Квадратный корень из 2 3: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Квадратный корень из 3;2;5 - Квадратный Корень

Квадратный корень из числа 3 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 3.

Его приблизительным значением с 69 цифрами после запятой является:

Округленное значение 1.732 является правильным с точностью до 0,01 %. Приблизительной правильной дробью является (1,7321 42857…).

Квадратный корень из 3 является иррациональным числом. Также известен как Феодоровская постоянная, названная в честь Феодора Киренского.

Может быть выражен в виде непрерывной дроби [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, …].

Геометрия

Квадратный корень из 3 равен длине между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

Если равносторонний треугольник со сторонами длиной 1 делится на две равные половины, пересечением внутреннего угла для составления прямого угла с одной стороной, то получившийся прямоугольный треугольник имеет гипотенузу со стороной 1 и катеты длиной 1/2 и Поэтому тангенс 60° равен

Так же, это расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

является длиной диагонали куба со стороной 1.

Использование в других областях

Энергетика

При трехфазной системе токов модуль напряжения между двумя фазами (линейное напряжение) в больше модуля фазного напряжения

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1. Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416…
  • 577/408 = 1.414215…
  • 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор 3.6 GHz с 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

.Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство √2:

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

и

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения :

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида , где — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пусть , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.

Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число.[1]

Его приблизительное значение с 59 цифрами после запятой является:

Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков.[2]

Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:

Вавилонский метод

Вычисление корня из 5, начиная с r0 = 2, где rn+1 = (rn + 5/rn) / 2:

Золотое сечение

√5/2 — диагональ половины квадрата, представляет собой геометрическое представление о золотом сечении.

Золотое сечение φ — среднее арифметическое 1 и корня из 5.[3]

() алгебраически можно выразить так:

Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:

Отношение √5 к φ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка:[4]

Алгебра

Кольцо содержит числа вида , где a и b целые числа и мнимое число . Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.

Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:

Поле  — абелево расширение рациональных чисел.

Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:

Тождества Рамануджана

Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями.[5][6]

Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:

2 корня из 2 минус 2

Вы искали 2 корня из 2 минус 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 минус 2 корня из 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «2 корня из 2 минус 2».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2 корня из 2 минус 2,2 минус 2 корня из 2,3 корня из 2 минус корень из 2,корень из 2 минус 3 корня из 2,корень из минус 2,минус корень квадратный из 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 корня из 2 минус 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 3 корня из 2 минус корень из 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 корня из 2 минус 2 Онлайн?

Решить задачу 2 корня из 2 минус 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Три простых правила относительно квадратного корня. Часть 3

GRE Mathematics уделяет особое внимание заданиям на квадратный корень. В двух предыдущих частях статьи, мы рассматривали, что делать, если все числа в задании положительные. Если же это не так, то следует применять ещё 2 правила GRE Maths.

Правило №2: если x2 = 9, то x = 3, x = -3

Эта ситуация отлична от описанных ранее . Мы больше не имеем знака квадратного корня, зато здесь есть показатель степени. Если 3 возвести в квадрат, то мы получим 9. Если мы возведем -3 в квадрат – мы также получим 9. Следовательно, оба числа являются возможным значением x, потому что оба делают равенство верным.

С математической точки зрения, мы бы сказали, что x = 3 или  x = -3. Если вы выполняете задание в разделе Quantitative Comparison, подумайте об этом следующим образом: если одно из них является возможным значением x, то оба варианта должны быть рассмотрены возможными значениями при сравнении Величины А и Величины В.

Правило №3: √(x)2 = 3, если x = 3, x = -3

Итак, вернемся к знаку квадратного корня, но теперь у нас есть и показатель степени! Что дальше? Указывать только положительное число, потому что мы имеем знак корня? Или указывать оба значения, потому что есть показатель степени?

Сначала вычислите значение x: возведите в степень оба значения √(x)2 = 3, чтобы получить x2 = 9. Вычислите квадратный корень, чтобы получить x = 3, x = -3 (как в правиле №2).

Подставьте оба числа в данное равенство,  √x2 = 3, и посмотрите, делают ли они равенство верным.  Если мы подставим 3 в равенство √x2 = 3, мы получим: √(3)2 = 3. Верно ли это? Да: √(3)2 = √9 и это действительно равняется 3.

Теперь подставьте в равенство -3: √(-3)2= 3. Под корнем у нас стоит отрицательное число, но также в скобках у нас есть квадратная степень. Следуйте установленному порядку действий: возведите число в квадрат, чтобы получить √9. Больше нет никаких отрицательных чисел под знаком корня! Заканчивая решение задачи, мы получаем √9, и снова это должно равняться 3, поэтому -3 тоже является возможным значением x. X может быть равен как 3, так и -3.

GRE Math Practice: Как это все не забыть?

Запомните: в первом примере представлено либо действительное число, либо очевидная переменная (не возведение в степень!) под знаком квадратного корня. В обоих случаях мы должны получить решение с положительными значениями  корня, но не отрицательными.

Второй и третий примеры имеют квадратную степень. Во втором правиле нет знака квадратного корня – в этом случае  мы можем получить и положительный, и отрицательный ответ. В нашем третьем правиле есть и знак квадратного корня, и степень в квадрате. В этой ситуации мы должны произвести расчеты, как показано в примере. Сначала мы решаем оба варианта, а затем подставляем их в исходное равенство. Если эти варианты делают равенство верным, то это и есть правильный  ответ.

Подготовка к GRE Test включает в себя штудирование не только официальных учебников, но также изучение советов и подсказок, которые представлены здесь. Возможно, на самом тесте вам пригодятся именно они! Успехов!

Пример несложного задания на квадратные корни в тесте GRE:

 

По материалам сайта: www.manhattanprep.com

§ Квадратный корень из произведения

… =
=
= √1 = 1

Квадратный корень из единицы равен единице √1 = 1.


Внимание: частая ошибка!

Неправильное использование квадратного корня из произведения Запомните!

Важно запомнить следующее правило: свойство квадратного корня из произведения можно применять, только если под корнем действие умножения.

√a · b = √a · √b    — верно

Если под корнем есть сумма и (или) вычитание, то применять формулу НЕЛЬЗЯ!

√a + b ≠ √a + √b    — неверно

√a − b ≠ √a − √b    — неверно

Разберёмся по традиции на примере. Требуется вычислить.

√82 2 − 18 2 = …

После изучения формулы корня из произведения первым желанием является сделать так:

√82 2 − 18 2 ≠ √82 2 − √18 2    — неверно

Это неверно. Свойство
   «√a · b = √a · √b »    НЕЛЬЗЯ использовать в данном примере, т.к. под корнем есть знак вычитания «−», т.е. действие вычитания.

Выполним последовательно действия под корнем и вычислим из полученного результата квадратный корень.

√82 2 − 18 2 = √6724 − 324 = √6400 =
= 80

Подобные примеры можно решать другим способом через формулу разности квадратов.

(a2 − b2) = (a − b)(a + b)

√82 2 − 18 2 = √(82 − 18)(82 + 18) =
= √64 · 100 = …

Обратите внимание, что сейчас под знаком корня осталось только произведение. Следовательно, мы можем применить свойство корня из произведения.

√a · b = √a · √b

√82 2 − 18 2 = √(82 − 18)(82 + 18) =
= √64 · 100 = √64 · √100 = 8 · 10 = 80

Мы получили такой же результат, как и в первом варианте решения.

Алимов 9 класс № 340 (2)
2) √0,01 · 169 = √0,01 · √169 =
= √0,01 · 13 = …

Снова требуется вспомнить правило извлечения квадратного корня из десятичной дроби и умножение десятичных дробей.

√0,01 · 169 = √0,01 · √169 =
= √0,01 · 13 = 0,1 · 13 = 1,3
Алимов 9 класс № 343 (6)
6)
  ·
  ·
=
=
 ·   · 
=
=
=
=
=
Алимов 9 класс № 346 (1, 4)
1) (√8 + √2)2 = …

Для решения примера используем формулу квадрат суммы.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(√8 + √2)2 =
= (√8)2 + 2 · √8 · √2 + (√2)2 =
= 8 + 2 · √8 · 2 + 2 = 10 + 2 · √16 =
= 10 + 2 · 4 = 10 + 8 = 18


4) (5√2 + 2√5)(5√2 − 2√5) = …

Обратите внимание, произведение в скобках похоже на формулу «Разность квадратов» в обратном порядке.

(a2 − b2) = (a − b)(a + b)
(a − b)(a + b) = (a2 − b2)

Действительно, если заменить в формуле «a» на «5√2» и «b» на «2√5», то получится формула сокращенного умножения «Разность квадратов».

(a − b)(a + b) = (a2 − b2)

(5√2 + 2√5)(5√2 − 2√5) =
= (5√2)2 − (2√5)2 = …

Используем свойство «Степень произведения».

(a · b)2 = a2 · b2

(5√2 + 2√5)(5√2 − 2√5) =
= (5√2)2 − (2√5)2 =
= 52 · (√2)2 − 22 · (√5)2 =
= 25 · 2 − 4 · 5 = 50 − 20 = 30



Квадратный корень в Excel - НА ПРИМЕРАХ

В статье показано, как найти квадратный корень в Excel, а также как вычислить корень n-ой степени.

Возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня – очень распространенные операции в математике. Но как извлечь квадратный корень в Excel? Либо используя функцию КОРЕНЬ, либо возвести число в степень 1/2. Рассмотрим конкретные примеры.

Как найти квадратный корень в Excel с использованием функции КОРЕНЬ

Самый простой способ найти квадратный корень в Excel – это использовать специально разработанную для этого функцию:

=КОРЕНЬ(число)

где число – это число или ссылка на ячейку, содержащую число, для которого вы хотите найти квадратный корень.

Например, чтобы извлечь квадратный корень из 225, вы используете эту формулу: =КОРЕНЬ(225)

Чтобы вычислить квадратный корень из числа в A2, используйте это: =КОРЕНЬ(A2)

Квадратный корень в Excel – Использование функции КОРЕНЬ для вычисления квадратного корня

Если число отрицательное, как в строках 7 и 8 на изображении выше, функция Excel КОРЕНЬ возвращает ошибку #ЧИСЛО! Это происходит потому, что квадратный корень отрицательного числа не существует среди множества действительных чисел.0,5.

Как показано на изображении ниже, функция КОРЕНЬ в Excel и формула экспоненты дают одинаковые результаты:

Квадратный корень в Excel – Поиск квадратного корня с использованием экспоненты

Как найти квадратный корень функцией СТЕПЕНЬ

Функция СТЕПЕНЬ - это еще один способ найти квадратный корень в Excel, т. е. возвести число в степень 1/2.

Синтаксис функции СТЕПЕНЬ выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число; степень)

Соответственно, чтобы получить квадратный корень, вы задаете аргумент степень равным 1/2. Например:

=СТЕПЕНЬ(A2, 1/2)

Как показано на изображении ниже, все три формулы с квадратным корнем в Excel дают одинаковый результат:

Квадратный корень в Excel – Найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

Как посчитать корень n-ой степени

Формула экспоненты, рассмотренная выше, не ограничивается поиском только квадратного корня.{n}=\underbrace{b*b*b*...*b}_{n \; раз}=a. $$

Число \(n\) при этом называют показателем корня.

Если \(n=2\), то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если \(n=3\), то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.


Пример 1 $$ \sqrt[3]{27}=3 $$

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.


Пример 2 $$ \sqrt[4]{16}=2 $$

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.


Пример 3 $$ \sqrt[3]{0}=0 $$

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.


Пример 4 $$ \sqrt[3]{19}= ? $$

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим \(2,668…\) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть \(\sqrt[3]{19}\).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$ $$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.


Корень четной и нечетной степени

Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:


Пример 5 $$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.


Пример 6 $$ \sqrt[4]{-27} $$

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.k} $$

Сколько квадратный корень из 100

На нашем сайте мы разберемся, сколько получится, если извлечь квадратный корень из цифры 100. Выясним сколько будет квадратный корень из 100, потому как над таким вопросом многие годы ломали головы более 1 тысячи специалистов и многие пришли к такому возможному решению, что невозможно получить квадратный корень из 100. В подобном случае, будет очень важно знать верный вопрос, который касается особенностей получения квадратного корня из 100. Будем максимально точны, тогда мы начнем расчет арифметического корня из 100, потому как в обычном квадратном корне из этой цифры — получится два числа, одними из них являются: 10: -10.

Многие люди задают вопрос, квадратный корень из 100 как высчитать? Чтобы в этом разобраться, потребуется посчитать сумму необходимых нам чисел простым математическим способом при помощи применения вертикальной, стандартной чертой, корни и числа, которые нужно записывать справа вниз. Здесь мы сможем высчитать необходимый квадрат единиц определенного корня, а также умножать 10-ки и вычислять увеличенное на 2, а не утроенное число определенного десятка. Определенные цифры, чтобы ответить на вопрос — корень из 100 чему равен, нам потребуется возвестить в квадрат. У нас в таком случае получится двузначная цифра, когда вышло 10. Следовательно, в таком случае расчет мы выполнили верно.

Необходимо помнить очень важное правило: чтобы узнать сколько будет квадратный корень из 100, первым делом вычисляем извлекаемый любой корень и числа его всех сумм, а также сотен. Когда полученная цифра больше или же равняется 100, теперь требуется найти корень и 100-тен фактических чисел этих 100-тен. После этого из десятков тысяч (то есть фактического значения числа). Это правило будет очень актуально, когда число гораздо превышает 100, после этого нужно будет вычислить квадратный корень из сотен десятков тысяч. То есть, если быть более точными — это будет из миллиона определенного числа. Существует большое количество разнообразных правил, которые непосредственно касаются данного вопроса. Если заниматься прогрессом вычисления, тогда следует обратить повышенное внимание на такой важный факт, что в корне такое же количество цифр, сколько под завершающим количеством граней.

