Как решать замечательные пределы: Первый замечательный предел

Содержание

Первый замечательный предел

Замечательных пределов существует несколько, но самыми известными являются первый и второй замечательные пределы. Замечательность этих пределов состоит в том, что они имеют широкое применение и с их помощью можно найти и другие пределы, встречающиеся в многочисленных задачах. Этим мы и будем заниматься в практической части данного урока. Для решения задач путём приведения к первому или второму замечательному пределу не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределённости, поскольку значения этих пределов уже давно вывели великие математики.

Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере:

Приведённое выше равенство основано на эквивалентности бесконечно малых . Следовательно, верно равенство и следующего отношения:

Это разновидность первого замечательного предела.

Переходим к решению задач на первый замечательный предел. Заметим: если под знаком предела находится тригонометрическая функция, это почти верный признак того, что это выражение можно привести к первому замечательнному пределу.

При решении не обойтись без преобразований выражений. Для этого обязательно потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 1. Найти предел .

Решение. Подстановка вместо x нуля приводит к неопределённости:

В знаменателе — синус, следовательно, выражение можно привести к первому замечательному пределу. Начинаем преобразования:

В знаменателе — синус трёх икс, а в числителе всего лишь один икс, значит, нужно получить три икс и в числителе. Для чего? Чтобы представить 3

x = a и получить выражение .

И приходим к разновидности первого замечательного предела:

потому что неважно, какая буква (переменная) в этой формуле стоит вместо икса.

Умножаем икс на три и тут же делим:

В соответствии с замеченным первым замечательным пределом производим замену дробного выражения:

Теперь можем окончательно решить данный предел:

А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 2. Найти предел .

Решение. Непосредственная подстановка вновь приводит к неопределённости «нуль делить на нуль»:

Чтобы получить первый замечательный предел, нужно, чтобы икс под знаком синуса в числителе и просто икс в знаменателе были с одним и тем же коэффициентом. Пусть этот коэффициент будет равен 2. Для этого представим нынешний коэффициент при иксе как и далее, производя действия с дробями, получаем:

Пример 3. Найти предел .

Решение. При подстановке вновь получаем неопределённость «нуль делить на нуль»:

Наверное, вам уже понятно, что из исходного выражения можно получить первый замечательный предел, умноженный на первый замечательный предел. Для этого раскладываем квадраты икса в числителе и синуса в знаменателе на одинаковые множители, а чтобы получить у иксов и у синуса одинаковые коэффициенты, иксы в числителе делим на 3 и тут же умножаем на 3. Получаем:

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Предел

Пример 4. Найти предел .

Решение. Вновь получаем неопределённость «нуль делить на нуль»:

Можем получить отношение двух первых замечательных пределов. Делим и числитель, и знаменатель на икс. Затем, чтобы коэффициенты при синусах и при иксах совпадали, верхний икс умножаем на 2 и тут же делим на 2, а нижний икс умножаем на 3 и тут же делим на 3. Получаем:

Пример 5. Найти предел .

Решение. И вновь неопределённость «нуль делить на нуль»:

Помним из тригонометрии, что тангенс — это отношение синуса к косинусу, а косинус нуля равен единице. Производим преобразования и получаем:

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 6. Найти предел .

Решение. Тригонометрическая функция под знаком предела вновь наталкивает на мысль о применении первого замечательного предела. Представляем его как отношение синуса к косинусу.

Так как , то и

Пример 7. Найти предел .

Решение. И вновь неопределённость «ноль делить на ноль» и синус под знаком предела. Значит надо приводить к первому замечательному пределу. Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряжённое числителю и получим

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 8. Найти предел .

Решение. Бороться с неопределённостью «ноль делить на ноль» будем приведением к первому замечательному пределу. Вспоминаем формулу тригонометрической единицы и подставляем её. Потом вспоминаем, что косинус в квадрате нуля и просто косинус нуля равны единице, а они у нас с противоположными знаками, значит взаимно уничтожаются. Затем умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю. И дальнейшие преобразования. Всё вышеописанное выглядит так:

Назад

Листать

Вперёд>>>

Начало темы «Предел»

Что такое предел функции и как его найти

Продолжение темы «Предел»

Второй замечательный предел

Бесконечно малые

Первый и второй замечательный предел

Найти замечательные пределы трудно не только многим студентам первого, второго курса обучения которые изучают теорию пределов, но и некоторым преподавателям.

Формула первого замечательного предела

Следствия первого замечательного предела запишем формулами
1. 2. 3. 4. Но сами по себе общие формулы замечательных пределов никому на экзамене или тесте не помогают. Суть в том что реальные задания построены так что к записанным выше формулам нужно еще прийти. И большинство студентов, которые пропускают пары, заочно изучают этот курс или имеют преподавателей, которые сами не всегда понимают о чем объясняют, не могут вычислить самых элементарных примеров на замечательные пределы. Из формул первого замечательного предела видим, что с их помощью можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль для выражений с тригонометрическими функциями. Рассмотрим сначала ряд примеров на первый замечательный пределу, а потом изучим второй замечательный предел.

Пример 1. Найти предел функции sin(7*x)/(5*x)
Решение: Как видите функция под пределом близка к первому замечательному пределу, но сам предел функции точно не равен единице. В такого рода заданиях на пределы следует в знаменателе выделить переменную с таким же коэффициентом, который содержится при переменной под синусом. В данном случае следует разделить и умножить на 7

Некоторым такая детализация покажется лишней, но большинству студентов которым трудно даются пределы поможет лучше понять правила и усвоить теоретический материал. 2
Решение: При проверке подстановкой получим неопределенность 0/0. Многим неизвестно, как свести такой пример до 1 замечательного предела. Здесь следует использовать тригонометрическую формулу

При этом предел преобразится к понятному виду

Нам удалось свести функцию к квадрату замечательного предела.

Пример 4. Найти предел
Решение: При подстановке получим знакомую особенность 0/0. Однако переменная стремится к Pi, а не к нулю. Поэтому для применения первого замечательного предела выполним такую замену переменной х, чтобы новая переменная направлялась к нулю. Для этого знаменатель обозначим за новую переменную Pi-x=y

Таким образом использовав тригонометрическую формулу, которая приведена в предыдущем задании, пример сведен к 1 замечательному пределу.

Пример 5. Вычислить предел
Решение: Сначала неясно как упростить пределы. Но раз есть пример, значит должен быть и ответ. То что переменная направляется к единице дает при подстановке особенность вида ноль умножить на бесконечность, поэтому тангенс нужно заменить по формуле

После этого получим нужную неопределенность 0/0. Далее выполняем замену переменных в пределе, и используем периодичность котангенса

Последние замены позволяют использовать следствие 1 замечательного предела.

Второй замечательный предел равен экспоненте

Это классика к которой в реальных задачах на пределы не всегда легко прийти.
В вычислениях Вам понадобятся пределы — следствия второго замечательного предела:
1. 2. 3. 4.
Благодаря второму замечательному пределу и его последствиям можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль, единица в степени бесконечность, и бесконечность разделить на бесконечность, да еще и в таком же степени

Начнем для ознакомления с простых примеров.

Пример 6. Найти предел функции
Решение: Напрямую применить 2 замечательный пределу не получится. Сначала следует превратить показатель, чтобы он имел вид обратный к слагаемому в скобках

Это и есть техника сведения к 2 замечательному пределу и по сути — вывода 2 формулы следствия предела. (x-2)
Решение: Имеем особенность типа 1 в степени бесконечность. Если не верите, можете везде вместо «икс» подставить бесконечность и убедиться в этом. Для возведения под правило поделим в скобках числитель на знаменатель, для этого предварительно выполним манипуляции

Подставим выражение в предел и превратим к 2 замечательному пределу

Предел равен экспоненте в 10 степени. Константы, которые являются слагаемыми при переменной как в скобках так и степени никакой «погоды» не вносят — об этом следует помнить. А если Вас спросят преподаватели — «Почему не превращаете показатель?» (Для этого примера в x-3), то скажите что «Когда переменная стремится к бесконечности то к ней хоть добавляй 100 хоть отнимай 1000, а предел останется такой как и был!».
Есть и второй способ вычислять пределы такого типа. О нем расскажем в следующем задании.

Пример 9. Найти предел
Решение: Теперь вынесем переменную в числителе и знаменателе и превратим оду особенность на другую. Для получения конечного значения используем формулу следствия 2 замечательного предела

Пример 10. Найти предел функции
Решение: Заданный предел найти под силу не каждому. Для возведения под 2 предел представим, что sin (3x) это переменная, а нужно превратить показатель

Далее показатель запишем как степень в степени

В скобках описаны промежуточные рассуждения. В результате использования первого и второго замечательного предела получили экспоненту в кубе.

Пример 11. Вычислить предел функции sin(2*x)/ln(3*x+1)
Решение: Имеем неопределенность вида 0/0. Кроме этого видим, что функцию следует превращать к использованию обеих замечательных пределов. Выполним предыдущие математические преобразования

Далее без труда предел примет значение

Вот так свободно Вы будете чувствовать себя на контрольных работах, тестах, модулях если научитесь быстро расписывать функции и сводить под первый или второй замечательный предел. Если заучить приведенные методики нахождения пределов Вам трудно, то всегда можете заказать контрольную работу на пределы у нас.
Для этого заполните форму, укажите данные и вложите файл с примерами. Мы помогли многим студентам — сможем помочь и Вам!

свойства 1 и 2, определение, как решать, примеры с доказательством

Первый замечательный предел

Понятие «замечательные пределы» используется в математике для объяснения известных тождеств со взятием предела.

Лемма

Предел отношения синуса к его аргументу равняется единице в случае стремления аргумента к 0.

Данная лемма служит основой для вычисления производных тригонометрических функций, которые содержат синус, арксинус, тангенс и арктангенс.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В записи тождество математического анализа имеет следующий вид:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}x=1$

Доказательство

Предположим, что A и B принадлежат окружности с центром в точке С и радиусом, равным R. 2}<\left|AB\right|<\left|\overset\frown{ADB}\right|\)

$\left|AH\right|<\left|\overset\frown{ADB}\right|$

Подставим:

$\left|AH\right|=R\sin\left(\alpha\right),\;\left|\overset\frown{ADB}\right|=R\alpha$

$R\sin\left(\alpha\right)<R\alpha$

Разделим на число с положительным значением Rα:

$(a)\;\frac{\sin\left(\alpha\right)}\alpha<1$

Для дальнейшего доказательства необходима лемма.

Лемма

Верхняя грань множества длин всех ломанных, вписанных в дугу окружности, называется длиной этой дуги.

$\left|\overset\frown{AB}\right|=\underset{A_i\in\overset\frown{AB}}{sup}\;l_{AA_1A_2…A_nB}$

Согласно этому утверждению:

$\left|\overset\frown{ADB}\right|<\left|EB\right|$

Подставим в это неравенство:

$\left|\overset\frown{ADB}\right|=R\alpha$

$\left|EB\right|<R\;\tan\left(\alpha\right):$

$R\alpha<R\;\tan\left(\alpha\right)=R\frac{\sin\left(\alpha\right)}{\cos\left(\alpha\right)}$

Выполним умножение на положительное число:

$\frac{\cos\left(\alpha\right)}{R\alpha}:$

$(б)\;\cos\left(\alpha\right)\;<\frac{\sin\left(\alpha\right)}\alpha$

Из (а) и (б) следует, что при 0<α<π/2:

$(в)\;\cos\left(\alpha\right)\;<\frac{\sin\left(\alpha\right)}\alpha<1$

Доказательство при отрицательных значениях: −π/2<α<0

В этом случае β=−α, β>0. Подставим в двойное неравенство (в) и воспользуемся четностью косинуса и нечетностью синуса:

$\cos\left(\beta\right)\;<\frac{\sin\left(\beta\right)}\beta<1$

$\cos\left(-\alpha\right)\;<\frac{\sin\left(-\alpha\right)}{-\alpha}<1$

$\cos\left(\alpha\right)\;<\frac{-\sin\left(\alpha\right)}{-\alpha}<1$

$\cos\left(\alpha\right)\;<\frac{\sin\left(\alpha\right)}\alpha<1$

Отсюда следует, что двойное неравенство (в) выполняется для положительных и отрицательных значений 0<|α|<π/2:

$(г)\;\cos\left(\alpha\right)\;<\frac{\sin\left(\alpha\right)}\alpha<1$

при 0<|α|<π/2.

Из-за непрерывности функции косинус:

$\lim_{\alpha\rightarrow0}\cos\left(\alpha\right)=\cos\left(0\right)=1$

Перейдем в неравенстве (г) к пределу α→0. Используем теорему о промежуточной функции и получим:

$\lim_{\alpha\rightarrow0}\frac{\sin\left(\alpha\right)}\alpha=1$

Теперь обозначим α буквой x и получим:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}x=1$

Первый замечательный предел доказан.

Примеры решений

Задача 1

Найти предел:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan\left(x\right)}{2x}$

Решение

В исходное выражение подставим вместо переменной x значение, равное нулю. Выполнив это, получим:

$\left[\frac00\right]$

Далее выполним преобразования, чтобы применить первый замечательный предел. Для этого тангенс представим в виде отношения синуса к косинусу:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan\left(x\right)}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\times\frac1{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\times\frac1{\cos\left(x\right)}$

Свойства пределов позволяют вынести константу за знак предела, а также произвести замену предела произведения произведением пределов (при существовании последних):

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan\left(x\right)}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\times\frac1{\cos\left(x\right)}=\frac12\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}x\times\lim_{x\rightarrow0}\frac1{\cos\left(x\right)}$

Первый предел последнего выражения является первым замечательным пределом, который равен:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}x=1$

Подставим во второй предел x=0:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan\left(x\right)}{2x}=\frac12\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}x\times\lim_{x\rightarrow0}\frac1{\cos\left(x\right)}=\frac12\times1\times\frac1{\cos\left(0\right)}=\frac12\times1\times\frac11=\frac12$

Ответ: $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan\left(x\right)}{2x}=\frac12. 0}2=1$

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{th(x)}x=\lim_{x\rightarrow0}\frac{sh(x)}{x\;ch(x)}=\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac1{ch(x)}\times\frac{sh(x)}1\right)=1\times1=1$

Докажем следующее:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{arsh(x)}x=1$

Заменим переменную t=arsh x. Тогда при х и t, стремящихся к нулю и не равных ему: x=sh arsh x=sh t.

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{arsh(x)}x=\lim_{t\rightarrow0}\frac t{sh(t)}=\lim_{t\rightarrow0}\frac1{\frac{sh(t)}t}=\frac11=1$

Докажем, что верно равенство:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{arth(x)}x=1$

Заменим переменную t=arth x. Тогда при x и t, стремящихся к нулю и не равных ему, а также при |x|<1, x=th arth x=th t:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{arth(x)}x=\lim_{t\rightarrow0}\frac t{th(t)}=\lim_{t\rightarrow0}\frac1{\frac{th(t)}t}=\frac11=1$

Следствие 4 доказано.

Техника вычисления пределов. | Методическая разработка по алгебре (10 класс):

Теория пределов. Основные понятия и формулы.

Определение: Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что для всех x, удовлетворяющих условиюδ , выполняется неравенство ε .
Предел функции в точке а обозначается .

Основные теоремы о пределах:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.

Примечание: Все правила имеют смысл, если пределы функций f(x) и g(x) существуют.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Следствия из первого замечательного предела

Пример1.

Найти предел

Разложим tgx на sinx и cosx и воспользуемся свойствами пределов.

= ====

===

Ответ: =

Второй замечательный предел

Следствия из второго замечательного предела

Пример2.

Найти предел

Подставим , получим неопределённость и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.

Ответ:.

Техника вычисления пределов

а) Чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной.
б) Чтобы раскрыть неопределенность типа , где под знаком предела стоит рациональная дробь, достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности.
в) Чтобы раскрыть неопределенность типа, если под знаком предела стоит иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженный множитель и сократить множитель, приводящий к неопределенности.
г) Необходимо помнить, что

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как

, , и т.д.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример3.

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида .

Для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на x в старшей степени.

==(*)

Разделим числитель и знаменатель на x

(*)====

Ответ:

Пример 4.

Найти предел
В числителе и знаменателе находим x в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае 4
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .

Полное оформление задания может выглядеть так:

==(*)

Разделим числитель и знаменатель на

=====0

Ответ: 0

Пример 5.

Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (x можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

==(*)

Разделим числитель и знаменатель на

(*)====

Ответ:

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число (.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Пример 6.

Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь: =
В данном случае получена так называемая неопределенность

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.

==(*)

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

(*)===

Ответ:

Пример 7.

Вычислить предел

Сначала «чистовой» вариант решения

(*)

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:

(*)22

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела.

встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).

, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Пример 8.

Найти предел

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

(*)

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

(*)

Ответ:

Пример 9.

Найти предел

Окончательное решение примера может выглядеть так:

=(*)

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

(*)=

Ответ:

Правило (теорема) Лопиталя.

Пусть функция и удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;

2) и в этой окрестности;

4) существует, конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем

Таким образом, вычисление предела отношения двух функций может быть заменено, при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций.

Замечание: Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности типа при

Применение правила Лопиталя на практике.

Пример 10.

Найти предел

Получаем неопределенность:

(*)

Воспользуемся правилом Лопиталя:

(*)

Ответ: 0

Замечание:

Правило Лопиталя распространяется и на случай . Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.

Замечание: Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.

Замечание: Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями и, неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.

Пример 11.

Найти предел

Получаем неопределенность не подходящую под правило Лопиталя

(*)

Приведем ее к нужному виду

(*) (*)

и для решения воспользуемся правилом Лопиталя

(*)

Ответ:

определение, формулы и примеры решения

Содержание:

Раскрытие неопределенностей
Основные пределы
Основные виды неопределенностей: $\left\lceil\frac{0}{0}\right\rceil$ , $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ , $[0 \cdot \infty]$ , $[\infty-\infty]$ , $\left[1^{\infty}\right]$ , $\left[0^{0}\right]$ , $\left[\infty^{0}\right]$

Определение

При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. {0}\right]$

Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.

Раскрытие неопределенностей

Для раскрытия неопределенностей используют следующее:

упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
замечательные пределы — первый замечательный предел и второй замечательный предел;
правило Лопиталя;
эквивалентные бесконечно малые функции.

Основные пределы

1. Первый замечательный предел: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$

Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\arcsin 7 x}$

Решение. Получим неопределенность, сделаем замену. При $x \rightarrow 0$: $\sin x \sim x$, $\arcsin x \sim x$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\arcsin 7 x}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{7 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3}{7}=\frac{3}{7}$

Ответ. {2}-5 x+6}=-4$

Читать дальше: понятие непрерывности функции в точке.

Как найти предел последовательности?

А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:

В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремитьсятолько к «плюс бесконечности» – в сторону увеличения натуральных номеров .
В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.
Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.

По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.

Начнём с прогрессий:

Пример 1

Найти предел последовательности

Решение: нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов:

Так как , то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле .

Оформляем решение:

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: . В данном случае: – первый член, – знаменатель прогрессии.
Главное, совладать с четырёхэтажностью дроби:

Есть.

Пример 2

Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел

Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости в числителе потребуется применить формулу суммы первых членов арифметической прогрессии:
, где – первый, а – энный член прогрессии.

Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость – одна из самых популярных.
И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций!

Как вычислить эти пределы? Смотрите Примеры №№1-3 урока Пределы. Примеры решений.

А может быть что-нибудь посложнее наподобие ? Ознакомьтесь с Примером №3 статьи Методы решения пределов.

С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн».
Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.

Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость . Как решать пределы вроде можно узнать из Примеров №11-13 той же статьи.

Чтобы разобраться с пределом , обратитесь к Примеру №7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.

