Как решить модуль: Решение уравнений с модулями

alexxlab / / Разное

Содержание

Как решать выражения с модулем. Модуль числа. Учебник по ЕГЭ и ГИА

Модуль числа a — это расстояние от начала координат до точки А (a ).

Чтобы понять это определение, подставим вместо переменной a любое число, например 3 и попробуем снова прочитать его:

Модуль числа 3 — это расстояние от начала координат до точки А (3 ).

Становится ясно, что модуль это ни что иное, как обычное расстояние. Давайте попробуем увидеть расстояние от начала координат до точки А(3 )

Расстояние от начала координат до точки А(3 ) равно 3 (трём единицам или трём шагам).

Модуль числа обозначает двумя вертикальными линиями, например:

Модуль числа 3 обозначается так: |3|

Модуль числа 4 обозначается так: |4|

Модуль числа 5 обозначается так: |5|

Мы искали модуль числа 3 и выяснили, что он равен 3. Так и записываем:

Читается как: «Модуль числа три равен три»

Теперь попробуем найти модуль числа -3.

Опять же возвращаемся к определению и подставляем в него число -3. Только вместо точки A используем новую точку B . Точку A мы уже использовали в первом примере.

Модулем числа —3 называют расстояние от начала координат до точки B (—3 ).

Расстояние от одного пункта до другого не может быть отрицательным. Поэтому и модуль любого отрицательного числа, будучи являясь расстоянием тоже не будет отрицательным. Модуль числа -3 будет число 3. Расстояние от начала координат до точки B(-3) равно также трём единицам:


Читается как: «Модуль числа минус три равен три»

Модуль числа 0 равен 0, та как точка с координатой 0 совпадает с началом координат, т.е. расстояние от начала координат до точки O(0) равно нулю:


«Модуль нуля равен нулю»

Делаем выводы:

  • Модуль числа не может быть отрицательным;
  • Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу;
  • Противоположные числа имеют равные модули.

Противоположные числа

Числа, отличающиеся только знаками называют противоположными . Например, числа −2 и 2 являются противоположными. Они отличаются только знаками. У числа −2 знак минуса, а у 2 знак плюса, но мы его не видим, потому что плюс, как мы говорили ранее, по традиции не пишут.

Еще примеры противоположных чисел:

Противоположные числа имеют равные модули. Например, найдём модули для −2 и 2


На рисунке видно, что расстояние от начала координат до точек A(−2) и B(2) одинаково равно двум шагам.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Базовые сведения о модуле

Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа

a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:

Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.

Основные свойства модуля:


Некоторые методы решения уравнений с модулями

Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:

Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:

А для уравнений вида:

Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:

Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:

Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов , который состоит в следующем:

  • Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
  • Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение
    x     из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x , которые легко подставлять.
  • Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.
  • Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике . На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  • Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

    • Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

    Нашли ошибку?

    Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

В математике, как и в жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла: например, мы не можем проехать на машине километров (мы проедем километров, неважно, в каком направлении), как и не можем купить килограммов апельсинов.

Эти значения всегда должны быть положительными. Именно поэтому в математике существует специальный термин — модуль.

Что же такое модуль числа?

Представь, что это ты.

Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления.


Итак, ты делаешь шага вперёд и оказываешься в точке с координатой.


Это означает, что ты удалился от места, где стоял на шага (единичных отрезка). То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно.
Но ведь ты же можешь двигаться и назад!
Если от отправной точки с координатой сделать шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой.


Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае? Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (и), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение ().


Таким образом, мы приблизились к понятию модуля . Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.
Так, модулем числа будет. Модуль числа также равен, потому что расстояние не может быть отрицательным !

Модуль — это абсолютная величина

Обозначается модуль просто:

(- любое число).

Итак, найдём модуль числа и:

Основные свойства модуля

Вот мы и приблизились к первому свойству модуля: модуль не может быть выражен отрицательным числом.

То есть, если — число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

если то.

Если — отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу:

если то

А если? Ну, конечно! Его модуль также равен:

если, то, или.

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

А теперь потренируйся:

Ответы:9;3;16;8;17.

Довольно легко, правда?
А если перед тобой вот такое число:

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию. Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль :

  • если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
  • если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим:

(Забыл, что такое корень? )
Если, то какой знак имеет? Ну конечно, ! А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

Разобрался? Тогда попробуй сам:

Ответы:

Какими же ещё свойствами обладает модуль?

Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел. То есть:

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:
при условии, что (так как на ноль делить нельзя).

Стоит запомнить ещё одно свойство модуля: модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:

Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное. Допустим, что числа и оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

Вроде с этим свойством все ясно, рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля.
Что если перед нами такое выражение:

Что мы можем сделать с этим выражением? Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что, а значит. Число больше нуля, а значит можно просто записать:

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

А чему равно такое выражение:

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак? Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему . И что же получается? А вот что:

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

1. Найдите значение выражения, если.

2. У каких чисел модуль равен?

3. Найдите значение выражений:

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1 :

Итак, подставим значения и в выражение Получим:

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное имеют два числа: и.

Решение 3:

а)
б)
в)
г)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Попробуем упростить выражение

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу. Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «-»).
Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

Получается, значение первого выражения под модулем.

Следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле , то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m .
Если k=0 , то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2 .
При x |-3x-5|=-2x-2.
При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2 .
Решим уравнение для отрицательных переменных (x

Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1) , т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение


Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших — положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3 .
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3) . Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7 .
Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5 . Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9 .
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3) .Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ: x=1/3; x=9.

Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5 . Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7 .
Оба значения не попадают в промежуток , то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5 . Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3 .
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5 , его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3 .
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ: x=1/3; x=9.

Примеров с модулями где есть один или несколько вложенных модулей в интернете или методичке можно найти немало. Схема их вычислений ничем не отличается от приведенной выше. Для проверки знаний прошу решить следующие задачи.

Равнение на модуль в модуле:

  • ||3x-3|-2|=5-2x;
  • ||5x-3|-3|=3x-1;
  • ||2x-7|-4|=x-2;
  • ||5x-4|-8|=x+4;
  • ||2x-2|-3|=1;
  • ||x-2|-3|=4-x.

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Например, модулем числа 5 является 5, модулем числа –5 тоже является 5.

То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.

Обозначается так: |5|, |х |, |а | и т.д.

Правило :

Пояснение :

|5| = 5
Читается так: модулем числа 5 является 5.

|–5| = –(–5) = 5
Читается так: модулем числа –5 является 5.

|0| = 0
Читается так: модулем нуля является ноль.

Свойства модуля:

1) Модуль числа есть неотрицательное число:

|а | ≥ 0

2) Модули противоположных чисел равны:

|а | = |–а |

3) Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:

|а | 2 = a 2

4) Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел:

|а · b | = |а | · |b |

6) Модуль частного чисел равен отношению модулей этих чисел:

|а : b | = |а | : |b |

7) Модуль суммы чисел меньше или равен сумме их модулей:

|а + b | ≤ |а | + |b |

8) Модуль разности чисел меньше или равен сумме их модулей:

|а – b | ≤ |а | + |b |

9) Модуль суммы/разности чисел больше или равен модулю разности их модулей:

|а ± b | ≥ ||а | – |b ||

10) Постоянный положительный множитель можно вынести за знак модуля:

|m · a | = m · |а |, m >0

11) Степень числа можно вынести за знак модуля:

|а k | = |а | k , если а k существует

12) Если |а | = |b |, то a = ± b

Геометрический смысл модуля.

