Квадратный корень из 2 3: Mathway | Популярные задачи

Квадратный корень из 3;2;5 — Квадратный Корень

Квадратный корень из числа 3 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 3.

Его приблизительным значением с 69 цифрами после запятой является:

Округленное значение 1.732 является правильным с точностью до 0,01 %. Приблизительной правильной дробью является (1,7321 42857…).

Квадратный корень из 3 является иррациональным числом. Также известен как Феодоровская постоянная, названная в честь Феодора Киренского.

Может быть выражен в виде непрерывной дроби [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, …].

Геометрия

Квадратный корень из 3 равен длине между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

Если равносторонний треугольник со сторонами длиной 1 делится на две равные половины, пересечением внутреннего угла для составления прямого угла с одной стороной, то получившийся прямоугольный треугольник имеет гипотенузу со стороной 1 и катеты длиной 1/2 и Поэтому тангенс 60° равен

Так же, это расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

является длиной диагонали куба со стороной 1.

Использование в других областях

Энергетика

При трехфазной системе токов модуль напряжения между двумя фазами (линейное напряжение) в больше модуля фазного напряжения

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1. Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

• 3/2 = 1.5
• 17/12 = 1.416…
• 577/408 = 1.414215…
• 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор 3.6 GHz с 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

.Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство √2:

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

и

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения :

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида , где — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пусть , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.

Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число.^[1]

Его приблизительное значение с 59 цифрами после запятой является:

Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков.^[2]

Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:

Вавилонский метод

Вычисление корня из 5, начиная с r₀ = 2, где r_n+1 = (r_n + 5/r_n) / 2:

Золотое сечение

√5/2 — диагональ половины квадрата, представляет собой геометрическое представление о золотом сечении.

Золотое сечение φ — среднее арифметическое 1 и корня из 5.^[3]

() алгебраически можно выразить так:

Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:

Отношение √5 к φ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка:^[4]

Алгебра

Кольцо содержит числа вида , где a и b целые числа и мнимое число . Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.

Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:

Поле  — абелево расширение рациональных чисел.

Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:

Тождества Рамануджана

Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями.^[5][6]

Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:

2 корня из 2 минус 2

Вы искали 2 корня из 2 минус 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 минус 2 корня из 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «2 корня из 2 минус 2».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2 корня из 2 минус 2,2 минус 2 корня из 2,3 корня из 2 минус корень из 2,корень из 2 минус 3 корня из 2,корень из минус 2,минус корень квадратный из 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 корня из 2 минус 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 3 корня из 2 минус корень из 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 корня из 2 минус 2 Онлайн?

Решить задачу 2 корня из 2 минус 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Три простых правила относительно квадратного корня. Часть 3

GRE Mathematics уделяет особое внимание заданиям на квадратный корень. В двух предыдущих частях статьи, мы рассматривали, что делать, если все числа в задании положительные. Если же это не так, то следует применять ещё 2 правила GRE Maths.

Правило №2: если x² = 9, то x = 3, x = -3

Эта ситуация отлична от описанных ранее . Мы больше не имеем знака квадратного корня, зато здесь есть показатель степени. Если 3 возвести в квадрат, то мы получим 9. Если мы возведем -3 в квадрат – мы также получим 9. Следовательно, оба числа являются возможным значением x, потому что оба делают равенство верным.

С математической точки зрения, мы бы сказали, что x = 3 или  x = -3. Если вы выполняете задание в разделе Quantitative Comparison, подумайте об этом следующим образом: если одно из них является возможным значением x, то оба варианта должны быть рассмотрены возможными значениями при сравнении Величины А и Величины В.

Правило №3: √(x)² = 3, если x = 3, x = -3

Итак, вернемся к знаку квадратного корня, но теперь у нас есть и показатель степени! Что дальше? Указывать только положительное число, потому что мы имеем знак корня? Или указывать оба значения, потому что есть показатель степени?

Сначала вычислите значение x: возведите в степень оба значения √(x)2 = 3, чтобы получить x² = 9. Вычислите квадратный корень, чтобы получить x = 3, x = -3 (как в правиле №2).

Подставьте оба числа в данное равенство,  √x² = 3, и посмотрите, делают ли они равенство верным.  Если мы подставим 3 в равенство √x² = 3, мы получим: √(3)2 = 3. Верно ли это? Да: √(3)2 = √9 и это действительно равняется 3.

Теперь подставьте в равенство -3: √(-3)2= 3. Под корнем у нас стоит отрицательное число, но также в скобках у нас есть квадратная степень. Следуйте установленному порядку действий: возведите число в квадрат, чтобы получить √9. Больше нет никаких отрицательных чисел под знаком корня! Заканчивая решение задачи, мы получаем √9, и снова это должно равняться 3, поэтому -3 тоже является возможным значением x. X может быть равен как 3, так и -3.

GRE Math Practice: Как это все не забыть?

Запомните: в первом примере представлено либо действительное число, либо очевидная переменная (не возведение в степень!) под знаком квадратного корня. В обоих случаях мы должны получить решение с положительными значениями  корня, но не отрицательными.

Второй и третий примеры имеют квадратную степень. Во втором правиле нет знака квадратного корня – в этом случае  мы можем получить и положительный, и отрицательный ответ. В нашем третьем правиле есть и знак квадратного корня, и степень в квадрате. В этой ситуации мы должны произвести расчеты, как показано в примере. Сначала мы решаем оба варианта, а затем подставляем их в исходное равенство. Если эти варианты делают равенство верным, то это и есть правильный  ответ.

Подготовка к GRE Test включает в себя штудирование не только официальных учебников, но также изучение советов и подсказок, которые представлены здесь. Возможно, на самом тесте вам пригодятся именно они! Успехов!

Пример несложного задания на квадратные корни в тесте GRE:

 

По материалам сайта: www.manhattanprep.com

§ Квадратный корень из произведения

… = = = √1 = 1

Квадратный корень из единицы равен единице √1 = 1.

---

Внимание: частая ошибка!

Неправильное использование квадратного корня из произведения Запомните!

Важно запомнить следующее правило: свойство квадратного корня из произведения можно применять, только если под корнем действие умножения.

√a · b = √a · √b    — верно

Если под корнем есть сумма и (или) вычитание, то применять формулу НЕЛЬЗЯ!

√a + b ≠ √a + √b    — неверно

√a − b ≠ √a − √b    — неверно

Разберёмся по традиции на примере. Требуется вычислить.

√82 ² − 18 ² = …

После изучения формулы корня из произведения первым желанием является сделать так:

√82 ² − 18 ² ≠ √82 ² − √18 ²    — неверно

Это неверно. Свойство
   «√a · b = √a · √b »    НЕЛЬЗЯ использовать в данном примере, т.к. под корнем есть знак вычитания «−», т.е. действие вычитания.

Выполним последовательно действия под корнем и вычислим из полученного результата квадратный корень.

√82 ² − 18 ² = √6724 − 324 = √6400 =
= 80

---

Подобные примеры можно решать другим способом через формулу разности квадратов.

(a² − b²) = (a − b)(a + b)

√82 ² − 18 ² = √(82 − 18)(82 + 18) =
= √64 · 100 = …

Обратите внимание, что сейчас под знаком корня осталось только произведение. Следовательно, мы можем применить свойство корня из произведения.

