Как решить задачу уравнением: Решение задач с помощью уравнений

Решение задач с помощью уравнений

В решении задач с помощью уравнений, необходимо соблюдать следующее: во-первых, записать условие задачи алгебраическим языком, т.е. таким образом, чтобы получить уравнение; во-вторых, упростить это уравнение до такого вида, в котором неизвестная величина будет стоять с одной стороны, а все известные величины — на противоположной стороне. Способы этого уже были рассмотрены ранее.

Один из основных принципов алгебраических решений, это то, что величина должна присутствовать в уравнении. Это позволит нам записать условия так, как если бы задача уже была решена. После этого, останется лишь решить уравнение и найти общее значение всех известных величин. Так как эти величины равны неизвестной величине на другой стороне уравнения, то величина всех известных значений будет означать, что задача решена.

Задача 1. Человек на вопрос, сколько он заплатил за часы, ответил: «Если умножить цену на 4, и к результату прибавить 70, а из этой суммы вычесть 50, то остаток будет равен 220 долларов».

Сколько он заплатил за часы?

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала записать условие задачи как алгебраическое выражение, то есть как уравнение.

Пусть цена часов равна   $x$
Эта цена была умножена на 4, то есть получаем   $4x$
К произведению прибавили 70, то есть   $4x + 70$
Из этого вычли 50, то есть   $4x + 70 — 50$

Таким образом, мы записали условие задачи с помощью чисел в алгебраической форме, но у нас еще нет уравнения. Однако, согласно последнему условию задачи, все предыдущие действия в итоге привели к результату, который равен $220$.

Поэтому, это уравнение выглядит так:   $4x + 70 — 50 = 220$
После проведения операций с уравнением, получаем, что     $x = 50$.

То есть, значение $x$ равно 50 долларов, что и есть искомой ценой часов.

Чтобы проверить, что мы получили верное значение искомой величины, мы должны подставить это значение вместо $х$ в уравнение, которое мы записали по условию задачи.

Если в результате этой подстановки значения сторон будут равны, мы провели вычисление правильно.
Уравнение задачи имело вид      $4x + 70 — 50 = 220$
Подставляя 50 вместо $x$, получаем    $4 \cdot 50 + 70 — 50 = 220$
Отсюда,        $220 = 220$.

Задача 2. Если к числу прибавить его половину, а из этого результата вычесть $20$, то получим четверть первоначального числа. Что это за число?

В задачах такого типа, где рассматриваются дроби, надо помнить, что $\left(\frac{1}{3}\right)x$ то же самое, что и $\frac{x}{3}$; отсюда $\left(\frac{2}{5}\right)x = \frac{2x}{5}$.

Обозначим через x искомое число.
Тогда согласно условию   $x + \frac{x}{2} — 20 = \frac{x}{4}$
После выполнения операций на уравнением, получим    $x = 16$.

         Проверка:    $16 + \frac{16}{2} — 20 = \frac{16}{4}$.

Задача 3. Отец разделил наследство между своими тремя сыновьями так, что:
Первый сын получил на $\$1000$ меньше, чем половина всего наследства;
Второй сын получил на $\$800$ меньше, чем треть всего наследства;
Третий сын получил на $\$600$ меньше, чем четверть всего наследства;
Какая сумма была всего наследства?
Если обозначить все наследство как x, тогда три сына получили $\frac{x}{2} — 1000, \frac{x}{3} — 800$ и $\frac{x}{4} — 600$.

Так как эти части все вместе представляют все наследство, то их сумма равна $x$.
Тогда мы имеем равенство $\frac{x}{2} — 1000 + \frac{x}{3} — 800 + \frac{x}{4} — 600 = x$.
После выполения операций с членами уравнения, получим, что         $x = 28800$
Проверка: $\frac{28800}{2} — 1000 + \frac{28800}{3} — 800 + \frac{28800}{4} — 600 = 28800$.

Чтобы избежать лишнего представления неизвестных величин в уравнении, иногда хорошо заметить, что когда дана сумма или разница двух значений, обе эти величины могут быть выражена одной и той же буквой. Так, если одна из двух величин вычитается из суммы этих величин, очевидно, что остаток буде равен другому вычитаемому. А если разница этих двух величин вычитается из большего, то остаток будет равен меньшему.

Так, если сумма двух чисел равна 20
И если один из них будет представлен через $x$
То другой будет равен $20 — x$.

Задача 4. Разделите 48 на две такие части, что если меньшая разделена на 4, а большая часть на 6, то суммая частных будет равна 9.

Здесь, если $x$ выразить как меньшую часть, то большая часть будет $48 — x$.

Согласно условию задачи, $\frac{x}{4} + \frac{48 — x}{6} = 9$.

Поэтому,     $x = 12$, то есть меншая часть.
И      $48 — x = 36 -$ большая часть.

Буквы могут быть использованы для выражения как известных величин в уравнении, так и неизвестных. Определенные значения присваиваются числам, а в конце они слова записываются как числа.

Задача 5. Если к определенному числу прибавить 720 и сумму разделить на 125, то результат будет равен 7392, разделенному на 462. Что это за число?

Обозначим через $x$ искомое число.
a = 720   d = 7392
b = 125   h = 462
Тогда, согласно условию задачи      $\frac{x + a}{b} = \frac{d}{h}$
Поэтому          $x = \frac{bd — ah}{h}$
Возвращая числа в уравнение, получим $х = \frac{(125.7392) — (720.462)}{462} = 1280$.

Когда решение уравнения дает отрицательный ответ, это показывает, что значение неизвестной величины противоположно значениям, которые по условию вопроса » рассматриваются как положительные.

Задача 6. Торговец получает или теряет при проведении сделки определенную сумму. Во второй сделке он получает 350 долларов, а в третьей теряет $60$. В конце концов, он обнаруживает, что получил 200 долларов за результатами трех сделок. Сколько он получил или потерял в первой сделке?

В этом примере, так как прибыль и убыток противоположны по природе, то они должны иметь противоположные знаки. Если прибыль обозначается с «+», то убыток должен обозначаться с «-«.
Пусть x = искомой сумме.
Тогда, согласно условию      $x + 350 — 60 = 200$
и x = -90.

Отрицательный знак перед ответом показывает, что первая сделка прошла с убытком.

Задача 7. Корабль плывет 4 градуса на север, потом 13 на юг. После этого 17 на север, потом 19 на юг и в конце оказывается на 11 градусе южной широты. С какой широты начал плыть корабль?
Пусть $x$ — искомая широта.

Тогда, обозначаем с «+» северное направление, а южное с «-«.
Согласно условию,      x + 4 — 13 + 17 — 19 = -11
и x = 0.

Ответ означает, что корабль начал свой путь с экватора, который не имеет широты.

Задача 8. Если определенное число разделить на 12, частное, делимое и делитель, сложенные вместе, дадут 64. Что это за число?

Пусть x — искомое число.
Тогда          $\frac{x}{12} + x + 12 = 64$.
Отсюда          $x — \frac{624}{13} = 48$.

Задача 9. Недвижимость была разделена между четырьмя детьми так, что,
Первый получил на 200 долларов больше чем $\frac{1}{4}$ всей недвижимости,
Второй получил на 340 долларов больше чем $\frac{16}{5}$ всей недвижимости,
Третий получил на 300 долларов больше чем $\frac{1}{6}$ всей недвижимости,
Четвертый получил на 400 долларов больше чем $\frac{1}{8}$ всей недвижимости.

Какова стоимость недвижимости?
Ответ: 4800 долларов.

Задача 10. Есть два числа, разница которых равна 40 и которые относятся друг к другу как 6 к 5. Что это за числа?
Ответ: 240 и 200.

Задача 11. Если число умножить в три раза, то оно будет относится к 12, как 2 к 9? Что это за число?
Ответ: 8.

Задача 12. Катер и лодка одновременно отправляются в путь по реке. Катер проходит пристань на реке, когда лодка находится ниже пристани на 13 миль. Катер проходит пять миль, а лодка проходит три мили. На каком расстоянии ниже пристани они встретятся?      Ответ: $32,5$ мили.

Задача 13. Найдите число, если шестая его часть больше его восьмой части на 20?
Ответ: 480.

Задача 14. Разделите приз в 2000 долларов на две такие части, при которых одна из частей относится к другой как 9 к 7.
Ответ: 1125 и 875.