Следующие четыре примера (№№3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:

Пример 3

Найти предел последовательности

Решение: сначала полное решение, потом пошаговые комментарии:

(1) В числителе дважды используем формулу .

(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.

(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на («эн» в старшей степени).

Как видите, ничего сложного.

Пример 4

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.

В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:

Пример 5

Найти предел последовательности

Решение оформим по той же схеме:

(1) Используя свойства степеней, вынесем из показателей всё лишнее, оставив там только «эн».

(2) Смотрим, какие показательные последовательности есть в пределе: и выбираем последовательность с наибольшим основанием: . В целях устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на .

(3) В числителе и знаменателе проводим почленное деление. Поскольку является бесконечно убывающей геометрической прогрессией , то она стремится к нулю. И тем более к нулю стремится константа, делённая на растущую прогрессию: . Делаем соответствующие пометки и записываем ответ.

Пример 6

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения.

Как-то незаслуженно остался в забвении стильный почерк, присущий только пределу последовательности. Пора исправить ситуацию:

Пример 7

Найти предел последовательности

Решение: чтобы избавиться от «вечного соперника» нужно расписать факториалы в виде произведений. Но прежде, чем приступить к математическому граффити, рассмотрим конкретный пример, например: .

Последним множителем в произведении идёт шестёрка. Что нужно сделать, чтобы получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: 6 – 1 = 5. Чтобы получить множитель, который располагается ещё дальше, нужно из пятёрки ещё раз вычесть единичку: 5 – 1 = 4. И так далее.

Не беспокойтесь, это не урок в первом классе коррекционной школы, на самом деле мы знакомимся с важным и универсальным алгоритмом под названием «как разложить любой факториал». Давайте разделаемся с самым злостным флудером нашего чата:

Очевидно, что последним множителем в произведении будет .

Как получить предыдущий множитель? Вычесть единицу:

Как достать прадедушку? Ещё раз вычесть единицу: .

Ну и ещё на один шаг продвинемся вглубь:

Таким образом, наше чудовище распишется следующим образом:

С факториалами числителя всё проще, так, мелкие хулиганы.

Оформляем решение:

(1) Расписываем факториалы

(2) В числителе ДВА слагаемых. Выносим за скобки всё, что можно вынести, в данном случае это произведение . Квадратные скобки, как я где-то пару раз говорил, отличаются от круглых скобок только своей квадратностью.

(3) Сокращаем числитель и знаменатель на …. …хммм, флуда тут и впрямь много.

(4) Упрощаем числитель

(5) Сокращаем числитель и знаменатель на . Тут в известной степени повезло. В общем случае вверху и внизу получаются заурядные многочлены, после чего приходится выполнять стандартное действие – делить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени.

Более подготовленные студенты, которые легко раскладывают факториалы в уме, могут решить пример значительно быстрее. На первом шаге делим почленно числитель на знаменатель и мысленно выполняем сокращения:

Но способ с разложением всё-таки более основателен и надёжен.

Пример 8

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения.

Желающие набить руку на рассмотренных типах пределов могут обратиться к сборнику Кузнецова. Около 150 прорешанных примеров можно найти здесь >>> (задачи №№2-6).

Как и в любом обществе, среди числовых последовательностей попадаются экстравагантные личности.

Теорема: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность – есть бесконечно малая последовательность.

Если вам не очень понятен термин «ограниченность», пожалуйста, изучите статью об элементарных функциях и графиках.

Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.

Пример 9

Найти предел последовательности

Решение: последовательность – ограничена: , а последовательность – бесконечно малА, значит, по соответствующей теореме:

Просто и со вкусом. Да-да, так и оформляем.

А почему бы и нет?

Пример 10

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения.

Ещё две распространённые ограниченные функции – арктангенс и арккотангенс:

Аргументы перечисленных тригонометрических функций могут быть заполнены знатной абракадаброй, но это не должно приводить в панику – существенно то, что последовательности ограничены!

Иногда в ходе вычисления пределов последовательностей приходится использовать довольно неожиданные приёмы:

Пример 11

Найти предел последовательности

Решение: неопределённость можно раскрутить двумя способами. Первый путь – через первый замечательный предел, который справедлив, как ни странно, и для последовательностей:

(1) Используем формулу .

(2) Избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице.

(3) Неопределённость не устранена, но теперь вместо тангенса у нас синус, и появляется возможность организовать 1-й замечательный предел. Проводим стандартный искусственный приём: делим всё выражение на и, чтобы ничего не изменилось, домножаем на .

(4) Используем первый замечательный предел , при этом, в качестве бесконечно малой величины выступает , которая, понятно, стремится к нулю при .

Дальнейшее просто.

Прокатывает и 2-й метод решения – через замечательные эквивалентности:

Заменим бесконечно малую последовательность эквивалентной:
при .
В данном случае

Готово.

Пример 12

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения. Здесь аргумент арктангенса также бесконечно мал, поскольку его знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель. Решать, разумеется, значительно выгоднее через замечательную эквивалентность.

Оба рассмотренных примера справедливы и для функций, похожие пределы также разобраны в Примерах 12-13 урока о бесконечно малых величинах.

В заключение урока рассмотрим ещё один важный вопрос:

Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 134; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
2.3: Законы о лимитах и методы расчета лимитов
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
17415
OpenStax
OpenStax
В предыдущем разделе мы оценивали пределы, просматривая графики или создавая таблицу значений. В этом разделе мы устанавливаем законы для расчета лимитов и узнаем, как применять эти законы. В студенческом проекте в конце этого раздела у вас есть возможность применить эти предельные законы, чтобы вывести формулу площади круга, адаптировав метод, разработанный греческим математиком Архимедом. Начнем с переформулировки двух полезных предельных результатов из предыдущего раздела. Эти два результата вместе с предельными законами служат основой для вычисления многих пределов.
Первые два предельных закона были сформулированы ранее, и мы повторяем их здесь. Эти основные результаты вместе с другими предельными законами позволяют нам вычислять пределы многих алгебраических функций.
Основные предельные результаты
Для любого действительного числа $a$ и любой константы $c$,
$\displaystyle \lim_{x→a}x=a$
$\displaystyle \lim_{x→a}c=c$
Пример $\PageIndex{1}$: оценка базового предела
Оцените каждый из следующих пределов, используя примечание.
$\displaystyle \lim_{x→2}x$
$\displaystyle \lim_{x→2}5$
Решение:
Предел x при приближении x к a равен a: $\displaystyle \lim_{x→2}x=2$.
Пределом константы является такая константа: $\displaystyle \lim_{x→2}5=5$.
Теперь мы рассмотрим предельные законы , индивидуальные свойства пределов. Доказательства справедливости этих законов здесь опущены.
Предельные законы
Пусть $f(x)$ и $g(x)$ определены для всех $x≠a$ на некотором открытом интервале, содержащем $a$. Предположим, что $L$ и $M$ — действительные числа такие, что $\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=L$ и $\displaystyle \lim_{x→a}g (х)=М$. Пусть $с$ — константа. Тогда выполняется каждое из следующих утверждений:
Закон сумм для пределов :
\[\displaystyle \lim_{x→a}(f(x)+g(x))=\lim_{x→a}f(x)+\lim_{x→a}g(x)=L +M\]
Разностный закон для пределов :
\[\displaystyle \lim_{x→a}(f(x)−g(x))=\lim_{x→a}f(x)−\lim_{x→a}g(x)=L −M\]
Постоянный кратный закон для пределов :
\[\displaystyle \lim_{x→a}cf(x)=c⋅\lim_{x→a}f(x)=cL\]
Закон произведения для пределов :
\[\displaystyle \lim_{x→a}(f(x)⋅g(x))=\lim_{x→a}f(x)⋅\lim_{x→a}g(x)=L ⋅M\]
Частное для пределов :
\[\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle \lim_{x→a}f(x)}{\displaystyle \lim_ {x→a}g(x)}=\frac{L}{M}\] 9n\]
для каждого положительного целого числа $n$.
Основной закон для пределов :
\[\displaystyle \lim_{x→a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x→a}f(x)}=\sqrt[n]{ L}\]
для всех $L$, если $n$ нечетно, и для $L≥0$, если $n$ четно.
Теперь мы практикуем применение этих предельных законов для оценки предела.
Пример $\PageIndex{2A}$: оценка предела с использованием предельных законов
Используйте предельные законы для вычисления \[\lim_{x→−3}(4x+2). \номер\]
Решение
Давайте применим законы пределов шаг за шагом, чтобы убедиться, что мы понимаем, как они работают. Мы должны иметь в виду требование, что при каждом применении предельного закона должны существовать новые пределы для применения предельного закона.
$\displaystyle \lim_{x→−3}(4x+2)$ = $\displaystyle \lim_{x→−3} 4x + \lim_{x→−3} 2$ Применить сумму закон.
=$\displaystyle 4⋅\lim_{x→−3} x + \lim_{x→−3} 2$ Применить постоянный кратный закон.
=$4⋅(−3)+2=−10.$ Примените базовые предельные результаты и упростите. 93+4}=\frac{1}{4}\). Примените основные предельные законы и упростите.
Обратите внимание, что это эквивалентно замене $2$ на $x$ в исходной функции. Просто нужно быть осторожным, чтобы предел существовал в этой точке.
Упражнение $\PageIndex{2}$
Используйте предельные законы для оценки $\displaystyle \lim_{x→6}(2x−1)\sqrt{x+4}$. На каждом шаге укажите применяемый предельный закон.
Подсказка
Начните с применения закона произведения.
Или просто замените $6$ на $x$ в исходной функции. Просто нужно быть осторожным, чтобы предел существовал в этой точке.
Ответить
$11\кв{10}$
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
ОпенСтакс
Лицензия
CC BY-NC-SA
Версия лицензии
4,0
Показать страницу TOC
нет
Включено
да
Теги
расчетный график:да
постоянный кратный закон для пределов
разностный закон для пределов
предельные законы
закон продукта для пределов
частное для пределов
основной закон для пределов
теорема сжатия
закон суммы для пределов
Нахождение пределов конкретных функций: Rational
Эта статья полна всеми любимыми вещами: примерами! Хотите пример нахождения предела алгебраически? Это здесь. Хотите пример нахождения предела рациональной функции? Это тоже здесь! Более того, есть примеры с экспоненциальной функцией и кусочно-определенными функциями.
Обзор предельных свойств см. в Законах о предельных значениях
Нахождение предела рациональных функций
Помните, что рациональные функции непрерывны в своих областях определения, поэтому в любой точке области определения рациональной функции найти предел так же просто, как найти значение функции в этой точке. Немного веселее становится в точках, не входящих в домен, или в поиске предела в бесконечности.
Найти
.
Ответ:
Идея состоит в том, чтобы применить правило частного для пределов, если это возможно. Поскольку и числитель, и знаменатель являются полиномами,
и
, что означает, что выполняются условия для применения частного правила для пределов. Теперь вы знаете, что
.
Теперь найдите
.
Ответ:
Хотя правило частного справедливо для пределов на бесконечности, оно требует, чтобы предел числителя и знаменателя были действительными числами, что в данном случае неверно. Это означает, что вы не можете применить правило частного для пределов на бесконечности. Вместо этого попробуйте факторинг, чтобы увидеть, поможет ли это. Если вы разложите знаменатель, вы увидите, что
.
Отменим некоторые множители! Это оставляет нам
Это гораздо более простой предел; для получения дополнительной информации о подобных лимитах см. Бесконечные лимиты. Там вы узнаете, как показать, что
.
Это означает
.
В следующем примере вы можете увидеть, что происходит, когда есть вертикальная асимптота, где вы пытаетесь взять предел.
Найти
.
Ответ:
В предыдущем примере вы смогли разложить знаменатель на множители, что позволило вам взглянуть на более простой предел:
.
В этом примере вам нужно будет посмотреть на предел слева и предел справа и посмотреть, совпадают ли они. На самом деле
,
, а
.
Итак, вы не можете найти предел, и вы сказали бы, что предела не существует.
Обзор пределов слева и справа см. в разделе Односторонние пределы. Одной из наиболее часто используемых является упрощающая дробь.
Найти
.
Ответ:
Обратите внимание, что в этой функции происходит что-то интересное, поскольку знаменатель здесь равен нулю. Это будет либо дыра в графике, либо вертикальная асимптота, либо какой-то другой разрыв. Это означает, что вы не можете применить правило частного для пределов, так как предел знаменателя не может быть равен нулю. Вместо этого давайте сначала займемся алгеброй:
Теперь вы можете использовать предельные законы, чтобы увидеть, что
означает, что
.
Если вокруг него плавают корни, может помочь умножение на конъюгат.
Найти
.
Ответ:
Опять же, вы не можете использовать правило частного для пределов, потому что предел знаменателя равен нулю, если вы подставите -2. Поэтому попробуйте умножить и числитель, и знаменатель на сопряженное числителю:
Теперь попробуйте оценить предел знаменателя, и вы увидите, что
.
Это означает, что вы можете применить правило частного для пределов, чтобы сказать, что
.
Теперь вы знаете, что
.
Нахождение предела кусочной функции
Дополнительные примеры нахождения пределов кусочно-функциональных функций см. в разделе Односторонние пределы.
С помощью функции
найти
, если он существует.
Ответ:
Если бы это был любой другой предел, вы могли бы подставить значения функции, чтобы найти предел, так как обе части функции являются многочленами. Но именно здесь меняется определение функции, поэтому вместо этого вам нужно смотреть на предел слева и предел справа. Для этой функции
,
и
.
Поскольку эти два числа не совпадают,
не существует.
Дополнительные примеры пределов кусочно-определенных функций см. в разделе Односторонние пределы
Поиск пределов экспоненциальных функций
Когда вы ищете пределы экспоненциальных функций, это зависит от того, является ли это стандартной экспоненциальной функцией, такой как
,
или составная экспоненциальная функция, например
.
Если вы ищете стандартные пределы экспоненциальной функции, см. Экспоненциальные функции для обсуждения поведения экспоненциальных функций.
Помните, что если у вас есть две функции и , и непрерывна в , то
.
Подробнее о композиции двух функций и пределов см. Теоремы непрерывности
Найти
.
Ответ:
Думайте об этом пределе как о композиции двух функций,
и .
Затем
.
Вы уже знаете, что экспоненциальная функция везде непрерывна и имеет предел в виде . Поэтому
Нахождение производной функции с помощью предельного процесса
Вы можете задаться вопросом, как найти производную функции с помощью предельных значений. Это более обширная тема, чем может поместиться в этой статье, поэтому для получения дополнительной информации см. Производные функции и производные как скорости изменения.
Определение пределов определенных функций — ключевые выводы
Всегда проверяйте, можете ли вы правильно применить закон пределов, прежде чем использовать его. Будьте особенно осторожны с правилом частного.
При поиске предела рациональной функции использование алгебры для перезаписи функции может быть очень полезным. Также рассмотрите умножение на сопряженные в случае корней в рациональной функции.
Если вы ищете предел кусочной функции, когда функция меняет определение, используйте односторонние пределы.
Для нахождения предела показательных функций или других составных функций помните, что если у вас есть две функции и , и непрерывна в , то.
Часто задаваемые вопросы о нахождении пределов определенных функций
Если вы берете предел f(g(x)) при приближении x к a, сначала возьмите предел g(x) при приближении x к a. Если он существует и имеет значение L, то возьмите предел f(x) при приближении x к L.
Если вам нравятся комплексные числа, вы можете записать тригонометрические функции как сумму и произведение экспоненциальных функций и комплексных чисел, тогда использовать правила экспоненциальной функции пределов.
Это включает в себя выполнение ряда алгебраических операций для упрощения функции, прежде чем применять такие вещи, как свойства пределов.
Посмотрите, к чему действительно приближаются значения функции, когда значение x приближается к тому месту, где вы берете предел. Число, к которому приближаются значения функции, является пределом.
Во многом это зависит от функции и от того, где вы берете лимит. Это хорошая идея, чтобы посмотреть на конкретные примеры, чтобы найти что-то похожее на ваш.
Викторина «Окончательное определение пределов определенных функций»
Вопрос
Всегда ли можно использовать правило частного, чтобы найти предел рациональной функции?
Показать ответ
Ответить
Нет, можно использовать только в том случае, когда предел знаменателя не равен нулю.
Показать вопрос
Вопрос
Что можно сделать, чтобы попытаться найти предел рациональной функции?
Показать ответ
Ответить
Вы можете попробовать разложить на множители и отменить, или заняться алгеброй, чтобы упростить задачу, или использовать свойства пределов.
Показать вопрос
Вопрос
Если вы пытаетесь найти предел функции, в которой есть корень, какой метод вы можете использовать?
Показать ответ
Ответить
Можно попробовать умножить и числитель, и знаменатель на сопряженную часть с корнем.
Показать вопрос
Вопрос
Если вы хотите найти предел кусочно определенной функции в точке изменения определения функции, что вам нужно сделать?
Показать ответ
Ответить
Найдите предел слева и предел справа и проверьте, совпадают ли они. Если они не совпадают, то предела не существует.
Показать вопрос
Вопрос
Как найти предел показательной функции?
Показать ответ
Ответ
Вы можете думать об этом как о композиции двух функций, а затем использовать тот факт, что экспоненциальная функция непрерывна, чтобы найти предел.
Показать вопрос
Репетитор по математике — Последовательности — Теория
Репетитор по математике — Последовательности — Теория — Пределы
Эта тема фактически заимствована из теории функций. Поэтому мы просто кратко переформулируйте теорему в форме, применимой к последовательностям:
Теорема (правило Лопиталя).
Пусть f и g — функции, определенные на некоторых ( К ,∞). Если оба f и g имеют предел на бесконечности, равный 0, или оба ф и g имеют бесконечный предел на бесконечности, тогда
при условии, что предел справа существует.
Как это помогает? Представьте, что у нас есть две последовательности, { a _n } и { b _n }, и мы исследуя предел их отношения. Одной из наиболее типичных проблем является что мы получаем неопределенное соотношение, т. тип или же . Если формула, определяющая последовательность { a _n } также определяет некоторую функцию f и формулу, определяющую последовательность { b _n } также определяет некоторую функцию g , мы можем попробуйте использовать приведенную выше теорему. Мы должны проверить, что функции f и g имеют те же пределы на бесконечности, что и данные последовательности (оба ноль или обе бесконечности). Если они это сделают, мы точно в положении выше Теорема. Поэтому мы можем перейти к исследованию функций вместо последовательностей, а затем использовать правило Лопиталя.
В любом из двух вышеприведенных случаев, если предел справа существует, то результат справедлив и для предела слева, следовательно, и для отношение двух последовательностей. С другой стороны, если процедура не удалась (для случае, если предел справа не существует), мы ничего не можем сказать о проблеме последовательности (см., например, этот пример в разделе «Решенные проблемы» — лимиты).
Обратите внимание, что обычно мы использовали бы более короткий способ указать применение правило Лопиталя, см. следующий пример.
Пример:
Поскольку в конце мы получили определенный ответ, «условное равенство» в шаг правила Лопиталя оправдан.
Предположения в теореме как существенные для ее справедливости. Если предел не указанного типа, формула Лопиталя в целом уже неверна. Рассмотрим следующий очень простой пример:
Пример:
Заметим, что эта предельная задача не относится к типу Лопиталя (ноль над нулем, бесконечность над бесконечностью, даже не нечто над бесконечностью) и поэтому Правило Лопиталя использовать нельзя. Что произойдет, если мы забудем проверить тип и соблазниться формой отношения этой задачи, чтобы применить l’Hospital правило? Получаем неверный ответ:
На самом деле теорему Лопиталя можно сформулировать в более общем виде. Версия, которую мы цитировали выше, используется в большинстве текстов по математическому анализу и курсы. Вот почему мы обычно (если возможно) притворяемся, решая проблемы в Репетитор по математике, что это единственная известная нам версия, так что вы не будете столкнуться с проблемами, привыкнув к чему-то, чего не охватил ваш профессор.
Какая более общая версия? Дело нельзя обобщать, т. теорема была лучшей из возможных. Однако для другого случая , мы на самом деле не нужно беспокоиться о числителе; правило Лопиталя применяется к типу «что-то за бесконечностью»!
Теорема (правило Лопиталя).
Пусть f и g — функции, определенные на некоторых ( К ,∞). Если г стремится к бесконечности, как x стремится к бесконечности, тогда
при условии, что предел справа существует.
Есть ли у этой более общей версии какое-либо преимущество? Рассмотрим соотношение а _н / б _н с б _н →∞. Что можешь случилось с числителем? Если он также стремится к бесконечности, то мы можем использовать первая, более популярная версия; таким образом, этот новый не является улучшением. Если a _n сходится к некоторому действительному числу A , то все отношение сходится к А /∞ = 0, так что мы знаем ответ без l’Hospital.
Вы можете видеть, что в большинстве случаев первая версия l’Hospital довольно достаточный. Есть ли тогда какие-то преимущества в новой версии? Определенно. Во-первых, вы можете столкнуться с проблемами, когда числитель стремится к бесконечности. но доказать это было бы так много работы, что вы были бы очень признательны знать что вы можете пропустить его и использовать более общее правило (вам все равно придется доказывать что знаменатель стремится к бесконечности, но это половина работы по сравнению с первая версия Госпиталя). Так что более общая версия определенно удобнее для задач с бесконечностью (не спасает от работы в «нулевой больше нуля» случаев).
Но это еще не все. Может случиться так, что числитель на самом деле не имеет любой лимит! В то время как первая версия не может быть использована для типа «DNE over бесконечность», тем более общее можно! Поэтому, хотя мы и обещали придерживаться к первой версии, когда это возможно, мы также будем использовать более общую версию иногда.
Практические советы по правилу Лопиталя см. во вставке. «неопределенное соотношение» в методах Опрос — Лимит.
В разделе «Решаемые задачи — пределы» правило Лопиталя используется в эта проблема (которая является типичной пример из учебника), он также является частью большинства других решений, особенно в Эта проблема, Эта проблема, эта проблема и Эта проблема. Хороший пример, когда правило Лопиталя может быть применено, но не приводит к вывод, проверить Эта проблема.
Интуитивная оценка
Назад к теории — пределы
▷Step by Step Приложения для TI-Nspire CX и CX CAS Скачать бесплатно. Пройдите курсы по математике, естественным наукам и бизнесу