Модуль числа – это величина расстояния от нуля до этого числа.

Для примера возьмем снова число 5. Расстояние от 0 до 5 такое же, что и от 0 до –5 (рис.1). И когда нам важно знать только длину отрезка, то знак не имеет не только значения, но и смысла. Впрочем, не совсем верно: расстояние мы измеряем только положительными числами – или неотрицательными числами. Пусть цена деления нашей шкалы составляет 1 см. Тогда длина отрезка от нуля до 5 равна 5 см, от нуля до –5 тоже 5 см.

На практике часто расстояние отмеряется не только от нуля – точкой отсчета может быть любое число (рис.2). Но суть от этого не меняется. Запись вида |a – b| выражает расстояние между точками а и b на числовой прямой.

Пример 1 . Решить уравнение |х – 1| = 3.

Решение .

Смысл уравнения в том, что расстояние между точками х и 1 равно 3 (рис.2). Поэтому от точки 1 отсчитываем три деления влево и три деления вправо – и наглядно видим оба значения х :
х 1 = –2, х 2 = 4.

Можем и вычислить.

│х – 1 = 3
│х – 1 = –3

│х = 3 + 1
│х = –3 + 1

│х = 4
│ х = –2.

Ответ : х 1 = –2; х 2 = 4.

Пример 2 . Найти модуль выражения:

Решение .

Сначала выясним, является ли выражение положительным или отрицательным. Для этого преобразуем выражение так, чтобы оно состояло из однородных чисел. Не будем искать корень из 5 – это довольно сложно. Поступим проще: возведем в корень 3 и 10. Затем сравним величину чисел, составляющих разность:

3 = √9. Следовательно, 3√5 = √9 · √5 = √45

10 = √100.

Мы видим, что первое число меньше второго. Значит, выражение отрицательное, то есть его ответ меньше нуля:

3√5 – 10

Но согласно правилу, модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. У нас отрицательное выражение. Следовательно, надо поменять его знак на противоположный. Выражением, противоположным 3√5 – 10, является –(3√5 – 10). Раскроем в нем скобки – и получим ответ:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Ответ .

Двойной модуль как решать

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Как решить простейшее модульное уравнение или уравнение содержащее модуль?

Обычно решение сводится к системе :

Уравнения содержащие модуль

Сразу рассмотрим на примере решение уравнений.

Решите уравнение | x – 6| = 18.

Выражение стоящее под модулем приравниваем к 0:

Отмечаем 6 на координатной прямой, далее проверяем знак на каждом из получившихся интервалах.

На интервале (-∞; 6) возьмем число 0 и подставим
0-6=-6 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”

На интервале (6;+∞) возьмем число 7 и подставим
7-6=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”

Числовая прямая

Теперь решаем уравнения на каждом интервале.

(-∞; 6) здесь получился знак “ – ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные:

Видно, что -12 лежит на интервале (-∞; 6) следовательно, является корнем уравнения.

(6;+∞) здесь получился знак “ + ”, значит выражение под модулем остается без изменения:

Видно, что 24 лежит на интервале (6;+∞) следовательно, является корнем уравнения.

Решите уравнение | 2x – 5 |- | 4 — x | = -18.

Выражения стоящие под модулем приравниваем к 0:

2x – 5 = 0 и 4 — x = 0
x=2,5 и x=4

Отмечаем x=2,5 и x=4 на координатной прямой, далее проверяем знак на каждом из получившихся интервалах.

На интервале (-∞; 2,5) возьмем число 0 и подставим в каждое выражение
2*0-5=-5 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”
4-0=4 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”

На интервале (2,5; 4) возьмем число 3 и подставим в каждое выражение
2*3-5=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
4-3=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”

На интервале (4; +∞) возьмем число 5 и подставим в каждое выражение
2*5-5=5 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
4-5=-1 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”

Теперь решаем уравнения на каждом интервале.

(-∞; 2,5) здесь получился знак “ – ” у выражения “ 2x – 5 ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные и знак “ + ” у выражения “ 4 — x ”, значит выражение под модулем остается без изменения:

-2x + 5 — ( 4 — x ) = -18
-2x + 5 — 4 + x = -18
x=19
Видно, что 19 не лежит на интервале (-∞; 2,5) следовательно, не является корнем уравнения.

(2,5; 4) здесь получился знак “ + ” у обоих выражений, значит выражения под модулем останутся без изменений:

2x – 5 — ( 4 — x ) = -18
2x – 5 — 4 + x = -18
3x=-9
x=-3

Видно, что -3 лежит на интервале (2,5; 4) следовательно,не является корнем уравнения.

(4; +∞) здесь получился знак “ – ” у выражения “ 4 — x ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные и знак “ + ” у выражения “ 2x – 5 ”, значит выражение под модулем остается без изменения:

2x – 5 — ( — 4 + x ) = -18
2x – 5 + 4 — x = -18
x=-17

Видно, что -17 лежит на интервале (4; +∞) следовательно,не является корнем уравнения.

Ответ: корней нет

Решите уравнение ||x|-3|=15.

Так как в правой части стоит простое число то распишем на два уравнения (раскроем внешний модуль):

Перенесем в обоих уравнениях -3 вправо, получим:

|x|=18
|x|=-12 (модуль не может равняться отрицательному числу, следовательно это уравнение не имеет решений)

Раскрываем модуль |x|=18

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Надеюсь, ты уже усвоил тему «Модуль числа» и таким образом уже частично готов к ЕГЭ по математике? 🙂

Если нет, срочно повтори эту тему. А если да, читай дальше.

Решение уравнений с модулем может быть самостоятельной задачей, но часто такие уравнения могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, квадратных.

Вот пример подобной ситуации:

Видно, что в правой части – квадрат числа :

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило:

Вот и появляется на сцене наш модуль:

Чтобы не теряться в таких случаях, давай разберемся, что из себя представляет решение уравнений с модулем.

Let’s dive right in. (Поехали!)

Решение уравнений с модулем вида |Х| = a

Уравнения такого вида решаем, основываясь на свойствах модуля, которые мы разобрали в теме «Модуль числа» .

Давай разбираться на примерах. Необходимо решить уравнение вида:

Это просто , если больше либо равно нулю, или , если меньше нуля.

То есть можно формализовано записать так:

А если вот такое уравнение:

Эти рассуждения можно было и обойти, вспомнив основное свойство модуля:

Модуль всегда положителен либо равен нулю!

Если обобщить разобранные выше примеры, то можно написать общее правило для решения уравнений вида :

Попробуем применить это правило для такого уравнения:

Выражение под знаком модуля изменилось, но на логике рассуждений это не отражается, поэтому давай решать уравнение, применяя наше правило:

В нашем примере под » » подразумевается » «, а значение . Зная это, получаем:

А если уравнение имеет вид:

Что-то меняется в рассуждениях? Конечно, нет! Ну, тогда давай решать его!

Уловил? Закрепим на примерах.

Примеры для самостоятельной работы

Решения примеров для самостоятельной работы

Точно так же как и в предыдущем примере уравнения с модулем могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, иррациональных.