Задача 15. Найдите сумму денег, для которой третья, четвертая и пятая части, сложенные вместе, дадут 94 доллара?

Ответ: 120 долларов.

Задача 16. Человек провел одну треть жизни в Англии, одну четвертую в Шотландии, а остаток жизни, который равнялся 20-и годам — в США. До какого возраста он дожил?      Ответ: $48$ лет.

Задача 17. Найдите число, для которого $frac{1}{4}$ этого числа больше $\frac{1}{5}$ его на 96?

Задача 18. Палка находится вертикально в воде. $\frac{3}{7}$ длины палки находится в воде, а 13 футов — над водой. Какая длина палки?
Ответ: 35 футов.

Задача 19. Если к числу прибавить 10, то $\frac{3}{5}$ этой суммы будет равняться 66. Что это за число?

Задача 20. Из всех деревьев в саду $\frac{3}{4}$ — яблони, $\frac{1}{10}$ — персики, а оставшиеся деревья — груши, которых на $20$ больше чем $\frac{1}{8}$ всех деревьев. Сколько всего деревьев в саду?

Ответ: 800.

Задача 21. Джентльмен купил несколько галлонов вина за $94$ долларов и после использования 7 галлонов он продал $\frac{1}{4}$ от оставшихся галлонов за 20 долларов. Сколько галлонов у него было вначале?
Ответ: 47.

Задача 22. Если сложить $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{7}$ числа, то сумма будет равна $73$. Что это за число?
Ответ: 84.

Задача 23. После того, как человек истратил на 100 долларов больше чем $\frac{1}{3}$ его дохода, у него осталось на 35 долларов больше чем $\frac{1}{2}$ его дохода. Чему равнялся его доход?

Задача 24. В составе пороха было:
селитры на 10 фунтов больше чем $\frac{2}{3}$ всего веса пороха,
серы на 4,5 фунта меньше чем $\frac{1}{5}$ всего веса пороха,
древесного угля на 2 фунта меньше чем $\frac{1}{7}$ селитры.
Какой вес пороха? Ответ: 69 фунтов.

Задача 25. Бочка емкостью 146 галлонов была наполнена смесью бренди, вина и воды. Причем, вина было на 15 галлонов больше, чем бренди, а воды столько же, сколько бренди и вина вместе. Чему равнялось количество каждой жидкости?

Задача 26. Четыре человека купили ферму за 4755 долларов, из которых B заплатил в три раза больше, чем А; С заплатил столько же, сколько и B, а D заплатил столько же, сколько C и B. Сколько заплатил каждый из них?
Ответ: 317, 951, 1268, 2219.

Задача 27. Отец разделил небольшую сумму денег между своими четырьмя сыновьями.
Третий сын получил на 9 шиллингов больше, чем четвертый;
Второй сын получил на 12 шиллингов больше, чем третий;
Первый получил на 18 шиллингов больше, чем второй;
А вся сумма денег была на 6 шиллингов больше чем умноженная в 7 раз сумма, которую получил самый младший.
Чему была равна вся сумма?
Ответ: 153.

Задача 28. У фермера было два стада овец, каждое из которых состояло из одной и того же числа животных. Продав из одного стада 39 овец, а с другого стада — $93$ овцы, он посчитал овец и обнаружил, что в одном стаде осталось в два раза больше овец чем в другом. Сколько первоначально овец было в каждом стаде?

Задача 29. Экспресс, двигаясь со скоростью 60 миль в день, был отправлен на 5 дней в путь ранее второго, который двигался со скоростью 75 миль в день. Когда второй экспресс догнал второго?      Ответ: $20$ дней.

Задача 30. Возраст А вдвое больше, чем В, возраст B втрое больше чем С, а сумма всех их возрастов равна $140$. Какой возраст каждого из них?

Задача 31. Было куплено два куска ткани одинаковой цены, но разной длины. Стоимость одного куска — 5 долларов, а другого — 6,5. Если удлинить каждый кусок на $10$ м, то эти длины будет относится друг к другу как 5 к 6. Найдите длину каждого куска.

Задача 32. Если к числу прибавить 36 и 52, то первая сумма будет относиться ко второй, как 3 к 4. Что это за число?