√a · b = √a · √b

√82 ² − 18 ² = √(82 − 18)(82 + 18) =
= √64 · 100 = √64 · √100 = 8 · 10 = 80

Мы получили такой же результат, как и в первом варианте решения.

Алимов 9 класс № 340 (2)

2) √0,01 · 169 = √0,01 · √169 =
= √0,01 · 13 = …

Снова требуется вспомнить правило извлечения квадратного корня из десятичной дроби и умножение десятичных дробей.

√0,01 · 169 = √0,01 · √169 =
= √0,01 · 13 = 0,1 · 13 = 1,3

Алимов 9 класс № 343 (6)

6)   ·   · =
=

·

·

= =
= = =

Алимов 9 класс № 346 (1, 4)

1) (√8 + √2)² = …

Для решения примера используем формулу квадрат суммы.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(√8 + √2)² =
= (√8)² + 2 · √8 · √2 + (√2)² =
= 8 + 2 · √8 · 2 + 2 = 10 + 2 · √16 =
= 10 + 2 · 4 = 10 + 8 = 18

---

4) (5√2 + 2√5)(5√2 − 2√5) = …

Обратите внимание, произведение в скобках похоже на формулу «Разность квадратов» в обратном порядке.

(a² − b²) = (a − b)(a + b)
(a − b)(a + b) = (a² − b²)

Действительно, если заменить в формуле «a» на «5√2» и «b» на «2√5», то получится формула сокращенного умножения «Разность квадратов».

(a − b)(a + b) = (a² − b²)

(5√2 + 2√5)(5√2 − 2√5) =
= (5√2)² − (2√5)² = …

Используем свойство «Степень произведения».

(a · b)² = a² · b²

(5√2 + 2√5)(5√2 − 2√5) =
= (5√2)² − (2√5)² =
= 5² · (√2)² − 2² · (√5)² =
= 25 · 2 − 4 · 5 = 50 − 20 = 30

---

Квадратный корень в Excel — НА ПРИМЕРАХ

В статье показано, как найти квадратный корень в Excel, а также как вычислить корень n-ой степени.

Возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня – очень распространенные операции в математике. Но как извлечь квадратный корень в Excel? Либо используя функцию КОРЕНЬ, либо возвести число в степень 1/2. Рассмотрим конкретные примеры.

Как найти квадратный корень в Excel с использованием функции КОРЕНЬ

Самый простой способ найти квадратный корень в Excel – это использовать специально разработанную для этого функцию:

=КОРЕНЬ(число)

где число – это число или ссылка на ячейку, содержащую число, для которого вы хотите найти квадратный корень.

Например, чтобы извлечь квадратный корень из 225, вы используете эту формулу: =КОРЕНЬ(225)

Чтобы вычислить квадратный корень из числа в A2, используйте это: =КОРЕНЬ(A2)

Квадратный корень в Excel – Использование функции КОРЕНЬ для вычисления квадратного корня

Если число отрицательное, как в строках 7 и 8 на изображении выше, функция Excel КОРЕНЬ возвращает ошибку #ЧИСЛО! Это происходит потому, что квадратный корень отрицательного числа не существует среди множества действительных чисел.0,5.

Как показано на изображении ниже, функция КОРЕНЬ в Excel и формула экспоненты дают одинаковые результаты:

Квадратный корень в Excel – Поиск квадратного корня с использованием экспоненты

Как найти квадратный корень функцией СТЕПЕНЬ

Функция СТЕПЕНЬ — это еще один способ найти квадратный корень в Excel, т. е. возвести число в степень 1/2.

Синтаксис функции СТЕПЕНЬ выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число; степень)

Соответственно, чтобы получить квадратный корень, вы задаете аргумент степень равным 1/2. Например:

=СТЕПЕНЬ(A2, 1/2)

Как показано на изображении ниже, все три формулы с квадратным корнем в Excel дают одинаковый результат:

Квадратный корень в Excel – Найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

Как посчитать корень n-ой степени

Формула экспоненты, рассмотренная выше, не ограничивается поиском только квадратного корня.{n}=\underbrace{b*b*b*…*b}_{n \; раз}=a. $$

Число \(n\) при этом называют показателем корня.

Если \(n=2\), то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если \(n=3\), то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.

Пример 1 $$ \sqrt[3]{27}=3 $$

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Пример 2 $$ \sqrt[4]{16}=2 $$

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Пример 3 $$ \sqrt[3]{0}=0 $$

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Пример 4 $$ \sqrt[3]{19}= ? $$

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим \(2,668…\) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть \(\sqrt[3]{19}\).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$ $$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Корень четной и нечетной степени

Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Пример 5 $$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.

Пример 6 $$ \sqrt[4]{-27} $$

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.k} $$

Сколько квадратный корень из 100

На нашем сайте мы разберемся, сколько получится, если извлечь квадратный корень из цифры 100. Выясним сколько будет квадратный корень из 100, потому как над таким вопросом многие годы ломали головы более 1 тысячи специалистов и многие пришли к такому возможному решению, что невозможно получить квадратный корень из 100. В подобном случае, будет очень важно знать верный вопрос, который касается особенностей получения квадратного корня из 100. Будем максимально точны, тогда мы начнем расчет арифметического корня из 100, потому как в обычном квадратном корне из этой цифры — получится два числа, одними из них являются: 10: -10.

Многие люди задают вопрос, квадратный корень из 100 как высчитать? Чтобы в этом разобраться, потребуется посчитать сумму необходимых нам чисел простым математическим способом при помощи применения вертикальной, стандартной чертой, корни и числа, которые нужно записывать справа вниз. Здесь мы сможем высчитать необходимый квадрат единиц определенного корня, а также умножать 10-ки и вычислять увеличенное на 2, а не утроенное число определенного десятка. Определенные цифры, чтобы ответить на вопрос — корень из 100 чему равен, нам потребуется возвестить в квадрат. У нас в таком случае получится двузначная цифра, когда вышло 10. Следовательно, в таком случае расчет мы выполнили верно.

Необходимо помнить очень важное правило: чтобы узнать сколько будет квадратный корень из 100, первым делом вычисляем извлекаемый любой корень и числа его всех сумм, а также сотен. Когда полученная цифра больше или же равняется 100, теперь требуется найти корень и 100-тен фактических чисел этих 100-тен. После этого из десятков тысяч (то есть фактического значения числа). Это правило будет очень актуально, когда число гораздо превышает 100, после этого нужно будет вычислить квадратный корень из сотен десятков тысяч. То есть, если быть более точными — это будет из миллиона определенного числа. Существует большое количество разнообразных правил, которые непосредственно касаются данного вопроса. Если заниматься прогрессом вычисления, тогда следует обратить повышенное внимание на такой важный факт, что в корне такое же количество цифр, сколько под завершающим количеством граней.

Каким образом вычислить корень определенного числа

Цель нахождения определенного корня состоит в том, что необходимо выполнить обратное действие возведения определенного числа в степень. Следует помнить, что корни могут значительно отличаться: корни II, III, а также IV-степени. Этот момент имеет очень важное значение и его следует понимать. Корень имеет определенный символ: √ – это корень из II-степени. Следует отметить такой момент, что, когда степень по значения выше, чем II-степень, тогда над ним необходимо будет прописать знак степени. Цифра, которая располагается под знаком корня – это называется подкоренное выражение. Выполняя процедуру поиска корня, нам потребуется знать несколько важных правил, которые касаются данного вопроса. Они окажут необходимую помощь и помогут не допустить ошибки выполняя расчеты:

Корень определенной четной степени (когда сама степень 2, 6, 8 и так дальше) из отрицательной цифры не существует. В возможных случаях, когда определенное выражение (подкоренное) является отрицательным, тогда поиск корня необходимо выполнять степени (нечетной) (к примеру: 3, 7 и так дальше). В итоге, результат, мы сможем получить отрицательный. Также, потребуется знать, что корень от 1 всегда будет выглядеть следующим образом: √1 = 1., а также: √0 = 0.

Как рассчитать корень из 100

Когда в поставленной задаче указано, какой степени корень нужно вычислить, тогда считают, что следует найти корень II-степени (то есть квадратный).

Ответим на такой вопрос: √100 = ? Потребуется найти цифру, при выполнении процедуры его возведения в II-степень, у нас будет 100. В таком случае становится понятно, что этим числом будет считаться цифра 10, потому как: 102 = 100. Поэтому, √100 = 10.

Рассчитаем представленное выражение. Чтобы достичь поставленной цели, требуется вынести имеющееся число из под корня. Это будет выглядеть следующим образом.

√100 = 100’1/2 = (10’2)’1/2 = 10′(2 * 1/2) = 10’2/2 = 10’1 = 10.

Также, это выглядит таким образом: √100 = √10’2 = 10.

В итоге у нас получится число 10. Теперь мы знаем, ответ на вопрос: квадратный корень из 100 сколько это будет?

Квадратный корень из 2

Пифагорейские философы Древней Греции глубоко уважали числа. Арифметика и геометрия охранялись как форма секретного знания, которое могло быть раскрыто только избранным.

Они считали, что сама Вселенная представляет собой проявление чисел и геометрии, поэтому, исследуя математику, они получали представление о более глубоком слое космической реальности. Поэтому для пифагорейцев было глубоким шоком открытие, что некоторые числа лежат за пределами их аккуратной интеллектуальной схемы.

В детстве мы сначала учимся считать целые числа, 1, 2, 3… которые математики называют «натуральными» числами. Затем нас учат дробям, которые выражаются как отношение натуральных чисел, например 2/5 или 1/3. После этого идут десятичные дроби.

Каждая дробь, как мы знаем, может быть выражена в виде десятичной дроби — например, 2/5 = 0,4 и 1/3 = 0,33333… (где «…» означает, что последовательность трех секунд продолжается бесконечно). Но верно ли обратное? Можно ли каждую десятичную дробь выразить дробью?

Разумеется, десятичные дроби конечной длины всегда можно выразить дробями, например, 0.43857 = 43857/100000. А как насчет десятичных дробей бесконечной длины? Что ж, повторяющиеся десятичные разложения можно выразить дробями, например 0,33333… = 1/3 и 0,285714285714285714… = 2/7. Но предположим, что десятичное разложение не повторяется? Ведь таких чисел бесконечное множество!

Ранние пифагорейцы были убеждены, что каждое мыслимое число в принципе может быть записано в дробной форме, как отношение двух натуральных чисел. Они думали, что, поскольку существует бесконечный запас натуральных чисел, их должно быть достаточно для выполнения работы.Открытие, что это было ошибочное мнение, возможно, сделанное геометром Гиппасом в V веке до нашей эры, стало шокирующей новостью. Согласно легенде, Гиппаса сбросили с лодки и утонули, чтобы истина не стала широко известна, такова была угроза пифагорейской концепции порядка во Вселенной.

Даже сегодня числа, которые не могут быть выражены как отношение натуральных чисел, называются иррациональными числами, даже если они имеют смысл для современных математиков.

На самом деле легко понять, почему некоторые числа иррациональны.Известный пример — квадратный корень из 2, который составляет примерно 1,4142, и обозначается как √2.

Если √2 было рациональным, оно должно быть выражено в форме a / b, где a и b — натуральные числа (то есть целые числа). Мы можем записать это в форме уравнения, √2 = a / b, а затем дать быстрый математический анализ шин.

Во-первых, мы знаем, что хотя бы одно из двух неизвестных чисел, a и b, должно быть нечетным. Если бы оба были четными, мы могли бы разделить верхнюю и нижнюю на 2 и уменьшить дробь до отношения меньших чисел (например, 2/8, что сокращается до 1/4).

Теперь давайте посмотрим на уравнение под разными углами. Если возвести в квадрат обе части уравнения √2 = a / b, мы получим

2 = a ² / b ² (1)

, что может быть записано как

a ² = 2b ² . (2)

Сразу можно сделать вывод, что ² — четное число. Почему? Потому что это дважды b ² . Умножьте любое натуральное число на два (а мы знаем, что b — натуральное число), и ответ будет четным.Значит, ² должны быть четными.

Теперь, если ² четно, то также и (квадрат нечетного числа всегда нечетный). Поскольку мы уже указали, что a и b не могут быть четными, мы можем сделать вывод, что b должно быть нечетным. Все идет нормально. Однако сигнал тревоги начинает звонить, когда мы замечаем, что если a четное, его всегда можно выразить как 2c, где c — другое натуральное число. Подставив это в уравнение (1), мы получим

2 = 4c ² / b ²

или, переставив уравнение и разделив на 2,

b ² = 2c ² .

Используя те же рассуждения, которые следуют за уравнением (2), мы заключаем, что b должно быть четным числом. Но мы уже определили, что b нечетно, поэтому приходим к абсурдному выводу, что b одновременно и четное, и нечетное, что явно невозможно. Ошибочные рассуждения проистекают из исходного предположения, что √2 может быть выражено как отношение целых чисел. Оно не может; это «иррационально».

Оказывается, почти все числа иррациональны, в том числе такие известные, как π и φ, золотое сечение ( Cosmos, 65, стр. 120).

Существует безграничное количество как рациональных, так и иррациональных чисел, но как-то на иррациональных чисел на больше, чем рациональных — они образуют более широкий класс бесконечности.

Непонимание этого факта часто вводило в заблуждение древних греков и приводило к всевозможным парадоксам, пока тема бесконечности не была окончательно решена в 19 веке.

Сегодня мы видим, что иррациональные числа — это не катастрофа, а просто расширение системы счисления, точно так же, как дроби были введены как расширение натуральных чисел.В последующие века система счисления была расширена и другими способами, но это тема для будущей колонки.

Ссылки по теме:

Таблица квадратов и квадратных корней

Что такое квадратные корни и почему нас это волнует?

Квадратный корень из числа — это число, которое при умножении само на себя дает желаемое значение. Так, например, квадратный корень из 49 равен 7 (7×7 = 49). Сам процесс многократного умножения называется возведением в квадрат .

Числа, квадратные корни которых являются целыми числами (или, точнее, положительными целыми числами), называются точными квадратными числами. Числа с десятичными знаками не являются точными квадратными корнями.

Все положительные числа будут иметь положительное число в качестве квадратного корня, называемого главным, и отрицательное число. Все эти числа известны как действительные числа.

Все отрицательные числа будут иметь комплексное число в качестве квадратного корня. Комплексное число — это число, умноженное на i. i — это «мнимый» квадратный корень из -1.Это называется мнимым, но для математиков оно существует.

