Как решать производные для чайников: определение, как найти, примеры решений. Геометрический смысл производной функции в точке

{\prime }}=1\cdot \left(\sqrt{x}-1 \right)+x\frac{1}{3\sqrt{x}}= \\& =\sqrt{x}-1+\sqrt{x}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{x}-1 \\\end{align}\]

Ответ найден.

Зачем раскладывать производные на множители?

Только что мы использовали несколько очень важных математических фактов, которые сами по себе не имеют отношения к производным, однако без их знания все дальнейшее изучение этой темы просто не имеет смысла.

Во-первых, решая самую первую задачу и, уже избавившись от всех знаков производных, мы зачем-то начали раскладывать это выражение на множители.

Во-вторых, решая следующую задачу, мы несколько раз переходили от корня к степени с рациональным показателем и обратно, при этом используя формулу 8-9-го класса, которую стоило бы повторить отдельно.

По поводу разложения на множители ― зачем вообще нужны все эти дополнительные усилия и преобразования? На самом деле, если в задаче просто сказано «найти производную функции», то эти дополнительные действия не требуются.

Однако в реальных задачах, которые ждут вас на всевозможных экзаменах и зачетах, просто найти производную зачастую недостаточно. Дело в том, что производная является лишь инструментом, с помощью которой можно узнать, например, возрастание или убывание функции, а для этого требуется решать уравнение, раскладывать его на множители. И вот здесь этот прием будет очень уместен. Да и вообще, с функцией, разложенной на множители, гораздо удобней и приятней работать в дальнейшем, если требуются какие-то преобразования. Поэтому правило № 1: если производную можно разложить на множители, именно так и стоит поступать. И сразу правило № 2 (по сути, это материал 8-9-го класса): если в задаче встречается корень n -ной степени, причем, корень явно больше двух, то этот корень можно заменить обычной степенью с рациональным показателем, причем в показателе появится дробь, где n ― та самая степень ― окажется в знаменателе этой дроби.

Разумеется, если под корнем присутствует какая-то степень (в нашем случае это степень

k ), то она никуда не девается, а просто оказывается в числителе этой самой степени. {2}}}\]

Мы нашли ответ. Как и предполагалось, объем вычисления оказался существенно меньше, чем для первой функции.

В чем разница между обозначениями?

У внимательных учеников наверняка уже возник вопрос: почему в одних случаях мы обозначаем функцию как $f\left(x \right)$, а в других случаях пишем просто $y$? На самом деле, с точки зрения математики нет абсолютно никакой разницы ― вы вправе использовать как первое обозначение, так и второе, при этом никаких штрафных санкций на экзаменах и зачетах не последует. Для тех, кому все-таки интересно, поясню, почему авторы учебников и задач в одних случаях пишут $f\left(x \right)$, а в других (гораздо более частых) ― просто $y$. Дело в том, что записывая функцию в виде\, мы неявно намекаем тому, кто будет читать наши выкладки, что речь идет именно об алгебраической интерпретации функциональной зависимости. Т. е., есть некая переменная $x$, мы рассматриваем зависимость от этой переменной и обозначаем ее $f\left(x \right)$. При этом, увидев вот такое обозначение, тот, кто будет читать ваши выкладки, например, проверяющий, будет подсознательно ожидать, что в дальнейшем его ждут лишь алгебраические преобразования ― никаких графиков и никакой геометрии.

С другой стороны, используя обозначения вида\, т. е., обозначая переменную одной единственной буквой, мы сразу даем понять, что в дальнейшем нас интересует именно геометрическая интерпретация функции, т. е., нас интересует, в первую очередь, ее график. Соответственно, столкнувшись с записью вида\, читатель вправе ожидать графических выкладок, т. е., графиков, построений и т. д., но, ни в коем случае, не аналитических преобразований.

Еще хотел бы обратить ваше внимание на одну особенность оформления задач, которые мы сегодня рассматриваем. Многие ученики считают, что я привожу слишком подробные выкладки, и многие из них можно было бы пропустить или просто решить в уме. Однако именно такая подробная запись позволит вам избавится от обидных ошибок и значительно увеличит процент правильно решенных задач, например, в случае самостоятельной подготовки к контрольным или экзаменам. Поэтому если вы еще неуверенны в своих силах, если вы только начинаете изучать данную тему, не спешите ― подробно расписывайте каждый шаг, выписывайте каждый множитель, каждый штрих, и очень скоро вы научитесь решать такие примеры лучше, чем многие школьные учителя. {2}}x} \\\end{align}\]

Теперь, если мы сравним полученный результат с тем, что мы получили ранее, при вычислении по другому пути, то мы убедимся, что получили одно и то же выражение. Таким образом, каким бы путем мы не шли при вычислении производной, если все посчитано верно, то ответ будет одним и тем же.

Важные нюансы при решении задач

В заключении хотел бы рассказать вам еще одну тонкость, связанную с вычислением производной частного. То, что я вам сейчас расскажу, не было в изначальном сценарии видеоурока. Однако за пару часов до съемок я занимался с одним из своих учеников, и мы как раз разбирали тему производных частного. И, как выяснилось, этот момент многие ученики не понимают. Итак, допустим, нам нужно посчитать снять штрих следующей функции:

В принципе, ничего сверхъестественного на первый взгляд в ней нет. Однако в процессе вычисления мы можем допустить много глупых и обидных ошибок, которые я бы хотел сейчас разобрать.

Итак, считаем эту производную. {\prime }}$ можно рассматривать и как производную частного, и как производную степенной функции. При этом если все вычисления выполнены верно, то ответ всегда получится одним и тем же. Во-вторых, при вычислении производных, содержащих и переменную, и константу, принципиально важным является то, где находится переменная ― в числителе или в знаменателе. В первом случае, когда переменная находится в числителе, мы получаем простую линейную функцию, которая элементарно считается. А в случае, если переменная стоит в знаменателе, то мы получаем более сложное выражение с сопутствующими выкладками, приведенными ранее.

На этом урок можно считать законченным, поэтому если вам что-то непонятно по производным частного или произведения, да и вообще, если у вас есть любые вопросы по этой теме, не стесняйтесь ― заходите на мой сайт, пишите, звоните, и я обязательно постараюсь вам помочь.

Сами по себе производные ― тема отнюдь не сложная, но очень объемная, и то, что мы сейчас изучаем, будет использоваться в будущем при решении более сложных задач. Именно поэтому все недопонимания, связанные с вычислениями производных частного или произведения, лучше выявить немедленно, прямо сейчас. Не когда они представляют собой огромный снежный ком недопонимания, а когда представляют собой маленький теннисный шарик, с которым легко разобраться.

Сырники с зеленью, сыром и чесноком жареные

Сырники с зеленью, сыром и чесноком жареные

Производная функции определяет. §1. Определение производной

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
+	0	—	0	+

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс

и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Дата: 20.11.2014

Таблица производных.

Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

Понимать суть несложных заданий с производной;

Успешно решать эти самые несложные задания;

Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

Сначала — приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование — действие над функцией.

Производная — результат этого действия.

Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y» или f»(x) или S»(t) и так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…)

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)» , (x 3 )» , (sinx)» и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

Таблица производных.

В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций «с нуля», т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.

	Функция y	Производная функции y y»
1	C (постоянная величина)	C» = 0
2	x	x» = 1
3	x n (n — любое число)	(x n)» = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)» = 2x
4	sin x	(sin x)» = cosx
	cos x	(cos x)» = — sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x (a = e )

Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице — вроде и нету…

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти производную функции y = x 3

Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

(x 3) » = 3·x 3-1 = 3x 2

Вот и все дела.

Ответ: y» = 3x 2

2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню — это уже новая функция.

По табличке находим синус и соответствующую производную:

y» = (sin x)» = cosx

Подставляем ноль в производную:

y»(0) = cos 0 = 1

Это и будет ответ.

3. Продифференцировать функцию:

Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.

Напомню, что продифференцировать функцию — это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает…

Но если увидеть, что наша функция — это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!

Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это — табличная функция. Сразу получаем:

Ответ: y» = — sin x .

Пример для продвинутых выпускников и студентов:

4. Найти производную функции:

Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

А икс в степени одна десятая — это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

Вот и всё. Это будет ответ.