Каким образом вычислить корень определенного числа

Цель нахождения определенного корня состоит в том, что необходимо выполнить обратное действие возведения определенного числа в степень. Следует помнить, что корни могут значительно отличаться: корни II, III, а также IV-степени. Этот момент имеет очень важное значение и его следует понимать. Корень имеет определенный символ: √ – это корень из II-степени. Следует отметить такой момент, что, когда степень по значения выше, чем II-степень, тогда над ним необходимо будет прописать знак степени. Цифра, которая располагается под знаком корня – это называется подкоренное выражение. Выполняя процедуру поиска корня, нам потребуется знать несколько важных правил, которые касаются данного вопроса. Они окажут необходимую помощь и помогут не допустить ошибки выполняя расчеты:

Корень определенной четной степени (когда сама степень 2, 6, 8 и так дальше) из отрицательной цифры не существует. В возможных случаях, когда определенное выражение (подкоренное) является отрицательным, тогда поиск корня необходимо выполнять степени (нечетной) (к примеру: 3, 7 и так дальше). В итоге, результат, мы сможем получить отрицательный. Также, потребуется знать, что корень от 1 всегда будет выглядеть следующим образом: √1 = 1., а также: √0 = 0.

Как рассчитать корень из 100

Когда в поставленной задаче указано, какой степени корень нужно вычислить, тогда считают, что следует найти корень II-степени (то есть квадратный).

Ответим на такой вопрос: √100 = ? Потребуется найти цифру, при выполнении процедуры его возведения в II-степень, у нас будет 100. В таком случае становится понятно, что этим числом будет считаться цифра 10, потому как: 102 = 100. Поэтому, √100 = 10.

Рассчитаем представленное выражение. Чтобы достичь поставленной цели, требуется вынести имеющееся число из под корня. Это будет выглядеть следующим образом.

√100 = 100’1/2 = (10’2)’1/2 = 10′(2 * 1/2) = 10’2/2 = 10’1 = 10.

Также, это выглядит таким образом: √100 = √10’2 = 10.

В итоге у нас получится число 10. Теперь мы знаем, ответ на вопрос: квадратный корень из 100 сколько это будет?

Квадратный корень из 2

Пифагорейские философы Древней Греции глубоко уважали числа. Арифметика и геометрия охранялись как форма секретного знания, которое могло быть раскрыто только избранным.

Они считали, что сама Вселенная представляет собой проявление чисел и геометрии, поэтому, исследуя математику, они получали представление о более глубоком слое космической реальности. Поэтому для пифагорейцев было глубоким шоком открытие, что некоторые числа лежат за пределами их аккуратной интеллектуальной схемы.

В детстве мы сначала учимся считать целые числа, 1, 2, 3… которые математики называют «натуральными» числами. Затем нас учат дробям, которые выражаются как отношение натуральных чисел, например 2/5 или 1/3. После этого идут десятичные дроби.

Каждая дробь, как мы знаем, может быть выражена в виде десятичной дроби - например, 2/5 = 0,4 и 1/3 = 0,33333… (где «…» означает, что последовательность трех секунд продолжается бесконечно). Но верно ли обратное? Можно ли каждую десятичную дробь выразить дробью?

Разумеется, десятичные дроби конечной длины всегда можно выразить дробями, например, 0.43857 = 43857/100000. А как насчет десятичных дробей бесконечной длины? Что ж, повторяющиеся десятичные разложения можно выразить дробями, например 0,33333… = 1/3 и 0,285714285714285714… = 2/7. Но предположим, что десятичное разложение не повторяется? Ведь таких чисел бесконечное множество!

Ранние пифагорейцы были убеждены, что каждое мыслимое число в принципе может быть записано в дробной форме, как отношение двух натуральных чисел. Они думали, что, поскольку существует бесконечный запас натуральных чисел, их должно быть достаточно для выполнения работы.Открытие, что это было ошибочное мнение, возможно, сделанное геометром Гиппасом в V веке до нашей эры, стало шокирующей новостью. Согласно легенде, Гиппаса сбросили с лодки и утонули, чтобы истина не стала широко известна, такова была угроза пифагорейской концепции порядка во Вселенной.

Даже сегодня числа, которые не могут быть выражены как отношение натуральных чисел, называются иррациональными числами, даже если они имеют смысл для современных математиков.

На самом деле легко понять, почему некоторые числа иррациональны.Известный пример - квадратный корень из 2, который составляет примерно 1,4142, и обозначается как √2.

Если √2 было рациональным, оно должно быть выражено в форме a / b, где a и b - натуральные числа (то есть целые числа). Мы можем записать это в форме уравнения, √2 = a / b, а затем дать быстрый математический анализ шин.

Во-первых, мы знаем, что хотя бы одно из двух неизвестных чисел, a и b, должно быть нечетным. Если бы оба были четными, мы могли бы разделить верхнюю и нижнюю на 2 и уменьшить дробь до отношения меньших чисел (например, 2/8, что сокращается до 1/4).

Теперь давайте посмотрим на уравнение под разными углами. Если возвести в квадрат обе части уравнения √2 = a / b, мы получим

2 = a 2 / b 2 (1)

, что может быть записано как

a 2 = 2b 2 . (2)

Сразу можно сделать вывод, что 2 - четное число. Почему? Потому что это дважды b 2 . Умножьте любое натуральное число на два (а мы знаем, что b - натуральное число), и ответ будет четным.Значит, 2 должны быть четными.

Теперь, если 2 четно, то также и (квадрат нечетного числа всегда нечетный). Поскольку мы уже указали, что a и b не могут быть четными, мы можем сделать вывод, что b должно быть нечетным. Все идет нормально. Однако сигнал тревоги начинает звонить, когда мы замечаем, что если a четное, его всегда можно выразить как 2c, где c - другое натуральное число. Подставив это в уравнение (1), мы получим

2 = 4c 2 / b 2

или, переставив уравнение и разделив на 2,

b 2 = 2c 2 .

Используя те же рассуждения, которые следуют за уравнением (2), мы заключаем, что b должно быть четным числом. Но мы уже определили, что b нечетно, поэтому приходим к абсурдному выводу, что b одновременно и четное, и нечетное, что явно невозможно. Ошибочные рассуждения проистекают из исходного предположения, что √2 может быть выражено как отношение целых чисел. Оно не может; это «иррационально».

Оказывается, почти все числа иррациональны, в том числе такие известные, как π и φ, золотое сечение ( Cosmos, 65, стр. 120).

Существует безграничное количество как рациональных, так и иррациональных чисел, но как-то на иррациональных чисел на больше, чем рациональных - они образуют более широкий класс бесконечности.

Непонимание этого факта часто вводило в заблуждение древних греков и приводило к всевозможным парадоксам, пока тема бесконечности не была окончательно решена в 19 веке.

Сегодня мы видим, что иррациональные числа - это не катастрофа, а просто расширение системы счисления, точно так же, как дроби были введены как расширение натуральных чисел.В последующие века система счисления была расширена и другими способами, но это тема для будущей колонки.

Ссылки по теме:

Таблица квадратов и квадратных корней

Что такое квадратные корни и почему нас это волнует?

Квадратный корень из числа - это число, которое при умножении само на себя дает желаемое значение. Так, например, квадратный корень из 49 равен 7 (7x7 = 49). Сам процесс многократного умножения называется возведением в квадрат .

Числа, квадратные корни которых являются целыми числами (или, точнее, положительными целыми числами), называются точными квадратными числами. Числа с десятичными знаками не являются точными квадратными корнями.

Все положительные числа будут иметь положительное число в качестве квадратного корня, называемого главным, и отрицательное число. Все эти числа известны как действительные числа.

Все отрицательные числа будут иметь комплексное число в качестве квадратного корня. Комплексное число - это число, умноженное на i. i - это «мнимый» квадратный корень из -1.Это называется мнимым, но для математиков оно существует.