Задача 33. Джентльмен купил фаэтон, лошадь и упряжь на 360 долларов. Стоимость лошади вдвое больше чем упряжи, а фаэтон стоил вдвое больше, чем упряжь и лошадь вместе. Какова была цена каждой покупки?

Задача 34. Из бочки вина, из которой просочилось $\frac{1}{3}$ часть вина, 21 галлон вина впоследствии было использовано. После этого бочка оказалась наполовину полной. Сколько первоначально было вина в бочке?

Задача 35. У Человек имеет 6 сыновей, каждый из которых на 4 года старше следующего младшего брата, а самый старший в три раза старше, чем самый младший. Каков возраст каждого из них?

Задача 36. Разделите число 49 на две части с условием, что если большую часть увеличить на 6, а от меньшей отнять 11, то они относились бы друг к другу как 9 к 2.

Задача 37. Два числа относятся друг к другу как 2 к 3. Если к каждому из них прибавить 4, то полученные суммы относились бы друг к другу как 5 к 7. Найдите эти два числа.

Задача 38. Человек купил две бочки портера, одна из которых была в 3 раза больше, чем другая. Из каждой бочки он отлил по 4 галлона, а затем он обнаружил, что в большей бочке осталось в $4$ раза больше галлонов чем в меньшей бочке. Сколько галлонов было в каждой из бочек?

Задача 39. Разделите число 68 на две такие части, чтобы разница между большей частью и 84 должна быть равна утроенной разнице между меньшей частью и 40.

Задача 40. разделите число 36 на 3 такие части, что $\frac{1}{2}$ первой части, $\frac{1}{3}$ второй и $\frac{1}{4}$ третьей равны между собой.

Задача 41. Генерал после проигранной битвы обнаружил, что у него осталось только половина армии +3600 человек, годных для действий; $\frac{1}{8}$ армии +600 человек было ранено; а остальная часть солдат, которая равнялась $\frac{1}{5}$ от всей армии, были либо убита, либо взята в плен или пропала без вести. Какова была численность армии?
Ответ: 24000.

Для решения многих алгебраических задач, требуется уметь обращаться со степенями и арифметическими корнями. Поэтому необходимо изучить соответствующий раздел до окончания изучения уравнений.

Уравнения. Решение задач с помощью уравнений | Математика | 5 класс

На этом уроке мы познакомимся с уравнениями, научимся их решать, применяя простейшие методы и приемы. Также мы узнаем, как решать задачи с помощью уравнений.

Введение

Для начала дадим краткое определение уравнению. Разберем, в каких областях математики оно встречается. Слово «уравнение» производное от слов «уравнивать», «равняться». Также оно является однокоренным со словом «равенство», которое нам уже встречались неоднократно. Приведем примеры равенств:

Важно вспомнить, что равенства бывают верные и неверные. Рассмотрим пример неверного равенства: . Отметим, что в левой и правой частях равенств, приведенных в примерах, написаны только числовые выражения. Мы знаем, что есть еще и буквенные выражения. Например, .

Возникает вопрос, откуда может взяться такое выражение и зачем приравнивать такое выражение к какому-нибудь числу (). В таком равенстве мы уже не можем проверить, верное оно или нет. Давайте разберем на примере, откуда такое равенство может взяться, зачем нам оно нужно и что за  в нем стоит.

Решение задач

Дано: нам нужно взвесить арбуз. Мы знаем, что если на одну чашу весов положить арбуз и гирю массой  килограмма, а на другую гирю массой  килограммов, то весы уравновесятся. Найдите массу арбуза.

Путем нехитрых вычислений мы определяем, что масса арбуза  кг. Может возникнуть вопрос, почему мы взвешивали арбуз именно так, ведь можно было просто уравновесить весы, поставив на другую чашу гирю массой  кг. Ответ простой, ведь может быть и так, что в нашем распоряжении есть только гири по  и  кг.

Давайте попробуем решить данную задачу через составление уравнения.

Решение: пусть  – вес арбуза, тогда на чаше весов с арбузом будет вес . По условию мы знаем, что на противоположной чаше находится  кг и весы уравновешены. Можем составить уравнение.

Ответ:  кг.

Теперь становится понятно, в каком случае мы можем вводить в равенства переменные.

Уравнением называется равенство двух выражений, в которых есть буквенная переменная.

