Корень из 64 в 4 степени: КОРЕНЬ КУБИЧЕСКИЙ — это… Что такое КОРЕНЬ КУБИЧЕСКИЙ?

Содержание

КОРЕНЬ КУБИЧЕСКИЙ — это… Что такое КОРЕНЬ КУБИЧЕСКИЙ?

КОРЕНЬ КУБИЧЕСКИЙ: КОРЕНЬ КУБИЧЕСКИЙ (обозначение ³Ц), число, которое необходимо дважды умножить на само себя для получения заданного числа. Например, кубический корень из 64 равняется 4, поскольку 4x4x4 = 64. В этом случае записывают: ³Ц64 = 4. В терминах алгебры кубический корень из х³ равняется х, а кубический корень х равняется ³Цх или х^1/3.

КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ
КОРИ

Смотреть что такое «КОРЕНЬ КУБИЧЕСКИЙ» в других словарях:

КОРЕНЬ — КОРЕНЬ, корня, мн. корни, корней, м. 1. Вросшая в землю часть растения, через к рую оно всасывает соки из почвы. Бурей выворотило деревья с корнями. Дуб глубоко пустил корни в землю. || Древесина или вещество этой части растения. Лакричный корень … Толковый словарь Ушакова
КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ — КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ, число, обозначаемое как х, которое при умножении на само себя дает число х. Квадратный КОРЕНЬ из 4 равен 2, следовательно Ц4 = 2; Ц2 = 1,4142 (с точностью до четырех разрядов десятичной дроби). Отрицательные числа имеют… … Научно-технический энциклопедический словарь
корень — сущ., м., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? корня, чему? корню, (вижу) что? корень, чем? корнем, о чём? о корне и на корню; мн. что? корни, (нет) чего? корней, чему? корням, (вижу) что? корни, чем? корнями, о чём? о корнях 1. Корень это … Толковый словарь Дмитриева
Корень n-й степени — Арифметический корень n й степени (n > 0) из неотрицательного числа есть единственное неотрицательное решение уравнения . Обозначается символом (или просто при ) … Википедия
КУБИЧЕСКИЙ — (от слова куб). 1) имеющий вид куба. 2) мера, имеющая форму куба, т. е. правильного шестигранника. 3) корень, всякая величина, которая, будучи помножена три раза сама на себя, дает данную величину. Словарь иностранных слов, вошедших в состав… … Словарь иностранных слов русского языка
кубический — КУБИЧЕСКИЙ, КУБИЧНЫЙ ая, ое. cubique adj. &LT;, лат. cubicus. 1. Имеющий форму куба. шестигранника. Сл. 18. Большая голова кубической фигуры. С. Меран 20. Горница имела совершенно кубический вид. ТВЭО 50 14. 2. Связанный с объемом, измерением… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
КОРЕНЬ — муж. корешек, шечек, коренек ·умалит. корнишка презрительное, корнища увеличительное, подземная часть всякого растения. У деревьев различают становой и боковые корни, а при них корешки и мелкие мочки. вбирающие влагу. Корень бывает: луковичный,… … Толковый словарь Даля
КУБИЧЕСКИЙ — КУБИЧЕСКИЙ, кубическая, кубическое. 1. прил. к куб1 в 1 и 4 знач. (мат.). Кубическая форма. Кубическая степень. Извлечь кубический корень. 2. Выраженный в мерах, за единицу объема которых принят куб. Кубическая система мер. Кубический метр.… … Толковый словарь Ушакова
кубический корень — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN third root … Справочник технического переводчика
КОРЕНЬ ЧИСЛА — (root of number) Число х, чье значение в степени r равно у. Если у=хr, то х – корень r – степени от у. Например, в уравнении у=х2, х является квадратным корнем из у, и записывается следующим образом: x=√ y=y1/2; если z=x3, то х – кубический… … Экономический словарь

Таблица степеней по алгебре

На этой странице размещена таблица степеней от 2 до 10 для натуральных чисел от 1 до 20. Пример использования: находим в таблице число 9 (слева), затем во втором столбике видим квадрат числа, который равен 81. В третьем столбце таблицы значения кубов. Смотрите также: таблица квадратов, таблица корней.

https://uchim.org/matematika/tablica-stepenej — uchim.org

Таблица степеней

Пример: 2³=8

	Степень:
Число	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1 024
3	9	27	81	243	729	2 187	6 561	19 683	59 049
4	16	64	256	1 024	4 096	16 384	65 536	262 144	1 048 576
5	25	125	625	3 125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625
6	36	216	1 296	7 776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2 401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249
8	64	512	4 096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824
9	81	729	6 561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401
10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000
11	121	1 331	14 641	161 051	1 771 561	19 487 171	214 358 881	2 357 947 691	25 937 424 601
12	144	1 728	20 736	248 832	2 985 984	35 831 808	429 981 696	5 159 780 352	61 917 364 224
13	169	2 197	28 561	371 293	4 826 809	62 748 517	815 730 721	10 604 499 373	137 858 491 849
14	196	2 744	38 416	537 824	7 529 536	105 413 504	1 475 789 056	20 661 046 784	289 254 654 976
15	225	3 375	50 625	759 375	11 390 625	170 859 375	2 562 890 625	38 443 359 375	576 650 390 625
16	256	4 096	65 536	1 048 576	16 777 216	268 435 456	4 294 967 296	68 719 476 736	1 099 511 627 776
17	289	4 913	83 521	1 419 857	24 137 569	410 338 673	6 975 757 441	118 587 876 497	2 015 993 900 449
18	324	5 832	104 976	1 889 568	34 012 224	612 220 032	11 019 960 576	198 359 290 368	3 570 467 226 624
19	361	6 859	130 321	2 476 099	47 045 881	893 871 739	16 983 563 041	322 687 697 779	6 131 066 257 801
20	400	8 000	160 000	3 200 000	64 000 000	1 280 000 000	25 600 000 000	512 000 000 000	10 240 000 000 000
21	441	9 261	194 481	4 084 101	85 766 121	1 801 088 541	37 822 859 361	794 280 046 581	16 679 880 978 201
22	484	10 648	234 256	5 153 632	113 379 904	2 494 357 888	54 875 873 536	1 207 269 217 792	26 559 922 791 424
23	529	12 167	279 841	6 436 343	148 035 889	3 404 825 447	78 310 985 281	1 801 152 661 463	41 426 511 213 649
24	576	13 824	331 776	7 962 624	191 102 976	4 586 471 424	110 075 314 176	2 641 807 540 224	63 403 380 965 376
25	625	15 625	390 625	9 765 625	244 140 625	6 103 515 625	152 587 890 625	3 814 697 265 625	95 367 431 640 625

Свойства степени — 2 части

Таблица основных степеней по алгебре в компактном виде (картинка, удобно, чтобы распечатать), сверху числа, сбоку степени:

(можно открыть в новом окне, нажав на картинку)

Полную математическую таблицу можно бесплатно скачать, просто сохранив картинку выше с помощью правой кнопки мыши.

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица степеней по алгебре

Урок 16. арифметический корень натуральной степени — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №16 Название темы: Арифметический корень натуральной степени.

Перечень тем, рассматриваемых на уроке:

преобразование и вычисление арифметических корней,
свойства арифметического корня натуральной степени,
корень нечетной степени из отрицательного числа,
какими свойствами обладает арифметический корень натуральной степени.

Глоссарий

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Сканави М. И., Зайцев В. В., Рыжков В. В. «Элементарная математика». – Книга по требованию, 2012.
Семенова А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ 3000 задач с ответами, математика под редакцией Москва, 2017.
Ященко И. В. ЕГЭ 3300 задач с ответами, математика профильный уровень под редакцией Москва, 2017.

Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»

Решим задачу.

Площадь квадрата S=16 м².

Обозначим сторону квадрата а, м.

Тогда, а² = 16.

Решим данное уравнение:

a=4 и а= –4.

Проверим решение:

4² = 16;

(–4)² = 16.

Ответ: длина стороны квадрата равна 4 м.

Определение:

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.

Определение:

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Обозначение: .

Определение:

Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.

Обозначение: .

Например:

На основании определений квадратного и кубического корней, можно сформулировать определения корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени.

Определение:

Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.

Определение:

Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа

a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Обозначение: – корень n-й степени, где

n–степень арифметического корня;

а– подкоренное выражение.

Давайте рассмотрим такой пример: .

Мы знаем, что (–4)³ = –64, следовательно, .

Еще один пример: .

Мы знаем, что (–3)⁵ = –243, следовательно, .

На основании этих примеров, можно сделать вывод:

, при условии, что n –нечетное число.

Свойства арифметического корня натуральной степени:

Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:

Примеры:

Пример:

Для любого
а справедливо равенство:

Пример:

Найдите значение выражения , при 3 <x< 6.

Степени заданных арифметических корней 4 и 2, четные числа, следовательно, мы можем применить свойство №5:

=|x – 3| = х – 3, т.к. х>3;

=|x – 6|=6 – x, т.к. х<6.

Получаем: х – 3 + 6 – х= 3.

Примеры заданий.

Первый пример.

Задача:

Выберите верные утверждения:

Разбор задания.

Применим определение арифметического корня: Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Следовательно, верными могут быть только неотрицательные выражения.

Ответ: ; ;

Второй пример.

Задача:

Выделите самое маленькое число:

Разбор задания:

Корень из отрицательного числа будет отрицательным числом, следовательно, наименьшее число –

Ответ: 4.

Арифметический корень / math5school.ru

Арифметический корень

Свойства корней

Значения некоторых корней n-й степени

Таблица квадратных корней натуральных чисел от 1 до 99

Таблица кубических корней натуральных чисел от 1 до 99

Арифметический корень

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число b, n-я степень которого равна a.

Записывается так:

Эта запись означает, что bⁿ= a, где b и a – неотрицательные числа.

Число n называется показателем степени корня, число а – подкоренным выражением, b – значением арифметического корня n-й степени

. Операция нахождения значения корня называется извлечением корня.

Корней чётной степени из отрицательных чисел не существует.

Корнем нечётной степени из отрицательного числа а называется такое отрицательное число b, которое при его возведении в эту нечётную степень равно числу а.

Для корней нечётной степени справедливо равенство:

Свойства корней

Для положительных а и b, натуральных n и k (n ≥ 2, k ≥ 2), целого m выполняются следующие соотношения.

Кроме того, для любого числа а верно:

Значения некоторых корней

n-й степени

³√8 = 2	⁴√16 = 2	⁵√32 = 2	⁶√64 = 2	⁷√128 = 2	⁸√256 = 2	⁹√512 = 2	¹⁰ √1024 = 2
³√27 = 3	⁴√81 = 3	⁵√243 = 3	⁶√729 = 3	⁷√2187 = 3	⁸√6561 = 3	⁹√19683 = 3	¹⁰√59049 = 3
³√64 = 4	⁴√256 = 4	⁵√1024 = 4	⁶√4096 = 4	⁷√16384 = 4	⁸√65536 = 4	⁹√262144 = 4	¹⁰√1048576 = 4
³√125 = 5	⁴√625 = 5	⁵√3125 = 5	⁶√15625 = 5	⁷√78125 = 5	⁸√390625 = 5	⁹√1953125 = 5	¹⁰√9765625 = 5
³√216 = 6	⁴√1296 = 6	⁵√7776 = 6	⁶√46656 = 6	⁷√279936 = 6	⁸√1679616 = 6	⁹√10077696 = 6	¹⁰√60466176 = 6
³√343 = 7	⁴√2401 = 7	⁵√16807 = 7	⁶√117649 = 7	⁷√823543 = 7	⁸√5764801 = 7	⁹√40353607 = 7	¹⁰√282475249 = 7

Смотрите также:

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Логарифмы

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники

Тела вращения

Таблица квадратных корней | Алгебра

В таблице приведены квадратные корни натуральных чисел от 1 до 100.

√1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 √36 = 6 √49 = 7 √64 = 8 √81 = 9 √100 = 10	√121 = 11 √144 = 12 √169 = 13 √196 = 14 √225 = 15 √256 = 16 √289 = 17 √324 = 18 √361 = 19 √400 = 20	√441 = 21 √484 = 22 √529 = 23 √576 = 24 √625 = 25 √676 = 26 √729 = 27 √784 = 28 √841 = 29 √900 = 30	√961 = 31 √1024 = 32 √1089 = 33 √1156 = 34 √1225 = 35 √1296 = 36 √1369 = 37 √1444 = 38 √1521 = 39 √1600 = 40

√1681 = 41 √1764 = 42 √1849 = 43 √1936 = 44 √2025 = 45 √2116 = 46 √2209 = 47 √2304 = 48 √2401 = 49 √2500 = 50	√2601 = 51 √2704 = 52 √2809 = 53 √2916 = 54 √3025 = 55 √3136 = 56 √3249 = 57 √3364 = 58 √3481 = 59 √3600 = 60	√3721 = 61 √3844 = 62 √3969 = 63 √4096 = 64 √4225 = 65 √4356 = 66 √4489 = 67 √4624 = 68 √4761 = 69 √4900 = 70	√5041 = 71 √5184 = 72 √5329 = 73 √5476 = 74 √5625 = 75 √5776 = 76 √5929 = 77 √6084 = 78 √6241 = 79 √6400 = 80

√6561 = 81 √6724 = 82 √6889 = 83 √7056 = 84 √7225 = 85 √7396 = 86 √7569 = 87 √7744 = 88 √7921 = 89 √8100 = 90	√8281 = 91 √8464 = 92 √8649 = 93 √8836 = 94 √9025 = 95 √9216 = 96 √9409 = 97 √9604 = 98 √9801 = 99 √10000 = 100

Решение корней в онлайн калькуляторе

Решение корней — одна из многих функций, которой обладает бесплатный калькулятор, размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.

Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени калькулятор онлайн посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т.д.

Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.

Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений. И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.

Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.

Решение корней в онлайн калькуляторе сводится лишь к написанию математического выражения в строке ввода. Извлечение из корня в калькуляторе обозначается как sqrt и выполняется с помощью трех клавиш — извлечение квадратного корня sqrt(x), извлечение корня кубического sqrt3(x) и извлечение корня n степени sqrt(x,y). Более детальная информация о панели управления представлена на странице кнопки калькулятора онлайн.

Извлечение квадратного корня

Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.

Пример решения квадратных корней в калькуляторе:

Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.

Квадратный корень из отрицательного числа:

Корень третьей степени

Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).

Корень 3 степени:

Корень степени n

Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).

Корень 4 степени:

Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.

Корень 5 степени с приблизительным результатом:

Корень из дроби

Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.

Квадратный корень из дроби:

Корень из корня

В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.

Пример, как извлечь корень из корня:

Степень в корне

Выполняя извлечение корня степени, следует помнить, что по свойству корней степень самого корня и степень под корнем по возможности сокращаются на наибольший общий делитель (НОД). Кстати, функционал калькулятора включает также нахождение НОД, подробнее на странице дополнительные функции.

Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени.

Квадратный корень из степени:

Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе. Функции онлайн калькулятора >>

Кубический корень: онлайн калькулятор, график, формулы

Кубический корень числа А — это такое число В, которое при возведении в третью степень в результате дает число А. Вычисление кубического корня — более сложная задача, нежели поиск квадратных корней.

Обозначение

Корни чисел ранее обозначались символом Rx, от латинского слова radix, то есть корень. Именно поэтому синонимом арифметических корней стало слово «радикал». Позднее для удобства типографской записи корни стали обозначаться латинской буквой V, а надстрочный знак перед символом указывает на степень корня. Для упрощения обозначения кубических корней в этой статье мы будем использовать слово cube. Это означает, что cube(8) следует читать как «кубический корень из 8».

Алгоритм приблизительных вычислений

Кубический корень положительного или отрицательного числа А — это соответственно положительное или отрицательное В, которое при возведении в куб дает число А. Пусть требуется найти cube(27).

Для поиска корней используется следующий алгоритм рассуждений. Какое число нужно умножить на само себя 3 раза, чтобы получить 27? Посчитаем, что 2 × 2 × 2 = 8, а 3 × 3 × 3 = 27, следовательно, cube(27) = 3. Это простой целочисленный пример. Но что делать, если требуется найти cube(45)? Попробуем тот же алгоритм: 3 × 3 × 3 = 27, 4 × 4 × 4 = 64. Из этого следует, что кубический корень из 45 — это иррациональное число, которое находится в диапазоне 3 > cube(45) < 4. Число 45 находится приблизительно на половине пути между 27 и 64, поэтому можно предположить, что cube(45) = 3,5. Это грубая оценка кубического корня, которую можно использовать для приблизительных расчетов.

Помимо метода определения «на глазок», существует алгоритм расчета кубического корня больших чисел в столбик:

для начала число разделяется на группы чисел по три, начиная с правого конца, например, число 1234561789 будет выглядеть как 1 234 561 789;
после этого для каждой группы цифр требуется найти такой целочисленный кубический корень, который при увеличении на 1 и возведении в куб становится больше заданного числа;
далее следует записать полученный куб под группой цифр и произвести вычитание;
затем требуется ниже записать результат вычитания и снести вторую группу цифр;
после чего повторить алгоритм.

Точное значение такого корня найти невозможно, так как кубические корни для некубических чисел — это всегда бесконечные и непериодическое иррациональные числа. А что такое кубические числа?

Последовательность кубических чисел

Кубическое число — это такое натуральное число, кубический корень которого является целым числом. Кубическая последовательность формируется из натурального ряда, каждый член которого возведен в третью степень. Начало кубической последовательности выглядит следующим образом:

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729…

Очевидно, что 8 = 2³, 27 = 3³, a 64 = 4³ и так далее. Кубические корни любого числа из последовательности кубов являются целыми. Геометрически такие числа иллюстрируются объемом куба, ребро которого равно целочисленному корню числа. Например, число 64 — это объем куба с ребром длиной 4 см.

Кубическая последовательность растет довольно быстро, и в отличие от квадратов чисел, куб может оканчиваться на любую цифру. Так как количество натуральных чисел уходит в бесконечность, то и количество кубов также бесконечно, однако целочисленных значений все же гораздо меньше, чем иррациональных.

Наша программа представляет собой универсальный калькулятор вычисления корней любой степени. Для того, чтобы вычислить значение кубического корня вам потребуется указать заданное число в ячейку «Число(x)», а ячейке «Степень(n)» требуется ввести значение степени. По умолчанию калькулятор выставляет в «Степень(n)» число 3, поэтому вы сразу можете вычислять кубические корни, не устанавливая степень корня.

Пример работы калькулятора

Вычисление ребра куба

Классическая задача на вычисление кубического корня — это определение длины ребра куба, если известен его объем. Для значений объема из кубической последовательности все просто, так как ответ будет записан в виде целого числа. Для всех остальных значений нам пригодится онлайн-калькулятор. Давайте вычислим длины ребер для следующих объемов кубов:

Cube(10) = 2,1544;
Cube(25) = 2,9240;
Cube(50) = 3,6840;
Cube(75) = 4,2172;
Cube(100) = 4,6416.

Как видите, в диапазоне от 10 до 100 длина ребра изменятся всего на 2,5 пункта.

Заключение

Поиск кубического корня — сложная задача, если вычислять значение требуется для больших или некубических чисел. Для определения значения кубического корня заданной точности используйте наш онлайн-калькулятор — простой инструмент для быстрых вычислений, который идеально подойдет школьникам и студентам.

квадратный корень из 64 — Как найти квадратный корень из 64?

64 — это точное квадратное число, которое можно получить квадратом 8. Следовательно, квадратный корень из 64 является рациональным числом. В этом мини-уроке мы научимся находить квадратный корень из 64 вместе с решенными примерами. Давайте посмотрим, что такое квадратный корень из 64.

Квадратный корень из 64 : √ 64 = 8
Квадрат 64: 64 ² = 4096

Что такое квадратный корень из 64?

Квадратный корень из 64 — это число, квадрат которого дает исходное число.

√ 64 = 8

Ответ, полученный при возведении в квадрат 8, равен 64. Следовательно, 64 — это полный квадрат.

Является ли квадратный корень из 64 рациональным или иррациональным?

Рациональное число является завершающим или не завершающим и имеет повторяющийся образец в своей десятичной части. Мы видели, что √ 64 = 8. 8 — целое число, и его можно выразить в форме p / q. Следовательно, √ 64 — рациональное число.

Как найти квадратный корень из 64?

Существуют разные способы найти квадратный корень из любого числа.Щелкните здесь, чтобы узнать об этом подробнее.

64 — составное число. Множители 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64.

Чтобы найти квадратный корень из 64, мы сделаем следующее.

Мы воспользуемся методом разложения на простые множители, чтобы получить одно число из каждой пары одинаковых чисел, и мы умножим их. Разложение 64 на множители равно 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, что включает 3 пары одинаковых чисел 2. Таким образом, квадратный корень из 64 равен 2 × 2 × 2 = 8.

Так как 64 — это полный квадрат, мы также можем выразить его как 8 × 8 = 64.Число внутри квадратного корня, которое повторяется, равно 8. Следовательно, квадратный корень из 64 равен 8.

Квадратный корень из 64 равен 8.

Исследуйте квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров

Важные примечания:

64 — это полный квадрат, поскольку ответ, полученный после нахождения квадратного корня, является рациональным числом.
Квадратный корень из 64 можно упростить до 8, используя разложение на простые множители 64 или выразив 64 как квадрат 8.

Аналитический центр:

Может ли квадратный корень из 64 быть десятичным значением?
Является ли √ -64 действительным числом?

Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 64

Каковы два квадратных корня из 64?

Квадратный корень из 64 равен -8 и +8.

Является ли 64 идеальным квадратом?

Да, 64 — это идеальный квадрат.

Есть ли в 64 квадратный корень?

Да, 64 имеет квадратный корень.

Можно ли упростить квадратный корень из 64?

64 можно разделить на 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 или 8 × 8.Квадратный корень из 64 дает результат 8.

Является квадратный корень из 64 рациональным или иррациональным?

Квадратный корень из 64 является рациональным.

Является ли квадратный корень из 64 действительным числом?

Да, квадратный корень из 64 — действительное число.

кубический корень из 64 — как найти кубический корень из 64? [Решено]

Кубический корень из 64 равен 4. Это реальное решение уравнения x ³ = 64. Кубический корень из 64 выражается как ∛64 в радикальной форме и как (64) ^⅓ или ( 64) ^0.33 в экспоненциальной форме. Поскольку кубический корень из 64 является целым числом, 64 — это идеальный куб.

Кубический корень из 64: 4
Кубический корень из 64 в экспоненциальной форме: (64) ^⅓
Кубический корень из 64 в радикальной форме: ∛64

Что такое кубический корень из 64?

Кубический корень из 64 — это число, которое при трехкратном умножении на себя дает произведение 64. Поскольку 64 можно выразить как 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.Следовательно, кубический корень из 64 = ∛ (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 4.

Как рассчитать значение кубического корня из 64?

В этом разделе мы узнаем, как поэтапно вычислить кубический корень из 64.

Кубический корень из 64 путем простой факторизации

Шаг 1 : Определите разложение на простые множители 64, т. Е. 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Шаг 2 : Сгруппируйте простые множители 64 в группы по три в каждой. 64 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2 ³ × 2 ³
Шаг 3 : Используйте закон экспонент: 64 = 2 ³ × 2 ³ = 4 ³
Шаг 4 : Извлеките кубический корень из обеих частей уравнения.

Следовательно, кубический корень из 64 путем разложения на простые множители равен (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) ^1/3 = 4.

Является ли кубический корень 64 иррациональным?

Нет, потому что ∛64 = ∛ (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) может быть выражено в форме p / q, т.е. 4/1. Следовательно, значение кубического корня из 64 является целым (рациональным).

☛ Также проверьте:

Кубический корень из 64 решенных примеров

Пример 1. Найдите действительный корень уравнения x ³ — 64 = 0.
Решение:
x ³ — 64 = 0, т.е. x ³ = 64
Решение относительно x дает нам
x = ∛64, x = ∛64 × (-1 + √3i)) / 2 и x = ∛64 × (-1 — √3i)) / 2
где i называется мнимой единицей и равен √-1.
Игнорирование мнимых корней,
х = ∛64
Следовательно, действительный корень уравнения x ³ — 64 = 0 равен x = ∛64 = 4.
Пример 2: Объем сферического шара равен 64π в ³.Каков радиус этого шара?
Решение:
Объем сферического шара = 64π дюйм ³
= 4/3 × π × R ³
⇒ R ³ = 3/4 × 64
⇒ R = ∛ (3/4 × 64) = ∛ (3/4) × ∛64 = 0,
× 4 (∵ ∛ (3/4) = 0,
и ∛64 = 4)
⇒ R = 3,63424 дюйм ³
Пример 3: Каково значение ∛64 ÷ ∛ (-64)?
Решение:
Кубический корень -64 равен отрицательному значению кубического корня 64.
⇒ ∛-64 = -64
Следовательно,
⇒ ∛64 / ∛ (-64) = ∛64 / (- ∛64) = -1

перейти к слайду перейти к слайду

Готовы увидеть мир глазами математиков?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых занятиях и станьте экспертом во всем.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

FAQ по Cube Root из 64

Что такое кубический корень из 64?

Мы можем выразить 64 как 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 i.е. ∛64 = ∛ (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 4. Следовательно, значение кубического корня из 64 равно 4.

Как упростить кубический корень 64/125?

Мы знаем, что кубический корень из 64 равен 4, а кубический корень из 125 равен 5. Следовательно, ∛ (64/125) = (∛64) / (∛125) = 4/5 = 0,8.

Является ли 64 идеальным кубом?

Число 64 в разложении на простые множители дает 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Объединение простых множителей в группы по 3 дает 4. Таким образом, кубический корень из 64 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 4 (идеальный куб).

Если кубический корень 64 равен 4, найдите значение 0,064 фунта стерлингов.

Представим ∛0,064 в форме p / q, т.е. ∛ (64/1000) = 4/10 = 0,4. Следовательно, значение ∛0,064 = 0,4.

Почему кубический корень равен 64 рациональным?

Значение кубического корня из 64 может быть выражено в виде p / q, т.е. = 4/1, где q 0. Следовательно, ∛64 является рациональным.

Какое значение кубического корня -64?

Мы знаем, что кубический корень отрицательных чисел отрицательный.

Запишите -64 как произведение его простых множителей: -64 = — (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)
Сгруппируйте факторы в группы по три в каждой: -64 = -2 ³ × 2 ³ = -4 ³
Возьмите кубический корень с обеих сторон уравнения: ³ √ -64 = ³ √ -4 ³ = -4

Следовательно, кубический корень из -64 равен -4.

Определить, является ли кубический корень из 64 минус кубический корень из 8 рациональным числом?

Кубический корень из 64 и 8 равен 4 и 2 соответственно i.е. ³ √ 64 — ³ √ 8 = 4 — 2 = 2. Следовательно, разница между кубическим корнем из 64 и кубическим корнем из 8 является рациональным числом.

Что такое кубик корня из 64?

Куб кубического корня из 64 — это само число 64, т.е. (∛64) ³ = (64 ^1/3) ³ = 64.

Корень (числа) — определение математического слова

Корень (числа) — определение математического слова — Открытый справочник по математике

Корень числа x — это другое число, которое при умножении на себя заданное количество раз дает x.

Например, третий корень (также называемый кубическим корнем) из 64 равен 4, потому что если вы умножите три четверки вместе, вы получите 64:

4 × 4 × 4 = 64

Это было бы записано как Вышеупомянутое будет означать «третий корень из 64 равен 4» или «кубический корень из 64 равен 4» .

Второй корень обычно называют «квадратным корнем».
Третий корень числа обычно называют «кубическим корнем»,
После этого они называются корнем n, например корень 5, корень 7 и т. Д.

Иногда бывает два корня

Для каждого корня четной степени (например, 2-го, 4-го, 6-го….) есть два корня. Это потому, что умножение двух положительных или двух отрицательных чисел дает положительный результат. Например, рассмотрим квадратный корень из 9.

Какое число, умноженное на само себя, даст 9?
Очевидно 3 будут работать:

3 × 3 = 9

Но так будет -3:

-3 × -3 = 9

Когда таких корней два, если не указано иное, мы имеем в виду положительный. Строго говоря, когда мы пишем √ 4, мы имеем в виду положительный корень, +2.Это называется «главный корень».

Корни отрицательных чисел

У отрицательных чисел нет реальных корней четного порядка. Например, квадратного корня из -9 не существует, потому что -3 × -3 = + 9, а также +3 × +3 = + 9. Это относится ко всем корням четного порядка, 2-му (квадратному) корню, 4-му корню, 6-му корню и так далее.

Однако — это корня нечетного порядка отрицательных чисел. Например, –3 — это кубический корень из –27. Это потому что –3 × –3 × –3 = –27.Первые два члена при умножении дают +9, затем следующее умножение дает
+9 × –3 = –27. Это относится ко всем корням нечетного порядка, таким как 3-й (кубический) корень, 5-й корень, 7-й корень и т. Д.

Мнимые числа

Выше сказано, что действительного квадратного корня из отрицательного числа не существует. Обратите внимание на слово «настоящий». Это говорит о том, что нет настоящий номер это квадратный корень отрицательного числа.

Однако в математике и инженерии нам часто нужно найти квадратный корень из отрицательного числа.Чтобы решить эту проблему, мы вводим понятие «мнимого» числа. Он включает в себя символ i , который обозначает квадратный корень из отрицательного числа. Или, другими словами, i ² = –1

На практике мы можем использовать его для выражения квадратного корня из любого отрицательного числа. Например Это означает, что квадратный корень из –25 — это квадратный корень из +25, умноженный на квадратный корень из отрицательной единицы.

Подробнее о мнимых числах см. Мнимые числа.

Символы

Радиканд

Вещь, корень которой вы находите.

Радикальный символ

Символ √ , означающий «корень из». Длина турника важна. См. Примечание ниже.

Степень

Сколько раз подкоренное выражение умножается само на себя. 2 означает квадратный корень, 3 означает кубический корень. После этого они называются корнем 4-й, 5-й и так далее. Если он отсутствует, предполагается, что это 2 — квадратный корень.

Другой способ записи

Корни также можно записать в экспоненциальной форме. В общем Так, например, кубический корень x будет записан Что будет произноситься как «х в степени одной трети».

Другие экспоненты и основные темы

Калькулятор кубического корня

| Определение

Наш калькулятор кубического корня — удобный инструмент, который поможет вам определить кубический корень, также называемый корнем 3 ^rd, любого положительного числа . Вы можете сразу воспользоваться нашим калькулятором; просто введите число, из которого вы хотите найти кубический корень, и готово! Более того, вы можете делать вычисления наоборот и использовать их для кубических чисел.Для этого просто введите в последнее поле число, которое вы хотите возвести в третью степень! Это может быть чрезвычайно полезно при поиске так называемых идеальных кубиков . Подробнее о них вы можете прочитать в следующей статье.

Благодаря нашему калькулятору кубического корня вы также можете вычислить корни из других степеней . Для этого вам нужно изменить число в градусах корневого поля . Если вы хотите узнать больше об определении корня куба, ознакомиться со свойствами функции корня куба и найти список префектных кубов, мы настоятельно рекомендуем вам продолжить чтение этого текста.Там вы также можете найти некоторые уловки, как найти кубический корень на калькуляторе или как вычислить его в уме.

Если вас интересует история символа корня, перейдите к калькулятору квадратного корня, где мы ее обсудим. Кроме того, не забудьте попробовать другие наши математические калькуляторы, такие как калькулятор наибольшего общего множителя или калькулятор гиперболических функций.

Определение кубического корня

Предположим, вы хотите найти кубический корень числа x . Кубический корень y — это такое число, которое, если возвести его в третью степень, даст в результате x .(1/3)

Геометрический пример может помочь вам понять это. Лучший пример, который мы можем привести, — это куб. Итак, кубический корень объема куба — это длина его ребра. Так, например, если куб имеет объем 27 см³, то длина его граней равна кубическому корню из 27 см³, что составляет 3 см. Легкий?

Вы должны помнить, что в большинстве случаев кубический корень не будет рациональным числом . Эти числа могут быть выражены как частное двух натуральных чисел, т.е.е. фракция. Дроби могут вызвать определенные трудности, особенно когда дело касается их сложения. Если у вас возникли проблемы с нахождением общего знаменателя двух дробей, воспользуйтесь нашим калькулятором НОК, который вычисляет наименьшее общее кратное двух заданных чисел.

Что такое кубический корень из …?

С помощью нашего калькулятора кубического корня действительно легко найти кубический корень любого положительного числа! Просто введите любое число, чтобы найти его кубический корень. Например, кубический корень из 216 равен 6. Чтобы просмотреть список идеальных кубиков, перейдите к следующему разделу.

Обратите внимание, что можно найти кубический корень и из отрицательного числа, в конце концов, отрицательное число в третьей степени все еще отрицательно — например, (-6) ³ = -216 .

Однако вы должны помнить, что любое ненулевое число имеет три кубических корня: по крайней мере, один действительный и два мнимых. Этот калькулятор кубического корня работает только с действительными числами, но, если вам интересно, мы рекомендуем вам прочитать больше о мнимых числах!

Наиболее распространенные значения — список perfect cubes

Ниже приведены наиболее распространенные значения кубического корня.Эти числа также очень часто называют идеальных кубов , потому что их кубические корни являются целыми числами. Вот список из десяти первых идеальных кубиков:

кубический корень из 1: ∛1 = 1 , так как 1 * 1 * 1 = 1 ;
кубический корень из 8: ∛8 = 2 , так как 2 * 2 * 2 = 8 ;
кубический корень из 27: ∛27 = 3 , так как 3 * 3 * 3 = 27 ;
кубический корень из 64: ∛64 = 4 , так как 4 * 4 * 4 = 64 ;
кубический корень из 125: ∛125 = 5 , так как 5 * 5 * 5 = 125 ;
кубический корень из 216: ∛216 = 6 , так как 6 * 6 * 6 = 216 ;
кубический корень из 343: ∛343 = 7 , так как 7 * 7 * 7 = 343 ;
кубический корень из 512: ∛512 = 8 , так как 8 * 8 * 8 = 512 ;
кубический корень из 729: ∛729 = 9 , так как 9 * 9 * 9 = 729 ;
кубический корень из 1000: ∛1000 = 10 , так как 10 * 10 * 10 = 1000 ;

Как видите, числа очень быстро становятся очень большими, но иногда вам придется иметь дело с еще большими числами, такими как факториалы.В этом случае мы рекомендуем использовать научную нотацию, которая является гораздо более удобным способом записывать действительно большие или очень маленькие числа.

С другой стороны, большинство других чисел не являются идеальных кубиков , но некоторые из них все еще используются часто. Вот список некоторых несовершенных кубов с округлением до сотых:

кубический корень из 2: ∛2 ≈ 1,26 ;
кубический корень из 3: ∛3 ≈ 1,44 ;
кубический корень из 4: ∛4 ≈ 1.59 ;
кубический корень из 5: ∛5 ≈ 1,71 ;
кубический корень из 10: ∛10 ≈ 2,15 ;

Не сомневайтесь, воспользуйтесь нашим калькулятором кубического корня, если нужного вам числа нет в этом списке!

Функция кубического корня и график

Вы можете построить график функции y = ∛ (x) . В отличие от, например, логарифмическая функция, функция кубического корня является нечетной функцией — это означает, что она симметрична относительно начала координат и удовлетворяет условию - f (x) = f (-x) .Эта функция также проходит через ноль.

Благодаря этой функции вы можете построить график корня куба, который показан ниже. Мы также рекомендуем вам воспользоваться калькулятором квадратичных формул, чтобы узнать о других функциональных формулах!

Как вычислить кубический корень в голове?

Как вы думаете, можно ли решить простые задачи с кубическими корнями без онлайн-калькулятора или даже карандаша или бумаги? Если вы думаете, что это невозможно или что вы не в состоянии сделать это, воспользуйтесь этим методом, это очень просто.Однако работает только для идеальных кубиков . Забудьте обо всех правилах из учебников по арифметике и на мгновение подумайте о следующем методе, описанном Робертом Келли.

Прежде всего, необходимо запомнить кубики чисел от 1 до 10 и последнюю цифру их кубиков. Он представлен в таблице ниже.

Номер	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Куб	1	8	27	64	126	216	343	512	729	1000
Последняя цифра	1	8	7	4	5	6	3	2	9	0

Если у вас есть число, которое вы хотите найти кубический корень, сначала посмотрите на тысячи (пропустите последние три цифры).Например, для числа 185 193 тысячи равны 185. Куб из 5 равен 125, а из 6 — 216. Следовательно, очевидно, что число, которое вы ищете, находится между 50 и 60. Следующим шагом является игнорирование все остальные цифры, кроме последней цифры. Мы видим, что это 3, так что проверьте свою память или в нашей таблице. Вы обнаружите, что число, которое вы ищете, — 7. Итак, ответ: 57 ! Легкий?

Давайте возьмем еще один пример и сделаем это шаг за шагом!

Подумайте о числе, которое вы хотите узнать как кубический корень.Возьмем 17576 .
Пропустить три последние цифры.
Найдите два ближайших известных вам кубических корня. Кубический корень из 8 равен 2, а кубический корень из 27 равен 3. Таким образом, ваше число находится между 20 и 30.
Посмотрите на последнюю цифру. Последняя цифра 17576 — 6.
Проверьте свою память (или по нашей таблице) — последняя цифра 6 соответствует цифре 6. Это последняя цифра вашего числа.
Объедините два: 26 . Это кубический корень из 17576!

Напоминаем, что этот алгоритм работает только для идеальных кубиков! А вероятность того, что случайное число является идеальным кубом, увы, очень мала.У вас есть только 0,0091% шанс найти человека между 1 000 и 1 000 000. Если вы не уверены в своем числе, просто забудьте об этом правиле и воспользуйтесь нашим калькулятором кубического корня 🙂

Как найти кубический корень на обычном калькуляторе?

Сначала нужно набрать число, для которого нужно найти кубический корень
Нажмите √ (корневой ключ) два раз
Пресс x (множественный знак)
Нажмите √ (корневой ключ) четыре раз
Пресс x (множественный знак)
Нажмите √ (корень) восемь раз
Пресс x (множественный знак)
В последний раз нажмите √ (корневой ключ) два раз
А теперь можно нажать = (знак равенства)! Вот тебе ответ!

Вы не верите? Проверьте это еще раз на другом примере!

Примеры вопросов с кубическим корнем

Допустим, вам нужно сделать шар объемом 33.5 мл. Для его приготовления нужно знать его радиус. Как вы, наверное, знаете, уравнение для вычисления объема шара выглядит следующим образом:

V = (4/3) * π * r³

Итак, уравнение для радиуса выглядит так:

r = ∛ (3V / 4π)

Вы знаете, что объем 33,5 мл. Сначала вам нужно переключиться на другие единицы громкости. Самый простой перевод в см³: 33,5 мл = 33,5 см³. Теперь вы можете решить радиус:

r = ∛ (100.5 / 12,56)

г = ∛ (8)

г = 2

Чтобы шар имел объем 33,5 мл, его радиус должен составлять 2 сантиметра.

Калькулятор энного корня

С помощью нашего калькулятора корней вы также можете рассчитать другие корни. Просто введите число в поле Degree of the root , и вы получите любой выбранный калькулятор корня n-й степени . Наш калькулятор автоматически сделает все необходимые расчеты, и вы можете свободно использовать его в своих расчетах!

Итак, давайте рассмотрим несколько примеров.Предположим, вам нужно вычислить корень четвертой степени из 1296 . Сначала вам нужно написать соответствующее число, которое вы хотите получить root — 1296. Затем измените степень корня на 4 . И вот результат! Корень четвертой степени из 1296 — 6 .

Наш калькулятор корня n-й степени также позволяет вычислять корень иррациональных чисел. Попробуем вычислить π-го корня . Символ π представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру.Его значение постоянно для каждого круга и составляет примерно 3,14. Допустим, вы хотите вычислить корень π-й степени из 450 . Сначала напишите 450 в поле номер . Затем изменим степень корня на — округлим и напишем вместо π 3,14 . И теперь вы можете увидеть результат. Это почти 7 .

Три решения кубического корня

В конце этой статьи мы подготовили раздел продвинутой математики для самых настойчивых из вас.Вы, наверное, знаете, что положительные числа всегда имеют два квадратных корня: отрицательный и положительный. Например, √4 = -2 и √4 = 2 . Но знаете ли вы, что подобное правило применяется к кубическим корням? Все действительные числа (кроме нуля) имеют ровно три кубических корня : одно действительное число и пару комплексных. Комплексные числа были введены математиками давным-давно, чтобы объяснить проблемы, с которыми не могут справиться действительные числа. Обычно мы выражаем их в следующем виде:

х = а + б * я

, где x — комплексное число с действительной a и мнимой b частями (для действительных чисел b = 0 ).Загадочное воображаемое число i определяется как квадратный корень из -1 :

я = √ (-1)

Хорошо, но как это знание влияет на количество решений кубического корня? В качестве примера рассмотрим кубические корни из 8 , которые равны 2 , -1 + i√3 и -1 - i√3 . Если вы нам не верите, давайте проверим это, возведя их в степень 3, вспомнив, что i² = -1 и используя короткую формулу умножения (a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ :

2³ = 8 — очевидное,
(-1 + i√3) ³ = -1 + 3i√3 + 9 - 3i√3 = 8 ,
(-1 - i√3) ³ = -1 - 3i√3 + 9 + 3i√3 = 8 .

Теперь вы видите? Все они равны 8 !

Калькулятор четвертого корня — впечатляющий калькулятор четвертого корня

Онлайн калькулятор четвертого корня:

Воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором четвертого корня.

Рекламные объявления
Пример корня 4-й степени из x
Корень 4-й степени из 9 составляет ± 1,7320
Корень 4-й степени из 16 составляет ± 2
Корень 4-й степени из 27 составляет ± 2,279
Корень 4-й степени из 48 составляет ± 2,632
Корень 4-й степени из 64 составляет ± 2,828
Корень четвертой степени из 81 составляет ± 3
Корень четвертой степени из 216 составляет ± 3.833
Корень четвертой степени из 256 составляет ± 4
Корень четвертой степени из 625 составляет ± 5
Корень четвертой степени из 4096 составляет ± 8
Формула вычисления четвертого корня:
a ⁴ = x.
∜x = a
Формула четвертого корня
Определение четвертого корня:
Определение четвертого корня :
В математике четвертый корень числа x является числом r , что при возведении в степень 4 дает x:
r ⁴ = x.
Определение четвертого корня:
Идеальные четвертые корни:
1296 906
Четвертый корень X 4√x
Четвертый корень 1 1
2
Четвертый корень из 81 3
Четвертый корень из 256 4
Четвертый корень из 625 5
6 Четвертый корень
Корень четвертой степени 2401 7
Корень четвертой степени 4096 8
Корень четвертой степени 6561 9
Корень четвертой степени 10000 10
11
Четвертый корень 20736 12
Совершенные четвертые корни
Таблица четвертого корня:
Корень четвертой степени 16 Четвертый корень из 21 25984 Корень четвертой степени 90 984 Корень четвертой степени из 50
Корень четвертой степени X 4√x Корень четвертой степени X 4√x
Корень четвертой степени 1 1 Корень четвертой степени 2698 2,2581
Корень четвертой степени 2 1,1892 Корень четвертой степени 27 2,2795
Корень четвертой степени 3 1,3161 Корень четвертой степени 28 2, 3003
Корень четвертой степени из 4 1,4142 Корень четвертой степени из 29 2,3206
Корень четвертой степени из 5 1,4953 Корень четвертой степени 30 2,3403
Корень четвертой степени из 6 1,5651 Корень четвертой степени из 31 2,3596
Корень четвертой степени из 7 1,6266 Корень четвертой степени из 32 2,3784
Четвертый р oot 8 1,6818 Корень четвертой степени 33 2,3968
Корень четвертой степени 9 1,7321 Корень четвертой степени 34 2,4147
Корень четвертой степени 10 1,7783 Корень четвертой степени из 35 2,4323
Корень четвертой степени из 11 1,8212 Корень четвертой степени из 36 2,4495
Корень четвертой степени 12 1,8612 Корень четвертой степени 37 2,4663
Корень четвертой степени 13 1,8988 Корень четвертой степени 38 2,4828
Корень четвертой степени 14 1 , 9343 Корень четвертой степени 39 2,499
Корень четвертой степени 15 1,968 Корень четвертой степени 40 2,5149
Корень четвертой степени 16 2 41 2,5304
Корень четвертой степени 17 2,0305 Корень четвертой степени 42 2,5457
Корень четвертой степени 18 2,0598 Корень четвертой степени 43 2,5607
Корень четвертой степени 19 2,0878 Корень четвертой степени 44 2,5755
Корень четвертой степени 20 2,1147 Корень четвертой степени 45 2,59
2,1407 Четвертый корень из 46 2,6043
Четвертый корень из 22 2,1657 Четвертый корень из 47 2,6183
Четвертый корень из 23 2,1899 Корень четвертой степени 48 2,6321
Корень четвертой степени 24 2,2134 Корень четвертой степени 49 2,6458
2,2361 2,6591
Диаграмма четвертого корня
Если вы хотите рассчитать другое число, воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором корня четвертой степени вверху.
Подробнее Корневой калькулятор:
ссылка: n -й корень из Википедии
Корни и радикалы
Квадратные и кубические корни
Напомним, что квадратный корень — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, 5 — это квадратный корень из 25, потому что 52 = 25. Поскольку (−5) 2 = 25, мы можем сказать, что −5 также является квадратным корнем из 25. Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный.По этой причине мы используем знак корня для обозначения главного (неотрицательного) квадратного корня Положительного квадратного корня из положительного действительного числа, обозначаемого символом. и отрицательный знак перед корнем — для обозначения отрицательного квадратного корня.
25 = 5 Положительный квадратный корень из 25-25 = −5 Отрицательный квадратный корень из 25
Ноль — единственное действительное число с одним квадратным корнем.
0 = 0, потому что 02 = 0
Пример 1
Оценить.
121
−81
Решение:
121 = 112 = 11
−81 = −92 = −9
Если подкоренное выражение Выражение A в знаке корня, An., Число внутри знака радикала, может быть разложено на квадрат другого числа, то квадратный корень из числа очевиден. В этом случае мы имеем следующее свойство:
a2 = a, если a≥0
Или, в более общем смысле,
a2 = | a | если a∈ℝ
Абсолютное значение важно, потому что a может быть отрицательным числом, а знак корня обозначает главный квадратный корень.Например,
(-8) 2 = | -8 | = 8
Используйте абсолютное значение для получения положительного результата.
Пример 2
Упростить: (x − 2) 2.
Решение:
Здесь выражение переменной x − 2 может быть отрицательным, нулевым или положительным. Поскольку знак зависит от неизвестной величины x , мы должны обеспечить получение главного квадратного корня, используя абсолютное значение.
(x − 2) 2 = | x − 2 |
Ответ: | x − 2 |
Важность использования абсолютного значения в предыдущем примере становится очевидной, когда мы оцениваем, используя значения, которые делают подкоренное выражение отрицательным. Например, если x = 1,
(x − 2) 2 = | x − 2 | = | 1−2 | = | −1 | = 1
Затем рассмотрим квадратный корень отрицательного числа. Чтобы определить квадратный корень из −25, вы должны найти число, возведение которого в квадрат дает −25:
.
−25 =? или (?) 2 = −25
Однако возведение любого действительного числа в квадрат всегда дает положительное число.Квадратный корень отрицательного числа в настоящее время не определен. А пока мы заявим, что -25 не является действительным числом. Следовательно, функция извлечения квадратного корня Функция определяется как f (x) = x. заданный как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны. Наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2. Напомним график функции извлечения квадратного корня.
Домен и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю: [0, ∞).Чтобы определить область определения функции, содержащей квадратный корень, мы смотрим на подкоренное выражение и находим значения, которые дают неотрицательные результаты.
Пример 3
Определите область определения функции f (x) = 2x + 3.
Решение:
Здесь подкоренное выражение 2x + 3. Это выражение должно быть нулевым или положительным. Другими словами,
2x + 3≥0
Решите относительно x .
2x + 3≥02x≥ − 3x≥ − 32
Ответ: Домен: [−32, ∞)
Кубический корень Число, которое при трехкратном использовании в качестве множителя с самим собой дает исходное число, обозначаемое символом 3. числа — это число, которое при трехкратном умножении на себя дает исходное число. Кроме того, мы обозначаем кубический корень с помощью символа 3, где 3 называется индексом Положительное целое число n в обозначении n, которое используется для обозначения корня n -й степени.. Например,
643 = 4, потому что 43 = 64
Произведение трех равных множителей будет положительным, если множитель положительный, и отрицательным, если множитель отрицательный. По этой причине у любого действительного числа будет только один действительный кубический корень. Следовательно, технические детали, связанные с основным корнем, не применяются. Например,
−643 = −4, потому что (−4) 3 = −64
В общем случае для любого действительного числа a мы имеем следующее свойство:
a33 = a, если a∈ℝ
При упрощении кубических корней ищите множители, которые являются идеальными кубами.
Пример 4
Оценить.
83
03
1273
−13
−1253
Решение:
83 = 233 = 2
03 = 033 = 0
1273 = (13) 33 = 13
−13 = (- 1) 33 = −1
−1253 = (- 5) 33 = −5
Возможно, подкоренное выражение не является точным квадратом или кубом.3≈2
Поскольку кубические корни могут быть отрицательными, нулевыми или положительными, мы не используем никаких абсолютных значений.
Пример 5
Упростить: (y − 7) 33.
Решение:
Кубический корень из куба количества и есть это количество.
(у-7) 33 = у-7
Ответ: y − 7
Попробуй! Оцените: -10003.
Ответ: −10
Затем рассмотрим функцию кубического корня Функция, определенная как f (x) = x3 .:
f (x) = x3 Функция кубического корня.
Поскольку кубический корень может быть как отрицательным, так и положительным, мы заключаем, что домен состоит из всех действительных чисел. Нарисуйте график, нанося точки. Выберите несколько положительных и отрицательных значений для x , а также ноль, а затем вычислите соответствующие значения y .
xf (x) = x3 Упорядоченные пары − 8−2f (−8) = — 83 = −2 (−8, −2) −1−1f (−1) = — 13 = −1 (−1, −1) 00f (0) = 03 = 0 (0,0) 11f (1) = 13 = 1 (1,1) 82f (8) = 83 = 2 (8,2)
Постройте точки и нарисуйте график функции кубического корня.
График проходит проверку вертикальной линии и действительно является функцией. Кроме того, диапазон состоит из всех действительных чисел.
Пример 6
Дано g (x) = x + 13 + 2, найти g (−9), g (−2), g (−1) и g (0).Нарисуйте график g.
Решение:
Заменить x заданными значениями.
xg (x) g (x) = x + 13 + 2 Упорядоченные пары − 90g (−9) = — 9 + 13 + 2 = −83 + 2 = −2 + 2 = 0 (−9,0) −21g ( −2) = — 2 + 13 + 2 = −13 + 2 = −1 + 2 = 1 (−2,1) −12g (−1) = — 1 + 13 + 2 = 03 + 2 = 0 + 2 = 2 (-1,2) 03g (0) = 0 + 13 + 2 = 13 + 2 = 1 + 2 = 3 (0,3)
Мы также можем зарисовать график, используя следующие переводы:
y = x3 Базовая функция корня куба y = x + 13 Горизонтальный сдвиг влево 1 единица = x + 13 + 2 Вертикальный сдвиг вверх на 2 единицы
Ответ:
энные корни
Для любого целого числа n≥2 мы определяем корень n -го числа, которое при увеличении до n -й степени (n≥2) дает исходное число.положительного действительного числа как числа, которое при возведении в степень n в -й степени дает исходное число. Для любого неотрицательного действительного числа a мы имеем следующее свойство:
ann = a, если a≥0
Здесь n называется индексом, а an называется подкоренным выражением. Кроме того, мы можем ссылаться на все выражение An как на радикал. Используется при обращении к выражению формы An .. Когда индекс является целым числом, большим или равным 4, мы говорим «корень четвертой степени», «корень пятой степени» и скоро.Корень n -й степени любого числа очевиден, если мы можем записать подкоренное выражение с показателем, равным индексу.
Пример 7
Упростить.
814
325
17
1164
Решение:
814 = 344 = 3
325 = 255 = 2
17 = 177 = 1
1164 = (12) 44 = 12
Примечание : Если индекс равен n = 2, то радикал указывает на квадратный корень, и принято писать радикал без индекса; а2 = а.
Мы уже позаботились о том, чтобы определить главный квадратный корень действительного числа. На этом этапе мы расширяем эту идею до n корней -й степени, когда n четное. Например, 3 — это корень четвертой степени из 81, потому что 34 = 81. А поскольку (−3) 4 = 81, мы можем сказать, что −3 также является корнем четвертой степени из 81. Следовательно, мы используем знак корня n для обозначения главного (неотрицательного) корня n -го числа Положительный корень n -й степени, когда n четное. когда n четное.В этом случае для любого действительного числа a мы используем следующее свойство:
ann = | a | Когда n равно
Например,
814 = 344 = | 3 | = 3 814 = (- 3) 44 = | −3 | = 3
Отрицательный корень n -й, когда n четный, будет обозначаться отрицательным знаком перед корнем — n.
−814 = −344 = −3
Мы видели, что квадратный корень из отрицательного числа не является действительным, потому что любое действительное число, возведенное в квадрат, даст положительное число.Фактически, аналогичная проблема возникает для любого четного индекса:
−814 =? или (?) 4 = −81
Мы видим, что корень четвертой степени из −81 не является действительным числом, потому что четвертая степень любого действительного числа всегда положительна.
−4−814−646} Эти радикалы не являются действительными числами.
Предлагаем вам попробовать все это на калькуляторе. Что там написано?
Пример 8
Упростить.
(-10) 44
−1044
(2г + 1) 66
Решение:
Поскольку индексы четные, используйте абсолютные значения, чтобы гарантировать неотрицательные результаты.
(-10) 44 = | -10 | = 10
−1044 = −10,0004 не является действительным числом.
(2y + 1) 66 = | 2y + 1 |
Когда индекс n нечетный, те же проблемы не возникают.Произведение нечетного числа положительных факторов положительно, а произведение нечетного количества отрицательных факторов отрицательно. Следовательно, когда индекс n нечетный, существует только один действительный корень n -й степени для любого действительного числа a . И вот недвижимость у нас:
ann = a Если n нечетное
Пример 9
Упростить.
(−10) 55
−325
(2 года + 1) 77
Решение:
Поскольку индексы нечетные, абсолютное значение не используется.
(-10) 55 = -10
−325 = (- 2) 55 = −2
(2г + 1) 77 = 2г + 1
Таким образом, для любого действительного числа у нас есть
ann = | a | Когда n четноann = aКогда n нечетно
Когда n является нечетным , корень n -й степени равен положительным или отрицательным в зависимости от знака подкоренного выражения.
273 = 333 = 3−273 = (- 3) 33 = −3
Когда n равно , корень n -й степени равен положительным или ненастоящим в зависимости от знака подкоренного выражения.
164 = 244 = 2164 = (- 2) 44 = | −2 | = 2−164 Не действительное число
Попробуй! Упростить: −8−325.
Ответ: 16
Упрощающие радикалы
Не всегда подкоренное выражение является полной степенью данного индекса. Если это не так, мы используем правило произведения для радикалов, заданных действительными числами An и Bn, A⋅Bn = An⋅Bn. и правило частного для радикалов с заданными действительными числами An и Bn, ABn = AnBn, где B ≠ 0.чтобы упростить их. Учитывая действительные числа An и Bn,
Правило продукта для радикалов:
A⋅Bn = An⋅Bn
Правило частного для радикалов:
ABn = AnBn
Радикал упрощен: радикал, в котором подкоренное выражение не состоит из каких-либо множителей, которые могут быть записаны как полные степени индекса.если он не содержит каких-либо факторов, которые могут быть записаны как абсолютные степени индекса.
Пример 10
Упростить: 150.
Решение:
Здесь 150 можно записать как 2⋅3⋅52.
150 = 2⋅3⋅52 Примените правило произведения для радикалов. = 2⋅3⋅52 Упростите. = 6 ⋅ 5 = 56
Мы можем проверить наш ответ на калькуляторе:
150≈12,25 и 56≈12,25
Также стоит отметить, что
12.252≈150
Ответ: 56
Примечание : 56 — точный ответ, а 12,25 — приблизительный ответ. Мы даем точные ответы, если не указано иное.
Пример 11
Упростить: 1603.
Решение:
Используйте разложение на простые множители 160, чтобы найти наибольший коэффициент идеального куба:
160 = 25⋅5 = 23⋅22⋅5
Замените подкоренное выражение этой факторизацией, а затем примените правило произведения для радикалов.
1603 = 23⋅22⋅53 Примените правило произведения для радикалов. = 233⋅22⋅53 Упростите. = 2⋅203
Мы можем проверить наш ответ на калькуляторе.
1603≈5,43 и 2203≈5,43
Ответ: 2203
Пример 12
Упростить: −3205.
Решение:
Здесь отметим, что индекс нечетный, а подкоренное выражение отрицательное; следовательно, результат будет отрицательным.Мы можем разложить подкоренное выражение на множители следующим образом:
−320 = −1⋅32⋅10 = (- 1) 5⋅ (2) 5⋅10
Затем упростите:
−3205 = (- 1) 5⋅ (2) 5⋅105 Примените правило произведения для радикалов. = (- 1) 55⋅ (2) 55⋅105Simplify. = — 1⋅2⋅105 = −2⋅105
Ответ: −2105
Пример 13
Упростить: -8643.
Решение:
В этом случае рассмотрим эквивалентную дробь с −8 = (- 2) 3 в числителе и 64 = 43 в знаменателе, а затем упростим.
−8643 = −864 3 Примените правило частного для радикалов. = (- 2) 33433Simplify. = — 24 = −12
Ответ: −12
Попробуй! Упростить: 80814
Ответ: 2543
Основные выводы
Чтобы упростить извлечение квадратного корня, найдите наибольший коэффициент полного квадрата корневого выражения, а затем примените правило произведения или частного для радикалов.
Чтобы упростить кубический корень, найдите наибольший коэффициент идеального куба подкоренного выражения, а затем примените правило произведения или частного для радикалов.
При работе с корнями n , n определяет применимое определение. Мы используем ann = a, когда n нечетно и ann = | a | когда n четное.
Чтобы упростить n корней -й степени, найдите множители, мощность которых равна индексу n , а затем примените правило произведения или частного для радикалов.Обычно процесс упрощается, если вы работаете с разложением на простые множители подкоренного выражения.
Тематические упражнения
Часть A: квадратные и кубические корни
Упростить.
49
164
183
8273
Определите область применения данной функции.
Оценить по определению функции.
Дано f (x) = x − 1, найти f (1), f (2) и f (5)
Дано f (x) = x + 5, найти f (−5), f (−1) и f (20)
Дано f (x) = x + 3, найти f (0), f (1) и f (16)
Дано f (x) = x − 5, найти f (0), f (1) и f (25)
Дано g (x) = x3, найти g (−1), g (0) и g (1)
Дано g (x) = x3−2, найти g (−1), g (0) и g (8)
Дано g (x) = x + 73, найти g (−15), g (−7) и g (20)
Дано g (x) = x − 13 + 2, найти g (0), g (2) и g (9)
Нарисуйте график данной функции и укажите ее область определения и диапазон.
Часть B:
n -е корни
Упростить.
1325
12435
32516
6169
5271253
732755
−58273
−8625164
Часть C: Упрощение радикалов
Упростить.
15049
2009 г.
675121
19281
541253
403433
2242435
5325
−1325
−1646
Упростить.Дайте точный и приблизительный ответ с округлением до сотых.
9649
19225
2881253
62583
Перепишем следующее как радикальное выражение с коэффициентом 1.
Каждая сторона квадрата имеет длину, равную квадратному корню из площади квадрата.Если площадь квадрата составляет 72 квадратных единицы, найдите длину каждой из его сторон.
Каждое ребро куба имеет длину, равную кубическому корню из объема куба. Если объем куба составляет 375 кубических единиц, найдите длину каждого из его ребер.
Ток I , измеренный в амперах, определяется по формуле I = PR, где P — потребляемая мощность, измеренная в ваттах, а R — сопротивление, измеренное в омах.Если у 100-ваттной лампочки сопротивление 160 Ом, найдите необходимый ток. (Округлить до сотых долей ампера.)
Время в секундах, в течение которого объект находится в свободном падении, определяется формулой t = s4, где s представляет собой расстояние в футах, на которое объект упал. Сколько времени потребуется объекту, чтобы упасть на землю с вершины 8-футовой стремянки? (Округлите до ближайшей десятой секунды.)
Часть D: Обсуждение
Объясните, почему существует два действительных квадратных корня для любого положительного действительного числа и один действительный кубический корень для любого действительного числа.
Что такое квадратный корень из 1 и кубический корень из 1? Объяснить, почему.
Объясните, почему −1 не является действительным числом и почему −13 является действительным числом.
Изучите и обсудите методы, используемые для вычисления квадратных корней, прежде чем электронные калькуляторы начнут широко использоваться.
Ответы
[−15, ∞)
г (−1) = — 1; г (0) = 0; г (1) = 1
г (−15) = — 2; г (-7) = 0; г (20) = 3
Домен: [-9, ∞); диапазон: [0, ∞)
Домен: [1, ∞); диапазон: [2, ∞)
Домен: ℝ; диапазон: ℝ
Домен: ℝ; диапазон: ℝ
Домен: ℝ; диапазон: ℝ
Домен: ℝ; диапазон: ℝ
567
15311
3235
2753
Видео урок: n-е корни: целые числа
Стенограмма видео
Из этого видео о корнях-й степени мы узнаем, как извлечь корень-й степени числа, где 𝑛 — положительное целое число.Например, мы узнаем, как найти корень шестой степени из 64 или корень четвертой степени из 81. Нахождение корня-й степени числа — это операция, обратная нахождению-й степени. Итак, первое, что мы сделаем, — это резюмируем некоторые общие силы и примеры.
Давайте начнем с возведения числа в степень единицы. Например, два в степени одного просто означает один два. Два в квадрате означает два из числа два, умноженных вместе. И это дважды два, то есть четыре. Два в третьей степени означает три двойки, умноженные вместе.Будьте осторожны, так как очень распространенной ошибкой является утверждение, что двойка в третьей степени равна шести, но это было бы сложение трех двоек вместе. Вместо этого мы можем думать об этом в терминах умножения первых двух двоек вместе, что даст нам четыре, а умножение на оставшиеся два даст нам восемь. Два в четвертой степени записываются как четыре двойки, умноженные вместе. А мы знаем, что два в кубе равны восьми. Итак, умножив восемь на оставшиеся два, мы получим 16.
Как это соотносится с извлечением корней из чисел? Давайте подумаем об обратной операции возведения в квадрат, которая будет извлекать квадратный корень.Здесь мы получили квадратный корень из четырех. Мы можем помнить, что когда мы пишем квадратный корень, нам не нужно записывать эти два меньших, если мы имеем в виду просто квадратный корень. Квадратный корень из четырех означает, какое число мы умножаем на два, чтобы получить значение четыре. Ответ, конечно, два, так как два умноженные на два дают четыре.
Далее, кубический корень из восьми означает, какое число мы умножаем три раза, чтобы получить значение восемь. И это будет два, поскольку дважды два умножить на два равно восьми.Наконец, корень четвертой степени из 16 также будет равен двум, поскольку дважды два умножить на два умножить на два дает 16.
Мы можем применить те же принципы, когда мы смотрим на степени или экспоненты трех. Три в квадрате — это трижды три, что равно девяти. Три в третьей степени — это трижды трижды три, то есть 27. И три в четвертой степени дадут нам 81. Тогда мы можем найти различные корни из девяти, 27 и 81 как три.
В общем, мы можем думать, что-й корень числа 𝑥 — это значение, которое умножается 𝑛 раз, чтобы получить.Мы можем видеть пример того, что корень четвертой степени из 81 равен трем, потому что три в четвертой степени равны 81.
Прежде чем мы перейдем к некоторым вопросам, вот полезный совет. Очень хорошо знать первые несколько степеней числа два, три, четыре и даже пять. Таким образом, мы сможем еще быстрее вспомнить различные корни, особенно в экзаменационных вопросах. Итак, давайте посмотрим на первый вопрос.
Вычислите квадратный корень из четырех.
Мы можем начать с напоминания о том, что когда у нас есть символ корня, а не меньшая цифра, мы действительно извлекаем квадратный корень из значения.Когда мы находим квадратный корень из четырех, мы действительно спрашиваем, какое число, умноженное само на себя, даст нам четыре? Мы могли думать об этом с любой буквой. Здесь я использовал 𝑦. Итак, 𝑦 умножить на равно четырем. Итак, 𝑦 должно быть равно двум, так как два умноженные на два дадут нам четыре. Итак, мы можем дать ответ, что квадратный корень из четырех равен двум.
Давайте рассмотрим следующий вопрос.
Вычислите корень четвертой степени из 81.
Прежде чем мы начнем отвечать на этот вопрос, важно заметить различие между этим корневым знаком с малой четверкой и большой четверкой.В данном вопросе мы имеем дело с корнем четвертой степени из 81. Это второе значение, однако, будет означать четыре, умноженные на квадратный корень из 81. Мы должны помнить, что если мы пишем их от руки, чтобы убедиться, что когда мы пишем четвертый корень или что-то в этом роде, чтобы уменьшить значение в корне. Четыре, умноженные на квадратный корень из 81, — это не то, что мы хотим здесь вычислить.
Чтобы вычислить корень четвертой степени из 81, мы действительно спрашиваем, какое значение 𝑦, например, в четвертой степени даст нам значение 81? Когда мы находим число в четвертой степени, это означает, что мы умножаем четыре из них.Часто мы можем решить эти проблемы с помощью серии испытаний и улучшений. Если мы возьмем значение 𝑦 равным единице, мы знаем, что один раз один раз один раз один даст нам только один, а не 81. Итак, давайте попробуем значение два. Дважды два даст нам четыре. Четыре раза два даст нам восемь. Восемь умножить на два даст нам 16. Но 16 — это не то значение, которое мы ищем.
Затем мы можем попробовать значение три. Чтобы тренироваться трижды, трижды, трижды, трижды, мы можем сделать это несколькими разными методами.Мы могли бы вычислить первые три раза по три, то есть девять, а затем мы могли бы умножить это на три, а затем умножить еще на три. Или мы могли заметить, что там еще три раза по три, что дает нам девять. И девять умноженных на девять дает нам значение 81. Это означает, что мы нашли то значение, которое искали. Поскольку теперь мы знаем, что три в четвертой степени равно 81, это означает, что корень четвертой степени из 81 равен трем. Итак, наш ответ — три.
Давайте посмотрим на другой вопрос.
Выполните следующее: Кубический корень из 27 равен квадратному корню из пробела.
Давайте начнем этот вопрос с того, что посмотрим, можем ли мы упростить левую часть, кубический корень из 27. Мы можем вспомнить, что если мы находим что-то вроде кубического корня из 27, мы действительно спрашиваем, какое значение, 𝑦 например, в третью степень нам дали бы 27? Когда число переводится в третью степень, это означает, что оно написано трижды и умножено. Мы можем ответить на подобные вопросы, используя метод проб и улучшений.
Здесь мы написали один раз, один раз по одному, но на самом деле нам никогда не нужно выбирать что-то одно как возможность, потому что мы знаем, что ответ всегда будет один. Итак, как насчет два раза два раза два? Что ж, мы могли бы вычислить это как восемь, но помните, что любое четное число, умноженное на четное, всегда даст нам четное число. И мы ищем здесь нечетное значение 27. Итак, если бы мы подумали об этом, нам даже не нужно было бы вычислять значение двойки в третьей степени.
Так что насчет трижды трижды три? Итак, три умноженные на три дают нам девять, а девять, умноженные на оставшиеся три, дают нам значение 27. И это значение, которое мы искали. Теперь мы знаем, что три, умноженные на три, умноженные на три, дают нам 27, мы знаем, что три в третьей степени равно 27. Итак, обратная операция, то есть кубический корень из 27, дает нам три.
Теперь, когда мы обнаружили, что значение равно трем, означает ли это, что наш пропущенный ответ должен быть трем? Не совсем так.Значение, которое мы ищем, — это квадратный корень из того, что дает нам три. Чтобы найти ответ на квадратный корень из того, что дает нам три, мы должны выполнить операцию, обратную нахождению квадратного корня. И это квадрат. Итак, наше значение, которое нам не хватает, должно быть равно трем в квадрате. Три в квадрате — это три, умноженные на три. А это девять. Итак, наш ответ — значение девять. Мы можем перепроверить каждую сторону уравнения. Кубический корень из 27, который мы нашли, был значением три, а квадратный корень из девяти также является значением три.
В следующем вопросе мы увидим более сложный вопрос, связанный с вычислением с разными корнями.
Учитывая, что 𝑥 равно корню пятой степени из 32, вычтите корень четвертой степени из 625 плюс квадратный корень из 64, найдите 𝑥.
В этом вопросе, чтобы найти значение, нам нужно будет вычислить значение всех этих различных составляющих в правой части уравнения. Давайте по очереди рассмотрим каждый из этих терминов и посмотрим, сможем ли мы вычислить их значение.
Чтобы найти корень пятой степени из 32, мы на самом деле пытаемся выяснить, какое значение 𝑎, записанное пять раз и умноженное, дало бы нам значение 32. Мы можем сказать, что это значение 𝑎 не будет равняется единице, потому что умножение единицы на единицу, сколько бы раз ни было, все равно даст нам значение единицы. Если мы попробуем значение два, то два, умноженные на два, дают нам четыре, а еще два, умноженные на два, дают нам четыре, а четыре, умноженные на четыре, дают 16, а 16, умноженное на два, действительно дает нам 32.Это означает, что два в степени пяти равняются 32. Следовательно, корень пятой степени из 32 равен двум.
Затем давайте посмотрим на решение корня четвертой степени из 625. На этот раз мы ищем значение, назовем его 𝑏, записанное четыре раза и умноженное, что даст нам 625. Мы знаем, что 𝑏 не будет одним. И мы могли бы даже понять, что 𝑏 тоже не может быть двух, потому что 625 — нечетное число. Два, умноженные на два, всегда дают нам четное число. Итак, как насчет значения три? Ну, трижды три — девять.И у нас есть еще три раза по три, то есть девять. И девять умноженных на девять дает нам значение 81. Итак, мы знаем, что наше значение не равно трем.
Далее мы могли бы выбрать значение четыре, но мы знаем, что снова четыре — это четное число, а значение 625, которое мы ищем, — нечетное число. Чтобы попытаться получить значение пять, мы можем увидеть, что пять умноженных на пять дают нам 25. Умножение на другие пять дает нам 125. А умножение на оставшиеся пять дает значение 625.И это та ценность, которую мы ищем. Итак, теперь мы знаем, что корень четвертой степени из 625 равен пяти.
Наконец, давайте посмотрим на квадратный корень из 64. Мы должны помнить, что если мы пытаемся найти квадратный корень из 64, мы спрашиваем, какое значение, умноженное само на себя, даст нам 64? И это будет восемь, поскольку восемь, умноженное на восемь, равно 64. Теперь, когда мы нашли каждый член в правой части в упрощенной форме, мы можем найти значение 𝑥.
Итак, мы вычисляем корень пятой степени из 32, который равен двум, вычитаем корень четвертой степени из 625, который равен пяти, плюс квадратный корень из 64, который равен восьми.Здесь нам нужно применить порядок операций, который говорит нам, что когда у нас есть сложение и вычитание, мы выполняем их в порядке слева направо. Два вычитания пяти дают нам три. И тогда, добавив восемь, мы получим пять. Следовательно, ответ на вопрос: 𝑥 равно пяти.
Давайте посмотрим на последний вопрос.
Учитывая, что 𝑥 равно корню шестой из 64 плюс квадратный корень из 81 плюс третий корень из отрицательных 27, вычтите корень четвертой степени из 16, найдите 𝑥.
Чтобы найти значение, нам нужно упростить каждый член в правой части. Здесь есть одно, с которым мы должны быть знакомы, квадратный корень из 81. Когда мы находим квадратный корень из числа, мы действительно спрашиваем, какое число, умноженное на само себя, даст нам это значение? Итак, мы знали, что девять в квадрате равно 81. Следовательно, квадратный корень из 81 равен девяти.
Давайте посмотрим, сможем ли мы вычислить корень шестой степени из 64.Чтобы решить эту проблему, мы можем думать об этом наоборот. То есть мы говорим, какое значение 𝑎 в шестой степени даст нам 64. 𝑎 в шестой степени эквивалентно 𝑎, умноженному на шесть раз. Давайте попробуем небольшое значение. Например, мы можем принять значение 𝑎 равным двум. Мы знаем, что два, умноженные на два, дают четыре. И мы понимаем, что у нас есть четыре, умноженные на четыре, умноженные на четыре. Четыре четверки — 16. А 16 умноженное на четыре даст нам 64. И это то значение, которое мы искали.Теперь мы знаем, что значение в степени шести равно двум. Два в степени шести равны 64. Следовательно, мы можем сказать, что корень шестой степени из 64 равен двум.
Теперь давайте посмотрим на третий член в правой части, кубический корень из отрицательного числа 27. Здесь легко запутаться. Нам, возможно, сказали, что мы не можем найти квадратный корень из отрицательного числа, но это немного отличается от нахождения кубического корня. На этот раз мы спрашиваем, какое значение 𝑏 в кубе или в третьей степени даст нам отрицательное значение 27? Что ж, мы знаем, что 𝑏 должно быть равно отрицательному числу, поскольку если мы умножим отрицательное значение на отрицательное, мы получим положительное значение, а затем, если мы умножим положительное значение на отрицательное значение, мы получим отрицательное значение.
Итак, при желании мы могли бы попробовать значение 𝑏, равное отрицательным двум. Итак, мы вычисляем отрицательные два, умноженные на отрицательные два, умноженные на отрицательные два. Умножение первых двух лотов отрицательных двух даст нам четыре. А четыре, умноженные на отрицательные два, дадут нам отрицательные восемь. Но мы ищем отрицательное значение 27. Таким образом, это значение 𝑏 как отрицательное два не будет работать.
Далее мы можем попробовать отрицательное значение три. Мы знаем, что умножение отрицательных трех на отрицательные три даст нам девять, а затем умножение на следующие отрицательные три даст нам отрицательное значение 27.И это та ценность, которую мы искали. Это означает, что кубическое значение 𝑏 должно быть отрицательным трем. Итак, кубический корень из отрицательных 27 равен отрицательным трем.
Нам осталось исследовать последний член, корень четвертой степени из 16. На этот раз мы спрашиваем, какое значение 𝑐 в четвертой степени даст нам 16? Начнем со значения два. Дважды два — четыре, четыре раза два — восемь, восемь умноженное на два — 16. Итак, похоже, что мы нашли значение 𝑐. Поскольку два в четвертой степени равны 16, то корень четвертой степени из 16 равен двум.
Итак, давайте соберем все эти упрощенные термины вместе, чтобы найти значение 𝑥. Итак, у нас 𝑥 равно корню шестой степени из 64, который, как мы обнаружили, равен двум, плюс квадратный корень из 81, который равен девяти, плюс кубический корень из отрицательного числа 27, который равен трем, вычесть корень четвертой степени из 16 , то есть два. Когда мы добавляем отрицательное значение три, это эквивалентно вычитанию трех. Мы должны помнить о порядке операций при сложении и вычитании. Итак, работаем слева направо.Два плюс девять — 11, вычесть три — восемь, вычесть два — шесть. Итак, наш ответ таков, что 𝑥 равно шести.
Теперь мы можем подвести итог тому, что узнали из этого видео. Корень-й степени, 𝑟, числа 𝑥 — это значение, которое умножается 𝑛 раз, чтобы получить. Например, четвертый корень из 81 равен трем, поскольку три умножается четыре раза, чтобы получить 81. Мы должны быть осторожны, чтобы различать, что три умножается на четыре, что будет 12, и три, умноженные четыре раза, что будет 81.
У нас может быть действительное числовое значение-го корня отрицательного числа, если 𝑛-значение нечетное.
No related posts.