Как нам выписать квадратные корни?

Уравнение квадратного корня записывается с использованием знака корня или символа корня (?). Число, из которого мы хотим получить корень, идет после или под хвостом радикала (например,? 3, если мы хотим найти квадратный корень из 3). Число после корня называется подкоренным. На калькуляторе вместо радикала вы можете увидеть «sqrt».

Для чего мы используем квадратный корень?

Это может быть немного сложно представить, но квадратные корни - одни из самых полезных чисел.Функции квадратного корня очень важны для уравнений физики всех видов. Они также полезны для статистики; статистики всегда используют квадратные корни при анализе корреляции между разными точками данных.

Список идеальных квадратов

Используйте эту таблицу, чтобы найти квадраты и квадратные корни чисел от 1 до 100 .

Эту таблицу также можно использовать для вычисления квадратных корней из больших чисел.

  • Например, если вы хотите найти квадратный корень из 2000 , ищите в среднем столбце , пока не найдете число, наиболее близкое к 2000.Число в среднем столбце, которое ближе всего к 2000, - 2,025 .
  • Теперь посмотрите на число слева от от 2 025 , чтобы найти его квадратный корень. Корень квадратный из 2025 составляет 45 .
  • Следовательно, приблизительный квадратный корень из 2000 составляет 45 .

Чтобы получить более точное число, вам нужно использовать калькулятор (44,721 - более точный квадратный корень из 2000).

Готовитесь к длительной учебной сессии? Возможно, вас заинтересует наш список лучших офисных стульев 2020 года.

9014 50 477 2348 9015 7,810 7,810 874 .832 9,220 274 9015
НОМЕР КВАДРАТ КВАДРАТНАЯ КОРЕНЬ
1 1 1.000 9014
1,732
4 16 2.000
5 25 2,236
6 36 2.449
7 49 2.646
8 64 2,828
9 81 3,000 9015 3,000
121 3,317
12 144 3,464
13 169 3,606
14 196 901.742
15 225 3.873
16 256 4.000
17 289 4.123 3215 9016 9016 9016 9016 9016 361 4,359
20 400 4,472
21 441 4,583
22 481 4 0
23 529 4,796
24 576 4,899
25 625 5,00014 901 9016 9016 5,00014 901 9016 5,00014 9016 729 5,196
28 784 5,292
29 841 5,385
30 900
31 961 5,568
32 1,024 5,657
33 1,089 5,745 901 901 5,745 901 5,745 901 1,225 5,916
36 1,296 6.000
37 1,369 6,083
38 1,444164
39 1,521 6,245
40 1,600 6,325
41 1,681
41 1,681 6,403 901 901 901 9016 901 901 9016 1,849 6,557
44 1,936 6,633
45 2,025 6,708
46 50 01 2782
47 2,209 6,856
48 2,304 6,928
49 2,401 7,000 2,401 7,000 2,601 7,141
52 2,704 7,211
53 2,809 7,280
54,9161 7,280
54,9161 7,280
55 3,025 7,416
56 3,136 7,483
57 3,249 7,550 3,249 7,550 3,249 7,550 3,481 7,681
60 3,600 7,746
61 3,721 7,810
62
62
62
63 3,969 7,937
64 4,096 8,000
65 4,225 8,062 4,225 8,062 4,225 8,062 4,489 8,185
68 4,624 8,246
69 4,761 8,307
7016 367
71 5,041 8,426
72 5,184 8,485
73 5,329 8,544 5,329 8,544 8,544 8,544 8,544 5,625 8,660
76 5,776 8,718
77 5,929 8,775
78
79 6,241 8,888
80 6,400 8,944
81 6,561 82141 6,561 9000 9000 901 6,889 9,110
84 7,056 9,165
85 7,225 9,220
7
87 7,569 9,327
88 7,744 9,381
89 7,921 9015 9015 9015 9015 9,434 8,281 9,539
92 8,464 9,592
93 8,649 9,644
94,836695
95 9,025 9,747
96 9,216 9,798
97 9,409
9,8499 9,801 9,950
100 10,000 10,000

ПРИМЕЧАНИЕ. Квадратные корни в этой таблице округлены до тысячных долей.

Средние и медианные числа и формулы для поиска квадратного корня

Калькулятор квадратного корня

Калькулятор квадратного корня

О калькуляторе квадратного корня

Калькулятор квадратного корня используется для нахождения квадратного корня из введенного числа.

Квадратный корень

В математике квадратный корень из числа x - это такое число r, что r 2 = x.

Например:

1. Квадратный корень из 25 равен 5, потому что 5 2 = 25.

3. Квадратный корень из 2 приблизительно равен 1,41421356237.

3. Квадратный корень числа пи (π) приблизительно равен 1,77245385102.

Таблица квадратного корня

Ниже приводится таблица квадратного корня от 1 до 1000 с округлением до 5 цифр:

223607 15 15 12311 6,40312 7,24143

0
96 7.810850 50 7.810850 8,42615 9 96 96 9.539690 10.0148 10210 10.535850 11 11

50 11.445850 96 141 98 14.87434 141 98 14.87434 12.250 12.2509 98 14.1779 98 14.1779 50 50 96 0 96 0 96 0 332 332 332 96 96 20.024850 21608 7

50

50

50

50 841 901 96 96 901 98 30.01650
x √x
1 1
2 1.41421
3 1.73205
6 2.44949
7 2,64575
8 2,82843
9 314
12 3,4641
13 3,60555
14 3,74166
3,87298
3,87298
18 4,24264
19 4,3589
20 4,47214
21 4,58258
24 4.89898
25 5
26 5.09902
27 5.19615
28 5,2915
29 5,38516
30 5,47723
31 5,5671476 31 5,5671476
34 5,83095
35 5,
36 6
37 6.08276
38 6,16441
39 6,245
40 6,32456
41 6,40312
41 6,40312
44 6,63325
45 6,7082
46 6,78233
47 6.85565
48 6,9282
49 7
50 7,07107
51 7,14148 7,2

