Как убрать отрицательную степень: Отрицательная степень чисел и дробей

Содержание

Таблица отрицательных степеней чисел – Telegraph

Таблица отрицательных степеней чисел

Скачать файл — Таблица отрицательных степеней чисел

Возведение в степень — это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление. Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи. Ты и так все знаешь: У каждого по две бутылки колы. Правильно — 16 бутылок. Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: Математики — люди хитрые и ленивые. В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно — возведение числа в степень. Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Математики помнят, что два в пятой степени — это. И решают такие задачки в уме — быстрее, легче и без ошибок. Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь. Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно. Итак, тридцать во второй степени будет. Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет. Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат — это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат — это изображение второй степени числа. Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки — можешь продолжать считать пальцем. Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты — умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них. Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени? Не научно, зато понятно и легко запомнить…. Ну и заодно, что такое основание степени? Еще проще — это то число, которое находится внизу, в основании. Ты уже наверное, догадался: Да, но что такое натуральное число? Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: Мы так же не говорим: Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь? Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным то есть взятые со знаком минус , и число. Ноль понять легко — это когда ничего нет. А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: Всякие дроби — это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т. И они придумали рациональные числа … Интересно, правда ведь? Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число. Сколько здесь множителей всего? Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Ни в коем случае нельзя написать, что. Перегруппируем это произведение так: Но никогда нельзя этого делать в сумме: Вспомним формулы сокращенного умножения: Но это неверно, ведь. До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом. И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже. Например, положительным или отрицательным будет число? С первым все понятно: Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: И так до бесконечности: Можно сформулировать такие простые правила:. В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило. В примере 5 все тоже не так страшно, как кажется: Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Пример 6 уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше: То есть, применяем правило II: Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Это формула сокращенного умножения, а именно — разность квадратов! Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило. Но как это сделать? Но теперь получается следующее: Магическим образом слагаемые поменялись местами. Если показателем степени является целое положительное число , а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе. А теперь давайте рассмотрим новые случаи. Начнем с показателя, равного. Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием. А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Можем проделать то же самое уже с произвольным числом:. Но из многих правил есть исключения. Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень. То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень. Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: Любое число в нулевой степени равно единице: Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: Теперь рассмотрим рациональные числа. Какие числа называются рациональными? Возведем обе части уравнения в степень:. Очевидно, этот частный случай можно расширить: Ведь корень можно извлекать не из всех чисел. Например, можно ли посчитать число? То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя. А что насчет выражения? Его уже вроде бы можно посчитать: Но тут возникает проблема. Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем. Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:. Здесь вспоминаем, что забыли выучить таблицу степеней:. Ну а теперь — самое сложное. Сейчас мы разберем степень с иррациональным показателем. Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно так же, как сложно представить 4-мерное пространство. Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел. Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель — это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте. Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!: Теперь посмотри на показатель. Ничего он тебе не напоминает? Вспоминаем формулу сокращенного умножения разность квадратов:. Приводим дроби в показателях степеней к одинаковому виду: Перепечатка материалов без согласования допустима при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник. Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию. Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности. Оплати доступ к двухлетней программе подготовки к ЕГЭ всего за р! В ближайшее время мы все исправим и проинформируем Вас по email о результатах! Мы свяжемся с Вами в ближайшее время! А пока можете продолжить изучать сайт! Дополнительно Учебник Степень и ее свойства. Коротко о главном Начальный уровень Средний уровень. Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ? Пройти пробный ЕГЭ Пройти пробный ОГЭ Подготовка к ОГЭ ЕГЭ 8 класс Курс подготовки Тренировка по типам заданий Тренировка по темам Учебник Видеоуроки. Курс подготовки Тренировка по типам заданий Тренировка по темам Пробный ОГЭ Упрощенный курс подготовки Учебник Видеоуроки. Курс подготовки Тренировка по типам заданий Тренировка по темам Учебник Видеоуроки. Курс подготовки Тренировка по типам заданий Тренировка по темам Пробный ЕГЭ Упрощенный курс подготовки Учебник Видеоуроки. Зарегистрируйся и получи доступ к: Курсам подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике с 8 по 11 классы Пробным ОГЭ и ЕГЭ, сборникам задач, видеоурокам и другим полезным инструментам по подготовке. Выбери класс 8 класс 9 класс ОГЭ 10 класс 11 класс ЕГЭ. Адрес электронной почты должен содержать значок. Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ по математике с репетитором Начать подготовку. Обучение Подготовка к ОГЭ по математике Подготовка к ЕГЭ по математике Пробный ЕГЭ по математике Пробный ОГЭ по математике ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ по математике. Создание сайта — FokGroup. Политика конфиденциальности Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. Сбор и использование персональной информации Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. Какую персональную информацию мы собираем: Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. Как мы используем вашу персональную информацию: Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях. Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений. Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг. Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами. Раскрытие информации третьим лицам Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях. В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу — правопреемнику. Защита персональной информации Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности. Войди и начни учиться! Сообщить об ошибке Ошибка в задаче Ошибка в теории Прочие ошибки. Пригласи репетитора Пусть твой репетитор будет уверен в том, что ты готовишься к экзаменам! Введи e-mail репетитора и отправь приглашение. Остальное мы возьмем на себя! Уже задумываешься о ЕГЭ? Подготовься с YouClever за р! В ближайшее время на сайте появится программа подготовки к ЕГЭ, рассчитанная на 2 учебных года! У нас есть выгодное предложение! Перейти к покупке Закрыть. Введите свой номер телефона и мы Вам перезвоним! И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше. Целыми — все натуральные числа, натуральные с минусом и число 0. Рациональными считаются дробные числа. Иррациональные числа — это бесконечная десятичная дробь. Отрицательное число, возведенное в четную степень, — число положительное. Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, — число отрицательное. Положительное число в любой степени — число положительное. Ноль в любой степени равен нулю.

Степень с отрицательным показателем

Калькулятор степеней

Сколько стоит кубометр древесины

Скачать гифки свадьбы

Степень и ее свойства. Начальный уровень.

Что такое степень с отрицательным показателем отрицательная степень? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь? В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному: Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем: Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному: Для ускорения вычислений используем таблицу степеней. Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь: Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем: При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить: Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему. Ваш e-mail не будет опубликован. Можно использовать следующие HTML -теги и атрибуты: Добавить комментарий Отменить ответ Ваш e-mail не будет опубликован.

Дорогой где ты был бегал слушать

Как удалить пробник касперского с компьютера

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Как научиться трюкам с картами

Каталог деталей самосвала камаз 43255

Степень и ее свойства. Начальный уровень.

Ауди а6 сколько масла

Биохимия сколько не есть

Как избавиться от минуса в дроби

Содержание

Сложение и вычитание
Умножение и деление
Как возвести число в отрицательную степень
Как найти 10 в минус 1 степени
Как возвести в отрицательную степень дробь
Как возвести отрицательное число в отрицательную степень
Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень
Свойства отрицательной степени
Примеры решений заданий с отрицательной степенью
Колягин 9 класс. Задание № 1
Колягин 9 класс. Задание № 5

Отрицательные дроби – это дроби, числитель или знаменатель которых является отрицательным числом.

Отрицательные дроби могут быть записаны по-разному. Например, рассмотрим два частных:

каждое из них равно отрицательному числу

Каждое из данных частных можно записать в виде дроби, в которой дробная черта заменит знак деления:

-2 : 7	=	-2	и	2 : (-7)	=	2
		7				-7

Следовательно, при записи отрицательных дробей знак минус можно ставить перед дробью, перед числителем или перед знаменателем:

—	2	=	-2	=	2
	7		7		-7

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел.

—	2	+ (-	1	)
	5		4

Приведём дроби к общему знаменателю:

—	2	+ (-	1	) =	-8	+	-5
	5		4		20		20

Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:

-8	+	-5	=	-8 + (-5)	=	-13	=	—	13
20		20		20		20			20

—	2	+ (-	1	) =	-8	+	-5	=	-8 + (-5)	=	-13	=	—	13
	5		4		20		20		20		20			20

Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.

—	5	— (-	11	) =	—	5	+ (+	11	) =	—	5	+	11	=	-5 + 11	=	6
	12		12			12		12			12		12		12		12

Сложение и вычитание отрицательных дробей производится по правилам сложения обыкновенных дробей, то есть сначала идёт приведение к общему знаменателю, если это нужно, а затем производятся вычисления.

Умножение и деление

Чтобы найти произведение двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем перемножить дроби по правилу умножения дробей.

—	2	· (-	4	) =	-2	·	-4	=	-2 · (-4)	=	8
	3		5		3		5		3 · 5		15

Так как при умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным, то данный пример можно решить, сразу отбросив оба минуса:

—	2	· (-	4	) =	2	·	4	=	2 · 4	=	8
	3		5		3		5		3 · 5		15

При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.

—	2	·	4	=	—	2 · 4	=	—	8
	3		5			3 · 5			15

К отрицательным дробям можно применять любые законы умножения. Поэтому предыдущий пример можно переписать так:

4	· (-	2	) =	—	4 · 2	=	—	8
5		3			5 · 3			15

То есть при умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным.

Чтобы найти частное двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем произвести вычисления.

—	2	: (-	4	) =	-2	:	-4	=	-2 · 5	=	-10	=	10
	3		5		3		5		3 · (-4)		-12		12

Знак результата умножения или деления отрицательных дробей можно узнать по правилам знаков целых чисел.

Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно прочитать урок «Степень» и «Свойства степеней».

Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении примеров.

Как возвести число в отрицательную степень

Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:

«перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;

заменить отрицательную степень на положительную ;
возвести число в положительную степень.

Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.

a −n =

,где a ≠ 0, n ∈ z ( n принадлежит целым числам).

Примеры возведения в отрицательную степень.

6 −2 =
=
(−3) −3 =
1
(−3) 3
=
= −
0,2 −2 =
1
0,2 2
=
1
0,04

Любое число в нулевой степени — единица.

Примеры возведения в нулевую степень.

(
) 0 = 1
(−5) 0 = 1

Как найти

10 в минус 1 степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему « 10 » в минус первой степени равно « 0,1 ».

Возведем « 10 −1 » по правилам отрицательной степени. Перевернем « 10 » и запишем её в виде дроби «

» и заменим отрицательную степень « −1 » на
положительную степень « 1 ».

10 −1 =

10 1

Возведем « 10 » в « 1 » степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

10 −1 =

10 1

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

10 −1 =

10 1

= 0,1

По такому же принципу можно найти « 10 » в минус второй, третьей и т. д.

Для упрощения перевода « 10 » в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один ».

Проверим правило выше для « 10 −2 ».

Т.к. у нас степень « −2 », значит, будет всего один ноль (положительное значение степени « 2 − 1 = 1 ». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним « 1 ».

Рассмотрим « 10 −1 ».

Т.к. у нас степень « −1 », значит, нулей после запятой не будет (положительное значение степени « 1 − 1 = 0 ». Сразу после запятой ставим « 1 ».

То же самое правило работает и для « 10 −12 ». При переводе в десятичную дробь будет « 12 − 1 = 11 » нулей и « 1 » в конце.

Как возвести в отрицательную степень дробь

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:

«перевернуть» дробь;
заменить отрицательную степень на положительную ;
возвести дробь в положительную степень.

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

(

) −3 =
Перевернем дробь «

» и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
(

) −3 = (

) 3

Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень. Т.е. возведем и числитель « 3 », и знаменатель « 10 » в третью степень.

(

) −3 = (

) 3 =

3 3

10 3

1000

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

(

) −3 = (

) 3 =

3 3

10 3

1000

= 0,027

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень.

Вспомним основные правила еще раз.

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Перевернем число « −5 » и заменим отрицательную степень « −2 »
на положительную « 2 ».

(−5) −2 = (−

) 2 =

Так как степень « 2 » — четная , значит, результат возведения в степень будет положительный . Поэтому убираем знак минуса при раскрытии скобок.

Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель « 1 »,
и знаменатель « 5 ».

(−5) −2 = (−

) 2 =

1 2

5 2

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.

Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная .

Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная .

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь « (−

) » в « −3 » степень.

По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».

(−

) −3 = (−

) 3 =

Теперь определим конечный знак результата возведения в « 3 » степень.

Степень « 3 » — нечетная , значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь останется отрицательной .

Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель « 3 », и знаменатель « 2 » в третью степень.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

3 3

2 3

= −

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

3 3

2 3

= −

= − 3

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная , значит, результат возведения будет положительным .

(−

) −2 = (−

) 2 =

11 2

9 2

121

= 1

Свойства отрицательной степени

Все свойства степени, которые используются для положительной степени, точно также применяются и для отрицательной степени.