Для подготовки к экзаменам по математике и естественным наукам, домашнее задание. Проверьте свою работу.

— Шаг за шагом к успеху. Приложения запускаются за считанные минуты. Сначала протестируйте наши бесплатные пробные версии.—
95% купили больше ПРИЛОЖЕНИЙ. 97% сообщили об улучшении результатов. Рейтинг: 4,89 из 5 звезд. Доступно 46 ПРИЛОЖЕНИЙ.
КОВИД СПЕЦИАЛЬНЫЙ
Купите 3 приложения Made Easy по цене 2 приложений.
Выберите 3 приложения. EasyBusiness Stats Made EasyCalculus with Physics Apps Calculo de Manera Facil Chemistry Made EasyChemie Leicht GemachtQuimica de Manera FacilCollege Algebra Made Easy CX CASCollege Algebra Made Easy CXComplex Analysis Made EasyConics Made EasyConico de Manera FacilDifferential Equations Made EasyEcuaciones Diferencial de Manera FacilDifferential Gleichungen Leicht Gemacht DiscreteMDisateM de Manera FacilEconomics Made EasyEinheiten Umwandler mit SchrittenElectrical Engineering Made EasyElectronik Leicht GemachtEngineering Economics Made EasyEngineering Mathematics Made EasyIngenie ur Mathematik Leicht GemachtFinance Made EasyКонечная математика Made EasyGeometry Made EasyGeometrie Leicht GmachtGeometria de Manera FacilLand Survey Made EasyLinear Algebra Made EasyLinear Algebra de Manera FacilLineare Algebra Leicht GmachtMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyCXMatrix Made EasyЧисленный анализ Made EasyPhysik Leicht EasyPhysik Research Made EasyPhysik Research Made Easy GemachtFisica de Manera FacilPortfolio & Stocks Made EasyPreCalculus Made EasyPreCalculus Made Easy CXPreCalculus Made Easy CXPreCalculo de Manera FacilReal Estate Made EasySAT Made EasySAT Subject Test MathSignals and Systems Made EasyStatistics and Probability Made EasyStatistik Leicht GemachtEstadisticas de Manera FacilStatic and Dynamics Made EasyStatik und Dynamik Leicht GemachtStep by Step Equation Solver Ecuaciones de Manera FacilПошаговый конвертер единиц измеренияThermodynamics Made EasyThermodynamik Leicht GemachtTrigonometry Made EasyTrigonometria de Manera FacilTr igonometrie Leicht GemachtVector Calculus Made EasyVektor Analysis Leicht GemachtWirtschaftsmathematik Leicht Gemacht
Calculus Made EasyACT Made EasyAccounting Made EasyAerodynamics Made EasyAnalysis Leicht GemachtAnalysis mit PhysikAlgebra Made Easy CX CASAlgebra Made Easy CXAlgebra Leicht Gemacht CX CASAlgebra de Manera FacilAlgebra de Manera Facil CXApplications and Optimizations Made EasyBiology Made EasyBiostatistics AppBusiness Calculus Made EasyBusiness Stats with Physics de Manera Facil Chemistry Made EasyChemie Leicht GemachtQuimica de Manera FacilCollege Algebra Made Easy CX CASCollege Algebra Made Easy CXComplex Analysis Made EasyConics Made EasyConico de Manera FacilDifferential Equations Made EasyEcuaciones Diferencial de Manera FacilDifferential Gleichungen Leicht GemachtDiscrete Math Made EasyMatematicas Discretas de Manera FacilEconomics Made EasyEinheiten Umwandler mit SchrittenElectrical Engineering Made EasyElectronik Leicht GemachtEngineering Economics Made EasyEngineering Mathematics Made EasyIngenieur Mathematik Leicht GemachtFinance Mad e EasyFinite Math Made EasyGeometry Made EasyGeometrie Leicht GemachtGeometria de Manera FacilLand Surveying Made EasyLinear Algebra Made EasyLinear Algebra de Manera FacilLineare Algebra Leicht GemachtMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyCXMatrix Made EasyNumerical Analysis Made EasyNumber Theory Made EasyProperties Research Made EasyPhysik Made EasyPhysik Leicht Gemacht & Stocks Made EasyPreCalculus Made EasyPreCalculus Made Easy CXPreCalculus Made Easy CXPreCalculo de Manera FacilReal Estate Made EasySAT Made EasySAT Subject Test MathСигналы и системы Made EasyСтатистика и вероятность Made EasyStatistik Leicht GemachtEstadisticas de Manera FacilStatik und Dynamics Made EasyStatik und Dynamik Leicht GemachtStep by Step Equal SolverSolucionador de EcuacionesStep de Manera Facil by Step Unit ConverterThermodynamic Made EasyThermodynamik Leicht GemachtТригонометрия Made EasyTrigonometria de Manera FacilTrigonometrie Leicht GemachtВекторный расчет us Made EasyVektor Analysis Leicht GemachtWirtschaftsmathematik Leicht Gemacht
Calculus Made EasyACT Made EasyAccounting Made EasyAerodynamics Made EasyAnalysis Leicht GemachtAnalysis mit PhysikAlgebra Made Easy CX CASAlgebra Made Easy CXAlgebra Leicht Gemacht CX CASAlgebra de Manera FacilAlgebra de Manera Facil CXApplications and Optimizations Made EasyBiology Made EasyBiostatistics AppBusiness Calculus Made EasyBusiness Stats with Physics de Manera Facil Chemistry Made EasyChemie Leicht GemachtQuimica de Manera FacilCollege Algebra Made Easy CX CASCollege Algebra Made Easy CXComplex Analysis Made EasyConics Made EasyConico de Manera FacilDifferential Equations Made EasyEcuaciones Diferencial de Manera FacilDifferential Gleichungen Leicht GemachtDiscrete Math Made EasyMatematicas Discretas de Manera FacilEconomics Made EasyEinheiten Umwandler mit SchrittenElectrical Engineering Made EasyElectronik Leicht GemachtEngineering Economics Made EasyEngineering Mathematics Made EasyIngenieur Mathematik Leicht GemachtFinance Mad e EasyFinite Math Made EasyGeometry Made EasyGeometrie Leicht GemachtGeometria de Manera FacilLand Surveying Made EasyLinear Algebra Made EasyLinear Algebra de Manera FacilLineare Algebra Leicht GemachtMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyCXMatrix Made EasyNumerical Analysis Made EasyNumber Theory Made EasyProperties Research Made EasyPhysik Made EasyPhysik Leicht Gemacht & Stocks Made EasyPreCalculus Made EasyPreCalculus Made Easy CXPreCalculus Made Easy CXPreCalculo de Manera FacilReal Estate Made EasySAT Made EasySAT Subject Test MathСигналы и системы Made EasyСтатистика и вероятность Made EasyStatistik Leicht GemachtEstadisticas de Manera FacilStatik und Dynamics Made EasyStatik und Dynamik Leicht GemachtStep by Step Equal SolverSolucionador de EcuacionesStep de Manera Facil by Step Unit ConverterThermodynamic Made EasyThermodynamik Leicht GemachtТригонометрия Made EasyTrigonometria de Manera FacilTrigonometrie Leicht GemachtВекторный расчет us Made EasyVektor Analysis Leicht GemachtWirtschaftsmathematik Leicht Gemacht
Введите последние 8 цифр вашего 27-значного идентификатора продукта TI-Nspire.
Находится в разделе 5:Настройки → 4:Статус → О программе
ID может выглядеть так: 1008000007206E210B0 BD92F455 . ПОМОГИТЕ НАЙТИ ID.
Если бы это был ваш ID, вы бы набрали только BD92F455.
или на международном уровне:
В конце оплаты через PayPal вам будет отправлено электронное письмо с вашим ключом и программным обеспечением.
Хотите купить TI-калькулятор?
Получите самые низкие цены на калькуляторы TI
(со сравнением цен)
СРАВНИТЕ лучшие цены на Amazon, Ebay, Target, Walmart, Office Max, Best Buy.