Надеюсь, что с первым китом дифференцирования — таблицей производных — всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

Производная функции одной переменной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

Механический и геометрический смысл

производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией. Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента
при
.

Производную принято обозначать так:
.

Таким образом, по определению

Для обозначения производной употребляются также символы
.

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке
равен
.

Пример.

Найдите производную функции
в точке=2:

1) Дадим точке =2 приращение
. Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения при
:

.

Таким образом,
.

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть
тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

.

Пример.

Найдите производную функции

.

.

Данная функция является частным случаем функции вида

при
.

Используя формулу (1), имеем

.

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Переходя к пределу при ∆x→0, получим

;
. (2)

§3. Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)»=u»+v».(3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=—=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)»=u»+v».

Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)»=u»v+uv». (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если
то
(5)

Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y»=0.

Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y»=Cu»(x).

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Данная функция имеет вид
, гдеu=x,v=cosx. Применяя правило дифференцирования (4), находим

.

Пример 2.

Найдите производную функции

.

Применим формулу (5).

Здесь
;
.

Задачи.

Найдите производные следующих функций:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Производные инструменты 101

В последние десятилетия инвестирование усложнилось в связи с созданием многочисленных производных инструментов, предлагающих новые способы управления деньгами. Использование деривативов для хеджирования рисков или повышения доходности существует уже несколько поколений, особенно в сельском хозяйстве.

В таком случае одна сторона договора соглашается продать товары или домашний скот контрагенту, который соглашается купить эти товары или домашний скот по определенной цене в определенную дату. Этот контрактный подход был революционным, когда он впервые был представлен, заменив простое рукопожатие.

Опционные контракты – это простейшая производная инвестиция. Их стоимость привязана к стоимости базовой ценной бумаги контракта. Опционы дают покупателю возможность купить или продать базовую ценную бумагу. Инвестор не владеет базовым активом, но делает ставку на направление движения его цены.

Существует много типов производных инструментов, включая опционы, свопы, фьючерсы и форвардные контракты. Производные инструменты имеют множество применений и различные уровни рисков, но в целом считаются надежным способом участия в финансовых рынках.

Ключевые выводы

• Производный инструмент — это ценная бумага, базовый актив которой определяет ее цену, риск и базовую структуру условий.
• Инвесторы используют деривативы для хеджирования позиций, увеличения кредитного плеча или спекуляций на движении активов.
• Производные инструменты можно покупать или продавать на внебиржевом рынке или на бирже.
• Существует множество типов производных контрактов, включая опционы, свопы, фьючерсные или форвардные контракты.
• Некоторые риски, связанные с производными финансовыми инструментами, включают рыночный риск, риск ликвидности и риск использования заемных средств.

Производные инструменты 101

Краткий обзор терминов

Производные могут быть трудны для понимания широкой публикой отчасти потому, что они включают незнакомые термины. Например, у многих инструментов есть контрагенты, которые выступают на другой стороне сделки.

У каждого производного инструмента есть базовый актив, который определяет его цену, риск и базовую временную структуру. Воспринимаемый риск базового актива влияет на предполагаемый риск производного инструмента.

В структуре дериватива может быть указана цена исполнения. Это цена, по которой она может быть реализована. Производные инструменты с фиксированным доходом могут иметь цену отзыва, которая означает цену, по которой эмитент может конвертировать ценную бумагу.

Многие производные инструменты заставляют инвестора занимать бычью позицию с длинной позицией, медвежью позицию с короткой позицией или нейтральную позицию с хеджированной позицией, которая может включать в себя длинные и короткие позиции.

Как деривативы могут вписаться в портфель

Хеджирование для защиты стоимости

Инвесторы обычно используют деривативы по трем причинам: чтобы хеджировать позицию, увеличить кредитное плечо или спекулировать на движении актива. Хеджирование позиции обычно делается для защиты или страхования от риска неблагоприятного движения цены актива.

Например, владелец акции покупает опцион пут на эту акцию, чтобы защитить свой портфель от падения цены акции. Другими словами, они занимают противоположные позиции по одной и той же ценной бумаге.

