Как разложить на множители уравнение: Разложение многочлена на множители способом группировки

Разложение многочлена на множители способом группировки

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Как школьники разбиваются в классе на группы по интересам: одни слушают рок, другие рэп. Так и множители в выражениях группируются по общему признаку. Сейчас расскажем, как разложить многочлен методом группировки.

Основные понятия

Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей. 

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые обведены в кружок на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя.  

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

5 способов разложения многочлена на множители

 

1. Вынесение общего множителя за скобки.


2. Формулы сокращенного умножения.


3. Метод группировки.


4. Выделение полного квадрата.


5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена. 

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

 

1. Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.


2. Вынести общий множитель за скобки.


3. Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И не всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.

Как решаем:

1 способ	2 способ
up — bp + ud — bd = (up — bp) + (ud — bd) Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d. Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d. Получим: p(u — b) + d(u — b). Заметим, что общий множитель (u — b). Вынесем его за скобки:  (u — b)(p + d).  Группировка множителей выполнена.	up — bp + ud — bd = (up + ud) — (bp + bd) Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b. Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b. Получим: u(p + d) — b(p + d). Заметим, что общий множитель (p + d). Вынесем его за скобки:  (p + d) (u — b). Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест множителей произведение не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).

Как решаем:

 

1. Найдем общий множитель: (m — n)


2. Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d).  

Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители  с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.

Как решаем: 

5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)

Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax² — bx² + bx — ax + a — b.

Как решаем:

 

1. Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax² — bx² + bx — ax + a — b = (ax² — bx²) + (bx — ax) + (a — b) = x²(a — b) — x(a — b) + (a — b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).

1. Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:

x²(a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x² + x + 1)

Ответ: ax

2 — bx² + bx — ax + a — b = (a — b)(x² + x + 1)

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Деление числа на произведение

К следующей статье

104.7K

Основы геометрии

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Разложение на множители многочлена третьей степени

Многочлен 3 степени a(x) = a₃*x³ + a₂*x² + a₁*x + a₀, a₃ ≠ 0, может иметь самое большее 3 корня. Так как если комплексное число является корнем многочлена, то и комплексно сопряженное тоже будет его корнем, следовательно, у кубического многочлена всегда существует по крайней мере один действительный корень.

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …

Таким образом, кубический многочлен всегда можно разложить на один линейный множитель и один квадратичный

В свою очередь многочлен второй степени a₃x² + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.

Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители:

Таким образом, зная один корень многочлена x₀, легко получить квадратичное выражение (a₃x² + bx + c) делением исходного многочлена на одночлен x-x₀. Приравнивая к нулю полученное выражение и решая квадратное уравнение, найдем остальные корни.

А зная все корни многочлена, можно сразу написать его разложение на множители.

Пример 1. Разложить на множители многочлен x³ — 3x² — 4x + 6.

Решение.

Делители свободного члена: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни многочлена нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем многочлена является число 1. Значит, исходный многочлен надо разделить на x — 1.

Воспользуемся схемой Горнера.

Таким образом, x³ — 3x² — 4x + 6 = (x — 1)(x² — 2x — 6). Чтобы найти оставшиеся 2 корня многочлена, решаем квадратное уравнение x² — 2x — 6 = 0.

Но обычно в разложении на множители нас не интересуют иррациональные корни (то есть, такое разложение квадратичного многочлена на множители

Ответ: x³ — 3x

2 — 4x + 6 = (x — 1)(x² — 2x — 6).

Пример 2. Разложить на множители многочлен -2x³ + 3x² — 4x — 9.

Решение.

Делители свободного члена: ±1, ±3, ±9. Делители старшего коэффициента: ±1, ±2.
Значит, корни исходного многочлена будем искать среди чисел: ±1, ±3, ±9,

±

1/2

, ±

3/2

, ±

9/2

.

Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем многочлена. С помощью схемы Горнера делим исходный многочлен на x + 1.

Таким образом, -2x³ + 3x² — 4x — 9 = (x + 1)(-2x² + 5x — 9). Решая квадратное уравнение -2x² + 5x — 9 = 0, получаем, что его дискриминант

Ответ: -2x³ + 3x²

 — 4x — 9 = (x + 1)(-2x² + 5x — 9).

Пример 3. Разложить на множители многочлен 2x³ — x² — 8x + 4.

Решение.

Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем многочлена. С помощью схемы Горнера делим исходный многочлен на x — 2.

Таким образом, 2x³ — x² — 8x + 4 = (x — 2)(2x² + 3x — 2).
Решая квадратное уравнение 2x² + 3x — 2 = 0, получаем,

Следовательно, 2x² + 3x — 2 = 2(x — 

)(x + 2).