В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени и покажем примеры их использования.

Запомните!

a m · a n = a m + n
a m
a n
= a m − n
(a n ) m = a n · m
(a · b) n = a n · b n

Примеры решений заданий с отрицательной

степенью

Колягин 9 класс. Задание № 1

Представить в виде степени.

2) a 6 · b 6 = (ab) 6

Колягин 9 класс. Задание № 5

Записать в виде степени с отрицательным числом.

Краткое описание документа:

Почему этой теме посвящен отдельный видеоурок? Дело в том, что встречая дроби с отрицательными числами, многие ученики часто допускают ошибки, которые, впрочем, легко избежать, если рассмотреть данный метод.

Данный метод, который мы сейчас рассмотрим, основывается на том, чтобы привести дробь к удобному для нас виду, с которым мы уже ничего не напутаем.

Для начала давайте посмотрим на элементарные примеры:

1) Сколько будет «двенадцать делить на минус четыре». Конечно же «минус три».

2) А сколько будет «минус двенадцать разделить на четыре». Тоже «минус три»!

3) А если вот так: «минус. двенадцать делить на четыре»? И здесь также получим «минус три».

А теперь, если мы вспомним, что дробь — это деление, и черту дроби можно написать вместо знака деления, то получим следующее.

Ну а так как эти дроби равны одному и тому же числу, то значит они равны между собой.

А из этой записи мы видим, что совершенно неважно где стоит минус: перед чертой дроби, в числителе или знаменателе! Результат получается одинаковым.

Давайте применим теперь это знание к решению конкретного примера.

Минус одна четвертая плюс пять третьих минус три пятых минус семь вторых.

Первым шагом превратим эту запись в сложение четырех слагаемых. То есть из минусов сделаем плюсы, ведь мы знаем, что «минус а» то же, что и «плюс. минус а».

Значит «минус одна четвертая» — это «плюс минус одна четвертая» — ну здесь плюс можно не писать, так как перед плюсом ничего нет. Затем, «минус три пятых» — это «плюс. минус три пятых». И «минус семь вторых» — это «плюс. минус семь вторых».

Ну а теперь эти минусы перед знаками дробей можно убрать в числители. и тогда скобки уже будут не нужны. мы получим сложение четырех дробей с разными знаменателями.

Решить этот пример уже гораздо проще, можно не бояться запутаться в минусах.

Приводим дроби к общему знаменателю. Здесь он будет равен. шестьдесят.

Числитель и знаменатель первой дроби доумножаем на пятнадцать, второй — на двадцать, третьей — на двенадцать и четвертой — на тридцать.

Пишем общий знаменатель — шестьдесят. А в общий числитель записываем по-порядку те числа, которые у нас получатся здесь: минус пятнадцать, плюс сто, минус тридцать шесть, минус двести десять. Если бы мы не выполнили первый шаг и вот здесь у нас остались бы стоять минусы, то мы легко могли бы запутаться со знаками. А так, когда здесь только плюсы, мы просто записываем в числитель полученные числа с такими знаками, с какими мы их и получили. Если «пять умножить на двадцать» было «сто», то и пишем «плюс сто». А если «минус три» умножить на двенадцать — это «минус тридцать шесть», то так и пишем минус тридцать шесть.

В этом и есть секрет данного метода. И какие бы сложные ни были примеры, применяя данный метод, вы никогда не запутаетесь в знаках.

Ну а здесь нам осталось посчитать числитель. Это будет минус сто шестьдесят один. Минус можно написать перед знаком дроби. Кстати, в ответе всегда лучше именно перед знаком дроби писать минус. Так принято. Ну можно еще выделить целую часть. Это будет. минус две целых сорок одна шестидесятая.

Итак, повторим наш метод:

«В примерах со сложением/вычитанием дробей первым шагом превращаем вычитание в сложение (для этого убираем знак «минус» в скобки). Далее переносим знак «минус» перед дробями в числители и просто выполняем сложение дробей».

Важный момент — вы должны не только запомнить это правило, но четко понимать его, чтобы успешно применять при решении примеров.

В следующем уроке мы рассмотрим очень важные замечания, о которых вам всегда нужно помнить, решая примеры с дробями.

Возведение дроби в степень правило, как возвести алгебраическую дробь в степень, калькулятор примеров, свойства дробных степеней, как решать примеры со степенью

В алгебре, пожалуй, одной из самых распространённых операций является возведение дроби в степень. Это довольно простое действие, которое похоже на умножение. Обучают ему на уроках математики в восьмом классе. Вычисление ответа заключается в различных нюансах, зависящих от типа дробного выражения. Но при этом существует универсальное правило. Используя его, можно находить как положительную, так и отрицательную степень.

Понятие степени

Представления о степени сложились ещё во времена существования Древнего Египта. Впервые упоминание о её вычислении встречается в знаменитом учебнике по математике Диофанта Александрийского «Арифметика». В своих трудах он описывает понятие как некоторое количество единиц, из которых состоят любые числа, увеличивающиеся до бесконечности. Он выделяет:

квадраты, образующиеся при произведении чисел или цифр самих на себя;
кубы, получающиеся при умножении квадрата на сторону;
биквадраты, произведение квадрата на квадрат;
квадрато-кубы, возникающие при умножении квадратов на кубы;
бикубы, произведение кубов на самих себя.

Французский учёный Никола Шюке дополнил этот степенной ряд, введя отрицательный параметр. Современное же обозначение степени предложил Рене Декарт. В «Геометрии» он использовал верхний надстрочный знак для указания величины степени. Что интересно, квадрат математик продолжал обозначать как произведение чисел, то есть в виде n * n. И только потом Лейбниц настоял на универсальной записи для любого возведения в степень.

Под операцией возведения понимается бинарное действие, определяемое в результате умножения числа на себя. То есть справедлива следующая запись: di = d * d* d *… * dk, где k — число, обозначающее количество перемножаемых чисел, равное n. Например, 112 = 11 * 11 = 121. Степень, присущая числу, может быть отрицательной, рациональной, десятичной, вещественной и даже комплексной. Фактически получается, что для того, чтобы посчитать степень числа, его нужно умножить на себя столько раз, сколько указано в степенном показателе.

Но при этом существует нюанс возведения в нулевую степень. Любое число, вне зависимости от вида, в нулевой степени даст единицу. Например, (2/32)0 = 1, -1420 = 1. Выражение же ноль в нулевой степени не имеет смысла, поэтому ответ считается неопределённым.

Правило возведения дроби

В основе правила возведения дроби в степень лежит её определение с дробным показателем. Согласно ему, для решения задачи нужно отдельно возвести сначала числитель выражения, а затем знаменатель, не меняя занимаемые ими позиции. Например, дробь три шестых во второй степени будет равна: (3/6)2 = 9/36. Используя свойства сокращения дробей, числитель и знаменатель можно разделить на девять. В итоге получится равенство: (3/6)2 = 1/4.

Доказать это правило можно выполнив элементарные алгебраические действия. Для рассмотренного примера, согласно правилу арифметики, сначала необходимо выполнить деление, а после возведение в степень. Так, три разделить на шесть будет равно: 3/6 = 1/2 = 0,5. Затем полученное число следует возвести в квадрат: 0,52 = 0,5 * 0,5 = 0,25. Найденный ответ можно переписать в виде дроби 1/4, которая при сравнении полностью совпадает с ранее вычисленной.

Утверждение справедливо для любого вида дроби с произвольной степенной функцией. Например, (11 / 14)3. Используя закон, можно записать следующее: (11 / 14)3 = 113 / 143 = (11 * 11 * 11) / (14 * 14 * 14) = 1331 / 2744. Эту дробь сократить, то есть упростить, нельзя. Если нужно получить численное значение, то следует просто разделить числитель на знаменатель: 1331 : 2744 = 0,485.

Чтобы убедиться в истинности правила, можно и тут выполнить проверку. Дробь три разделить на пять в степени три можно решить, выполнив сначала деление, а после полученное число возвести в кубическую степень: (11 / 14)3 = (0,78)3 = 0,78 * 0,78 * 0,78 = 0,485. Ответ идентичен предыдущему, что и следовало доказать.

Таким образом, алгоритм возведения будет следующим:

Выполнить арифметические действия в скобках, соблюдая первоочерёдность знаков.

Упростить полученное выражение, которое необходимо возвести в степень.

Числитель умножить на себя столько раз, сколько показывает определитель.

Значение, стоящее в знаменателе, умножить на такое количество раз само на себя, которое показывает степень.

Полученную дробь упростить или выполнить деление.

Если показатель степени небольшой, то возведение можно выполнить просто умножив дробь на саму себя необходимое число раз. Например, (2/32)3 = (2/32) * (2/32) *(2/32) = 1/4096. Алгоритм обыкновенного расчёта обычно не вызывает трудности, но часто приходиться иметь дело не только с обыкновенными дробями. При этом степень может быть даже отрицательной.

Но в любом случае нужно помнить, что если верхнюю и нижнюю часть дроби умножить или разделить на одно и то же число, то количественный показатель полученного выражения не изменится. Это важно, так как при возведении приходится часто выполнять преобразования.

Нулевая и отрицательная степень

При вычислении дроби, в показателе которой стоит ноль, исходят из свойств частного степеней с одинаковым основанием.

Так, согласно алгебраическим правилам, для простых чисел a и b, при условии, что a < b, справедливо выражение: ca / cb = ca — b. Тут нужно отметить, что основание не должно быть равным нулю, иначе получится недопустимое деление на ноль. Если a = b, то равенство можно переписать в виде: ca / cb = ca — a = c0. Так как c другой стороны частное ca / сa = 1, то можно утверждать, что с0 = 1.

Для нулевой степени такой подход использовать будет некорректно. При основании, которое равно нулю, применяя предыдущее равенство, можно записать, что ноль в степени a умноженный на ноль в степени ноль, равняется нулю с показателем a. То есть выражение может быт переписано как 0 = 0. Оно будет правильным при любом натуральном показателе, при этом не будет зависеть от того, чему равно выражение 00.

Ответ на 00 может быть любым. Поэтому для избежания путаницы считают, что решение записи 00 не имеет смысла, так же как и деление на ноль. Например, (12 / 34)0 = 120 / 340 = 1 / 1 = 1 или (-3 / 4)0 = 1, а вот для (0 / 23)0 ответ будет не определён.

Чтобы знать, как возвести дробь в отрицательную степень, нужно вспомнить свойство произведения с равными основаниями: ca * cb = ca + b. Предположив, a = -b, при условии, что основание не равняется нулю, можно записать: c−a * ca = c-a+a = a0 = 1. Несложно сделать вывод о том, что положительный и отрицательный показатель взаимно обратный. Отсюда выходит, что если число нужно возвести в отрицательную степень, то его можно представить в виде дроби: c—a = 1 / ca.

Получается, что для минусового показателя ответ определяется дробью, при условии, что основание отлично от нуля и показатель — натуральное число. Фактически необходимо перевернуть дробь и возвести её по правилу, при этом знак показателя изменить на положительный. Например, (23 / 37)-2 = 1 / (11 / 37)2 = (37 / 22)2 или (1 / 5)-2 = (5 / 1)2 = 52 = 25.

Рациональный показатель

В состав рациональных чисел входят все целые и дробные значения. По сути, ими называют значения, которые можно представить в виде обыкновенной или отрицательной дроби, как цифру ноль. При этом в числителе находится целое число, а в знаменателе – натуральное. Для того чтобы определить степень, нужно выяснить, что же представляет собой число с показателем в дробной форме.

Пусть имеется число n, которое необходимо возвести в степень a / b. Необходимо будет извлечь корень из n. Чтобы выражение соответствовало таблицам степени, должна выполняться формула: n(a / b) * b = na * b / b = na.

Используя полученное выражение, логично предположить, что ca / b = a√cb, но это лишь справедливо, когда показатель степени целый. Можно сделать вывод о том, что если выражение a√cb справедливо, что степенью числа c дробным показателем b / a является корень из c в степени b.

Если принять, что основание больше либо равно нулю, когда b является положительным числом, то буде справедливым равенство: сa / b = a√cb. При этом можно утверждать, что если основание будет равным нулю, то ответом будет тоже ноль: 0a / b = a√0b = 0.

Тут нужно оговориться, что для некоторых одночленов приведённое правило не работает. Например, для 3√ (-12 /3)2 или 4√ -122 оно верное, а для (-1 / 3)-2 / 3 или (-3 / 2)2 / 5 не имеет смысла, так как основание не может быть отрицательным. Поэтому вводится условие, по которому выражение a√ cb имеет смысл, при любых значениях неотрицательного основания.

Что же касается минусовой величины в показателе корней, оно в основании должно отличаться от нуля. Иными словами, если в любом уравнении или равенстве выражение a / b нельзя упростить (сократить), то a * i / b * I = ca — i / b —, причём степень можно заменить на ca / b.

Примеры решения

Для того чтобы понять и усвоить теорию, нужно попрактиковаться. Начинать необходимо с простых заданий, постепенно переходя к более сложным примерам. Возвести дробь в степень можно и на онлайн-калькуляторах, но желательно уметь выполнять это действие самостоятельно. Из наиболее типичных примеров, охватывающих все возможные ситуации, можно выделить следующие:

Возведение дроби с простым показателем. Пусть дан многочлен (11 / 21)2 + (9 / 10)3 , необходимо вычислить ответ. Согласно правилу, сначала следует убрать скобки, а после выполнить сложение. Решение задания будет следующим: ( 11 * 11 ) / (21 * 21 ) + ( 9 * 9 * 9 ) / ( 10 * 10 * 10) = 121 / 441 + 729 / 100 = (121 * 1000) / (441 * 1000) + (729 * 441) / (1000 * 441) = 442489/441000.

Решение смешанной дроби с отрицательным показателем. Определить ответ в задании вида: (2 11/12)-1 = ((2 * 12 + 11) / 12)-1 = (35 / 12)-1 = (12 / 35 )1 = 12 1 / 351 =12 / 35.

Многоэтажные дроби . Решать их нужно после выполнения упрощения. Так, выражение вида 5 * (2 / 4) * (7 / 11 / 2))-2, решается следующим образом: 5 * (2 / 4 * (7 / 11 / 2))-2 = (((2 * 6 / 10 * 3)) / 3)-2 = (2 / 15)-2 = (15 / 2)2 = 152 / 22 = 225 / 4 = 56 1/4.

Вычисление сложных уравнений. Определить верность выражения: (16 / 11)0 – (2 / 8)-1 + 4 *(-3 / 2)1/2 > e-3. Сначала следует раскрыть все скобки, а уже после выполнить алгебраические операции: (16 / 11 )0 – (2 / 8)-1 + 4 *(-3 / 2)2 = 1 – 8 / 2 + 4 * (9 / 4) = 1 – 4 + (-3 * (-3 ) ) / (4 * 4) = -3 + 9/16 = 9/16 – 3/1 = (9 * 1) / (16 * 1)) – (3 * 16) / (1 * 16) = 9 /16 – 48 /16 = (9 -48) / 16 = — 39 / 16 = — 2,43. Так как буквой e обозначают экспоненту, то e—3 = 2,718-3 = 0,049. Отсюда можно сделать вывод, что знак в неравенстве неверный: -2,43 < 0,049

Таким образом, чтобы возвести в степень дробь необходимо знать: правило, свойства степеней, порядок выполнения арифметических операций. А также учитывать знак показателя и вид основания.

Расчёт на онлайн-калькуляторе

В сети существуют сервисы, автоматически выполняющие арифметические операции. Воспользоваться этими сайтами может каждый, имеющий доступ к интернету. Порталы предлагают свои услуги бесплатно. С их помощью можно находить функции, рассчитывать градусы и углы, решать уравнения и неравенства, вычислять дроби и степени.

Для решения дробей со степенями на онлайн-калькуляторах не нужно обладать какими-то особыми знаниями. Всё что требуется от пользователя — вести в предложенную форму задание и нажать кнопку «Рассчитать». Весь процесс вычисления занимает несколько секунд.

Полезной особенностью таких сайтов является и возможность обучиться правилам расчёта, узнать, как должны обозначаться те или иные операции и действия. Из различных калькуляторов можно выделить три наиболее популярных:

Webmath.

Onlinemschool.

Сalc.by.

Сайты отличаются удобным и понятным интерфейсом. На их страницах содержится кратко изложенная теория, использующаяся для расчётов и типовые примеры.

Умножение положительных и отрицательных чисел — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Содержание

Отрицательные дроби, понятие и правила.

В этой теме разберем новое понятие “Отрицательные дроби”. Дроби, как и любые числа могут быть положительными и отрицательными.

Отрицательные дроби понятие и смысл. Примеры.

Ранее мы изучили тему обыкновенные дроби. Отрицательные дроби отличаются от обыкновенных дробей лишь знаком. Обыкновенные дроби имеют знак “+”. Например:

$\frac{1}{2}; \frac{3}{5}; \frac{7}{10}; \frac{8}{8}; \frac{9}{5}; \frac{3}{1}$

Все эти дроби можно записать со знаком плюс и смысл дробей не изменится.

$\frac{1}{2}= +\frac{1}{2}; \frac{3}{5}= +\frac{3}{5}; \frac{7}{10}= +\frac{7}{10}; \frac{8}{8}= +\frac{8}{8}; \frac{9}{5}= +\frac{9}{5}; \frac{3}{1}= +\frac{3}{1}$

Если перед дробью поставить знак “–”, то дробь станет отрицательной. Например перед дробью $\frac{1}{2}$ поставим знак минус, получим $-\frac{1}{2}$Дроби вида $-\frac{1}{2}; -\frac{3}{5}; -\frac{7}{10}; -\frac{8}{8}; -\frac{9}{5}; -\frac{3}{1}$ называются отрицательными дробями.

Противоположные дроби, правила.

Дроби $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$ называются

противоположными дробями. Дроби или числа, которые отличаются только знаком называются противоположными дробями или числами.

Вывод: если перед дробью поставить знак “+”, то дробь смысл дроби не изменится. Если поставить перед дробью знак “–”, то получим противоположную дробь данной дроби.

Не всегда знак минус пишется перед дробью, иногда минус записывают в числители или знаменателе. Рассмотрим пример:

$-\frac{7}{10}=\frac{-7}{10}=\frac{7}{-10}$

Отрицательные дроби и нуль.

Нуль является исключением, нуль – противоположен самому себе.

$0=+\frac{0}{n}=-\frac{0}{n}$

Вопросы по теме “Отрицательные дроби”:
Назовите три отрицательные дроби?
Ответ: $-\frac{1}{3}; -\frac{4}{4}; -\frac{7}{3}; $

Приведите пример противоположных чисел?
Ответ: $-\frac{8}{5}$ и $\frac{8}{5}$

Назовите какому числу противоположно число нуль?

Ответ: нуль противоположен сам себе.

Какому числу противоположно положительное число?
Ответ: положительное число противоположно данному отрицательному числу.

Отрицательная дробь противоположна какой дроби?
Ответ: отрицательная дробь противоположна данной положительной дроби.

Пример:
Является ли дробь положительной или отрицательной: $\frac{1}{5}; -\frac{3}{7}; \frac{4}{1}; \frac{5}{5}; -\frac{9}{4}; -\frac{2}{3}; -\frac{0}{6}.$

Решение:
Отрицательные дроби $-\frac{3}{7}; -\frac{9}{4}; -\frac{2}{3}$
Положительные дроби $\frac{1}{5}; \frac{4}{1}; \frac{5}{5}$
Является ни положительной, ни отрицательной дробью $-\frac{0}{6}.$

Как правильно умножать отрицательные числа?

Основные определения

Вспомним, как отличить положительное число от отрицательного, что такое умножение и какие у него свойства.

Начнем с того, что проведем прямую и отметим на ней начало отсчета — точку нуль (0). А теперь укажем направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом нам поможет красивая стрелка:

Два главных определения:

Положительные числа — это точки координатной прямой, которые лежат правее начала отсчета (нуля). Иногда рядом с ними ставят знак плюс — «+», но чаще всего положительные числа никак не обозначают. То есть «+1» и «1» — это одно и тоже число.

Запоминаем!

Положительные числа — это те, что больше нуля, а отрицательные — меньшие.

Отрицательные числа — это точки координатной прямой, которые лежат левее начала отсчета (нуля). Их всегда обозначают знаком минус — «-».

Нуль (0) — ни положительное, ни отрицательное число. Вот это ему повезло!

Числовую ось можно расположить как горизонтально (стрелка вверх), так и вертикально (стрелка вправо).

Если стрелка направлена вверх, то в верхней части от начала отсчета всегда расположены положительные числа, а в нижней — отрицательные. Смотрите:

Прямая, на которой отмечена начальная точка, положительное направление и единичный отрезок, называется координатной или числовой осью.

Умножение — арифметическое действие в котором участвуют два аргумента. Один множимый, второй множитель. Результат их умножения называется произведением.

Свойства умножения

От перестановки множителей местами произведение не меняется.
a * b = b * a
Результат произведения трёх и более множителей не изменится, если любую группу заменить произведением.
a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)

Вычислять можно в уме, при помощи таблицы умножения или в столбик. Продвинутые школьники могут использовать онлайн-калькулятор.

Правило умножения отрицательных чисел: чтобы умножить два отрицательных числа, нужно перемножить их модули. Это значит, что для любых отрицательных чисел -a, -b верно равенство:

А вот как умножить два числа с разными знаками:

перемножить модули этих чисел
перед полученным числом поставить знак минус

А теперь упростим правила. Сформулируем их в легкой форме с минимумом слов, чтобы проще запомнить:

«—» — при умножении минус на минус ответ будет положительным
или минус на минус дает плюс
«-+» — при умножении минуса на плюс ответ будет отрицательным
или минус на плюс дает минус
«+-» — при умножении плюса на минус ответ будет отрицательным
или плюс на минус дает минус
«++» — при умножении плюса на плюс ответ будет положительным
или плюс на плюс дает плюс.

Примеры умножения отрицательных чисел

Пример 1. Вычислить: (-2)∗(-2) и (-3)∗(-7)

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на отрицательное — получается ответ со знаком плюс. Считаем:

(-2)∗(-2) = 4

(-3)∗(-7) = 21

Ответ: 4; 21.

Пример 2. Вычислить: (-11)∗11 и (-20)∗2

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на положительное — получается ответ со знаком минус. Считаем:

-11 * 11 = -121

(-20) * 2 = -40

Ответ: -121; -40.

Пример 3. Вычислить произведение: 5∗(-5) и 12∗(-8)

Как решаем:

Вспомним правило: умножение положительного на отрицательное число дает отрицательный результат. Считаем:

5 ∗ (-5)= -25

12 ∗ (-8)= -96

Ответ: -25; -96.

Пример 4. Вычислить произведение: (-0,125 ) * (-6)

Как решаем:

Используем правило умножения отрицательных чисел:
(-0,125 ) * (-6) = 0,125 * 6.

Выполним умножение десятичной дроби на натуральное число столбиком:

Ответ: 0,75.

Развивайте математическое мышление детей на наших уроках математики вместе с енотом Максом и его друзьями. Мы подобрали для вашего ребенка тысячи увлекательных заданий — от простых логических загадок до хитрых головоломок, над которыми интересно подумать. Все это поможет легче и быстрее справиться со школьной математикой.

Приходите на бесплатный вводный урок вместе с ребенком: познакомимся, порешаем задачки и вдохновим на учебу!

правило, примеры, умножение отрицательных чисел на положительные

В данной статье сформулируем правило умножения отрицательных чисел и дадим ему объяснение. Будет подробно рассмотрен процесс умножения отрицательных чисел. На примерах показаны все возможные случаи.

Умножение отрицательных чисел

Определение 1

Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел –a, -b данное равенство считается верным.

(-а)·(-b)=a·b.

Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: (-а)·(-b)=a·b. Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а·(-b)=-a·b справедливое, как и (-а)·b=-a·b. Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:

(-a)·(-b)=(-a·(-b))=-(-(a·b))= a·b.

Тут явно видно доказательство правила умножения отрицательных чисел. Исходя из примеров явно, что произведение двух отрицательных чисел – положительное число. При перемножении модулей чисел результат всегда положительное число.

Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.

Примеры умножения отрицательных чисел

Теперь рассмотрим подробно примеры умножения двух отрицательных чисел. При вычислении необходимо пользоваться правилом, написанным выше.

Пример 1

Произвести умножение чисел -3 и -5.

Решение.

По модулю умножаемые данные два числа равны положительным числам 3 и 5. Их произведение дает в результате 15. Отсюда следует, что произведение заданных чисел равно 15

Запишем кратко само умножение отрицательных чисел:

(-3)·(-5)=3·5=15

Ответ: (-3)·(-5)=15.

При умножении отрицательных рациональных чисел, применив разобранное правило, можно мобилизоваться к умножению дробей, умножению смешанных чисел, умножению десятичных дробей.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 2

Вычислить произведение (-0,125)·(-6).

Решение.