Выходит, что уравнения нужны для того, чтобы находить значение буквенной переменной, которая обращает уравнение в верное равенство. Это приводит нас к определению того, что же означает решить уравнение.

Решить уравнение – значит найти все значения буквенной переменной, при подстановке которых уравнение обращается в верное равенство (или доказать, что таких значений нет).

Важно отметить, что уравнение может иметь больше одного решения, но с такими уравнениями мы познакомимся позже. В некоторых уравнениях вам может встретиться несколько переменных, но решить такое уравнение вам пока будет сложно, так как найти все возможные корни достаточно затруднительно. Пример такого уравнения: .

Можно сказать, что уравнение чаще всего составляют при решении каких-то практических задач. Таким образом, составив уравнение, мы можем решить его и найти неизвестную величину.

Решение уравнений путем переноса слагаемых

Иногда уравнение можно решить подбором, но легче всего пользоваться несколькими правилами, которые упростят для вас вычисления. Разберемся с ними на примере.

Дано: через  лет Коле исполнится . Сколько лет Коле в данный момент?

Решение: пусть  – возраст Коли (на данный момент в годах), тогда через  лет ему будет . Из условия задачи известно, что ему через  лет будет  год. Составим и решим уравнение: .

Стоит отметить, что уравнение не меняется, если применить любое действия к обеим его частям. В данном случае отнимем с каждой стороны по : .

Ответ: Коле сейчас  лет.

Действие, которое мы применили для решения уравнения, называется переносом слагаемого из одной части уравнения в другую. Важно помнить, что при переносе выражения знак перед ним меняется на противоположный.

Рассмотрим еще один пример: . В этом уравнении нам нужно перенести тройку. Чтобы избавиться от нее в левой части уравнения, нужно прибавить три, соответственно, и к правой части прибавляем тройку:

Решим еще одну задачу.

Дано: Ксения задумала натуральное число, к этому числу она прибавила , после чего из суммы вычла задуманное число. Далее к полученному числу она прибавила  и в итоге получила . Какое число задумала Ксения?

Решение: пусть  – число, которое задумала Ксения, тогда мы можем составить уравнение с учетом преобразований задуманного числа.

Потренируем перенос, начнем с восьмерки:

В итоге мы пришли к верному числовому равенству, значит, оно верное для любого икса. Можно сделать вывод, что, какое бы число ни задумала Ксения, у нее все равно выйдет одиннадцать.

Ответ: Ксения могла задумать любое число.

Рассмотрим подобную задачу и решим ее составив уравнение.

Дано: Дмитрий задумал натуральное число, прибавил к нему , вычел из него , вычел задуманное число и получил . Какое число задумал Дмитрий?

Решение: пусть  – задуманное Дмитрием число, тогда можем составить уравнение.

В итоге мы получили неверное равенство, и это приводит нас к заключению, что решений это уравнение не имеет.

Значит, в условии задачи ошибка и  получить в результате указанных действий Дмитрий не мог.

Заключение

На этом уроке мы познакомились с понятием уравнения. Выяснили, что значит решить уравнение, познакомились с методами решения уравнений. Также мы выяснили, для чего нужны уравнения и как решать с их помощью задачи.

 

Список рекомендованной литературы

1. Математика 5 класс. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И., 31-е изд., стер. — М: Мнемозина, 2013. — 280 с.
2. Математика 5 класс. Ерина Т. М. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н. Я., М.: Экзамен, 2013. — 128 с.
3. Математика 5 класс. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., М.: Вентана — Граф, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «mat-zadachi.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «uroki.tv» (Источник)

 

Домашнее задание

1) Решите уравнения.

2) На правой чашке уравновешенных весов лежат дыня и гиря массой  кг, а на левой чашке – гиря массой  кг. Какова масса дыни?

3) Составьте и решите уравнение:

1. Сумма удвоенного числа  и числа  равна .
2. Разность чисел  и  в  раза меньше числа .
3. Частное суммы чисел  и  и числа  равно .
4. Сумма чисел  и  в  раза больше числа .
5. Частное разности чисел  и  и числа  равно .
6. Утроенная разность чисел  и  равна .

Написание систем линейных уравнений из текстовых задач

Горячая математика

Некоторый текстовые задачи требуют использования системы линейных уравнений . Вот подсказки, которые помогут вам понять, когда задача со словами требует от вас написать систему линейных уравнений:

(i) Здесь задействованы два разных количества: например, количество взрослых и количество детей, количество больших ящиков и количество маленьких ящиков и т. д.

