Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. | ||||||
| Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Решение уравнений и неравенств. Системы уравнений. Формулы. Методы. / / Биквадратные уравнения. Решение биквадратных уравнений. Поделиться:
| |||||
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. | ||||||
Коды баннеров проекта DPVA.ru Консультации и техническая | Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. | |||||
Нахождение корней биквадратных уравнений.
Введите свой запрос:Биквадратное уравнение
Уравнение которое выглядит как ax4+bx2+c=0, называют Биквадратным уравнением. В нем х — неизвестная переменная. a,b,c -имеют различное числовое значение, где, а не равно нулю. Так же при х — стоящем в четвертой степени, коэффициент а — называется старшим, и х — стоящем во -второй степени, коэффициент b — называется вторым, с — является свободным членом.
Корнем биквадратного уравнения является значение х если при его использовании уравнение ax4+bx2+c превращается в ноль.
Действие с помощью которого находятся все корни уравнения или выясняется что таковых у него нет, называется — решением биквадратного уравнения.
Для решения биквадратного уравнения существует ряд действий, которые следует придерживаться.
Во-первых: Путем подстановки, где у=х2, решаемое биквадратное уравнение переводим в квадратное ау2+bу+с=0.
Во-вторых: В полученном уравнении необходимо найти корни.
В-третьих: Произвести замену введенного нами значения х2, путем приравнивания получившихся корней квадратного уравнения.
В- четвертых: После решения полученного уравнения, находим корни в биквадратном уравнении.
Для того чтобы все легче усвоилось, рассмотрим все описанное на нескольких примерах.
1) Дано уравнение 2х4 -19х
Производим замену х2=у, следовательно, х4=у2,
записываем получившееся 2у2-19у+9=0,
Мы получили полное неприведенное уравнение с коэффициентами а=2, b=-19,с=9.
Дискриминант уравнения: D = b2 — 4ac= (-19)2 — 4 * 2 * 9 = 361 — 72 = 289
У квадратного уравнения 2 корня, потому как D=289, что больше ноля.
Находим их.
y2 = (-b- √D)/2a =(-(-19)±√289)/(2*2) = (19-17)/4 = 2/4 = 1/2
Производим замену х1 =у1, и х2 =у2
х2=9 х2= 1/2
х1,2 =
√9
х1 = 3
х 2 =-3
х3.4 = + √(1/2)
х3 = 1/√2
х4= — 1/√2
Данное биквадратное уравнение имеет ответ: х1 = 3; х2 =-3; х3 = 1/√2; х4= — 1/√2 .
2) Рассмотрим уравнение х4 +2х2-8=0
Производим замену х2=у, следовательно, х4=у2,
записываем получившееся у2+2у-8=0,
Мы получили полное неприведенное уравнение с коэффициентами а=1, b=2,с=-8.
Дискриминант уравнения: D = b2 — 4ac=22 — 4 * 1 *(-8) = 4 + 32 = 36
У квадратного уравнения 2 корня, потому как D=36, что больше ноля. Находим их.
y2 = (-b- √D)/2a =(-2 — √36)/(2*1) = (-2-6)/2 = (-8)/2 = -4
Производим замену х2 =у1, и х2 =у2
х1,2=+
√2
х3 = 4 (решения нет)
Данное биквадратное уравнение имеет ответ: х1 =√2; х2 = -√2
Из данного уравнения мы можем сделать вывод. Если при решении получается корень со знаком минус или у меньше ноля, больше его не рассматриваем. т.к. он не подходит нам по условию.
Для приведения многочлена к стандартному виду, во многих случаях используют формулы сокращенного умножения. Они решаются с помощью открытия скобок.
бесконечная импульсная характеристика — есть ли способ рассчитать максимальное усиление биквада?
Позвольте мне называть коэффициенты знаменателя полюсными коэффициентами, а коэффициенты числителя нулевыми
коэффициентами. Это для тех, кто представляет себе, что полюса способны достигать пиковой величины, а нули способны уменьшать величину величины. Например, если бы биквад был всеполюсным (числитель = 1), максимальная величина могла бы быть найдена при фазовом угле полюса. Точно так же минимум для полного нуля (знаменатель = 1) минимум будет при нулевом фазовом угле. (Комплексно-сопряженные полюса и нули для реального фильтра, нам нужно взглянуть только на один.) Наличие как полюсов, так и нулей портит эту простоту, так как соседний ноль может снизить отклик полюса и позволить ему быть выше в другом месте.
Однако, если мы не найдем максимум на полюсном угле, он будет равен 0 или пи. Точно так же минимальной величиной будет минимум ответов при нулевом угле, 0 или pi.
Здесь я приведу немного кода Python, написанного для ясности (надеюсь). Получение полюса (для максимального) и нулевого (если вас интересует минимальное) местоположений — это вопрос поиска корней знаменателя и числителя соответственно. Мы возьмем здесь только случай «+», так как у нас есть комплексно-сопряженные числа для реальных фильтров:
импорт математики
импортировать cmath
# получить местоположение по квадратичной формуле
def quadraticToZplane(a, b, c):
return (-b + cmath.sqrt(b * b - 4 * a * c)) / (2 * a)
Для оценки отклика магнитуды при 0, пи и полюсном угле для максимальной магнитуды или нулевом угле для минимальной магнитуды функция evalMagZplane принимает положения нуля и полюса, положение на единичной окружности для оценки и коэффициент усиления . Величина отклика в плоскости z представляет собой произведение нулевых расстояний до точки оценки, деленное на произведение расстояний от полюсов до точки оценки, умноженное на коэффициент усиления фильтра (абсолютное значение a0, деленное на b0).
def evalMagZplane(zeroLoc, poleLoc, unitLoc, усиление):
magNumer = math.hypot(unitLoc.real - zeroLoc.real, unitLoc.imag - zeroLoc.imag)
magNumer *= math.hypot(unitLoc.real - zeroLoc.real, unitLoc.imag + zeroLoc.imag)
magDenom = math.hypot(unitLoc.real - poleLoc.real, unitLoc.imag - poleLoc.imag)
magDenom *= math.hypot(unitLoc.real - poleLoc.real, unitLoc.imag + poleLoc.imag)
вернуть magNumer / magDenom * усиление
Вот наше решение для максимального и минимального значений с использованием остальных; math.phase эквивалентно atan2( :
def biquadMaxMin(нули, полюса):
zeroLoc = quadraticToZplane(нули[0], нули[1], нули[2])
poleLoc = quadraticToZplane(полюса[0], полюса[1], полюса[2])
нулевой угол = cmath.phase (zeroLoc)
poleAngle = cmath.phase(poleLoc)
zeroUnitLoc = cmath.rect(1, нулевой угол)
poleUnitLoc = cmath.rect(1, poleAngle)
усиление = абс (нули [0] / полюса [0])
mag0 = evalMagZplane(zeroLoc, poleLoc, 1, усиление)
magPi = evalMagZplane(zeroLoc, poleLoc, -1, усиление)
magZero = evalMagZplane(zeroLoc, poleLoc, zeroUnitLoc, усиление)
magPole = evalMagZplane(zeroLoc, poleLoc, poleUnitLoc, усиление)
# max соответствует полюсному углу, или 0, или пи
magMax = max(mag0, magPole, magPi)
# min находится под нулевым углом, или 0, или pi
magMin = мин (mag0, magZero, magPi)
возврат (magMax, magMin)
Простой тест с биквадратичными коэффициентами для пикового фильтра, установленного на усиление +7 дБ.
Таким образом, ожидается максимум 7 дБ, минимум 0 дБ (преобразование в дБ в операторе печати, округление, чтобы сделать его красивее):
# Пиковый фильтр +7 дБ
нули = [1,0473669305387907, -1,4557390814245152, 0,8761559204661808]
полюса = [1.0, -1.4557390814245152, 0.9235228510049719]
мм = biquadMaxMin(нули, полюса)
print 'max = {} dB, min = {} dB'.format(round(20 * math.log10(mm[0]), 2), round(20 * math.log10(mm[1]), 2) )
макс. = 7,0 дБ, мин. = -0,0 дБ
Я улучшал старый код построения графика на своем веб-сайте, чтобы сделать так, чтобы максимум был истинным максимумом, а не просто максимальным количеством точек, которые я выбрал для построения. Я нашел эту страницу, она не ответила на мой вопрос, поэтому я подумал об этом несколько минут и придумал это. Я ожидаю, что изучение реальных нулевых и полюсных положений укажет, следует ли решать для полюсного угла, 0 или pi, но я не уверен навскидку, будет ли это вычислительным улучшением по сравнению с решением всех трех и получением максимума.