Вот пример подобной ситуации:

Мы могли бы раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные и решить обычное квадратное уравнение (например, через дискриминант).

Но здесь удобнее поступить по-другому!

Заметим, что в правой части уравнения – формула сокращённого умножения квадрат суммы:

Тогда уравнение станет таким:

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

Будь предельно осторожным: опять вспоминаем простое правило: ?

И опять на сцене наш модуль:

Чтобы не теряться в таких случаях, научимся решать уравнения с модулем (все три типа).

Три типа уравнений с модулем

1. Уравнения вида |X| = |a|

Большинство уравнений с модулем можно решить, используя одно только определение модуля. Например:

Решите уравнение:

Это просто , если , или , если .

Ответ:

Другой пример:

И правда, вспомним свойство №1:

, то есть модуль всегда неотрицателен.

Итак, мы выработали общее правило решения простейших уравнений с модулем:

Ещё примеры (как обычно, пробуй решить их сам, потом смотри решения):

Решения:​

2. Уравнения вида |X| = |Y|

Если начнём раскрывать модули по определению, натолкнёмся на множество проверок: какое число больше нуля, какое меньше; в итоге получим большую совокупность, которая затем упростится.

Но можно сделать так, чтобы сразу было всё кратко.

Для этого вспомним свойство модуля №7:

С помощью этого свойства можем избавляться от модулей:

Пример:

Решение:

Реши самостоятельно:

Ответы:

3. Уравнения вида |X| = Y

Отличие от первого типа уравнений в том, что в правой части тоже переменная. А она может быть как положительной, так и отрицательной.

Поэтому в её неотрицательности нужно специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу (свойство №1):

Пример:

Решение:

Если пропустить проверку на неотрицательность правой части, можно ошибочно написать в ответе сторонние корни, и таким образом потерять баллы. Давайте проверим: действительно ли надо выбросить корень ? Подставим его в исходное уравнение :

Теперь задачи для самостоятельного решения:

Ответы:

Решим квадратные уравнения и . Дискриминант у них одинаковый:

Итак, исходное уравнение равносильно системе

Ответ:

Метод интервалов в задачах с модулем

Пример:

Решение:

Рассмотрим первый модуль . По определению он раскрывается «с плюсом» (то есть выражение под модулем не меняется), если , и «с минусом» (то есть все знаки меняются на противоположные), если :

Аналогично и со вторым:

Проблема только в том, что теперь нам нужно рассмотреть очень много вариантов: по варианта для каждого модуля, итого четыре разных, но похожих друг на друга, уравнения.

Если модулей будет не два, а три, получится уже уравнений!

Можно ли как-то сократить количество вариантов?

Да, можно – ведь не все условия могут выполняться одновременно: и противоречат друг другу.

Поэтому нет смысла раскрывать второй модуль «с плюсом», если первый раскрыт «с минусом». Значит, здесь у нас на одно уравнение меньше.

Теперь систематизируем то, что мы только что выяснили, и разработаем последовательность действий в таких примерах:

1. Определим корни подмодульных выражений – такие , при которых выражения равны нулю:

2. Отметим корни выражений под модулями на числовой оси:

3. Подпишем у каждого из получившихся интервалов, какой знак принимает каждое из наших подмодульных выражений.

4. Для каждого интервала запишем и решим уравнение. Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу!

I. . Здесь оба модуля раскрываем «с минусом»:

-3″> – этот корень сторонний.

II. . Здесь первый модуль раскрываем «с плюсом», а второй — «с минусом»:

– этот корень попадает в «свой» интервал, значит, он подходит.

III. . Здесь оба модуля раскрываем «с плюсом»:

– этот корень тоже является решением.

Проверим полученные корни:

I. (корень и правда сторонний).

II. .

III. .

Ответ:

Примеры:

Решения:

Модуль в модуле

В некоторых уравнениях встречается «вложенный» модуль, то есть модуль какого-то выражения является частью подмодульного выражения, например:

Что делать в таком случае? Все банально: раскрывать модули. Но раскрывать их нужно по очереди. Какой будем раскрывать первым?

А это зависит от того, каким методом ты хочешь решить это уравнение. Рассмотрим два возможных варианта:

I. Данное уравнение является уравнением вида

В этом случае первый способ решения будет стандартным для такого типа:

– подмодульное выражение – в нашем примере это , то есть:

Получили два элементарных уравнения такого же типа, то есть:

Эти четыре числа и будут ответом, можешь проверить их подстановкой в исходное уравнение.

II. Есть ещё один, более универсальный способ, который подойдёт для любых задач, не попадающих ни в какой из стандартных типов.

Что это за метод?

Метод интервалов.

В этом случае нужно раскрывать модули начиная с самых «глубоких», то есть «внутренних». В нашем случае внутренним будет модуль, выделенный красным цветом:

Чтобы раскрыть его, надо рассмотреть 2 случая: и , то есть уравнение распадается на два уравнения:

Уравнения с модулем делятся на три вида, каждый вид имеет свой подход к решению:

1. Уравнения вида

2. Уравнения вида .

3. Уравнения вида .

Теперь тебе слово.

Как тебе. про уравнения с модулем? Легкотня! )

Напиши внизу в комментариях помогла тебе наша статья или нет.

Расскажи о своем опыте решения уравнений с модулем, если он у тебя был.

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях. Мы читаем все.

И удачи на экзаменах!

P.

S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник «YouClever» (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки «100gia».

Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Комментарии

Спасибо огромное,повторил,сдал на отлично,Алексею нобелевскую по математике)

Марк, наши поздравления с отличной сдачей. Премию Алексею передам 🙂

нобелевские по математике не присуждаются .

Наградим поощрительной грамотой )

Добрый день! В пункте №3 Уравнения вида ∣x∣=y во втором примере: −2∣x+4∣=3−x, откуда дальше в решении появляется коэффициент 4 в правой части? −2∣x+4∣=3−4x Спасибо за ответ и Ваш чудесный и полезный сайт!

Роман, привет! Спасибо за замечания и слова благодарности. Очень ценно. Алексей Шевчук проверит и поправит, если там ошибка. Еще раз спасибо!

Роман, спасибо. Это была опечатка в условии.

А как решить такой пример 7|2-4|+4*-8

помогите,пожалуйста,решить уравнение дробь в модуле :числитель 13,296 знаменатель 3.71 минус модуль 0,4х минус4,7 модуль закрывается,далее от дроби минус 2,2 умножить на 1,4.Еще раз обращаю внимание: сама дробь в модуле И равно 8 Пожалуйста помогите

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить такое уравнение |x-1|=2x+3

Спасибо большое . Сайт замечательный ,я смогла разобраться и понять материал . Создателям огромное спасибо ,их работа заслуживает высокого внимания . Перейду на родной язык: Danke schön. Ihre Arbeit ist wirklich wunderschön. Danke ein male.

Gern geschehen, Dascha! Bitte. International Mathematical Unterstützung zu Ihren Diensten ))

как по графику кусочно заданной функции записать уравнение, содержащее несколько модулей вида y=a|x|+b|x-8|+x+c? №23 ОГЭ систему составила y= -2x-4 . x 8 , а как перейти к другой записи уравнения

Очень хорошо разобрано и объяснено. И за советы спасибо)

Лера, жму руку! Спасибо за теплые слова. Удачи на всех экзаменах!