Стратегия заключается в том, что если цены снижаются и они теряют деньги на акции, они одновременно зарабатывают деньги на опционе пут (поскольку пут должен расти в цене). Этот выигрыш может компенсировать падение стоимости их акций.

С другой стороны, если цена акций вырастет, как и ожидалось, акционер зарабатывает на повышении стоимости акций в своем портфеле. Однако они также теряют деньги на премии, уплаченной за опцион пут.

Акционер, который занимается хеджированием, понимает, что он может заработать больше денег, не платя за страховку, предлагаемую деривативом, если цены изменятся благоприятно. Однако, если цены движутся против них, хеджирование ограничивает их потери.

Сила рычага

Производные могут значительно увеличить кредитное плечо. Для деривативов кредитное плечо означает возможность контролировать значительную стоимость контракта с относительно небольшой суммой денег. Использование опционов особенно хорошо работает на волатильных рынках. Когда цена базового актива значительно изменяется в благоприятном направлении, опционы усиливают это движение.

Многие инвесторы следят за индексом волатильности CBOE (VIX) для измерения потенциального кредитного плеча, поскольку он также предсказывает волатильность опционов на индекс S&P 500. Высокая волатильность может увеличить ценность и стоимость как путов, так и коллов.

Спекуляция

Инвесторы также используют деривативы, чтобы делать ставки на будущую цену актива посредством спекуляций. Крупные спекулятивные игры могут быть выполнены дешево, потому что опционы предлагают инвесторам возможность использовать свои позиции за небольшую часть стоимости эквивалентного количества базового актива.

Производные инструменты могут значительно увеличить кредитное плечо. Когда цена базового актива значительно изменяется в благоприятном направлении, опционы усиливают это движение.

Торговля производными инструментами

Производные инструменты можно покупать или продавать внебиржево (OTC) или на бирже. Внебиржевые деривативы — это контракты, которые заключаются между сторонами в частном порядке, например соглашения о свопе, в нерегулируемом месте.

С другой стороны, деривативы, которыми торгуют на бирже, представляют собой стандартизированные контракты. При внебиржевой торговле существует риск контрагента, поскольку контракты не регулируются, в то время как биржевые деривативы не подвержены этому риску из-за того, что клиринговые палаты выступают в качестве посредников.

Риски, связанные с производными инструментами

Риски, связанные с производными инструментами, проявляются в различных формах. Рыночный риск один. Риск ликвидности – это другое. Так же как и риск кредитного плеча неблагоприятных движений рынка, когда могут потребоваться большие суммы маржи. Существует риск торговли на нерегулируемых биржах. Для сложных деривативов, полученных из более чем одного актива, также существует риск того, что для дериватива не может быть определена надлежащая стоимость.

Типы производных финансовых инструментов

Существует три основных типа контрактов. К ним относятся опционы, свопы и фьючерсные/форвардные контракты. Все три имеют множество вариаций. Опционы — это контракты, которые дают инвесторам право, но не обязательство покупать или продавать актив. Инвесторы обычно используют опционные контракты, когда они не хотят открывать позицию по базовому активу, но все же хотят получить риск в случае значительных колебаний цены.

Существуют десятки опционных стратегий, но наиболее распространенными являются:

• Долгий звонок: Вы считаете, что цена ценной бумаги вырастет. Вы покупаете (открываете длинную позицию) право владения (колл) ценной бумагой. Как держатель длинного колла, выигрыш положителен, если рыночная цена ценной бумаги превышает цену исполнения больше, чем премия, уплаченная за колл.
• Длинный пут : Вы считаете, что цена ценной бумаги снизится. Вы покупаете (открываете длинную позицию) право продать (поставить) ценную бумагу. Для держателя длинного пут выигрыш положительный, если рыночная цена ценной бумаги ниже цены исполнения более чем на премию, уплаченную за пут.
• Короткий звонок : Вы считаете, что цена ценной бумаги снизится. Вы продаете (пишете) звонок. Если вы продаете колл, контрагент (владелец колл) контролирует, будет ли исполнен опцион. Как автор колла, ваша выплата равна премии, полученной от покупателя колла. Однако вы столкнетесь с убытками, если рыночная цена ценной бумаги поднимется выше цены исполнения. Премия, которую вы получили, частично компенсировала бы этот убыток.
• Короткий пут: Вы считаете, что цена ценной бумаги вырастет. Вы продаете (выписываете) пут. Как продавец пут, ваша выплата равна премии, полученной от покупателя пут. Однако вы столкнетесь с убытками, если рыночная цена ценной бумаги упадет ниже цены исполнения. Премия, которую вы получили, частично компенсировала бы этот убыток.