Как нам выписать квадратные корни?

Уравнение квадратного корня записывается с использованием знака корня или символа корня (?). Число, из которого мы хотим получить корень, идет после или под хвостом радикала (например,? 3, если мы хотим найти квадратный корень из 3). Число после корня называется подкоренным. На калькуляторе вместо радикала вы можете увидеть «sqrt».

Для чего мы используем квадратный корень?

Это может быть немного сложно представить, но квадратные корни — одни из самых полезных чисел.Функции квадратного корня очень важны для уравнений физики всех видов. Они также полезны для статистики; статистики всегда используют квадратные корни при анализе корреляции между разными точками данных.

Список идеальных квадратов

Используйте эту таблицу, чтобы найти квадраты и квадратные корни чисел от 1 до 100 .

Эту таблицу также можно использовать для вычисления квадратных корней из больших чисел.

• Например, если вы хотите найти квадратный корень из 2000 , ищите в среднем столбце , пока не найдете число, наиболее близкое к 2000.Число в среднем столбце, которое ближе всего к 2000, — 2,025 .
• Теперь посмотрите на число слева от от 2 025 , чтобы найти его квадратный корень. Корень квадратный из 2025 составляет 45 .
• Следовательно, приблизительный квадратный корень из 2000 составляет 45 .

Чтобы получить более точное число, вам нужно использовать калькулятор (44,721 — более точный квадратный корень из 2000).

Готовитесь к длительной учебной сессии? Возможно, вас заинтересует наш список лучших офисных стульев 2020 года.

901450477 2348 9015 7,810 7,810874.832 9,220274 9015

НОМЕР	КВАДРАТ	КВАДРАТНАЯ КОРЕНЬ
1	1	1.000 9014
1,732
4	16	2.000
5	25	2,236
6	36	2.449
7	49	2.646
8	64	2,828
9	81	3,000 9015					3,000
121	3,317
12	144	3,464
13	169	3,606
14	196 901.742
15	225	3.873
16	256	4.000
17	289	4.123 3215 9016 9016 9016 9016 9016								361	4,359
20	400	4,472
21	441	4,583
22	481 4	0
23	529	4,796
24	576	4,899
25	625	5,00014 901 9016 9016			5,00014 901 9016			5,00014 9016	729	5,196
28	784	5,292
29	841	5,385
30	900
31	961	5,568
32	1,024	5,657
33	1,089	5,745 901 901			5,745 901			5,745 901			1,225	5,916
36	1,296	6.000
37	1,369	6,083
38	1,444164
39	1,521	6,245
40	1,600	6,325
41	1,681
41	1,681	6,403 901 901 901		9016 901 901			9016	1,849	6,557
44	1,936	6,633
45	2,025	6,708
46	50	01 2782
47	2,209	6,856
48	2,304	6,928
49	2,401	7,000	2,401	7,000	2,601	7,141
52	2,704	7,211
53	2,809	7,280
54,9161 7,280
54,9161 7,280
55	3,025	7,416
56	3,136	7,483
57	3,249	7,550	3,249	7,550	3,249	7,550	3,481	7,681
60	3,600	7,746
61	3,721	7,810
62
62
62
63	3,969	7,937
64	4,096	8,000
65	4,225	8,062	4,225	8,062	4,225	8,062		4,489	8,185
68	4,624	8,246
69	4,761	8,307
7016	367
71	5,041	8,426
72	5,184	8,485
73	5,329	8,544	5,329	8,544	8,544	8,544	8,544	5,625	8,660
76	5,776	8,718
77	5,929	8,775
78
79	6,241	8,888
80	6,400	8,944
81	6,561 82141				6,561	9000	9000 901	6,889	9,110
84	7,056	9,165
85	7,225	9,220
7
87	7,569	9,327
88	7,744	9,381
89	7,921	9015 9015	9015		9015	9,434	8,281	9,539
92	8,464	9,592
93	8,649	9,644
94,836695
95	9,025	9,747
96	9,216	9,798
97	9,409
	9,8499	9,801	9,950
100	10,000	10,000

ПРИМЕЧАНИЕ. Квадратные корни в этой таблице округлены до тысячных долей.

Средние и медианные числа и формулы для поиска квадратного корня

Калькулятор квадратного корня

Калькулятор квадратного корня

О калькуляторе квадратного корня

Калькулятор квадратного корня используется для нахождения квадратного корня из введенного числа.

Квадратный корень

В математике квадратный корень из числа x — это такое число r, что r ² = x.

Например:

1. Квадратный корень из 25 равен 5, потому что 5 ² = 25.

3. Квадратный корень из 2 приблизительно равен 1,41421356237.

3. Квадратный корень числа пи (π) приблизительно равен 1,77245385102.

Таблица квадратного корня

Ниже приводится таблица квадратного корня от 1 до 1000 с округлением до 5 цифр:

223607 15 1512311 6,40312 7,24143

096 7.81085050 7.810850 8,42615 9 9696 9.539690 10.0148 10210 10.535850 11 11

50 11.44585096 141 98 14.87434 141 98 14.87434 12.250 12.250998 14.177998 14.17795050960960960 332 332 3329696 20.024850 216087