0
51 7,14143

0
54 7,34847
55 7,4162
56 7,48331
57 7.54983
58 7.61577
59 7.68115
60 7.74597
61
64 8
65 8.06226
66 8.12404
67 8.18535
68 8,24621
69 8,30662
70 8,3666
71 8,42615
71 8,42615
74 8.60233
75 8.66025
76 8.7178
77 8.77496
78 8.83176
79 8.88819
80 8.
81
81 9
84 9.16515
85 9.21954
86 9.27362
87 9.32738
88 9.38083
89 9.43398
90 9.48683
91
91
94 9.69536
95 9.74679
96 9.79796
97 9.84886
98 9.89949
99 9.
100 10
101 10.0148 10210
104 10.19804
105 10.24695
106 10.29563
107 10.34408
108 10.3923
109 10.44031
110 10.48809
111
114 10.67708
115 10.72381
116 10.77033
117 10.81665
118 10.86278
119 10.
120 10.
121 0
121
124 11.13553
125 11.18034
126 11.22497
127 11.26943
128 11.31371
129 11.35782
130 11.40175
131
131
134 11,57584
135 11,61895
136 11,6619
137 11.7047
138 11.74734
139 11.78983
140 11.83216
141
144 12
145 12.04159
146 12.08305
147 12.12436
148 12.16553
149 12.20656
150 12.24745
151
154 12,40967
155 12,4499
156 12,49
157 12.52996
158 12,56981
159 12,60952
160 12,64911
161 12,68858
162 12,72792
163 12,76715
164 12.80625
165 12.84523
166 12.8841
167 12.
168 12.
169 13
170 13.0384
171
171
171 13998
174 13.19091
175 13.22876
176 13.2665
177 13.30413
178 13,34166
179 13,37909
180 13,41641
181 13,45362
182 13,49074
183 13,52775
184 13.56466
185 13.60147
186 13.63818
187 13.67 479
188 13,71131
189 13,74773
190 13,78405
191 13,82027
192 13,85641
193 13,89244
194 13.
195 13.
196 14
197 14.03567
198 14.07125
199 14.10674
200 14.14214
201
201
204 14.28286
205 14.31782
206 14.3527
207 14.38749
на 208 14,42221
209 14,45683
210 14,49138
211 14,52584
212 14,56022
213 14,59452
214 14.62874
215 14.66288
216 14.69694
217 14.73092
218 14,76482
219 14,79865
220 14,8324
221 14,86607
222 14,89966
223 14,
224 14.
225 15
226 15.0333
227 15.06652
228 15.09967
229 15.13275
230 15.16575
231
231
234 15.29706
235 15,32971
236 15,36229
237 15.3948
238 15,42725
239 15,45962
240 15,49193
241 15,52417
242 15,55635
243 15,58846
244 15,6205
245 15,65248
246 15,68439
247 15.71623
248 15,74802
249 15,77973
250 15,81139
251 15,84298
252 15,87451
253 15,
254 15.
255 15.
256 16
257 16.03122
258 16,06238
259 16,09348
260 16,12452
261 16,15549
262 16,18641
263 16,21727
264 16.24808
265 16.27882
266 16.30951
267 16.34013
268 16,37071
269 16,40122
270 16,43168
271 16,46208
272 16,49242
273 16,52271
274 16,55295
275 16,58312
276 16,61325
277 16.64332
278 16,67333
279 16,70329
280 16,7332
281 16,76305
282 16,79286
283 16,8226
284 16,8523
285 16,88194
286 16,
287 16.
288 16.
289 17
290 17.02939
291
291
291
294 17.14643
295 17.17556
296 17.20465
297 17.23369
298 По 17,26268
299 17,29162
300 17,32051
301 17,34935
302 17,37815
303 17,4069
304 17.4356
305 17.46425
306 17.49286
307 17.52142
308 17,54993
309 17,5784
310 17,60682
311 17,63519
312 17,66352
313 17,69181
314 17.72005
315 17.74824
316 17.77639
317 17.+80449
318 17,83255
319 17,86057
320 17,88854
321 17,
322 17,
323 17,9722
324 18
325 18.02776
326 18.05547
327 18.08314
328 18.11077
329 18.13836
330 18.1659
331
331
331
334 18.27567
335 18.30301
336 18.3303
337 18.35756
338 18,38478
339 18,41195
340 18,43909
341 18,46619
342 18,49324
343 18,52026
344 18.54724
345 18.57418
346 18.60108
347 18.62794
348 18,65476
349 18,68154
350 18,70829
351 18,73499
352 18,76166
353 18,78829
354 18.81489
355 18.84144
356 18.86796
357 18.89444
358 18.
359 18.9473
360 18.

361
361 1950
361 1950
364 19.07878
365 19.10497
366 19.13113
367 19.15724
368 19,18333
369 19,20937
370 19,23538
371 19,26136
372 19,2873
373 19,31321
374 19.33908
375 19.36492
376 19.39072
377 19.41649
378 19,44222
379 19,46792
380 19,49359
381 19,51922
382 19,54482
383 19,57039
384 19.59592
385 19.62142
386 19.64688
387 19.67232
388 19,69772
389 19,72308
390 19,74842
391 19,77372
392 19,79899
393 19,82423
394 19.84943
395 19.87461
396 19.89975
397 19.
398 19.
399 19.

