 2х2 + 6

Решение: (а) 3×2 – 2x + 12x – 8

В этом случае мы группируем первые два термина и последние два термина, как показано здесь,

. (3×2 – 2x) + (12x – 8)

Теперь обратите внимание, что мы можем выделить x из первой группы и 4 из второй группы. Выполнение этого дает,

3×2 – 2x + 12x – 8 = x (3x – 2) + 4(3x – 2)

Теперь мы видим, что можем вынести общий множитель 3x – 2 , так что давайте сделаем это с окончательной факторизованной формой.

3×2 – 2x + 12x – 8 = (3x – 2) (x + 4)

И мы закончили. Это все, что нужно для факторинга по группировке. Еще раз обратите внимание, что это не всегда сработает, и иногда единственный способ узнать, сработает это или нет, — это попробовать и посмотреть, что получится.

(б) х5 + х – 2х4 – 2

В этом случае мы сделаем тот же начальный шаг, но на этот раз обратите внимание, что оба последних двух члена отрицательны, поэтому мы также будем учитывать «-», когда будем их группировать. Это дает

(х5 + х) – (2х4 + 2)

Опять же, мы всегда можем распределить «-» обратно через круглые скобки, чтобы убедиться, что мы получаем исходный многочлен.

На данный момент мы видим, что можем вынести x из первого члена и 2 из второго члена. Это дает,

х5 + х – 2х4 – 2 = х (х4 + 1) – 2(х4 + 1)

Теперь у нас есть общий множитель, который мы можем разложить на множители, чтобы завершить задачу.

х5 + х – 2х4 – 2 = (х4 + 1) (х – 2)

(в) х5 – 3х3 – 2х2 + 6

Здесь также есть «-» перед третьим членом, как мы видели в предыдущей части. Однако на этот раз перед четвертым членом стоит «+», в отличие от предыдущей части. Мы по-прежнему будем учитывать «-» при группировании, чтобы убедиться, что мы не потеряем его из виду. Когда мы выносим за скобки «-», обратите внимание, что нам нужно заменить «+» в четвертом члене на «-». Опять же, вы всегда можете проверить, правильно ли это было сделано, умножив «-» обратно через скобки.

(х5 – 3х3) – (2х2 – 6)

Теперь, когда мы сделали пару из них, мы не будем вводить оставшиеся детали, а сразу перейдем к окончательному факторингу.

х5 – 3х2 – 2х2 + 6 = х3 (х2 – 3) – 2(х2 – 3) = (х2 – 3) (х3 – 2)

Факторизация по группам может быть хороша, но она работает не так уж часто. Обратите внимание, что, как мы видели в последних двух частях этого примера, если перед третьим термином стоит «-», мы часто также будем учитывать его из третьего и четвертого терминов при их группировке.

ФАКТОРИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛИНОМОВ:

Во-первых, давайте отметим, что квадратичный — это еще один термин для многочлена второй степени. Итак, мы знаем, что наибольший показатель степени квадратичного многочлена будет равен 2. В этих задачах мы будем пытаться разложить квадратные многочлены на два полинома первой степени (следовательно, линейные). Пока вы не станете в этом хороши, обычно мы делаем это методом проб и ошибок, хотя есть пара процессов, которые могут сделать их несколько проще.

вопрос 1. Разложите на множители каждый из следующих многочленов.

(а) х2 + 2х – 15

(б) х2 – 10х + 24

(в) х2 + 6х + 9

(г) х2 + 5х + 1

(д) 3×2 + 2x – 8

(е) 5×2 – 17x + 6

(ж) 4×2 + 10x – 6

Решение: (а) x2 + 2x – 15

Хорошо, поскольку первый член равен x2, мы знаем, что факторинг должен иметь форму.

х2 + 2х – 15 = (х + _ ) (х + _ )

Мы знаем, что он примет такую ​​форму, потому что когда мы умножаем два линейных члена, первый член должен быть х2, и единственный способ получить его — умножить х на х. Следовательно, первый член в каждом факторе должен быть x. Чтобы закончить это, нам просто нужно определить два числа, которые должны идти в пустых местах.

Мы можем значительно сузить возможности. После умножения двух множителей эти два числа нужно будет умножить, чтобы получить -15. Другими словами, эти два числа должны быть равны -15. Вот все возможные способы размножить -15, используя только целые числа.

(–1) (15) (1) (–15) ​​(–3) (5) (3) (–5)

Теперь мы можем просто подставлять их друг за другом и перемножать, пока не получим правильную пару. Тем не менее, есть еще один трюк, который мы можем использовать здесь, чтобы помочь нам. Правильная пара чисел должна быть сложена, чтобы получить коэффициент при x-термине. Таким образом, в этом случае третья пара факторов добавится к «+2», и это та пара, которую мы ищем.

Вот факторизованная форма многочлена.

х2 + 2х – 15 = (х – 3) (х + 5)

Опять же, мы всегда можем проверить, что получили правильный ответ, выполнив быстрое умножение.

Обратите внимание, что метод, который мы использовали здесь, будет работать только в том случае, если коэффициент члена x2 равен единице. Если это что-то другое, это не сработает, и мы действительно вернемся к методу проб и ошибок, чтобы получить правильную форму факторинга.

(б) х2 – 10х + 24

Снова запишем начальную форму,

х2 – 10х + 24 = (х + _ ) (х + _ )

Теперь нам нужны два числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и складывают, чтобы получить -10. Похоже, что -6 и -4 сделают свое дело, поэтому факторизованная форма этого многочлена будет

. х2 – 10х + 24 = (х – 4) (х – 6)

(в) х2 + 6х + 9

Опять же, начнем с начальной формы,

. х2 + 6х + 9 = (х + _) (х + _)

На этот раз нам нужны два числа, которые умножаются, чтобы получить 9, и складываются, чтобы получить 6. В этом случае 3 и 3 будут правильной парой чисел. Не забывайте, что эти два числа могут иногда совпадать, как здесь.

Вот факторизованная форма этого многочлена.

х2 + 6х + 9 = (х + 3) (х + 3) = (х + 3)2

Обратите также внимание, что мы еще больше упростили разложение на множители, чтобы признать, что это идеальный квадрат. Вы всегда должны делать это, когда это происходит.

(г) x2 + 5x + 1

Еще раз, вот начальная форма,

х2 + 5х + 1 = (х + _) (х + _)

Хорошо, на этот раз нам нужны два числа, которые умножаются, чтобы получить 1, и складывают, чтобы получить 5. Не существует двух целых чисел, которые могут это сделать, поэтому этот квадрат не учитывается.

Это будет происходить время от времени, поэтому не волнуйтесь, когда это произойдет.

(д) 3×2 + 2x – 8

Хорошо, у нас больше нет коэффициента 1 при х2. Однако мы все еще можем сделать предположение о первоначальной форме факторинга. Поскольку коэффициент x2term равен 3 и есть только два положительных множителя, равных 3, на самом деле существует только одна возможность для исходной формы факторинга.

3×2 + 2x — 8 = (3x + _ ) (x + _ )

Поскольку единственный способ получить 3×2 — это умножить 3x и x, это должны быть первые два члена. Однако найти числа для двух пробелов будет не так просто, как в предыдущих примерах. Нам нужно будет начать со всеми коэффициентами -8.

(–1) (8) (1) (–8) (–2) (4) (2) (–4)

На данный момент единственный вариант — выбрать пару, вставить их и посмотреть, что произойдет, когда мы умножим члены. Начнем с четвертой пары. Давайте подставим числа и посмотрим, что у нас получится.

(3x + 2) (x – 4) = 3×2 – 10x – 8

Что ж, первый и последний термины правильные, но они должны быть правильными, поскольку мы выбрали числа, чтобы убедиться, что они работают правильно. Однако, поскольку средний член неверен, это не правильное разложение полинома на множители.

Однако это не значит, что мы ошиблись. В предыдущих частях этого примера не имело значения, какая заготовка получила какой номер. На этот раз так и есть. Давайте изменим порядок и посмотрим, что мы получим.

(3x – 4) (x + 2) = 3×2 + 2x – 8

Итак, мы поняли. Мы угадали правильно, когда в первый раз просто поместили их не в то место.

Итак, в этих задачах не забудьте проверить оба места для каждой пары, чтобы увидеть, сработает ли какое-либо из них.

(е) 5×2 – 17x + 6

Опять же, коэффициент члена x2 имеет только два положительных множителя, поэтому у нас есть только одна возможная начальная форма.

5×2 – 17x + 6 = (5x + _) (x + _)

Далее нам понадобятся все делители числа 6. Вот они.

вопрос 1. (6) (–1) (–6) (2) (3) (–2) (–3)

Не забывайте о негативных факторах. Они часто те, которые мы хотим. На самом деле, заметив, что коэффициент x отрицателен, мы можем быть уверены, что нам понадобится одна из двух пар отрицательных коэффициентов, поскольку это будет единственный способ получить там отрицательный коэффициент. Методом проб и ошибок мы можем получить, что разложение этого многочлена равно 9. 0003

5×2 – 17x + 6 = (5x – 2) (x – 3)

(ж) 4×2 + 10x – 6

На этом последнем шаге у нас есть более сложная задача. Коэффициент члена x2 теперь имеет более одной пары положительных множителей. Это означает, что начальная форма должна быть одной из следующих возможностей.