50

50

50

50 841 901 9696 90198 30.01650

x	√x
1	1
2	1.41421
3	1.73205
6	2.44949
7	2,64575
8	2,82843
9	314
12	3,4641
13	3,60555
14	3,74166
3,87298
3,87298
18	4,24264
19	4,3589
20	4,47214
21	4,58258
24	4.89898
25	5
26	5.09902
27	5.19615
28	5,2915
29	5,38516
30	5,47723
31	5,5671476	31	5,5671476
34	5,83095
35	5,
36	6
37	6.08276
38	6,16441
39	6,245
40	6,32456
41	6,40312
41	6,40312
44	6,63325
45	6,7082
46	6,78233
47	6.85565
48	6,9282
49	7
50	7,07107
51	7,14148 7,2 0		51	7,14143 0
54	7,34847
55	7,4162
56	7,48331
57	7.54983
58	7.61577
59	7.68115
60	7.74597
61
64	8
65	8.06226
66	8.12404
67	8.18535
68	8,24621
69	8,30662
70	8,3666
71	8,42615
71	8,42615
74	8.60233
75	8.66025
76	8.7178
77	8.77496
78	8.83176
79	8.88819
80	8.
81
81	9
84	9.16515
85	9.21954
86	9.27362
87	9.32738
88	9.38083
89	9.43398
90	9.48683
91
91
94	9.69536
95	9.74679
96	9.79796
97	9.84886
98	9.89949
99	9.
100	10
101	10.0148 10210
104	10.19804
105	10.24695
106	10.29563
107	10.34408
108	10.3923
109	10.44031
110	10.48809
111
114	10.67708
115	10.72381
116	10.77033
117	10.81665
118	10.86278
119	10.
120	10.
121 0
121
124	11.13553
125	11.18034
126	11.22497
127	11.26943
128	11.31371
129	11.35782
130	11.40175
131
131
134	11,57584
135	11,61895
136	11,6619
137	11.7047
138	11.74734
139	11.78983
140	11.83216
141
144	12
145	12.04159
146	12.08305
147	12.12436
148	12.16553
149	12.20656
150	12.24745
151
154	12,40967
155	12,4499
156	12,49
157	12.52996
158	12,56981
159	12,60952
160	12,64911
161	12,68858
162	12,72792
163	12,76715
164	12.80625
165	12.84523
166	12.8841
167	12.
168	12.
169	13
170	13.0384
171
171
171 13998
174	13.19091
175	13.22876
176	13.2665
177	13.30413
178	13,34166
179	13,37909
180	13,41641
181	13,45362
182	13,49074
183	13,52775
184	13.56466
185	13.60147
186	13.63818
187	13.67 479
188	13,71131
189	13,74773
190	13,78405
191	13,82027
192	13,85641
193	13,89244
194	13.
195	13.
196	14
197	14.03567
198	14.07125
199	14.10674
200	14.14214
201
201
204	14.28286
205	14.31782
206	14.3527
207	14.38749
на 208	14,42221
209	14,45683
210	14,49138
211	14,52584
212	14,56022
213	14,59452
214	14.62874
215	14.66288
216	14.69694
217	14.73092
218	14,76482
219	14,79865
220	14,8324
221	14,86607
222	14,89966
223	14,
224	14.
225	15
226	15.0333
227	15.06652
228	15.09967
229	15.13275
230	15.16575
231
231
234	15.29706
235	15,32971
236	15,36229
237	15.3948
238	15,42725
239	15,45962
240	15,49193
241	15,52417
242	15,55635
243	15,58846
244	15,6205
245	15,65248
246	15,68439
247	15.71623
248	15,74802
249	15,77973
250	15,81139
251	15,84298
252	15,87451
253	15,
254	15.
255	15.
256	16
257	16.03122
258	16,06238
259	16,09348
260	16,12452
261	16,15549
262	16,18641
263	16,21727
264	16.24808
265	16.27882
266	16.30951
267	16.34013
268	16,37071
269	16,40122
270	16,43168
271	16,46208
272	16,49242
273	16,52271
274	16,55295
275	16,58312
276	16,61325
277	16.64332
278	16,67333
279	16,70329
280	16,7332
281	16,76305
282	16,79286
283	16,8226
284	16,8523
285	16,88194
286	16,
287	16.
288	16.
289	17
290	17.02939
291
291
291
294	17.14643
295	17.17556
296	17.20465
297	17.23369
298 По	17,26268
299	17,29162
300	17,32051
301	17,34935
302	17,37815
303	17,4069
304	17.4356
305	17.46425
306	17.49286
307	17.52142
308	17,54993
309	17,5784
310	17,60682
311	17,63519
312	17,66352
313	17,69181
314	17.72005
315	17.74824
316	17.77639
317	17.+80449
318	17,83255
319	17,86057
320	17,88854
321	17,
322	17,
323	17,9722
324	18
325	18.02776
326	18.05547
327	18.08314
328	18.11077
329	18.13836
330	18.1659
331
331
331
334	18.27567
335	18.30301
336	18.3303
337	18.35756
338	18,38478
339	18,41195
340	18,43909
341	18,46619
342	18,49324
343	18,52026
344	18.54724
345	18.57418
346	18.60108
347	18.62794
348	18,65476
349	18,68154
350	18,70829
351	18,73499
352	18,76166
353	18,78829
354	18.81489
355	18.84144
356	18.86796
357	18.89444
358	18.
359	18.9473
360	18.
361
361		1950
361		1950
364	19.07878
365	19.10497
366	19.13113
367	19.15724
368	19,18333
369	19,20937
370	19,23538
371	19,26136
372	19,2873
373	19,31321
374	19.33908
375	19.36492
376	19.39072
377	19.41649
378	19,44222
379	19,46792
380	19,49359
381	19,51922
382	19,54482
383	19,57039
384	19.59592
385	19.62142
386	19.64688
387	19.67232
388	19,69772
389	19,72308
390	19,74842
391	19,77372
392	19,79899
393	19,82423
394	19.84943
395	19.87461
396	19.89975
397	19.
398	19.
399	19.
400	20
401
401
404	20.09975
405	20.12461
406	20.14944
407	20.17424
408	20,19901
409	20,22375
410	20,24846
411	20,27313
412	20,29778
413	20,3224
414	20.34699
415	20.37155
416	20.39608
417	20.42058
418	20,44505
419	20,46949
420	20,4939
421	20,51828
422	20,54264
423	20,56696
424	20.59126
425	20.61553
426	20.63977
427	20.66398
428	20,68816
429	20,71232
430	20,73644
431	20,76054
432	20,78461
433	20,80865
434	20.83267
435	20.85665
436	20.88061
437	20.
444	21.07131
445	21.09502
446	21.11871
447	21.14237
448	21.16601
449	21.18962
450	21.2132
451 9014 45150
451 9014 45150
451
454	21.30728
455	21.33073
456	21.35416
457	21.37756
458	21,40093
459	21,42429
460	21,44761
461	21,47091
462	21,49419
463	21,51743
464	21.54066
465	21.56386
466	21.58703
467	21.61018
468	21,63331
469	21,65641
470	21,67948
471	21,70253
472	21,72556
473	21,74856
474	21.77154
475	21.79449
476	21.81742
477	21.84033
478	21,86321
479	21,88607
480	21,9089
481	21,
482	21,9545
483	21,97726
484	22
485	22.02272
486	22.04541
487	22.06808
488	22,09072
489	22,11334
490	22,13594
491	22,15852
492	22,18107
493	22,2036
494	22.22611
495	22.2486
496	22.27106
497	22.+2935
498	22,31591
499	22,33831
500	22,36068
501	22,38303
502	22,40536
503	22,42766
504	22.44994
505	22.47221
506	22.49444
507	22.51666
508	22,53886
509	22,56103
510	22,58318
511	22,60531
512	22,62742
513	22,6495
514	22.67157
515	22.69361
516	22.71563
517	22.73 763
518	22,75961
519	22,78157
520	22,80351
521	22,82542
522	22,84732
523	22,86919
524	22.89105
525	22.
526	22.
527	22.
528	22.97825