Свопы — это деривативы, при которых контрагенты обмениваются денежными потоками или другими переменными, связанными с различными инвестициями. Обмен происходит потому, что одна сторона имеет сравнительное преимущество, например, заимствование средств по плавающей процентной ставке, в то время как другая сторона может брать более свободно по фиксированной ставке. Самый простой вариант обмена называется простой ванилью, но существует множество типов, в том числе:

• Процентные свопы: Стороны обменивают кредит с фиксированной ставкой на кредит с плавающей ставкой. Если у одной стороны есть кредит с фиксированной ставкой, но есть обязательства с плавающей ставкой, она может заключить своп с другой стороной и обменять свою фиксированную ставку на плавающую ставку, чтобы соответствовать обязательствам. Процентные свопы также можно вводить с помощью опционных стратегий. Своп дает владельцу право, но не обязанность заключать своп.
• Валютные свопы: Одна сторона обменивает платежи по кредиту и возможную основную сумму в одной валюте на платежи и возможную основную сумму в другой валюте.
• Товарные свопы:  Контракт, по которому сторона и контрагент соглашаются обмениваться денежными потоками, которые зависят от цены базового товара.

Стороны форвардных и фьючерсных контрактов соглашаются купить или продать актив в будущем по определенной цене. Эти контракты обычно заключаются с использованием спотовой или самой текущей цены.

Прибыль или убыток покупателя рассчитывается как разница между спотовой ценой на момент поставки и форвардной или будущей ценой. Эти контракты обычно используются для хеджирования рисков или для спекуляций. Фьючерсы — это стандартные контракты, которые торгуются на биржах, а форварды — это нестандартные контракты, торгуемые внебиржевой торговлей.

Часто задаваемые вопросы

Является ли опцион на акции производной инвестицией?

Да. Производные инвестиции — это инвестиции, производные или созданные из базового актива. Опцион на акции — это контракт, который предлагает право купить или продать акции, лежащие в основе контракта. Опцион торгуется сам по себе, и его стоимость привязана к стоимости базовой акции.

Является ли кредитное плечо положительным или отрицательным для деривативов?

Может быть любой. Положительным аспектом кредитного плеча, связанного с деривативом, является то, что инвесторы могут приобрести большую стоимость базовой ценной бумаги за относительно небольшой авансовый капитал. Например, фьючерсный контракт на казначейские облигации имеет номинальную сумму 100 000 долларов.

Начальная маржа, необходимая для покупки контракта, составляет часть этой стоимости (обычно 3–12%). Однако отрицательный аспект кредитного плеча заключается в том, что если рыночная цена контракта достаточно упадет, инвестору потребуется внести дополнительный капитал или закрыть свою позицию. Кому-то эта сумма может показаться непосильной.

Где продаются производные?

В зависимости от дериватива его обычно покупают и продают либо на централизованной бирже, либо на внебиржевом (OTC) рынке. Некоторые деривативы торгуются на нерегулируемых биржах.

Итог

Инвесторы, стремящиеся защитить или принять на себя риск в портфеле, могут использовать длинные, короткие или нейтральные производные стратегии для хеджирования, спекуляции или увеличения кредитного плеча.

Использование дериватива имеет смысл только в том случае, если инвестор полностью осознает риски и понимает влияние инвестиций в рамках более широкой портфельной стратегии.

Что такое производные? – Forbes Advisor

Обновлено: 18 ноября 2021 г. , 11:26

Примечание редактора. Мы получаем комиссию за партнерские ссылки на Forbes Advisor. Комиссии не влияют на мнения или оценки наших редакторов.