400 20
401
401
404 20.09975
405 20.12461
406 20.14944
407 20.17424
408 20,19901
409 20,22375
410 20,24846
411 20,27313
412 20,29778
413 20,3224
414 20.34699
415 20.37155
416 20.39608
417 20.42058
418 20,44505
419 20,46949
420 20,4939
421 20,51828
422 20,54264
423 20,56696
424 20.59126
425 20.61553
426 20.63977
427 20.66398
428 20,68816
429 20,71232
430 20,73644
431 20,76054
432 20,78461
433 20,80865
434 20.83267
435 20.85665
436 20.88061
437 20.
444 21.07131
445 21.09502
446 21.11871
447 21.14237
448 21.16601
449 21.18962
450 21.2132
451 9014 45150
451 9014 45150
451
454 21.30728
455 21.33073
456 21.35416
457 21.37756
458 21,40093
459 21,42429
460 21,44761
461 21,47091
462 21,49419
463 21,51743
464 21.54066
465 21.56386
466 21.58703
467 21.61018
468 21,63331
469 21,65641
470 21,67948
471 21,70253
472 21,72556
473 21,74856
474 21.77154
475 21.79449
476 21.81742
477 21.84033
478 21,86321
479 21,88607
480 21,9089
481 21,
482 21,9545
483 21,97726
484 22
485 22.02272
486 22.04541
487 22.06808
488 22,09072
489 22,11334
490 22,13594
491 22,15852
492 22,18107
493 22,2036
494 22.22611
495 22.2486
496 22.27106
497 22.+2935
498 22,31591
499 22,33831
500 22,36068
501 22,38303
502 22,40536
503 22,42766
504 22.44994
505 22.47221
506 22.49444
507 22.51666
508 22,53886
509 22,56103
510 22,58318
511 22,60531
512 22,62742
513 22,6495
514 22.67157
515 22.69361
516 22.71563
517 22.73 763
518 22,75961
519 22,78157
520 22,80351
521 22,82542
522 22,84732
523 22,86919
524 22.89105
525 22.
526 22.
527 22.
528 22.97825
529 23
530 23.02173
531
531
531
531
534 23.10844
535 23.13007
536 23.15167
537 23.17326
538 23,19483
539 23,21637
540 23,2379
541 23,25941
542 23,28089
543 23,30236
544 23.32381
545 23.34524
546 23.36664
547 23.38803
548 23,4094
549 23,43075
550 23,45208
551 23,47339
552 23,49468
553 23,51595
554 23.5372
555 23.55844
556 23.57965
557 23.60085
558 23,62202
559 23,64318
560 23,66432
561 23,68544
562 23,70654
563 23,72762
564 23.74868
565 23.76973
566 23.79075
567 23.81176
568 23,83275
569 23,85372
570 23,87467
571 23,89561
572 23,
573 23,
574 23.9583
575 23.97916
576 24
577 24.02082
578 24,04163
579 24,06242
580 24,08319
581 24,10394
582 24,12468
583 24,14539
584 24.16609
585 24.18677
586 24.20744
587 24.22808
588 24,24871
589 24,26932
590 24,28992
591 24,31049
592 24,33105
593 24,35159
594 24.37212
595 24.39262
596 24.41311
597 24.43358
598 24,45404
599 24,47448
600 24,4949
601 24,5153
602 24,53569
603 24,55606
604 24,57641
605 24,59675
606 24,61707
607 24.63737
608 24,65766
609 24,67793
610 24,69818
611 24,71841
612 24,73863
613 24,75884
614 24.77902
615 24.79919
616 24.81935
617 24.83948
618 24,85961
619 24,87971
620 24,8998
621 24,
622 24,
623 24,
624 24.97999
625 25
626 25.01999
627 25.03997
628 25,05993
629 25,07987
630 25,0998
631 25,11971
632 25,13961
633 25,15949
634 25.17936
635 25.19921
636 25.21904
637 25.23886
638 25,25866
639 25,27845
640 25,29822
641 25,31798
642 25,33772
643 25,35744
644 25.37716
645 25.39685
646 25.41653
647 25.43 619
648 25,45584
649 25,47548
650 25,4951
651 25,5147
652 25,53429
653 25,55386
654 25,57342
655 25,59297
656 25,6125
657 25.63201
658 25,65151
659 25,671
660 25,69047
661 25,70992
662 25,72936
663 25,74879
664 25.7682
665 25.78759
666 25.80698
667 25.82634
668 25,8457
669 25,86503
670 25,88436
671 25,
672 25,
673 25,
674 25.
675 25.98076
676 26
677 26.+01922
678 26,03843
679 26,05763
680 26,07681
681 26,09598
682 26,11513
683 26,13427
684 26.15339
685 26.1725
686 26.1916
687 26.21068
688 26,22975
689 26,24881
690 26,26785
691 26,28688
692 26,30589
693 26,32489
694 26.34388
695 26.36285
696 26.38181
697 26.40 076
698 26,41969
699 26,43861
700 26,45751
701 26,4764
702 26,49528
703 26,51415
704 26,533
705 26,55184
706 26,57066
707 26.58947
708 26,60827
709 26,62705
710 26,64583
711 26,66458
712 26,68333
713 26,70206
714 26.72078
715 26.73948
716 26.75818
717 26.77686
718 26,79552
719 26,81418
720 26,83282
721 26,85144
722 26,87006
723 26,88866
724 26.
725 26.
726 26.
727 26.
728 26.98148
729 27
730 27.01851
731
734 27.09243
735 27.11088
736 27.12932
737 27.14774
738 27,16616
739 27,18455
740 27,20294
741 27,22132
742 27,23968
743 27,25803
744 27.27636
745 27.29469
746 27.313
747 27.3313
748 27,34959
749 27,36786
750 27,38613
751 27,40438
752 27,42262
753 27,44085
754 27.45906
755 27.47726
756 27.49545
757 27.51363
758 27,5318
759 27,54995
760 27,5681
761 27,58623
762 27,60435
763 27,62245
764 27.64055
765 27.65863
766 27.67671
767 27.69476
768 27,71281
769 27,73085
770 27,74887
771 27,76689
772 27,78489
773 27,80288
774 27.82086
775 27.83882
776 27.85678
777 27.87472
778 27,89265
779 27,
780 27,
781 27,
782 27,
783 27,98214
784 28
785 28.01785
786 28.03569
787 28.05 352
788 28,07134
789 28,08914
790 28,10694
791 28,12472
792 28,14249
793 28,16026
794 28.17801
795 28.19574
796 28.21347
797 28.23119
798 28,24889
799 28,26659
800 28,28427
801 28,30194
802 28,3196
803 28,33725
804 28.35489
805 28.37252
806 28.39014
807 28.40775
808 28,42534
809 28,44293
810 28,4605
811 28,47806
812 28,49561
813 28,51315
814 28,53069
815 28,5482
816 28,56571
817 28.58321
818 28,6007
819 28,61818
820 28,63564
821 28,6531
822 28,67054
823 28,68798
824 28.7054
825 28.72281
826 28.74022
827 28.75 761
828 28,77499
829 28,79236
830 28,80972
831 28,82707
832 28,84441
833 28,86174
834 28.87906
835 28.89637
836 28.
837 28.
838 28.
839 28.9655
840 28.98275
841
9014
844 29.05168
845 29.06888
846 29.08608
847 29.10326
848 29,12044
849 29,1376
850 29,15476
851 29,1719
852 29,18904
853 29,20616
854 29.22328
855 29.24038
856 29.25748
857 29.27456
858 29,29164
859 29,3087
860 29,32576
861 29,3428
862 29,35984
863 29,37686
864 29.39388
865 29.41088
866 29.42788
867 29.+44486
868 29,46184
869 29,47881
870 29,49576
871 29,51271
872 29,52965
873 29,54657
874 29,56349
875 29,5804
876 29,5973
877 29.61419
878 29,63106
879 29,64793
880 29,66479
881 29,68164
882 29,69848
883 29,71532
884 29.73214
885 29.74895
886 29.76575
887 29.78255
888 29,79933
889 29,8161
890 29,83287
891 29,84962
892 29,86637
893 29,88311
894 29.89983
895 29.
896 29.
897 29.
898 29.
899 29.98333
900 30
901
904 30.06659
905 30.08322
906 30.09983
907 30.11644
908 30,13304
909 30,14963
910 30,16621
911 30,18278
912 30,19934
913 30,21589
914 30,23243
915 30,24897
916 30,26549
917 30.28201
918 30,29851
919 30,31501
920 30,3315
921 30,34798
922 30,36445
923 30,38092
924 30.39737
925 30.41381
926 30.43025
927 30.44667
928 30,46309
929 30,4795
930 30,4959
931 30,51229
932 30,52868
933 30,54505
934 30.56141
935 30.57777
936 30.59412
937 30.61046
938 30,62679
939 30,64311
940 30,65942
941 30,67572
942 30,69202
943 30,70831
944 30.72458
945 30.74085
946 30.75711
947 30.77337
948 30,78961
949 30,80584
950 30,82207
951 30,83829
952 30,8545
953 30,8707
954 30.88689
955 30.
956 30.
957 30.
958 30,
959 30,
960 30,98387
961 31
962 31,01612
963 31,03224
964 31.04835
965 31.06445
966 31.08054
967 31.09 662
968 31,1127
969 31,12876
970 31,14482
971 31,16087
972 31,17691
973 31,19295
974 31.20897
975 31.22499
976 31.241
977 31.257
978 31,27299
979 31,28898
980 31,30495
981 31,32092
982 31,33688
983 31,35283
984 31.36877
985 31.38471
986 31.40064
987 31.41656
988 31,43247
989 31,44837
990 31,46427
991 31,48015
992 31,49603
993 31,5119
994 31.52777
995 31.54362
996 31.55947
997 31.57531
998 31.59114
999 31.60696
1000 31.62278

Связанные

Часто используемые Miniwebtools:

Все минивеб-инструменты (отсортировано по названию):

PWA (прогрессивное веб-приложение) Инструменты (17) Финансовые калькуляторы (121) Здоровье и фитнес (31) Математика (161) Случайность (17) Спорт (8) Текстовые инструменты (30) Время и Дата (27) Инструменты для веб-мастеров (10) Хеш и контрольная сумма (8) Разное (108)

Калькулятор дробей


Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражениями с дробями, объединенными с целыми числами, десятичными знаками и смешанными числами.Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.

Правила для выражений с дробями:
Дроби - используйте косую черту «/» между числителем и знаменателем, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, не забудьте оставить один пробел между целой и дробной частью.
Косая черта разделяет числитель (число над дробной чертой) и знаменатель (число ниже).