529	23
530	23.02173
531
531
531
531
534	23.10844
535	23.13007
536	23.15167
537	23.17326
538	23,19483
539	23,21637
540	23,2379
541	23,25941
542	23,28089
543	23,30236
544	23.32381
545	23.34524
546	23.36664
547	23.38803
548	23,4094
549	23,43075
550	23,45208
551	23,47339
552	23,49468
553	23,51595
554	23.5372
555	23.55844
556	23.57965
557	23.60085
558	23,62202
559	23,64318
560	23,66432
561	23,68544
562	23,70654
563	23,72762
564	23.74868
565	23.76973
566	23.79075
567	23.81176
568	23,83275
569	23,85372
570	23,87467
571	23,89561
572	23,
573	23,
574	23.9583
575	23.97916
576	24
577	24.02082
578	24,04163
579	24,06242
580	24,08319
581	24,10394
582	24,12468
583	24,14539
584	24.16609
585	24.18677
586	24.20744
587	24.22808
588	24,24871
589	24,26932
590	24,28992
591	24,31049
592	24,33105
593	24,35159
594	24.37212
595	24.39262
596	24.41311
597	24.43358
598	24,45404
599	24,47448
600	24,4949
601	24,5153
602	24,53569
603	24,55606
604	24,57641
605	24,59675
606	24,61707
607	24.63737
608	24,65766
609	24,67793
610	24,69818
611	24,71841
612	24,73863
613	24,75884
614	24.77902
615	24.79919
616	24.81935
617	24.83948
618	24,85961
619	24,87971
620	24,8998
621	24,
622	24,
623	24,
624	24.97999
625	25
626	25.01999
627	25.03997
628	25,05993
629	25,07987
630	25,0998
631	25,11971
632	25,13961
633	25,15949
634	25.17936
635	25.19921
636	25.21904
637	25.23886
638	25,25866
639	25,27845
640	25,29822
641	25,31798
642	25,33772
643	25,35744
644	25.37716
645	25.39685
646	25.41653
647	25.43 619
648	25,45584
649	25,47548
650	25,4951
651	25,5147
652	25,53429
653	25,55386
654	25,57342
655	25,59297
656	25,6125
657	25.63201
658	25,65151
659	25,671
660	25,69047
661	25,70992
662	25,72936
663	25,74879
664	25.7682
665	25.78759
666	25.80698
667	25.82634
668	25,8457
669	25,86503
670	25,88436
671	25,
672	25,
673	25,
674	25.
675	25.98076
676	26
677	26.+01922
678	26,03843
679	26,05763
680	26,07681
681	26,09598
682	26,11513
683	26,13427
684	26.15339
685	26.1725
686	26.1916
687	26.21068
688	26,22975
689	26,24881
690	26,26785
691	26,28688
692	26,30589
693	26,32489
694	26.34388
695	26.36285
696	26.38181
697	26.40 076
698	26,41969
699	26,43861
700	26,45751
701	26,4764
702	26,49528
703	26,51415
704	26,533
705	26,55184
706	26,57066
707	26.58947
708	26,60827
709	26,62705
710	26,64583
711	26,66458
712	26,68333
713	26,70206
714	26.72078
715	26.73948
716	26.75818
717	26.77686
718	26,79552
719	26,81418
720	26,83282
721	26,85144
722	26,87006
723	26,88866
724	26.
725	26.
726	26.
727	26.
728	26.98148
729	27
730	27.01851
731
734	27.09243
735	27.11088
736	27.12932
737	27.14774
738	27,16616
739	27,18455
740	27,20294
741	27,22132
742	27,23968
743	27,25803
744	27.27636
745	27.29469
746	27.313
747	27.3313
748	27,34959
749	27,36786
750	27,38613
751	27,40438
752	27,42262
753	27,44085
754	27.45906
755	27.47726
756	27.49545
757	27.51363
758	27,5318
759	27,54995
760	27,5681
761	27,58623
762	27,60435
763	27,62245
764	27.64055
765	27.65863
766	27.67671
767	27.69476
768	27,71281
769	27,73085
770	27,74887
771	27,76689
772	27,78489
773	27,80288
774	27.82086
775	27.83882
776	27.85678
777	27.87472
778	27,89265
779	27,
780	27,
781	27,
782	27,
783	27,98214
784	28
785	28.01785
786	28.03569
787	28.05 352
788	28,07134
789	28,08914
790	28,10694
791	28,12472
792	28,14249
793	28,16026
794	28.17801
795	28.19574
796	28.21347
797	28.23119
798	28,24889
799	28,26659
800	28,28427
801	28,30194
802	28,3196
803	28,33725
804	28.35489
805	28.37252
806	28.39014
807	28.40775
808	28,42534
809	28,44293
810	28,4605
811	28,47806
812	28,49561
813	28,51315
814	28,53069
815	28,5482
816	28,56571
817	28.58321
818	28,6007
819	28,61818
820	28,63564
821	28,6531
822	28,67054
823	28,68798
824	28.7054
825	28.72281
826	28.74022
827	28.75 761
828	28,77499
829	28,79236
830	28,80972
831	28,82707
832	28,84441
833	28,86174
834	28.87906
835	28.89637
836	28.
837	28.
838	28.
839	28.9655
840	28.98275
841
	9014
844	29.05168
845	29.06888
846	29.08608
847	29.10326
848	29,12044
849	29,1376
850	29,15476
851	29,1719
852	29,18904
853	29,20616
854	29.22328
855	29.24038
856	29.25748
857	29.27456
858	29,29164
859	29,3087
860	29,32576
861	29,3428
862	29,35984
863	29,37686
864	29.39388
865	29.41088
866	29.42788
867	29.+44486
868	29,46184
869	29,47881
870	29,49576
871	29,51271
872	29,52965
873	29,54657
874	29,56349
875	29,5804
876	29,5973
877	29.61419
878	29,63106
879	29,64793
880	29,66479
881	29,68164
882	29,69848
883	29,71532
884	29.73214
885	29.74895
886	29.76575
887	29.78255
888	29,79933
889	29,8161
890	29,83287
891	29,84962
892	29,86637
893	29,88311
894	29.89983
895	29.
896	29.
897	29.
898	29.
899	29.98333
900	30
901
904	30.06659
905	30.08322
906	30.09983
907	30.11644
908	30,13304
909	30,14963
910	30,16621
911	30,18278
912	30,19934
913	30,21589
914	30,23243
915	30,24897
916	30,26549
917	30.28201
918	30,29851
919	30,31501
920	30,3315
921	30,34798
922	30,36445
923	30,38092
924	30.39737
925	30.41381
926	30.43025
927	30.44667
928	30,46309
929	30,4795
930	30,4959
931	30,51229
932	30,52868
933	30,54505
934	30.56141
935	30.57777
936	30.59412
937	30.61046
938	30,62679
939	30,64311
940	30,65942
941	30,67572
942	30,69202
943	30,70831
944	30.72458
945	30.74085
946	30.75711
947	30.77337
948	30,78961
949	30,80584
950	30,82207
951	30,83829
952	30,8545
953	30,8707
954	30.88689
955	30.
956	30.
957	30.
958	30,
959	30,
960	30,98387
961	31
962	31,01612
963	31,03224
964	31.04835
965	31.06445
966	31.08054
967	31.09 662
968	31,1127
969	31,12876
970	31,14482
971	31,16087
972	31,17691
973	31,19295
974	31.20897
975	31.22499
976	31.241
977	31.257
978	31,27299
979	31,28898
980	31,30495
981	31,32092
982	31,33688
983	31,35283
984	31.36877
985	31.38471
986	31.40064
987	31.41656
988	31,43247
989	31,44837
990	31,46427
991	31,48015
992	31,49603
993	31,5119
994	31.52777
995	31.54362
996	31.55947
997	31.57531
998	31.59114
999	31.60696
1000	31.62278

Связанные

Часто используемые Miniwebtools:

Все минивеб-инструменты (отсортировано по названию):

PWA (прогрессивное веб-приложение) Инструменты (17) Финансовые калькуляторы (121) Здоровье и фитнес (31) Математика (161) Случайность (17) Спорт (8) Текстовые инструменты (30) Время и Дата (27) Инструменты для веб-мастеров (10) Хеш и контрольная сумма (8) Разное (108)

Калькулятор дробей

Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражениями с дробями, объединенными с целыми числами, десятичными знаками и смешанными числами.Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.

Правила для выражений с дробями:

Дроби — используйте косую черту «/» между числителем и знаменателем, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, не забудьте оставить один пробел между целой и дробной частью.
Косая черта разделяет числитель (число над дробной чертой) и знаменатель (число ниже).

Смешанные числа (смешанные дроби или смешанные числа) записываются как ненулевое целое число, разделенное одним пробелом и дробью, то есть 1 2/3 (с тем же знаком). Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта является одновременно знаком для дробной линии и деления, мы рекомендуем использовать двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, то есть 1/2: 3 .

Десятичные числа (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . , и они автоматически переводятся в дроби — i.е. 1,45 .

Двоеточие : и косая черта / являются символом деления. 1/2
• сложение дробей и смешанные числа: 8/5 + 6 2/7
• деление целого и дробного числа: 5 ÷ 1/2
• комплексные дроби: 5/8: 2 2/3
• десятичное в дробное: 0.625
• Дробь в десятичную: 1/4
• Дробь в проценты: 1/8%
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
• квадратный корень дроби: sqrt (1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение в скобках: 1 / 3 * (1/2 — 3 3/8)
• сложная дробь: 3/4 от 5/7
• кратная дробь: 2/3 от 3/5
• разделите, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2 / 3

Калькулятор следует известным правилам порядка операций .Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
BEDMAS — Скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
BODMAS — Скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание.
GEMDAS — Группирующие символы — скобки () {}, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
Будьте осторожны, всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием .Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны вычисляться слева направо.

Дроби в словесных задачах:

следующие математические задачи »

Кубический корень из 2 — Как найти кубический корень из 2? [Решено]

Значение кубического корня из 2, округленного до 6 знаков после запятой, равно 1,259921. Это реальное решение уравнения x ³ = 2. Кубический корень из 2 выражается как ∛2 в радикальной форме и как (2) ^⅓ или (2) ^0.33 в экспоненциальной форме. Разложение 2 на простые множители равно 2, следовательно, кубический корень из 2 в его низшей радикальной форме выражается как ∛2.

• Кубический корень из 2: 1,259
• Кубический корень из 2 в экспоненциальной форме: (2) ^⅓
• Кубический корень из 2 в радикальной форме: ∛2

Что такое кубический корень из 2?

Кубический корень из 2 — это число, которое при трехкратном умножении на себя дает произведение 2.Число 2 простое. Следовательно, кубический корень из 2 = ∛2 = 1,2599.

☛ Чек: Калькулятор кубического корня

Как вычислить значение корня куба из 2?

Кубический корень из 2 по методу Галлея

Его формула a ≈ x ((x ³ + 2a) / (2x ³ + a))
где,
a = число, кубический корень которого вычисляется
x = целое число его кубического корня.

Здесь a = 2
Примем x как 1
[∵ 1 ³ = 1 и 1 — ближайший идеальный куб, который меньше 2]
⇒ х = 1
Следовательно,
∛2 = 1 (1 ³ + 2 × 2) / (2 × 1 ³ + 2)) = 1,25
⇒ ∛2 ≈ 1,25
Следовательно, кубический корень из 2 приблизительно равен 1,25.

Является ли кубический корень 2 иррациональным?

Да, потому что ∛2 не может быть выражено в форме p / q, где q ≠ 0.Следовательно, значение кубического корня из 2 является иррациональным числом.

☛ Также проверьте:

Кубический корень из 2 решенных примеров

1. Пример 1. Какое значение имеет ∛2 + ∛ (-2)?

   Решение:

   Кубический корень из -2 равен отрицательному элементу кубического корня из 2,
   т.е.-2 = -∛2

   Следовательно, 2 + ∛ (-2) = ∛2 — ∛2 = 0
   

2. Пример 2: Найдите действительный корень уравнения x ³ — 2 = 0.

   Решение:

   x ³ — 2 = 0, т.е. x ³ = 2
   Решение относительно x дает нам
   x = ∛2, x = ∛2 × (-1 + √3i)) / 2 и x = ∛2 × (-1 — √3i)) / 2
   где i называется мнимой единицей и равен √-1.
   Игнорирование мнимых корней,
   х = ∛2
   Следовательно, действительный корень уравнения x ³ — 2 = 0 равен x = ∛2 = 1,2599.
   

3. Пример 3: Объем сферического шара равен 2π в ³ .Каков радиус этого шара?

   Решение:

   Объем сферического шара = 2π дюйм ³
   = 4/3 × π × R ³
   ⇒ R ³ = 3/4 × 2
   ⇒ R = ∛ (3/4 × 2) = ∛ (3/4) × ∛2 = 0, × 1,25992 (∵ ∛ (3/4) = 0, и ∛2 = 1,25992)
   ⇒ R = 1,14471 из ³

перейти к слайду перейти к слайду

Готовы увидеть мир глазами математиков?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем.Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых занятиях и станьте экспертом во всем.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

FAQ по Cube Root из 2

Что такое кубический корень из 2?

Кубический корень из 2 равен 1,25992.

Что такое куб из куба, корень 2?

Куб кубического корня из 2 — это само число 2, т.е. (∛2) ³ = (2 ^1/3 ) ³ = 2.

Является ли 2 идеальным кубом?

Число 2 простое.Здесь простой множитель 2 не в степени 3, и это означает, что кубический корень из 2 иррационален, следовательно, 2 не является идеальным кубом.

Что такое 18 плюс 5 кубического корня 2?

Значение ∛2 равно 1,26. Итак, 18 + 5 × ∛2 = 18 + 5 × 1,26 = 24,3. Следовательно, значение 18 плюс 5 кубического корня 2 равно 24,3.

Если кубический корень из 2 равен 1,26, найдите значение 0,002 фунта стерлингов.

Представим 0,002 в форме p / q, т. Е. ∛ (2/1000) = 1,26 / 10 = 0,13. Следовательно, значение ∛0.002 = 0,13.

Почему значение кубического корня из 2 иррационально?

Значение кубического корня из 2 нельзя выразить в виде p / q, где q ≠ 0. Следовательно, число 2 иррационально.

Кубический корень — это то же самое, что возвести в степень 1/3?

Недавно я обнаружил интересное несоответствие, связанное с функцией кубического корня.

Кубический корень

В Wolfram | Alpha (который использует систему компьютерной алгебры Mathematica в своей бэкэнде), если вы попросите его построить график, вы получите следующее, как и ожидалось:

В поле поиска я ввел «кубический корень из x», и он сказал, что «Результат» был правильно написан как.

Этот график является отражением графика y = x ³ в линии y = x . Это обратные функции.

Мы знаем, что кубический корень отрицательного числа отрицательный, поэтому, например, мы видим, что это имеет смысл на графике выше.

Wolfram | Alpha утверждает, что существует один корень ( x = 0), а домен и диапазон — все действительные числа, что согласуется с приведенным выше графиком.

ПРИМЕЧАНИЕ: Крошечным шрифтом, Wolfram | Alpha указывает:

Предположим, что «кубический корень из» является корнем с действительным знаком.

Есть возможность увидеть «основной корень», но это дало тот же результат.

Возведение в степень 1/3

На ранних этапах изучения корней и дробных степеней мы узнаем, что можем записать корни в дробных показателях. В общем, это означает:

Итак, для квадратного корня мы имеем:

и для кубического корня:

.

Таким образом, мы ожидаем, что график будет таким же, как и график для.