Решите уравнение ∣x∣=−3. разве может модуль равняться отрицательному числу

Джозеф, нет, не может, и в этом примере поясняется, почему.

Помогите решить |х|+|y-x|=2 Нужно расскрыть модуль и по получившимся ответам которых 4 как сказал препод

Виталий, в самом начале раздела «Метод интервалов в задачах с модулем» показано, как раскрывать сумму модулей. Принципиально это ничем не отличается от раскрытия одного модуля, просто будет больше комбинаций — 4 штуки, по 2 на каждый модуль: 1) x>=0, y>=x; 2) x =x; 3) . и так далее

1 x модуль

1 x модуль

Вы искали 1 x модуль? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 модуль x, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 x модуль».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 x модуль,1 модуль x,1 модуль x 2,1 модуль x 3,1 модуль х,2 модуль x,2 модуль х,2 х модуль,2х 3 5 модуль,3 модуль x,3 модуль х,4 x 5 модуль,4 модуль х,5 модуль,5 модуль x,5 модуль х,7 класс уравнения модулями с,f x модуль x,x 2 модуль,x 3 модуль,x 5 модуль,x модуль,x модуль 2,y модуль 1 x 1,выражения с модулем,действия с модулем,действия с модулями,задания с модулем,задачи с модулем,задачи с модулями,икс модуль,как избавиться от модуля,как модуль умножить на модуль,как раскрывается модуль,как раскрывать модули,как раскрывать модуль,как раскрывать модуль в уравнении,как раскрыть модуль в уравнении,как решается модуль,как решать квадратные уравнения с модулем,как решать модули,как решать модуль,как решать модуль в модуле,как решать модуль равен модулю,как решать модульные уравнения,как решать модульные уравнения 7 класс,как решать примеры с модулем,как решать примеры с модулями,как решать с модулем,как решать уравнение с двойным модулем,как решать уравнение с модулем,как решать уравнение с модулем 7 класс,как решать уравнение с модулями,как решать уравнения 6 класс с модулями,как решать уравнения с двойным модулем,как решать уравнения с двумя модулями,как решать уравнения с модулем,как решать уравнения с модулем 10 класс,как решать уравнения с модулем 7 класс,как решать уравнения с модулем 9 класс,как решать уравнения с модулями,как решать уравнения с модулями 10 класс,как решать уравнения с модулями 7 класс,как решаются модули,как решаются уравнения с модулем,как решаются уравнения с модулями,как решить квадратное уравнение с модулем,как решить модуль,как решить модуль в модуле,как решить модульное уравнение,как решить уравнение квадратное с модулем,как решить уравнение с двумя модулями,как решить уравнение с модулем,как решить уравнение с модулем 7 класс,как решить уравнение с модулями,как решить уравнения с модулем,как убрать модуль в уравнении,как умножить модуль на модуль,калькулятор модулей уравнений,калькулятор решение уравнений с модулем,калькулятор уравнений с модулем,калькулятор уравнений с модулями,калькулятор уравнений с модулями онлайн,калькулятор уравнения с модулем,квадратное уравнение с модулем,квадратные уравнения с модулем,квадратные уравнения с модулем как решать,линейные уравнения с модулем,минус модуль х равен минус х решить,модули как раскрывать,модули как решать,модули как решаются,модули примеры,модули решение,модули решение уравнений,модули уравнения,модуль 1 x,модуль 1 х,модуль 1 х больше 2,модуль 2 x,модуль 2 х,модуль 2 х 3,модуль 3 x,модуль 3 равен х,модуль 3 х,модуль 4 х,модуль 5 x 4,модуль 5 х,модуль x,модуль x 1,модуль x 1 3,модуль x 2,модуль x 2 3,модуль x 3,модуль x 4,модуль x 4 3,модуль x 4 x,модуль x 5,модуль x 5 x,модуль x равен,модуль x равен x,модуль в модуле,модуль в модуле как решать,модуль в модуле как решить,модуль в модуле решение,модуль в модуле уравнение,модуль в уравнении как раскрыть,модуль в уравнениях,модуль выражения,модуль икс,модуль икс равен икс,модуль как раскрыть,модуль как решается,модуль как решать,модуль как решить,модуль квадратного уравнения,модуль минус икс,модуль минус икс равен икс,модуль плюс модуль равно модуль,модуль примеры,модуль примеры решения,модуль равен 2,модуль равен x,модуль равен модулю как решать,модуль равен модулю уравнение,модуль раскрыть,модуль решение,модуль решение уравнений,модуль уравнение,модуль уравнения,модуль х,модуль х 1,модуль х 1 х 3,модуль х 1 х 3 1,модуль х 2,модуль х 2 5,модуль х 3,модуль х 3 2,модуль х 4,модуль х 4 х,модуль х 5,модуль х 5 2,модуль х 8 5,модуль х минус х,модуль х модуль у 1,модуль х модуль у 3,модуль х равен 3,модуль числа решение уравнений,модуль числа уравнения,модульное уравнение,модульное уравнение решить онлайн,модульные уравнения,модульные уравнения 10 класс,модульные уравнения 7 класс,модульные уравнения 7 класс как решать,модульные уравнения как решать,модульные уравнения решение,модуля решение,онлайн раскрытие модуля,онлайн решение модулей,онлайн решение модульных уравнений,онлайн решение уравнение с модулем,онлайн решение уравнений с модулем,онлайн решение уравнений с модулем с подробным решением,онлайн решение уравнений с модулями,онлайн решение уравнения с модулем,онлайн решить уравнение с модулем,онлайн решить уравнения с модулем,онлайн уравнения с модулем,правила модуля,правила раскрытия модуля,правило модуля,правило раскрытия модуля,примеры как решать модули,примеры модули,примеры модуль,примеры решения квадратные уравнения с модулем,примеры с модулем,примеры с модулем как решать,примеры с модулями,примеры с модулями 7 класс,примеры с модулями как решать,примеры с модулями примеры решений,простейшие уравнения с модулем,равен модуль 2,раскрытие модулей,раскрытие модуля,раскрытие модуля в уравнении,раскрытие модуля онлайн,раскрыть модуль,раскрыть модуль онлайн,решение задач с модулем,решение квадратных уравнений с модулем,решение линейных уравнений с модулем 7 класс примеры,решение модулей,решение модулей онлайн,решение модули,решение модуль в модуле,решение модульные уравнения,решение модульных уравнений,решение модульных уравнений 7 класс,решение модульных уравнений онлайн,решение модуля,решение онлайн модулей,решение примеров с модулем,решение примеров с модулями,решение с модулем,решение уравнение онлайн с модулем,решение уравнение с модулем,решение уравнение с модулем онлайн,решение уравнений модули,решение уравнений модуль,решение уравнений модуль числа,решение уравнений онлайн с модулем,решение уравнений онлайн с модулями,решение уравнений онлайн с подробным решением с модулем,решение уравнений с двойным модулем,решение уравнений с двумя модулями,решение уравнений с модулем,решение уравнений с модулем 7 класс,решение уравнений с модулем 7 класс примеры,решение уравнений с модулем калькулятор,решение уравнений с модулем онлайн,решение уравнений с модулем онлайн с подробным решением,решение уравнений с модулем с подробным решением,решение уравнений с модулем с подробным решением онлайн,решение уравнений с модулями,решение уравнений с модулями онлайн,решение уравнения онлайн с модулем,решение уравнения с модулем,решение уравнения с модулем онлайн,решение уравнения с модулем онлайн калькулятор,решения уравнений с модулем,решения уравнений с модулями,решите уравнение с модулем,решить модульное уравнение онлайн,решить онлайн уравнение с модулем,решить уравнение модуль х равен минус х,решить уравнение модуль х равен х,решить уравнение онлайн с модулем,решить уравнение с модулем,решить уравнение с модулем онлайн,решить уравнение с модулем онлайн с решением,решить уравнения онлайн с модулем,решить уравнения с модулем онлайн,рівняння з модулем,рівняння з модулями,с двумя модулями уравнение,сложные уравнения с модулем,у 2 модуль х,у 3 модуль х,у модуль х 2,уравнение модуль,уравнение модуль в модуле,уравнение модуль равен модулю,уравнение с двойным модулем как решать,уравнение с двумя модулями,уравнение с модулем,уравнение с модулем 7 класс,уравнение с модулем как решать,уравнение с модулем как решать 7 класс,уравнение с модулем квадратное,уравнение с модулем квадратное уравнение,уравнение с модулем онлайн,уравнение с модулем онлайн решение,уравнение с модулем примеры,уравнение с модулем решение,уравнение с модулем решение онлайн,уравнение с модулями,уравнение с модулями 7 класс,уравнение с модулями как решать,уравнения в модуле,уравнения модули,уравнения модуль,уравнения модуль числа,уравнения онлайн с модулем,уравнения с двойным модулем как решать,уравнения с двумя модулями,уравнения с двумя модулями как решать,уравнения с модулем,уравнения с модулем 10 класс как решать,уравнения с модулем 7 класс,уравнения с модулем 7 класс примеры решения,уравнения с модулем 8 класс примеры решения,уравнения с модулем как решать,уравнения с модулем как решать 7 класс,уравнения с модулем как решить,уравнения с модулем калькулятор,уравнения с модулем калькулятор онлайн,уравнения с модулем онлайн,уравнения с модулем онлайн калькулятор,уравнения с модулем примеры,уравнения с модулем примеры решения,уравнения с модулем простейшие,уравнения с модулем решение,уравнения с модулем решение онлайн,уравнения с модулем решить онлайн,уравнения с модулем с двойным модулем,уравнения с модулем сложные,уравнения с модулями,уравнения с модулями 10 класс,уравнения с модулями 7 класс,уравнения с модулями 7 класс в ответе 0,уравнения с модулями 7 класс объяснение,уравнения с модулями как решать,уравнения с модулями примеры решений,уравнения содержащие модуль,х 1 модуль,х 2 модуль,х 2 модуль 3,х 3 2 модуль,х 5 модуль,х модуль. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 x модуль. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 1 модуль x 2).