Используя правило умножения отрицательных чисел, получим, что (−0,125)·(−6)=0,125·6. Для получения результата необходимо выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число столбиков. Это выглядит так:

Получили, что выражение примет вид (−0,125)·(−6)=0,125·6=0,75.

Ответ: (−0,125)·(−6)=0,75.

В случае, когда множители – иррациональные числа, тогда их произведение может быть записано в виде числового выражения. Значение вычисляется только по необходимости.

Пример 3

Необходимо произвести умножение отрицательного -2 на неотрицательное log5 13.

Решение

Находим модули заданных чисел:

-2=2 и log513=-log5 3=log5 3.

Следуя из правил умножения отрицательных чисел, получим результат -2·log5 13=-2·log5 3=2·log5 3. Это выражение и является ответом.

Ответ: -2·log5 13=-2·log5 3=2·log5 3.

Для продолжения изучения темы необходимо повторить раздел умножение действительных чисел.

Умножение и деление рациональных чисел

1.	Утверждение (умножение)	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Необходимо выбрать верное/ложное утверждение (умножение).
2.	Утверждение (частное)	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Необходимо выбрать верное/ложное утверждение (частное).
3.	Умножение на единицу	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Умножение на единицу.
4.	Произведение целых чисел (до 10)	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Произведение целых чисел.
5.	Произведение рациональных чисел (десятичные дроби)	2 вид — интерпретация	среднее	1 Б.	Десятичная дробь и целое число.
6.	Умножение обыкновенной дроби на положительное или отрицательное целое число	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Один или оба множителя отрицательные.
7.	Произведение двух десятичных дробей с разными знаками	2 вид — интерпретация	среднее	1 Б.	Произведение двух десятичных дробей с разными знаками.
8.	Произведение целого числа и смешанного (отрицательные числа)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Произведение целого числа и смешанного.
9.	Произведение десятичной дроби и обыкновенной (отрицательные числа)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Произведение десятичной дроби и обыкновенной.
10.	Произведение десятичной дроби и смешанного числа (отрицательные)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Произведение десятичной дроби и смешанного числа.
11.	Частное чисел с разными знаками	2 вид — интерпретация	среднее	1 Б.	Целые числа.
12.	Деление обыкновенной дроби на положительное или отрицательное целое число	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Деление обыкновенной дроби на положительное или отрицательное целое число.
13.	Деление целого числа на правильную дробь	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Одно число или оба числа отрицательные. Результат — целое число.
14.	Деление смешанного числа на положительное или отрицательное целое число	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Деление целой части и дробной отдельно.
15.	Деление десятичной дроби / целого числа на обыкновенную дробь (разные знаки)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Деление десятичной дроби / целого числа на обыкновенную дробь.
16.	Деление десятичных дробей (разные знаки)	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Деление десятичных дробей.
17.	Деление десятичной дроби на обыкновенную (разные знаки)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Деление десятичной дроби на обыкновенную.
18.	Деление двух отрицательных десятичных дробей	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Деление двух отрицательных десятичных дробей.
19.	Частное двух отрицательных смешанных чисел	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Частное двух отрицательных смешанных чисел.
20.	Произведение	2 вид — интерпретация	среднее	1 Б.	Определение знака произведения.
21.	Произведение нескольких целых чисел с разными знаками	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Произведение нескольких целых чисел с разными знаками.
22.	Произведение трёх обыкновенных дробей, как минимум одна дробь — отрицательная	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Сокращение, приведение к правильной дроби.
23.	Деление на дробь и умножение на дробь, как минимум одна дробь — отрицательная	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Действия с тремя дробями. Деление и умножение.
24.	Уравнение (десятичные дроби и целые числа)	2 вид — интерпретация	сложное	3 Б.	Решение уравнения.
25.	Уравнение с модулем	2 вид — интерпретация	сложное	6 Б.	Решение уравнения.
26.	Неизвестный член пропорции	2 вид — интерпретация	сложное	4 Б.	Применение основного свойства пропорции.

Сложение и вычитание рациональных чисел

В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.

Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби , где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. При этом, b не должно быть нулём.

В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием — рациональные числа.

Пример 1. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:

Модуль рационального числа больше, чем модуль рационального числа . Поэтому мы из вычли . Получили ответ . Затем сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ .

Некоторые примитивные действия, такие как заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:

Пример 2. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус, стоящий между рациональными числами и является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

Запишем решение данного примера покороче:

Примечание. Заключать в скобки каждое рациональное число вовсе необязательно. Делается это для удобства, чтобы хорошо видеть какие знаки имеют рациональные числа.

Пример 3. Найти значение выражения:

В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на том как это сделать. Если испытываете с этим затруднения, обязательно повторите урок действия с дробями.

После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 4. Найти значение выражения

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Вычислим данное выражение в следующем порядке: слóжим рациональные числа и , затем из полученного результата вычтем рациональное число .

Первое действие:

Второе действие:

Таким образом, значение выражения равно

Пример 5. Найти значение выражения:

Представим целое число −1 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Получили ответ .

Есть и второй способ решения. Он заключается в том, чтобы сложить отдельно целые части.

Итак, вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое число в скобки. Для этого смешанное число временно развернём:

Вычислим целые части:

(−1) + (+2) = 1

В главном выражении вместо (−1) + (+2) запишем полученную единицу:

Полученное выражение свернём. Для этого запишем единицу и дробь вместе:

Запишем решение этим способом покороче:

Пример 6. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальную часть перепишем без изменения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 7. Найти значение выражение

Представим целое число −5 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Таким образом, значение выражения равно .

Решим данный пример вторым способом. Вернемся к изначальному выражению:

Запишем смешанное число в развёрнутом виде. Остальное перепишем без изменений:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

Вычислим целые части:

В главном выражении вместо запишем полученное число −7

Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Запишем число −7 и дробь вместе, образуя окончательный ответ:

Запишем это решение покороче:

Пример 8. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Таким образом, значение выражения равно

Данный пример можно решить и вторым способом. Он заключается в том, чтобы сложить целые и дробные части по отдельности. Вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Но в этот раз слóжим по отдельности целые части (−1 и −2), и дробные и

Запишем это решение покороче:

Пример 9. Найти выражения выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе своим знаком. Рациональное число в скобки заключать не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Таким образом, значение выражения равно

Теперь попробуем решить этот же пример вторым способом, а именно сложением целых и дробных частей по отдельности.

В этот раз, в целях получения короткого решения, попробуем пропустить некоторые действия, такие как: запись смешанного числа в развёрнутом виде и замена вычитания сложением:

Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.

Пример 10. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением:

В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки:

Получилось простейшее выражение, которое вычисляется легко. Вычислим его любым удобным для нас способом:

Пример 11. Найти значение выражения

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Пример 12. Найти значение выражения

Выражение состоит из нескольких рациональных чисел. Согласно порядку действий, в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.

Сначала вычислим выражение , затем выражение Полученные результаты слóжим .

Первое действие:

Второе действие:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Пример 13. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе со своим знаком. Рациональное число заключать в скобки не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Таким образом, значение выражения равно

Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:

(−3,2) + (+4,3)

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку перед ответом должен стоять знак того рационального числа, модуль которого больше. А модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2

Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1

Этот пример можно записать покороче:

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8

Этот пример можно записать покороче:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31

Этот пример можно записать покороче:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который располагается между рациональными числами −4,9 и 5,9 является знаком операции и не относится к числу 5,9. У этого рационального числа свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:

(−4,9) − (+5,9)

Заменим вычитание сложением:

(−4,9) + (−5,9)

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8

Запишем решение этого примера покороче:

−4,9 − 5,9 = −10,8

Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3

Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками

(+7) − (+9,3)

Заменим вычитание сложением

(+7) + (−9,3)

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3

Запишем решение этого примера покороче:

7 − 9,3 = −2,3

Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)

Заменим вычитание сложением:

−0,25 + (+1,2)

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Запишем решение этого примера покороче:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)

Выполним действия в скобках, затем слóжим полученный ответ с числом −3,5

Первое действие:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Второе действие:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.

Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Выполним действия в скобках. Затем из числа, которое получилось в результате выполнения первых скобок, вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок:

Первое действие:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Второе действие:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Третье действие

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.

Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а слóжим все слагаемые слева направо в порядке их следования:

Первое действие:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Второе действие:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Третье действие:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.

Пример 24. Найти значение выражения

Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем без изменения:

Далее вычисляем данное выражение, применяя ранее изученные правила:

Пример 25. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением. Попутно переведём десятичную дробь (−4,4) в неправильную дробь

В получившемся выражении нет отрицательных чисел. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вторым числом, и убрать скобки. Тогда получим простое выражение на сложение, которое решается легко

Пример 26. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь, а десятичную дробь −0,85 в обыкновенную дробь. Получим следующее выражение:

Пример 27. Найти значение выражения

Переведём обе дроби в неправильные дроби. Чтобы перевести десятичную дробь 2,05 в неправильную дробь, можно перевести ее сначала в смешанное число, а затем в неправильную дробь:

После перевода обеих дробей в неправильные дроби, получим следующее выражение:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль и перед полученным ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:

Пример 28. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением. Далее переведём десятичную дробь в обыкновенную дробь. Затем вычислим получившееся выражение, применяя ранее изученные правила:

Пример 29. Найти значение выражения

Переведём десятичные дроби −0,25 и −1,25 в обыкновенные дроби, остальное перепишем без изменения. Получим следующее выражение:

Можно сначала заменить вычитание сложением там, где это можно и сложить рациональные числа одно за другим.

Есть и второй вариант: сначала сложить рациональные числа и , а затем из полученного результата вычесть . Этим вариантом и воспользуемся.

Первое действие:

Второе действие:

Ответ: значение выражения равно −2.

Пример 30. Найти значение выражения

Переведём десятичные дроби в обыкновенные. Остальное перепишем без изменения:

Получили сумму из нескольких слагаемых. Если сумма состоит из нескольких слагаемых, то выражение можно вычислять в любом порядке. Это следует из сочетательного закона сложения.

Поэтому мы можем организовать наиболее удобный для нас вариант. В первую очередь можно сложить первое и последнее слагаемое, а именно рациональные числа и . У этих чисел одинаковые знаменатели, а значит это освободит нас от необходимости приводить их к нему.

Первое действие:

Полученное число можно сложить со вторым слагаемым, а именно с рациональным числом . У рациональных чисел и одинаковые знаменатели в дробных частях, что опять же является преимуществом для нас

Второе действие:

Ну и слóжим полученное число −7 с последним слагаемым, а именно с рациональным числом . Удобно то, что при вычислении данного выражения, семёрки исчезнут, поскольку их сумма будет равна нулю:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 2. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 5. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 6. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 7. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 8. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 9. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 10. Найдите значение выражения:

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Как из отрицательной степени сделать положительную

Как возвести число в отрицательную степень

Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:

«перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
заменить отрицательную степень на положительную ;
возвести число в положительную степень.

Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.

a −n =

,где a ≠ 0, n ∈ z ( n принадлежит целым числам).

Примеры возведения в отрицательную степень.

6 −2 =
=
(−3) −3 =
=
= −
0,2 −2 =
=

Любое число в нулевой степени — единица.

Примеры возведения в нулевую степень.

Как найти

10 в минус 1 степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

Возведем « 10 −1 » по правилам отрицательной степени. Перевернем « 10 » и запишем её в виде дроби «

» и заменим отрицательную степень « −1 » на
положительную степень « 1 ».

10 −1 =

Возведем « 10 » в « 1 » степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

10 −1 =

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

10 −1 =

= 0,1

По такому же принципу можно найти « 10 » в минус второй, третьей и т.д.

Проверим правило выше для « 10 −2 ».

Рассмотрим « 10 −1 ».

Как возвести в отрицательную степень дробь

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:

«перевернуть» дробь;
заменить отрицательную степень на положительную ;
возвести дробь в положительную степень.

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

(

) −3 =
Перевернем дробь «

» и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
(

) −3 = (

) 3

(

) −3 = (

) 3 =

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

(

) −3 = (

) 3 =

= 0,027

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Перевернем число « −5 » и заменим отрицательную степень « −2 »
на положительную « 2 ».

(−5) −2 = (−

) 2 =

Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель « 1 »,
и знаменатель « 5 ».

(−5) −2 = (−

) 2 =

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная .

Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная .

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь « (−

) » в « −3 » степень.

(−

) −3 = (−

) 3 =

Теперь определим конечный знак результата возведения в « 3 » степень.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

= −

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

= −

= − 3

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

(−

) −2 = (−

) 2 =

= 1

Свойства отрицательной степени

Запомните!

a m · a n = a m + n
= a m − n
(a n ) m = a n · m
(a · b) n = a n · b n

Примеры решений заданий с отрицательной

степенью

Колягин 9 класс. Задание № 1

Представить в виде степени.

2) a 6 · b 6 = (ab) 6

Колягин 9 класс. Задание № 5

Записать в виде степени с отрицательным числом.

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

Если в показателе степени стоит десятичная дробь, нужно перевести ее в обыкновенную:

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

13 комментариев

Спасибо! врубился) жаль, что в школе не учился(

Что ж, учиться никогда не поздно). Но всё же лучше вовремя.

Забавно, что за время работы встречал множество коллег, кому приходилось на внутренних курсах разжёвывать какие вещи начального уровня и все сокрушались: «Что же я в школе-то (институте) не учил это? Это же так просто, понятно, полезно и ИНТЕРЕСНО. »

А вся проблема в том, что ни в школе, ни в институте перед тем, как что-то начать рассказывать не проводят красочные, завлекательные, познавательные, весёлые и игровые презентации будущего курса, чтобы было понятно, а где же то, что будем скоро изучать, применяется в жизни? Каким профессиям и в каких житейских ситуациях это может быть полезно?

Учат каким-то абстрактным формулам вместо того, чтобы рассказать, что это пригодится на кухне, при разделе земли, при строительстве сарая на даче, при стрельбе из пушки, при запуске спутника и т. д.

При разбавлении спирта водой, в конце концов! :))

Ведь часто женщины встают в ступор от элементарной задачи:

В рецепте указано «1 ст. ложка 3 %-го уксуса», а у неё на кухне только 9 % или («О, БОЖЕ! Крах! Провал!») вообще уксусная эссенция! А по сути та же кислота, но в концентрации 70 %…

Возведение в отрицательную степень – один из основных элементов математики, который часто встречается при решении алгебраических задач. Ниже приведена подробная инструкция.

Как возводить в отрицательную степень – теория

Когда мы число в обычную степень, мы умножаем его значение несколько раз. Например, 3 3 = 3×3×3 = 27. С отрицательной дробью все наоборот. Общий вид по формуле будет иметь следующий вид: a -n = 1/a n . Таким образом, чтобы возвести число в отрицательную степень, нужно единицу поделить на данное число, но уже в положительной степени.

Как возводить в отрицательную степень – примеры на обычных числах

Держа вышеприведенное правило на уме, решим несколько примеров.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Ответ: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Ответ -4 -2 = 1/16.

Но почему ответ в первом и втором примерах одинаковый? Дело в том, что при возведении отрицательного числа в четную степень (2, 4, 6 и т. д.), знак становится положительным. Если бы степень была четной, то минус сохранился:

Как возводить в отрицательную степень – числа от 0 до 1

Вспомним, что при возведении числа в промежутке от 0 до 1 в положительную степень, значение уменьшается с возрастанием степени. Так например, 0,5 2 = 0,25. 0,25 1/1/4 = 4

Пример 4: Вычислить 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Вычислить -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Ответ: -0,5 -3 = -8

Исходя из 4-го и 5-ого примеров, сделаем несколько выводов:

Для положительного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 4), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени не важна, значение выражения будет положительным. При этом, чем больше степень, тем больше значение.
Для отрицательного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 5), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени неважна, значение выражения будет отрицательным. При этом, чем больше степень, тем меньше значение.

Как возводить в отрицательную степень – степень в виде дробного числа

Выражения данного типа имеют следующий вид: a -m/n , где a – обычное число, m – числитель степени, n – знаменатель степени.

Рассмотрим пример:
Вычислить: 8 -1/3

Решение (последовательность действий):

Вспоминаем правило возведения числа в отрицательную степень. Получим: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
Заметьте, в знаменателе число 8 в дробной степени. Общий вид вычисления дробной степени таков: a m/n = n √8 m .
Таким образом, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаем кубический корень из восьми, который равен 2. Исходя отсюда, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Ответ: 8 -1/3 = 2

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Возведение в степень – это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0 , 5) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Условие: возведите – 2 в степень 4 .

Используя определение выше, запишем: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Выполните возведение в квадрат числа π .

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени – целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 – не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а – любое число, а z – целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Возведите 3 в степень – 2 .

Используя определение выше, запишем: 2 – 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 – 3 = 1 2 3 = 1 8

Возведите 1 , 43 в степень – 2 .

Переформулируем: 1 , 43 – 2 = 1 (1 , 43) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1 , 43) – 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1 , 43) – 2 = 10000 20449

Отдельный случай – возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a – 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 – 1 = 13 9 6 4 – 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Вычислите 8 – 2 3 .

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 – 2 3 = 8 – 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 – 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 – 2 3 = 8 – 2 3 = 8 3 – 2

После этого извлечем корень 8 3 – 2 = 2 3 3 – 2 = 2 – 2 и результат возведем в квадрат: 2 – 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь – 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 . s=frac$.

Справочный материал по математике (6 класс) Дроби

Справочный материал по математике (6 класс) Дроби — страница №1/1

Справочный материал по математике (6 класс)

Дроби

Основное свойство дроби

: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь (используется при сокращении дробей).

Перевод дробей

Чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно разделить числитель на знаменатель

Действия с дробями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, надо: привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; сложить полученные дроби (сложить числители дробей, знаменатель переписать без изменений).
Чтобы умножить дробь на дробь, надо: найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое (первую дробь) умножить на число, обратное делителю («перевернутая» вторая дробь).

Пропорции

Частное двух чисел называют

отношением

этих чисел. (4:5)

Равенство двух отношений называется пропорцией. (a:b=c:d)

Свойство пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. (ad=bc)

Положительные и отрицательные числа

Числа, лежащие на координатной прямой

левее

0, называются

отрицательными

, а

правее 0

–

положительными

Сравнение чисел

На координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

Модуль числа

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Действия с отрицательными и положительными числами

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: сложить их модули, поставить перед полученным числом знак «-». Результат сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число! (-4-5=-4+(-5)=-9)

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля слагаемых вычесть меньший, поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

-2+3=3-2=1, 5-8=-(8-5)=-3

Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули. Результат умножения двух отрицательных чисел – число положительное! (-4^. (-5)=20) (аналогично выполняется деление отрицательных чисел).

Чтобы перемножить два числа с разными знаками нужно перемножить их модули и перед полученным числом поставить знак «-». Результат умножения положительного и отрицательного чисел – отрицательное число! (-4^. 5=-20)

Решение уравнений

Раскрытие скобок

Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

Если перед скобками стоит знак «-», надо заменить этот знак на «+», поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными.

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на их общую буквенную часть.

Алгоритм решения линейного уравнения

Раскрыть скобки (если таковые имеются), используя правила (см.выше) или свойства умножения.
Перенести все слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а известные слагаемые – в другую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется!
Привести подобные слагаемые, используя действия с положительными и отрицательными числами.
Разделить число, стоящее справа, на коэффициент, стоящий перед переменной (слева).

Умножение отрицательных дробей — Видео и стенограмма урока

Умножение отрицательных дробей

Вот четыре шага для умножения отрицательных дробей. Давайте воспользуемся следующей задачей, чтобы проиллюстрировать шаги.

Помните, что числители — это числа над чертой в дробной части, а знаменатели — это числа под чертой в дробях.

Помните, что целое число можно превратить в дробь, просто поместив целое число над единицей.Например, целое число 7 становится 7/1.

Попрактикуемся

Давайте вместе попробуем. Давайте найдем произведение -2/7 * 3/4

Шаг 1) Когда мы умножим числители (2 * 3), ответ будет 6.

Шаг 2) Когда мы умножим знаменатели (7 * 4), ответ равно 28.

Шаг 3) Новая дробь — 6/28. Оба числа делятся на 2 и могут быть упрощены до 3/14.

Шаг 4) У дробей разные знаки, так как одна положительная, а другая отрицательная, поэтому ответ отрицательный.

Произведение -2/7 * 3/4 = -3/14.

Попробуем еще парочку. Не стесняйтесь брать лист бумаги и карандаш и самостоятельно решать следующие задачи, прежде чем искать решение.

Решить: -3/4 * 2/3

Шаг 1) Умножить числители: 3 * 2 = 6

Шаг 2) Умножить знаменатели: 4 * 3 = 12

Шаг 3) Упростить 6/12 ( оба делятся на 6) до 1/2

Шаг 4) Знаки разные, поэтому ответ отрицательный.

Ответ -1/2.

Решить: -1/2 * 3/4

Шаг 1) Умножить числители: 1 * 3 = 3

Шаг 2) Умножить знаменатели: 2 * 4 = 8

Шаг 3) 3/8 уже в простейшей форме

Шаг 4) Знаки разные, поэтому ответ отрицательный.

Итак, -1/2 * 3/4 = -3/8.

Краткое содержание урока

При умножении дробей помните, что если дроби имеют одинаковый знак, ответ будет положительным, а если дроби имеют разные знаки, ответ будет отрицательным.Также помните, что умножение отрицательных дробей состоит из четырех простых шагов, и это, безусловно, положительный момент!

Упрощение выражения с помощью дроби

Результаты обучения

Определите отрицательные дроби, которые эквивалентны, учитывая, что их отрицательный знак находится в другом месте
Упростите выражения, содержащие дробные черты, используя порядок операций

Где идет знак минус в дроби? Обычно перед дробью ставится знак минус, но иногда можно увидеть дробь с отрицательным числителем или знаменателем. Помните, что дроби представляют собой деление. Дробь [латекс] — \ frac {1} {3} [/ latex] может быть результатом деления [latex] \ frac {-1} {3} [/ latex], отрицательного на положительный или деления [latex] \ frac {1} {- 3} [/ latex], положительное за отрицательным. Когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, частное отрицательное.

Если и числитель, и знаменатель отрицательны, тогда сама дробь положительна, потому что мы делим отрицательное на отрицательное.

[латекс] \ frac {-1} {- 3} = \ frac {1} {3} \ frac {\ text {negative}} {\ text {negative}} = \ text {positive} [/ latex]

Размещение отрицательного знака в дроби

Для любых положительных чисел [латекс] a \ text {и} b [/ latex],

[латекс] \ frac {-a} {b} = \ frac {a} {- b} = — \ frac {a} {b} [/ latex]

Пример

Какая из следующих фракций эквивалентна [latex] \ frac {7} {- 8}? [/ Latex]

[латекс] \ frac {-7} {- 8}, \ frac {-7} {8}, \ frac {7} {8}, — \ frac {7} {8} [/ latex]

Решение:
Частное положительного и отрицательного отрицательно, поэтому [latex] \ frac {7} {- 8} [/ latex] отрицательно. Из перечисленных фракций [latex] \ frac {-7} {8} \ text {и} — \ frac {7} {8} [/ latex] также отрицательны.

Упрощение выражения с помощью дроби

Полоски дроби действуют как символы группировки. Выражения над и под дробной чертой следует рассматривать так, как если бы они были заключены в круглые скобки. Например, [латекс] \ frac {4 + 8} {5 — 3} [/ latex] означает [латекс] \ left (4 + 8 \ right) \ div \ left (5 — 3 \ right) [/ latex] . Порядок операций говорит нам сначала упростить числитель и знаменатель — как если бы были круглые скобки — перед тем, как делить.
Мы добавим дробные черты к нашему набору символов группировки из раздела «Использование языка алгебры», чтобы получить здесь более полный набор.

Группировка символов

Упростите выражение с помощью дробной линейки

Упростим числитель.
Упростим знаменатель.
Упростите дробь.

Пример

Упростить: [латекс] \ frac {4 + 8} {5 — 3} [/ латекс]

Показать решение

Решение:

» data-label=»»>

	[латекс] \ frac {4 + 8} {5 — 3} [/ латекс]
Упростите выражение в числителе.	[латекс] \ frac {12} {5 — 3} [/ латекс]
Упростим выражение в знаменателе. {2} +2} [/ latex]
Используйте порядок операций.{2}} {64 — 16} [/ латекс]
Упростим числитель и знаменатель.	[латекс] \ frac {16} {48} [/ латекс]
Упростим дробь.	[латекс] \ frac {1} {3} [/ латекс]

Пример
Упростить: [латекс] \ frac {4 \ left (-3 \ right) +6 \ left (-2 \ right)} {- 3 \ left (2 \ right) -2} [/ latex]
Показать решение
Решение:
[латекс] \ frac {4 \ left (-3 \ right) +6 \ left (-2 \ right)} {- 3 \ left (2 \ right) -2} [/ латекс]
Умножить. [латекс] \ frac {-12+ \ left (-12 \ right)} {- 6 — 2} [/ латекс]
Упростить. [латекс] \ frac {-24} {- 8} [/ латекс]
Разделить. [латекс] 3 [/ латекс]
Посмотрите это видео, чтобы увидеть еще один пример того, как упростить выражение с помощью дробной линейки, содержащей несколько различных операций.

Умножение положительных и отрицательных чисел: 3 простых правила
При умножении положительных и отрицательных чисел существует меньше правил, чем при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел.Следует запомнить всего три правила:
Правило 1. Положительное число, умноженное на положительное, равняется положительному числу.
Это умножение, которое вы делали все время: положительные числа, умноженные на положительные, равны положительным числам.
Например, 5 x 3 = 15. 5 — положительное число, 3 — положительное число, а умножение дает положительное число: 15.
Ответ: 5 x 3 = 15.
Правило 2: Отрицательное число, умноженное на положительное, равняется отрицательному числу.
Когда вы умножаете отрицательное число на положительное, ваш ответ — отрицательное число. Неважно, в каком порядке вы умножаете положительные и отрицательные числа, ответ всегда будет отрицательным.
Например: -2 x 4, что по сути то же самое, что -2 + (-2) + (-2) + (-2)
Ответ: -2 х 4 = -8.
И, как мы уже сказали, если около 4 x -2 наоборот, ответ все тот же: -8.
Ответ: 4 х -2 = -8.
Правило 3. Отрицательное число, умноженное на отрицательное число, равняется положительному числу.
Два отрицательных числа дают положительное число, поэтому умноженное на отрицательное число дает положительное число. Если вы посмотрите на него на числовой прямой, идя назад и повернувшись лицом в отрицательном направлении, вы двинетесь в положительном направлении.
Например. -2 x -4 отрицательны, поэтому мы знаем, что ответ будет положительным.
Ответ: -2 x -4 = 8.
Вот общее правило, которое следует помнить при умножении положительных и отрицательных чисел:
Два одинаковых знака дают положительный знак:
Два непохожих знака образуют отрицательный знак:
Если вы все еще не понимаете, почему отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительное число, Диана Браун с факультета математики Университета Джорджии объясняет это разными способами в этой статье.
Скотт из About.com также собрал удобное видео о том, как создать шпаргалку для умножения отрицательных и положительных чисел (прокрутите страницу вниз, и вы найдете видео).
Умножение и деление отрицательных дробей и смешанных чисел
Дроби Смешанные числа и неправильные дроби. Смешанное число содержит целую часть и дробную часть. смешанное число. Он содержит как целую часть, 3, так и дробную часть, 2/5. Мы читаем дробь как «три и две пятых», и это именно то, что мы имеем в виду.= Добавление целого числа к дроби — это особый случай сложения двух … Бесплатные рабочие листы по математике для сложения, вычитания, умножения, среднего, деления, алгебры и тем меньше, чем больше, в соответствии с общими основными стандартами для 5-го и 4-го классов класс, 3 класс, 2 класс, 1 класс, средняя школа и дошкольное учреждение
Способность записывать смешанные дроби как неправильные дроби и наоборот является важной предпосылкой для сложения и вычитания смешанных дробей (CCSS. Math.4.NF.3c): складывать и вычитать смешанные числа с одинаковыми знаменателями, например, заменяя каждое смешанное число эквивалентной дробью и / или используя свойства операций и … На этой странице вы найдете наши рабочие листы с отрицательными целыми числами, отрицательными десятичными знаками. и отрицательные дроби. Наши рабочие листы с отрицательными числами подходят для 6 и 7 классов математики и являются отличным математическим ресурсом для корректирующих целей по математике или математическому обучению. У нас есть целые листы, в которых описывается сложение и вычитание целых и отрицательных чисел из числа…
Умножайте или делите смешанные числа. Преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби. Следуйте правилам умножения или деления дробей. Если возможно, упростите. Упростите сложную дробь. Перепишите сложную дробь как задачу деления. Соблюдайте правила деления дробей. Если возможно, упростите. Размещение знака минус в дроби CCBC Math 081 Умножение дробей и смешанных чисел Раздел 3. 2 Третье издание 17 страниц 162 Пример 4a: Умножение: 29 3 14 u 2 9 2 9 18 3 14 3 14 42 uuu Умножьте числители вместе и знаменатели вместе.Проверьте, можно ли упростить ответ. Есть общие множители для 18 и 42, так что это
9 апреля 2015 г. · Идея состоит в том, что пары чисел сами по себе связаны с ассоциациями. У этого утверждения есть жесткая версия, которую я не собираюсь делать. Я не хочу сказать, что независимо от контекста, вы ожидаете, что ученик сложит вместе 5 1/2 и 2 1/4. Я думаю, что проблема деления смешанных чисел вряд ли вызовет ассоциации с … Как пользоваться калькулятором. Введите свою задачу по алгебре в текстовое поле.Например, введите 3x + 2 = 14 в текстовое поле, чтобы получить пошаговое объяснение того, как решить 3x + 2 = 14.
Вычитание целых чисел от (-15) до (+15) (отрицательные числа в круглых скобках) (106 просмотров на этой неделе) Все операции с целыми числами (диапазон от -9 до 9) со всеми целыми числами в круглых скобках (81 просмотр на этой неделе) Целочисленное сложение и вычитание с круглыми скобками вокруг всех целых чисел (диапазон от -25 до 25) (60 просмотров на этой неделе) Добавление целых чисел от (-15) до (+15) (все числа в круглых скобках) (49 просмотров на этой неделе… Практика сложения, вычитания, умножения и деления на смешанные дроби, рабочая тетрадь улучшит вашу беглость математики том 14 25 октября 2020 г. Автор: Джеки Коллинз Паблишинг …
Умножение — это математическая операция, которая масштабирует одно число на другое ( умножение — знак: x). Он заменяет сложение большого количества чисел подряд. Умножение — математическая операция, противоположная делению. Например: вы можете заменить математическое выражение 5 + 5 + 5 + 5 на 5 × 4 (число 5, умноженное на количество раз, которое оно появилось в строке).
Умножение имеет несколько свойств. Когда число умножается на число 1, произведение (результат умножения) совпадает с этим числом. Когда число умножается на ноль, произведение всегда равно нулю. Когда число умножается на отрицательное, результатом является отрицательная версия этого числа. Он также обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.
Коммутативные и ассоциативные свойства аналогичны этим свойствам.Распределительность применяется при объединении сложения и умножения, как в этом примере:
а * (б + в) = а * б + а * в
Очень важно помнить, что порядок важности умножения всегда больше, чем порядок важности сложения или вычитания. Сначала вы умножаете числа (где это необходимо), а затем складываете или вычитаете их. Вот пример:
5 * 4 + 3 = 20 + 3 = 23
Единственным исключением из правила является то, что сложение или вычитание имеет приоритет над умножением, когда числа, которые нужно сложить, и оператор заключены в квадратные скобки, а оператор умножения — нет.
Умножение экзаменов для учителей
Название экзамена Размер файла Загрузки Дата загрузки
Целые положительные числа
Умножение положительных целых чисел — очень просто 78 Кбайт 2899 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных целых чисел — легко 143 Кбайт 2902 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных целых чисел — среднее 166.3 кБ 3194 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных целых чисел — средней сложности 173.1 Кбайт 2675 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных целых чисел — жесткое 561.5 кБ 2082 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных целых чисел — очень сложно 571.8 Кбайт 2294 3 сентября 2019 г.
Положительные десятичные знаки
Умножение положительных десятичных знаков — очень просто 554.5 кБ 1936 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных десятичных знаков — легко 555.5 Кбайт 1927 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных десятичных знаков — среднее 579.2 Кбайт 1752 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных десятичных знаков — средне-жесткий 580. 2 Кбайт 1573 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных десятичных знаков — жесткое 569.5 кБ 1736 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных десятичных знаков — очень сложно 567.2 Кбайт 1576 3 сентября 2019 г.
Положительные дроби
Умножение положительных дробей — очень сложно 567.2 Кбайт 1576 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных дробей — очень просто 172.7 Кбайт 2353 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных дробей — легко 188.9 кБ 2049 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных дробей — среднее 577.2 Кбайт 1765 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных дробей — средней твердости 591. 9 Кбайт 1557 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных дробей — жесткое 575.7 Кбайт 1569 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных дробей — очень сложно 581 Кбайт 1553 3 сентября 2019 г.
Положительные смешанные числа
Умножение положительных смешанных чисел — очень просто 176.8 кБ 1749 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных смешанных чисел — легко 209.8 Кбайт 1761 3 сентября 2019 г.
Умножение смешанных положительных чисел — среднее 585.6 Кбайт 1592 3 сентября 2019 г.
Умножение смешанных положительных чисел — средней сложности 592.9 Кбайт 1513 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных смешанных чисел — жесткое 589. 3 кБ 1517 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных смешанных чисел — очень сложно 596.6 Кбайт 1483 3 сентября 2019 г.
Положительные неправильные дроби
Умножение положительных неправильных дробей — очень просто 166 Кбайт 1539 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных неправильных дробей — легко 169.9 кБ 1640 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных неправильных дробей — среднее 571.6 Кбайт 1520 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных неправильных дробей — средней твердости 569.5 Кбайт 1483 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных неправильных дробей — жесткое 560.5 Кбайт 1426 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных неправильных дробей — очень сложно 571.8 кБ 1494 3 сентября 2019 г.
Целые неположительные числа
Умножение целых чисел — очень просто 137.9 Кбайт 2107 3 сентября 2019 г.
Умножение целых чисел — легко 143.6 Кбайт 2143 3 сентября 2019 г.
Умножение целых чисел — среднее 173.3 Кбайт 2097 3 сентября 2019 г.
Умножение целых чисел — средней сложности 173.5 кБ 1957 3 сентября 2019 г.
Умножение целых чисел — жесткое 565.9 Кбайт 1746 3 сентября 2019 г.
Умножение целых чисел — очень сложно 568 Кбайт 1641 3 сентября 2019 г.
Неположительные десятичные числа
Умножение десятичных знаков — очень просто 186. 6 Кбайт 1983 3 сентября 2019 г.
Умножение десятичных знаков — просто 187 Кбайт 2103 3 сентября 2019 г.
Умножение десятичных знаков — среднее 578.8 кБ 1601 3 сентября 2019 г.
Умножение десятичных знаков — средней жесткости 577 Кбайт 1520 3 сентября 2019 г.
Умножение десятичных знаков — жесткое 564.9 Кбайт 1591 3 сентября 2019 г.
Умножение десятичных знаков — очень сложно 567.9 Кбайт 1501 3 сентября 2019 г.
Неположительные дроби
Умножение дробей — очень просто 179.6 кБ 1594 3 сентября 2019 г.
Умножение дробей — легко 186.7 Кбайт 1866 3 сентября 2019 г.
Умножение дробей — среднее 583.8 Кбайт 1596 3 сентября 2019 г.
Умножение дробей — средней твердости 589 Кбайт 1511 3 сентября 2019 г.
Умножение дробей — жесткое 588 Кбайт 1422 3 сентября 2019 г.
Умножение дробей — очень сложно 594.9 кБ 1436 3 сентября 2019 г.
Неположительные смешанные числа
Умножение смешанных чисел — очень просто 192.9 кБ 1468 3 сентября 2019 г.
Умножение смешанных чисел — просто 209 Кбайт 1635 3 сентября 2019 г.
Умножение смешанных чисел — среднее 594.7 Кбайт 1510 3 сентября 2019 г.
Умножение смешанных чисел — средней сложности 602. 2 кБ 1354 3 сентября 2019 г.
Умножение смешанных чисел — сложное 586.3 Кбайт 1380 3 сентября 2019 г.
Умножение смешанных чисел — очень сложно 591.3 Кбайт 1360 3 сентября 2019 г.
Неположительные неправильные дроби
Умножение неправильных дробей — очень просто 171.2 Кбайт 1411 3 сентября 2019 г.
Умножение неправильных дробей — легко 174 Кбайт 1454 3 сентября 2019 г.
Умножение неправильных дробей — среднее 574.7 кБ 1419 3 сентября 2019 г.
Умножение неправильных дробей — средней твердости 573.9 Кбайт 1333 3 сентября 2019 г.
Умножение неправильных дробей — жесткое 570. 7 Кбайт 1351 3 сентября 2019 г.
Умножение неправильных дробей — очень сложно 577.4 Кбайт 1348 3 сентября 2019 г.
Умножение рабочих листов для студентов
Название листа Размер файла Загрузки Дата загрузки
Положительно
Умножение натуральных чисел 496.1 кБ 2432 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных десятичных знаков 51.8 Кбайт 1768 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных дробей 632.1 Кбайт 1571 3 сентября 2019 г.
Умножение смешанных положительных чисел 637.8 Кбайт 1784 3 сентября 2019 г.
Умножение положительных неправильных дробей 594. 6 кБ 1390 3 сентября 2019 г.
Неположительный
Умножение целых чисел 166.8 Кбайт 1810 3 сентября 2019 г.
Умножение десятичных знаков 246.3 Кбайт 1644 3 сентября 2019 г.
Умножение дробей 393.1 Кбайт 1639 3 сентября 2019 г.
Умножение смешанных чисел 412.4 кБ 1534 3 сентября 2019 г.
Умножение неправильных дробей 334.1 Кбайт 1440 3 сентября 2019 г.
Обратная дробь — ChiliMath
Помните, что дробь состоит из трех частей.
ЧАСТИ ФРАКЦИИ
Как найти величину, обратную дроби
Чтобы получить величину, обратную дроби
просто меняет местами или местами числитель и знаменатель. Вы можете сказать, что мы просто переворачиваем исходную дробь вверх дном.
Примеры нахождения обратной дроби
Пример 1: Найдите величину, обратную дроби, указанной ниже.
Давайте перевернем дробь {3 \ over 7} вверх дном, чтобы получить обратную величину. Это дает нам
Пример 2: Найдите величину, обратную дроби, указанной ниже.
Для некоторых это может быть непросто. Обратите внимание, что числитель отрицательный. Если перевернуть эту дробь вверх дном, то естественно должно получиться
.
Поскольку это отрицательная дробь, отрицательный символ не всегда может «следовать» за числом, к которому он изначально прикреплен.
Другими словами, отрицательный символ может оставаться в числителе. Итак, после инвертирования двух чисел отрицательный символ присоединяется к 2. Это также правильный ответ, поскольку он является обратной величиной исходной дроби.
Есть еще один способ записать обратную величину этой отрицательной дроби. Отрицательный символ не может быть присоединен к числителю или знаменателю , .
Также правильно размещать отрицательный символ непосредственно слева от дроби .Вот как это выглядит!
Итак, если дробь отрицательная, ее обратная величина может быть записана тремя способами.
Отрицательный символ остается с числителем
Отрицательный символ остается со знаменателем
Отрицательный символ остается с дробной чертой
Пример 3: Запишите обратную величину отрицательной дроби ниже тремя различными способами.
Решение:
Пример 4: Найдите значение, обратное целому числу 15.
Любое ненулевое целое число может быть выражено знаменателем , равным 1.
Имея четкий знаменатель, мы можем легко перевернуть эту дробь вверх дном, чтобы получить обратную величину.
Пример 5: Найдите обратное целому числу — 11.
Сначала перепишите это целое число со знаменателем , равным 1.
Теперь, имея четкий знаменатель, мы можем найти его обратную величину. У нас есть отрицательный символ в числителе, помните, что его можно расположить в трех разных местах: числитель, знаменатель и дробь.Вот возможные ответы!
