Комплексные числа равные числа: Понятие комплексного числа, основные определения

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексные числа

Комплексные числа. Комплексным числом z называется выражение вида z=х+iу, где х и у — действительные числа, a i — так называемая мнимая единица, i2=-1. Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто мнимым; если у=0, то число х+i0=х отождествляется с действительным числом х. Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается х=Re z, а у — мнимой частью z, у = Im z. Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=х2+iy2 называются равными (z1=z2) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: х1=х2, y1=у2. В частности, комплексное число z=х+iy равно нулю тогда и только тогда, когда х=у=0. Два комплексных числа z=х+iy и z=х-iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Их изображение на комплексной плоскости. Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М(х;у) плоскости ОXY такой, что х=Rez, у=Imz. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=х+iy

Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное число z=х+iy можно задавать с помощью радиус-вектора r=ОМ=(х;у). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r.

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argz или φ.

Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент комплексного числа z≠0 — величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk

Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы записи комплексного числа. в виде z=х+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

запись комплексного числа называется тригонометрической формой.z=rcosφ+irsinφ или z=r(cosφ+isinφ)___( при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа z, т. е. считать φ=argz.)

комплексное число z=r(cosφ+isiπφ) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z=rеiφ, где r=|z| — модуль комплексного числа, а угол φ=Argz=argz+2kp

Операции над комплексными числами. Суммой двух комплексных чисел z1=х1+iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2). Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

z1+z2=z2+z1

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число zl т. е. z=z1-z2, если z+z2=z1.

Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z:

z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2).

модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости

Произведением к омплексных чисел z1 =х1 +iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством

z=z1 z2 =(x1 x2- у1 у2)+i(x1 y2+y1x 2 )

z1=r1(cosφ1+isinφ1) и z2=r2(cosφ2+isinφ2)= z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)).

Деление:

Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет вид

Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ωn=z, т. е., если ωn= z.

Решение уравнений с комплексными числами. Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение

Z² = a,

где а — заданное число,

z — неизвестное.

На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z = 0, если а = 0;

2) имеет два действительных корня z1,2 = , если а>0;

3) не имеет действительных корней, если а<0.

На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет кореньВОТ ТУТ НЕ УВЕРЕНА!!НУЖНО ДОПИСАТЬ!!!

Формула Муавра zⁿ=(r(cosφ+isinφ))ⁿ=rⁿ(cosnφ+isinnφ).

Вся элементарная математика — Средняя математическая интернет-школа

Комплексные числа

Мнимые и комплексные числа. Абсцисса и ордината

комплексного числа. Сопряжённые комплексные числа.

Операции с комплексными числами. Геометрическое

представление комплексных чисел. Комплексная плоскость.

форма комплексного числа. Операции с комплексными

числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики

и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i ² = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi

и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1.  Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0 i или a – 0 i . Например, записи  5 + 0 i и  5 – 0 i означают одно и то же число 5 .

2.  Комплексное число 0

+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и  0 + bi .

3.   Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.

Сложение. Суммой комплексных чисел

a + bi и c + di называется комплексное число ( a + c ) + ( b + d ) i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число (

a – c ) + ( b – d ) i .

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

1)  числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2)  число i обладает основным свойством: i ² = – 1.

П р и м е р .  ( a+ bi )( a – bi ) = a ² + b ² . Следовательно, произведение

двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) — значит найти третье число e + f i (частное), которое будучи умноженным на делитель c + di ,  даёт в результате делимое a + bi .

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р .  Найти  ( 8 + i ) : ( 2 – 3 i ) .

Р е ш е н и е . Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на  2 + 3 i

и выполнив все преобразования, получим:

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р  с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью .

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной ( комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается  | a + bi | или буквой r и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. __

Аргумент комплексного числа — это угол между осью OX и вектором OP , изображающим это комплексное число. Отсюда, tan = b / a .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент :

Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

Это знаменитая формула Муавра.

Здесь k — целое . Чтобы получить n различных значений корня n -ой степени из z необходимо задать n последовательных значений для k ( например, k = 0, 1, 2,…, n – 1 ) .

Назад

Равенство комплексных чисел — The Complex Hub

28 июля 2020 г. 11 мая 2021 г. Брендон

Во-первых, очень краткий обзор действительных и мнимых частей комплексных чисел. Комплексное число z можно записать в виде z = a + bi с действительной частью z , Re(z) = a и мнимой частью z, Im(z) = б .

Теперь предположим, что у нас есть два комплексных числа в стандартной форме:

z ₁ = a + bi и z ₂ = x + yi

Что может сделать эти два комплексных числа равными друг другу?

Два комплексных числа равны друг другу, если их действительные части равны и равны их мнимые части.

Z ₁ = Z ₂
IF
RE (Z ₁ ) = RE (Z ₂ ) (I.E. a = x) ) = re (z ₂ ) (I.E.0038
и
Im(z ₁ ) = Im(z ₂ ) (т. a + bi и x + yi равны тогда и только тогда, когда a = x и c = y, где a, b, x, y — действительные числа.