Я буду доступен только после праздников, так что оставлю это в качестве упражнения для всех, кому интересно.
бесконечная импульсная характеристика — Как я могу доказать устойчивость биквадратичного фильтра с ненулевыми начальными условиями
спросил
Изменено 6 лет, 6 месяцев назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$
Итак, ситуация такова, что у меня есть биквад DFII с некоторыми коэффициентами фильтра:
\начать{выравнивание} w[n] &= x[n] — a_1*w[n-1] — a_2*w[n-2]\\ y[n] &= b_0*w[n] + b_1*w[n-1] + b_2*w[n-2] \конец{выравнивание}
Во время работы фильтра я меняю коэффициенты и считаю, что мой фильтр работает нестабильно.
Я хочу встроить проверку, что он будет стабильным. Сейчас я просто проверяю, лежат ли полюса внутри единичного круга, проверяя свои коэффициенты $a_n$. Но это не работает. Я считаю, что проблема в том, что у меня есть ненулевые значения в моих состояниях (т.е. $w[-1]$ и $w[-2]$), и моя проверка стабильности даже не учитывает это. Я не могу сбросить свои состояния во время работы фильтра без звукового щелчка.
Вопросы: Как проверить устойчивость фильтра с ненулевыми начальными условиями?
У меня есть пара идей для решений:
Просто возьмите $\mathcal Z$-преобразование импульсной характеристики (части обратной связи), которая выглядит примерно так: $$ ч [п] = \begin{случаи} 0 и п < 0\\ 1 - а_1*К_1 - а_2*К_2 & n = 0\\ 0 - a_1*h[0] - a_2*K_1 & n = 1\\ - a_1*h[n-1] - a_2*h[n-2] & n \ge 2 \end{случаи} $$ 9{\infty}\lvert h[n]\rvert < \infty $$
Я на правильном пути? Я не могу найти решение для любого из этих методов.
- бесконечная импульсная характеристика
- z-преобразование
- биквадрат
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Сложная задача. Не уверен, что смогу ответить на этот вопрос, но вот несколько советов:
- Direct Form II — худший биквад для обработки звука. Передаточная функция между входом и состоянием задается как раз полюсами. Усиление может быть действительно большим, я видел усиление, превышающее 100 дБ для разумных аудиофильтров.
- Это делает переключение Direct Form II в реальном времени очень сложным. Величина вашего состояния может измениться на 10 дБ при, казалось бы, небольших общих изменениях фильтра. Это создает массивные клики и щелчки, а иногда и нестабильные фильтры.
- Гораздо лучшим выбором является прямая форма I или транспонированная форма II.
Для этих типов фильтров переменные состояния всегда имеют тот же порядок величины, что и входные и выходные. Гораздо меньше вероятность громких хлопков и щелчков или нестабильности - Не существует «надежного» способа обновления БИХ-фильтра в режиме реального времени без возможных слышимых артефактов. Некоторые потенциальные методы запускают два фильтра параллельно и медленно затухают выходной сигнал или очень медленно обновляют положение полюса и нуля с очень маленькими шагами во времени
- Если вам необходимо обновлять в режиме реального времени, убедитесь, что вы не обновляете один коэффициент за раз, а в идеале оба полюса и нули за один раз. По крайней мере, делайте полюса все по одному (т.е. всегда обновляйте a1 и a2 одновременно)
- Сначала обновить более низкое усиление. Если секция полюсов нового фильтра имеет меньшее усиление, сначала обновите полюса, а затем нули. Если секция полюсов фильтра имеет более высокий коэффициент усиления, сначала обновите нули, а затем полюса 90 060.
Для этих типов фильтров переменные состояния всегда имеют тот же порядок величины, что и входные и выходные. Гораздо меньше вероятность громких хлопков и щелчков или нестабильности