Но это не так. Вот что возвращает Wolfram | Alpha, когда я прошу его построить график:

Синяя кривая обозначена как «действительная часть», а красная кривая — «мнимая часть».

Любопытно, что значение «Input» указано как:, но на самом деле это не то, что я ввел. Итак, часть ответа касается, а остальная часть ответа — нет.

Из раздела, посвященного комплексным корням, мы знаем (особенно см. Упражнение 4 в конце), что кубическое уравнение будет иметь 3 корня (точно так же, как квадратное уравнение имеет 2 корня).Все эти 3 корня могут быть настоящими или смесью реальных и сложных корней.

Wolfram | Alpha правильно указывает, что есть мнимые части, но верен ли их график? Неужели кубический корень отрицательного числа должен быть отрицательным?

Пример: Каковы все кубические корни из −8?

Я немного уменьшил масштаб, чтобы получить этот график, и добавил несколько направляющих сегментов (зеленых):

Используя те же соображения, что и в упражнении 4, упомянутом ранее, комплексные решения для x ³ = −8 должны быть разнесены на 120 °, что дает (где):

х = −2

х = 1 + 1.73j

x = 1 — 1.73j

Приведенный выше график действительно дает нам одно из этих решений (среднее, поскольку мы видим, что действительная часть равна 1, а мнимая часть — 1,73), но не дает двух других решений.

Еще раз, страница сообщает нам, что принимает «основной корень», и дает нам возможность выбрать «действительный корень». Если мы сделаем это на этот раз, мы получим настоящую корневую версию, похожую на график в верхней части страницы.

Научная тетрадь ответ

Scientific Notebook дает следующие 2 графика, которые я наложил.

Синий график показывает, и Scientific Notebook дает полное реальное решение (в первом и третьем квадрантах), тогда как пурпурный (розовый) график находится только в положительном квадранте.

Геогебра и Десмос ответы

И Geogebra, и Desmos дают один и тот же график «полного реального значения» для обоих и.

Аналогично квадратному корню

Я уже писал о количестве решений для √16. Конечно, есть одно решение, тогда как если вас попросят решить, вы получите два решения.

Wolfram | Alpha и Scientific Notebook признают, что существует разница между (каждый раз есть один «главный» ответ) и, где нам нужно запомнить сложные корни.

Заключение

Не принимайте слово компьютера, когда он дает вам график или решение некоторого уравнения. Он делает все возможное, чтобы выяснить, что вы хотите знать, но нельзя ожидать, что он будет знать полный контекст вашего запроса или обязательно даст вам все возможные ответы.

Мне кажется странным, что Wolfram | Alpha дает лишь частичный графический ответ для кубического корня из −8. Пользователь должен немного подумать, чтобы извлечь из него полный ответ.

Все еще нужна помощь?

Найдите репетитора

См. 6 комментариев ниже.

Умножение радикальных выражений — ChiliMath

В этом уроке мы будем иметь дело только с квадратными корнями, которые представляют собой определенный тип радикального выражения с индексом \ color {red} 2.Если вы видите радикальный символ без явно написанного индекса, предполагается, что он имеет индекс \ color {red} 2.

Ниже приведены основные правила умножения радикальных выражений.

Основное правило умножения радикальных выражений

Подкоренное выражение — это термин внутри квадратного корня. Мы умножаем радикалы, умножая их подкоренные выражения вместе, сохраняя при этом их произведение под одним и тем же символом радикала. Что будет тогда, если в радикальных выражениях есть числа, расположенные снаружи?

Нам просто нужно настроить формулу выше.Но ключевая идея состоит в том, что произведение чисел, находящихся вне радикальных символов, также остается снаружи.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как применяются эти два основных правила.

---

Примеры умножения радикальных выражений

Пример 1 : Упростить умножением.

Умножьте подкоренные выражения, сохраняя произведение внутри квадратного корня.

Произведение представляет собой полный квадрат, поскольку 16 = 4 · 4 = 4 ² , что означает, что квадратный корень из \ color {blue} 16 — это просто целое число.

---

Пример 2 : Упростить умножением.

Можно умножать числа, если они оба находятся под радикальным символом. После умножения подкоренных выражений посмотрите, возможно ли дальнейшее упрощение.

---

Пример 3 : Упростить умножением.

Возьмите число вне скобок и распределите его по числам внутри. Мы просто применяем дистрибутивное свойство умножения.

Далее приступаем к обычному умножению радикалов. Но будьте осторожны. Вы можете умножать только числа, находящиеся внутри радикальных символов. Таким же образом можно использовать только числа, не входящие в радикальные символы.

При умножении числа внутри символа корня и числа вне символа корня просто поместите их рядом.

---

Пример 4 : Упростить умножением.

Как и в примере 3, мы собираемся распределить числа вне скобок на числа внутри.Но обязательно умножайте числа только в том случае, если их «расположение» одинаково. То есть умножайте числа вне радикальных символов независимо от чисел внутри радикальных символов.

Отсюда мне просто нужно упростить продукты.

---

Пример 5 : Упростить умножением.

Решение :

---

Пример 6 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Эта задача требует, чтобы мы перемножили два бинома, содержащие радикальные члены.Примените метод FOIL для упрощения.

• F : умножить первые члены.

• O : Умножьте внешний член .

• I : Умножьте внутренний член .

• L : умножить на последние членов.

После применения свойства распределения с помощью метода FOIL, я упросту их как обычно.

---

Пример 7 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Как и в нашем предыдущем примере, давайте применим метод FOIL, чтобы упростить произведение двух биномов.

• F : умножить первые члены.

• O : Умножьте внешний член .

• I : Умножьте внутренний член .

• L : умножить на последние членов.

С этого момента упрощайте как обычно.Обратите внимание, что два средних члена отменяют друг друга.

---

Пример 8 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Давайте решим это пошагово:

• Умножьте вместе, используя метод FOIL.

• Упростим квадратный корень из 25.

• Сложите числа без радикальных символов

---

Пример 9 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Давайте решим это пошагово:

• Разверните произведение биномов с помощью FOIL.

• Получите квадратные корни из совершенных квадратных чисел, которые равны \ color {red} 36 и \ color {red} 9.

• Найдите идеальный квадратный множитель для 24.
• Разбейте его как произведение квадратных корней.
• Упростим квадратный корень из 4.

• Вычтите аналогичные радикалы и вычтите также числа без радикальных символов.

---

Пример 10 : Упростить умножением.

Мы собираемся перемножить эти биномы «матричным методом». Напишите члены первого бинома (синим цветом) в крайнем левом столбце и напишите члены второго бинома (красным цветом) в верхней строке.

Умножьте числа соответствующих сеток. См. Анимацию ниже.

Затем упростите продукт внутри каждой сетки.

Наконец, сложите все продукты во всех четырех сетках и упростите, чтобы получить окончательный ответ.

---

Пример 11 : Упростить умножением.

Поместите члены первого бинома в крайний левый столбец, а члены второго бинома в верхнюю строку. Затем перемножьте соответствующие квадратные сетки.

Наконец, сложите значения в четырех сетках и максимально упростите, чтобы получить окончательный ответ.

---

Практика с рабочими листами

---

Возможно, вас заинтересует:

Решение радикальных уравнений
Упрощение радикальных выражений
Сложение и вычитание радикальных выражений
Рационализация знаменателя

.