Из этого мы также можем выяснить, когда два комплексных числа не равны друг другу. Если или Действительные или Мнимые части двух комплексных чисел различаются, тогда числа не равны.

Обратите внимание, что для проверки на равенство комплексные числа должны быть записаны в стандартной форме a+bi . Это позволяет нам легко находить действительную и мнимую части каждого из чисел, чтобы мы могли проводить необходимые сравнения.

Хорошо, теперь у нас есть вся информация, необходимая для составления шагов, необходимых для проверки равенства двух комплексных чисел.

Как проверить, равны ли комплексные числа

1. Запишите каждое комплексное число в стандартной форме a+bi
2. Проверьте, равна ли действительная часть каждого комплексного числа , то комплексные числа не равны)
3. Проверить, равна ли мнимая часть каждого комплексного числа (если они не равны, то комплексные числа не равны)

Например, являются ли комплексные числа z ₁ = 5 – 2i + 7 и z ₂ = 1 + 4i + 11 – 6i равны друг другу?

Сначала напишите оба числа в стандартной форме. Нам нужно сложить действительные и мнимые члены вместе, чтобы получить числа в виде a+bi

z ₁ = 5 – 2i + 7 и z ₂ = 1 + 4i + 11 – 6i
z ₁ = 12 – 2i и z ₂ = 12 – 2i

Затем проверьте действительные части Z ₁ и Z ₂

RE (Z ₁ ) = 12
RE ( Z ₂ ) = 12

The Real Chart Проверьте воображаемые детали

IM (z ₁ ) = -2
IM ( Z ₂ ) = -2

. Воображаемые детали также одинаковы, и поэтому Z ₁ и z ₂ равны друг другу.

---

Равенство комплексных чисел -примеры

Пример 1 -если z ₁ = 8 + 2yi и z ₂ = -x + 6i равны, найдите значение из x и y

Решение:

Оба числа представлены в стандартной форме, поэтому мы можем сравнить действительную и мнимую части. А поскольку мы знаем, что два комплексных числа равны, мы знаем, что действительные и мнимые части чисел равны.

Re(z ₁ ) = Re( z ₂ )
8 = -x
x = 8

Im(z ₁ ) = Im( z ₂ )
2y = 6
Y = 3

---

Пример 2 — Найдите x и Y , если x + yi = 2y — (3x — 7) I .

Решение:

Числа приведены в стандартной форме и приравнены друг к другу. Если два комплексных числа равны, мы знаем, что действительные и мнимые части чисел равны.

Так как действительные части равны:

x = 2y … (1)

А так как мнимые части равны:

y = -(3x – 7) … 12)0090

Подключение (1) к (2):

y = -(3(2y) – 7)
y = -(6y – 7)
y = -6y + 7
7y = 7
y = 1

Теперь подставим y=1 обратно в (1):

x = 2(1)
х = 2

Комплексные числа

Нельзя сравнивать два комплексных числа

Мы должны быть осторожны с такого рода общими утверждениями. На самом деле можно определить отношения «<» между комплексными числами. Условимся, что

(a + ib) < (c + id), при условии, что либо a < c, либо a = c и b < d.

Это то, что называется лексикографическим порядком . Так расположены слова в словарях. Это отношение, точно так же, как и в случае целых или действительных чисел, обладает следующими свойствами:

Отсутствие рефлексивности Неверно, что x < x Отсутствие симметрии x < y не влечет y < x Транзитивность

Кроме того, поскольку действительное число x можно отождествить с комплексным числом x + i0, мы немедленно видим, что определенный таким образом порядок соответствует обычному порядку действительных чисел. Кроме того, для вещественных чисел соотношение «r < s и t < u, тогда (r + t) < (s + u), где r, s, t, u — действительные числа. То же самое верно и для комплексных чисел. Например, (2 + 3i) < (3 + 4i) и (-1 + i) < (2 - 6i) влекут (1 + 4i) < (5 - 2i), что, конечно, верно.

Тем не менее, это не очень полезно. Чтобы увидеть, в чем проблема, давайте обратимся к умножению. Для действительных чисел верно следующее:

(1)	Если a < b и 0 < c, то ac < bc

Обратите внимание, что i может быть записано как 0 + i1, тогда как 0 = 0 + i0. Следовательно, по определению 0 < i. Предположим, что (1) выполняется для комплексных чисел и лексикографического порядка. Очевидно, что -1 < 1. Умножая на i, получаем -i < i. Умножение на i еще раз дает -i ² < я ² . По определению это означает 1 < (-1), что абсурдно.

Вывод довольно формальный и не использует никаких особых свойств лексикографического порядка. Решающим было то, что я удовлетворял неравенству 0 < i. Если бы у нас было i < 0, мы получили бы противоречие точно таким же образом, применяя теперь 0 < (-i).

No related posts.