Сравните лучшие цены на Amazon, Walmart, Ebay, Target, Best Buy и т. д.
Изучите историю цен калькуляторов за последние несколько месяцев.
Настройте оповещение по электронной почте при снижении цен, чтобы получать уведомления.
Сравните различные модели, чтобы найти калькулятор, который лучше всего соответствует вашим потребностям.
Найдите новые, обновленные, восстановленные, подержанные калькуляторы.
Смотрите обучающие видео и читайте руководства по калькуляторам.
Прочтите последние новости о калькуляторах в Интернете.
БЕСПЛАТНАЯ загрузка: решение любого квадратного уравнения шаг за шагом
Загрузите пошаговый решатель квадратных уравнений
. Этот решатель является частью приложения Algebra Made Easy.
— Загрузите бесплатные пробные версии здесь.
— Срок действия пробных и платных приложений не ограничен.
— Будущие обновления бесплатны — навсегда!
Онлайн-репетиторство по математике
Получите онлайн-репетиторство.
Репетиторы с отличными оценками по математике будут рады помочь вам.
Получите индивидуальную помощь по математике.
Мы используем Zoom для онлайн-обучения, мы шаг за шагом объясняем, как решать математические задачи.
Репетиторы в настоящее время преподают алгебру, алгебру 2, предварительное исчисление, AP исчисление AB и BC, AP статистику, тригонометрию, дискретную математику.
Репетиторы более 10 лет работали в качестве читателей AP Calculus (те люди, которые оценивают экзамены AP Calculus).
Репетиторы также обучают навыкам сдачи тестов, которые так же важны, как и само содержание.
Наши преподаватели имеют более 20 лет опыта преподавания.
1. урок стоит 50$, после этого 100$ в час.
оптом: 540 долларов за 6 часов, 1000 долларов за 12 часов.
Забронируйте сеанс репетиторства по электронной почте: [email protected]
Для вопросов, заказов и т. д.: ОБРАЩАЙТЕСЬ С НАМИ.
Первый урок (50 долларов США) Один урок (100 долларов США) Несколько уроков
Как ограничения делают нас более творческими
Ограничения могут показаться последним, что вам нужно для творческого проекта, но на самом деле они полезны, когда дело доходит до хорошей работы. Если вы когда-либо сталкивались с обычным писательским препятствием на пустой странице, вы знаете, каково это быть парализованным бесчисленными возможностями. Ограничения лишают нас некоторых возможностей выбора, а вместе с ними и паралич выбора, который мешает нам начать.
Мы в Buffer любим пробовать вещи, которые кажутся нелогичными, но особенно нам нравятся примеры того, как нелогичные подходы могут привести к отличным результатам.
Ознакомьтесь с несколькими примерами потрясающей работы, которую можно получить из-за творческих ограничений, а затем узнайте, как вы можете начать использовать ограничения, чтобы повысить свою креативность и продуктивность.
1. Короткая история, которая вызовет у вас слезы
Это одна из тех историй, которые настолько стары, что никто не может точно доказать, кто был их частью и как все произошло. Но даже без уверенности в фактах стоит пересказать. Предположительно, автором рассказа был Эрнест Хемингуэй, который поспорил с друзьями, что сможет написать целую историю всего из шести слов. Конечно, это кажется невозможным: как представить персонажей, объяснить их отношения и рассказать о них историю всего в шести словах? Вот как это сделал Хемингуэй:
Продается детская обувь, неношеная
Мощная штука, правда? Как я уже сказал, эту историю стоит рассказать, даже если мы никогда не узнаем точных деталей. Это, безусловно, дает урок о работе с ограничениями. При таком крайнем ограничении краткости Хемингуэй должен был не только тщательно подбирать слова, но и составлять их таким образом, чтобы тишина вокруг этих слов наполнялась остальной частью его рассказа, поскольку у него закончились слова. сказать это.
2. Подводя итог своей жизни в одном предложении: воспоминания из шести слов
Говоря об ограничениях на написание шести слов, вот забавный проект, основанный на том же самом. Книга «Не совсем то, что я планировал » представляет собой сборник воспоминаний, написанных известными и не очень писателями ровно в шести словах. Подводя итог своей жизни всего в шести словах, звучит сложно, но представьте себе, что вы пишете целую книгу о своей жизни — вдруг шесть слов не кажутся такими уж устрашающими, не так ли?
Вот несколько примеров из книги:
Ну, я подумал, что это было забавно. — Стивен Колберт
Не выдержал и написал песни. — Эйми Манн
Сварливый старый звукорежиссер тоже нуждается в любви. — Ленни Розенгард
Болезненный ребенок-ботаник, счастливый взрослый ботаник. — Линда Уильямсон
Ни будущего, ни прошлого. Не потерял. — Matt Brensilver
3. Травма, положившая конец карьере и ставшая благословением
История Фила Хансена не может не вдохновлять. Будучи студентом художественного факультета, Фил полагался на особый стиль пуантилизма, который он разработал. Он был по понятным причинам обезумел, когда травма от создания искусства таким образом означала, что он больше не мог этим заниматься. После полного ухода из мира искусства на три года Фил вернулся и начал использовать ограничения в своих интересах.
Его трясущаяся рука из-за художественной травмы привела его к новому стилю, включающему дрожащие линии, которые он не мог удержаться.
В конце концов Фил понял, насколько сильными могут быть ограничения, и начал создавать свои собственные: от рисования на кофейных чашках до рисования приемами карате и создания временных произведений искусства со спичками, свечами и пережеванной едой.

Я не могу передать его историю должным образом, поэтому настоятельно рекомендую посмотреть его выступление на TED о том, чему он научился. Он включает в себя видео о том, как он создает удивительные произведения искусства, основываясь на наложенных на себя ограничениях:
4. Физические ограничения, ведущие к уникальным художественным проектам
В последний раз, когда я исследовал использование ограничений в творчестве, я наткнулся на этого художника, который создает потрясающие работы в рамках физических и пространственных ограничений.
Майкл Йоханссон использует бывшие в употреблении предметы и превращает их в художественные проекты. Мне хочется назвать их скульптурами, но, похоже, это не соответствует почти двухмерному виду его работ.
Что особенно впечатляет в работах Майкла, так это то, что он ищет рамки для работы — физические пространства, которые можно использовать в качестве ограничений — и заставляет используемые им объекты подходить друг к другу внутри этих областей.
В видео ниже Майкл описывает свою работу как почти игру: как настоящий тетрис.