Гетти

Производный инструмент — это финансовый инструмент, стоимость которого определяется чем-то другим. Поскольку стоимость деривативов зависит от других активов, профессиональные трейдеры, как правило, покупают и продают их, чтобы компенсировать риск. Однако для менее опытных инвесторов деривативы могут иметь противоположный эффект, делая их инвестиционные портфели более рискованными.

Что такое производные?

Производные инструменты представляют собой сложные финансовые контракты, основанные на стоимости базового актива, группы активов или эталона. Эти базовые активы могут включать в себя акции, облигации, товары, валюты, процентные ставки, рыночные индексы или даже криптовалюты.

Инвесторы заключают производные контракты, в которых четко указаны условия того, как они и другая сторона будут реагировать на будущие изменения стоимости базового актива.

Производные инструменты могут продаваться на внебиржевом рынке (OTC), что означает, что инвестор покупает их через брокерско-дилерскую сеть или на таких биржах, как Чикагская товарная биржа, один из крупнейших рынков деривативов в мире.

Биржевые деривативы регулируются и стандартизируются, а внебиржевые деривативы — нет. Это означает, что вы можете получить больше прибыли от внебиржевого дериватива, но вы также столкнетесь с большей опасностью, связанной с контрагентским риском, вероятностью того, что одна из сторон не выполнит свои обязательства по производному контракту.

Типы деривативов

Скорее всего, вы столкнетесь с четырьмя основными типами деривативов: фьючерсы, форварды, опционы и свопы. Однако, как обычный инвестор, вы, вероятно, будете иметь дело только непосредственно с фьючерсами и опционами.

Фьючерс

По фьючерсному контракту две стороны договариваются о покупке и продаже актива по установленной цене в будущем.

Поскольку фьючерсные контракты привязывают стороны к определенной цене, их можно использовать для компенсации риска роста или падения цены актива, в результате чего кто-то будет продавать товары с большими убытками или покупать их с большой наценкой. Вместо этого фьючерсы фиксируют приемлемую ставку для обеих сторон на основе имеющейся у них информации.

Примечательно, что фьючерсы являются стандартизированными биржевыми инвестициями, а это означает, что обычные инвесторы могут покупать их так же легко, как и акции, даже если вам лично не нужен конкретный товар или услуга по определенной цене. Прибыли и убытки рассчитываются ежедневно, а это означает, что вы можете легко спекулировать на краткосрочных ценовых движениях и не привязаны к полной длине фьючерсного контракта.

Поскольку фьючерсы покупаются и продаются на бирже, риск невыполнения контракта одной из сторон намного меньше.

Форварды

Форвардные контракты очень похожи на фьючерсные контракты, за исключением того, что они устанавливаются внебиржевыми, что означает, что они, как правило, являются частными контрактами между двумя сторонами. Это означает, что они не регулируются, подвержены гораздо большему риску дефолта и что обычные инвесторы не будут вкладывать свои деньги.

Несмотря на то, что форвардные контракты вносят в уравнение больший риск, они позволяют гораздо больше настраивать условия, цены и варианты расчетов, что потенциально может увеличить прибыль.

Опционы

Опционы функционируют как необязательные версии фьючерсов и форвардов: они создают соглашение о покупке и продаже чего-либо по определенной цене в определенное время, хотя сторона, покупающая контракт, не обязана его использовать. Из-за этого опционы обычно требуют, чтобы вы заплатили надбавку, составляющую часть стоимости соглашения.

Параметры могут быть американскими или европейскими, что определяет способ их применения.

Европейские опционы представляют собой необязательные версии фьючерсного или форвардного контракта. Лицо, купившее контракт, может обеспечить исполнение контракта в день истечения срока действия контракта или оставить его неиспользованным.

Тем временем американские опционы могут быть активированы в любой момент до истечения срока их действия. Они также не имеют обязательной силы и могут остаться неиспользованными.

Опционы могут торговаться на биржах или OTC. В США опционами можно торговать на Чикагской бирже опционов. Когда они торгуются на бирже, опционы гарантируются расчетными палатами и регулируются Комиссией по ценным бумагам и биржам (SEC), что снижает риск контрагента.

Как и форварды, внебиржевые опционы являются частными транзакциями, допускающими больше настроек и рисков.

Свопы

Свопы позволяют двум сторонам заключить контракт на обмен денежными потоками или обязательствами в попытке либо сократить свои затраты, либо получить прибыль. Это обычно происходит с процентными ставками, валютами, товарами и дефолтами по кредитам, последний из которых получил известность во время обвала рынка жилья в 2007–2008 годах, когда они были чрезмерно заемными и вызвали серьезную цепную реакцию дефолта.

Точный способ действия свопов зависит от обмениваемого финансового актива. Для простоты предположим, что компания заключает договор об обмене кредита с плавающей процентной ставкой на кредит с фиксированной процентной ставкой с другой компанией. Компания, избавляющаяся от кредита с переменной процентной ставкой, надеется защитить себя от риска экспоненциального роста ставок.

Тем временем компания, предлагающая ссуду с фиксированной процентной ставкой, делает ставку на то, что ее фиксированная ставка принесет ей прибыль и покроет любое повышение ставок, связанное с ссудой с переменной процентной ставкой. Если ставки снизятся по сравнению с текущими показателями, тем лучше.

Свопы сопряжены с высоким контрагентским риском и, как правило, доступны внебиржево только финансовым учреждениям и компаниям, а не отдельным инвесторам.

Как используются производные?

Поскольку они связаны со значительной сложностью, деривативы обычно не используются в качестве простых инвестиций по принципу «купи дешевле, продай дороже» или «купи и держи». Вместо этого стороны, участвующие в сделке с производными инструментами, могут использовать производные инструменты для:

• Хеджирование финансового положения. Если инвестор обеспокоен тем, куда пойдет стоимость конкретного актива, он может использовать производный инструмент, чтобы защитить себя от потенциальных потерь.
• Спекулируйте на цене актива. Если инвестор считает, что стоимость актива существенно изменится, он может использовать производный инструмент, чтобы делать ставки на его потенциальную прибыль или убытки.
• Более эффективно используйте средства. Большинство деривативов основаны на марже, а это означает, что вы можете войти в них, вложив относительно немного собственных денег. Это полезно, когда вы пытаетесь распределить деньги по многим инвестициям, чтобы оптимизировать прибыль, не привязывая много в каком-то одном месте, и это также может привести к гораздо большей прибыли, чем вы могли бы получить только своими деньгами. Но это также означает, что вы можете понести огромные убытки, если сделаете неправильную ставку с деривативным контрактом.

Риски деривативов

Производные инструменты могут быть невероятно рискованными для инвесторов. Потенциальные риски включают:

• Риск контрагента. Вероятность того, что другая сторона в соглашении не выполнит свои обязательства, может быть высокой при использовании деривативов, особенно когда они торгуются на внебиржевом рынке. Поскольку деривативы не имеют ценности сами по себе, они в конечном счете заслуживают доверия только людей или компаний, которые соглашаются на них.
• Изменение условий. Производные инструменты, которые по контракту обязывают вас к определенным ценам, могут привести к богатству или к краху. Если вы согласитесь на фьючерсы, форварды или свопы, вы можете быть вынуждены покрыть значительные убытки, убытки, которые могут быть увеличены за счет маржи, которую вы взяли на себя. Тем не менее, даже необязательные варианты не лишены риска, поскольку вы должны вложить немного денег для заключения контрактов, которые вы, возможно, не захотите выполнять.
• Сложность. Для большинства инвесторов деривативы, особенно те, которые основаны на типах инвестиций, с которыми они не знакомы, могут быстро усложниться. Они также требуют уровня отраслевых знаний и активного управления, что может не понравиться инвесторам, привыкшим к традиционным стратегиям «невмешательства» и «купи-и-держи».

Как инвестировать в деривативы

Инвестирование в деривативы невероятно рискованно и не является хорошим выбором для начинающих или даже средних инвесторов. Прежде чем углубляться в более спекулятивные инвестиции, такие как деривативы, убедитесь, что у вас есть свои финансовые основы, такие как чрезвычайный фонд и пенсионные взносы. И даже в этом случае вы не захотите выделять значительную часть своих сбережений на деривативы.

Тем не менее, если вы хотите начать работу с деривативами, вы можете легко сделать это, купив производные продукты на основе фонда, используя обычный инвестиционный счет.

Вы можете рассмотреть, например, взаимный фонд с кредитным плечом или биржевой фонд (ETF), который может использовать опционы или фьючерсные контракты для увеличения доходности, или обратный фонд, который использует деривативы, чтобы делать деньги инвесторов, когда базовый рынок или индекс снижается.

Производные продукты на основе фондов, подобные этим, помогают снизить некоторые риски деривативов, например риск контрагента. Но они также, как правило, не предназначены для долгосрочного инвестирования по принципу «купи и держи» и все же могут увеличить убытки.

Если вы хотите получить более прямой доступ к деривативам, вы можете размещать сделки с опционами и фьючерсами в качестве индивидуального инвестора. Однако не все брокерские компании допускают это, поэтому убедитесь, что выбранная вами платформа оборудована для торговли деривативами.

Была ли эта статья полезной?

Оцените эту статью

★ ★ ★ ★ ★

Пожалуйста, оцените статью

Пожалуйста, введите действительный адрес электронной почты

Комментарии

Мы будем рады услышать от вас, пожалуйста, оставьте свой комментарий.

Неверный адрес электронной почты

Спасибо за отзыв!

Что-то пошло не так. Пожалуйста, повторите попытку позже.

Еще от

Информация, представленная на Forbes Advisor, предназначена только для образовательных целей. Ваше финансовое положение уникально, и продукты и услуги, которые мы рассматриваем, могут не подходить для ваших обстоятельств. Мы не предлагаем финансовые советы, консультационные или брокерские услуги, а также не рекомендуем и не советуем отдельным лицам покупать или продавать определенные акции или ценные бумаги. Информация о производительности могла измениться с момента публикации. Прошлые показатели не свидетельствуют о будущих результатах.

Forbes Advisor придерживается строгих стандартов редакционной честности. Насколько нам известно, весь контент является точным на дату публикации, хотя содержащиеся здесь предложения могут быть недоступны. Высказанные мнения принадлежат только автору и не были предоставлены, одобрены или иным образом одобрены нашими партнерами.

Эмили Гай Биркен — бывший педагог, пожизненный финансовый ботаник и писатель-фрилансер, лауреат премии Plutus Award, специализирующийся на научных исследованиях, лежащих в основе иррационального поведения денег. Ее образование позволяет ей делать сложные финансовые темы понятными и понятными для неспециалистов. Она является автором четырех книг, в том числе «Покончим с финансовым стрессом сейчас» и «Пять лет до выхода на пенсию».

Джон Шмидт — помощник редактора по вопросам инвестирования и выхода на пенсию. До прихода в Forbes Advisor Джон был старшим писателем в Acorns и редактором группы маркетинговых исследований Corporate Insight. Его работы публиковались в журналах CNBC + Acorns’ Grow, MarketWatch и The Financial Diet.

Редакция Forbes Advisor независима и объективна. Чтобы поддержать нашу отчетную работу и продолжать предоставлять этот контент бесплатно нашим читателям, мы получаем компенсацию от компаний, размещающих рекламу на сайте Forbes Advisor. Эта компенсация происходит из двух основных источников. Сначала мы предоставляем рекламодателям платные места для представления своих предложений. Компенсация, которую мы получаем за эти места размещения, влияет на то, как и где предложения рекламодателей появляются на сайте. Этот сайт не включает все компании или продукты, доступные на рынке. Second, мы также размещаем ссылки на предложения рекламодателей в некоторых наших статьях; эти «партнерские ссылки» могут приносить доход нашему сайту, когда вы нажимаете на них. Вознаграждение, которое мы получаем от рекламодателей, не влияет на рекомендации или советы, которые наша редакционная команда дает в наших статьях, или иным образом влияет на какой-либо редакционный контент в Forbes Advisor. Несмотря на то, что мы прилагаем все усилия, чтобы предоставить точную и актуальную информацию, которая, по нашему мнению, будет для вас актуальной, Forbes Advisor не гарантирует и не может гарантировать, что любая предоставленная информация является полной, и не делает никаких заявлений или гарантий в связи с ней, а также ее точностью или применимостью.