Вас также может заинтересовать:
Сложение и вычитание дробей с одним знаменателем
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Умножение дробей
Деление дробей
Упрощение дробей
Эквивалентные дроби
Рабочий лист
дробей
Добро пожаловать на страницу рабочих листов для дробей на Math-Drills.com, где чашка наполовину заполнена! Скорее всего, это одна из самых популярных наших страниц, потому что изучение дробей невероятно важно в жизни человека, и это математическая тема, к которой многие подходят с трепетом из-за плохой репутации на протяжении многих лет. Освоить дроби на самом деле не так сложно, особенно с поддержкой нашего широкого выбора рабочих листов.
Эта страница включает в себя рабочие листы дробей для понимания дробей, включая моделирование, сравнение, упорядочение, упрощение и преобразование дробей и операции с дробями. Начнем с очевидного: моделирование дробей. Это отличная идея, если студенты действительно могут понять, что такое дробь, поэтому, пожалуйста, уделите немного времени аспекту моделирования. Связь моделирования с реальной жизнью тоже очень помогает, так как гораздо легче связать половину печенья, чем половину квадрата.Спросите у большинства студентов, что вы получите, если добавите половину печенья и половину печенья, и они, вероятно, дадут вам знать, что из этого получится одна вкусная закуска.
Другие рабочие листы на этой странице посвящены тому, чтобы помочь студентам понять концепцию дробей. От сравнения и упорядочения до упрощения и преобразования … к тому времени, когда студенты усвоят материал на этой странице, операции с дробями будут похожи на прогулку по парку.
Рабочие листы с самыми популярными дробями на этой неделе
Распечатки с дробями общего назначения
Дробные круги
Черные и белые круги дробей можно использовать как манипуляторы для сравнения дробей.Сделайте фотокопию рабочего листа на слайд с проекцией сверху. Карандашом слегка закрасьте соответствующий кружок, чтобы изобразить первую дробь на бумажной копии. Используйте непостоянную ручку над головой, чтобы раскрасить соответствующий круг, чтобы обозначить вторую дробь. Положите слайд на бумагу и сравните два круга. Вы легко сможете определить, какая дробь больше или меньше или равны две дроби. Используйте оба листа повторно, стирая карандаш и смывая маркер.
Фракционные полоски
Полоски с дробями можно ламинировать для повышения прочности и вырезать для сравнения, упорядочивания, сложения и вычитания дробей.Они очень полезны для сравнения дробей. Вы также можете скопировать полоски с дробями на слайды проекции и вырезать их. Они будут не только долговечными, но и прозрачными, что полезно при использовании в сочетании с бумажными версиями (например, для сравнения дробей).
Рабочие листы моделирования дробей
Помимо использования приведенных ниже таблиц, вы также можете попробовать еще несколько интересных способов моделирования дробей. Здоровые закуски могут стать отличными моделями для дробей.Можно ли разрезать огурец пополам? Помидор на четвертинки? Можно ли сделать две трети винограда красными, а одну треть — зелеными?
Моделирование фракций с группами фигур
Дроби могут представлять части группы или части целого. В этих таблицах дроби моделируются как части группы.
Моделирование фракций прямоугольниками
Моделирование фракций с кругами
Таблицы соотношений и пропорций
Соотношение изображений
Эквивалентные дроби
Рабочие листы моделей эквивалентных фракций включают только «фракции выпечки» в версиях A. Чтобы увидеть более сложные и разнообразные дроби, выберите версии от B до J после загрузки версии A.
Эквивалентные соотношения
Таблицы сравнения и сортировки дробей
Сравнение простых дробей
Есть много разных стратегий, кроме просмотра страницы, которые помогут в сравнении дробей. Попробуйте начать с чего-нибудь наглядного, что будет изображать рассматриваемые дроби.Мы настоятельно рекомендуем наши дробные полоски (прокрутите немного вверх). Использование линейки, такой как линейка, книга или складка, поможет учащимся легко увидеть, какая дробь больше или равна ли они. Следует также отметить, что сравниваемые вещи должны быть одинаковыми. Например, каждая фракционная полоска имеет одинаковый размер, тогда как если вы возьмете треть арбуза и половину винограда, арбуз, вероятно, победит.
Сравнение простых и неправильных дробей
Еще одна стратегия, которую можно использовать при сравнении дробей, — использовать числовую линию и использовать контрольные цифры, такие как 0, 1, 1/2, чтобы выяснить, куда идет каждая дробь, а затем посмотреть, какая из них больше. Студенты на самом деле делают это все время, так как они часто могут сравнивать дроби, осознавая, что одна меньше половины, а другая больше половины. Они также могут увидеть, что одна фракция намного ближе к целому, чем другая фракция, даже если они обе могут быть больше половины.
Сравнение простых, неправильных и смешанных дробей
Другая стратегия сравнения дробей — преобразовать каждую дробь в десятичную дробь и сравнить десятичные дроби.Десятичные преобразования можно запомнить (особенно для обычных дробей), рассчитанные путем деления в столбик, с помощью калькулятора или справочной таблицы. Мы предлагаем последнее, поскольку использование справочной таблицы часто приводит к мысленному вспоминанию.
Заказ дробей в числовой строке
Многие из тех же стратегий, которые работают для сравнения дробей, также работают для упорядочивания дробей. Использование таких манипуляторов, как полоски дробей, использование числовых линий или поиск десятичных эквивалентов, заставит ваших учеников быстро расставить дроби в правильном порядке.Мы, вероятно, говорили об этом раньше, но убедитесь, что вы подчеркнули, что при сравнении или упорядочивании дробей учащиеся понимают, что целое должно быть одинаковым. Сравнение половины населения Канады с третью населения Соединенных Штатов не поможет. Попробуйте использовать визуальные эффекты, чтобы усилить эту важную концепцию. Несмотря на то, что мы включили числовые линии ниже, вы можете свободно использовать свои собственные стратегии.
Заказ дробей
Рабочие листы с упорядочением дробей в этом разделе не включают числовую строку, чтобы студенты могли использовать различные стратегии сортировки.
Рабочие листы для упрощения и преобразования дробей
Округление дробей
Округление дробей помогает учащимся немного лучше понимать дроби и может применяться для оценки ответов на вопросы о дробях. Например, если нужно было оценить 1 4/7 × 6, они, вероятно, могли бы сказать, что ответ будет примерно 9, поскольку 1 4/7 составляет примерно 1 1/2, а 1 1/2 × 6 — 9.
Упрощение дробей
Изучение того, как упрощать дроби, значительно облегчает жизнь студента в дальнейшем, когда он будет изучать операции с дробями.Это также помогает им узнать, что дроби, которые выглядят по-разному, могут быть эквивалентными. Один из способов продемонстрировать это — разделить две эквивалентные дроби. Например, 3/2 и 6/4 при делении дают частное 1,5. Будем надеяться, что практикуя упрощение дробей, студенты будут распознавать неупрощенные дроби, когда они начнут складывать, вычитать, умножать и делить на дроби.
Преобразование из неправильной дроби в смешанную
Преобразование между дробями, десятичными знаками, процентами и отношениями Преобразование дробей в завершающие десятичные дроби Преобразование дробей в завершающие и повторяющиеся десятичные дроби Преобразование завершающих десятичных знаков в дроби Преобразование завершающих и повторяющихся десятичных знаков в дроби Преобразование дробей в сотые Преобразование дробей в десятичные, проценты и частичные в Части соотношений ( только завершающие десятичные дроби) Преобразование дробей в десятичные дроби, проценты и части-к- целые отношения ( только завершающие десятичные дроби) Преобразование десятичных дробей в дроби, проценты и частичные-к- Части отношения ( только завершающие десятичные дроби) Преобразование десятичных дробей в дроби, проценты и части-к- целые отношения ( только завершающие десятичные числа) Преобразование процентов в дроби, десятичные дроби и частичные-к- частичные отношения ( только завершающие десятичные дроби) Преобразование процентов в дроби, десятичные дроби и частичные-к- целые отношения ( только завершающие десятичные дроби) Преобразование дробных соотношений в дроби, десятичные дроби и проценты ( только завершает десятичные дроби) Преобразование отношения части к целому в дроби, десятичные дроби и проценты ( только завершает десятичные дроби) Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и дробных чисел в Части соотношений (, завершающее десятичных знаков) Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и частей в целых соотношений (, завершающее десятичных знаков) Преобразование дробей в десятичные дроби, проценты и дробные части Часть соотношений Преобразование дробей в десятичные, проценты и частичные целые отношения Преобразование десятичных дробей в дроби, проценты и частичные к Части отношения Преобразование десятичных дробей в дроби, проценты и дробные части Целые отношения Преобразование процентов в дроби, десятичные дроби и части Часть отношений Преобразование процентов в дроби, десятичные дроби и дроби в целые отношения Преобразование частичных соотношений в дроби, десятичные дроби и проценты Преобразование целого числа в дроби, десятичные дроби и проценты Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и дробей в Части соотношений Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и дробей в целых соотношений Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и частей в Части отношений с 7-ми и 11-ми Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и частей в целых соотношений с 7 и 11 (СТАРЫЙ) Преобразование дробей, десятичных знаков, процентов и соотношений
Рабочие листы операций с дробями
Умножение дробей
Умножение дробей обычно менее запутанно с операционной точки зрения, чем любая другая операция, и может быть менее запутанным в концептуальном плане при правильном подходе. Алгоритм умножения — это просто умножение числителей, а затем знаменателей. Волшебное слово в понимании умножения дробей — «из». Например, что составляет две трети ОТ шести? Что такое треть от половины? Когда вы используете слово «из», становится намного легче визуализировать умножение дробей. Пример: разрезать буханку хлеба пополам, затем половину разрезать на три части. Одна треть полбуханки хлеба такая же, как 1/3 x 1/2, и вкусная с маслом.
На дроби
По идее, деление на дроби, вероятно, самая сложная из всех операций, но мы собираемся помочь вам.Алгоритм деления дробей аналогичен умножению дробей, но вы находите обратное значение второй дроби или производите перекрестное умножение. Это даст вам правильный ответ, что чрезвычайно важно, особенно если вы строите мост. Мы рассказали вам, как концептуализировать умножение дробей, но как оно работает с делением? Легкий! Вам просто нужно выучить волшебную фразу: «Сколько в __? Например, в вопросе 6 & div; 1/2 вы спросите:« Сколько половинок в 6? »Становится немного больше. трудно, когда оба числа являются дробными, но это не гигантский скачок, чтобы понять это.1/2 & div; 1/4 — довольно простой пример, особенно если вы думаете о монетах США или Канады. Сколько четвертей в полдолларе?
Сложение дробей
Для сложения дробей нужен надоедливый общий знаменатель. Упростите жизнь своих учеников, сначала обучив их понятиям эквивалентных дробей и наименьших общих кратных. Как только учащиеся знакомы с этими двумя концепциями, идея поиска дробей с общими знаменателями для сложения становится намного проще.Время, потраченное на моделирование дробей, также поможет учащимся понять сложение дробей. Связь дробей с знакомыми примерами, безусловно, поможет. Например, если вы добавите 1/2 банана и 1/2 банана, вы получите целый банан. Что произойдет, если вы добавите 1/2 банана и 3/4 другого банана?
Добавление смешанных фракций Рабочие листы
Обычная стратегия, которую используют при добавлении смешанных фракций, состоит в том, чтобы преобразовать смешанные фракции в неправильные фракции, завершить сложение, а затем переключиться обратно. Другая стратегия, требующая немного меньших умственных способностей, — рассматривать целые числа и дроби по отдельности. Сначала сложите целые числа. Добавьте доли секунды. Если полученная дробь неправильная, ее нужно преобразовать в смешанное число. Часть целого числа может быть добавлена к исходной части целого числа.
Вычитание Дробей
Нет большой разницы между сложением и вычитанием дробей.Оба требуют общего знаменателя, что требует некоторых предварительных знаний. Единственная разница в том, что второй и последующие числители вычитаются из первого. Существует опасность того, что вы можете получить отрицательное число при вычитании дробей, поэтому учащимся, возможно, потребуется узнать, что это означает в этом случае. Когда дело доходит до любого понятия в дробях, всегда полезно связать его с знакомой или простой для понимания ситуацией. Например, 7/8 — 3/4 = 1/8 может иметь значение в контексте гонки.Первый бегун шел на 7/8 по трассе, а второй бегун на 3/4 по трассе. Как далеко впереди был первый бегун? (1/8 трека).
Вычитание смешанных дробей Рабочие листы
Рабочие листы с дробями различных операций
Смешивание знаков операций с рабочими листами с дробями заставляет учащихся уделять больше внимания тому, что они делают, и позволяет хорошо проверить свои навыки в более чем одной операции.
Сложение и вычитание дробей
Умножение и деление дробей
Смешанные операции с дробями
Операции с
Отрицательными дробями
Хотя некоторые из этих листов представляют собой отдельные операции, было бы полезно иметь все они в одном месте.При выполнении операций с отрицательными дробями следует учитывать некоторые особенности. Обычно очень полезно перед тем, как продолжить, заменить любые смешанные числа на неправильную дробь. Важно обращать внимание на знаки и знать правила умножения положительных и отрицательных (++ = +, + — = -, — + = — и — = +).
Порядок операций с дробями Рабочие листы
Порядок операций с листами дробей с опциями как положительных, так и отрицательных дробей различной сложности.
Порядок операций с
дробями
Как и другие рабочие листы с порядком операций, рабочие листы с порядком дроби операций требуют некоторых предварительных знаний. Если ваши ученики борются с этими вопросами, вероятно, это больше связано с их способностью работать с дробями, чем с самими вопросами. Внимательно наблюдайте и постарайтесь точно указать, каких необходимых знаний не хватает, а затем потратьте некоторое время на изучение этих концепций / навыков, прежде чем продолжить.В противном случае приведенные ниже рабочие листы должны содержать довольно простые ответы и не должны приводить к чрезмерному выпадению волос.
Порядок операций с
десятичными и смешанными дробями .
Как избавиться от минуса в уравнении
Как превратить отрицательную дробь в положительную?
Любую дробь можно умножить на аа без изменения значения, так как оно равно единице. Так, умножьте дробь на u22121u22121 очистить отрицательные знаки (или переместить их между верхним и нижним).
Аналогично, как избавиться от отрицательной дроби в уравнении?
Добавляет ли два минуса плюс? Когда у вас два отрицательных знака, один переворачивается, а они складываются вместе, чтобы сделать положительный.
Похожие страницы:
Блог