Смешанные числа (смешанные дроби или смешанные числа) записываются как ненулевое целое число, разделенное одним пробелом и дробью, то есть 1 2/3 (с тем же знаком). Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта является одновременно знаком для дробной линии и деления, мы рекомендуем использовать двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, то есть 1/2: 3 .

Десятичные числа (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . , и они автоматически переводятся в дроби - i.е. 1,45 .

Двоеточие : и косая черта / являются символом деления. 1/2
• сложение дробей и смешанные числа: 8/5 + 6 2/7
• деление целого и дробного числа: 5 ÷ 1/2
• комплексные дроби: 5/8: 2 2/3
• десятичное в дробное: 0.625
• Дробь в десятичную: 1/4
• Дробь в проценты: 1/8%
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
• квадратный корень дроби: sqrt (1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) - деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число - эквивалентная дробь: 4/22
• выражение в скобках: 1 / 3 * (1/2 - 3 3/8)
• сложная дробь: 3/4 от 5/7
• кратная дробь: 2/3 от 3/5
• разделите, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2 / 3

Калькулятор следует известным правилам порядка операций .Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS - круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
BEDMAS - Скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
BODMAS - Скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание.
GEMDAS - Группирующие символы - скобки () {}, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
Будьте осторожны, всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием .Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны вычисляться слева направо.

Дроби в словесных задачах:

следующие математические задачи »

Кубический корень из 2 - Как найти кубический корень из 2? [Решено]

Значение кубического корня из 2, округленного до 6 знаков после запятой, равно 1,259921. Это реальное решение уравнения x 3 = 2. Кубический корень из 2 выражается как ∛2 в радикальной форме и как (2) или (2) 0.33 в экспоненциальной форме. Разложение 2 на простые множители равно 2, следовательно, кубический корень из 2 в его низшей радикальной форме выражается как ∛2.

  • Кубический корень из 2: 1,259
  • Кубический корень из 2 в экспоненциальной форме: (2)
  • Кубический корень из 2 в радикальной форме: ∛2

Что такое кубический корень из 2?

Кубический корень из 2 - это число, которое при трехкратном умножении на себя дает произведение 2.Число 2 простое. Следовательно, кубический корень из 2 = ∛2 = 1,2599.

☛ Чек: Калькулятор кубического корня

Как вычислить значение корня куба из 2?

Кубический корень из 2 по методу Галлея

Его формула a ≈ x ((x 3 + 2a) / (2x 3 + a))
где,
a = число, кубический корень которого вычисляется
x = целое число его кубического корня.

Здесь a = 2
Примем x как 1
[∵ 1 3 = 1 и 1 - ближайший идеальный куб, который меньше 2]
⇒ х = 1
Следовательно,
∛2 = 1 (1 3 + 2 × 2) / (2 × 1 3 + 2)) = 1,25
⇒ ∛2 ≈ 1,25
Следовательно, кубический корень из 2 приблизительно равен 1,25.

Является ли кубический корень 2 иррациональным?

Да, потому что ∛2 не может быть выражено в форме p / q, где q ≠ 0.Следовательно, значение кубического корня из 2 является иррациональным числом.

☛ Также проверьте:

Кубический корень из 2 решенных примеров

  1. Пример 1. Какое значение имеет ∛2 + ∛ (-2)?

    Решение:

    Кубический корень из -2 равен отрицательному элементу кубического корня из 2,
    т.е.-2 = -∛2

    Следовательно, 2 + ∛ (-2) = ∛2 - ∛2 = 0

  2. Пример 2: Найдите действительный корень уравнения x 3 - 2 = 0.

    Решение:

    x 3 - 2 = 0, т.е. x 3 = 2
    Решение относительно x дает нам
    x = ∛2, x = ∛2 × (-1 + √3i)) / 2 и x = ∛2 × (-1 - √3i)) / 2
    где i называется мнимой единицей и равен √-1.
    Игнорирование мнимых корней,
    х = ∛2
    Следовательно, действительный корень уравнения x 3 - 2 = 0 равен x = ∛2 = 1,2599.

  3. Пример 3: Объем сферического шара равен 2π в 3 .Каков радиус этого шара?

    Решение:

    Объем сферического шара = 2π дюйм 3
    = 4/3 × π × R 3
    ⇒ R 3 = 3/4 × 2
    ⇒ R = ∛ (3/4 × 2) = ∛ (3/4) × ∛2 = 0, × 1,25992 (∵ ∛ (3/4) = 0, и ∛2 = 1,25992)
    ⇒ R = 1,14471 из 3

перейти к слайду перейти к слайду

Готовы увидеть мир глазами математиков?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем.Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых занятиях и станьте экспертом во всем.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

FAQ по Cube Root из 2

Что такое кубический корень из 2?

Кубический корень из 2 равен 1,25992.

Что такое куб из куба, корень 2?

Куб кубического корня из 2 - это само число 2, т.е. (∛2) 3 = (2 1/3 ) 3 = 2.

Является ли 2 идеальным кубом?

Число 2 простое.Здесь простой множитель 2 не в степени 3, и это означает, что кубический корень из 2 иррационален, следовательно, 2 не является идеальным кубом.

Что такое 18 плюс 5 кубического корня 2?

Значение ∛2 равно 1,26. Итак, 18 + 5 × ∛2 = 18 + 5 × 1,26 = 24,3. Следовательно, значение 18 плюс 5 кубического корня 2 равно 24,3.

Если кубический корень из 2 равен 1,26, найдите значение 0,002 фунта стерлингов.

Представим 0,002 в форме p / q, т. Е. ∛ (2/1000) = 1,26 / 10 = 0,13. Следовательно, значение ∛0.002 = 0,13.

Почему значение кубического корня из 2 иррационально?

Значение кубического корня из 2 нельзя выразить в виде p / q, где q ≠ 0. Следовательно, число 2 иррационально.

Кубический корень - это то же самое, что возвести в степень 1/3?

Недавно я обнаружил интересное несоответствие, связанное с функцией кубического корня.

Кубический корень

В Wolfram | Alpha (который использует систему компьютерной алгебры Mathematica в своей бэкэнде), если вы попросите его построить график, вы получите следующее, как и ожидалось:

В поле поиска я ввел «кубический корень из x», и он сказал, что «Результат» был правильно написан как.

Этот график является отражением графика y = x 3 в линии y = x . Это обратные функции.

Мы знаем, что кубический корень отрицательного числа отрицательный, поэтому, например, мы видим, что это имеет смысл на графике выше.

Wolfram | Alpha утверждает, что существует один корень ( x = 0), а домен и диапазон - все действительные числа, что согласуется с приведенным выше графиком.

ПРИМЕЧАНИЕ: Крошечным шрифтом, Wolfram | Alpha указывает:

Предположим, что "кубический корень из" является корнем с действительным знаком.

Есть возможность увидеть "основной корень", но это дало тот же результат.

Возведение в степень 1/3

На ранних этапах изучения корней и дробных степеней мы узнаем, что можем записать корни в дробных показателях. В общем, это означает:

Итак, для квадратного корня мы имеем:

и для кубического корня:

.

Таким образом, мы ожидаем, что график будет таким же, как и график для.

Но это не так. Вот что возвращает Wolfram | Alpha, когда я прошу его построить график:

Синяя кривая обозначена как «действительная часть», а красная кривая - «мнимая часть».

Любопытно, что значение "Input" указано как:, но на самом деле это не то, что я ввел. Итак, часть ответа касается, а остальная часть ответа - нет.

Из раздела, посвященного комплексным корням, мы знаем (особенно см. Упражнение 4 в конце), что кубическое уравнение будет иметь 3 корня (точно так же, как квадратное уравнение имеет 2 корня).Все эти 3 корня могут быть настоящими или смесью реальных и сложных корней.

Wolfram | Alpha правильно указывает, что есть мнимые части, но верен ли их график? Неужели кубический корень отрицательного числа должен быть отрицательным?

Пример: Каковы все кубические корни из −8?

Я немного уменьшил масштаб, чтобы получить этот график, и добавил несколько направляющих сегментов (зеленых):

Используя те же соображения, что и в упражнении 4, упомянутом ранее, комплексные решения для x 3 = −8 должны быть разнесены на 120 °, что дает (где):

х = −2

х = 1 + 1.73j

x = 1 - 1.73j

Приведенный выше график действительно дает нам одно из этих решений (среднее, поскольку мы видим, что действительная часть равна 1, а мнимая часть - 1,73), но не дает двух других решений.

Еще раз, страница сообщает нам, что принимает «основной корень», и дает нам возможность выбрать «действительный корень». Если мы сделаем это на этот раз, мы получим настоящую корневую версию, похожую на график в верхней части страницы.

Научная тетрадь ответ

Scientific Notebook дает следующие 2 графика, которые я наложил.

Синий график показывает, и Scientific Notebook дает полное реальное решение (в первом и третьем квадрантах), тогда как пурпурный (розовый) график находится только в положительном квадранте.

Геогебра и Десмос ответы

И Geogebra, и Desmos дают один и тот же график «полного реального значения» для обоих и.

Аналогично квадратному корню

Я уже писал о количестве решений для √16. Конечно, есть одно решение, тогда как если вас попросят решить, вы получите два решения.

Wolfram | Alpha и Scientific Notebook признают, что существует разница между (каждый раз есть один «главный» ответ) и, где нам нужно запомнить сложные корни.

Заключение

Не принимайте слово компьютера, когда он дает вам график или решение некоторого уравнения. Он делает все возможное, чтобы выяснить, что вы хотите знать, но нельзя ожидать, что он будет знать полный контекст вашего запроса или обязательно даст вам все возможные ответы.

Мне кажется странным, что Wolfram | Alpha дает лишь частичный графический ответ для кубического корня из −8. Пользователь должен немного подумать, чтобы извлечь из него полный ответ.

Все еще нужна помощь?

Найдите репетитора

См. 6 комментариев ниже.

Умножение радикальных выражений - ChiliMath

В этом уроке мы будем иметь дело только с квадратными корнями, которые представляют собой определенный тип радикального выражения с индексом \ color {red} 2.Если вы видите радикальный символ без явно написанного индекса, предполагается, что он имеет индекс \ color {red} 2.

Ниже приведены основные правила умножения радикальных выражений.

Основное правило умножения радикальных выражений

Подкоренное выражение - это термин внутри квадратного корня. Мы умножаем радикалы, умножая их подкоренные выражения вместе, сохраняя при этом их произведение под одним и тем же символом радикала. Что будет тогда, если в радикальных выражениях есть числа, расположенные снаружи?

Нам просто нужно настроить формулу выше.Но ключевая идея состоит в том, что произведение чисел, находящихся вне радикальных символов, также остается снаружи.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как применяются эти два основных правила.


Примеры умножения радикальных выражений

Пример 1 : Упростить умножением.

Умножьте подкоренные выражения, сохраняя произведение внутри квадратного корня.

Произведение представляет собой полный квадрат, поскольку 16 = 4 · 4 = 4 2 , что означает, что квадратный корень из \ color {blue} 16 - это просто целое число.


Пример 2 : Упростить умножением.

Можно умножать числа, если они оба находятся под радикальным символом. После умножения подкоренных выражений посмотрите, возможно ли дальнейшее упрощение.


Пример 3 : Упростить умножением.

Возьмите число вне скобок и распределите его по числам внутри. Мы просто применяем дистрибутивное свойство умножения.

Далее приступаем к обычному умножению радикалов. Но будьте осторожны. Вы можете умножать только числа, находящиеся внутри радикальных символов. Таким же образом можно использовать только числа, не входящие в радикальные символы.

При умножении числа внутри символа корня и числа вне символа корня просто поместите их рядом.


Пример 4 : Упростить умножением.

Как и в примере 3, мы собираемся распределить числа вне скобок на числа внутри.Но обязательно умножайте числа только в том случае, если их «расположение» одинаково. То есть умножайте числа вне радикальных символов независимо от чисел внутри радикальных символов.

Отсюда мне просто нужно упростить продукты.


Пример 5 : Упростить умножением.

Решение :


Пример 6 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Эта задача требует, чтобы мы перемножили два бинома, содержащие радикальные члены.Примените метод FOIL для упрощения.

  • F : умножить первые члены.
  • O : Умножьте внешний член .
  • I : Умножьте внутренний член .
  • L : умножить на последние членов.

После применения свойства распределения с помощью метода FOIL, я упросту их как обычно.


Пример 7 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Как и в нашем предыдущем примере, давайте применим метод FOIL, чтобы упростить произведение двух биномов.

  • F : умножить первые члены.
  • O : Умножьте внешний член .
  • I : Умножьте внутренний член .
  • L : умножить на последние членов.

С этого момента упрощайте как обычно.Обратите внимание, что два средних члена отменяют друг друга.


Пример 8 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Давайте решим это пошагово:

  • Умножьте вместе, используя метод FOIL.
  • Упростим квадратный корень из 25.
  • Сложите числа без радикальных символов

Пример 9 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Давайте решим это пошагово:

  • Разверните произведение биномов с помощью FOIL.
  • Получите квадратные корни из совершенных квадратных чисел, которые равны \ color {red} 36 и \ color {red} 9.
  • Найдите идеальный квадратный множитель для 24.
  • Разбейте его как произведение квадратных корней.
  • Упростим квадратный корень из 4.
  • Вычтите аналогичные радикалы и вычтите также числа без радикальных символов.

Пример 10 : Упростить умножением.

Мы собираемся перемножить эти биномы «матричным методом». Напишите члены первого бинома (синим цветом) в крайнем левом столбце и напишите члены второго бинома (красным цветом) в верхней строке.

Умножьте числа соответствующих сеток. См. Анимацию ниже.

Затем упростите продукт внутри каждой сетки.

Наконец, сложите все продукты во всех четырех сетках и упростите, чтобы получить окончательный ответ.


Пример 11 : Упростить умножением.

Поместите члены первого бинома в крайний левый столбец, а члены второго бинома в верхнюю строку. Затем перемножьте соответствующие квадратные сетки.

Наконец, сложите значения в четырех сетках и максимально упростите, чтобы получить окончательный ответ.


Практика с рабочими листами


Возможно, вас заинтересует:

Решение радикальных уравнений
Упрощение радикальных выражений
Сложение и вычитание радикальных выражений
Рационализация знаменателя

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *