Как решать примеры с степенями с разными основаниями: Свойства степеней, действия со степенями

Содержание

Умножение степеней, деление, таблица

Что такое степень числа

Алгебра дает нам такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

  • an — степень, где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, an= a·a·a·a...·a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число — она решается довольно просто:

2 — основание степени

3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе — вот несколько подходящих:

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Неважно в какой класс перешел ребенок — таблица пригодится всегда.

Число

Вторая степень

Третья степень

1

1

1

2

4

8

3

9

27

4

16

64

5

25

125

6

36

216

7

49

343

8

64

512

9

81

729

10

100

1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления.

Всего их пять штук и ниже мы их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

an · am = am+n

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

 

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

(an)m = an· m 

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень.

Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)n = an · bn

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = an : bn

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Умножение чисел с одинаковыми степенями

Для того, чтобы произвести умножение степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным:

an · bn = (a · b)n , где

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

  • a5 · b5 = (a·a·a·a·a) ·(b·b·b·b·b) = (ab)·(ab)·(ab)·(ab)·(ab) = (ab)
    5
  • 35 · 45 = (3·4)5 = 125 = 248 832
  • 16a2 = 42·a2 = (4a)2

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Степени с одинаковыми основаниями умножаются путём сложения показателей степеней:

am · an= am+n, где

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа

  • 35 · 32 = 35+3 = 38 = 6561
  • 28 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048 

Умножение чисел с разными степенями

Если степени разные, но основания одинаковые, то действия производим согласно правилу, описанному выше. А именно:

an · bn = (a · b)n

Если же разные и степени, и основания и одно из оснований не преобразуется в число с той же степенью, как у другого числа (как здесь: 28 · 81= 28 · 23 = 2

11 = 2048), то производим возведение в степень каждого числа и лишь затем умножаем:

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Деление чисел с одинаковыми степенями

При делении степеней с одинаковыми показателями результат частного этих чисел возводится в степень:

an : bn = (a : b)n, где 

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Деление чисел со степенями

Если степени разные, но основания одинаковые, то действия производим согласно правилу, описанному выше. А именно:



Если же разные и степени, и основания, то возводим в степень каждое число и только потом умножаем:

Произведение степеней с разными основаниями. Умножение и деление чисел со степенями. Степень с иррациональным показателем

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1


Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

  • Упростить выражение.
    b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • Представить в виде степени.
    6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
  • Представить в виде степени.
    (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

Свойство № 2


Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
  • Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    T = 3 8 − 4

    Ответ: t = 3 4 = 81
  • Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    • Пример. Упростить выражение.
      4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
    • Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
      = = = = = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

      Важно!

      Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

      Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

      Будьте внимательны!

      Свойство № 3


      Возведение степени в степень

      Запомните!

      При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

      (a n) m = a n · m , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.


      Свойства 4


      Степень произведения

      Запомните!

      При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

      (a · b) n = a n · b n , где «a », «b » — любые рациональные числа; «n » — любое натуральное число.

      • Пример 1.
        (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
      • Пример 2.
        (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6

      Важно!

      Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

      (a n · b n)= (a · b) n

      То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

      • Пример. Вычислить.
        2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
      • Пример. Вычислить.
        0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

      В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

      Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

      Пример возведения в степень десятичной дроби.

      4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

      Свойства 5


      Степень частного (дроби)

      Запомните!

      Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

      (a: b) n = a n: b n , где «a », «b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

      • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
        (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

      Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Каждая арифметическая операция порою становится слишком громоздкой для записи и её стараются упростить. Когда-то так было и с операцией сложения. Людям было необходимо проводить многократное однотипное сложение, например, посчитать стоимость ста персидских ковров, стоимость которого составляет 3 золотые монеты за каждый. 3. В остальном, когда различные основания и показатели, произвести полное умножение нельзя. Иногда можно частично упростить или прибегнуть к помощи вычислительной техники.

    Понятие степени в математике вводится еще в 7 классе на уроке алгебры. И в дальнейшем на протяжении всего курса изучения математики это понятие активно используется в различных своих видах. Степени - достаточно трудная тема, требующая запоминания значений и умения правильно и быстро сосчитать. Для более быстрой и качественной работы со степенями математики придумали свойства степени. Они помогают сократить большие вычисления, преобразовать огромный пример в одно число в какой-либо степени. Свойств не так уж и много, и все они легко запоминаются и применяются на практике. Поэтому в статье рассмотрены основные свойства степени, а также то, где они применяются.

    Свойства степени

    Мы рассмотрим 12 свойств степени, в том числе и свойства степеней с одинаковыми основаниями, и к каждому свойству приведем пример. Каждое из этих свойств поможет вам быстрее решать задания со степенями, а так же спасет вас от многочисленных вычислительных ошибок.

    1-е свойство.

    Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.

    2-е свойство.

    3-е свойство.

    Нужно помнить, что это свойство можно применять только при произведении чисел, при сумме оно не работает! И нельзя забывать, что это, и следующее, свойства применяются только к степеням с одинаковыми основаниями.

    4-е свойство.

    Если в знаменателе число возведено в отрицательную степень, то при вычитании степень знаменателя берется в скобки для правильной замены знака при дальнейших вычислениях.

    Свойство работает только при делении, при вычитании не применяется!

    5-е свойство.

    6-е свойство.

    Это свойство можно применить и в обратную сторону. Единица деленная на число в какой-то степени есть это число в минусовой степени.

    7-е свойство.

    Это свойство нельзя применять к сумме и разности! При возведении в степень суммы или разности используются формулы сокращенного умножения, а не свойства степени.

    8-е свойство.

    9-е свойство.

    Это свойство работает для любой дробной степени с числителем, равным единице, формула будет та же, только степень корня будет меняться в зависимости от знаменателя степени.

    Также это свойство часто используют в обратном порядке. Корень любой степени из числа можно представить, как это число в степени единица деленная на степень корня. Это свойство очень полезно в случаях, если корень из числа не извлекается.

    10-е свойство.

    Это свойство работает не только с квадратным корнем и второй степенью. Если степень корня и степень, в которую возводят этот корень, совпадают, то ответом будет подкоренное выражение.

    11-е свойство.

    Это свойство нужно уметь вовремя увидеть при решении, чтобы избавить себя от огромных вычислений.

    12-е свойство.

    Каждое из этих свойств не раз встретится вам в заданиях, оно может быть дано в чистом виде, а может требовать некоторых преобразований и применения других формул. Поэтому для правильного решения мало знать только свойства, нужно практиковаться и подключать остальные математические знания.

    Применение степеней и их свойств

    Они активно применяются в алгебре и геометрии. Степени в математике имеют отдельное, важное место. С их помощью решаются показательные уравнения и неравенства, а так же степенями часто усложняют уравнения и примеры, относящиеся к другим разделам математики. Степени помогают избежать больших и долгих расчетов, степени легче сокращать и вычислять. Но для работы с большими степенями, либо со степенями больших чисел, нужно знать не только свойства степени, а грамотно работать и с основаниями, уметь их разложить, чтобы облегчить себе задачу. Для удобства следует знать еще и значение чисел, возведенных в степень. Это сократит ваше время при решении, исключив необходимость долгих вычислений.

    Особую роль понятие степени играет в логарифмах. Так как логарифм, по сути своей, и есть степень числа.

    Формулы сокращенного умножения - еще один пример использования степеней. В них нельзя применять свойства степеней, они раскладываются по особым правилам, но в каждой формуле сокращенного умножения неизменно присутствуют степени.

    Так же степени активно используются в физике и информатике. Все переводы в систему СИ производятся с помощью степеней, а в дальнейшем при решении задач применяются свойства степени. В информатике активно используются степени двойки, для удобства счета и упрощения восприятия чисел. Дальнейшие расчеты по переводам единиц измерения или же расчеты задач, так же, как и в физике, происходят с использованием свойств степени.

    Еще степени очень полезны в астрономии, там редко можно встретить применение свойств степени, но сами степени активно используются для сокращения записи различных величин и расстояний.

    Степени применяют и в обычной жизни, при расчетах площадей, объемов, расстояний.

    С помощью степеней записывают очень большие и очень маленькие величины в любых сферах науки.

    Показательные уравнения и неравенства

    Особое место свойства степени занимают именно в показательных уравнениях и неравенствах. Эти задания очень часто встречаются, как в школьном курсе, так и на экзаменах. Все они решаются за счет применения свойств степени. Неизвестное всегда находится в самой степени, поэтому зная все свойства, решить такое уравнение или неравенство не составит труда.

    Сложение и вычитание степеней

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:
    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:
    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:
    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

    Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

    Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
    a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
    любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

    При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .

    Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac = y$.

    И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$. 3$

    Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

    Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

    1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

    2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    Свойства степени

    Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

    Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

    Свойство № 1


    Произведение степеней

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

    a m · a n = a m + n , где « a » - любое число, а « m », « n » - любые натуральные числа.

    Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

    • Упростить выражение.
      b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
    • Представить в виде степени.
      6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
    • Представить в виде степени.
      (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
    • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

      Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
      посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

      Свойство № 2


      Частное степеней

      При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    • Записать частное в виде степени
      (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
    • Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    Пример. Упростить выражение.
    4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3


    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » - любое число, а « m », « n » - любые натуральные числа.

    Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Как умножать степени

    Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие - нет? Как число умножить на степень?

    В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

    1) если степени имеют одинаковые основания;

    2) если степени имеют одинаковые показатели.

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели - сложить:

    При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

    Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

    Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней - учитывают:

    При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

    В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

    Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом - умножение:

    Умножение степеней с одинаковыми основаниями

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и сформулируем теорему о справедливости равенства . Затем приведем примеры ее применения на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач.

    Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

    Урок: Умножение степеней с одинаковыми основаниями (формула )

    1.

    Основные определения

    Основные определения:

    n — показатель степени,

    n -ая степень числа.

    2. Формулировка теоремы 1

    Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

    По-иному: если а – любое число; n и k натуральные числа, то:

    Отсюда правило 1:

    3. Разъясняющие задачи

    Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №1. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k.

    4. Доказательство теоремы 1

    Дано число а – любое; числа n и k – натуральные. Доказать:

    Доказательство основано на определении степени.

    5. Решение примеров с помощью теоремы 1

    Пример 1: Представьте в виде степени.

    Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 1.

    ж)

    6. Обобщение теоремы 1

    Здесь использовано обобщение:

    7.

    Решение примеров с помощью обобщения теоремы 1

    8. Решение различных задач с помощью теоремы 1

    Пример 2: Вычислите (можно использовать таблицу основных степеней).

    а) (по таблице)

    б)

    Пример 3: Запишите в виде степени с основанием 2.

    а)

    Пример 4: Определите знак числа:

    , а – отрицательное, так как показатель степени при -13 нечетный.

    Пример 5: Замените (·) степенью числа с основанием r:

    Имеем , то есть .

    9. Подведение итогов

    1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

    1. Школьный помощник (Источник).

    1. Представьте в виде степени:

    а) б) в) г) д)

    3. Запишите в виде степени с основанием 2:

    4. Определите знак числа:

    а)

    5. Замените (·) степенью числа с основанием r:

    а) r 4 · (·) = r 15 ; б) (·) · r 5 = r 6

    Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

    На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.

    Напоминание основных определений и теорем

    Здесь a — основание степени,

    n -ая степень числа.

    Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

    Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n > k справедливо равенство:

    При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

    Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

    Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями , на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями .

    Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

    Рассмотрим следующие примеры:

    Распишем выражения по определению степени.

    Вывод: из примеров можно заметить, что , но это еще нужно доказать. Сформулируем теорему и докажем ее в общем случае, то есть для любых а и b и любого натурального n.

    Формулировка и доказательство теоремы 4

    Для любых чисел а и b и любого натурального n справедливо равенство:

    Доказательство теоремы 4.

    По определению степени:

    Итак, мы доказали, что .

    Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

    Формулировка и доказательство теоремы 5

    Сформулируем теорему для деления степеней с одинаковыми показателями.

    Для любого числа а и b () и любого натурального n справедливо равенство:

    Доказательство теоремы 5.

    Распишем и по определению степени:

    Формулировка теорем словами

    Итак, мы доказали, что .

    Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

    Решение типичных задач с помощью теоремы 4

    Пример 1: Представить в виде произведения степеней.

    Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 4.

    Для решения следующего примера вспомним формулы:

    Обобщение теоремы 4

    Обобщение теоремы 4:

    Решение примеров с помощью обобщенной теоремы 4

    Продолжение решения типичных задач

    Пример 2: Запишите в виде степени произведения.

    Пример 3: Запишите в виде степени с показателем 2.

    Примеры на вычисление

    Пример 4: Вычислить самым рациональным способом.

    2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

    3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

    2. Школьный помощник (Источник).

    1. Представить в виде произведения степеней:

    а) ; б) ; в) ; г) ;

    2. Запишите в виде степени произведения:

    3. Запишите в виде степени с показателем 2:

    4. Вычислить самым рациональным способом.

    Урок математики по теме «Умножение и деление степеней»

    Разделы: Математика

    Педагогическая цель :

  • ученик научится различать свойства умножения и деления степеней с натуральным показателем; применять эти свойства в случае с одинаковыми основаниями;
  • ученик получит возможность уметь выполнять преобразования степеней с разными основаниями и уметь выполнять преобразования в комбинированных заданиях.
  • Задачи :

  • организовать работу учащихся посредством повторения ранее изученного материала;
  • обеспечить уровень воспроизведения посредством выполнения упражнений различного типа;
  • организовать проверку по самооценке учащихся посредством тестирования.
  • Деятельностные единицы учения: определение степени с натуральным показателем; компоненты степени; определение частного; сочетательный закон умножения.

    I. Организация демонстрации овладение учащимися имеющимися знаниями. (шаг 1)

    а) Актуализация знаний:

    2) Сформулировать определение степени с натуральным показателем.

    a n =a a a a … а (n раз)

    b k =b b b b a… b (k раз) Обосновать ответ.

    II. Организация самооценивания обучаемого степенью владения актуальным опытом. (шаг 2)

    Тест для самопроверки: (индивидуальная работа в двух вариантах.)

    А1) Представьте произведение 7 7 7 7 x x x в виде степени:

    А2) Представить в виде произведения степень (-3) 3 х 2

    A3) Вычислите: -2 3 2 + 4 5 3

    Количество заданий в тесте я подбираю в соответствии с подготовкой уровня класса.

    К тесту даю ключ для самопроверки. Критерии: зачёт – не зачёт.

    III. Учебно-практическая задача (шаг 3) + шаг 4. (сформулируют свойства сами ученики)
  • вычислите: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?
  • Упростите: а 2 а 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?
  • В ходе решения задачи 1) и 2) учащиеся предлагают решение, а я, как учитель, организую класс на нахождение способа для упрощения степеней при умножении с одинаковыми основаниями.

    Учитель: придумать способ для упрощения степеней при умножении с одинаковыми основаниями.

    На кластере появляется запись:

    Формулируется тема урока. Умножение степеней.

    Учитель: придумайте правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

    Рассуждения: каким действием проверяется деление? а 5: а 3 = ? что а 2 а 3 = а 5

    Возвращаюсь к схеме – кластер и дополняем запись – ..при делении вычитаем и дописываем тему урока. …и деление степеней.

    IV. Сообщение учащимся пределов познания (как минимум и как максимум).

    Учитель: задачей минимума на сегодняшний урок является научиться применять свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями, а максимума: применять умножение и деление совместно.

    На доске записываем: а m а n = а m+n ; а m: а n = а m-n

    V. Организация изучения нового материала. (шаг 5)

    а) По учебнику: №403 (а, в, д) задания с разными формулировками

    №404 (а, д, е) самостоятельная работа, затем организую взаимопроверку, даю ключи.

    б) При каком значении m справедливо равенство? а 16 а m = а 32 ; х h х 14 = х 28 ; х 8 (*) = х 14

    Задание: придумать аналогичные примеры для деления.

    в) № 417(а), №418 (а) Ловушки для учеников : х 3 х n = х 3n ; 3 4 3 2 = 9 6 ; а 16: а 8 = а 2 .

    VI. Обобщение изученного, проведение диагностической работы (что побуждает учеников, а не учителя изучать данную тему)(шаг 6)

    Диагностическая работа.

    Тест (ключи поместить на обратной стороне теста).

    Варианты заданий: представьте в виде степени частное х 15: х 3 ; представьте в виде степени произведение (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; при каком m справедливо равенство а 16 а m = а 32 ; найдите значение выражения h 0: h 2 при h =0,2; вычислите значение выражения (5 2 5 0) : 5 2 .

    Итог урока. Рефлексия. Делю класс на две группы.

    Найдите аргументы I группа: в пользу знания свойств степени, а II группа – аргументы, которые будут говорить о том, что можно обойтись без свойств. Все ответы выслушиваем, делаем выводы. На последующих уроках можно предложить статистические данные и назвать рубрику «В голове не укладывается!»

  • Средний человек съедает 32 10 2 кг огурцов в течение жизни.
  • Оса способна совершить беспосадочный перелёт на 3,2 10 2 км.
  • Когда стекло трескается, трещина распространяется со скоростью около 5 10 3 км/ч.
  • Лягушка съедает за свою жизнь более 3 тонн комаров. Используя степень, запишите в кг.
  • Наиболее плодовитой считается океанская рыба – луна (Моlа mola), которая откладывает за один нерест до 300000000 икринок диаметром около 1,3 мм. Запишите это число, используя степень.
  • VII. Домашнее задание.

    Историческая справка. Какие числа называют числами Ферма.

    П.19. №403, №408, №417

    Используемая литература:

  • Учебник «Алгебра-7», авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.
  • Дидактический материал для 7 класса, Л.В. Кузнецова, Л.И. Звавич, С.Б. Суворова.
  • Энциклопедия по математике.
  • Журнал «Квант».
  • Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.

    После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени . В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.

    Навигация по странице.

    Свойства степеней с натуральными показателями

    По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел , можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем :

  • основное свойство степени a m ·a n =a m+n , его обобщение a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;
  • свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a m:a n =a m−n ;
  • свойство степени произведения (a·b) n =a n ·b n , его расширение (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;
  • свойство частного в натуральной степени (a:b) n =a n:b n ;
  • возведение степени в степень (a m) n =a m·n , его обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k ;
  • сравнение степени с нулем:
    • если a>0 , то a n >0 для любого натурального n ;
    • если a=0 , то a n =0 ;
    • если a 2·m >0 , если a 2·m−1 n ;
    • если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0m n , а при a>0 справедливо неравенство a m >a n .
    • Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a m ·a n =a m+n при упрощении выражений часто применяется в виде a m+n =a m ·a n .

      Теперь рассмотрим каждое из них подробно.

      Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a m ·a n =a m+n .

      Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a m ·a n можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа a с натуральным показателем m+n , то есть, a m+n . На этом доказательство завершено.

      Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3 , по основному свойству степени можно записать равенство 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2 2 ·2 3 и 2 5 . Выполняя возведение в степень, имеем 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2 5 =2·2·2·2·2=32 , так как получаются равные значения, то равенство 2 2 ·2 3 =2 5 — верное, и оно подтверждает основное свойство степени.

      Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n 1 , n 2 , …, n k справедливо равенство a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k .

      Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

      Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями : для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n , удовлетворяющих условию m>n , справедливо равенство a m:a n =a m−n .

      Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0 n =0 , а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n показатель степени a m−n является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n), либо отрицательным числом (что происходит при m m−n ·a n =a (m−n)+n =a m . Из полученного равенства a m−n ·a n =a m и из связи умножения с делением следует, что a m−n является частным степеней a m и a n . Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

      Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π и натуральными показателями 5 и 2 , рассмотренному свойству степени отвечает равенство π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .

      Теперь рассмотрим свойство степени произведения : натуральная степень n произведения двух любых действительных чисел a и b равна произведению степеней a n и b n , то есть, (a·b) n =a n ·b n .

      Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно a n ·b n .

      Приведем пример: .

      Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

      Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем .

      Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени : частное действительных чисел a и b , b≠0 в натуральной степени n равно частному степеней a n и b n , то есть, (a:b) n =a n:b n .

      Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , а из равенства (a:b) n ·b n =a n следует, что (a:b) n является частным от деления a n на b n .

      Запишем это свойство на примере конкретных чисел: .

      Теперь озвучим свойство возведения степени в степень : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n степень a m в степени n равна степени числа a с показателем m·n , то есть, (a m) n =a m·n .

      Например, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6 .

      Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: .

      Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p , q , r и s справедливо равенство . Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

      Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

      Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем.

      Для начала обоснуем, что a n >0 при любом a>0 .

      Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a . Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень a n есть положительное число. В силу доказанного свойства 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 и .

      Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень a n есть нуль. Действительно, 0 n =0·0·…·0=0 . К примеру, 0 3 =0 и 0 762 =0 .

      Переходим к отрицательным основаниям степени.

      Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m , где m — натуральное. Тогда . По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a·a равно произведению модулей чисел a и a , значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a 2·m . Приведем примеры: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

      Наконец, когда основание степени a является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то . Все произведения a·a являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5) 3 17 n n представляет собой произведение левых и правых частей n верных неравенств aсвойств неравенств справедливо и доказываемое неравенство вида a n n . Например, в силу этого свойства справедливы неравенства 3 7 7 и .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства.

      Докажем, что при m>n и 0m n . Для этого запишем разность a m −a n и сравним ее с нулем. Записанная разность после вынесения a n за скобки примет вид a n ·(a m−n −1) . Полученное произведение отрицательно как произведение положительного числа a n и отрицательного числа a m−n −1 (a n положительна как натуральная степень положительного числа, а разность a m−n −1 отрицательна, так как m−n>0 в силу исходного условия m>n , откуда следует, что при 0m−n меньше единицы). Следовательно, a m −a n m n , что и требовалось доказать. Для примера приведем верное неравенство .

      Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n и a>1 справедливо a m >a n . Разность a m −a n после вынесения a n за скобки принимает вид a n ·(a m−n −1) . Это произведение положительно, так как при a>1 степень a n есть положительное число, и разность a m−n −1 есть положительное число, так как m−n>0 в силу начального условия, и при a>1 степень a m−n больше единицы. Следовательно, a m −a n >0 и a m >a n , что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3 7 >3 2 .

      Свойства степеней с целыми показателями

      Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.

      Степень с целым отрицательным показателем, а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.

      Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями :

    • a m ·a n =a m+n ;
    • a m:a n =a m−n ;
    • (a·b) n =a n ·b n ;
    • (a:b) n =a n:b n ;
    • (a m) n =a m·n ;
    • если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем an n и a −n >b −n ;
    • если m и n – целые числа, причем m>n , то при 0m n , а при a>1 выполняется неравенство a m >a n .
    • При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m , и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0 , а числа m и n – целые положительные.

      Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Сделаем это.

      Для положительных p и q равенство (a p) q =a p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0 , то имеем (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1 , откуда (a 0) q =a 0·q . Аналогично, если q=0 , то (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1 , откуда (a p) 0 =a p·0 . Если же и p=0 и q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1 , откуда (a 0) 0 =a 0·0 .

      Теперь докажем, что (a −p) q =a (−p)·q . По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда . По свойству частного в степени имеем . Так как 1 p =1·1·…·1=1 и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a −(p·q) , которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)·q .

      Аналогично .

      И .

      По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.

      В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −n >b −n , которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b , для которых выполняется условие a. Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: . Так как по условию an n , следовательно, b n −a n >0 . Произведение a n ·b n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n . Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n −a n и a n ·b n . Следовательно, откуда a −n >b −n , что и требовалось доказать.

      Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.

      Свойства степеней с рациональными показателями

      Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

    1. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
    2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0 ;
    3. свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0 , а если и , то при a≥0 и (или) b≥0 ;
    4. свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0 , а если , то при a≥0 и b>0 ;
    5. свойство степени в степени при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
    6. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
    7. свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
    8. Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

      По определению степени с дробным показателем и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

      Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

      По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

      Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p . Запишем рациональное число p как m/n , где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно. При m>0 и am m . Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, a p p .

      Аналогично, при m m >b m , откуда , то есть, и a p >b p .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q . Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q , пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m 1 и m 2 – целые числа, а n — натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m 1 >m 2 , что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0m 1 m 2 , а при a>1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .

      Свойства степеней с иррациональными показателями

      Из того, как определяется степень с иррациональным показателем, можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0 , b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями :

      1. a p ·a q =a p+q ;
      2. a p:a q =a p−q ;
      3. (a·b) p =a p ·b p ;
      4. (a:b) p =a p:b p ;
      5. (a p) q =a p·q ;
      6. для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
      7. для иррациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
      8. Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.

    • Алгебра – 10 класс. Тригонометрические уравнения Урок и презентация на тему: "Решение простейших тригонометрических уравнений" Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы […]
    • Открыт конкурс на позицию «ПРОДАВЕЦ - КОНСУЛЬТАНТ»: Обязанности: продажа мобильных телефонов и аксессуаров для мобильной связи сервисное обслуживание абонентов Билайн, Теле2, МТС подключение тарифных планов и услуг Билайн и Теле2, МТС консультирование […]
    • Параллелепипед формулы Параллелепипед – это многогранник с 6 гранями, каждая из которых является параллелограммом. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, каждая грань которого является прямоугольником. Любой параллелепипед характеризуется 3 […]
    • Принять закон о Родовых поместьях Принять федеральный закон о безвозмездном выделении каждому желающему гражданину Российской Федерации или семье граждан участка земли для обустройства на нем Родового Поместья на следующих условиях: 1. Участок выделяется для […]
    • Общество защиты прав потребителя астана Для того, что бы получить pin-код для доступа к данному документу на нашем сайте, отправьте sms-сообщение с текстом zan на номер Абоненты GSM-операторов (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) отправив SMS на номер, […]
    • ИНСПЕКЦИЯ ГОСТЕХНАДЗОРА БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ Квитанция об оплате госпошлины(Скачать-12,2 kb) Заявления на регистрацию для физ.лиц(Скачать-12 kb) Заявления на регистрацию для юр.лиц(Скачать-11,4 kb) 1. При регистрации новой машины: 1.заявление 2.паспорт […]
    • ПРАВОПИСАНИЕ Н И НН В РАЗНЫХ ЧАСТЯХ РЕЧИ С.Г.ЗЕЛИНСКАЯ ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ Теоретическая зарядка 1. Когда в прилагательных пишется нн? 2. Назовите исключения из этих правил. 3. Как отличить отглагольное прилагательное с суффиксом -н- от причастия с […]
    • Пивоев В.М. Философия и методология науки: учебное пособие для магистров и аспирантов Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2013. ― 320 с.ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов, магистров и аспирантов социального и […]
  • Правило деления степеней. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Примеры:

    Слайд 11 из презентации «Деление и умножение степеней» к урокам алгебры на тему «Степень»

    Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке алгебры, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Деление и умножение степеней.ppt» можно в zip-архиве размером 1313 КБ.

    «Деление и умножение степеней» — a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Найдем произведение a2 и a3. 100. 2+3. 5 раз. 64 = 144 = 1 0000 =. Умножение и деление степеней. 3 раза. a2 a3 =.

    «Степени двойки» — 1024+. Правила перевода из одной системы счисления в другую. Гусельникова Е.В. Школа №130. Содержание. Таблица степеней двойки. Переведём число 1998 из десятичной в двоичную систему. Кислых В.Н. 11Э Зинько К.О. 11Э. Преподаватель: Выполнили: Рассмотрим схему преобразования на примере.

    «Степень с отрицательным показателем» — Степень с отрицательным показателем. 5 12?3 (27?3). -2. -1. Вычислите: -3.

    «Степень с рациональным показателем» — по теме: «Степень с рациональным показателем». Цели урока: I. Организационная часть. Проверка домашнего задания 1.Математический диктант 2. Взаимопроверка III.Самостоятельная работа IV. Обобщающий урок. Ход урока. Подготовка к контрольной работе V. Подведение итогов урока VI. II.

    «Степень с целым показателем» — Представьте выражение в виде степени. X-12. Расположите в порядке убывания. Представьте выражение x-12 в виде произведения двух степеней с основанием x, если один множитель известен. Вычислите. Упростите.

    «Свойства степени» — Обобщение знаний и умений по применению свойств степени с натуральным показателем. Вычислительная пауза. Свойства степени с натуральным показателем. Проверь себя! Применение знаний для решения различных по сложности задач. Тест. Физминутка. Развитие настойчивости, мыслительной активности и творческой деятельности.

    Правило деление степеней

    1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):

    (abc…) n = a n b n c n …

    Пример 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3

    Практически более важно обратное преобразование:

    a n b n c n … = (abc…) n

    т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

    Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

    2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

    Пример 5. Пример 6.

    Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..

    3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

    Пример 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .

    4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого

    Пример 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

    5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

    Пример 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Пример 14.

    Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

    Сложение и вычитание степеней

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:
    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:
    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:
    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

    Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

    Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
    a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .3$

    Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

    Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

    1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

    2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    Алгебра – 7 класс.n$.

    mathematics-tests.com

    Степени и корни

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

    нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

    Операции со степенями.

    1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

    a m · a n = a m + n .

    2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

    3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

    4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    (a / b ) n = a n / b n .

    5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

    5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


    Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

    Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

    П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

    Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы. 2 0 = 1, ( 5) 0 = 1, ( 3 / 5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

    О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

    где a ≠ 0 , не существует.

    В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

    любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

    0 0 — любое число.

    Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

    1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

    2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

    что x – любое число; но принимая во внимание, что в

    нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

    • Правила техники безопасности при работе утюгом Правила техники безопасности при работе утюгом. 1.Перед включением утюга в электросеть нужно проверить изоляцию шнура и положение утюга на подставке. 2.Включение и […]
    • Проблемы водного налога Состояние, анализ и проблемы совершенствования водного налога При заборе воды сверх установленных квартальных (годовых) лимитов водопользования налоговые ставки в части такого превышения […]
    • как составить приказ о переходе с 223фз на 44 фз Сергей Антонов 30 Ответ написан год назад Профессор 455 Ответ написан год назад Например: приказ об отмене применения положения о закупках. Оценка ответа: 0 Добавить […]
    • Деление отрицательных чисел Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление - это действие, обратное умножению. Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « […]
    • Разрешения D1, 960Н, 720Р, 960Р, 1080Р Системы видеонаблюдения получают все большее распространение по всему миру. Оборудование постоянно совершенствуется, и данная сфера постоянно развивается. Как и в любой […]
    • Конституционное право Российской Федерации. Баглай М.В. 6-е изд., изм. и доп. - М.: Норма, 200 7 . - 7 84 с. Настоящий учебник, представляющий собой шестое, измененное и дополненное, издание, написан известным […]

    Действия со степенями и корнями

    1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

    .

    Например, .

    5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

    .

    Например, .

    Пример 1. Найти значение выражения

    .

    Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

    (степень произведения равна произведению степеней множителей),

    (при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

    Теперь получим:

    В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

    Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

    Имеют место следующие тождества:

    1) ;

    2) ;

    3) .

    Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

    Пример 2. Найти значение выражения

    .

    Пример 3. Найти значение выражения

    .

    1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

    2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

    3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

    4. Если , то (правило возведения корня в степень).

    5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

    6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

    7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

    (правило умножения корней),

    (правило деления корней),

    .

    8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

    9. Обратная задача - внесение множителя под знак корня. Например,

    10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

    а) , так как .

    Например, .

    б)

    Например,

    в)

    и т. д.

    Другие темы в блоке "Школьная математика"

    Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

    Сложение и вычитание степеней

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

    Так, сумма a3 и b2 есть a3 + b2.
    Сумма a3 - bn и h5 -d4 есть a3 - bn + h5 - d4.

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a2 и 3a2 равна 5a2.

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a2 и a3 есть сумма a2 + a3.

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a3bn и 3a5b6 есть a3bn + 3a5b6.

    Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Из 2a4 3h2b6 5(a - h)6
    Вычитаем -6a4 4h2b6 2(a - h)6
    Результат 8a4 -h2b6 3(a - h)6

    Или:
    2a4 - (-6a4) = 8a4
    3h2b6 - 4h2b6 = -h2b6
    5(a - h)6 - 2(a - h)6 = 3(a - h)6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a3 на b2 равен a3b2 или aaabb.

    Первый множитель x-3 3a6y2 a2b3y2
    Второй множитель am -2x a3b2y
    Результат amx-3 -6a6xy2 a2b3y2a3b2y

    Или:
    x-3 ⋅ am = amx-3
    3a6y2 ⋅ (-2x) = -6a6xy2
    a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a5b5y3.

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат - это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

    Так, a2.a3 = aa.aaa = aaaaa = a5.

    Здесь 5 - это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, an.am = am+n.

    Для an, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И am, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a2.a6 = a2+6 = a8. И x3.x2.x = x3+2+1 = x6.

    Первый множитель 4an b2y3 (b + h - y)n
    Второй множитель 2an b4y (b + h - y)
    Результат 8a2n b6y4 (b + h - y)n+1

    Или:
    4an ⋅ 2an = 8a2n
    b2y3 ⋅ b4y = b6y4
    (b + h - y)n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y)n+1

    Умножьте (x3 + x2y + xy2 + y3) ⋅ (x - y).
    Ответ: x4 - y4.
    Умножьте (x3 + x - 5) ⋅ (2x3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых - отрицательные.

    1. Так, a-2.a-3 = a-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y-n.y-m = y-n-m.

    3. a-n.am = am-n.

    Если a + b умножаются на a - b, результат будет равен a2 - b2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

    Так, (a - y).(a + y) = a2 - y2.
    (a2 - y2)⋅(a2 + y2) = a4 - y4.
    (a4 - y4)⋅(a4 + y4) = a8 - y8.5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a2/a3 и a-3/a-4 и приведите к общему знаменателю.
    a2.a-4 есть a-2 первый числитель.
    a3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель.
    a3.a-4 есть a-1, общий числитель.
    После упрощения: a-2/a-1 и 1/a-1.

    4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a3/5a7 и 5a5/5a7 или 2a3/5a2 и 5/5a2.

    5. Умножьте (a3 + b)/b4 на (a - b)/3.

    6. Умножьте (a5 + 1)/x2 на (b2 - 1)/(x + a).

    7. Умножьте b4/a-2 на h-3/x и an/y-3.

    8. Разделите a4/y3 на a3/y2.3=8$.

    Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

    Умножение степеней с одинаковыми основаниями

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

    Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, возведение в степень — это сокращённая запись умножения:

    23 = 2 · 2 · 2.

    Во-вторых, умножение числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней:

    23 · 22(2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 
    3 множ.2 множ.

     = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25.
    5 множ.

    Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула:

    ax · ay = ax+y.

    Примеры умножения степеней

    Пример 1. Запишите в виде степени:

    n3n5.

    Решение:

    n3n5 = n3 + 5 = n8.

    Пример 2. Упростите:

    xy2z3x4y5z6.

    Решение: Чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями, можно сначала сгруппировать степени по основаниям:

    (xx4)(y2y5)(z3z6).

    Теперь выполним умножение степеней:

    (xx4)(y2y5)(z3z6) = (x1 + 4)(y2 + 5)(z3 + 6) = x5y7z9.

    Следовательно:

    xy2z3x4y5z6 = x5y7z9.

    Пример 3. Выполните умножение:

    а) nxn5;

    б) xxn;

    в) amam.

    Решение:

    а) nxn5 = nx + 5;

    б) xxn = xn + 1;

    в) amam = am + m = a2m.

    Пример 4. Упростите выражение:

    а) -a2 · (-a)2 · a;

    б) -(-a)2 · (-a) · a.

    Решение:

    а) -a2 · (-a)2 · a = -a2 · a2 · a = -(a2a2a) = -(a2 + 2 + 1) = -a5;

    б) -(-a)2 · (-a) · a = -a2 · (-a) · a = a3 · a = a4.

    Деление степеней с одинаковыми основаниями

    При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:

    n12 : n5,

    где  n  — это число, не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби:

    Представим  n12  в виде произведения  n7 · n5.  Тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель  n5:

    n12 = n7 · n5 =  n7.
    n5n5

    Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения:

    n7 · n5 = n7+5 = n12.

    Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так:

    ax : ay = ax-y.

    Примеры деления степеней

    Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

    а) a5;      б) m18 .
    am10

    Решение:

    а) a5 = a4 · a = a4;
    a a

    б) m18 = m8 · m10 = m8.
    m10 m10

    Пример 2. Выполните деление:

    а) x7 : x2;

    б) n10 : n5;

    в) a30 : a10.

    Решение:

    а) x7 : x2 = x7 - 2 = x5;

    б) n10 : n5 = n10 - 5 = n5;

    в) a30 : a10 = a30 - 10 = a20.

    Пример 3. Чему равно значение выражения:

    а) an ;      б) mx ;      в) b5 · b8 .{2}}-17t+6=0\)

    имеет три корня:

    \( {{t}_{1}}=3,~{{t}_{2}}=\frac{1}{3},~{{t}_{3}}=-2\).

    Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

    \( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

    Ответ: \( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

    Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя!

    Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков.

    Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

    y = x

    Другими словами, первое выражение на простом английском языке переводится как « y - показатель степени, до которого нужно поднять b , чтобы получить x ». Например,

    3 = \ log_ {10} 1000

    Решение задач, связанных с логарифмами, является простым, когда основание логарифма равно 10 (как указано выше) или натуральному логарифму e , поскольку они могут быть легко обрабатывается большинством калькуляторов. Однако иногда вам может потребоваться решить логарифмы с разными основаниями.Здесь пригодится изменение базовой формулы:

    \ log_bx = \ frac {\ log_ ax} {\ log_ab}

    Эта формула позволяет вам воспользоваться преимуществами основных свойств логарифмов, преобразовав любую задачу в форму это легче решить.

    Допустим, вы столкнулись с проблемой

    y = \ log_250

    Поскольку 2 является громоздкой базой для работы, решение не так легко вообразить. Чтобы решить эту проблему:

    Шаг 1. Измените базу на 10

    . Используя формулу изменения базы, вы получите

    \ log_250 = \ frac {\ log_ {10} 50} {\ log_ {10 } 2}

    Это можно записать как log 50 / log 2, поскольку по соглашению пропущенное основание подразумевает основание 10.

    Шаг 2: Найдите числитель и знаменатель

    Поскольку ваш калькулятор оборудован для явного решения логарифмов по основанию 10, вы можете быстро найти, что log 50 = 1,699, а log 2 = 0,3010.

    Шаг 3. Разделите, чтобы получить решение

    \ frac {1.699} {0.3010} = 5.644

    Примечание

    При желании вы можете изменить базу на e вместо 10, или фактически к любому числу, если основание в числителе и знаменателе одинаковое.

    Решение экспоненциальных уравнений из определения

    Purplemath

    Чтобы решить экспоненциальные уравнения без логарифмов, вам необходимо иметь уравнения со сравнимыми экспоненциальными выражениями по обе стороны от знака «равно», чтобы вы могли сравнивать степени и решать. Другими словами, у вас должно быть «(некоторая база) к (некоторой степени) равняется (та же основа) (некоторой другой степени)», где вы устанавливаете две степени равными друг другу и решаете полученное уравнение.Например:

    Так как основания ("5" в каждом случае) одинаковы, то единственный способ, при котором два выражения могут быть равны, - это одинаковые степени. То есть:

    MathHelp.com


    Это решение демонстрирует логическую основу того, как решается весь этот класс уравнений: если основания одинаковы, то мощности также должны быть равны; это единственный способ, чтобы две части уравнения были равны друг другу.Поскольку степени должны быть одинаковыми, мы можем установить две степени равными друг другу и решить полученное уравнение.


    Поскольку основания одинаковы, то я могу приравнять силы и решить:

    1 - x = 4

    1–4 = x

    –3 = x

    Тогда мое решение:


    Не все экспоненциальные уравнения даны с одинаковым основанием по обе стороны от знака «равно».Иногда нам сначала нужно преобразовать одну или другую сторону (или обе) в какую-то другую базу, прежде чем мы сможем установить степени равными друг другу. Например:

    Поскольку 9 = 3 2 , это действительно просит меня решить:

    Преобразовав 9 в 3 2 , я преобразовал правую часть уравнения в то же самое основание, что и левая часть. Поскольку базы теперь такие же, я могу установить две степени равными друг другу:


    В данном случае у меня экспонента с одной стороны от знака «равно» и число с другой.Я могу решить уравнение, если могу выразить «27» как степень 3. Поскольку 27 = 3 3 , я могу преобразовать и продолжить решение:

    3 2 x –1 = 27

    3 2 x –1 = 3 3

    2 x - 1 = 3

    2 x = 4

    x = 2

    Если я не уверен в своем ответе или если я хочу проверить его перед тем, как сдать его (скажем, на тест), я могу проверить его, снова подключив его к исходному упражнению.Степень в левой части исходного уравнения упростится как:

    И 3 3 = 27, что является правой частью исходного уравнения. Тогда мое (подтвержденное) решение:


    Как вы, вероятно, догадались, вам нужно будет хорошо освоить свои числовые степени, такие как степени от 2 до 2 6 = 64, степени от 3 p до 3 5 = 243, степени От 4 до 4 4 = 256, от 5 до 5 4 = 625, от 6 до 6 от 3 = 216, и все квадраты.

    Не планируйте во всем полагаться на свой калькулятор, потому что необходимость находить каждое значение в вашем калькуляторе может потратить много времени. К тому времени, как вы дойдете до теста, вы захотите иметь определенную степень удобства (то есть определенную степень осведомленности и скорости), поэтому ознакомьтесь с меньшими способностями сейчас.


    Примечание по форматированию: HTML обычно не «любит» вложенные надстрочные индексы, поэтому выше для обозначения степени используется нотация «каратов».2–3 x = 3 4

    x 2 - 3 x = 4

    x 2 - 3 x - 4 = 0

    ( x -4) ( x + 1) = 0

    x = –1, 4

    Итак, мой ответ:


    Это уравнение похоже на предыдущие два, но не совсем то же самое, потому что 8 не является степенью 4.2 + 4 x = 2 3

    4 x 2 + 4 x = 3

    4 x 2 + 4 x - 3 = 0

    (2 x - 1) (2 x + 3) = 0

    x = 1 / 2 , –3 / 2


    Отрицательные показатели степени могут использоваться, чтобы указать, что основание принадлежит другой стороне дробной линии.Поскольку 64 = 4 3 , то я могу использовать отрицательные показатели для преобразования дроби в экспоненциальное выражение:

    Используя это, я могу решить уравнение:

    4 x +1 = 1 / 64

    4 x +1 = 4 –3

    x + 1 = –3

    x = –4


    Чтобы решить эту задачу, мне сначала нужно напомнить, что квадратные корни - это то же самое, что и половинные степени, и преобразовать радикал в экспоненциальную форму.Тогда я могу решить уравнение:

    8 x –2 = sqrt [8]

    8 x –2 = 8 1/2

    x - 2 = 1/2

    x = 2 + 1 / 2 = 5 / 2

    Тогда мой ответ:


    Ниже приводится пример распространенного типа вопроса с подвохом:

    Подумайте об этом: с какой степенью положительное число "2" может , возможно, дать отрицательное число ? Число никогда не может перейти от положительного к отрицательному, принимая полномочия; Я никогда не смогу превратить положительные два в отрицательные , любые , четыре или другие, умножая два на себя, независимо от того, сколько раз я делаю это умножение.Возведение в степень просто не работает. Итак, ответ здесь:


    URL: https://www.purplemath.com/modules/solvexpo.htm


    College Algebra
    Учебник 45: Экспоненциальные уравнения

    Цели обучения



    После изучения этого руководства вы сможете:
    1. Решите экспоненциальные уравнения.

    Введение



    В этом уроке я расскажу, как решать уравнения, которые имеют экспоненциальные выражения. В этих уравнениях вы заметите что переменная, которую мы решаем, находится в экспоненте. Мы используются для просмотра переменной в базе. Мы будем использовать обратный операции, как мы делаем в линейных уравнениях, обратную операцию мы будем здесь используются логарифмы.Если вам нужен обзор определения функций журнала, смело переходите к Tutorial 43: Логарифмические функции . Если вам нужен обзор свойств журнала, смело переходите к Урок 44: Логарифмические свойства . Думаю, вы готовы приступить к работе.

    Учебник



    Решение экспоненциальных уравнений,
    , где x - показатель степени, НО
    основания НЕ СООТВЕТСТВУЮТ.


    Шаг 1: Изолировать экспоненциальное выражение.


    Получите экспоненциальное выражение с одной стороны для всего, что находится за пределами экспоненциальное выражение на другой стороне вашего уравнения.


    Шаг 2: Возьмите естественный бревно с двух сторон.


    Операция, обратная экспоненциальному выражению, - это логарифм. Убедитесь, что вы проделываете одно и то же с обеими сторонами уравнения, чтобы держите их равными друг другу.


    Шаг 3: Использование свойства журналов, чтобы вытащить x из экспоненты.




    Теперь, когда переменная вне экспоненты, решите переменную используя обратные операции, чтобы завершить задачу.




    Особое примечание:
    Единственный способ получить эту переменную из экспоненты, когда базы не совпадают, это использовать логи. Третий шаг позволяет нам делать это. При решении уравнения не имеет значения, что вы делаете с уравнение до тех пор, пока вы делаете одно и то же с обеими сторонами - это сохраняет обе стороны равны. Кроме того, причина, по которой мы берем натуральный логарифм обоих сторон, потому что у нас есть ключ натурального журнала на калькуляторе, поэтому мы в конце концов сможет найти в нем цену.




    Пример 1 : Решите экспоненциальное уравнение. Округлите ответ до двух десятичных знаков.



    Это уже сделано для нас в этой задаче.



    * Возьмите натуральный логарифм ОБЕИХ сторон






    * Инверсная по отношению к мульт.на 3ln e - разделить на 3ln e

    * Используйте калькулятор, чтобы найти ln 50
    * ln e is 1




    Пример 2 : Решите экспоненциальное уравнение. Округлите ответ до двух десятичных знаков.




    * Инверсная по отношению к мульт. на 5 - разделить на 5

    * Изолированное экспоненциальное выражение



    * Возьмите натуральный логарифм ОБЕИХ сторон






    * Инверсная по отношению к мульт.на ln 10 - разделить на пер 10


    * Сумма, обратная сумме 1, является вспомогательной. 1

    * Используйте калькулятор, чтобы найти ln 2,4 и ln 10




    Пример 3: Решите экспоненциальное уравнение. Округлите ответ до двух десятичных знаков.




    * Сумма, обратная сумме 4, является вспомогательной. 4

    * Изолированное экспоненциальное выражение



    * Возьмите натуральный логарифм ОБЕИХ сторон






    * Инверсная по отношению к мульт.на .2ln 2 следует разделить на .2ln 2

    * Используйте калькулятор, чтобы найти ln 21 и ln 2




    Пример 4: Решите экспоненциальное уравнение. Округлите ответ до двух десятичных знаков.



    Обратите внимание, что у нас есть два экспоненциальных члена с разными показателями. Мы не сможем изолировать обоих. Придется придумать еще один способ переписать его, чтобы мы могли продолжить шаги.

    Обратите внимание на то, что у нас есть трехчлен и что e для 2 x равно e для x в квадрате. Это означает, что он квадратичный в от. Таким образом, мы можем разложить его на множители точно так же, как трехчлен формы.


    * Установить 1-й коэффициент = 0
    * Выделить экспоненциальное выражение



    * Установите 2-й коэффициент = 0
    * Выделите экспоненциальное выражение


    Обратите внимание, что, поскольку e является положительным основанием, независимо от того, какой показатель у x , это экспоненциальное выражение НЕ МОЖЕТ равняться -2.

    Итак, есть только одно уравнение, которое мы можем решить .




    * Возьмите натуральный логарифм ОБЕИХ сторон





    * Инверсная по отношению к мульт. на ln e - разделить на ln e


    * Воспользуйтесь калькулятором, чтобы найти ln 4
    * ln e = 1



    Практические задачи



    Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

    Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны решить проблему с . свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

    Практические задачи 1a - 1c: Решите данное экспоненциальное уравнение. Круглый ваш ответ с двумя десятичными знаками.

    Нужна дополнительная помощь по этим темам?





    Последний раз редактировал Ким Сьюард 24 марта 2011 г.
    Авторские права на все содержимое (C) 2002 - 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.


    Начало алгебры
    Урок 26: Показатели

    Цели обучения


    После изучения этого руководства вы сможете:
    1. Используйте определение степеней.
    2. Упростить экспоненциальные выражения, включающие умножение как основание, ноль как показатель степени, деление как основание, возведение основания до двух показателей, повышение произведение на показатель степени и возведение частного в степень.

    Введение



    В этом руководстве рассматриваются основные определения и некоторые из правила экспоненты.Он охватывает следующие правила: правило продукта, частное правило правило силы, сила правила продукта и сила правила частного как хорошо как определения нулевого и отрицательного показателей. Экспоненты везде в алгебре и не только. Посмотрим, что мы можем сделать с экспонентами.

    Учебник




    Определение экспонент


    (обратите внимание, что есть n x 's в продукте)

    x = основание, n = показатель степени



    Показатели другой способ написать умножение.

    Показатель степени показывает, сколько раз основание встречается в продукт.

    Пример 1: Оценить.


    * Запишите основание 1/4 в произведение 3 умножить
    * Умножить



    Пример 2: Оценить.


    * Напишите основание -6 в продукте 2 умножить на
    * умножить


    Обратите внимание, как я включил - когда я расширил это проблема вне. Если - находится внутри () показателя степени, то он включается как часть базы.



    Пример 3: Оценить.

    * Отменить 6 в квадрате
    * Поставить - перед 6 записанным продукт 2 раза
    * Умножить


    Эй, это очень похоже на пример 2 !!!!

    Это может выглядеть одинаково, но это НЕ совсем то одно и тоже.Ты можешь видите разницу между ними ?? Надеюсь, вы заметили, что в примере 2 вместо - и 6 стоит знак (). В этом проблема, здесь нет -. Это означает, что - НЕ является частью базы, поэтому будут не расширяться, как в примере 2.

    Это интерпретируется как нахождение отрицательного или противоположного 6 кв.



    Умножение как основание на Экспоненты
    (Правило произведения для экспонент)

    Специальная иллюстрация


    Давайте сначала начнем с определения показателей, чтобы помочь вам понять, как мы добираемся до закона умножения подобных базы с показателями:

    Обратите внимание, что 2 + 3 = 5, это показатель степени, который мы получили. с участием.Мы было 2 x записано в продукте плюс Другой 3 x записано в продукте, всего из 5 x в продукте. Указывать что мы ставим 5 в экспоненту.

    Давайте объединим эту идею в общее правило:


    Умножение как основание на Экспоненты
    (Правило произведения для экспонент)

    в целом,


    Другими словами, , когда вы умножаться как основы вы добавляете свои показатели .

    Причина в том, что экспоненты считают, сколько из вашей базы у вас есть в продукт, поэтому, если вы продолжаете этот продукт, вы добавляете экспоненты.

    Пример 4: Используйте правило продукта, чтобы упростить выражение .


    * При мульт.как базы, которые вы добавляете ваши показатели



    Пример 5: Используйте правило продукта, чтобы упростить выражение .


    * При мульт. как базы, которые вы добавляете ваши показатели


    Ноль как показатель степени


    За исключением 0, любая база увеличена в 0 степени упрощается до числа 1.

    Обратите внимание, что показатель степени не равен 1, а выражение упрощает быть числом 1.

    Пример 6: Оценить.



    * Любое выражение, возведенное в 0 власть упрощает быть 1



    Пример 7: Оценить.



    * x приподнятый к 0 степень равна 1
    * Умножить



    Деление как основание с Экспоненты
    (Правило частного для экспонентов)

    Специальная иллюстрация


    Давайте сначала начнем с определения показателей, чтобы помочь вам понять, как мы добираемся до закона деления подобных оснований с показателями:

    Обратите внимание, как 5–2 = 3, показатель степени окончательного ответа. Когда вы умножаете вы добавляете к своей экспоненте, поэтому должно быть понятно, что когда вы делите, как основания, которые отбираете у экспоненты.

    Давайте объединим эту идею в общее правило:


    Деление как основание с Экспоненты
    (Правило частного для экспонентов)

    в целом,



    Другими словами, когда вы делить как основы вы вычитаете их показатели.

    Имейте в виду, что вы всегда берете числитель показатель минус ваш показатель знаменателя, а НЕ наоборот.

    Пример 8: Используйте правило частного, чтобы упростить выражение .



    * Когда дел.как базы, которые вы вычитаете ваши показатели



    Пример 9: Используйте правило частного, чтобы упростить выражение .

    * Когда дел. как основы вы вычтите ваши показатели



    База, увеличенная до двух экспонент
    (Правило степени для экспонентов)

    Специальная иллюстрация



    Обратите внимание, как 2 умножить на 3 равно 6, что является показателем степени окончательный ответ. Мы можем представить себе это как 3 группы по 2 человека, что, конечно, получится. к быть 6.


    База, увеличенная до двух экспонент
    (Правило степени для экспонентов)

    в целом,


    Другими словами, , когда вы поднять базу до двух экспоненты, вы умножаете эти показатели вместе.

    Опять же, вы можете думать об этом как о n группах по m , если это помогает вам запоминать.

    Пример 10: Используйте правило степени для степеней, чтобы упрощать выражение .


    * При увеличении базы до 2 дает вам мульт.ваши показатели



    Продукт, возведенный в степень
    (Сила правила продукта)

    Специальная иллюстрация


    Давайте сначала начнем с определения экспонентов , чтобы помочь вам понять, как мы добираемся до закона о создании продукта к показатель степени:

    Обратите внимание, как обе основы вашего продукта оказались поднятый экспонентой из 3.


    Продукт, возведенный в степень
    (Сила правила продукта)

    в целом,


    Другими словами, , когда у вас ПРОДУКТ (не сумма или разность), возведенные в степень, вы можете упростить, подняв каждое основание в продукте к этому показателю.

    Пример 11: Используйте возможности правила продукта, чтобы упростить выражение .


    * При поднятии продукта на экспонента, поднять каждое основание произведения к этому показателю



    Частное, увеличенное до экспоненты
    (Правило степени частного)

    Специальная иллюстрация


    Давайте сначала начнем с определения экспонентов , чтобы помочь вам понять, как мы добираемся до закона повышения частного к показателю:

    Поскольку деление на самом деле является умножением взаимно, он имеет та же основная идея, что и когда мы подняли продукт до экспоненты.


    Частное, увеличенное до экспоненты
    (Правило степени частного)

    в целом,



    Другими словами, , когда у вас ЧАСТИЧНОЕ (не сумма или разность), возведенные в степень, вы можете упростить, подняв каждое основание в числителе и знаменателе частного к этому экспонента.

    Пример 12: Используйте правило частного, чтобы упрощать выражение .



    * При возведении частного в экспонента, поднять каждое основание частного к этой экспоненте

    * Использовать деф.экспонентов оценить



    Упрощение экспоненты Выражение

    При упрощении экспоненциального выражения напиши это так, чтобы каждая основа записывается один раз с одним показателем .

    Другими словами, напишите это в наиболее сжатой форме, которую вы может.

    Очень часто вам приходится использовать более одного правила получить работу Выполнено. Если вы правильно используете правило, вы должны быть в порядке.



    Пример 13: Упростить.


    * При мульт. как базы, которые вы добавляете ваши показатели

    * Когда div. как основы вы вычтите ваши показатели



    Пример 14: Упростить.


    * При поднятии продукта на экспонента, поднять каждое основание произведения к этому показателю

    * Когда div. как основы вы вычтите ваши показатели



    Практические задачи


    Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

    Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

    Практика Задачи 1a - 1e: Упростите.





    Нужна дополнительная помощь по этим темам?





    Последняя редакция 2 августа 2011 г. Ким Сьюард.
    Авторские права на все содержание (C) 2001 - 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

    Степень многочлена - определение и примеры

    Степень полинома - это очень простое понятие, которое на самом деле нетрудно понять. Определение : Степень - это член с наибольшим показателем степени.

    Напомним, что для y 2 y - основание, а 2 - показатель степени.

    Еще примеры, показывающие, как найти степень многочлена.


    Пример № 1 :

    4x 2 + 6x + 5

    Этот многочлен состоит из трех членов. Первый - 4x 2 , второй - 6x, а третий - 5.

    Показатель первого члена равен 2.

    Показатель второго члена равен 1, потому что 6x = 6x 1 .

    Показатель третьего члена равен 0, потому что 5 = 5x 0 .

    Что? 5x 0 = 5?

    Ну, все с показателем 0 всегда равно 1.

    Таким образом, 5x 0 = 5 × x 0 = 5 × 1 = 5

    Поскольку наивысший показатель степени равен 2, степень 4x 2 + 6x + 5 равна 2.

    Пример № 2 :

    2y 6 + 1y 5 + -3y 4 + 7y 3 + 9y 2 + y + 6

    Этот многочлен состоит из семи членов. Первый - 2y 2 , второй - 1y 5 , третий - -3y 4 , четвертый - 7y 3 , пятый - 9y 2 , шестой - y, а седьмой - 6.

    Показатель степени первого члена равен 6.

    Показатель степени второго члена равен 5.

    Показатель степени третьего члена равен 4.

    Показатель степени четвертого члена равен 3.

    Показатель степени третьего члена равен 3. пятый член равен 2.

    Показатель шестого члена равен 1, потому что y = y 1 .

    Показатель последнего члена равен 0, потому что 6 = 6x 0 .

    Поскольку старший показатель равен 6, степень 2y 6 + 1y 5 + -3y 4 + 7y 3 + 9y 2 + y + 6 равна 6.

    Напишите полином для следующих описаний

    1)

    Бином от z со степенью 10

    2)

    Трехчлен от c со степенью 4

    3)

    Бином по y со степенью 1

    4)

    Моном в b со степенью 3

    Ответы:

    1)

    2z 10 - 4

    2)

    c 4 + c 2 8

    3)

    y + 4

    4)

    b 3

    Чтобы найти степень многочлена или монома с более чем одной переменной для одного и того же члена, просто сложите показатели для каждой переменной, чтобы получить степень.

    Найдите степень x 3 y 2 + x + 1.

    Степень этого многочлена - это степень одночлена x 3 y 2

    Поскольку степень x 3 y 2 равно 3 + 2 = 5, степень x 3 y 2 + x + 1 равна 5

    Подведем итог, какова степень многочлена

    Степень полиномиальной викторины.

    Как найти степень многочлена

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.x [/ latex], где [latex] b> 0 [/ latex] - это функция, которая будет оставаться пропорциональной своему исходному значению при увеличении или уменьшении.

    Цели обучения

    Описать свойства графиков экспоненциальных функций

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Если основа, [латекс] b [/ латекс], больше, чем [латекс] 1 [/ латекс], то функция возрастает экспоненциально со скоростью роста [латекс] b [/ латекс]. Это известно как экспоненциальный рост.
    • Если основа, [латекс] b [/ латекс], меньше [латекс] 1 [/ латекс] (но больше, чем [латекс] 0 [/ латекс]), функция экспоненциально уменьшается со скоростью [латекс] b [/латекс].x [/ latex] принимает только положительные значения и имеет ось [latex] x [/ latex] в качестве горизонтальной асимптоты.
    Ключевые термины
    • экспоненциальный рост : рост стоимости количества, скорость роста которого пропорциональна мгновенному значению количества; например, когда стоимость увеличилась вдвое, скорость увеличения также увеличится вдвое. Ставка может быть положительной или отрицательной. Если отрицательный, он также известен как экспоненциальный спад.
    • асимптота : линия, к которой кривая приближается произвольно близко.Асимптота может быть вертикальной, наклонной или горизонтальной. Горизонтальные асимптоты соответствуют значению, к которому кривая приближается, когда [latex] x [/ latex] становится очень большим или очень маленьким.
    • экспоненциальная функция : любая функция, в которой независимая переменная представлена ​​в форме экспоненты; они являются обратными функциями логарифмов.

    Определения

    На самом базовом уровне экспоненциальная функция - это функция, в которой переменная появляется в экспоненте.x [/ latex], когда [latex] b> 1 [/ latex]. Один из способов построить график этой функции - выбрать значения для [latex] x [/ latex] и подставить их в уравнение для генерации значений для [latex] y [/ latex]. Таким образом мы можем получить следующие баллы:

    [латекс] (- 2, \ frac {1} {4}) [/ латекс], [латекс] (- 1, \ frac {1} {2}) [/ латекс], [латекс] (0,1 ) [/ латекс], [латекс] (1,2) [/ латекс] и [латекс] (2,4) [/ латекс]

    При соединении точек вы заметите плавную кривую, которая пересекает ось [latex] y [/ latex] в точке [latex] (0,1) [/ latex] и увеличивается как [latex] x [ / latex] принимает все большие и большие значения.x [/ latex], когда [latex] 0

    [латекс] (- 2,4) [/ латекс], [латекс] (- 1,2) [/ латекс], [латекс] (0,1) [/ латекс], [латекс] (1, \ frac {1} {2}) [/ latex] и [latex] (2, \ frac {1} {4}) [/ latex]

    Когда вы соедините точки, вы заметите плавную кривую, которая пересекает ось Y в точке [latex] (0,1) [/ latex] и уменьшается по мере того, как [latex] x [/ latex] принимает все больше и больше значения.х [/ латекс]. Поскольку [latex] 1 [/ latex] к любой мощности дает [latex] 1 [/ latex], функция эквивалентна [latex] y = 1 [/ latex], которая представляет собой горизонтальную линию, а не экспоненциальное уравнение.

    Если [latex] b [/ latex] отрицательно, то увеличение [latex] b [/ latex] до четной степени приводит к положительному значению для [latex] y [/ latex] при увеличении [latex] b [/ latex] ] в нечетную степень приводит к отрицательному значению [latex] y [/ latex], что делает невозможным соединение полученных точек каким-либо осмысленным способом и, конечно, не таким образом, который генерирует кривую, как в примерах выше.x [/ latex] имеет ось [latex] x [/ latex] в качестве горизонтальной асимптоты, потому что кривая всегда будет приближаться к оси [latex] x [/ latex], когда [latex] x [/ latex] приближается к положительному или отрицательная бесконечность, но никогда не пересечет ось, так как никогда не будет равна нулю.

    Графики логарифмических функций

    Логарифмические функции могут быть построены вручную или в электронном виде с точками, обычно определяемыми с помощью калькулятора или таблицы.

    Цели обучения

    Описать свойства графиков логарифмических функций

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • На графике логарифмическая функция похожа по форме на функцию квадратного корня, но с вертикальной асимптотой, поскольку [латекс] x [/ латекс] приближается к [латексу] 0 [/ латексу] справа.
    • Точка [latex] (1,0) [/ latex] находится на графике всех логарифмических функций вида [latex] y = log {_b} x [/ latex], где [latex] b [/ latex] положительное действительное число.
    • Область логарифмической функции [latex] y = log {_b} x [/ latex], где [latex] b [/ latex] - все положительные действительные числа, представляет собой набор всех положительных действительных чисел, тогда как диапазон эта функция - все действительные числа.
    • График логарифмической функции вида [латекс] y = log {_b} x [/ latex] может быть сдвинут по горизонтали и / или вертикали, добавив константу к переменной [latex] x [/ latex] или к [ латекс] и [/ латекс] соответственно.
    • Логарифмическая функция вида [латекс] y = log {_b} x [/ latex], где [latex] b [/ latex] - положительное вещественное число, может быть построена с помощью калькулятора для определения точек на графике или можно изобразить без калькулятора, используя тот факт, что обратная ему функция является экспоненциальной.
    Ключевые термины
    • логарифмическая функция : Любая функция, в которой независимая переменная представлена ​​в виде логарифма. Обратный к логарифмической функции является экспоненциальной функцией и наоборот.
    • логарифм : Логарифм числа - это показатель степени, на который нужно увеличить другое фиксированное значение, основание, чтобы получить это число.
    • асимптота : линия, к которой кривая приближается произвольно близко. Асимптоты могут быть горизонтальными, вертикальными или наклонными.

    Ниже приведены графики логарифмических функций с основаниями 2, [latex] e [/ latex] и 10.

    Логарифмические графики: После [latex] x = 1 [/ latex], где графики пересекают ось [latex] x [/ latex], [latex] \ log_2 (x) [/ latex] красный находится выше [latex] \ log_e (x) [/ latex] зеленого цвета, который выше [latex] \ log_ {10} (x) [/ latex] синего цвета.До этого момента порядок обратный. Все три логарифма имеют ось [latex] y [/ latex] в качестве вертикальной асимптоты и всегда увеличиваются.

    Все три логарифмических графика начинаются с крутого подъема после [latex] x = 0 [/ latex], но растягиваются все больше и больше по горизонтали, их наклон уменьшается по мере увеличения [latex] x [/ latex]. Все они пересекают ось [latex] x [/ latex] в [latex] x = 1 [/ latex].

    Свойства графов логарифмических функций

    Особые очки

    График пересекает ось [latex] x [/ latex] в точке [latex] 1 [/ latex].у = 1 [/ латекс]. Поскольку [latex] b> 0 [/ latex], искомый показатель степени равен [latex] 1 [/ latex] независимо от значения [latex] b [/ latex]. Это означает, что точка [latex] (x, y) = (1,0) [/ latex] всегда будет на логарифмической функции этого типа.

    Асимптоты

    Ось [latex] y [/ latex] - это вертикальная асимптота графа. Это означает, что кривая приближается к оси [латекс] y [/ латекс], но не пересекает ее.

    Давайте посмотрим, что происходит, когда значение [latex] x [/ latex] приближается к нулю справа для уравнения, график которого показан выше.А именно [латекс] y = бревно {_b} x [/ латекс]. Мы можем сделать это, выбрав значения для [latex] x [/ latex], подставив их в уравнение и сгенерировав значения для [latex] y [/ latex].

    Предположим, что [latex] b [/ latex] является положительным числом, большим, чем [latex] 1 [/ latex], и исследуем значения [latex] x [/ latex] между [latex] 0 [/ latex] ] и [латекс] 1 [/ латекс]. В этих условиях, если мы допустим [latex] x = \ frac {1} {b} [/ latex], уравнение станет [latex] y = log \ frac {1} {b} [/ latex].

    Таким образом, мы ищем такой показатель степени, что [latex] b [/ latex], возведенный к этому показателю, дает [latex] \ frac {1} {b} [/ latex].{1000}}, - 1000) [/ латекс]

    Как видно, чем ближе значение [latex] x [/ latex] к [latex] 0 [/ latex], тем более отрицательным становится график. То есть, когда [latex] x [/ latex] приближается к нулю, график приближается к отрицательной бесконечности. Это означает, что ось [latex] y [/ latex] является вертикальной асимптотой функции.

    Домен и диапазон

    Область определения функции - все положительные числа. Это означает, что значение [latex] x [/ latex] функции всегда будет положительным.Давайте начнем с рассмотрения, почему значение кривой [latex] x [/ latex] никогда не равно [latex] 0 [/ latex].

    Если бы значение [latex] x [/ latex] было равно нулю, функция считала бы [latex] y = log {_b} 0 [/ latex].

    Здесь мы ищем такой показатель степени, что [latex] b [/ latex], возведенный в эту экспоненту, равен [latex] 0 [/ latex]. Поскольку [latex] b [/ latex] является положительным числом, не существует показателя степени, в который мы можем возвести [latex] b [/ latex], чтобы получить [latex] 0 [/ latex]. Фактически, поскольку [latex] b [/ latex] положительное значение, возведение его в степень всегда будет давать положительное число.

    Диапазон функции - все действительные числа. То есть график может принимать любое действительное число.

    Сравнение [latex] y = log {_x} [/ latex] и [latex] y = \ sqrt {x} [/ latex]

    На первый взгляд график логарифмической функции легко принять за график функции квадратного корня.

    График [latex] y = \ sqrt {x} [/ latex] : График функции квадратного корня напоминает график логарифмической функции, но не имеет вертикальной асимптоты.

    Как квадратный корень, так и логарифмические функции имеют домен, ограниченный значениями [latex] x [/ latex] больше, чем [latex] 0 [/ latex]. Однако у логарифмической функции есть вертикальная асимптота, убывающая в сторону [латекс] - \ infty [/ latex], когда [latex] x [/ latex] приближается к [latex] 0 [/ latex], тогда как квадратный корень достигает минимума [латекс] y [/ latex] -значение [latex] 0 [/ latex]. Диапазон функции квадратного корня - это все неотрицательные действительные числа, тогда как диапазон логарифмической функции - все действительные числа.

    Графические логарифмические функции

    Графические логарифмические функции могут быть выполнены путем определения точек на кривой вручную или с помощью калькулятора.

    При построении графиков без калькулятора мы используем тот факт, что обратная логарифмическая функция является экспоненциальной функцией.

    При построении графиков с помощью калькулятора мы используем тот факт, что калькулятор может вычислять только десятичные логарифмы (основание - [латекс] 10 [/ latex]), натуральные логарифмы (основание - [латекс] е [/ латекс]) или двоичные логарифмы ( основа [латекс] 2 [/ латекс]). y = x [/ латекс]

    Теперь рассмотрим инверсию этой функции.х = у [/ латекс]. Однако, если мы поменяем местами координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] каждой точки, мы фактически получим список точек исходной функции.

    Это: [латекс] (\ frac {1} {9}, - 2), (\ frac {1} {3}, - 1), (1,0), (3,1), (9, 2) [/ латекс] и [латекс] (27,3) [/ латекс].

    Мы строим и соединяем эти точки, чтобы получить график функции [latex] y = log {_3} x [/ latex] ниже.

    График [latex] y = log {_3} x [/ latex]: График логарифмической функции с основанием [latex] 3 [/ latex] можно сгенерировать, используя обратную функцию.Его форма такая же, как и у других логарифмических функций, только в другом масштабе.

    Графические логарифмические функции с основаниями между [latex] 0 [/ latex] и [latex] 1 [/ latex]

    Итак, мы построили график логарифмических функций, основания которых больше [latex] 1 [/ latex]. Если вместо этого мы рассмотрим логарифмические функции с базой [latex] b [/ latex], такие, что [latex] 0

    Фактически, если [latex] b> 0 [/ latex], график [latex] y = log {_b} x [/ latex] и график [latex] y = log {_ \ frac {1} { b}} x [/ latex] симметричны по оси [latex] x [/ latex].Таким образом, если мы идентифицируем точку [latex] (x, y) [/ latex] на графике [latex] y = log {_b} x [/ latex], мы можем найти соответствующую точку на [latex] y = log {_ \ frac {1} {b}} x [/ latex], изменив знак координаты [latex] y [/ latex]. Соответствующая точка - [латекс] (x, -y) [/ latex].

    Вот пример для [latex] b = 2 [/ latex].

    Графики [latex] log {_2} x [/ latex] и [latex] log {_ \ frac {1} {2}} x [/ latex] : Графики [latex] log_2 x [/ latex ] И [latex] log {_ \ frac {1} {2}} x [/ latex] симметричны относительно оси x

    Решение задач с логарифмическими графами

    Некоторые функции с быстро меняющейся формой лучше всего отображать в масштабе, который экспоненциально возрастает, например на логарифмическом графике.

    Цели обучения

    Преобразуйте задачи в логарифмические масштабы и обсудите преимущества этого

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • В логарифмических графиках используются логарифмические шкалы, в которых значения различаются экспоненциально. Например, вместо отметок [латекс] 0,1,2 [/ латекс] и [латекс] 3 [/ латекс], логарифмическая шкала может включать отметки [латекс] 0,1, 1, 10 [/ латекс] и [латекс] 100 [/ латекс], каждый на одинаковом расстоянии от предыдущего и следующего.5 [/ latex] масштабируется для отображения очень широкого диапазона значений [latex] y [/ latex], кривизна около начала координат может быть неразличима на линейных осях. На логарифмических осях это намного яснее.
    Ключевые термины
    • логарифм : Логарифм числа - это показатель степени, на который нужно увеличить другое фиксированное значение, основание, чтобы получить это число.
    • интерполировать : для оценки значения функции между двумя точками, между которыми она табулирована.

    Зачем нужна логарифмическая шкала?

    Многие математические и физические зависимости функционально зависят от переменных высокого порядка. Это означает, что при небольших изменениях в независимой переменной происходят очень большие изменения в зависимой переменной. Таким образом, становится трудно построить график таких функций на стандартной оси.

    Рассмотрим в качестве примера закон Стефана-Больцмана, который связывает мощность (j * ), излучаемую черным телом, с температурой (T).4 [/ латекс]

    На стандартном графике это уравнение может быть довольно громоздким. Зависимость четвертой степени от температуры означает, что мощность увеличивается чрезвычайно быстро. Тот факт, что скорость постоянно увеличивается (и очень круто), означает, что изменение масштаба (масштабирование осей на [латекс] 5 [/ латекс], [латекс] 10 [/ латекс] или даже [латекс] 100 [/ латекс]) ) мало помогает облегчить интерпретацию графика.

    Для очень крутых функций можно строить точки более плавно, сохраняя целостность данных: можно использовать график с логарифмической шкалой, где вместо каждого пробела на графике, представляющего постоянное увеличение, он представляет экспоненциальное увеличение .Если нормальный (линейный) график может иметь равные интервалы, идущие от 1, 2, 3, 4, то в логарифмической шкале те же равные интервалы будут представлять 1, 10, 100, 1000. x, f (x) = x [/ latex] и [latex] f (x) = \ log x [/ latex] на четырех разные координатные участки.Вверху слева - линейная шкала, вверху справа и внизу слева - полулогарифмические шкалы, а внизу справа - логарифмическая шкала.

    Как вы можете видеть, когда обе оси использовали логарифмическую шкалу (внизу справа), график сохранил свойства исходного графика (вверху слева), где обе оси были масштабированы с использованием линейной шкалы. Это означает, что если мы хотим изобразить громоздкую функцию в линейном масштабе, мы можем использовать логарифмическую шкалу на каждой оси и сохранить свойства графика, в то же время упростив построение графика.

    В полулогарифмических масштабах функции имеют искаженные формы относительно оригинала. Когда только ось [latex] x [/ latex] имеет логарифмический масштаб, логарифмическая кривая отображается в виде линии, а линейная и экспоненциальная кривые выглядят экспоненциально. Когда только ось [латекс] y [/ латекс] имеет логарифмический масштаб, экспоненциальная кривая отображается как линия, а линейная и логарифмическая кривые выглядят как логарифмические. Следует отметить, что примеры на графиках предназначены для иллюстрации точки и что изображенные на графике функции не обязательно были громоздкими на линейно масштабируемом наборе осей.

    Преобразование линейной шкалы в логарифмическую

    Основное различие между логарифмической и линейной шкалами состоит в том, что, в то время как разница в значениях между линейными точками равного расстояния остается постоянной (то есть, если промежуток от [latex] 0 [/ latex] до [latex] 1 [/ latex] ] по шкале [латекс] 1 [/ латекс] см на странице, расстояние от [латекса] 1 [/ латекса] до [латекса] 2 [/ латекса], от [латекса] 2 [/ латекса] до [латекса ] 3 [/ latex] и т. Д. Будут одинаковыми) разница значений между точками по логарифмической шкале будет меняться экспоненциально.Логарифмическая шкала начинается с определенной степени [латекс] 10 [/ латекс], и с каждой единицей увеличивается на степень [латекс] 10 [/ латекс].

    Таким образом, если кто-то хочет преобразовать линейную шкалу (со значениями [latex] 0-5 [/ latex] в логарифмическую шкалу, одним из вариантов будет замена [latex] 1,2,3,4 [/ latex] и 5 с [латексом] 0,001,0,01,0,1,1,1,10 [/ латекс] и [латекс] 100 [/ латекс], соответственно.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта