Алгебра. Учебник для 6-8 классов
Алгебра. Учебник для 6-8 классов
ОглавлениеГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ.§ 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ. § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений. § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ. КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ. § 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 81. Графическое решение системы двух уравнений. § 82. Решение задач. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. § 89. Построение графика зависимости y = x^2 § 90. {2}+2 x-3} квадратиков — Как мне решить эту систему уравнений (с квадратами и квадратными корнями)?спросил Изменено 5 лет, 10 месяцев назад Просмотрено 142 раза $\begingroup$ Рассмотрим систему уравнений: 94$$ Таким образом, единственные решения имеют $s = 1$ или $s = 2$ (и по симметрии также $t=1$ или $t=2$ и $u=1$ или $u=2$). На самом деле все решения имеют две переменные $=1$ и одну $=2$. В терминах $x,y,z$ два равны $1$, а один – $4$. $\endgroup$ $\begingroup$ \begin{выравнивание*} \text{Пусть $\,$:}&&a &= \sqrt{x}\\[2pt] &&b &= \sqrt{y}\\[2pt] &&c &= \sqrt{z}\\[8pt] \text{Пусть $\,$:}&&f(t) &= (t — a)(t — b)(t — c)\\[2pt] &&&= t^3 — e_1t^2 + e_2t — e_3\\[8pt] \text{где$\,$:}&&e_1 &= a + b + c\\[2pt] &&e_2 &= ab + bc + ca\\[2pt] &&e_3 &= абв\\[8pt] \text{Для $k \in \mathbb{Z}^{+}$ пусть $\,$:}&&s_k &= a^k + b^k + c^k\\[8pt] \text{По условию $\,$:}&&s_1 &= 4\\[2pt] &&s_2 &= 6\\[2pt] &&s_4 &= 18\\[8pt] \text{Затем$\,$:}&&e_1 &= a + b + c\\[2pt] &&&= s1\\[2pt] &&&= 4\\[8pt] \text{и$\,$:}&&2e_2 &= 2(ab +bc + ca)\\[2pt] &&&= (a + b + c)^2 — (a^2 + b^2 +c^2)\\[2pt] &&&= e_1^2 — s_2\\[2pt] &&&= 4^2 — 6\\[2pt] &&&= 10\\[2pt] \подразумевает&& e2 &= 5\\[8pt] &&\text{Ne}&\text{xt, так как $a,b,c$ являются корнями $f(t)$, имеем}\\[8pt] &&a^3 &- e_1a^2 + e_2a — e_3 = 0\\[2pt] &&b^3 &- e_1b^2 + e_2b — e_3 = 0\\[2pt] &&c^3 &- e_1c^2 + e_2c — e_3 = 0\\[8pt] \text{что в сумме равно $\,$:}&& s_3 &- e_1s_2 + e_2s_1 — 3e_3 = 0\\[8pt] \подразумевает&&s_3 &= e_1s_2 — e_2s_1 + 3e_3\\[2pt] &&&=(4)(6) — (5)(4) + 3e_3\\[2pt] &&&=4 + 3e_3\\[8pt] &&\text{Bu}&\text{t, $a,b,c$ также являются корнями $tf(t)$, следовательно}\\[8pt] &&a^4 &- e_1a^3 + e_2a^2 — e_3a = 0\\[2pt] &&b^4 &- e_1b^3 + e_2b^2 — e_3b = 0\\[2pt] &&c^4 &- e_1c^3 + e_2c^2 — e_3c = 0\\[8pt] \text{что в сумме равно $\,$:}&& s_4 &- e_1s_3 + e_2s_2 — e_3s_1 = 0\\[8pt] \подразумевает&&s_4 &= e_1s_3 — e_2s_2 + e_3s_1\\[2pt] \подразумевает&&18 &= (4)(4 + 3e_3) — (5)(6) + (e_3)(4)\\[2pt] \подразумевает&&e_3 &= 2\\[8pt] \text{Тогда$\,$:}&&f(t) &= t^3 — e_1t^2 + e_2t — e_3\\[2pt] &&&= t^3 — 4t^2 + 5t — 2\\[2pt] &&&= (t-1)^2(t-2)\\[8pt] &&\text{It}&\text{ следует, что тройка}\\[8pt] &&(a,&b,c)\;\text{является произвольной перестановкой}\;(1,1,2)\\[2pt] \text{Поэтому$\,$:}&&(x,&y,z)\;\text{является произвольной перестановкой}\;(1,1,4)\\[2pt] \end{выравнивание*} $\endgroup$ Видео с вопросами: поиск набора решений квадратного уравненияНайдите набор решений уравнения (−𝑥² − 1)/(−2𝑥 − 6) = 1/5 в ℝ, задав значения с точностью до одного десятичного знака. Стенограмма видеоНайдите набор решений уравнение отрицательное 𝑥 в квадрате минус один на отрицательное два 𝑥 минус шесть равно одна пятая для всех действительных значений с точностью до одного десятичного знака. Мы начнем с упрощения нашего уравнение. Для этого будем скрещивать многократно или умножьте обе части уравнения на минус два 𝑥 минус шесть и на пять. В левой части у нас есть пять умножить на минус 𝑥 в квадрате минус один. А в правой части имеем один умножить на минус два 𝑥 минус шесть. Затем мы можем распределить круглые скобки, также известные как раскрытие скобок. Это дает нам минус пять 𝑥 квадрат минус пять равен минус два 𝑥 минус шесть. Затем мы добавим пять 𝑥 в квадрате и пять к обеим частям этого уравнения. Это оставляет нам уравнение ноль равен пяти 𝑥 в квадрате минус два 𝑥 минус один. Поскольку наше уравнение имеет вид 𝑎𝑥 квадрат плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐 равен нулю, мы можем решить его с помощью квадратного уравнения формула. Это утверждает, что 𝑥 равно минус 𝑏 плюс или минус квадратный корень из 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 все делится на два 𝑎. Положительные и отрицательные признаки дайте нам два решения. Наши значения 𝑎, 𝑏 и 𝑐 равны пять, минус два и минус один соответственно. Это означает, что 𝑥 равно отрицательный отрицательный два плюс или минус квадратный корень из отрицательного два в квадрате минус четыре умножить на пять умножить на минус один все разделить на два умножить на пять. Это упрощается до одного плюса или минус квадратный корень из шести, все разделить на пять. У нас есть два возможных решения: 𝑥 равно единице плюс корень шесть из пяти, а 𝑥 равно единице минус корень шесть из пять. |