Комплексные числа сложение вычитание деление умножение: Сложение, умножение и деление комплексных чисел

alexxlab / / Разное

Содержание

Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа

Раздел недели: Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.


Поиск на сайте DPVA

Поставщики оборудования

Полезные ссылки

О проекте

Обратная связь

Ответы на вопросы.

Оглавление

Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник



Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Комплексные числа. Мнимая единица. / / Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа

Поделиться:   

Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Формулы. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа.  Вариант для печати.

Комплексные числа — это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или мнимая единица.

i 2= — 1

Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:

Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью.

Самая популярная модель множества комплексных чисел — это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0).

Операции над комплексными числами.

На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.

1.1 Сложение.

(Как видно, данная операции в точности соответствует покоординатному сложению векторов)

1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:

.

2. Умножение.

(см. векторное произведение векторов)

3. Деление.

Определяется просто как обратная операция к умножению.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Модулем комплексного числа z называется следующая величина:

,

очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора {a,b}.

Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ.

Если представлять каждое комплексное число a+bi как вектор началом в точке (0,0) и концом в точке (a,b), то можно ввести еще одно понятие — угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси х, то есть «правый» угол, который получается с осью х. (см. рисунок справа).

Величина этого ула в радианах называется аргументом комплексного числа и обозначается : arg z.

Оказывается, что

z = ρ(cosφ+isinφ) .

Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы:

Последнюю формулу называют Формулой Муавра. Непосредственно из нее выводится формула корня n-ной степени из комплексного числа:

таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.


Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

 Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Арифметика комплексных чисел

Добавлено 15 августа 2020 в 15:46

Поскольку комплексные числа – это корректные математические объекты, как и скалярные числа, их можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в квадрат, инвертировать и т.д., как и любые другие числа.

Некоторые научные калькуляторы запрограммированы на выполнение таких операций непосредственно с двумя или более комплексными числами, но эти операции также можно выполнять «вручную». В данном разделе показано, как выполняются основные операции.

Настоятельно рекомендуется вооружиться научным калькулятором, способным легко выполнять арифметические операции над комплексными числами. Это сделает ваше изучение цепей переменного тока намного более приятным, чем, если бы вы были вынуждены проделывать все вычисления дольше вручную.

Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме

Складывать и вычитать комплексные числа в алгебраической форме очень просто. В случае сложения просто сложите действительные составляющие комплексных чисел, чтобы определить действительную составляющую суммы, и сложите мнимые составляющие комплексных чисел, чтобы определить мнимую составляющую суммы:

Рисунок 1 – Сложение комплексных чисел в алгебраической форме

При вычитании комплексных чисел в алгебраической форме просто вычтите действительную составляющую второго комплексного числа из действительной составляющей первого, чтобы получить действительную составляющую разности, и вычтите мнимую составляющую второго комплексного числа из мнимой составляющей первого числа, чтобы получить мнимую составляющую разности:

Рисунок 2 – Вычитание комплексных чисел в алгебраической форме

Умножение и деление комплексных чисел в полярной форме

Для обычного умножения и деления предпочтительнее использовать полярную форму записи комплексных чисел. При умножении комплексных чисел в полярной форме просто умножьте друг на друга амплитуды комплексных чисел, чтобы определить амплитуду произведения, и сложите углы комплексных чисел, чтобы определить угол произведения:

Рисунок 3 – Умножение комплексных чисел в полярной форме

Делить комплексные числа в полярной форме также легко: просто разделите амплитуду первого комплексного числа на амплитуду второго комплексного числа, чтобы получить амплитуду частного, и вычтите угол второго комплексного числа из угла первого комплексного числа, чтобы получить угол частного:

Рисунок 4 – Деление комплексных чисел в полярной форме

Чтобы получить обратное значение, или «инвертировать» (1/x) комплексное число, просто разделите число (в полярной форме) на скалярное значение 1, которое является не чем иным, как комплексным числом без мнимой составляющей (угол = 0):

Рисунок 5 – Получение обратного значения, или «инвертирования» (1/x), комплексного числа

Это основные операции, которые вам необходимо знать, чтобы манипулировать комплексными числами при анализе цепей переменного тока. Однако операции с комплексными числами никоим образом не ограничиваются только сложением, вычитанием, умножением, делением и инвертированием.