Сигурд Ларсен и Майкл Йоханссон — Тетрис в реальной жизни из «Дневников авангарда» на Vimeo.
5. Использование ограничений авторского права в качестве вдохновения
Мой любимый художник и в последнее время завсегдатай блога Buffer, Остин Клеон представляет собой отличный пример работы в рамках ограничений. Хотя он известен несколькими вещами, возможно, первым, что сделало имя Остину, были его стихи о затемненных газетах.
Исходя из ограничений слов, уже присутствующих в газетной статье или колонке, Остин использует маркер, чтобы затемнить слова, вычитая из исходного содержания до тех пор, пока не останется только его собственное сообщение.
Более того, у Остина есть ограничения по авторскому праву, поскольку он использует чужую работу. В статье для New York Times Остин объяснил, как различные области закона об авторском праве вдохновляют его работу, поскольку они ограничивают его работу.
Например, ему нужно убедиться, что финальное сообщение в каждом из его затемняющих стихотворений, если оно не полностью отличается от оригинала, перевернуто или пародирует его. Он также отмечает, что чем меньше слов он использует из оригинала и чем больше пробелов между ними, тем меньше вероятность того, что он столкнется с иском о нарушении авторских прав.
Как насчет творческих ограничений?
6. Самостоятельные ограничения, когда у вас их нет, могут улучшить вашу работу
Дэмиен Коррелл — востребованный дизайнер, привыкший навязывать свои собственные ограничения своей работе. Без каких-либо ограничений Дэмиен чувствует, что у него слишком много свободы:
Думаю, если тебе дали чистую, свежую палитру и ты делаешь, что хочешь, это почти слишком большая свобода, по крайней мере для меня.
Дэмиен со временем понял, что наложение ограничений способствует повышению качества работы:
Я считаю, что [ограничения] делают процесс немного более приятным, а окончательный результат обычно вызывает у меня больше гордости.
Ограничения Дэмиена часто проявляются в форме сжатых сроков, которые помогают ему быстро претворить идею в жизнь и больше полагаться на свою интуицию, не имея времени на догадки.
процесс создания идеи и процесс изготовления обычно идут рука об руку или сразу же следуют за ними.
7. Ограничения в бизнесе: оставайтесь маленьким, когда вы не можете стать большим
Недавно мы рассмотрели преимущества начала с малого и то, как легко забыть, что такие крупные компании, как Google и Facebook, когда-то были маленькими.
37signals — еще один хороший пример. Вот компания, которая настолько велика и успешна, что они продают свою продукцию и проводят ребрендинг, чтобы снова сосредоточиться на своем первоначальном продукте, Basecamp.
Но когда они изначально создавали Basecamp, одной из вещей, которая помогала им в этом, было принятие ограничений, с которыми они столкнулись:
Когда 37signals создавали Basecamp, у нас было много ограничений. У нас было:
Дизайнерская фирма для управления
Существующая работа с клиентами
7-часовая разница во времени (Дэвид занимался программированием в Дании, остальные из нас были в Штатах)
Небольшая команда
Без внешнего финансирования
Ищу при сегодняшнем успехе 37signals и их продукта Basecamp трудно представить, что им придется работать с такими ограничениями. Но они это сделали и обнаружили, что в некотором смысле это приносит пользу:
Ограничения часто являются скрытым преимуществом. Забудьте о венчурном капитале, длительных циклах выпуска и быстром найме. Вместо этого работайте с тем, что у вас есть.
Как использовать силу ограничений
Вот несколько убедительных примеров преимуществ ограничений. Как вы можете использовать силу ограничений в своей работе? Вот несколько стратегий, которые можно попробовать:
1. Установите таймер
Если проект кажется слишком сложным, чтобы даже знать, с чего начать, попробуйте установить таймер на 30 минут или около того и заставить себя просто копаться там, где только можно. Эта стратегия похожа на технику Pomodoro, метод управления временем, который разбивает работу на интервалы (обычно по 25 минут), разделенные короткими перерывами. Всплески концентрации с частыми перерывами могут улучшить вашу умственную гибкость.
2. Посвятите себя небольшому делу (которое способствует достижению более крупной цели)
Знаете ли вы, что 88% всех новогодних обещаний заканчиваются неудачей? Это потому, что когда мы ставим перед собой большую цель, которая меняет жизнь, мы слишком сильно нагружаем свой мозг, чтобы достичь ее. Примените здесь ограничение, сосредоточившись на небольших изменениях, которые в сумме могут помочь лучше сосредоточиться на общей цели. Когда вы ставите перед собой цель, разбейте ее, насколько это возможно, на простейшую возможную задачу.
3. Выполняйте одну задачу, пока не станет больно
Хотя многозадачность заставляет нас чувствовать себя продуктивно и кажется навыком, достойным зависти, на самом деле она не так уж хороша. Одним из полезных ограничений, которые стоит попробовать для повышения производительности, является чрезмерная однозадачность. Вот как главный операционный директор Buffer Лео Видрич делает это онлайн:
«Одна из стратегий, которую я использую, — это то, что я называю просмотром одной вкладки. Я бы ограничился тем, чтобы держать открытой только одну вкладку браузера, когда я работаю. Таким образом, мне нужно было действительно расставить приоритеты, какая задача была самой важной, над которой я должен был работать».
4.
Ограничьте свою команду
Возьмите пример с Джеффа Безоса, генерального директора Amazon, который придумал правило «двух пиццерий»: если команду нельзя накормить двумя пиццами, она слишком большая. Безос использовал ограничения, потому что хотел децентрализованную компанию, в которой преобладали бы независимые идеи. Вы можете сделать то же самое с этим простым ограничением: добавление большего количества людей является одной из самых распространенных ловушек производительности, в которые вы можете попасть.
5. Дайте себе сроки
Когда сейчас-Yahoo! Генеральный директор Марисса Майер работала в Google, она твердо верила в творческие ограничения, когда дело касалось разработки, часто ограничивая время прототипирования новой функции. «Часто мы можем понять, насколько хороша новая концепция, если создаем прототип только на один день или неделю», — сказала она. «В случае с бета-версией панели инструментов несколько ключевых функций (настраиваемые кнопки, общие закладки) были опробованы менее чем за неделю. Фактически, на этапе мозгового штурма мы придумали примерно в пять раз больше «ключевых функций». Большинство из них было отброшено после недели прототипирования. Поскольку только 1 из каждых 5–10 идей срабатывает, стратегия ограничения времени, которое у нас есть, чтобы доказать, что идея работает, позволяет нам опробовать больше идей, увеличивая наши шансы на успех».
6. Сосредоточьтесь на своем контенте
Это одно из ограничений, с которым мы недавно экспериментировали в Buffer. Благодаря тому, что новый Buffer для бизнеса действительно связывает клиентов, мы начинаем удваивать внимание к социальным сетям, блогам и другому маркетинговому контенту и немного меньше сосредотачиваемся на нашем лайфхак-контенте, чтобы создавать то, что больше всего помогает нашей аудитории. (Что вы об этом думаете? Дайте нам знать!)
7. Проведите мозговой штурм лучше
Придумайте лучшие идеи к , а не мозговой штурм. Вместо этого попробуйте обсудить идеи, конкретизируйте идею, прежде чем представить ее группе, и используйте другие, более конкретные методы формирования идей. Начать с чего-то (даже если это «плохая» идея!) вместо чистого листа дает вам трамплин для отскока, а наличие отправной точки может открыть новые идеи и расширить ваш творческий потенциал в других областях, а не сдерживать вас .
Использовали ли вы ограничения, чтобы помочь вашему творчеству? Как прошло? Дай мне знать в комментариях.
Если вам понравился этот пост, вам также могут понравиться «Как оптимизировать окружающую среду для творчества с помощью идеальных уровней температуры, освещения и шума» и «Как работает наш мозг, когда мы креативны: наука о великих идеях»
Изображение предоставлено: Уильям Уивер через Compfight cc, So Happy Few, Блог о намерениях, Майкл Йоханссон 1, 2, 3, Остин Клеон 1, 2, 3, журнал SMITH, ADC Young Guns, The Fox is Black
Как справиться с ограничениями скорости API: работают ли ваши интеграции в масштабе?
Вы когда-нибудь ходили в общественный бассейн и замечали табличку с указанием максимального предела вместимости? Эти ограничения были введены для обеспечения общественной безопасности. API-интерфейсы используют аналогичный критерий, называемый «ограничением скорости», чтобы обеспечить безопасность потребителей API и самого API.
Они могут защитить вас от снижения производительности и атак типа «отказ в обслуживании» (DoS), обеспечить масштабируемость и улучшить общее взаимодействие с пользователем.
Вам нужны ограничения скорости, потому что, в конце концов, вы не сможете предоставить своим пользователям наилучшие возможности, если ваш API не работает должным образом. Ниже описано, как заставить ограничения скорости работать.
Зачем нужны ограничения скорости
Ограничения скорости существуют для управления одним пользователем или объектом, который будет использовать данные API, чтобы обеспечить работоспособность и доступность вашего API. Думайте об ограничении скорости как о форме безопасности.
Если ваш API перегружен, его производительность снижается. Ограничения скорости защищают от этого, сокращая количество запросов, поступающих на ваш сервер. Например, если ваш API является целью вредоносной DoS-атаки, он может полностью выйти из строя. Ограничение скорости позволяет разработчикам API гарантировать, что API будет отклонять запросы, превышающие установленный лимит.
Ограничения скорости также очень помогают с масштабируемостью. Как разработчики приложений, мы мечтаем о том, чтобы наш продукт быстро набирал популярность и собирал приток пользователей. Но этот приток может вызвать всплески трафика, из-за чего наши API замедлятся до минимума. Ограничение скорости может гарантировать, что ваш API оснащен для обработки входящей орды потенциальных пользователей.
Под капотом: как работают ограничения скорости
Ограничения скорости действуют как привратники, контролирующие объем входящего и исходящего трафика в сеть или из сети. Ограничение скорости API может налагать, скажем, 100 запросов в минуту. Как только запросы превышают это число, он генерирует сообщение об ошибке, чтобы предупредить запрашивающую сторону о превышении количества выделенных запросов за определенный период времени.
Для запросов HTTP API эта ошибка обычно проявляется в виде ответа с кодом состояния 429. RFC 6585 отменяет этот код состояния для обозначения «Слишком много запросов». Обычно сервер отправляет ответ запрашивающей стороне вместе с дополнительной информацией о разрешенной частоте запросов, а также заголовком, указывающим время, необходимое для ожидания до попытки другого запроса.
Этот заголовок обычно называется «Retry-After» в соответствии с рекомендациями, описанными в спецификации RFC. Хотя это и не является строго обязательным, это хороший протокол, которому следует следовать, чтобы пользователи знали о требованиях сети.
Три типа ограничений скорости
Ограничения скорости состоят из различных параметров, которые определяют степень управления. Хотя любой может придумать собственный протокол ограничения скорости для API, разработчики часто реализуют три различных типа ограничений скорости. Вы можете реализовать эти параметры для управления ключевыми аспектами вашей политики ограничения скорости.
Команды разработчиков могут реализовать один тип ограничения скорости или любую комбинацию из трех, в зависимости от важности, которую они придают каждому из факторов, описанных ниже.
Ограничение скорости пользователя
Наиболее распространенный тип ограничения скорости, ограничение скорости пользователя отслеживает ключ API пользователя, файл cookie сеанса и IP-адрес, чтобы следить за количеством выполняемых запросов. Если количество запросов превышает лимит, пользователь должен дождаться сброса временных рамок, на что обычно указывает время ожидания, отправленное вместе с сообщением, прикрепленным к заголовку «Повторить попытку после».
В некоторых случаях пользователи могут договориться с разработчиками о том, как увеличить лимит или сбросить временной интервал «Повторить попытку», чтобы получить доступ к сети без ожидания.
Ограничение скорости на основе времени
Обычно это зависит от региона и времени суток, когда пользователь пытается получить доступ к сети. Он существует для того, чтобы протоколы строгого ограничения скорости применялись только к определенным периодам времени, когда трафик будет самым высоким. Часто это связано с увеличением количества разрешенных запросов в период с 12:00 до 8:00, так как общий трафик в этот период, как правило, самый низкий.
Ограничение скорости сервера
В зависимости от размера API у вас может быть несколько серверов, обрабатывающих разные типы запросов. Ограничение скорости сервера — это процесс применения различных ограничений для каждого сервера.
Одним из примеров этого является служба обработки изображений, которая потребляет много циклов ЦП. Скорость сервера, обрабатывающего обработку, будет ограничена на более высоком уровне, чем у обычного веб-сервера, поэтому запросы API, отправляемые на сервер обработки, будут регулироваться быстрее, чтобы быть справедливыми для всех пользователей.
Этот тип ограничения скорости также может уменьшить лимиты запросов для других серверов с меньшим доступом, чтобы высвободить доступный сетевой трафик для сервера, который генерирует больше запросов API.
Как реализовать ограничение скорости
Вы можете настроить ограничение скорости для ваших API разными способами. Если вы не возражаете потратить значительное количество усилий, вы можете реализовать ограничение скорости на уровне приложения, но это трудоемкий и длительный процесс. Однако, если вы хотите использовать некоторые готовые инструменты, существует множество простых в реализации наборов инструментов и сред со встроенными возможностями ограничения скорости.
Некоторые инструменты мониторинга и управления предлагают надежную скорость — ограничение возможностей с помощью так называемого «алгоритма дырявого ведра». В этой аналогии с ведром с отверстиями на дне вода выливается в ведро по мере поступления запросов; только определенное количество может вытечь из отверстий на дне за определенное время.
Этот процесс соответствует алгоритму планирования «первым поступил — первым обслужен» (FIFO), поскольку запросы, пришедшие первыми, обрабатываются раньше запросов, следующих за ними в очереди. Вода, вытекающая из отверстий на дне, представляет собой запросы, которые обрабатывает сервер. Когда запросы резко увеличиваются, они сохраняются во временном журнале невыполненных работ для обработки с постоянной скоростью в пределах корзины.
Если поступающая вода (запросы) превышает предел, который может вместить ведро, и оно переполняется, то вода сбрасывается и игнорируется.
Другим популярным и очень простым способом реализации ограничения скорости является использование шлюза API. С инструментами ограничения скорости, встроенными прямо в эти сервисы, настроить протокол ограничения скорости вашего API так же просто, как настроить файл конфигурации.
Основным преимуществом использования шлюзов API является способность их инструментов переключаться между ограничением уровня аутентификации или идентификатора клиента в зависимости от того, доступен ли первый для мониторинга.
Даже некоторые платформы включают базовые функции ограничения скорости. Эти фреймворки могут указывать параметр ограничения скорости непосредственно для группы маршрутов и указывать модели, с которыми вы хотите их связать, эффективно делая ограничение скорости запоздалым.
До сих пор я рассказывал, как ограничения скорости регулируют использование API как со стороны потребителя, так и со стороны сервера. Но между этими двумя сторонами существуют и другие технологии, которые также должны соблюдать эти правила.
Унифицированное ограничение скорости
Унифицированные API-интерфейсы предоставляют замечательную революционную технологию для тех, кто хочет установить соединения с несколькими поставщиками облачных услуг за один раз. За время, необходимое для создания единой интеграции API, унифицированные API могут интегрироваться с десятками или даже сотнями сервисов. Унифицированные API-интерфейсы также обеспечивают дополнительное преимущество, исключая дальнейшее обслуживание указанных соединений.
Унифицированный API работает путем абстрагирования различий между различными службами API, относящимися к определенной категории, и предоставления набора унифицированных конечных точек для доступа ко всем из них по одному и тому же набору маршрутов. В результате унифицированные API сталкиваются с дополнительной задачей решить, как обрабатывать ограничение скорости, когда дело доходит до доставки кода состояния 429.
Различные API, с помощью которых унифицированный API устанавливает соединения , имеют разные ограничения скорости и стандарты для работы с ограничениями запросов, поэтому вы должны обращаться с ними соответствующим образом, чтобы передавать данные обратно пользователям, которые их используют.
Тактики, которые следует учитывать для унифицированных API
Несмотря на то, что не существует стандартизированных рекомендаций по обработке ограничений скорости в унифицированном API, существует несколько тактик, которые можно использовать для максимально удобного использования API пользователями.
Обычно алгоритмы ограничения скорости отслеживают количество запросов за короткий период времени, например одну секунду или одну минуту. Если запросы превышают пороговое значение, вы обычно будете видеть ответы об ошибках с кодом состояния 429. Сюда входит заголовок «Повторить попытку после».
Унифицированные API должны принять меры для унификации заголовка Retry-After, который возвращается через каждый API, а затем отложить и повторить запросы на срок до 30 секунд в соответствии с рекомендациями и рекомендациями каждого конкретного API. Автоматизируя этот процесс, унифицированный API избавляет пользователя от большей части ручной работы, оптимизируя процесс использования API.
Квоты и унифицированные API
Ограничения скорости обычно хорошо справляются с пиками трафика за короткие промежутки времени. Однако иногда API также необходимо регулировать общее количество запросов в течение гораздо более длительных интервалов, таких как час, день или месяц. В этих сценариях API фактически предоставляет квоту использования в течение указанного периода времени.
Квоты дополняют ограничения скорости, позволяя вам устанавливать их выше. В противном случае служба API может не поддерживать постоянный уровень запросов, близких к порогу ограничения скорости, от постоянно растущего числа приложений.
Предоставляя квоту, вы разрешаете приложениям время от времени достигать высоких уровней использования, но не позволяете им поддерживать этот уровень. Квоты, как правило, представляют собой большую проблему для унифицированных API, в зависимости от того, какие API, к которым вы обращаетесь, установили критерии для прекращения запросов.
Внедрение квот
Некоторые API устанавливают квоту для арендатора. Salesforce, например, ограничивает количество запросов на клиента в зависимости от версии Salesforce клиента и количества лицензий. Salesforce накладывает это ограничение на использование арендатором запросов API, а не на конкретное приложение разработчика.
Из-за этого некорректно работающее приложение, исчерпавшее дневную квоту арендатора, может также привести к временному сбою всех других интеграций арендатора. Это расширяет влияние, включая использование клиентом самого поставщика API, а не только воздействие на одно приложение разработчика.
Вы можете установить другой тип квоты в самом приложении разработчика. Некоторые API, такие как Google Drive, ограничивают общее количество запросов API, которые приложение может выполнять для всех пользователей, имеющих авторизованный доступ к этому приложению. Это начинает вызывать беспокойство по мере того, как приложение получает все более широкое распространение и все больше пользователей разрешают доступ к своим данным.
Унифицированные API-интерфейсы должны заблаговременно обращаться к этим API-интерфейсам, чтобы запросить увеличение лимита, если это оправдано, или сообщать разработчикам о необходимости запросить более высокий лимит скорости, если это необходимо.
«Квота авторизованного пользователя» — наиболее гибкий из упомянутых до сих пор и не требует дополнительных действий со стороны унифицированного API. Этот тип квоты аналогичен лимиту скорости, но действует в течение более длительного интервала времени.
Например, Egnyte API по умолчанию использует ограничение в 1000 запросов на авторизованного пользователя в день. Это в дополнение к его ограничению скорости в два запроса в секунду. Поскольку эти запросы устанавливаются на основе отдельного пользователя, превышение ограничения скорости для пользователя не влияет на способность приложения делать запросы к аккаунтам других пользователей.
Задайте стратегию ограничения скорости API
Ограничения скорости и квоты могут оказаться занозой для разработчиков и потребителей API, но они существуют по важным причинам. API защищен от множества факторов, которые могут угрожать его жизнеспособности, за счет строгого ограничения скорости, а именно времени простоя и вредоносных угроз безопасности.
Независимо от того, потребляет ли ваше приложение данные или предоставляет их, убедитесь, что вы нашли время для разработки хорошо продуманной стратегии реализации ограничений скорости или работы с ними. Вашим пользователям будет от этого только лучше.
Продолжайте учиться
Подробно изучите состояние качества с помощью Руководства TechBeacon. А также: загрузите бесплатно Отчет о качестве в мире за 2021–2022 годы.
No related posts.