(ii) С каждым количеством связана ценность: например, цена билета для взрослых или билетов для детей, или количество предметов в большой коробке, а не в маленькой.

Такие задачи часто требуют написания двух разных линейных уравнений с двумя переменными. Как правило, одно уравнение связывает количество предметов (людей или ящиков), а другое уравнение связывает значения (цена билетов или количество предметов в ящиках).

Вот несколько шагов, которые нужно выполнить:

1. Понять проблему.

Поймите все слова, используемые в постановке проблемы.

Поймите, что вас просят найти.

Ознакомьтесь с проблемной ситуацией.

2. Переведите задачу в уравнение.

Назначьте переменную (или переменные) для представления неизвестного.

Четко укажите, что представляет переменная.

3. Выполните план и решите проблему.

Использовать замена , устранение или графическое изображение метод решения проблемы.

Пример:

Стоимость входного билета на концерт популярной музыки составила $ 162 для 12 дети и 3 Взрослые. Допуск был $ 122 для 8 дети и 3 взрослые на другом музыкальном концерте. Сколько стоил вход на каждого ребенка и взрослого?

1 . Поймите проблему:

Стоимость приема на 12 дети и 3 взрослые были $ 162 .

Стоимость приема на 8 дети и 3 взрослые были $ 122 .

2 . Переведите задачу в уравнение.

Позволять Икс представляет собой стоимость входного билета для каждого ребенка.

Позволять у представляет собой стоимость входного билета для каждого взрослого.

Стоимость приема на 12 дети плюс 3 взрослые равны $ 162 .

То есть, 12 Икс + 3 у «=» 162 .

Стоимость входного билета для 8 детей плюс 3 взрослых составляет 122 доллара.

То есть, 8 Икс + 3 у «=» 122 .

3 . Выполните план и решите проблему.

Вычесть второе уравнение из первого.

12 Икс + 3 у «=» 162 8 Икс + 3 у «=» 122 _ 4 Икс «=» 40 Икс «=» 10

Заменять 10 для Икс в 8 Икс + 3 у «=» 122 .

8 ( 10 ) + 3 у «=» 122 80 + 3 у «=» 122 3 у «=» 42 у «=» 14

Таким образом, стоимость входного билета на каждого ребенка составляет $ 10 и каждый взрослый $ 14 .

Работа и время — Алгебра среднего уровня

Глава 9: Радикалы

Если Фелиции нужно 4 часа, чтобы покрасить комнату, а ее дочери Кэти — 12 часов, чтобы покрасить ту же комнату, то, работая вместе, они могли бы покрасить комнату за 3 часа. Уравнение, используемое для решения задач этого типа, является одним из обратных уравнений. Получается следующим образом:

[латекс]\текст{скорость}\раз \текст{время}=\текст{выполненная работа}[/латекс]

Для этой задачи:

[латекс]\begin{array}{rrrl} \text{Скорость Фелиции: }&F_{\text{скорость}}\times 4 \text{h}&=&1\text{room} \\ \\ \text{ Скорость Кэти: }&K_{\text{rate}}\times 12 \text{h}&=&1\text{room} \\ \\ \text{Изолирование их ставок: }&F&=&\dfrac{1}{ 4}\text{h и }K = \dfrac{1}{12}\text{h} \end{массив}[/latex]

Чтобы превратить это уравнение в решаемое уравнение, найдите общее время [латекс](Т)[/латекс], необходимое Фелиции и Кэти, чтобы покрасить комнату. На этот раз это сумма ставок Фелиции и Кати, или:

[латекс]\begin{array}{rcrl} \text{Общее время: } &T \left(\dfrac{1}{4}\text{h}+\dfrac{1}{12}\text{h} \right)&=&1\text{ room} \\ \\ \text{Это также можно записать как: }&\dfrac{1}{4}\text{ h}+\dfrac{1}{12}\ text{ h}&=&\dfrac{1 \text{ room}}{T} \\ \\ \text{Решение этого дает:}&0.25+0.083&=&\dfrac{1 \text{room}} {T} \\ \\ &0,333&=&\dfrac{1 \text{room}}{T} \\ \\ &t&=&\dfrac{1}{0,333}\text{ или }\dfrac{3\ текст{ч}}{\текст{комната}} \end{массив}[/латекс]

Карл может убрать комнату за 3 часа. Если его младшая сестра Кира поможет, они смогут убрать его за 2,4 часа. Сколько времени Кире понадобится, чтобы сделать эту работу в одиночку?