Решить задачу 1 x модуль вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Уравнения и неравенства с модулем



Напоминаю, что модуль или абсолютное значение числа – это его расстояние от начала координат, и технически всё выглядит так, что модуль «уничтожает» возможный знак «минус»: .  Из этого следует, что уравнение  имеет два корня: . Если  , то корень один.

Зачем нужен модуль? Он используется в умных фразах :). Например: абсолютное значение критической температуры составляет 50 градусов по Цельсию.  По сути, это высказывание представляет собой уравнение  с решениями .
И если эти значения будут превышены по модулю, то, видимо, настанет кирдык.

Если «начинка» модуля более сложная, например, , то уравнение разруливается по той же схеме, а именно, нужно решить два уравнения:

Мысленно подставьте  в модуль и убедитесь в том, что это корни.

Если «начинка» модуля неотрицательна, то модуль становится ненужным и его можно убрать: . Также модуль исчезает при возведении его в квадрат: . Разумеется, ВМЕСТО «икс» здесь тоже может быть сложное выражение.

Кроме того, уравнение может оказаться ещё более сложным и тогда от модуля избавляются прямо по ходу решения. В этом случае оно распадается опять же на две ветки по формуле: . 
ВМЕСТО «икс» может быть сложное выражение, так уравнение  раскладываем на следующие части:

1) Решим первое уравнение, при этом нас устроят только те корни (если они вообще есть), которые удовлетворяют условию  (все поняли переход?):

 – полученное уравнение не имеет действительных корней.

2) Решим второе уравнение: , возможные корни которого должны соответствовать условию :

Вычислим дискриминант:
, корень из него  и найдём корни:

Условию  удовлетворяет только второй корень – самостоятельно подставьте оба значения в исходное уравнение и убедитесь в том, что это действительно так.

Таким образом, уравнение  полностью решено, и имеет оно единственный корень .

Бывает, модуль возникает в ходе решения других уравнений. Типичный пример:

Да, здесь можно возвести в квадрат, привести подобные слагаемые и решить квадратное уравнение. Но зачем? Есть путь короче! Извлекаем квадратный корень из обеих частей (ещё одно, кстати, действие с уравнениями):
 и вспоминаем, что в этом случае необходимо поставить модуль:

после чего решение входит в знакомую колею:
1) ,
2) .
Мысленно подставьте полученные значения в исходное уравнение и убедитесь в том, что они действительно являются корнями.

На очереди неравенства. Давайте прочитаем вслух и вдумаемся в смысл неравенства  – «икс» по модулю меньше, чем . Это означает, что «икс» принимает значения из интервала :

Так, высказыванию нормальная температура по модулю меньше пятидесяти: , очевидно, соответствует температурный диапазон .
Теперь вдумываемся в неравенство : «икс» по модулю больше, чем . Это означает, что или , или :

И высказывание температура по модулю больше пятидесяти:  – это и есть тот самый «кирдык», когда она либо , либо .

Аналогичные выкладки справедливы для нестрогих неравенств: неравенство  раскрывается через двойное неравенство  , а неравенство  раскрывается через совокупность неравенств , то есть «икс» или меньше либо равен , или больше либо равен . ВМЕСТО «икс» может быть сложное выражение.

Типовой пример встречается при измерении физических величин. Представьте, что вы измеряете линейкой некий объект. Очевидно, что при выполнении этого физического опыта будет допущена абсолютная погрешность  («дельта икс»), но тут есть варианты: вы либо чуть-чуть недомеряете, либо допустите небольшой перебор. Таким образом, погрешность может оказаться как положительной, так и отрицательной. И здесь будет разумным выдвинуть следующее требование: абсолютная погрешность измерений  не должна превышать по модулю одного миллиметра. Эта фраза означает, что  или, что то же самое, погрешность должна находиться в пределах .

Справка: абсолютная погрешность — это разность между опытным (измеренным) и истинным значением величины: .

Другая распространённая задача: нормативная масса пачки чая составляет 300 гр. Упаковка проходит контроль, если масса отличается от норматива на более чем на 2 гр.

Подобную формулировку часто записывают с помощью модуля. Обозначим через  массу произвольной пачки чая. Очевидно, что разность  может оказаться как положительной, так и отрицательной, и по модулю это отклонение не должно превышать двух грамм: . Или:
, и теперь нам нужно разрешить это неравенство относительно .

К каждой части двойного неравенства можно прибавить одно и то же число:

 – допустимые границы массы пачки чая.

Пользуюсь случаем, сформулирую ещё одно правило: все три части двойного неравенства можно умножить на одно и то же число, и если это число отрицательно, то «значки» неравенств следует «развернуть» в противоположную сторону.

Так, для того чтобы решить неравенство , нужно все его части умножить на , и поскольку это число отрицательное, то «значки» неравенств следует «развернуть» в противоположном направлении:
, после чего переписать результат «справа налево»:
 – в привычном порядке, или ещё можно записать: .

Следует отметить, что правила преобразования двойных неравенств не являются какими-то самостоятельными правилами, они следует из действий с «обычным» неравенством. Но об этом позже.

А сейчас долгожданные задания для самостоятельного решения:

Задание 6

а) Решить уравнения (9 штук):
,

б) Решить неравенства (7 штук):
,
, ответы записать с помощью промежутков .

С помощью модуля:
в) дать определение правильной и неправильной дроби .
г) записать фразу и пояснить её смысл: деталь признаётся бракованной, если её длина отличается от 20 сантиметров больше, чем на полмиллиметра.

д) записать фразу и пояснить её смысл: максимально допустимая относительная погрешность прибора составляет .
Справка: относительная погрешность («дельта малая»):  – это отношение абсолютной погрешности к истинному значению величины. Если  умножить на 100, то относительная погрешность будет выражена в процентах.

Напоминаю, что эти задачи обязательны для выполнения – они являются неотъемлемой частью курса, поскольку в образцах решения я рассказываю дополнительные и очень важные вещи по теме.

2.8. Понятие системы

2.6. Метод интервалов

| Оглавление |



19.

Уравнения с модулем

Модулем (Абсолютной величиной) Числа называется неотрицательное число:

(3.9)

Геометрическая интерпретация модуля: – это расстояние от точки А до точки Х на координатной оси, в частности, – это расстояние от точки 0 до точки Х.

Свойства модуля:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (3.9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:

Уравнение, содержащее выражение с неизвестной Х под знаком модуля, называется Уравнением с модулем. Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.

I тип: уравнение вида

(3.10)

Где А – число, – некоторое выражение с неизвестной Х.

1. Если уравнение (3.10) решений не имеет.

2. Если уравнение (3. 10) равносильно уравнению

3. Если уравнение (3.10) равносильно совокупности уравнений:

II тип: Уравнение вида

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

Решать это уравнение можно несколькими способами.

1-й способ – используя определения модуля:

2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения

З а м е ч а н и е. 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.

3-й способ – метод интервалов. Необходимо:

1) найти те значения Х, для которых

2) нанести полученные значения Х на числовую ось;

3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;

4) нарисовать кривую знаков;

5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;

7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.

III тип: Уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида

(3.11)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

1-й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способ – Метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (3.11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.

IV тип: Уравнение вида

(3.12)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

1-й способ – решение уравнения (3. 12) сводится к решению совокупности уравнений:

2-й способ – метод интервалов (не рационально).

3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:

Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.

V тип: Уравнения, решаемые заменой переменной, например:

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

По свойству модуля оно записывается в виде

Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной У. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:

Если корень единственный, то остается решить уравнение

Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Это уравнение I типа. Его ОДЗ:

Уравнение записывается в виде

На ОДЗ можно сократить и получаем

откуда т. е.

Получаем корни которые подходят по ОДЗ.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Это уравнение II типа. Его ОДЗ: Оно имеет решение, если т. е. при Таким образом, для получаем:

(3.13)

Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду

откуда

Это квадратное уравнение решений не имеет, так как

Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем

т. е.

Квадратное уравнение имеет корни:

Т. е. первый корень не принадлежит множеству на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля:

(3.14)

Решаем первую систему совокупности (3.14):

Значение не подходит по условию Следовательно, корнем является

Решаем вторую систему совокупности (3. 14):

Получили ответ

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Поскольку то уравнение записывается в виде

Это уравнение относится к III типу уравнений.

Его ОДЗ: Решим методом интервалов.

Нулями выражений, стоящих под модулем, являются и Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:

Решим отдельно системы:

I.

II.

III.

Решением данного уравнения являются значения и

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:

После упрощения имеем:

т.  е.

Получаем – корень.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: т. е.

Преобразуем данное уравнение к виду

Заменяем

Уравнение приобретает вид

Решаем его как дробно-рациональное и получаем:

Последнее квадратное уравнение имеет корни:

Возвращаясь к переменной Х, получаем:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное.

Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии

Приходим к совокупности

т. е.

Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни:

Оба они подходят по ОДЗ.

Пришли к ответу:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:

Т.  е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.

Получили ответ:

< Предыдущая   Следующая >

Как раскрыть модуль числа? — Ваша онлайн-энциклопедия

Содержание

  • — Как раскрыть модуль в выражении?
  • — Как раскрыть уравнение с модулем?
  • — Как вывести из под модуля?
  • — Как открыть модуль?
  • — Когда модуль раскрывается с минусом?
  • — Что такое модуль и как его решать?
  • — Как решать уравнения с модулем с помощью интервалов?
  • — Как правильно раскрыть скобки?
  • — Чему равно отрицательное число по модулю?
  • — Как решить уравнение с несколькими модулями?
  • — Как решить уравнение с параметром?
  • — Что такое модуль?
  • — Что такое модуль суммы?

Как раскрыть модуль в выражении?

Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.

Как раскрыть уравнение с модулем?

Решение уравнений с модулем

  • Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|. …
  • Правило раскрытия модуля выглядит так:
  • |f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
  • |f(x)|= — f(x), если f(x)
  • |x-3|=-x2+4x-3. …
  • Внимание! …
  • Внимание! …
  • Внимание!

30 дек. 2011 г.

Как вывести из под модуля?

1) Снять знак модуля: Определим знак подмодульного выражения.
…

  1. Модуль всегда равен положительному числу.
  2. Если под знаком модуля положительное число, то знак модуля просто снимается.
  3. Если под знаком модуля отрицательное число, то у него меняется знак на противоположный, и оно становится положительным.

Как открыть модуль?

Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

Когда модуль раскрывается с минусом?

Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу. Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).

Что такое модуль и как его решать?

Модуль числа – это расстояние от нуля до данного числа. Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.

Как решать уравнения с модулем с помощью интервалов?

1) приравниваются к нулю выражения, стоящие под знаком модуля; 2) полученные значения откладываются на числовой прямой, которая при этом разбивается на интервалы (промежутки), в каждом из которых свой знак под модульного выражения; 3) решаются полученные уравнения в каждом из интервалов.

Как правильно раскрыть скобки?

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс или не стоит никакого знака, таково: скобки вместе с этим знаком опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. При этом если первое слагаемое в скобках записано без знака, то перед ним нужно поставить знак плюс.

Чему равно отрицательное число по модулю?

Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

Как решить уравнение с несколькими модулями?

Решение уравнения с двумя модулями

  1. Найти нули всех подмодульных выражений. При этом не стоит переживать, если какие-то корни совпадут или, наоборот, окажутся совершенно различными;
  2. Отметить все полученные числа на прямой в порядке возрастания. …
  3. Последовательно пройтись по каждому интервалу и решить исходное уравнение.