Ответ: 2x³ — x² — 8x + 4 = 2(x — 2)(x — 

)(x + 2) = (2x — 1)(x — 2)(x + 2).

Разложение на множители многочлена третьей степени методом неопределенных коэффициентов

Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени — метод неопределенных коэффициентов. Он достаточно трудоемкий, но иногда бывает очень полезным, причем для разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x₀)*(a₃x² + bx + c).

Раскрывая скобки, получим a(x) = a₃x³ + x²(b — a₃x₀) + x*(c — bx₀) — cx₀.

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a₃,b,c и x₀. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.

Пример 4. Разложить на множители многочлен x³ + 2x² — 5x — 6.

Решение.

Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем следующую систему уравнений

Выразим из первого уравнения x₀ = b — 2 и подставим в два оставшихся. Получим

Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.

Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:

Если b=4, то c=3, x₀ = 2. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6 = (x — 2)(x² — 4x + 3)=(x — 2)(x + 1)(x + 3).

Если b = 1, то c = -6, x₀ = -1. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6 = (x + 1)(x² + x — 6)=(x + 1)(x + 3)(x — 2).

Если b = -1, то c = -2, x₀ = -3. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6=(x + 3)(x² — x — 2) = (x + 3)(x — 2)(x + 1).

Ответ: x³ + 2x² — 5x — 6 = (x — 2)(x + 1)(x + 3).

Факторизация квадратичных уравнений

Квадратное уравнение в стандартной форме
( a , b и c могут иметь любое значение, за исключением того, что a не может быть 0.)

 

«Факторинг» (или «Факторизация» в Великобритании) Квадратичный:

найти, на что умножить, чтобы получить Quadratic

Это называется «Факторинг», потому что мы находим множители (коэффициент — это то, на что мы умножаем)

Пример:

(x+4) и (x−1) являются делителями x ² + 3x − 4

«Расширим» (x+4 и ) x−1) , чтобы быть уверенным:

(x+4)(x−1)  = x(x−1) + 4(x−1)

 = x ² — x + 4x — 4

= x ² + 3x − 4

Да, (x+4) и (x−1) определенно являются множителями x ² + 3x − 4

Видели ли вы, что Экспансия и Факторинг противоположны?

Расширение обычно легко, но факторинг часто может быть сложным .

Это все равно, что пытаться выяснить, какие ингредиенты
вошли в торт, чтобы сделать его таким вкусным.
Это может быть трудно понять!

Хорошо, давайте попробуем пример, где мы еще не знаем факторов:

Общий коэффициент

Сначала мы можем проверить любые общих делителей .

Пример: каковы множители 6x

² — 2x = 0 ?

6 и 2 имеют общий делитель 2 :

2(3x ² − x) = 0

И x ^{2 05 х} имеют общий делитель x :

2x(3x − 1) = 0

И мы это сделали! Множители 2x и 3x − 1 ,

 

Теперь мы также можем найти корней (где оно равно нулю):

• 2x равно 0, когда х = 0
• 3x − 1 равно нулю, когда x = 1 3

А это график (посмотрите, как он равен нулю при x=0 и x= 1 3 ):

Но это не всегда так просто. ..

Угадай и проверь

Пример: каковы множители 2x

² + 7x + 3 ?

Нет общих делителей.

Может быть, мы сможем угадать ответ? Тогда проверь, правы ли мы… может нам повезет!

 

Предположим (2x+3)(x+1):

(2x+3)(x+1) = 2x ² + 2x + 3x + 3
= 2x ² + 5x + 3 (Близко, но НЕПРАВИЛЬНО )

Как насчет (2x+7)(x−1):

(2x+7)(x−1) = 2x ² − 2x + 7x − 7
= 2x ² + 5x − 7 (ОПЯТЬ НЕПРАВИЛЬНО)

Хорошо, как насчет (2x+9)(x−1):

(2x+9)(x−1) = 2x ² − 2x + 9x − 9
= 2x ² + 7x − 9 (ОПЯТЬ НЕПРАВИЛЬНО!)

Мы можем долго гадать , прежде чем нам повезет.

Это не очень хороший метод. Итак, давайте попробуем что-нибудь еще.

Метод для простых случаев

Есть метод для простых случаев.

С квадратным уравнением в такой форме:

Шаг 1 : Найдите два числа, при умножении которых получается ac (другими словами, a умножается на c), и сложите их, чтобы получить b.

Пример: 2x ² + 7x + 3

ac равно 2×3 = 6 , а b равно 7

Итак, мы хотим, чтобы два числа, умноженные вместе, дали 6, а в сумме 7

Фактически

6

5 6 и 1 сделать это (6×1=6 и 6+1=7)

Как найти 6 и 1?

