Как решать дробные степени: Дробная степень числа. Действия с дробными степенями

Определение степени с дробным показателем. Преобразования выражений, содержащих степень с дробным показателем 9 класс

Тема 3: Степень. Корень n-ой степени

Урок 3: Определение степени с дробным показателем. Преобразования выражений, содержащих степень с дробным показателем

• Видео
• Тренажер
• Теория

Заметили ошибку?

Тема 16.

Определение степени с дробным показателем и ее свойства. Преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем.

Мы знаем, какой смысл имеет выражение aⁿ, где a ≠ 0, если показатель n – целое число. Например, (-2)⁵ означает произведение пяти множителей, каждый из которых равен (-2). А степень 2^-5 означает число, обратное степени 2⁵. Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число.

Из определения арифметического корня следует, что если m – целое число, n – натуральное и m делится на n, то при a > 0 верно равенство amn=amn.

Например, 5217=5217=53=125,

так как 537=521.

Определение: Если a – положительное число, mn – дробное число (m – целое, n – натуральное), то

amn=amn.

Степень с основанием, равным 0, определяется только для положительного дробного показателя: если mn – дробное положительное число (m и n – натуральные), то 0mn=0.

Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как -234 или -813 не имеют смысла.

Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так: 34;68;912 и т. д

Значение степени с дробным показателем

r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: представляя r в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат. Например,

268=268=234=234.

В общем случае это выглядит так:

пусть a > 0, m-целое, n и k-натуральные числа. Пользуясь определением степени с дробным показателем и основным свойством корня, получим:

amknk=amknk=amn=amn

Свойства степени с рациональным показателем.

Известные нам свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем.

Для любого a > 0 и любых рациональных чисел p и q:

1. apaq=ap+q
2. ap:aq=ap-q
3. apq=apq

Для любых a

> 0 и b > 0 и любого рационального числа p:

4. abp=apbp
5. abp=apbp

Из первого свойства следует, что для любого a > 0 и любого рационального p

a-p=1ap

Например,

27∙6413=2713∙6413=3∙4=12

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Математика: Справ. материалы

Математика: Справ. материалы

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1988.— 416 с. В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и начал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Оглавление СЛОВО К УЧАЩИМСЯ ГЛАВА I. ЧИСЛА § 1. Натуральные числа 2. Арифметические действия над натуральными числами. 3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре. Переменные. § 2. Рациональные числа 10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа 21. Действительные числа. Числовая прямая. 22 Обозначения некоторых числовых множеств. 23. Сравнение действительных чисел. 25. Числовые промежутки. 26. Модуль действительного числа. 27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой. 28. Правила действий над действительными числами. 29. Свойства арифметических действий над действительными числами. 30. Пропорции. 31. Целая часть числа. Дробная часть числа. 32. Степень с натуральным показателем. 33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем. 34. Стандартный вид положительного действительного числа. 35. Определение арифметического корня. 36. Корень нечетной степени из отрицательного числа. 37. Степень с дробным показателем. 38. Свойства степеней с рациональными показателями. 39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности. 40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку. 41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа. 42. Понятие о степени с иррациональным показателем. 43. Свойства степеней с действительными показателями. § 4. Комплексные числа 45. Арифметические операции над комплексными числами. 46. Алгебраическая форма комплексного числа. 47. Отыскание комплексных корней уравнений. ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 49. 3. 112. Построение графика функции y = f(x-m)+n 113. График квадратичной функции. 114. Способы построения графика квадратичной функции 115. Построение графика функции y = f(kx). 116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций. 117. График гармонического колебания ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма 119. Определение логарифма положительного числа по данному основанию. 120. Свойства логарифмов. 121. Переход к новому основанию логарифма. 122. Логарифмирование и потенцирование. 123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений 125. Формулы сложения и вычитания аргументов. 126. Формулы приведения. 127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 128. Формулы двойного угла. 129. Формулы понижения степени. 130. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. 131. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. 132. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + a). 133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной 135. Равносильность уравнений. 136. Линейные уравнения. 137. Квадратные уравнения. 138. Неполные квадратные уравнения. 139. Теорема Виета. 140. Системы и совокупности уравнений. 141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. 142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни. 143. Уравнения с переменной в знаменателе. 144. Область определения уравнения. 145. Рациональные уравнения. 146. Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения его левой части на множители. 147. Решение уравнений методом введения новой переменной. 148. Биквадратные уравнения. 149. Решение задач с помощью составления уравнений. 150. Иррациональные уравнения. 151. Показательные уравнения. 152. Логарифмические уравнения. 153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений. 154. Простейшие тригонометрические уравнения. 155. Методы решения тригонометрических уравнений. 156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений). 157. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений). 158. Графическое решение уравнений. 159. Уравнения с параметром. § 15. Уравнения с двумя переменными 161. График уравнения с двумя переменными. 162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. § 16. Системы уравнений 164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. 165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения. 167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. 168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления. 170. Системы показательных и логарифмических уравнений. 171. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными. 172. Системы трех уравнений с тремя переменными. 173. Решение задач с помощью составления систем уравнений. Глава VI. НЕРАВЕНСТВА § 17. Решение неравенств с переменной 175. Графическое решение неравенств с одной переменной. 176. Линейные неравенства с одной переменной. 177. Системы неравенств с одной переменной. 178. Совокупность неравенств с одной переменной. 179. Дробно-линейные неравенства. 180. Неравенства второй степени. 181. Графическое решение неравенств второй степени. 182. Неравенства с модулями. 183. Решение рациональных неравенств методом промежутков. 184. Показательные неравенства. 185. Логарифмические неравенства. 186. Иррациональные неравенства. 187. Решение тригонометрических неравенств. 188. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. § 18. Доказательство неравенств 190. Синтетический метод доказательства неравенств. 191. Доказательство неравенств методом от противного. 192. Использование неравенств при решении уравнений. ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности 194. Способы задания последовательности. 195. Возрастание и убывание последовательности. 196. Определение арифметической прогрессии. 197. Свойства арифметической прогрессии 198. Определение геометрической прогрессии. 199. Свойства геометрической прогрессии. 200. Понятие о пределе последовательности. 201. Вычисление пределов последовательностей. 202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| § 20. Предел функции 204. Вычисление пределов функции при х->оо. 205. Предел функции в точке. Непрерывные функции. 206. Вертикальная асимптота. 207. Вычисление пределов функций в точке. § 21. Производная и ее применения 209. Определение производной. 210. Формулы дифференцирования. Таблица производных. 211. Дифференцирование суммы, произведения, частного. 212. Сложная функция и ее дифференцирование. 213. Физический смысл производной. 214. Вторая производная и ее физический смысл. 215. Касательная к графику функции. 216. Применение производной к исследованию функций на монотонность. 217. Применение производной к исследованию функций на экстремум. 218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. 219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке. 220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин. 221. Применение производной для доказательства тождеств. 222. Применение производной для доказательства неравенств. 223. Общая схема построения графика функции. § 22. Первообразная и интеграл 225. Таблица первообразных. 226. Правила вычисления первообразных. 227. Интеграл. 228. Связь между интегралов и первообразной (формула Ньютона—Лейбница). 229. Правила вычисления интегралов. 230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур. ГЕОМЕТРИЯ. ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ 2. Точка. Прямая. 3. Определения. Аксиомы. Теоремы. § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур 5. Луч. 6. Окружность. Круг. 7. Полуплоскость. 8. Угол. Градусная мера угла. 9. Смежные и вертикальные углы. 10. Центральные и вписанные углы. 11. Параллельные прямые. 12. Признаки параллельности прямых. 13. Перпендикулярные прямые. 14. Касательная к окружности. 15. Треугольники. 16. Равенство треугольников. 17. Равнобедренный треугольник. 18. Сумма углов треугольника. 19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. 20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника. § 3. Геометрические построения на плоскости 22. Простейшие задачи на построение. 23. Геометрическое место точек на плоскости. § 4. Четырехугольники 25. Параллелограмм. 26. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. 27. Трапеция. § 5. Многоугольники 29. Выпуклые многоугольники. 30. Правильные многоугольники. 31. Длина окружности. § 6. Решение треугольников 33. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. 35. Решение треугольников. § 7. Площади плоских фигур 37. Площади многоугольников. 38. Площади подобных фигур. 39. Площадь круга. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 9. Параллельность прямых и плоскостей 42. Параллельность прямой и плоскости. 43. Параллельные плоскости. § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. 46. Перпендикулярность плоскостей. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники 48. Многогранные углы. Многогранники. 49. Призма. Параллелепипед. Куб. 50. Пираприда. 51. Правильные многогранники. § 12. Тела вращения 53. Конус. 54. Шар. § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости 56. Ортогональное проектирование. 57. Геометрическое место точек в пространстве. § 14. Объемы тел 59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды. 60. Объем цилиндра и конуса. 61. Общая формула объемов тел вращения. § 15. Площади поверхностей тел 63. Понятие площади поверхности. 64. Площади поверхностей тел вращения. ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве 66. Координаты середины отрезка. § 17. Уравнения фигур на плоскости 68. Пересечение двух окружностей. 69. Уравнение прямой. 70. Пересечение прямой и окружности. § 18. Уравнения фигур в пространстве 72. Уравнение сферы. 73. Взаимное расположение сферы и плоскости. 74. Пересечение двух сфер. ГЛАВА V. РЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР 76. Понятие движения. § 20. Подобие фигур 78. Подобные фигуры. ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ 80. Понятие вектора. 81. Координаты вектора. § 22. Операции над векторами 83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. 84. Скалярное произведение векторов. ПРИЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЯ

Дробные показатели — правила, метод, упрощение, примеры

Если показатель степени числа является дробью, он называется дробным показателем . Экспоненты показывают, сколько раз число повторяется при умножении. Например, 4 ² = 4×4 = 16. Здесь показатель степени 2 — это целое число. В числе, скажем, x ^1/y , x — основание, а 1/y — дробный показатель степени.

В этой статье мы обсудим концепцию дробных показателей и их правила, а также узнаем, как их решать. Мы также изучим отрицательные дробные показатели и решим различные примеры для лучшего понимания концепции.

1.	Что такое дробные показатели?
2.	Правила дробных показателей
3.	Упрощение дробных показателей
4.	Отрицательные дробные показатели
5.	Часто задаваемые вопросы о дробных показателях

Что такое дробные показатели?

Дробные экспоненты — это способы совместного представления степеней и корней. В любом общем экспоненциальном выражении формы a ^b а является основанием, а b является показателем степени. Когда b дается в дробной форме, он известен как дробный показатель степени. Вот несколько примеров дробных показателей: 2 ^1/2 , 3 ^2/3 и т. д. Общая форма дробного показателя — x ^m/n , где x — основание, а m/n — показатель степени. .

Посмотрите на приведенный ниже рисунок, чтобы понять, как представлены дробные степени.

Ниже приведены некоторые примеры широко используемых дробных показателей:

Показатель степени	Имя показателя степени	Индикация
1/2	Квадратный корень	a 1/2 = √a
1/3	Кубический корень	a 1/3 = 3 √a
1/4	Четвертый корень	а 1/4 = 4 √а

Правила дробных показателей

Существуют определенные правила, которые помогут нам легко умножать или делить числа с дробными показателями. Многие люди знакомы с целыми показателями, но когда дело доходит до дробных показателей, они в конечном итоге делают ошибки, которых можно избежать, если мы будем следовать этим правилам дробных показателей.

• Правило 1: a ^1/m × a ^1/n = a ^{(1/m + 1/n)}
• Правило 2: a ^1/м ÷ a ^1/n = a ^{(1/m — 1/n)}
• Правило 3: a ^1/м × b ^1/м = (ab) ^1/м
• Правило 4: a ^1/м ÷ b ^1/м = (a÷b) ^1/м
• Правило 5: a ^-m/n = (1/a) ^п/п

Эти правила очень полезны при упрощении дробных показателей. Давайте теперь научимся упрощать дробные показатели.

Упрощение дробных показателей

Упрощение дробных показателей можно понять двумя способами: умножением и делением. Он включает в себя приведение выражения или показателя степени к сокращенной форме, которую легко понять. Например, 9 ^1/2 можно сократить до 3. Давайте разберемся с упрощением дробных показателей с помощью некоторых примеров.

1) Решите ³ √8 = 8 ^1/3

Мы знаем, что 8 можно представить в виде куба числа 2, который задается как 8 = 2 ³ . Подставляя значение 8 в данном примере, мы получаем (2 ³ ) ^1/3 = 2, так как произведение показателей дает 3×1/3=1. ∴ ³ √8=8 ^1/3 =2.

2) Упростить (64/125) ^2/3

В этом примере и основание, и показатель степени имеют дробную форму. 64 можно представить в виде куба 4, а 125 можно представить в виде куба 5. Они задаются как 64=4·9. 0005 3 и 125=5 ³ . Подставляя их значения в данном примере, получаем, (4 ³ /5 ³ ) ^2/3 . 3 является общей степенью для обоих чисел, поэтому (4 ³ /5 ³ ) ^2/3 можно записать как ((4/5) ³ ) ^2/3 , что равно до (4/5) ² как 3×2/3=2. Теперь у нас есть (4/5) ² , что равно 16/25. Следовательно, (64/125) ^2/3 = 16/25.

Умножение дробных степеней с одинаковым основанием

Чтобы умножить дробные степени с одним и тем же основанием, мы должны сложить степени и записать сумму по общему основанию. Общее правило для умножения показателей с одинаковым основанием: ^1/m × ^1/n = a ^{(1/m + 1/n)} . Например, чтобы умножить 2 ^2/3 и 2 ^3/4 , мы должны сначала сложить показатели степени. Итак, 2/3 + 3/4 = 17/12. Следовательно, 2 ^2/3 × 2 ^3/4 = 2 ^17/12 .

Как делить дробные степени?

Деление дробных показателей можно разделить на два типа.

• Деление дробных показателей с разными степенями, но одинаковыми основаниями
• Деление дробных показателей с одинаковыми степенями, но разными основаниями

Когда мы делим дробные показатели с разными степенями, но одинаковыми основаниями, мы выражаем это как ^1/m ÷ a ^1/n = a ^{(1/m — 1/n)} . Здесь мы должны вычесть степени и записать разницу в общем основании. Например, 5 ^3/4 ÷ 5 ^1/2 = 5 ^(3/4-1/2) , что равно 5 ^1/4 .

Когда мы делим дробные степени с одинаковыми степенями, но разными основаниями, мы выражаем это как ^1/m ÷ b ^1/m = (a÷b) ^1/m . Здесь мы делим основания в заданной последовательности и записываем на ней общую степень. Например, 9 ^5/6 ÷ 3 ^5/6 = (9/3) ^5/6 , что равно 3 ^5/6 .

Отрицательные дробные показатели

Отрицательные дробные показатели аналогичны рациональным показателям. В этом случае наряду с дробным показателем степени стоит отрицательный знак степени. Например, 2 ^-1/2 . Чтобы решить отрицательные показатели, мы должны применить правила показателей, которые говорят, что ^-m = 1/a ^m . Это означает, что перед дальнейшим упрощением выражения первым делом нужно взять обратную величину основания в данной степени без отрицательного знака. Общее правило для отрицательных дробных показателей — ^-м/н = (1/а) ^м/н .

Например, упростим 343 ^-1/3 . Здесь база 343 и мощность -1/3. Первый шаг состоит в том, чтобы взять обратную величину основания, которая равна 1/343, и удалить отрицательный знак из степени. Теперь у нас есть (1/343) ^1/3 . Поскольку мы знаем, что 343 — это третья степень числа 7, поскольку 7 ³ = 343, мы можем переписать выражение как 1/(7 ³ ) ^1/3 . Поскольку 3 и 1/3 компенсируют друг друга, окончательный ответ равен 1/7.

Связанные статьи

• Экспоненты
• Нецелочисленные рациональные показатели
• Иррациональные Показатели
• Экспоненциальные члены
• Отрицательные экспоненты

Часто задаваемые вопросы о дробных показателях

Что означают дробные показатели степени?

Дробные показатели степени означают, что степень числа выражена дробью, а не целым числом. Например, в ^м/н основание равно «а», а степень равна m/n, что является дробью.

Какое правило для дробных показателей?

В случае дробных показателей степени числитель равен степени, а знаменатель — корню. Это общее правило дробных показателей. Мы можем записать x ^m/n как ⁿ √(x ^m ).

Что делать с отрицательными дробными показателями?

Если показатель степени указан отрицательно, это означает, что мы должны взять обратное основание и удалить знак минус из степени. Например, 2 ^-1/2 = (1/2) ^1/2 .

Как решать дробные показатели?

Чтобы решить дробные показатели степени, мы используем законы показателей степени или правила степени. Правила дробных показателей приведены ниже:

• Правило 1: a ^1/m × a ^1/n = a ^{(1/m + 1/n)}
• Правило 2: a ^1/м ÷ a ^1/n = a ^{(1/m — 1/n)}
• Правило 3: а ^1/м × b ^1/м = (ab) ^1/м
• Правило 4: a ^1/м ÷ b ^1/м = (a÷b) ^1/м
• Правило 5: a ^-m/n = (1/a) ^m/n

Как добавить дробные степени?

Нет правила сложения дробных степеней. Мы можем добавить их, только упростив полномочия, если это возможно. Например, 9 ^1/2 + 125 ^1/3 = 3 + 5 = 8,

Как делить дробные степени?

Деление дробных показателей с одинаковым основанием и разными степенями выполняется путем вычитания степеней, а деление с разными основаниями и одинаковыми степенями выполняется путем деления сначала оснований и написания общей степени в ответе.

Работа с дробными показателями — Криста Кинг Математика

Как дробные показатели связаны с корнями

В этом уроке мы будем работать как с положительными, так и с отрицательными дробными показателями. Помните, когда ???a??? является положительным действительным числом, оба эти уравнения верны: 9а}???

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Преобразование дробных показателей в корни и наоборот

Пройти курс

Хотите узнать больше об Алгебре 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Узнать больше 9{\ гидроразрыва {1} {2}}???

Возведение числа в степень ???1/2??? это то же самое, что взять квадратный корень из этого значения, поэтому мы получаем

???\sqrt{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} }}???

???\sqrt{\frac{1}{216}}???

???\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{216}}???

???\frac{1}{\sqrt{36 \cdot 6}}???

???\frac{1}{\sqrt{36} \sqrt{6}}???

???\frac{1}{6\sqrt{6}}???

Нам нужно рационализировать знаменатель.