Уравнение для решения:

[латекс]\begin{array}{rrrrl} \dfrac{1}{3}\text{ h}&+&\dfrac{1}{K}&=&\dfrac {1}{2.4}\text{h} \\ \\ &&\dfrac{1}{K}&=&\dfrac{1}{2.4}\text{h}-\dfrac{1}{3}\ text{h}\\ \\ &&\dfrac{1}{K}&=&0.0833\text{ или }K=12\text{h} \end{массив}[/latex]

Дугу требуется в два раза больше времени, чем Бекки, чтобы закончить проект. Вместе они могут завершить проект за 10 часов. Сколько времени потребуется каждому из них, чтобы завершить проект в одиночку?

Уравнение, которое необходимо решить:

[латекс]\begin{array}{rrl} \dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{2R}&=&\dfrac{1}{10}\ text{ h,} \\ \text{где ставка Дага (} \dfrac{1}{D}\text{)}& =& \dfrac{1}{2}\times \text{ Бекки (}\dfrac{ 1}{R}\text{) скорость.} \\ \\ \text{Суммируйте скорости: }\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{2R}&=&\dfrac{2}{ 2R} + \dfrac{1}{2R} = \dfrac{3}{2R} \\ \\ \text{Найти R: }\dfrac{3}{2R}&=&\dfrac{1}{10 }\text{ h} \\ \text{что означает }\dfrac{1}{R}&=&\dfrac{1}{10}\times\dfrac{2}{3}\text{h} \\ \text{so }\dfrac{1}{R}& =& \dfrac{2}{30} \\ \text{ или }R &= &\dfrac{30}{2} \end{array}[/ латекс]

Это означает, что время, необходимое Бекки для завершения проекта в одиночку, равно [latex]15\text{ ч}[/latex]. 2-34C+120=0 \\ \\ \text{Который будет учитывать}& (C-30)(C-4) = 0 \end{массив}[/latex]

Космо может построить большой сарай за 30 или 4 дня. Таким образом, Джоуи может построить сарай за 20 или −6 дней (отказано).

Решение: Cosmo строится 30 дней, а Joey — 20 дней.

Кларк может выполнить работу на один час меньше, чем его ученик. Вместе они выполняют работу за 1 час 12 минут. Сколько времени потребуется каждому из них, работающему в одиночку?

[латекс]\begin{array}{rl} \text{Конвертировать все в часы:} & 1\text{ h }12\text{ min}=\dfrac{72}{60} \text{ h}= \dfrac{6}{5}\text{ h}\\ \\ \text{Уравнение, которое необходимо решить} & \dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{A-1}=\dfrac{ 1}{\dfrac{6}{5}}=\dfrac{5}{6}\\ \\ \text{Поэтому уравнение} & \dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{A -1}=\dfrac{5}{6} \\ \\ \begin{array}{r} \text{Чтобы удалить дроби, } \\ \text{умножьте каждое слагаемое на ЖК-дисплей} \end{array} & (A)(A-1)(6)\\ \\ \text{Это оставляет} & 6(A)+6(A-1)=5(A)(A-1) \\ \\ \text {Умножение этого дает} & 6A-6+6A=5A^2-5A \\ \\ \text{Что упрощает до} & 5A^2-17A +6=0 \\ \\ \text{Это приведет к } & (5A-2)(A-3)=0 \end{массив}[/latex]

Ученик может выполнить работу либо за [latex]\dfrac{2}{5}[/latex] ч (отказ), либо за 3 ч. Кларк занимает 2 часа.

Раковину можно наполнить через трубу за 5 минут, но чтобы осушить полную раковину, нужно 7 минут. Если и труба, и слив открыты, сколько времени потребуется, чтобы наполнить раковину?

7 минут на слив будут вычтены.

[латекс]\begin{array}{rl} \text{Уравнение, которое необходимо решить} & \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{X} \ \ \\ \begin{array}{r} \text{Чтобы удалить дроби} \\ \text{умножьте каждый член на ЖК-дисплей}\end{array} & (5)(7)(X)\\ \ \ \text{Выходит} & (7)(X)-(5)(X)=(5)(7)\\ \\ \text{Умножение дает} & 7X-5X=35\\ \\ \text{Что упрощает до} & 2X=35\text{ или }X=\dfrac{35}{2}\text{ или }17,5 \end{array}[/latex]

17,5 мин или 17 мин 30 сек — решение

Для вопросов с 1 по 8 напишите формулу, определяющую отношение. Не решить!!

1. Отец Билла может покрасить комнату на 2 часа меньше, чем потребовалось бы Биллу, чтобы покрасить ее. Работая вместе, они могут выполнить работу за 2 часа 24 минуты. Сколько времени потребовалось бы каждому для работы в одиночку?
2. Из двух входных труб меньшей трубе требуется на четыре часа больше времени, чем большей, чтобы наполнить бассейн. Когда обе трубы открыты, бассейн наполняется за три часа сорок пять минут. Если открыта только большая труба, сколько часов потребуется, чтобы наполнить бассейн?
3. Джек может помыть и отполировать семейную машину на час меньше, чем Боб. Двое работающих вместе могут выполнить работу за 1,2 часа. Сколько времени потребовалось бы каждому, если бы они работали в одиночку?
4. Если Юсеф может выполнить часть работы в одиночку за 6 дней, а Бриджит может сделать это в одиночку за 4 дня, сколько времени потребуется им двоим, чтобы выполнить работу, работая вместе?
5. Работая в одиночку, Джон выполняет работу на 8 часов дольше, чем Карлос. Работая вместе, они могут выполнить работу за 3 часа. Сколько времени потребуется каждому, чтобы выполнить работу в одиночку?
6. Работая в одиночку, Марьям может выполнить часть работы за 3 дня, которую Нур может сделать за 4 дня, а Элана — за 5 дней. Сколько времени им потребуется, чтобы сделать это, работая вместе?
7. Радж может выполнить работу за 4 дня, а Руби — за половину времени. Сколько времени им потребуется, чтобы выполнить работу вместе?
8. Цистерну можно наполнить по одной трубе за 20 минут, по другой за 30 минут. За какое время обе трубы вместе наполнят бак?

Для вопросов 9до 20, найдите и решите уравнение, описывающее взаимосвязь.

9. Если ученик может выполнить часть работы за 24 дня, а ученик и инструктор вместе могут сделать это за 6 дней, сколько времени потребуется инструктору, чтобы выполнить эту работу в одиночку?
10. Плотник и его помощник могут выполнить работу за 3,75 дня. Если бы плотник сам мог выполнить работу один за 5 дней, то сколько времени потребовалось бы помощнику, чтобы выполнить эту работу в одиночку?
11. Если Сэм может выполнить определенную работу за 3 дня, а Фреду потребуется 6 дней, чтобы выполнить ту же работу, сколько времени потребуется им, работая вместе, чтобы выполнить эту работу?
12. Тим может закончить определенную работу за 10 часов. Его жене Джоанне требуется всего 8 часов, чтобы выполнить ту же работу. Если они будут работать вместе, сколько времени им потребуется, чтобы выполнить работу?
13. Два человека, работая вместе, могут выполнить работу за 6 часов. Если один из них работает в два раза быстрее другого, сколько времени потребуется более медленному человеку, работающему в одиночку, чтобы выполнить эту работу?
14. Если два человека, работая вместе, могут выполнить работу за 3 часа, то сколько времени потребуется более быстрому человеку, чтобы выполнить ту же работу, если один из них в 3 раза быстрее другого?
15. Резервуар для воды можно наполнить через впускную трубу за 8 часов. Выходная труба опорожняет резервуар в два раза дольше. За какое время наполнится бак, если обе трубы будут открыты?
16. Раковину можно наполнить из крана за 5 минут. Опорожнение раковины при открытом сливе занимает всего 3 минуты. Если раковина полная, а кран и слив открыты, сколько времени потребуется, чтобы опорожнить раковину?
17. Наполнение бассейна с помощью впускной трубы занимает 10 часов.

    No related posts.