Это помогает перечислить множители ac= 6 , а затем попытаться добавить некоторые из них, чтобы получить b= 7 .

Делители 6 включают 1, 2, 3 и 6.

Ага! 1 и 6 прибавляются к 7, и 6×1=6.

Шаг 2 : Перепишите середину этими числами:

Переписать 7x с 6 x и 1 x:

2x ² + 6x + x + 3

Шаг 3 : Разделите первые два и два последних члена на множители:

Первые два члена 2x ² + 6x делят на 2x(x+3)

Последние два члена x+3 фактически не меняются в этом случае

Итак, мы получаем:

2x(x+3) + (х+3)

Шаг 4 : Если мы сделали это правильно, наши два новых термина должны иметь ясно видимый общий делитель.

В этом случае мы видим, что (x+3) является общим для обоих терминов, так что мы можем пойти: 3) + 1(х+3)

И так: (2х+1)(х+3)

Готово!

Проверка: (2x+1)(x+3) = 2x ² + 6x + x + 3 = 2x ² + 7x + 3 (Да)

 

Давайте еще раз посмотрим шаги с 1 по 4, за один раз :

2x 2 + 7x + 3

2x 2 + 6x + x + 3

2x(x+3) + (x+3)

2х(х+3) + 1(х+3)

(2x+1)(x+3)

Хорошо, попробуем другой пример:

Пример: 6x

² + 5x − 6

Шаг 1 : ac равно 6×(−6) = −36 , а b равно 5

Перечислите положительные множители 0 90 ac = 3 90 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Одно из чисел должно быть отрицательным, чтобы получилось −36, поэтому, играя с несколькими разными числами, я обнаружил, что −4 и 9 работают красиво:

-4×9 = -36 и -4+9 = 5

 

Шаг 2 : Перепишите 5x с -4x и 9x:

6x ² − 4x + 9x − 6

Шаг 3 : Фактор первых двух и последних двух:

2x(3x − 2) + 3(3x − 2) 6

900: Общий множитель равен (3x — 2):

(2x+3)(3x — 2)

 

Проверка: (2x+3)(3x — 2) = 6x ² — 4x + 9x — 6 = 6x ² + 5x − 6 (Да)

 

Поиск этих чисел

Самое сложное — это найти два числа, которые при умножении дают ac, а при сложении — b.

Это отчасти догадки, и это помогает перечислить все факторы .

Вот еще один пример, который поможет вам:

Пример: ac = −120 и b = 7

Какие два числа умножить на −120 и добавить к 7 ?

Делители 120 (плюс и минус):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 и 120

Мы можно попробовать пары множителей (начать с середины!) и посмотреть, складываются ли они в 7:

• −10 x 12 = −120 и −10+12 = 2 (нет)
• -8 x 15 = -120 и -8+15 = 7 (ДА!)

Потренируйся

Вы можете практиковать простой квадратичный факторинг.

Почему фактор?

Что ж, одним из больших преимуществ факторинга является то, что мы можем найти корней квадратного уравнения (где уравнение равно нулю).

Все, что нам нужно сделать (после факторинга), это найти, где каждый из двух множителей становится равным нулю

Пример: каковы корни (нули) 6x

² + 5x — 6 ?

Мы уже знаем (сверху), что множители равны

(2x + 3)(3x − 2)

И мы можем вычислить, что

(2x + 3) равно нулю, когда x = −3/2

(3x — 2) равно нулю, когда x = 2/3

Таким образом, корни 6x ² + 5x — 6 таковы:

-3/2 и 2/3

Вот график 6x ² + 5x − 6, видите, где оно равно нулю?

Мы также можем проверить это с помощью небольшой арифметики:

При x = −3 2 : 6( −3 2 ) ² + 5( −3 2 = 9 0 3 − 6 ) 131 4 ) − 15 2 − 6 = 54 4 − 15 2 — 6 = 0 1 1

При x0 = 2

32 3 : 6( 2 3 ) ² + 5( 2 3 ) − 6 = 6×( 4 9 ) + 10 3 — 6 = 24 9 + 10 3 — 6 = 0

Графики

Мы также можем попробовать нарисовать квадратное уравнение. Увидев, где он равен нулю, мы можем получить подсказку.

Пример: (продолжение)

Начиная с 6x ² + 5x − 6 и только этот график:

корни:

−3/2 и 2/3

Что может помочь нам вычислить множители 2x + 3 и 3x − 2

Всегда проверяйте! Значение графика +0,67 на самом деле не может быть 2/3

.