Как решить уравнение с параметром?

Решить уравнение с параметром означает:

  • Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
  • Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Что такое модуль?

Модулем положительного числа называется само число, модулем отрицательного числа называется противоположное ему число, модуль нуля — нуль. Противоположными называются числа, которые отличается только знаком. Если число положительное, то противоположное ему отрицательное число и наоборот.

Что такое модуль суммы?

Длина отрезка прямой, соединяющего две точки, не превосходит длины ломаной, соединяющей те же точки.

Интересные материалы:

Что нужно для травления плат?
Что нужно добавить в Слайм чтобы он тянулся и хрустел?
Что нужно менять на ТО?
Что нужно передать в Ивс?
Что нужно сказать перед сном чтобы приснился будущий парень с четверга на пятницу?
Что нужно стелить под ковролин?
Что нужно в больницу лежачему больному?
Что нужно в роддом в Казахстане 2020?
Что нужно знать чтобы стать стюардессой?
Что нужно знать коммерческому директору?

ModuleNotFoundError: Нет модуля с именем x

Правильно импортируйте модули и упростите себе жизнь

Фото Леоне Вентер с сайта unsplash.com В любой среде, в которой вы хотите запустить свое приложение Python, такое как Docker, vagrant или ваша виртуальная среда, то есть в bin/activate, запустите (или, например, добавьте в bin/activate , если вы используете virtualenv) следующую команду:
 export PYTHONPATH="${PYTHONPATH}:/path/to/your/project/"
  • *избегайте использования sys. path.append("/path/to/your/project/")

Импорт модулей, безусловно, может разочаровать людей, особенно тех, кто плохо знаком с Python. Поскольку я ежедневно вижу актуальные вопросы на StackOverflow, я решил написать статью здесь, на Medium, чтобы попытаться описать, как импорт работает за кулисами и какой подход вам нужно использовать, чтобы сделать свою жизнь проще.

Во-первых, давайте начнем с определения некоторых полезных терминов, которые помогут вам понять концепции, описанные в этой статье.

  • Модуль python представляет собой один файл с расширением .py .
  • Пакет python — это папка, содержащая хотя бы один модуль python. Для python2 для пакета требуется файл __init__.py
  • Пакет python может содержать любое количество вложенных подпакетов , то есть пакеты, которые содержат другие пакеты ниже по иерархии структуры проекта.
  • импорт полезен, когда модулю необходимо использовать некоторые функции (например, функцию или класс), написанные в другом модуле (того же или другого пакета или подпакета)

Например, рассмотрим Следующая структура проекта:

 └ack MyProject 
 ├acste MyPackage 
 │ ├-- -½ a.py 
 └acke orepackage 
 ├acste 
 ├ описано 
 └мобил 
 ├.0061 └── d.py

Project myproject содержит два пакета: mypackage и Anotherpackage , каждый из которых содержит несколько модулей python, а последний также содержит подпакет с именем mysubpackage , который, в свою очередь, содержит дополнительный модуль Python.

Теперь предположим, что в ваш текущий модуль вы хотите импортировать другой модуль, как показано ниже:

 import a

Python выполнит приведенный выше оператор в два этапа:0005

  • Найдите, загрузите и инициализируйте (при необходимости) запрошенный модуль
  • Определите необходимые имена в локальном пространстве имен и соответствующей области видимости

Теперь интерпретатор Python выполнит следующие шаги, пытаясь разрешить a .

Шаг 1: поиск sys.modules

Первоначально Python попытается найти имя модуля в sys.modules , который является словарем, который сопоставляет имена модулей с уже загруженными модулями. Если имя разрешено успешно (это означает, что его уже загрузил другой модуль), оно будет доступно для локального пространства имен, в противном случае перейдите к шагу 2.

Шаг 2: поиск в стандартной библиотеке Python

Стандартная библиотека Python содержит встроенные модули (написанные на C), которые обеспечивают доступ к системным функциям, таким как файловый ввод-вывод, которые в противном случае были бы недоступны для программистов Python. как модули, написанные на Python, которые предоставляют стандартизированные решения для многих проблем, возникающих в повседневном программировании. Некоторые из этих модулей специально предназначены для поощрения и улучшения переносимости программ Python за счет абстрагирования платформо-специфических API-интерфейсов, не зависящих от платформы.

Если имя не может быть найдено в sys.modules , тогда Python будет искать его в стандартной библиотеке Python. Опять же, если имя разрешено, оно будет определено в локальном пространстве имен, в противном случае необходимо выполнить шаг 3.

Шаг 3: поиск sys.path

Теперь, если имя модуля не было найдено ни в sys.modules , ни в стандартной библиотеке, Python, наконец, попытается разрешить его по sys.path . И это тот момент, когда что-то может пойти не так. Я полагаю, что большинство программ Python хорошо знакомы с ModuleNotFoundError 

 import aModuleNotFoundError: Нет модуля с именем 'a'

или ImportError :

 from . import aImportError: невозможно импортировать имя 'a'

В absolute imports мы указываем явный путь, начиная с корневого каталога проекта. В нашем примере

 └── мой проект 
 ├── мой пакет 
 │ ├── a.py 
 └── другой пакет 
 ├── b.py 
 ├── c.py 
 └── mysubpackage 
 └── d.py

это означает, что если мы хотим импортировать модуль a в модуль b укажите

 import mypackage.a

Другими допустимыми примерами являются следующие imports:

 # в модуле a.py 
 import Anotherpackage.mysubpackage.d# в модуле b 
 import Anotherpackage.c

Теперь, с другой стороны, в относительный импорт указываем путь к модулю относительно расположения текущего модуля. Вот несколько примеров в нашем примере:

 # в модуле a.py 
 из ..anotherpackage import b 
 из ..anotherpackage.b import Another_function# в модуле b 
 из . import c 
 from .c import my_function

Лично я бы не рекомендовал использовать относительный импорт, поскольку он не так удобочитаем, как абсолютный импорт, и PEP-8 также предлагает то же самое. В некоторых редких случаях вам, возможно, придется использовать относительный импорт, чтобы избежать излишне длинных путей. Например, 

 из package_a.sub_b.sub_c.sub_d.module_d import my_function

Теперь мы в курсе того, как выполняется базовый оператор импорта и в чем разница между абсолютным и относительным импортом, теперь мы можем перейти к обсуждению того, что делать, если ваше приложение Python дает сбой с ошибкой ModuleNotFoundError или Ошибка импорта .

В большинстве случаев любая из ошибок возникает из-за того, что Python не может разрешить имя модуля в sys.path . Вспомните, когда вы звоните импортировать , если имя модуля не было найдено ни в sys.modules , ни в стандартной библиотеке, Python попытается разрешить его в sys.path . Аналогично, когда вы используете синтаксис из (например, из mypackage import a ), Python сначала попытается найти и загрузить модуль. Если это не удается, Python выдает ModuleNotFoundError в первом случае или ImportError во втором случае.

Если это так и вспоминая наш пример ниже,

2020 └acke MyProject 
 ├ackage 
 │ ├-- -½ a.py 
 └acke drotepackage 
 ├acst
  • сначала убедитесь, что вы используете абсолютный импорт почти уверен, что будет такая опция, где вы сможете определить PYTHONPATH для вашего приложения Python (по крайней мере, PyCharm).

    Если вы запускаете приложение Python в любой другой среде, такой как Docker, Vagrant или внутри вашей виртуальной среды, вы можете запустить следующую команду в своем bash:

     export PYTHONPATH="${PYTHONPATH}:/path/to/your /project/"# * Для Windows 
     установите PYTHONPATH=%PYTHONPATH%;C:\path\to\your\project\

    , и теперь, поскольку корневой каталог вашего проекта добавлен к PYTHONPATH , ваш абсолютный импорт должен работать как очарование.

    sys.path.append(/path/to/your/project/ тоже может помочь, но это определенно не очень хорошая практика.

    Если вы новичок в Python, импорт модулей может стать кошмаром особенно если вам нужно иметь дело со сложной структурой проекта.Если вы следуете правилу двух шагов — т. е. используете абсолютный импорт и добавляете корневой каталог вашего проекта к PYTHONPATH — тогда вам не стоит беспокоиться об импорте модулей в будущем.

    Если вы новичок в Python, я настоятельно рекомендую получить копию Изучение Python Книга на Amazon.

    Станьте участником и читайте все истории на Medium. Ваш членский взнос напрямую поддерживает меня и других писателей, которых вы читаете. Вы также получите полный доступ ко всем историям на Medium.

    Присоединяйтесь к Medium по моей реферальной ссылке — Giorgos Myrianthous

    Как член Medium часть вашего членского взноса идет авторам, которых вы читаете, и вы получаете полный доступ ко всем историям…

    gmyrianthous. medium.com

    нет модуля с именем Python Ошибка [исправлено]

    Когда вы пытаетесь импортировать модуль в файл Python, Python пытается разрешить этот модуль несколькими способами. Иногда после этого Python выдает ModuleNotFoundError . Что означает эта ошибка в Python?

    Как следует из названия, эта ошибка возникает, когда вы пытаетесь получить доступ или использовать модуль, который не может быть найден. В случае заголовка «модуль с именем Python » не может быть найден.

    Питон здесь может быть любой модуль. Вот ошибка, когда я пытаюсь импортировать модуль numpys , который не может быть найден:

     импортировать numpys как np

    Вот как выглядит ошибка:

    Вот несколько причин, по которым модуль может не быть найден:

    • на вашем компьютере не установлен модуль, который вы пытались импортировать
    • вы неправильно написали модуль (что по-прежнему связано с предыдущим пунктом, что модуль с ошибкой не установлен). .. например, написание numpy как numpys во время импорта
    • вы используете неправильный регистр для модуля (который по-прежнему ссылается на первую точку)… например, написание numpy как NumPy во время импорта приведет к ошибке модуля, не найденной, поскольку оба модуля «не одинаковы »
    • вы импортируете модуль по неверному пути

    Как исправить ошибку ModuleNotFoundError в Python

    Как я упоминал в предыдущем разделе, модуль может не быть найден по нескольким причинам. Вот несколько решений.

    1. Убедитесь, что импортированные модули установлены

    Возьмем, к примеру, numpy . Вы используете этот модуль в своем коде в файле с именем «test.py», например:

    .
     импортировать numpy как np
массив = np.массив ([1, 2, 3])
печать (обр.)

    Если вы попытаетесь запустить этот код с python test.py и получите эту ошибку:

     ModuleNotFoundError: нет модуля с именем "numpy"

    Тогда скорее всего на вашем устройстве не установлен модуль numpy . Вы можете установить модуль следующим образом:

     python -m pip установить numpy

    После установки предыдущий код будет работать правильно, и вы получите результат, напечатанный в вашем терминале:

     [1, 2, 3]

    2. Убедитесь, что модули написаны правильно

    В некоторых случаях вы можете установить нужный модуль, но попытка его использования по-прежнему вызывает ошибку ModuleNotFound. В таких случаях может случиться так, что вы написали это неправильно. Возьмем, к примеру, этот код:

    .
     импортировать nompy как np
массив = np.массив ([1, 2, 3])
печать (обр.)

    Здесь вы установили numpy , но при выполнении приведенного выше кода возникает эта ошибка:

     ModuleNotFoundError: нет модуля с именем «nompy»

    Эта ошибка возникает из-за неправильного написания модуля numpy как nompy (с буквой o вместо u ). Вы можете исправить эту ошибку, правильно написав модуль.

    3. Убедитесь, что модули находятся в правильном корпусе

    Подобно проблеме с орфографическими ошибками для модулей, не найденных, это также может быть связано с тем, что вы правильно пишете модуль, но в неправильном регистре. Вот пример:

     импортировать Numpy как np
массив = np.массив ([1, 2, 3])
печать (обр.)

    Для этого кода у вас установлено numpy , но запуск приведенного выше кода вызовет эту ошибку:

     ModuleNotFoundError: нет модуля с именем «Numpy».

    Из-за различий в корпусе numpy и numpy — это разные модули. Вы можете исправить эту ошибку, написав модуль в правильном регистре.

    4. Убедитесь, что вы используете правильные пути

    В Python вы можете импортировать модули из других файлов, используя абсолютных или относительных путей. В этом примере я сосредоточусь на абсолютных путях.

    При попытке доступа к модулю по неправильному пути вы также получите модуль, которого здесь нет. Вот пример:

    Допустим, у вас есть папка проекта с именем test . В нем у вас есть две папки demoA и demoB .

    demoA имеет файл __init__.py (чтобы показать, что это пакет Python) и test1.py 9Модуль 0015.

    demoA также содержит файл __init__.py и модуль test2.py .

    Вот структура:

     └── тест
    ├── демоA
        ├── __init__.py
    │ ├── test1.py
    └── demoB
        ├── __init__.py
        ├── test2.py

    Вот содержимое test1.py :

     по умолчанию привет():
  распечатать("привет")

    Допустим, вы хотите использовать объявленную функцию hello в test2.py . Следующий код вызовет ошибку «модуль не найден»:

    .
     импортировать demoA.test как test1
test1.привет()

    Этот код вызовет следующую ошибку:

     ModuleNotFoundError: нет модуля с именем «demoA. test»

    Причина этого в том, что мы использовали неверный путь для доступа к модулю test1 . Правильный путь должен быть demoA.test1 . Когда вы это исправите, код работает:

     импортировать demoA.test1 как test1
test1.привет()
# привет

    Подведение итогов

    При разрешении импортированного модуля Python проверяет такие места, как встроенная библиотека, установленные модули и модули в текущем проекте. Если он не может разрешить этот модуль, он выдает ModuleNotFoundError .

    Иногда этот модуль не установлен, поэтому его необходимо установить. Иногда это модуль с ошибкой, или имя с неправильным регистром, или неправильный путь. В этой статье я показал четыре возможных способа исправления этой ошибки, если вы с ней столкнулись.

    Надеюсь, вы узнали из этого 🙂

    Научитесь программировать бесплатно. Учебная программа freeCodeCamp с открытым исходным кодом помогла более чем 40 000 человек получить работу в качестве разработчиков. Начать

    Все, что вам нужно знать — Real Python