4×2 + 10x – 6 = (4x + _ ) (x + _ )

4×2 + 10x – 6 = (2x + _) (2x + _)

Чтобы заполнить пробелы, нам понадобятся все коэффициенты -6. Вот они,

(–1) (6) (1) (–6) (–2) (3) (2) (–3)

Методом проб и ошибок мы можем найти, что правильное разложение этого полинома на множители равно

. 4×2 + 10x – 6 = (2x – 1) (2x + 6)

Также обратите внимание, что на этапе проб и ошибок нам нужно убедиться и подключить каждую пару к обеим возможным формам и в обоих возможных порядках, чтобы правильно определить, является ли это правильной парой факторов или нет.

На самом деле мы можем сделать еще один шаг и вынести 2 из второго члена, если захотим. Это дает

4×2 + 10x – 6 = 2 (2x – 1) (x + 3)

Это важно, потому что мы могли бы также учесть это как

. 4×2 + 10x – 6 = (4x – 2) (x + 3)

которая на первый взгляд кажется отличной от первой формы, приведенной выше. Однако в этом случае мы можем вынести 2 из первого члена, чтобы получить

. 4×2 + 10x – 6 = 2(2x – 1) (x + 3)

Это именно то, что мы получили в первый раз, и поэтому у нас действительно есть та же факторизованная форма этого многочлена.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ:

Есть несколько хороших специальных форм некоторых полиномов, которые иногда могут облегчить нам факторинг. Вот специальные формы.

а2 + 2аб + Ь2 = (а + Ь)2

а2 – 2аб + Ь2 = (а – Ь)2

а2 – Ь2 = (а + Ь) (а – Ь)

а3 + b3 = (а + b) (а3 – а)

а3 – b3 = (а – б) (а2 + а)

Давайте поработаем с ними на нескольких примерах.

вопрос 1. Фактор каждого из следующих.

(а) х2 – 20х + 100

(б) 25×2 – 9

(в) 8×3 + 1

Решение: (а) x2 – 20x + 100

В этом случае у нас есть три члена, и это квадратичный многочлен. Обратите также внимание, что константа представляет собой полный квадрат, а ее квадратный корень равен 10. Также обратите внимание, что 2(10)=20, а это коэффициент при x-члене. Итак, похоже, у нас есть вторая специальная форма выше. Правильное разложение этого полинома на множители:

х2 – 20х + 100 = (х – 10)2

Честно говоря, в этом случае было бы проще просто использовать общий процесс факторизации квадратичных многочленов, чем проверять, что это одна из специальных форм, но нам действительно нужно было увидеть, как работает один из них.

(б) 25×2 – 9

В этом случае все, что нам нужно заметить, это то, что у нас есть разность совершенных квадратов,

. 25×2 – 9 = (5x)2 – (3)2

Итак, это должна быть третья специальная форма выше. Вот правильное разложение этого многочлена.

25×2 – 9 = (5x + 3) (5x – 3)

(в) 8×3 + 1

Эта задача представляет собой сумму двух совершенных кубов

. 8×3 + 1 = (2x)3 + (1)3

и поэтому мы знаем, что это четвертая особая форма сверху. Вот факторизация для этого многочлена.

8×3 + 1 = (2x + 1) (4×2 – 2x + 1)

Не допускайте следующей факторинговой ошибки!

a2 + b2≠ (a + b)2

Это просто неверно для подавляющего большинства сумм квадратов, поэтому будьте осторожны, чтобы не совершить эту очень распространенную ошибку. Есть редкие случаи, когда это можно сделать, но здесь мы не увидим ни одного из этих особых случаев.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ПОЛИНОМОВ СО СТЕПЕНЬЮ БОЛЬШЕ 2:

В общем, нет единого метода для этого. Однако кое-что мы можем сделать, поэтому давайте рассмотрим пару примеров.

вопрос 1. Фактор каждого из следующих.

(а) 3×4 – 3×3 – 36×2

(б) x4 – 25

(в) х4 + х2 – 20

Решение: (а) 3×4 – 3×3 – 36×2

В этом случае давайте заметим, что мы можем вынести из всех членов общий делитель 3×2, поэтому давайте сделаем это в первую очередь.

3×4 – 3×3 – 36×2 = 3×2 (x2 – x – 12)

Остается квадратное число, которое мы можем использовать для факторизации описанными выше методами. Это дает нам

3×4 – 3×2 – 36×2 = 3×2 (х – 4) (х + 3)

Не забывайте, что ПЕРВЫМ шагом к разложению на множители всегда должно быть выделение наибольшего общего множителя. Это может только помочь процессу.

(б) x4 – 25

Здесь нет наибольшего общего множителя. Однако обратите внимание, что это разность двух идеальных квадратов.

х4 – 25 = (х2)2 – (5)2

Итак, мы можем использовать третью специальную форму сверху.

х4 – 25 = (х2 + 5) (х2 – 5)

Ни один из них не может быть дополнительно факторизован, и на этом мы закончили. Однако обратите внимание, что часто на этом этапе нам нужно будет провести дополнительный факторинг.

(в) х4 + х2 – 20

Давайте начнем с факторизации другого многочлена.

и2 + и – 20 = (и – 4) (и + 5)

Мы использовали здесь другую переменную, так как мы уже использовали x для исходного многочлена. Итак, почему мы это сделали?

Обратите внимание, что если мы допустим u = x2, то u2 = (x2)2 = x4. Затем мы можем переписать исходный многочлен через u следующим образом:

х4 + х2 – 20 = и2 + и – 20

и мы знаем, как это учитывать. Итак, факторизуйте многочлен в u, а затем замените его, используя тот факт, что мы знаем, что u = x2.

х4 + х2 – 20 = и2 + и – 20

= (и – 4) (и + 5)

= (х2 – 4) (х2 + 5)

Наконец, обратите внимание, что первый член также будет учитываться, поскольку он представляет собой разность двух идеальных квадратов. Тогда правильное разложение этого многочлена на множители равно

. х4 + х2 – 20 = (х – 2) (х + 2) (х2 + 5)

Обратите внимание, что это преобразование сначала в u может быть полезным в некоторых случаях, однако, как только вы привыкнете к этому, это обычно делается в наших головах.

Факторизация Класс 8 Примечания по математике CBSE

На этой странице мы объясним темы для главы 8 факторизации класса 8 по математике. Мы предоставили качественные заметки факторизации класса 8 вместе с видео, чтобы объяснить различные вещи, чтобы учащиеся могли извлечь из этого пользу и изучать математику весело и легко. образом, надеюсь, они вам понравятся, и не забудьте поставить лайк, поделиться в социальных сетях и комментарий в конце страницы.

Содержание

• Факторы натурального числа
• Коэффициенты алгебраического выражения
• Факторизация алгебраического выражения
• Метод факторизации
• Деление алгебраического выражения
• Решенный пример на дивизионе
• Распространенная ошибка в алгебраическом выражении и уравнении

Факторы натурального числа

Факторы натурального числа — это число, на которое можно разделить натуральное число
. Рассмотрим 16
. Мы можем написать
.0545 Таким образом, 1,2,4,8,16 все являются делителями натурального числа 16. Простые множители — это множители, которые являются простыми числами.
Число может быть выражено как произведение простых множителей, и эта форма называется простой формой
$16=2 \times 2 \times 2 \times 2$

Факторы алгебраического выражения

Алгебраическое выражение также может быть выражено как Произведение множителей
Пример
$6xy$
$6xy= 6 \times (xy) = 6 \times(x) \times (y)= 2 \times 3 \times (xy)= 2 \times 3 \times(x) \times (y)$
Мы видим, что 2,3,x,y нельзя далее выразить как произведение множителя. Поэтому их называют первичными факторами. Мы назвали их неприводимыми факторами в терминах алгебраического выражения
 

Факторизация алгебраического выражения

Когда мы факторизуем алгебраическое выражение, мы записываем его как произведение множителей. Эти коэффициенты могут быть числами, алгебраическими переменными или алгебраическими выражениями.
Выражение 6x (x — 2). Его можно записать в виде произведения множителей. 2,3, х и (х — 2)
6х (х — 2). =2×3× x× (x — 2)
Множители 2,3, x и (x +2) являются неприводимыми множителями 6x (x + 2).
 

Метод факторизации

Метод общего фактора

1) Мы можем посмотреть на каждый член в алгебраическом выражении, разложить каждый член на неприводимые множители
2) Затем найти общие множители для факторизации выражения
 

Пример
1) $2x+4$
Здесь мы можем см. 2 — общий множитель в терминах
=$2(x+2)$92y +5x$
Сначала приведем его к неприводимым множителям вида
$=11 \times(x) \times (x) \times y+5 \times (x)$
Теперь мы можем видеть, что x является общим множителем
$ =x(11xy+5)$

Факторизация путем перегруппировки членов

1) Сначала мы видим общий множитель для всех терминов в алгебраическом выражении
2) мы смотрим на группировку терминов и проверяем, находим ли мы биномиальный множитель из обеих групп.
3) Вычесть общий биномиальный множитель

Пример
1) $2xy + 3x + 2y + 3$
Сначала приведем его к форме неприводимых множителей. У всех термов нет общего множителя
$= 2 \times x \times y + 3 \times x + 2 \times y + 3$
Теперь подумаем о группировке термов. Мы видим, что у нас есть общий множитель между первыми двумя членами
$= x \times (2y + 3) + 1 \times (2y + 3)$
$= (2y + 3) (x + 1)$
 
2 ) $6xy — 4y + 6 — 9x$
Для всех термов нет общих множителей, поэтому мы думаем о группировке и перестановке термов 9{2} — 4 а — 5$

Ответ

• $(x -8)(x — 10)$
• $(г — 4)(г — 10)$
• $(х +6)(х — 2)$
• $(z+3)(z-2)$
• $(х +1)(х — 3)$
• $(у +2)( у — 1)$
• $(м +6)(м — 6)$
• $(n + 6)(n — 4)$
• $(х — 7)(х — 9)$
• $(а +1)(а — 5)$

Разделение алгебраического выражения

Деление алгебраического выражения выполняется путем факторизации как числителя, так и знаменателя, а затем сокращения общих множителей. 92)}{4xyz}$
$=\frac {48xyz (x + y + z)}{4xyz}$
$= \frac {4 \times 12 \times xyz (x + y + z)}{4xyz} $
$ = 12 (x + y + z) $
 
Здесь Делимое = 48 (x ² yz + xy ² z + xyz ² )
Делитель = 4xyz
Частное = 12 z)
 
Итак, имеем
Дивиденд = Делитель × Частное.
Однако в общем случае соотношение равно
Дивиденд = Делитель × Частное + Остаток
Когда напоминание не равно нулю

Решенный пример для подразделения

1)  34a ² bc ²   /  51 abc
Решение
=17×2×a×a×b×c×c / 17×3×a×54×c 90
= 2ac/3
 
2) 36(x ² – 7x+ 12)/2(x-4)        
Решение
Здесь нам нужно разложить на множители и числитель, и знаменатель 9055. первый
36(x ² – 7x+ 12)
Здесь мы можем разложить это на множители, используя метод разделения
=36(х ² – 3х – 4х + 12)
=36(х-3)(х-4)
Таким образом, деление будет
36(х ² – 7х+ 12)/2(х-4) )
=36(x-3)(x-4)/2(x-4)
=18(x-3)
 
 

Посмотрите это руководство, чтобы увидеть больше примеров по Division

Common Ошибка в алгебраическом выражении и уравнении

Ошибка 1
Коэффициент 1 члена обычно не показывается. Поэтому студент часто игнорирует это. Но при добавлении подобных слагаемых мы должны включить его в сумму.
Неправильный подход
$x+2x+3x$
$=5x$
Мы не учитывали коэффициент 1
Правильный подход
$x+2x+3x$
$= (1) x+2x+3x$
$=6x$
 
Ошибка 2
Когда вы умножаете выражение, заключенное в скобки, на константу (или переменную) снаружи, вы обычно применяли умножение только к первому члену. Это неправильный расчет. Каждый член выражения должен быть умножен на константу (или переменную).
Неправильный подход 92+9+12x$
 

Проверьте свои знания с помощью кроссворда

Через
6. В алгебраических выражениях используется вместо простого числа
1. Многочлен с тремя членами
2. Многочлен с одним членом
3. Он называется старшей степенью многочлена
4. Это равенство, которое верно для всех значений переменных в равенстве
5. Многочлен с двумя членами.
Проверьте свои ответы

(1) трехчленный
(2) одночленный
(3) степень
(4) тождественный
(5) двучленный
(6) неприводимый
(7) множители

Резюме

0

0

0

0

0

Вот сводка заметок по факторизации класса 8

 

. Ссылка на эту страницу путем копирования следующего текста
заметки по факторизации класса 8 Читайте также

---

• Примечания
  • Примечания класса 8 факторизации
• Рабочие листы
  • Класс факторизации 8 Важные вопросы
  • Факторизация Класс 8 Рабочий лист
  • Факторизация Класс 8 Практические вопросы
• Ncert Solutions
  • Решения NCERT для 8 класса по математике Глава 14 Упражнение 14.

    No related posts.