Общее решение

Квадратные уравнения имеют симметрию, левое и правое зеркально отражены:

Средняя линия находится на −b/2 , и мы можем вычислить значение w с помощью следующих шагов:

• Во-первых, «а» должно быть 1, если нет, то разделить b и с на а:
• б = б/а, с = в/а
• середина = -b/2
• ш = √(середина ² — с)
• корня находятся в середине-w и середине+w

Пример:

x ² + 3x — 4

а = 1, б = 3 и с = -4

• a= 1, поэтому мы можем перейти к следующему шагу
.
• средний = − 3 2
• w = √[( 3 2 ) ² − (−4)] = √( 9 4 + 4) = √ 25 4 = 5 2
• корня находятся в — 3 2 — 5 2 = -4 и — 3 2 + 909130 1 5 0 1  

Итак, мы можем разложить х ² + 3х — 4 в (х + 4)(х — 1)

Квадратичная формула

Мы также можем использовать квадратную формулу:

Мы получаем два ответа x ₊ и x ₋ (один для случая «+», а другой для случая «-» в «±»), что дает нам следующее разложение:

а(х — х ₊ )(х — х _— )

Пример: каковы корни 6x

² + 5x — 6 ?

Подставим a=6, b=5 и c=-6 в формулу: ² − 4×6×(−6)) 2×6

= −5 ± √(25 + 144) 12

= 3 2 1 130 −1 ± 9 9 01 2

Два корня равны (−5 − 13) / 12 = −18/12 = −3/2

(Обратите внимание, что мы получили тот же ответ, что и при факторинге ранее. )

 

Теперь поместите эти значения в a(x − х ₊ )(x − x ₋ ):

6(x − 2/3)(x + 3/2)

Мы можем немного изменить это, чтобы упростить:

3(x − 2/ 3) × 2(x + 3/2) = (3x − 2)(2x + 3)

Готово!

362, 1203, 2262, 363, 1204, 2263, 2100, 2101, 2102, 2103, 2264, 2265

Факторинг — выпуск выпускных экзаменов по математике по математике

Факторизинг — раскрывающиеся скобки

В этом разделе показано, как проводить факторизацию, а также приведены примеры, примеры вопросов и видеоролики.

Скобки должны быть раскрыты следующим образом:
Для выражения формы a(b + c) расширенная версия будет ab + ac, т. е. умножьте член вне скобок на все, что внутри скобок (например, 2 x ( x + 3) = 2x² + 6x [помните, что x × x равно x²]).
Для выражения формы (a + b)(c + d) расширенная версия будет ac + ad + bc + bd, другими словами, все, что в первой скобке, должно быть умножено на все, что во второй.

Пример

Расширить (2x + 3)(x — 1):
(2x + 3)(x — 1)
= 2x² — 2x + 3x — 3
= 2x² + x — 3

6 Разложение на множители

Разложение на множители является обратным раскрытию скобок, то есть, например, 2x² + x — 3 преобразуется в форму (2x + 3)(x — 1). Это важный способ решения квадратных уравнений.
Первым шагом факторизации выражения является «удаление» любых общих факторов, которые есть у термов. Итак, если бы вас попросили разложить на множители x² + x, поскольку x входит в оба термина, вы бы написали x(x + 1) .

Факторизация квадратичных уравнений

В этом видео показано, как решить квадратное уравнение с помощью факторизации.

Не существует простого метода разложения квадратного выражения на множители, но после небольшой практики он станет проще. Однако один систематический метод заключается в следующем:

Пример

Разложить на множители 12y² — 20y + 3
= 12y² — 18y — 2y + 3    [здесь 20y разбито на два числа, кратное 36. 36 было выбран потому, что это произведение 12 и 3, двух других чисел].
Первые два члена, 12y² и -18y, оба делятся на 6y, поэтому «вычтите» этот множитель 6y.
6y(2y — 3) — 2y + 3 [мы можем это сделать, потому что 6y(2y — 3) равно 12y² — 18y]
Теперь приведем два последних выражения к выражению в скобках:
6y( 2y — 3) -1(2y — 3)
Ответ: (2y — 3)(6y — 1)

Пример

Факторизация x² + 2x — 8
Нам нужно разделить 2x на два числа которые умножаются, чтобы дать -8. Это должно быть 4 и -2.
x² + 4x — 2x — 8
x(x + 4) — 2x — 8
x(x + 4)- 2(x + 4)
(x + 4)(x — 2)

Однажды вы выяснить, что происходит, этот метод упрощает разложение любого выражения на множители. Стоит изучить эти примеры дальше, если вы не понимаете, что происходит.