Когда можно перемножать матрицы: IIS 7.0 Detailed Error — 404.11

13. Умножение матриц

Отметим, что перемножать матрицы А и В можно только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Однострочная матрица называется Строкой, а одно столбцовая матрица называется Столбцом. Пусть даны строка А и столбец В одинаковой длины,

.

Определение 4. Произведением АВ строки А на столбец В той же длины называется сумма попарных произведений элементов строки на соответствующие элементы столбца, т. е.

.

Пусть число столбцов матрицы А равно числу столбцов матрицы В,

, .

Определение 5. Произведением АВ Матрицы А размерности m´N На матрицу В размерности n´K называется такая матрица С размерности m´K, каждый элемент которой сумма попарных произведений элементов I-й строки на соответствующие элементы j-го столбца, т.

е.

. (1)

Таким образом для того, чтобы перемножить матрицы А и В необходимо умножить каждую строку матрицы А на каждый столбец матрицы В. Условие умножения двух матриц схематически можно изобразить следующим образом:

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Последний пример показывает, что операция умножения некоммутативна даже для квадратных матриц.

Теорема 2. Для любых матриц А, В и С соответствующей размерности и для любых чисел A,B€K Справедливы следующие свойства.

1. (АВ)С=А(ВС) — Ассоциативность сложения.

2. (А+В)С=АС+ВС — правый дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

3. А(В+С)=АВ+АВ — Левый дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

4. A(АВ

)=(AА)В=А(AВ) — ассоциативность умножения на число.

Доказательство. Доказательства этих свойств основываются на определениях 1-3, 5 и свойствах операций в кольце К. Докажем, например, свойство 1.

Пусть матрицы соответственно размерностей M´N, N´K, K´S (обозначены только общие элементы этих матриц). Тогда Существуют и матрицы соответственно размерностей M´K, n´S:

,

.

Отсюда матрицы имеют одинаковые размерности M´S. Докажем, что соответствующие элементы этих матриц равны. Действительно, в силу приведенных выше формул

Для . Свойство доказано.

Обозначим множество всех квадратных матриц порядка n c элементами из кольца К черех . называется Матричным кольцом.

< Предыдущая		Следующая >

двух матриц умножение

Вы искали двух матриц умножение? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и двух умножение матриц, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «двух матриц умножение».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как двух матриц умножение,двух умножение матриц,единичную матрицу умножить на матрицу,как матрицу умножить на дробь,как матрицу умножить на матрицу,как матрицу умножить на столбец,как найти произведение матриц,как перемножать матрицы,как перемножать матрицы 3х3,как перемножаются матрицы,как перемножить две матрицы,как перемножить матрицы разных размеров,как перемножить три матрицы,как умножать матрицы 2 на 2,как умножать матрицы друг на друга,как умножать матрицы разных размеров,как умножить две матрицы,как умножить единичную матрицу на матрицу,как умножить матрицу,как умножить матрицу 2х3 на 2х3,как умножить матрицу на единичную матрицу,как умножить матрицу на матрицу,как умножить матрицу на матрицу 3 на 3,как умножить матрицу на обратную матрицу,как умножить матрицы,как умножить на матрицу столбец,как умножить столбец на матрицу,как умножить три матрицы,какие можно матрицы складывать,матриц двух умножение,матриц умножение двух,матрица примеры умножение,матрица умножение,матрица умножение на матрицу,матрицу умножить на единичную матрицу,матрицы примеры умножение,матрицы произведение,матрицы умножение,матрицы умножение примеры,матричное умножение,перемножение двух матриц,перемножение матриц примеры,правила перемножения матриц,правила умножения матриц,правила умножения матрицы на матрицу,правило перемножения матриц,правило умножение матриц,правило умножения матриц,правило умножения матрицы на матрицу,примеры матриц умножения,примеры матрицы умножение,примеры произведение матриц,примеры умножение матрицы,примеры умножение матрицы на матрицу,примеры умножения матриц,произведение матриц примеры,произведение матриц примеры и решения,произведение матриц формула,произведение матрицу на матрицу,произведение матрицы,произведения матриц,свойства матриц умножение,свойства умножение матриц,свойства умножения матриц,сложение и умножение матриц,умножение 2х2 матриц,умножение двух матриц,умножение и сложение матриц,умножение квадратных матриц,умножение матриц 2х2,умножение матриц 2х2 на 2х2,умножение матриц 3 на 3,умножение матриц 3х3,умножение матриц двух,умножение матриц друг на друга,умножение матриц квадратных,умножение матриц на матрицу,умножение матриц правила,умножение матриц правило,умножение матриц пример,умножение матриц примеры,умножение матриц примеры с решением,умножение матриц разных размеров,умножение матриц свойства,умножение матриц третьего порядка,умножение матриц формула,умножение матрица на матрицу,умножение матрицы,умножение матрицы 2х2 на 2х2,умножение матрицы на матрицу,умножение матрицы на матрицу примеры,умножение матрицы на столбец,умножение матрицы примеры,умножение на единичную матрицу,умножения матриц,умножения матриц правила,умножения матриц примеры,умножения матриц свойства,умножения матриц формула,умножить матрицу на единичную матрицу,умножить матрицу на матрицу столбец,формула произведение матриц,формула умножение матриц,формула умножения матриц,формула умножения матрицы.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и двух матриц умножение. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, единичную матрицу умножить на матрицу).

Решить задачу двух матриц умножение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Умножение матриц

До сих пор мы имели дело с достаточно простыми операциями: сложение и вычитание матриц ограничено матрицами одинакового размера, а скалярное умножение просто прогоняет одно число через всю матрицу.

Но поймите: настоящие матрицы тоже можно перемножать друг с другом. Это немного сложнее, но в основном вам просто нужно помнить самое главное: размер имеет значение — по крайней мере, для перемножения матриц.

Размер задействованных матриц является наиболее важным фактором, поэтому будьте осторожны: для перемножения матриц количество столбцов в первой матрице должно быть таким же, как количество строк во второй. И это сделает вашу жизнь намного, намного проще, если вы потратите секунду, чтобы освежить в памяти разницу между строкой и столбцом. Помните, строк — это горизонтальных (слева направо), а столбцов — это вертикальных (сверху вниз).

Пример задачи

Допустим, у нас есть матрица A и матрица B :

Как размер матриц, так и порядок, в котором мы их умножаем.

AB — это то, что мы не можем сделать, потому что в A есть два столбца и три строки в B . Игра окончена, чувак.

BA мы можем сделать, потому что B имеет два столбца, а A имеет две строки. Идеальный. Следующее, что нужно помнить, это то, что матрица произведения будет иметь то же количество строк, что и первая матрица, и то же количество столбцов, что и вторая матрица . Да, это так важно, что мы выделили всю чертову штуку курсивом.

Далее до BA . Вот как это выглядит:

Мы знаем, что произведение будет иметь три строки, как B , и два столбца, как A :

Мы уже знаем, что первая матрица здесь B , и второй А . Назовем наш продукт P . В этом случае записи в матрицах могут быть помечены следующим образом:

Вам нужно пройтись по ним и вниз, чтобы понять это:

P ₁₁  = ( B ₁₁ )( A ₁₁ ) + ( B ₁₂ )( A ₂₁ )

Умножаем и складываем элементы первого столбца первой строки матрицы вторая матрица. Поэтому размеры должны совпадать, чтобы ничего не осталось. Затем для следующей записи в нашем продукте:

P ₁₂ = ( B ₁₁ ) ( A ₁₂ ) + ( B ₁₂ ) ( A ₂₂ )

9008 Теперь. следующая часть. Вы умножаете и складываете элементы второй строки первой матрицы с элементами первого столбца второй матрицы. Пристегнитесь.

P ₂₁  = ( B ₂₁ )( A ₁₁ ) + ( B ₂₂ )( A ₂₁ )

Затем вы объединяете вторую строку первой матрицы со вторым столбцом второй матрицы. Это дает вам второй ряд вашего продукта.

P ₂₂ = ( B ₂₁ ) ( A ₁₂ ) + ( B ₂₂ ) ( A ₂₂ )

). Еще одна строка, и вы, наверное, догадываетесь, как она идет:

P ₃₁ = ( B ₃₁ ) ( A ₁₁ ) + ( B ₃₂ ) ( A ₂₁ )

P _{32 21} )

P ₃₂ )

P _{32 )}

99 32 )

9 32 ₂₁ ) ₃₁ ) ( A ₁₂ ) + ( B ₃₂ ) ( A ₂₂ )

ВСЕ, что мусор в большую картину, мы получим это:

здесь. другой способ смотреть на это. Мы знаем из правил, что P будет иметь три строки, например B , и два столбца, например A . Попробуйте визуализировать три из них вместе следующим образом:

            

Глядя на пересечения, мы можем увидеть, какая строка B и какой столбец A сталкиваются, чтобы получить одно из P . записи. Ниже мы видим, что X отмечает место, где первая строка B и первый столбец A разбиваются:

            

Мы знаем, что эти четыре числа нужно объединить в одно. Как они это делают? Ну, читаем строки слева направо, как книгу. Читаем столбцы сверху вниз. Следовательно, умножаем первое число из B в первой строке на первое число из A в первом столбце:

(1)(2) = 2

Затем умножаем второе число из B первая строка со вторым числом из A первый столбец:

(3)(3) = 9

И мы складываем их вместе:

(1)(2) + (3)(3) = 2 + 9 = 11

Затем мы проверяем коллизию между первой строкой из B и второй столбец из A :

                         

Да; X отмечает место, и мы делаем то же самое. Читаем ряды слева направо, как книгу. И мы читаем столбцы сверху вниз. Умножаем первое число из B первой строки на первое число из A 9Второй столбец 0008: (1)(1) = 1. Затем мы умножаем второе число из B в первой строке на второе число из A во втором столбце: (3)(2) = 6 Сложите их вместе, чтобы получить нашу запись для X:

(1)(1) + (3)(2) = 1 + 6 = 7

                         

Мы знаем, мы знаем. Мы как заезженная пластинка, но Х снова ставит точку, и мы делаем то же самое. Мы читаем строку слева направо и читаем столбец сверху вниз. На этот раз мы делаем вторую строку в произведении, поэтому мы умножаем первое число из B во второй строке с первым числом из A в первом столбце: (2)(2) = 4. Затем умножьте второе число из B во второй строке на второе число из A первый столбец: (1)(3) = 3. Теперь сложите их:

(2)(2) + (1)(3) = 4 + 3 = 7

Теперь мы действительно кое-что достигли. Почти на месте.

Теперь это выглядит так, и мы можем видеть, что будет дальше:

                

X отмечает точку, друг, и мы делаем то же самое. Строка идет слева направо, столбец сверху вниз. На этот раз мы все еще делаем второй ряд в продукте, но мы переходим ко второму месту в нем. Умножаем первое число из B вторая строка с первым числом из A второй столбец: (2)(1) = 2. Затем мы умножаем второе число из B вторая строка со вторым числом из A Второй столбец : (1)(2) = 2. Добавьте этих парней:

(2)(1) + (1)(2) = 2 + 2 = 4

                                     

И мы это делаем снова и снова, на этот раз с третьей строкой B , по одному разу для каждой записи в первом столбце A .

(4)(2) + (2)(3) = 8 + 6 = 14

                

И, наконец, мы объединяем третью строку B со вторым столбцом A

: (4)(1) + (2)(2) = 4 + 4 = 8

У-у-у! Мы сделали это!

Мы не растерялись, и становится только легче, пока мы помним самые важные правила:

1. Для перемножения матриц число столбцов в первой матрице должно быть таким же, как количество строк в секунда.
2. Матрица произведения будет иметь то же количество строк, что и первая матрица, и то же количество столбцов, что и вторая матрица.

Эй, помните, мы говорили, что даже когда у нас есть две матрицы одинакового размера, порядок имеет значение? Конечно, вы можете умножать в любом порядке, но ответ будет другим. Смотреть:

Образец задачи

Сначала мы можем сделать это в следующем порядке:

(2)(1) + (4)(4) = 2 + 16 = 18
(2)(0) + (4) )(2) = 0 + 8 = 8
(3)(1) + (3)(4) = 3 + 12 = 15
(3)(0) + (3)(2) = 0 + 6 = 6

Итак, это наш продукт:

А если мы поменяемся местами? (1)(2) + (0)(3) = 2 + 0 = 2 3) = 4 + 0 = 4
(4)(2) + (2)(3) = 8 + 6 = 14
(4)(4) + (2)(3) = 16 + 6 = 22

Это наш продукт:

Совершенно другой. Странно, да?

Придержите прессы. Помните единичную матрицу и нулевую матрицу?

Двоичное мышление

Единственный случай, когда число может быть умножено и останется прежним, это умножение на число 1.

3 × 1 = 3
100 × 1 = 100
457 820 × 1 = 457 820

В Стране матриц единичная матрица представляет собой матричную версию 1. Все матрицы идентичности равны 0, за исключением диагональной линии из 1, проходящей от верхнего левого угла к нижнему правому. Они могут быть любых размеров, главное, чтобы они были квадратными:

Вот что важно: всякий раз, когда матрица умножается на единичную матрицу, произведение равно неединичной матрице. И мы можем это доказать.

Пример задачи

Действуем так же, как при умножении ранее. Мы назовем единичную матрицу I , произведение P , а другую матрицу назовем T для Теда. Нам просто нравится это имя, хорошо? Попробуйте визуализировать их троих вместе вот так:

                

Итак, мы объединяем первую строку T с первым столбцом I , чтобы найти X:

(2)(1) + (3)(0) + = 2 + 0 + 0 = 2

Мы продолжаем действовать по этой схеме и получаем произведение, точно такое же, как T , потому что умножение матрицы на I похоже на умножение числа на число 1.

Правило:  Всякий раз, когда мы умножаем матрицу на единичную матрицу, ответ всегда такой же, как у неединичной матрицы. Да, мы вернули курсив для этого очень важного правила.

А нулевая матрица? Ну, мы же помним, что любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Точно так же нулевая матрица действует при умножении матриц. Это все нулевые матрицы:

Правило: Всякий раз, когда мы умножаем матрицу на нулевую матрицу, ответ всегда будет нулевой матрицей, которая имеет то же количество строк, что и первая матрица, и то же количество столбцов, что и вторая матрица.

Пример задачи

Мы знаем, что их можно перемножить, потому что количество столбцов в первой матрице (3) совпадает с количеством строк во второй (тоже 3). Мы также знаем, что матрица произведения будет матрицей 3 × 3, потому что матрица произведения будет иметь то же количество строк, что и первая матрица, и то же количество столбцов, что и вторая матрица.

Стрела:

Да, это так просто. Все, что умножается на ноль, равно нулю, даже в Стране Матриц.

Как перемножить две матрицы вместе

Получите максимум от просмотра этой темы в своем текущем классе. Выберите свой курс сейчас .

Intros

Начало просмотр

Уроки

1. Умножение матрицы на матрицу. Назнай:

   Dot Product

Примеры

. Страд

Примеры

. Страд

Примеры

. Строитель

.

70358. из следующих упорядоченных nnn-кортежей:

1. a⃗=(2,4,6) \vec{a}=(2,4,6) a=(2,4,6) и b⃗=(1,3,5)\vec{b}= (1,3,5)b=(1,3,5)
   
2. a⃗=(1,7,5,3) \vec{a}=(1,7,5,3) a=(1, 7,5,3) и b⃗=(−2,3,6,1)\vec{b}=(-2,3,6,1)b=(−2,3,6,1)
   
3. a⃗=(1,2) \vec{a}=(1,2) a=(1,2) и b⃗=(3,5)\vec{b}=(3,5)b=(3,5 )
   
4. a⃗=(7,−2,−1,4) \vec{a}=(7,-2,-1,4) a=(7,−2,−1,4) и b⃗= (1,1,2,2)\vec{b}=(1,1,2,2)b=(1,1,2,2)
   

Матрицы умножения
Умножьте следующие матрицы:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Multiplying matrices with different dimensions
Multiply the following matrices:

Free to Join!

StudyPug — это платформа помощи в обучении, охватывающая математику и естественные науки с 4 класса до второго курса университета. Наши видеоуроки, неограниченное количество практических задач и пошаговые объяснения обеспечат вам или вашему ребенку всю необходимую помощь для освоения концепций. Кроме того, это весело — с достижениями, настраиваемыми аватарами и наградами, которые поддерживают вашу мотивацию.

• Учащиеся
• Родители

• Регистрация бесплатно

• Легко видеть ваш прогресс

  Мы отслеживаем ваш прогресс по теме, чтобы вы знали, что вы сделали. В режиме просмотра курса вы можете легко увидеть, какие темы есть, и прогресс, которого вы достигли по ним. Заполните кольца, чтобы полностью освоить этот раздел, или наведите указатель мыши на значок, чтобы увидеть больше деталей.

• Воспользуйтесь нашими учебными пособиями

  Последнее просмотренное

  Практика точности

  Предлагаемые задания

  Получите быстрый доступ к теме, которую вы сейчас изучаете.

  No related posts.