Первый замечательный предел

Первый и второй замечательный предел

свойства 1 и 2, определение, как решать, примеры с доказательством

Первый замечательный предел

Доказательство

Доказательство при отрицательных значениях: −π/2<α<0

Примеры решений

Техника вычисления пределов. | Методическая разработка по алгебре (10 класс):

определение, формулы и примеры решения

Раскрытие неопределенностей

Основные пределы

Как найти предел последовательности?

2.3: Законы о лимитах и ​​методы расчета лимитов

Нахождение пределов конкретных функций: Rational

Нахождение предела рациональных функций

Нахождение предела кусочной функции

Поиск пределов экспоненциальных функций

Нахождение производной функции с помощью предельного процесса

Определение пределов определенных функций — ключевые выводы

Часто задаваемые вопросы о нахождении пределов определенных функций

Викторина «Окончательное определение пределов определенных функций»

Репетитор по математике — Последовательности — Теория

▷Step by Step Приложения для TI-Nspire CX и CX CAS Скачать бесплатно. Пройдите курсы по математике, естественным наукам и бизнесу

Для подготовки к экзаменам по математике и естественным наукам, домашнее задание. Проверьте свою работу.

— Шаг за шагом к успеху. Приложения запускаются за считанные минуты. Сначала протестируйте наши бесплатные пробные версии.—

Как ограничения делают нас более творческими

1. Короткая история, которая вызовет у вас слезы

2. Подводя итог своей жизни в одном предложении: воспоминания из шести слов

3. Травма, положившая конец карьере и ставшая благословением

4. Физические ограничения, ведущие к уникальным художественным проектам

5. Использование ограничений авторского права в качестве вдохновения

6. Самостоятельные ограничения, когда у вас их нет, могут улучшить вашу работу

7. Ограничения в бизнесе: оставайтесь маленьким, когда вы не можете стать большим

Как использовать силу ограничений

1. Установите таймер

2. Посвятите себя небольшому делу (которое способствует достижению более крупной цели)

3. Выполняйте одну задачу, пока не станет больно

4.

5. Дайте себе сроки

6. Сосредоточьтесь на своем контенте

7. Проведите мозговой штурм лучше

Как справиться с ограничениями скорости API: работают ли ваши интеграции в масштабе?

Зачем нужны ограничения скорости

Под капотом: как работают ограничения скорости

Три типа ограничений скорости

Ограничение скорости пользователя

Ограничение скорости на основе времени

Ограничение скорости сервера

Как реализовать ограничение скорости

Унифицированное ограничение скорости

Тактики, которые следует учитывать для унифицированных API

Квоты и унифицированные API

Внедрение квот

Задайте стратегию ограничения скорости API

Продолжайте учиться

Добавить комментарий Отменить ответ

2.3: Законы о лимитах и методы расчета лимитов