Какие есть 3 вида налогов?

Как найти среднюю точку между двумя точками?

Как вы делаете кадровые прогнозы?

Как найти начальную скорость, зная только время?

Как вычесть положительные и отрицательные дроби?

Во-вторых, 3 минуса дают плюс? Правило 3: Отрицательное число, умноженное на отрицательное, равняется положительному числу.. … Если вы посмотрите на числовую прямую, идя назад, глядя в отрицательном направлении, вы двигаетесь в положительном направлении. Например. -2 x -4 оба отрицательны, поэтому мы знаем, что ответ будет положительным.

Как складывать и вычитать минусы?

тогда как складывать положительные и отрицательные целые числа?

Как складывать дроби с отрицательным числителем?

Можно ли иметь отрицательные дроби?

Дроби, как и любой другой арифметический тип, могут быть отрицательными. Конкретно, если только числитель или знаменатель отрицательные, то дробь отрицательна.

Как умножить положительные и отрицательные дроби?

0 положительное или отрицательное целое число?

Число ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Положительные и отрицательные числа иногда называют числами со знаком. в. Положительные числа можно записывать как со знаком плюс, так и без него.

Что такое отрицательное разделить на отрицательное? Отрицательное, деленное на отрицательное, точно так же, как отрицательное, умноженное на отрицательное, вы получите положительный ответ.

Почему негативы отменяются?

После появления вы умножаете отрицательное число на положительное число, отрицательное число переворачивает знак, и ваш результат будет отрицательным числом. Однако, когда вы умножаете два отрицательных числа вместе, первое изменяет знак с положительного на отрицательное, а второе — обратно.

Как добавить минусы?

Добавление отрицательного числа то же, что вычитание положительного числа — то есть идти вниз (влево) по числовой строке. Это правило работает независимо от того, начинаете ли вы с положительного или отрицательного числа.

Почему 2 минуса дают плюс при вычитании? Вычитание числа равносильно добавлению его противоположности. Итак, вычитание положительного числа похоже на добавление отрицательного; вы двигаетесь влево по числовой прямой. Вычитание отрицательного числа похоже на добавление положительного; вы двигаетесь вправо по числовой прямой.

Каковы правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел? При сложении или вычитании отрицательных чисел может быть полезно использовать числовую прямую.

Чтобы складывать и вычитать числа, всегда начинайте отсчет с нуля.
При сложении положительных чисел считайте вправо.
При вычитании положительных чисел считайте влево.

Как добавить минус?

Добавление отрицательного числа является то же, что вычитание положительного числа — то есть идти вниз (влево) по числовой строке. Это правило работает независимо от того, начинаете ли вы с положительного или отрицательного числа.

Каковы правила для отрицательных и положительных чисел? Правила для положительных и отрицательных чисел

Положительное число имеет значение больше нуля. …
Отрицательное число имеет значение меньше нуля. …
Сумма положительного числа и равного ему отрицательного числа равна нулю.
Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Какие есть отрицательные и положительные правила?

Правило	Пример
+ (+)	Два подобных знака становятся положительным знаком	3 + (+ 2) = 3 + 2 = 5
— (-)	6 — (- 3) = 6 + 3 = 9
+ (-)	Два непохожих знака становятся отрицательным знаком	7 + (- 2) = 7 — 2 = 5
— (+)	8 — (+ 2) = 8-2 = 6

Может ли числитель быть отрицательным? Обычно перед дробью ставится знак «минус», но иногда встречаются дроби с отрицательным числителем или знаменателем. … Если и числитель, и знаменатель отрицательны, то сама дробь положительна, потому что мы делим отрицательное на отрицательное.

Как сложить положительную и отрицательную смешанные дроби?

Как сложить положительные и отрицательные числа? Добавление положительных и отрицательных чисел

Правило 1: Складывание положительных чисел с положительными числами — это обычное сложение.
Правило 2. Прибавляя положительные числа к отрицательным числам, считайте сумму, которую вы добавляете, вперед.
Правило 3. Прибавляя отрицательные числа к положительным числам, считайте в обратном порядке, как если бы вы вычитали.

Почему существуют отрицательные дроби?

Отрицательная дробь может указывать отсутствие удаления указанного количества. Например, добавление -1/2 пиццы будет означать удаление 1/2 этой пиццы. Так что да, дроби могут быть отрицательными.

Рациональны ли отрицательные дроби? Отрицательные дроби рациональное число — они не иррациональны. Любое число, которое может быть выражено в форме mn, где m, n — целые числа, а n ≠ 0 — рациональное число.

Как избавиться от минуса в дроби

Отрицательные дроби – это дроби, числитель или знаменатель которых является отрицательным числом.

Отрицательные дроби могут быть записаны по-разному. Например, рассмотрим два частных:

каждое из них равно отрицательному числу

Каждое из данных частных можно записать в виде дроби, в которой дробная черта заменит знак деления:

-2 : 7	=	-2	и	2 : (-7)	=	2
		7				-7

—	2	=	-2	=	2
	7		7		-7

Сложение и вычитание

—	2	+ (-	1	)
	5		4

Приведём дроби к общему знаменателю:

—	2	+ (-	1	) =	-8	+	-5
	5		4		20		20

Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:

-8	+	-5	=	-8 + (-5)	=	-13	=	—	13
20		20		20		20			20

—	2	+ (-	1	) =	-8	+	-5	=	-8 + (-5)	=	-13	=	—	13
	5		4		20		20		20		20			20

—	5	— (-	11	) =	—	5	+ (+	11	) =	—	5	+	11	=	-5 + 11	=	6
	12		12			12		12			12		12		12		12

Умножение и деление

—	2	· (-	4	) =	-2	·	-4	=	-2 · (-4)	=	8
	3		5		3		5		3 · 5		15

—	2	· (-	4	) =	2	·	4	=	2 · 4	=	8
	3		5		3		5		3 · 5		15

При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.

—	2	·	4	=	—	2 · 4	=	—	8
	3		5			3 · 5			15

4	· (-	2	) =	—	4 · 2	=	—	8
5		3			5 · 3			15

То есть при умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным.

—	2	: (-	4	) =	-2	:	-4	=	-2 · 5	=	-10	=	10
	3		5		3		5		3 · (-4)		-12		12

Знак результата умножения или деления отрицательных дробей можно узнать по правилам знаков целых чисел.

Как возвести число в отрицательную степень

Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:

«перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
заменить отрицательную степень на положительную ;
возвести число в положительную степень.

Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.

,где a ≠ 0, n ∈ z ( n принадлежит целым числам).

Примеры возведения в отрицательную степень.

6 −2 =

Любое число в нулевой степени — единица.

Примеры возведения в нулевую степень.

Как найти

10 в минус 1 степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

Возведем « 10 −1 » по правилам отрицательной степени. Перевернем « 10 » и запишем её в виде дроби «

» и заменим отрицательную степень « −1 » на
положительную степень « 1 ».

10 1

Возведем « 10 » в « 1 » степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

10 1

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

10 1

По такому же принципу можно найти « 10 » в минус второй, третьей и т.д.

Проверим правило выше для « 10 −2 ».

Как возвести в отрицательную степень дробь

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:

«перевернуть» дробь;
заменить отрицательную степень на положительную ;
возвести дробь в положительную степень.

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

) −3 =
Перевернем дробь «

» и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
(

3 3

10 3

1000

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

3 3

10 3

1000

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Перевернем число « −5 » и заменим отрицательную степень « −2 »
на положительную « 2 ».

Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель « 1 »,
и знаменатель « 5 ».

1 2

5 2

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная .

Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная .

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь « (−

Теперь определим конечный знак результата возведения в « 3 » степень.

3 3

2 3

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

3 3

2 3

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

11 2

9 2

121

Свойства отрицательной степени

Запомните!

a m · a n = a m + n
a m
a n