Практически любая арифметическая операция, которая может быть выполнена со скалярными числами, может быть применена и к комплексным числам, включая возведение в степень, извлечение корня, решение систем уравнений с комплексными коэффициентами и даже тригонометрические функции (хотя это включает в себя совершенно новую часть тригонометрии, называемую гиперболическими функциями, что выходит за рамки данного обсуждения).

Если вы знакомы с основными арифметическими операциями сложения, вычитания, умножения, деления и инвертирования, у вас не будет проблем с анализом цепей переменного тока.

Резюме

  • Чтобы сложить комплексные числа в алгебраической форме, сложите действительные компоненты и сложите мнимые компоненты. Вычитание выполняется аналогично.
  • Чтобы перемножить комплексные числа в полярной форме, перемножьте амплитуды (модули) и сложите углы. Чтобы разделить, разделите амплитуды (модули) и вычтите один угол из другого.

Оригинал статьи:

  • Complex Number Arithmetic

Теги

Комплексные числаОбучение

Назад

Оглавление

Вперед

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел

Результаты обучения

  • Сложение и вычитание комплексных чисел
  • Умножение комплексных чисел


Так же, как и с действительными числами, мы можем выполнять арифметические операции над комплексными числами. Чтобы сложить или вычесть комплексные числа, мы объединяем действительные части и объединяем мнимые части.

Общее примечание: сложение и вычитание комплексных чисел

Сложение комплексных чисел:

[латекс]\влево(а+би\вправо)+\влево(с+ди\вправо)=\влево(а+с\ вправо)+\влево(b+d\вправо)i[/латекс]

Вычитание комплексных чисел:

[латекс]\влево(а+би\вправо)-\влево(с+ди\вправо)=\влево(а-с\вправо)+\влево(b-d\вправо)i[/латекс ]

Как: Даны два комплексных числа, найти их сумму или разность.

  1. Определите действительную и мнимую части каждого числа.
  2. Добавьте или вычтите действительные части.
  3. Сложите или вычтите мнимые части.

Пример: добавление комплексных чисел

Добавьте [латекс]3 — 4i[/латекс] и [латекс]2+5i[/латекс].

Показать решение

Попробуйте

Вычтите [латекс]2+5i[/латекс] из [латекс]3 — 4i[/латекс].

Показать решение

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел очень похоже на умножение двучленов. Основное отличие состоит в том, что мы работаем с реальной и мнимой частями отдельно.

Умножение комплексного числа на вещественное число

Начнем с умножения комплексного числа на действительное число. Мы распределяем действительное число так же, как и биномиальное. Так, например,

[латекс]\begin{align}3(6+2i)&=(3\cdot6)+(3\cdot2i)&&\text{Распространить.}\\&=18+6i&&\text{Упростить.}\ end{align}[/latex]

Как: Даны комплексное число и действительное число, умножьте их, чтобы найти произведение.

  1. Использовать свойство дистрибутива.
  2. Упростить.

Пример: умножение комплексного числа на вещественное число

Найдите произведение [латекс]4\влево(2+5i\вправо)[/латекс].

Показать решение

Попробуй 9{2}=-1[/латекс], у нас есть

[латекс]\левый(а+би\правый)\левый(с+ди\правый)=ас+ади+bci-bd[/латекс]

Для упрощения мы объединяем действительные части и объединяем мнимые части.

[латекс]\влево(a+bi\вправо)\влево(c+di\вправо)=\влево(ac-bd\вправо)+\влево(ad+bc\вправо)i[/латекс]

Как: Имея два комплексных числа, умножьте их, чтобы найти произведение.

  1. Используйте свойство распределения или метод FOIL.
  2. Упростить.

Пример: умножение комплексного числа на комплексное число

Умножить [латекс]\влево(4+3i\вправо)\влево(2 — 5i\вправо)[/латекс].

Показать решение

Попробуйте

Умножить [латекс]\влево(3 — 4i\вправо)\влево(2+3i\вправо)[/латекс].

Показать решение

Внесите свой вклад!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад. Улучшить эту страницуПодробнее . Для деления комплексных чисел , нам нужно найти член, на который мы можем умножить числитель и знаменатель, который исключит мнимую часть знаменателя, чтобы мы получили действительное число в знаменателе.

В этой статье мы узнаем о делении комплексных чисел, делении комплексных чисел в полярной форме, делении мнимых чисел и делении сложных дробей.

1. Что такое деление комплексных чисел?
2. Шаги для деления комплексных чисел
3. Деление комплексных чисел в полярной форме
4. Часто задаваемые вопросы о делении комплексных чисел

Что такое деление комплексных чисел?

Деление комплексных чисел математически аналогично делению двух действительных чисел. Если \(z_1=x_1+iy_1\) и \(z_2=x_2+iy_2\) являются двумя комплексными числами, то деление комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) математически записывается как: 92}\справа)\конец{выровнено}\]

Шаги для деления комплексных чисел

Теперь, когда мы знаем, что такое деление комплексных чисел, давайте обсудим этапы деления комплексных чисел. Чтобы разделить два комплексных числа, выполните указанные шаги:

  1. Сначала вычислите сопряженное комплексное число, стоящее в знаменателе дроби. 2\theta_2)}\\&=\frac{r_1}{r_2}\left[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin( \theta_1-\theta_2)\right]\\&=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\end{выровнено}\]

    Где \(\theta=\theta_1-\theta_2\) и \(r=\dfrac{r_1}{r_2}\).

    Таким образом, деление комплексных чисел \(z_{1}=r_1\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right)\) и \(z_{2}=r_2\left(\cos\ theta_2+i\sin\theta_2\right)\) в полярной форме определяется как частное \(\dfrac{r_1\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right)}{r_2\left(\cos \theta_2+i\sin\theta_2\right)}\).

    Рассчитывается по формуле:

    \[\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2}&=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\end{aligned} \]

    Важные замечания по делению комплексных чисел

    • Чтобы разделить комплексное число a+ib на c+id, умножьте числитель и знаменатель дроби a+ib/c+id на c−id и упростите.
    • Комплекс z = a+ib сопряжен с a−ib.
    • Модуль комплексного числа z = a+ib равен |z| = √(а 2 + б 2 )

    Связанные темы по делению комплексных чисел

    • Умножение комплексных чисел
    • Полярная форма комплексных чисел
    • Комплексный конъюгат

     

    Деление комплексных чисел Примеры

    1. Пример 1: Выразите комплексное число (5+√2i)/(1−√2i) в виде a+ib, используя формулу деления комплексных чисел.

      2}\\&=\dfrac{16+38i}{68}\\&=\dfrac{4} {17}+\dfrac{19{34}i\end{align}\]

      Ответ: 3+4i на 8-2i = \(\dfrac{4}{17}+\dfrac{19}{34}i\)

    перейти к слайдуперейти к слайду

    Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

    Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

    Записаться на бесплатный пробный урок

    Практические вопросы по делению комплексных чисел

     

    перейти к слайдуперейти к слайду

    Часто задаваемые вопросы о делении комплексных чисел

    Что такое деление комплексных чисел в алгебре?

    Деление комплексных чисел математически похоже на деление двух действительных чисел. Если \(z_1=x_1+iy_1\) и \(z_2=x_2+iy_2\) являются двумя комплексными числами, то деление комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) математически записывается как:

    \[ \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\].

    No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *