Корень из комплексного числа примеры: Извлечение корня из комплексного числа, теория и примеры

{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ),\, \, \, \, \, \forall n\in N.\]

Аналогично применяя формулу Муавра для вычисления корня $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$ (не равного нулю) получаем:

\[\sqrt[{n}]{z} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.\]

Определение 4

Корнем $n$-й степени из некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[\sqrt[{n}]{z} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.\]

Примечание 4

Если некоторое комплексное число $z$ отлично от нуля, то корень $n$-й степени существует всегда.

Пример 1

Выполнить действие $\sqrt[{3}]{z} $, где $z=2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Решение:

Воспользуемся формулой из определения 4.

Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi }{3} \right)$.

Для $k=1$ получаем: $w_{2} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi +2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \pi +i\cdot \sin \pi \right)$.

Для $k=2$ получаем: $w_{3} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi +4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{5\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{5\pi }{3} \right)$.

Определение 5

Запись некоторого комплексного числа $z$ в следующем виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

  • $a$ — вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
  • $b$ — мнимая часть, обозначение $Imz=b$.

Алгоритм 1

Чтобы извлечь корень $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$, представленного в алгебраической форме, необходимо выполнить следующие действия:

  • записать данное число в тригонометрической форме;
  • извлечь корни, используя определение. {2} } =\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{1}{4} } =\sqrt{\frac{1}{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} \]

    Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

    \[\varphi =\arg z=arctg\frac{1/2}{1/2} =arctg1=\frac{\pi }{4} .\]

    Подставим полученные значения и получим:

    \[z=\frac{\sqrt{2} }{2} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} ).\]

    Воспользуемся формулой из определения 4.

    Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{\pi }{12} \right)$.

    Для $k=1$ получаем:

    \[w_{2} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4+2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4+2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{3\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{4} \right).\]

    Для $k=2$ получаем:

    \[w_{3} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4+4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4+4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{17\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{17\pi }{12} \right). {\frac{\pi }{3} \cdot i} .\]

    Решение:

    Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.

    Определим значения модуля и аргумента: $r=3,\, \, \varphi =\frac{\pi }{3} $.

    Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=3\cdot (\cos \frac{\pi }{3} +i\sin \frac{\pi }{3} )$.

    Воспользуемся формулой из определения 4.

    Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt{z} =\sqrt{3} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{6} +i\cdot \sin \frac{\pi }{6} \right)$.

    Для $k=1$ получаем:

    \[w_{2} =\sqrt{z} =\sqrt{3} \cdot \left(\cos \frac{\pi /3+2\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi /3+2\pi }{2} \right)=\sqrt{3} \cdot \left(\cos \frac{7\pi }{6} +i\cdot \sin \frac{7\pi }{6} \right).\]

    Сообщество экспертов Автор24

    Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13.11.2021

    Выполнение любых типов работ по математике

    Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

    Подбор готовых материалов по теме

    Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

    Содержание

    Извлечение корня из комплексного числа

    Третий урок по комплексным числам.

    {n}}\cdot \left( \cos n\varphi +i\sin n \varphi \right)\]

    Почему степень всегда одна, а корней несколько — об этом в конце урока. Сейчас для нас главное — алгоритм извлечения корня из комплексного числа. Он состоит из четырёх шагов:

    1. Перевести комплексное число в тригонометрическую форму;
    2. Записать общую формулу корня степени $n$;
    3. Подставить в эту формулу $k=0$, затем $k=1$ и так до $k=n-1$.
    4. Получим $n$ комплексных корней. Вместе они и будут ответом.

    В ответе всегда будет набор из $n$ чисел. Потому что невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа $z\ne 0$.

    Пример. Вычислить $\sqrt[3]{-8i}$.

    Представим число $-8i$ в тригонометрической форме:

    \[\begin{align} -8i &=0+\left( -8 \right)\cdot i= \\ & =8\cdot \left( 0+\left( -1 \right)\cdot i \right)= \\ & =8\cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi }{2} \right)+i\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right) \right) \end{align}\]

    Запишем формулу корней в общем виде:

    \[\begin{align} \sqrt[3]{-8i} & =\sqrt[3]{8\cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi }{2} \right)+i\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right) \right)}= \\ & =\sqrt[3]{8}\cdot \left( \cos \frac{-\frac{\pi }{2}+2\pi k}{3}+i\sin \frac{-\frac{\pi }{2}+2\pi k}{3} \right)= \\ & =2\cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi k}{3} \right)+i\sin \left( -\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi k}{3} \right) \right) \\ \end{align}\]

    Подставим $k=0$:

    \[\sqrt[3]{-8i}=2\cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi }{6} \right)+i\sin \left( -\frac{\pi }{6} \right) \right)=\sqrt{3}-i\]

    Подставим $k=1$:

    \[\sqrt[3]{-8i}=2\cdot \left( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \right)=2i\]

    И, наконец, $k=2$:

    \[\sqrt[3]{-8i}=2\cdot \left( \cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6} \right)=-\sqrt{3}-i\]

    В ответе нужно указать все три числа: $2i$; $\sqrt{3}-i$; $-\sqrt{3}-i$.

    Ещё раз: подставляя разные $k$, мы будем получать разные корни. Всего таких корней будет ровно $n$. А если взять $k$ за пределами диапазона $\left\{ 0,1,…,n-1 \right\}$, то корни начнут повторяться, и ничего нового мы не получим.

    3. Геометрическая интерпретация

    Если отметить на комплексной плоскости все значения корня $n$-й степени из некоторого комплексного числа $z\ne 0$, то все они будут лежать на окружности с центром в начале координат и радиусом $R=\sqrt[n]{\left| z \right|}$. Более того: эти точки образуют правильный $n$-угольник.

    Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[3]{i}$.

    Представим число $z=i$ в тригонометрической форме:

    \[\begin{align} z & =1\cdot \left( 0+i\cdot 1 \right)= \\ & =1\cdot \left( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \right) \end{align}\]

    Формула комплексных корней:

    \[\sqrt[3]{z}=1\cdot \left( \cos \left( \frac{\pi }{6}+\frac{2\pi k}{3} \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{6}+\frac{2\pi k}{3} \right) \right)\]

    Это три точки ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ и ${{z}_{3}}$ на окружности радиуса $R=1$:

    Получили правильный треугольник. Его первая вершина лежит на пересечении окружности радиуса 1 и начального луча, который образован поворотом оси $OX$ на угол ${\pi }/{6}\;$.

    Рассмотрим более сложный пример:

    Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[4]{1+i}$.

    Сразу запишем формулу корней с выделением начального луча:

    \[\sqrt[4]{z}=\sqrt[8]{2}\cdot \left( \cos \left( \frac{\pi }{16}+\frac{\pi k}{2} \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{16}+\frac{\pi k}{2} \right) \right)\]

    Отмечаем эти точки на комплексной плоскости. Радиус окружности $R=\sqrt[8]{2}$, начальный луч ${\pi }/{16}\;$:

    И вновь всё чётко: четыре точки — правильный четырёхугольник, т.е. квадрат. С отклонением начального луча ${\pi }/{16}\;$.

    Ну и ещё один пример — вновь без промежуточных вычислений. Только формулировка задачи, формула корней и окончательный чертёж:

    Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[6]{-64}$.

    Формула корней с выделением начального луча:

    \[\sqrt[6]{z}=2\cdot \left( \cos \left( \frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3} \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3} \right) \right)\]

    Получили правильный шестиугольник со стороной 2 и начальным лучом ${\pi }/{6}\;$.

    Таким образом, мы получаем «графический» алгоритм извлечения корня $n$-й степени из комплексного числа $z\ne 0$:

    1. Перевести число в тригонометрическую форму;
    2. Найти модуль корня: $\sqrt[n]{\left| z \right|}$ — это будет радиусом окружности;
    3. Построить начальный луч с отклонением $\varphi ={\arg \left( z \right)}/{n}\;$;
    4. Построить все остальные лучи с шагом ${2\pi }/{n}\;$;
    5. Получим точки пересечения лучей с окружностью — это и есть искомые корни.

    Такой алгоритм прекрасно работает, когда аргумент исходного числа и отклонение начального луча $\varphi $ — стандартные «табличные» углы вроде ${\pi }/{6}\;$. На практике чаще всего именно так и бывает. Поэтому берите на вооружение.:)

    4. Почему корней всегда ровно n

    С геометрической точки зрения, всё очевидно: если мы будем последовательно зачёркивать вершины правильного $n$-угольника, то ровно через $n$ шагов все вершины будут зачёркнуты. И для дальнейшего зачёркивания придётся выбирать вершину среди уже зачёркнутых.

    Однако рассмотрим проблему с точки зрения алгебры. Ещё раз запишем формулу корня $n$-й степени:

    \[\begin{align} \sqrt[n]{z} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) \\ k & \in \left\{ 0;1;2;…;n-1 \right\} \\ \end{align}\]

    Последовательно подставим в эту формулу указанные значения параметра $k$:

    \[\begin{align} {{\omega }_{0}} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi }{n}+i\sin \frac{\varphi }{n} \right) \\ {{\omega }_{1}} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi +2\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi }{n} \right) \\ & … \\ {{\omega }_{n-1}} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi +2\pi \cdot \left( n-1 \right)}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi \cdot \left( n-1 \right)}{n} \right) \\ \end{align}\]

    Очевидно, последняя строка получена при $k=n-1$. Подставим теперь $k=n$:

    \[\begin{align} {{\omega }_{n}} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi +2\pi n}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi n}{n} \right)= \\ & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \left( \frac{\varphi }{n}+2\pi \right)+i\sin \left( \frac{\varphi }{n}+2\pi \right) \right)= \\ & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi }{n}+i\sin \frac{\varphi }{n} \right)={{\omega }_{0}} \\ \end{align}\]

    Поскольку синус и косинус — периодические функции с периодом $2\pi $, ${{\omega }_{n}}={{\omega }_{0}}$, и далее корни будут повторяться. {n}}=z$.

    Обозначение. Для обозначения комплексных корней используется знакомый знак радикала: $\omega =\sqrt[n]{z}$.

    Замечание. Если $z\ne 0$, таких чисел корней будет ровно $n$ штук.

    Алгоритм нахождения корней состоит из двух шагов.

    Шаг 1. Представить исходное число в тригонометрической форме:

    \[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\]

    Шаг 2. Воспользоваться формулой Муавра для вычисления корней:

    \[\begin{align} \sqrt[n]{z} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) \\ k & \in \left\{ 0;1;2;…;n-1 \right\} \\ \end{align}\]

    Все полученные корни лежат на окружности радиуса $\sqrt[n]{\left| z \right|}$ с центром в начале координат и являются вершинами правильного $n$-угольника. Первая вершина лежит на т.н. «начальном луче», который отклонён от положительной полуоси $OX$ на угол ${\varphi }/{n}\;$. Остальные вершины обычно легко находятся из соображений симметрии с помощью циркуля и линейки.

    Геометрическую интерпретацию можно использовать для быстрого «графического» извлечения корней. Но это требует практики и хорошего понимания, что именно и зачем вы делаете. Технология такого извлечения корней описана выше в разделе «Геометрическая интерпретация».

    Всё. В следующем уроке начнём решать уравнения в комплексных числах.:)

    Смотрите также:

    1. Тригонометрическая форма комплексного числа
    2. Системы линейных уравнений: основные понятия
    3. Радианная мера угла
    4. Как представить обычную дробь в виде десятичной
    5. Задача B2 на проценты: железнодорожные билеты
    6. Логарифмические уравнения в задаче C1

    Извлечение корня из комплексного числа — Мегаобучалка

    Корнем n-ой степени, n Î N, n ³ 2, из числа z называется любое комплексное число u, для которого n-ая степень равна z:

    .

    В поле комплексных чисел справедлива следующая теорема.

    Для любого z ≠ 0 извлечение корня n-ой степени, n ³ 2, из числа z всегда возможно и имеет ровно n различных значений.

    Пусть z = r(cosj + isinj). Искомый корень n-ой степени обозначим

    u = r(cosq + isinq).

    По определению корня имеем un= z. Откуда следует, что

    rn (cosnq + isinnq) = r(cosj + isinj).

    Из равенства комплексных чисел получаем:

    Так как .

    Таким образом, модуль комплексного числа u определяется как арифметический корень из действительного положительного числа r, а аргумент находят по формуле

    Общая формула Муавра

    ,

    Пример.

    Вычислить u = .

    Представим число z = в тригонометрической форме:

    ,

    Поэтому согласно общей формуле Муавра

    ,

    где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

     

     

    Таким образом, значения корней:

    ,

    ,

    Геометрически корни можно интерпретировать как числа, изображающие в комплексной плоскости вершины правильного n угольника (в рассмотренном примере – шестиугольника ), вписанного в окружность радиусом (в рассмотренном примере – радиусом ), с центром в начале координат.



    Примеры.

    Найти: 1) , 2) , 3) .

     

    Решение.

    1) ,

    u0 = cos0 + isin0 = 1,

    ,

    ,

    .

     

    2)

    , k = 0, 1, 2.

    3) , k = 0, 1, 2.

     

    Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа

    Помимо алгебраической и тригонометрической имеется еще показательная форма записи комплексного числа, которая широко используется в различных приложениях, в частности в электротехнике.

    Пусть , зависит от действительной переменной φ.

    Сопоставим взаимно однозначным образом каждому комплексному числу комплексно показательное выражение . С помощью операций дифференцирования можно показать, что эти выражения имеют одну и ту же логическую сущность, в связи с этим полагают по определению

    .

    Эта формула называется формулой Эйлера и представляет собой определение комплексной показательной функции , где φ – любое действительное число.

    Пусть дано комплексное число z =r (cosφ + isinφ). Сопоставляя это с предыдущей формулой, получаем

    .

    Такая форма записи комплексного числа называется показательной формой комплексного числа.

    В этой форме записи удобно осуществлять операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. Соответствующие формулы записываются следующим образом.

    Пусть . Тогда

     

    Примеры.

    1. Найти показательную форму чисел:

    а) z1 = 1 + i; б) z2 = .

    Решение.

    а) r = , .

    б) .

    2. Найти алгебраическую форму чисел:

    а) , б) , в) .

    Решение.

    а) ,

    б) ,

    в) .

    3. Найти z1z2 и , результат записать в тригонометрической форме:

    а) ; б) .

    Решение.

    а) ,

    ,

    б)

    .

    4. Вычислить: а) z4 , б) , где .

    Решение:

    а) ,

    б)

     

    Теория комплексных чисел может быть использована при решении геометрических задач на плоскости; и обратно, факты геометрического характера позволяют доказывать некоторые соотношения и тождества для комплексных чисел.

    Примеры.

    1. Пусть . Доказать, что .

    Поскольку , то

    .

    Геометрически этот факт означает, что сумма квадратов длин диагоналей ромба равна сумме квадратов длин всех его сторон.

     

     

    Действительно, точки плоскости, соответствующие комплексным числам 0, z1, z2 и z1 + z2, являются вершинами ромба, для которого и – длины его сторон, а и – длины его диагоналей. n \left ( \cos n \psi +i\sin n \psi \right ) =r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$$Из равенства комплексных чисел следует равенство их аргументов и модулей. $$\rho = \sqrt[n]{r}$$ $$\psi =\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n},\:k=0,1,..,n-1$$ Тогда: $$w_k=\sqrt[n]{r}\left( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )+i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )\right )$$ Пришли к зависимости корня от параметра $k$. Рассмотрим лемму.

    Лемма. $w_k=w_l\Leftrightarrow \left ( k-l \right )\vdots \,n$

    $w_k=w_l$ равные комплексные числа, а значит их аргументы равны $$\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n}=\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi l}{n}+2\pi t$$ $$ 2\pi \left(k-l \right )=2\pi nt\Leftrightarrow k-l=nt\Leftrightarrow \left(k-l \right )\vdots \: n$$

    $W=\left \{ w_0,\:w_1,…,\:w_{n-1} \right \}$ — множество корней степени $n$ из $z$. В силу вышеизложенной леммы все корни попарно различны. Значит мы имеем только n различных значений аргумента, при этом модули корней равны $$\left | \sqrt[n]{z} \right |=\sqrt[n]{\left | z \right |}$$ $$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[n]{z}=\frac{\mathop{\rm Arg}\,z+2\pi k}{n},\,k=\overline{0,\,n-1}$$Общий вид корня степени $n$ $$\sqrt[n]{z}= \left \{ \sqrt[n]{r}\left ( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n} \right ) +i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right ) \right) \right \},$$ где $k\in \mathbb{N},\,k=\overline{0,\,n-1}$

    Следствие. 2=\frac{1}{2}\left ( 0+2 \right )=1 $$ Откуда $$x=\pm 1,\:y=\pm 1$$ Значит корни уравнения будут равны $$w_{1,2}=\pm \left(1+i\right)$$

    [свернуть]

  • Будет ли $z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \frac{14\pi}{24}+i\sin\frac{14\pi}{24} \right )$ корнем четвертой степени из $z=\sqrt{3}+i$?

    Решение

    Найдем общий вид корней четвертой степени из $z$ и проверим, принадлежит ли $z_1$ множеству корней. Запишем $z$ в тригонометрической форме$$z=2\left ( \cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} \right )$$Аргументы и модули корней четвертой степени будут иметь вид: $$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[4]{z}=\frac{ \pi }{24}+\frac{ \pi k }{2},\:k=0,1,2,3$$ $$\left | \sqrt[4]{z} \right |=\sqrt[4]{2}$$ Тогда общий вид корней будет таков $$w_k= \left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right ) \right ) \right \},$$ $$k=0,1,2,3$$ Корни четвертой степени комплексного числа $z$ равны $$w_0=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_1=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{13\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{13\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_2=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{25\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{25\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_3=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{37\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{37\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $z_1$ не равен какому-либо корню четвертой степени из $z,$ значит он не является корнем четвертой степени из $z$

    [свернуть]

  • Извлечение корней из комплексных чисел

    Тест на знание темы «Извлечение корней из комплексных чисел»

    Смотрите также

    1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, Глава 4, § 19, «Дальнейшее изучение комплексных чисел» (стр. 123-127)
    2. К. Д. Фадеев Лекции по алгебре М.: Наука, 1984, Глава 2, §3, «Обоснование комплексных чисел»(стр. 39-42)
    3. А. И. Кострикин Введение в алгебру М.: Наука, 1994, Глава 5, §1, «Обоснование комплексных чисел»(стр. 202-203)

    Комплексные числа — определение и вычисление с примерами решения

    Содержание:

    Хроника возникновения комплексных чисел:

    Исследование.

    1) Подтвердите примерами справедливость следующих высказываний. Если высказывание ложно, то сделайте так, чтобы оно стало истинным.

    • а) Если а и b — натуральные числа, то корень уравнения х + а = b также является натуральным числом.
    • б) Если а и b -целые числа, то корень уравнения ах = b также является целым числом
    • в) Если а неотрицательное рациональное число, то корень уравнения х1 = а также является рациональным числом.
    • г) Если а неотрицательное действительное число, то корень уравнения х2 = а также является действительным числом.

    2) Существует ли действительное число квадрат которого равен -1?

    3)

    • а) Существуют ли действительные корни уравнения х2 = а при
    • б) Можно ли решить эту задачу расширив множество действительных чисел?

    4) Существует ли однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек на числовой оси? А какие числа соответствуют точкам на координатной плоскости?

    На множестве действительных чисел уравнение х2 = -1 не имеет решений. Значит, мы должны расширить множество действительных чисел так, чтобы корни этого уравнения входили в него. Для этого введём новое число и примем, что оно является корнем уравнения х2 + 1 = 0, т.е. . Отсюда . После этого, корнями уравнения х2 + 1 = 0 являются числа . Число называется мнимой единицей.

    Расширим множество действительных чисел так, чтобы в него входили все действительные числа и число , и были справедливы все свойства сложения и умножения. Для произвольных действительных чисел а и b введём «произведение» и «сумму» , и назовём комплексным числом следующее выражение . Выражение вида называется комплексным числом, где а и b — действительные числа, мнимая единица.Комплексные числа можно обозначать через и т.д.Например, . Запись называется алгебраической формой комплексного числа, а является действительной частью, b — мнимой частью комплексного числа , и записывается так: . При а = 0 получается число вида . Эти числа называются чисто мнимыми числами. При а = 0, b = 0 комплексное число равно нулю и наоборот, если а + = 0, то а = 0 и b = 0.

    Следствие: для комплексных чисел а + и с + равенство

    а + = с + справедливо тогда и только тогда, если а = с, b = d.

    Пример. Из равенства найдите х и у.

    Решение: Из равенства действительных и мнимых частей получаем: х = 5

    .

    Суммой комплексных чисел называется комплексное число

    Действия над комплексными числами

    Произведением комплексных чисел и называется число , т.е.

    Значит, два комплексных числа умножаются по правилу умножения многочленов при условии, что .

    Пример №1

    Рассмотрим частные случаи степеней мнимых единиц:

    Как видно, натуральные степени мнимой единицы равны , -1, -‘, 1 и повторяются через каждые четыре шага, т.е.справедливо равенство

    Пример №2

    Вычислите: а) б)

    Решение: а) б)

    Число называется сопряжённым для числа и обозначается как : . Ясно, что если число является сопряжённым для числа , то число является сопряжённым для числа . Поэтому, числа называются взаимно сопряжёнными комплексными числами. Действительные части взаимно сопряжённых чисел равны, а мнимые части являются противоположными числами.

    Произведение взаимно сопряжённых комплексных чисел является действительным числом: .

    В частном случае, сопряжённым для действительного числа является само число, для мнимого — произведение числа и (-1).

    Для каждого комплексного числа существует противоположное число и . Для каждого, отличного от нуля, комплексного числа существует противоположное.

    Вычитание и частное комплексных чисел определяется равенствами:

    Для нахождения отношения комплексных чисел, удобнее числитель и знаменатель умножить на число, сопряжённое для знаменателя .

    Пример №3

    Найдём разность и отношение чисел .

    Решение:

    Все свойства арифметических операций для действительных чисел, справедливы для комплексных чисел. Как следствие, получаем, что любые алгебраические тождества справедливы для множества комплексных чисел. Например, для комплексных чисел и справедливы тождества

    Квадратный корень комплексного числа

    Число, квадрат которого равен называется квадратным корнем комплексного числа и обозначается как .

    Пример №4

    Найдём квадратный корень комплексного числа

    Решение: Пусть . Возведём обе части равенства в квадрат:

    Из равенства действительных и мнимых частей имеем:

    Отсюда получаем решение (2; -1) и (-2; 1). Значит,

    Примечание: В отличии от действительных чисел, говоря о квадратном корне комплексного числа, имеется в виду каждое из двух значений, различающихся знаками. Корни квадратного уравнения для множества комплексных чисел находится по тому же правилу, что и для действительных чисел.

    Пример №5

    Решим уравнение .

    Решение:

    .

    Легко можно проверить, что также в силе остаётся и теорема Виета. Для квадратного уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни являются сопряжёнными числами. Комплексное число задаётся парой действительных чисел (а; b) и эта пара соответствует определённым точкам на координатной плоскости. Поставим в соответствие числу точку А (а; b) и обозначим её через . Каждая точка на координатной плоскости изображает комплексное число и наоборот, каждое комплексное число на координатной плоскости, соответствует одной точке. Действительные числа располагаются на оси абсцисс, чисто мнимые числа на оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат — мнимой, а плоскость — комплексной плоскостью.

    Пример:

    Точки, соответствующие комплексно сопряжённым числам располагаются симметрично оси абсцисс.

    Модуль и аргумент комплексного числа
    Тригонометрическая форма комплексного числа

    Пусть на комплексной плоскости комплексному числу соответствует точка М(а; b). Обозначим расстояние ОМ через R, угол между лучом ОМ и положительным направлением оси абсцисс через . Из по теореме Пифагора имеем:

    Отсюда:

    Расстояние, от начала координат до точки соответствующей комплексному числу, называется модулем комплексного числа и обозначается как: .

    Угол, образованный конечной стороной угла поворота луча ОМ,

    называется аргументом комплексного числа .

    Из :

    Модуль числа имеет единственное значение, а аргумент находится с точностью . То есть, если одно из значений аргумента равно , то другое будет иметь вид .

    Для аргумента комплексного числа, обычно берётся угол принадлежащий промежутку [0; ).

    Пример №6

    Найдём модуль и аргумент комплексного числа

    Решение: Из того, что следует,что

    и принимая внимание, что угол расположен в I четверти,

    получим:

    Из формул , получаем:

    Тогда

    Для комплексного числа число называется тригонометрической формой комплексного числа.

    В частном случае для модуля и аргумента числа имеем:

    • если , тогда
    • если , тогда
    • если , тогда
    • если тогда
    Пример №7

    Запишем комплексное число

    в тригонометрической форме.

    Решение:

    Так как угол принадлежит II четверги, то

    Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

    Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме .

    Чтобы найти произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, надо перемножить их модули и сложить их аргументы.

    Пример:

    Теперь найдём отношение

    Модуль отношение равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.

    Пример:

    Возвести число в степень с натуральным показателем n можно умножив n раз число

    Модуль степени комплексного числа с натуральным показателем равен степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания умноженному на показатель степени n.

    Пример:

    Формулу называют формулой Муавра. При помощи этой формулы можно найти синус и косинус n кратных углов через синус и косинус одинарных углов. Например, при n = 2 имеем:

    Отсюда

    Из равенства двух комплексных чисел имеем:

    Аналогичным образом можно написать формулы для .

    Корень n-ой степени комплексного числа

    Найдём значение выражения .

    Запишем в виде и найдём корень n — ой степени

    виде .

    Возведём каждую из двух сторон в n-ую степень:

    Если два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме равны, то их модули равны, а аргументы отличаются на .

    Это значит,

    Таким образом,

    Отсюда при для первых значений полученного числа равны значениям, полученным при .

    Обозначим корни — ой степени единицы через

    Как видно, модули корней -ой степени равны 1, аргументы отличаются друг от друга в раз. То есть, эти числа расположены внутри единичной окружности, центр которой совпадает с началом координат, и соответствуют комплексным числам, являющимися вершинами правильного -угольника.

    Корнем -ой степени комплексного числа называется такое число , что . Если , то для корня -ой степени существуют различных значений.

    Запишем в виде

    .

    Для получим:

    Из равенства двух комплексных чисел получим:

    Значения при отличаются от первых значений на

    Поэтому, должно соблюдаться следующее:

    Формула корни n-ой степени комплексного числа

    Если , то

    Пример №8

    Найдём все значения

    Решение: пусть

    Отсюда

    При

    При

    При

    Для чего нужны комплексные числа

    Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

    Комплексные числа необходимы в различных приложениях математики. В частности, теория функций комплексной переменной является действенным инструментом при использовании математических методов в различных областях науки.

    Арифметические операции над комплексными числами

    Комплексным числом называется выражение вида где — действительные числа, — мнимая единица.

    Число называется действительной частью числа и обозначается (от франц. reele — «действительный»), а число — мнимой частью числа и обозначается (от франц. imaginaire — «мнимый»), т.е.

    Действительное число является частным случаем комплексного при Комплексные числа вида не являющиеся действительными, т.е. при называются мнимыми, а при т.е. числа вида — чисто мнимыми.

    Числа называются сопряженными.

    Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если В частности, если

    Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом.

    1.Сложение (вычитание) комплексных чисел

    2. Умножение комплексных чисел

    В частности,

    т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен — 1.

    3. Деление двух комплексных чисел

    Нетрудно убедиться в том, что все арифметические операции (16.1)-(16.3) над комплексными числами определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов если считать Например, произведение комплексных чисел (16.2) есть

    Пример №9

    Даны комплексные числа

    Найти

    Решение:

    (учли, что ).

    Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число , получим

    Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости

    Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости причем это соответствие взаимно однозначное (рис. 16.1).

    Оси , на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа называются соответственно действительной и мнимой осями.

    Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

    С каждой точкой комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки , длина которого называется модулем комплексного числа и обозначается (см. рис. 16.1):

    Угол образованный радиусом-вектором с осью называется аргументом комплексного числа и обозначается Из значений выделяется главное значение удовлетворяющее условию Например,

    Очевидно (см. рис. 16.1), что

    Следовательно, комплексное число можно представить как

    Представление комплексного числа в виде (16.6), где называется тригонометрической формой комплексного числа.

    Сформулируем некоторые свойства арифметических операций над комплексными числами.

    1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма.

    На рис. 16.2 показаны радиусы-векторы комплексных чиселих суммы и разности

    2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произ ведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент — сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.

    Геометрически умножение числа означает изменение длины радиуса-вектора раз и его поворот вокруг точки против часовой стрелки на угол

    Пример №10

    Комплексные числа представить в тригонометрической форме и найти

    Решение:

    По формуле (16.4) найдем модуль комплексного числа а из соотношений (16.5)

    получим аргумент числа (берем его главное значение):

    Аналогично т.е.

    Теперь по формулам (16.7) и (16.8)

    Так как в соответствии с формулами (16.7) и (16.8) при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень , известную как формула Муавра:

    Пример №11

    Найти

    Решение:

    По формуле Муавра (16. 9)

    Обратимся к извлечению корня из комплексного числа.

    Пусть

    Тогда, используя определение корня и формулу Муавра (16.9), получим

    или

    Отсюда следует, что

    Итак,

    где

    При значения корня уже будут повторяться.

    Таким образом, корень -й степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет различных значений.

    Пример №12

    Найти

    Решение:

    В примере 16.2 было получено

    откуда получаем три значения корня

    На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки расположенные на окружности радиуса (рис. 16.3). ►

    Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера.

    Отсюда следует показательная форма комплексного числа.

    где

    В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в тригонометрической, легко проводить операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексных чисел.

    Формы записи комплексного числа

    Решение простейшего квадратного уравнения невозможно в области вещественных чисел. Однако, если выполнить решение формально, то получим

    Определение: Выражение называется мнимой единицей.

    Определение: Комплексным числом называется выражение вида где х,у

    • — вещественные числа, причем называется действительной, а
    • — мнимой частями комплексного числа z .

    Определение: Приведенная форма записи комплексного числа называется алгебраической.

    Определение: Два комплексных числа называются равными, если равны их вещественные и мнимые части, т.е.

    Определение: Комплексное число называется нулевым, если вещественная и мнимая части равны нулю.

    Определение: Комплексно-сопряженным к комплексному числу называется комплексное число

    Пример №13

    Записать комплексно-сопряженное число к комплексному числу

    Решение:

    Согласно определению комплексно-сопряженного числа получаем

    Замечание: Двойное комплексное сопряжение приводит к исходному комплекс- ному числу, т. е.

    Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом невозможно в области вещественных чисел, так как нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа на множестве действительных чисел. Однако это ограничение снимается в области комплексных чисел.

    Пример №14

    Решить квадратное уравнение

    Решение:

    Вычислим дискриминант уравнения таким образом, Следовательно,

    Замечание: Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом всегда состоит из комплексно-сопряженных корней.

    Комплексное число изобретается на комплексной плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой М(х; у) (Рис. 2):

    Рис. 2. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости.

    Пример №15

    Изобразить на комплексной плоскости число z = 2-3i (Рис. 3).

    Решение:

    Рис. 3. Изображение комплексного на комплексной плоскости. Если перейти от декартовой системы координат к полярной системе отсчета, т. е. то комплексное число

    Определение: Полученная форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

    Обратный переход от полярной системы отсчета к декартовой системе координат осуществляется по формулам:при этом является модулем, а — аргументом комплексного числа z .

    Замечание: Аргумент комплексного числа определяется в зависимости от знаков вещественной и мнимой частей:

    Действия с комплексными числами

    1. Для того чтобы сложить (найти разность) два комплексных числа и сложить (найти разность) отдельно действительные и мнимые части,

    Пример №16

    Найти сумму и разность чисел Изобразить все числа на комплексной плоскости.

    Решение:

    Найдем сумму заданных комплексных чисел Вычислим разность данных чисел Изобразим заданные и полученные числа на комплексной плоскости (Рис. 4):

    Рис. 4. Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости.

    Замечание: Отметим, что

    2. Для того чтобы найти произведение двух комплексных чисел и надо их перемножить, как два выражения с учетом того, что

    Замечание: Отметим, что

    Замечание: Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме записи имеет вид Из полученной формулы видно, что модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно, n-ая степень любого комплексного числа будет иметь вид При извлечении корня п -ой степени применяют формулу Муавра где величина

    3. Деление комплексного числа на комплексное число осуществляется так

    Замечание: Деление этих чисел в тригонометрической форме записи имеет вид: т.е. при делении комплексных чисел берут отношение модулей этих чисел, а из аргумента первого числа вычитают аргумент второго комплексного числа.

    Показательная форма записи комплексного числа

    Известно, что любую дифференцируемую функцию можно представить по формуле Тейлора-Маклорена (см. Лекцию № 22, Первый семестр), например,

    Последняя формула называется формулой Эйлера. Используя эту формулу,

    запишем комплексное число в показательной форме: Отсюда видно, что при нахождении произведения и отношения комплексных чисел получаем

    Комплексные числа и арифметические операции

    Как известно, под комплексным числом понимается выражение вида

    где х и у — действительные числа, a i — мнимая единица.

    Числа вида отождествляются с действительными числами; в частности, . Числа вида 0 + iy = iy называются чисто мнимыми.

    Действительные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями числа z и обозначаются следующим образом:

    Под модулем комплексного числа z понимается неотрицательное число

    Сопряженным числом к числу (1) называется комплексное число

    Таким образом,

    На множестве комплексных чисел следующим образом определено отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.

    I. Пусть z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2.Тогда

    Rez1 = Re z2, Im z1 = Im z2

    В частности, z = 0 Re z = 0, Im z = 0.

    II. z1±z2= (x1± x2) + i(y1 ± y2)-

    Отсюда следует, что

    Re (z1 ± z2) — Re z1 ± Re z2,

    Im (z1 ± z2) — Imz1 ± 1mz2

    III. z1z2 = (x1x2 — y1y2) + i(x1y2+x2y1).

    Отсюда, в частности, получаем важное соотношение

    ==+=-1

    Заметим, что правило умножения III получается формально путем умножения двучленов + и + с учетом (7).

    Очевидно также, что для имеем

    ==

    Легко проверить следующие свойства:

    1)

    • Заказать решение задач по высшей математике

    Комплексная плоскость

    Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат Оху. Каждому комплексному числу z = х + iy может быть поставлена в соответствие точка плоскости z(x, у) (рис. 161), причем это соответствие взаимно однозначно. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют комплексной плоскостью, и вместо комплексных чисел говорят о точках комплексной плоскости.

    На оси Ох расположены действительные числа: z =:, поэтому она называется действительной осью. На оси Оу расположены чисто мнимые числа z = 0 + iy = iy, она носит название мнимой оси.

    Заметим, что г = |z| представляет собой расстояние точки г от начала координат.

    С каждой точкой z связан радиус-вектор этой точки Oz; угол, образованный радиусом-вектором точки z с осью Ох, называется аргументом ф = Arg z этой точки. Здесь . Для нулевой точки z = 0 аргумент произволен. Наименьшее по модулю значение Arg z называется главным значением его и обозначается через arg z:

    Для аргумента ср имеем (рис. 161)

    где

    Примеры: 1) arg 2 = 0; 2) arg (-1) = ; 3) arg i = .

    Модуль г и аргумент ф комплексного числа z можно рассматривать (рис. 161) как полярные координаты точки z. Отсюда получаем

    Таким образом, имеем тригонометрическую форму комплексного числа

    где

    Теорема: При сложении комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (по правилу параллелограмма).

    Действительно, если число соответствует точке с координатами , а число — точке с координатами то числу отвечает точка Так как (рис. 162) заштрихованные прямоугольные треугольники с катетами х2 и у2 равны между собой, то четырехугольник с вершинами 0, есть параллелограмм. Следовательно, радиус-вектор точки является суммой радиусов-векторов точек и .

    Следствие. Так как есть длина вектора , то

    Теорема: При вычитании комплексных чисел их радиусы-векторы вычитаются. Так как , то равен второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах (рис. 163), т. е. равен разности радиусов-векторов точек .

    Следствие. Расстояние между двумя точками равно

    Теоремы о модуле и аргументе

    Теорема: Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Действительно, если

    то имеем

    Отсюда

    и

    где значения многозначной функции Arg, стоящие в левой и правой частях равенства (1), следует подбирать соответствующим образом. Это замечание надо иметь в виду и для дальнейшего.

    Следствие. Модуль целой положительной степени комплексного числа равен такой же степени модуля этого числа, а аргумент степени равен аргументу числа, умноженному на показатель степени, т. е.

    ( — целое положительное число).

    Доказательство непосредственно вытекает из рассмотрения произведения равных сомножителей.

    Пример №17

    Построить точку .

    Решение:

    Имеем

    Следовательно, при умножении на i вектор поворачивается на прямой угол против хода часовой стрелки (рис. 164).

    Теорема: Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Пусть

    Так как

    то на основании теоремы 1 имеем

    Отсюда

    Извлечение корня из комплексного числа

    Пусть

    где . Тогда на основании имеем

    Отсюда получаем

    Таким образом,

    Заметим, что здесь под понимается арифметическое значение корня.

    Здесь в качестве числа k достаточно брать лишь значения , так как при всех прочих значениях k получаются повторения уже найденных значений корня. Следовательно, окончательно имеем

    Из формулы (4) следует, что корень -й степени из любого комплексного числа =0 имеет точно л значений.

    Пример №18

    Найти

    Решение:

    Так как , то на основании формулы (4) имеем

    Отсюда

    Точки представляют собой равноотстоящие друг от друга точки, расположенные на окружности радиуса (рис. 165).

    Понятие функции комплексной переменной

    Пусть даны две комплексные плоскости Оху (плоскость г) и O’uv (плоскость w).

    Определение: Если каждой точке z Е (Е — множество точек плоскости z) по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка w Е’ (Е’ — множество точек плоскости w), то говорят, что w есть функция от z (однозначная)

    с областью определения Е, значения которой принадлежат множеству Е’ (рис. 166). Если множество значений функции f(z) исчерпывает все множество Е то Е’ называется множеством значений (областью изменения) функции f(z). В этом случае пишут

    Множества Е и Е’ можно изображать на одной комплексной плоскости.

    Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят свое применение в таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, так как с их помощью удобно описывать «историю» движения объема жидкости (или газа).

    Раздел математики, изучающий свойства комплексных функций, носит название теории функций комплексной переменной.

    Пример:

    Во что переходит сектор Е

    (рис. 167, а) при отображении

    Решение:

    Имеем

    Поэтому отображенная область E’ представляет собой полукруг (рис. 167, б).

    Определение комплексных чисел

    Определение комплексного числа и основные функции комплексной переменной

    Определение 7.1. Множеством комплексных чисел называется множество пар действительных чисел на котором введены операции сложения и умножения следующим образом. Если то Элементы множества называются комплексными числами. Два комплексных числа называются равными, если

    Операции сложения и умножения на множестве обладают привычными свойствами (коммутативность сложения и умножения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения).

    Лемма 7.1. Для любых комплексных чисел выполняются равенства

    • 1)
    • 2)
    • 3)
    • 4)
    • 5)

    □ Докажем, например, свойство 4 (свойство 5 доказывается аналогично, свойства 1, 2, 3 очевидны).

    Пусть  Тогда

    Два последних комплексных числа совпадают. После раскрытия скобок оказывается, что оба они равны

    Определение 7.2. Комплексное число отождествляется с действительным числом а.

    Это определение оправдывается тем, что установлено взаимно однозначное соответствие между множеством пар и множеством действительных чисел, сохраняющее операции сложения и умножения:

    Такое соответствие в высшей алгебре называется изоморфизмом.

    Определение 7.3. Комплексное число (0,1) обозначается буквой

    Легко видеть, что т.е.

    Далее, так как то пару можно записать в виде В дальнейшем комплексное число так и будем записывать: где Определения операций при этом запишутся так:

    Иными словами, комплексные числа можно складывать и умножать, пользуясь известными законами сложения и умножения (лемма 7.1), имея в виду, что

    Определение 7.4. Разностью двух комплексных чисел и называется такое комплексное число что (обозначается ). Частным двух комплексных чисел () называется такое комплексное число z, что (обозначается ).

    Проверим, что эти операции однозначно определены.

    □ Пусть Для разности имеем: откуда  Тогда Разность двух комплексных чисел определяется однозначно: т.е. вычитание можно осуществлять непосредственно.

    Для частного имеем: откуда Так как то определитель этой системы решая систему по правилу Крамера, получим:    Частное двух комплексных чисел определено однозначно:

    Такое деление можно осуществлять непосредственно:

    Комплексное число называется сопряжённым к числу Мы воспользовались тем, что Произведённые действия аналогичны домножению числителя и знаменателя дроби со знаменателем вида где на число сопряжённое к знаменателю (такие действия применяются для избавления от иррациональности в знаменателе).

    Определение 7.5. Пусть где Тогда числа называются соответственно действительной и мнимой частью числа                   (). Комплексное число называется числом, сопряжённым к  Действительное неотрицательное число называется модулем числа

    Лемма 7.2. Для любых комплексных чисел имеют место следующие соотношения: 

    Доказать эти утверждения будет предложено самостоятельно в качестве упражнения.

    Множество комплексных чисел геометрически интерпретируется как множество точек плоскости (комплексная плоскость ). Если координаты точек заданы в прямоугольной системе координат 0, (кратчайший поворот от осуществляется против часовой стрелки), то комплексное число соответствует точке с координатами Такое соответствие является взаимно однозначным. Точка симметрична точке относительно оси абсцисс, которая называется действительной осью, ось ординат называется мнимой осью. Расстояние от точки до начала координат равно (см. рис. 7.1).


    Аргументом числа называется угол поворота от положительного луча действительной оси к лучу (против часовой стрелки). Этот угол определён с точностью до и обозначается Аргумент нулевого комплексного числа не определён. Фактически мы ввели полярные координаты на комплексной плоскости: При этом и комплексное число можно записать в тригонометрической форме:

    Пример:

    Записать в тригонометрической форме числа

    □  1) 

    При записи комплексного числа в тригонометрической форме обычно берут одно фиксированное («наиболее простое») значение аргумента. Возьмём Тогда

    2)  Тогда ().

    Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, удобно умножать и делить. При умножении модули чисел перемножаются, аргументы складываются. При делении модули делятся, аргументы вычитаются.

    Лемма 7.3. Пусть Тогда

     

    Если
    откуда следует, что

    Степень с целым показателем для комплексных чисел определяется так же, как и для действительных. Поэтому мы можем сформулировать

    Следствие (формула Муавра). Если то при любом целом имеет место равенство

    Иными словами, при возведении комплексного числа в целую степень модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

    Пример:

    Применяя формулу Муавра, получить известные формулы тригонометрии для

    □ Имеем: Возводя двучлен в куб, получим: (мы воспользовались тем, что ). Приравнивая действительные и мнимые части двух равных выражений, имеем

    Определение 7.6. Пусть — натуральное число, Корнем степени из комплексного числа называется комплексное число такое, что (обозначение: ).

    Лемма 7.4. Если принимает единственное значение 0 при любом Если то принимает ровно комплексных значений, имеющих одинаковый модуль различных значений аргумента 

    □ Правая часть леммы очевидна, так как и если
     Пусть теперь Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на (пока значение стояло только под знаком косинуса и синуса, неоднозначность определения можно было не учитывать, если сравнивать сами углы — эту неоднозначность учитывать необходимо). Итак, откуда (арифметический корень степени из положительного числа),

    При замене получим тот же угол, увеличенный на поэтому существенно различные значения дают лишь значений далее значения корня повторяются).    

    Замечание. значений на комплексной плоскости соответствуют точкам, лежащим в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

    Пример №19

    Найти все значения

    □ 1) поэтому  Получим 3 значения: (см. рис. 7.2).

    Первое из них — арифметическое значение кубического корня из положительного числа 8.

    2) поэтому

    Получим 4 значения:

    (см. рис. 7.3). здесь — арифметическое значение корня 4-й степени из положительного числа 5.

    3) ,  поэтому

    Получим 3 значения:

    (см. рис. 7.4).    ■

    Определение 7.7. Пусть Тогда определяется как комплексное число

    Если (при получаем обычное действительное значение ). Отмстим, что при любых

    Лемма 7.5. Для любых имеют место равенства 

    □ Пусть Тогда

    Далее, так как откуда следует второе утверждение леммы.    

    Пример №20

    Вычислить

    □ Имеем:

    Так как при всех выполняются равенства
    , то функция комплексной переменной  имеет мнимый период Привычной взаимной однозначности отображения при помощи функции уже нет.

    Определение 7.8. Логарифмом комплексного числа называется комплексное число такое, что (обозначение: ).

    Лемма 7.6. Если не определен. Если принимает бесконечно много значений, имеющих одинаковую действительную часть (обычный натуральный логарифм положительного числа) и бесконечное число значений мнимой части

    □ Первая часть леммы следует из того, что при любых Пусть теперь  Тогда (откуда ),

    Таким образом, множество значений функции есть вся комплексная плоскость, кроме точки 0.

    Пример №21

    Найти все значения  

    Определение 7. 9. Для любых определим так:

    Если

    Поэтому

    Аналогично,

    Отметим также, что все известные формулы тригонометрии сохраняются для комплексных значений аргументов (при этом ).   Например, для всех

    Так как

    Легко видеть, что Косинус на действительной оси соответствует гиперболическому косинусу на мнимой оси и наоборот: аналогично для синусов. Поэтому формально все операции для тригонометрических и гиперболических функций проводятся одинаково с точностью до некоторых степеней числа (если работать только с действительными числами, то всё будет происходить одинаково с точностью до степеней числа —1). Этим и объясняется сходство формул тригонометрии с соответствующими формулами для гиперболических функций, включая формулы для производных и разложения по формуле Тейлора.

    Комплекснозначные функции действительной переменной

    Рассмотрим функцию такую, что  Тогда при всех можно рассмотреть

    Так как можно интерпретировать как плоскость , то комплекснозначная функция действительной переменной фактически есть двумерная вектор-функция, значения которой записываются как комплексные числа.

    Определение 7.10. Комплекснозначная функция действительной переменной называется непрерывной (дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д.) в точке или на промежутке, если таковыми же являются обе функции Для дифференцируемой функции по определению  

    Для комплекснозначных функций сохраняются формулы производной суммы, произведения и частного.

    Лемма 7.7. Если комплекснозначные функции действительной переменной дифференцируемы в точке то функции также дифференцируемы в этой точке, причем

    в точке (в последнем случае нужно требовать, чтобы

    □ Докажем лемму для случая производной произведения. Утверждение для производной суммы доказывается проще, а для производной частного — несколько сложнее, но, по сути дела, аналогично.

    Пусть функции дифференцируемы в точке Тогда

    Функция дифференцируема в точке так как существуют и конечны все производные в последнем выражении. Далее,

    Легко видеть, что это выражение совпадает с

    Пример №22

    Доказать, что при любом имеет место равенство

    т.е. привычная для действительных формула сохраняется и при комплексных

    □ Пусть

    Тогда

    С другой стороны,

    что совпадает с

    Отметим, что производная комплекснозначной функции берётся по действительной переменной. Принципиально иная ситуация возникает при рассмотрении комплекснозначных функций комплексной переменной и при дифференцировании их по комплексной переменной. Здесь имеют место совершенно неожиданные эффекты (например, если функция дифференцируема в окрестности точки, то она имеет производные всех порядков в этой окрестности), которые студенты обычно изучают на III курсе (курс ТФКП — теория функций комплексной переменной).

    Многочлены

    Функция комплексной переменной

    где называется многочленом степени от переменной Многочлен степени 0 — это постоянная функция где Нулевому многочлену не приписывается никакая степень (иногда удобно считать, что его степень равна ). Если все , то говорят о многочлене с действительными коэффициентами ( или по смыслу задачи). Если все то говорят о многочлене с комплексными коэффициентами

    Если — многочлен степени то многочлен можно разделить с остатком на

    где

    Теорема 7.1 (Безу). Остаток от деления многочлена на двучлен равен

    □ Из (7.1) имеем при

    Следствие. Многочлен делится без остатка на  тогда и только тогда, когда число является корнем многочлена

    □ Утверждение немедленно следует из теоремы Безу.

    Таким образом, число является корнем многочлена  тогда и только тогда, когда где степень многочлена на единицу меньше степени Р.

    Теорема 7.2 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

    В настоящее время мы не располагаем математическим аппаратом для доказательства этой теоремы, поэтому примем её без доказательства. Доказана она будет очень просто в курсе ТФКП (и даже двумя способами — как простое следствие из теоремы Лиувилля или теоремы Руше).

    Теорема 7.3. Многочлен с комплексными коэффициентами

    раскладывается в произведение линейных множителей

    где (среди чисел  возможно, есть равные).

    □    По основной теореме алгебры где — многочлен степени Применяя такую же процедуру к получим: — многочлен степени и т.д. В конце концов дойдём до многочлена степени 0.

    где (комплексная постоянная). Здесь — комплексные числа, среди которых могут быть равные.

    Если раскрыть скобки в правой части (7.2), то коэффициент при будет равен С, т.е.

    Определение 7.11. Комплексное число называется корнем кратности многочлена степени  если  — многочлен такой, что При корень называется простым, при — кратным.

    Если , то число не является корнем многочлена

    В общем случае, учитывая кратность корней, многочлен степени раскладывается на линейные множители:

    где все комплексные числа различны, корень имеет кратность , при этом степень многочлена равна

    Лемма 7. 8. Пусть  (многочлен, сопряжённый к P). Число является корнем многочлена Р  кратности тогда и только тогда, когда число а является корнем многочлена той же кратности

     □ Так как то утверждение достаточно доказать лишь в одну сторону. Пусть Тогда

    Так как — любое комплексное число, то в последней записи можно заменить Получим

    Это и означает, что — корень многочлена кратности

    Следствие. Если — многочлен с действительными коэффициентами, то числа одновременно являются его корнями, причем кратности их совпадают (т.е. недействительные корни появляются «парочками» — взаимно сопряжённые корни одинаковой кратности).

    □ Это очевидно из леммы 7.8, так как — один и тот же многочлен.  

    Теорема 7.4. Многочлен степени с действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных и неприводимых квадратичных множителей:

    □ По теореме 7.3 и лемме 7.8

    где  — действительные корни многочлена кратностей соответственно, a — оставшиеся корни ( имеют одинаковую кратность ). Очевидно, что степень многочлена равна т.е. эта сумма равна

    Пусть  Тогда

    Получили квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами который имеет отрицательный дискриминант Остаётся символически заменить подчёркивая этим, что нас интересуют лишь действительные значения и мы получим нужное равенство. 

    Теорема 7.4 является примером утверждения, в формулировке которого отсутствуют комплексные числа (чисто действительное утверждение), а естественное доказательство его получается с выходом во множество комплексных чисел. Таких утверждений можно встретить немало в различных математических курсах и прикладных науках.

    Кстати, квадратный трехчлен с комплексными коэффициентами имеет такой же вид разложения на линейные множители, как и квадратный трёхчлен с действительными корнями в элементарной алгебре:

    Корни — комплексные, и они обязательно существуют. Роль дискриминанта сводится только к определению того, различны ли корни или они совпадают (т. е. квадратный трёхчлен имеет один корень кратности 2). Если то квадратный трёхчлен имеет два различных простых корня, если  — один корень кратности 2. В самом деле, решая квадратное уравнение методом выделения полного квадрата, получим, как и в элементарной алгебре:

    Если и уравнение имеет один корень кратности 2 Если то (писать ± не имеет смысла, так как  и под понимаются оба значения квадратного корня из ненулевого комплексного числа). Окончательно получим привычную формулу корней квадратного уравнения:

    Пример №23

    Решить уравнение

    □ Найдём оба значения Пусть Тогда   Решая эту систему, получим:  Полученное биквадратное уравнение  решается при помощи замены Квадратное уравнение имеет корни Так как Получили два значения квадратного корня: Тогда корни данного уравнения равны

    Пример №24

    Найти все значения  решая уравнение 

    □ Левая часть раскладывается на множители:

    Поэтому один из корней равен 2. Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней поэтому  имеет всего одно действительное значение 2. Найдём оставшиеся два комплексно-сопряжённых значения. Решаем квадратное уравнение по формуле чётного коэффициента:

    Во множестве комплексных чисел имеет два значения поэтому имеет 3 комплексных значения: (такой же результат был получен в примере 7.3 другим способом).    ■

    Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей

    Мы будем рассматривать действительные дробно-рациональные функции — многочлены степеней соответственно где Дробь называется правильной, если и неправильной, если

    Лемма 7.9. Если правильная дробь и —действительный корень многочлена кратности  то

    где  — многочлен, для которого является корнем кратности a — такой многочлен, что дробь является правильной.

    □ Так как — корень кратности то где — многочлен такой, что Рассмотрим число  и многочлен (это многочлен, так как и числитель делится нацело на ).

    Так как степень G меньше степени Q и степень Р меньше степени Q, то степень числителя последней дроби меньше степени Q; значит, степень меньше степени т.е. дробь правильная. Далее, откуда

    Утверждение леммы, очевидно, сохраняется, если все числа и многочлены считать комплексными.

    Лемма 7.10. Пусть — неприводимый квадратный трёхчлен, входящий в разложение многочлена на множители в степени Тогда правильная дробь представляется в виде

    где  — многочлен, в разложение которого входит в степени — такой многочлен, что дробь является правильной.

    □ Пусть где  и комплексно-сопряжённые корни квадратного трёхчлена — действительный многочлен такой, что Рассмотрим действительные числа А и В такие, что

    Такие числа А и В определены единственным образом, так как если то равенство (7.3) перепишется так:

    и числа А, В находятся из системы очевидно, имеющей единственное решение. Из (7.3) следует также, что так как  — многочлены с действительными коэффициентами.

    Рассмотрим многочлен  (это — многочлен, так как  значит, числитель делится нацело на и на следовательно, делится на ). Пусть степень Q равна Так как степень G не превосходит то степень многочлена не превосходит т.е. меньше степени Q. Степень Р также меньше степени Q, поэтому степень числителя последней дроби меньше степени Q.

    Значит, степень меньше, чем , т.е. меньше степени  и дробь правильная. Далее,

    откуда

    Последовательно выделяя из многочлена линейные, а затем неприводимые квадратичные множители, и применяя соответственно леммы 7.9 и 7.10, получим разложение  в сумму правильных дробей вида

    (здесь

    — как разложение многочлена в теореме 7.4).

    Все слагаемые последней суммы называются простейшими дробями. Все коэффициенты, обозначенные символом , являются действительными числами (вообще говоря, различными). Всего их штук. Можно доказать, что они определены единственным образом. Процесс выделения слагаемых по леммам 7.9 и 7.10 прекратится, когда в знаменателе останется ровно один множитель вида Но такая правильная дробь сама будет простейшей. Таким образом, доказана

    Теорема 7.5. Любая правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами раскладывается в сумму простейших дробей.

    Пример №25

    Разложить в сумму простейших дробей:

    а)  Приводя к общему знаменателю, имеем: При  получим при получим Окончательно имеем: 

    б) Приводя в общему знаменателю, имеем:
    При получим Приравнивая коэффициенты при получим т.е. Приравнивая свободные члены, получим откуда Окончательно имеем

    в)

    Приводя к общему знаменателю, имеем: Приравнивая коэффициенты при получим:  откуда Окончательно имеем

    Вычисление комплексного числа

    Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени n с действительными коэффициентами называется любое выражение вида

    где 
    х – переменная.

    Корнем многочлена (1.1) называется любое число  такое, что

    Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют
    действительных корней, например: 

    Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому
    множеству символ i , такой что  ( i называется мнимой единицей).
    Тогда ±i – два корня уравнения 
     

    Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество

    Суммой двух комплексных чисел  называется число
    .
    Произведением двух комплексных чисел  называется число

    Для числа z= a +bi число а называется действительной частью,
    число b – мнимой частью. Обозначения: 

    Относительно операций «+» и « · » комплексные числа С обладают
    такими же свойствами, как и действительные числа. Эти операции
    коммутативны и ассоциативны; для них существуют обратные операции:
    вычитание и деление (кроме деления на 0).

     

    Пример №26

    Найти 

    Решение:



     

    Теорема 1. 1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2)
    имеет решение во множестве С.
     

    Пример №27

    Решить уравнение

    Решение:



     

    Определение 1.3. Для комплексного числа z =a +bi число z =a -bi называется комплексно-сопряженным, число называется модулем z.

    Если рассмотреть плоскость с декартовой системой координат ( O,x,y ) и на оси Ох отложить а – действительную часть z, а на оси Oy – b – мнимую часть z, то получим взаимно однозначное соответствие между множеством С всех
    комплексных чисел и множеством точек плоскости.

    Такая плоскость называется комплексной плоскостью, рис. 1.1.

    При этом  – длина радиуса-вектора точки z.

    Определение 1.4. Аргументом комплексного числа z =a +bi  называется
    угол , который образует радиус-вектор точки z с положительным
    направлением оси Ох Аргумент будем обозначать Argz . Аргумент
    определен с точностью до 2 πn. При этом значение  называется
    главным и обозначается argz.
     

    Замечание.

    При этом

    Если – аргумент z, то z представляется в виде 

    тригонометрическая форма комплексного числа.
     

    Теорема 1.2. Пусть 

    Доказательство
     

    Из формул (1.5) следует, в частности, что  – формула Муавра. (1.6)

    Пример №28


    Представить числа  в тригонометрической форме.

    Решение:



    поэтому по формуле (1.3)

    Тогда по формуле (1.4)

    поэтому по формуле (1.3)

    Тогда 

    Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент комплексного числа z при
    умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель
    степени. Обозначим  – формула Эйлера. (1.7)

    Тогда из теоремы 1.2 следует, что

    Учитывая (1.7), формулу (1. 4) для z можно переписать в виде показательная форма комплексного числа.

    Пример №29

    Вычислить 

    Решение:

    Согласно примеру 1.3 

    Поэтому

     

    Определение 1.5. Корнем n-й степени из числа z C называется такое
    число , что , при этом обозначается . Таким образом

    Из формулы (1.8) видно что корней n-й степени из числа z, при этом,
    если , то


     

    Пример №30

    Найти 

    Решение:


    Вычислить значения корня комплексные числа

    Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

    $$ varphi = arctg frac<0> <-1>+pi = arctg 0 + pi = pi $$

    Получаем: $$ z = (cos pi + isin pi) $$

    Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

    Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $:

    Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

    Онлайн калькулятор предназначен для вычисления корня n -ой степени из комплексного числа, с описанием подробного хода решения на русском языке. Для нахождения корня n -ой степени, сначала необходимо выбрать (алгебраическую, тригонометрческую или показательную) форму представления комплексного числа. Далее приведены минимальные теоретические сведения, необходимые для понимания решения, выдаваемого калькулятором.

    Согласно теории, корень n -ой степени из любого числа ( n &#8712 Z ) имеет ровно n значений. Например:

    Пример, по интереснее:

    где i – мнимая единица. Можете попробовать возвести все значения в куб, и действительно получите 8. Возникает вопрос: как найти все n значений корня n -ой степени из числа? Для этого необходимо использовать формулу Муавра, причем комплексное число должно быть записано в тригонометрической форме. Наш калькулятор автоматически осуществит перевод введенного числа в тригонометрическую форму, если потребуется.

    Рассматривать будем на таком примере:

    Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

    Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

    Что и требовалось доказать.

    Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .

    Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

    Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

    , ,

    ,

    ,

    В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.

    Решим квадратное уравнение .

    Первым шагом определим дискриминант уравнения:

    В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

    Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

    – сопряженные комплексные корни

    Т. о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:

    ,

    Теперь можно решить любое квадратное уравнение!

    У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.

    Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.

    В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .

    У уравнения типа есть ровно n корней ­z, z1, z2, … zn-1, которые можно вычислить с помощью формулы:

    ,

    где – это модуль комплексного числа w,

    φ – его аргумент,

    а параметр k принимает значения: .

    Найдем корни уравнения: .

    Перепишем уравнение как: .

    В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z и z1. Детализируем общую формулу:

    , .

    Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :

    Число w находится в 1-ой четверти, значит:

    Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.

    Детализируем еще немного общую формулу:

    , .

    Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.

    Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:

    .

    Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:

    .

    Ответ: ,

    Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.

    Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:

    Как выполнить чертеж?

    Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.

    Далее берем аргумент 1-го корня и вычисляем, чему равен угол в градусах:

    .

    Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z.

    Берем аргумент 2-го корня и переводим его тоже в градусы: . Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z1.

    По этому же алгоритму ставим точку z2.

    Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.

    Корни комплексных чисел – примеры и объяснение

    Комплексные числа, как и действительные числа, тоже имеют корни. В прошлом мы научились решать уравнения, но игнорировали комплексные корни. На этот раз мы сосредоточим свое внимание на поиске всех корней — как действительных, так и сложных.

    Мы можем легко найти корни комплексных чисел, взяв корень из модуля и разделив аргумент комплексных чисел на заданный корень.

    Это означает, что мы можем легко найти корни различных комплексных чисел и уравнений с комплексными корнями, когда комплексные числа представлены в полярной форме.

    Обязательно изучите следующие понятия, прежде чем мы перейдем непосредственно к поиску корней различных комплексных чисел:

    1. Преобразование комплексных чисел из прямоугольной формы в полярную и наоборот.
    2. Понимание того, как работает теорема Муавра и применима к нахождению корней комплексных чисел.

    Ознакомьтесь с предоставленными нами ссылками на случай, если нам понадобится освежить знания. А пока, почему бы нам не углубиться в основы комплексных чисел и их корней? 9н$. Имейте в виду, что при нахождении $n$-го корня из $z$ мы также ожидаем $n$ корней.

    Это означает, что кубический корень из $8$ — это три корня, включая действительный и комплексный. На самом деле эти три корня таковы: $2$, $-1 + \sqrt{3}i$ и $-1 – \sqrt{3}i$.

    Вы узнаете, как находить эти сложные корни в следующих разделах, так почему бы нам не начать прямо сейчас?

    Как найти корни комплексных чисел?

    Из теоремы Муавра мы показали, как можно найти корни комплексных чисел в полярной форме. Допустим, у нас есть $z =r(\cos\theta + i\sin\theta)$, мы можем найти $\sqrt[n]z$, используя приведенную ниже формулу. 9{\circ}}{n}$ друг от друга.

    Не волнуйтесь. В следующем разделе мы разберем важные шаги, чтобы убедиться, что знаем, как находить корни комплексных чисел алгебраически и геометрически.

    Нахождение корней комплексных чисел

    Как мы уже упоминали, мы можем либо найти корни, используя формулу, полученную из теоремы Муавра, либо мы можем найти корни, изобразив их на комплексной плоскости.

    Нахождение корней комплексных чисел геометрически.

    Вот несколько полезных шагов, которые следует помнить при нахождении корней комплексных чисел.

    1. Если комплексное число по-прежнему имеет прямоугольную форму, обязательно преобразуйте его в полярную форму.
    2. Найдите корень $n$-й степени из $r$ или возведите $r$ в степень $\dfrac{1}{n}$.
    3. Если нам нужно найти $n$-й корень, мы будем использовать $k = \{0, 1, 2… n-1\}$ в приведенной выше формуле.
    4. Начните с нахождения аргумента первого корня путем деления $\theta$ на $n$.
    5. 9{\circ}}{n}$ кроме следующих корней.

    Готовы ли вы применить то, что вы только что узнали? Не волнуйся; мы подготовили несколько задач, чтобы проверить ваши знания о корнях комплексных чисел.

    Пример 1

    Подтвердите, что $8$ действительно имеет следующие три комплексных корня: $2$, $-1 + \sqrt{3}i$ и $-1 – \sqrt{3}i$.

    Решение

    Давайте продолжим и подтвердим, что $8$ имеет следующие кубические корни: $2$, $-1 + \sqrt{3}i$ и $-1 – \sqrt{3}i$, используя шаги, показанные выше. 9{-1} 0\\&= 0\end{aligned}$

    Это означает, что мы начинаем с $n = 3$, $k= 0$ и $\theta = 0$ для формулы, $ \ sqrt [n] {z} = \ sqrt [n] {r} \ left (\ cos \ dfrac {\ theta + 2 \ pi k} {n} + i \ sin \ dfrac {\ theta + 2 \ pi k}{n} \right )$.

    $ \begin{aligned} \sqrt[3]{8} &= \sqrt[3]{8} \left(\cos \dfrac{0 + 2\pi \cdot 0}{3} + i\sin \dfrac{0 + 2\pi \cdot 0}{3} \right )\\&=2 (\cos 0 + i\sin 0 )\end{aligned}$

    Корень все еще находится в полярной форме, поэтому если нам нужен корень в прямоугольной форме, мы можем просто оценить результат, чтобы преобразовать его в прямоугольную форму.

    $ \begin{aligned} 2 (\cos 0 + i\sin 0 )&= 2(1 + 0i)\\&= 2 \end{aligned}$

    Это означает, что первый корень из $8$ равен $2$. Мы можем применить тот же процесс для двух оставшихся корней, но здесь мы используем $k = 1$ и $k = 2$. когда begin{align} k = 1\\\\\sqrt[3]{8} &= \sqrt[3]{8} \left(\cos \dfrac{0 + 2\pi \cdot 1}{3} + i\sin \dfrac{0 + 2\pi \cdot 1}{3} \right )\\&=2 \left(\cos \dfrac{2\pi}{3} + i\sin \dfrac{2\ pi}{3} \right)\end{aligned}$ $ \begin{align} 2 \left(\cos \dfrac{2\pi}{3} + i\sin \dfrac{2\pi}{3} \right) &= 2\left(-\dfrac {1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\&= -1 + \sqrt{3}i \end{align}$ $ \begin{ выровнено}k = 2\\\\ \sqrt[3]{8} &= \sqrt[3]{8} \left(\cos \dfrac{0 + 2\pi \cdot 2}{3} + i\ sin \dfrac{0 + 2\pi \cdot 2}{3} \right )\\&=2 \left(\cos \dfrac{4\pi}{3} + i\sin \dfrac{4\pi} {3} \right)\end{aligned}$ $ \begin{aligned} 2 \left(\cos \dfrac{4\pi}{3} + i\sin \dfrac{4\pi}{3} \right) &= 2\left(-\dfrac{1}{2} — \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\&= -1 — \sqrt{3}i \end {выровнено} $

    Мы только что показали, что $8$ имеет следующие три комплексных корня: $2$, $-1 + \sqrt{3}i$ и $-1 – \sqrt{3}i$ в прямоугольной форме.

    Пример 2

    Постройте сложные корни четвертой степени $-8 + 8\sqrt{3}i$ на одной комплексной плоскости. Запишите корни также в прямоугольной форме.

    Решение

    Начнем с нахождения модуля и аргумента комплексного числа $-3 + 3\sqrt{3}i$.

    9{\ circ}) &= 2 \ влево (\ dfrac {1} {2} — \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} я \ вправо) \\ & = 2 \ cdot \ dfrac {1} {2 }- 2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} i \\&=1 – \sqrt{3}i \end{aligned}$

    Следовательно, мы только что показали, что мы можно найти оставшиеся корни геометрически и даже преобразовать результат в прямоугольную форму.

    6.3: Корни комплексных чисел

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    14533
    • Кен Каттлер
    • Университет Бригама Янга via Lyryx

    Результаты

    1. Понимать теорему Муавра и уметь использовать ее для нахождения корней комплексного числа.

    Фундаментальное тождество — это формула Муавра, с которой мы начинаем этот раздел. 9{n+1}\left(\cos\left(n+1\right) \theta+i\sin\left(n+1\right) \theta\right)\end{выровнено}\]

    по формулам косинуса и синуса суммы двух углов.

    Процесс, использованный в предыдущем доказательстве, называемый математической индукцией , очень эффективен в математике и информатике и более подробно рассматривается в Приложении.

    Теперь рассмотрим следствие теоремы \(\PageIndex{1}\).

    Следствие \(\PageIndex{1}\): корни комплексных чисел 93 = 1\) следует, что \(r=1\).

    Решение второго уравнения выглядит следующим образом. Сначала разделите на \(i\). Затем, поскольку аргумент \(i\) не уникален, мы пишем \(3\theta = \pi/2 + 2\pi\ell\) вместо \(\ell = 0,1,2\).

    \[\begin{align} 3\theta &= \pi/2 + 2\pi\ell \; \mbox{для} \; \ell = 0,1,2 \\ \theta &= \pi/6 + \frac{2}{3} \pi\ell \; \mbox{для} \; \ell = 0,1,2 \end{aligned}\]

    Для \(\ell = 0\): \[\theta = \pi/6 + \frac{2}{3} \pi (0) = \pi/6 \номер\]

    9{3}-27\) имеет все действительные коэффициенты, имеет несколько комплексных нулей, \(3\left( \displaystyle \frac{-1}{2}+i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2 }\right) ,\) и \(3\left(\displaystyle\frac{-1}{2}-i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Эти нули являются комплексно-сопряженными друг другу. Всегда бывает так, что если многочлен имеет действительные коэффициенты и комплексный корень, он также будет иметь корень, равный комплексно-сопряженному.


    Эта страница под названием 6.3: Корни комплексных чисел распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Кеном Каттлером (Lyryx) с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts. ; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
    • Была ли эта статья полезной?
    1. Тип изделия
      Раздел или страница
      Автор
      Кен Каттлер
      Лицензия
      СС BY
      Версия лицензии
      4,0
      Показать страницу Содержание
      нет
    2. Метки
      1. Теорема де Муавра
      2. источник@https://lyryx. com/first-course-linear-алгебра

    Комплексный номер Праймер

    Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

    Уведомление для мобильных устройств

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    В этом разделе мы собираемся рассмотреть очень хороший способ быстрого вычисления целочисленных степеней и корней комплексных чисел. {i\frac{\pi}}{4}}}\] 9п} = 1\]

    Очевидно (надеюсь) \(z = 1\) является одним из решений. Мы хотим определить, есть ли другие решения. Для этого мы воспользуемся фактом из предыдущих разделов, который гласит, что \({z_1} = {z_2}\) тогда и только тогда, когда

    \[{r_1} = {r_2} \hspace{0,25 дюйма} {\mbox{and}}\hspace{0,25 дюйма} {\theta _2} = {\theta _1} + 2\pi k\,\,\, {\mbox{для некоторого целого числа}} \;k{\rm{}}\left( {т.е. \,\,k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots} \right)\] 9n} = 1 \hspace{0.5in} n\theta = 0 + 2\pi k\, \hspace{0.25in} k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

    Теперь \(r\) является положительным целым числом (по предположению об экспоненциальной/полярной форме), поэтому решение дает

    \[r = 1 \hspace{0,5 дюйма} \theta = \frac{{2\pi k}}{n}\, \hspace{0,25 дюйма} k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \ ]

    Тогда решения уравнения будут

    \[z = \exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi k}}{n}} \right) \hspace{0,25in} k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\]

    Вспомним из нашего обсуждения полярной формы (и, следовательно, экспоненциальной формы), что эти точки будут лежать на окружности радиуса \(r\). Итак, наши точки будут лежать на единичной окружности, и они будут равномерно распределены по единичной окружности через каждые \(\frac{{2\pi }}{n}\) радиан. Обратите внимание, что это также говорит нам о том, что существует \(n\) различных корней, соответствующих \(k = 0,1,2, \ldots ,n — 1\), поскольку мы вернемся к тому, с чего начали, когда достигнем \(k = n\)

    Следовательно, существует \(n\) n корни единства и они даны,

    \begin{equation}\exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi k}}{n}} \right) = \cos \left( {\frac {{2\pi k}} {n}} \right) + i\sin \left( {\frac {{2\pi k}}{n}} \right) \hspace{0.5in} k = 0,1,2, \ldots ,n — 1\метка{уравнение:уравнение2}\конец{уравнение}

    Существует более простое обозначение, которое часто используется для обозначения n th корней из единицы. Первое определение,

    \begin{equation}{\omega _n} = \exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi}}}{n}} \right)\label{eq:eq3}\end{equation} 93} = 1\]

    , и в мире действительных чисел мы знаем, что решение этой задачи равно \(z\) = 1. Однако из приведенной выше работы мы знаем, что в этом случае имеется 3 n th корней из единицы. Проблема здесь в том, что оставшиеся два являются комплексными решениями, и поэтому обычно не учитываются при поиске действительного решения этого уравнения, что, как правило, то, что мы хотели до этого момента.

    Итак, давайте найдем n th корней из единицы для \(n\) = 3,92 & = \exp \left( {i\,\,\frac{{4\pi }}{3}} \right)\\ & = \ cos \ left ( {\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) + i \ sin \ left ( {\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) & \ hspace {0,5 дюйма} & = \ cos \ left ( {\ frac {{4 \ pi}} {3}} \ right) + i \ sin \ left ( {\ frac {{4 \ pi}} {3}} \Правильно)\\ & = — \ frac {1} {2} + \ frac {{\ sqrt 3 }} {2} i & & = — \ frac {1} {2} — \ frac {{\ sqrt 3 }} {2} я\конец{выравнивание*}

    Я предоставляю вам проверить, что, если вы возведете два последних значения в куб, вы действительно получите 1. 9{я\,\,{\тета _0}}}\]

    Итак, это говорит нам о том, что

    \[r = \sqrt[n]{{{r_0}}} \hspace{0,5in} \theta = \frac{{{\theta _0}}}{n} + \frac{{2\pi k}} {n} \hspace{0. 25in} k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

    Тогда различные решения \(\eqref{eq:eq5}\) равны

    \begin{equation}{a_k} = \sqrt[n]{{{r_0}}}\exp \left( {i\left( {\frac{{{\theta _0}}}{n} + \frac{ {2\pi k}}{n}} \right)} \right) \hspace{0.25in} k = 0,1,2, \ldots ,n — 1\label{eq:eq6}\end{equation} 9{\ гидроразрыва {1} {3}}} \)

    Показать все решения Скрыть все решения

    Показать решение

    Первое, что нужно сделать, это записать экспоненциальную форму комплексного числа, из которого мы извлекаем корень.

    \[2i = 2\exp \left( {i\,\frac{\pi }{2}} \right)\]

    Итак, если мы используем \({\theta _0} = \frac{\pi }{2}\), мы можем использовать \(\eqref{eq:eq6}\) для записи корней.

    \[{a_k} = \ sqrt 2 \exp \left( {i\left( {\ frac{\pi} {4} + \pi k} \right)} \right) \hspace{0,25in} k = 0 ,1\]

    Подключение к \(k\) дает,

    \begin{align*}{a_0} & = \sqrt 2 \exp \left( {i\frac{\pi} {4}} \right) \hspace{0. 25in} & {a_1} & = \sqrt 2 \ ехр \ влево ( {я \ влево ( {\ гидроразрыва {{5 \ пи}} {4}} \ вправо)} \ вправо) \\ & = \ sqrt 2 \ влево ( {\ соз \ влево ( {\ гидроразрыва {\ pi} {4}} \ вправо) + я \ грех \ влево ( {\ гидроразрыва {\ пи} {4}} \ вправо)} \ справа) \ hspace {0,25 дюйма} & & = \ sqrt 2 \ влево ( {\ соз \ влево ( {\ гидроразрыва {{5 \ пи}} {4}} \ вправо) + я \ грех \ влево ( {\ frac{{5\pi }}{4}} \right)} \right)\\ & = 1 + я & & = — 1 — я\конец{выравнивание*}

    Я предоставляю вам проверить, что если вы возведете в квадрат оба этих числа, то получите 2\(i\).

    b Показать решение

    Вот экспоненциальная форма числа,

    \[\sqrt 3 — i = 2\exp \left( {i\,\left( { — \frac{\pi} {6}} \right)} \right)\]

    Используя \(\eqref{eq:eq6}\) корни,

    \[{a_k} = \sqrt[3]{2}\exp \left( {i\left( { — \frac{\pi} }{{18}} + \frac{{2\pi k}}{3 }} \right)} \right) \hspace{0. 25in} k = 0,1,2\]

    Подключение к \(k\) дает,

    \begin{align*}{a_0} & = \sqrt[3]{2}\exp \left( {i\left( { — \ frac{\pi }{{18}}} \right)} \right) = \ sqrt [3] {2} \ влево ( {\ cos \ влево ( { — \ гидроразрыва {\ пи {{18}}} \ вправо) + я \ грех \ влево ( { — \ гидроразрыва {\ пи } {{18}}} \справа)} \справа) = 1,24078 — 0,21878\,i\\ {a_1} & = \sqrt[3]{2}\exp \left( {i\frac{{11\pi}}{{18}}} \right) = \sqrt[3]{2}\left( {\ cos \ left ( {\ frac {{11 \ pi}} {{18}}} \ right) + i \ sin \ left ( {\ frac {{11 \ pi}} {{18}}} \ right )} \справа) = — 0,43092 + 1,18394\,я\\ {a_2} & = \,\sqrt[3]{2}\exp \left( {i\frac{{23\pi}}}{{18}}} \right) = \sqrt[3]{2}\ влево ( {\ cos \ влево ( {\ гидроразрыва {{23 \ пи}} {{18}}} \ вправо) + я \ грех \ влево ( {\ гидроразрыва {{23 \ пи}} {{18}}} \right)} \right) = — 0.80986 — 0.96516\,i\end{align*}

    Как и в предыдущей части, я оставлю вам проверить, что если вы возьмете в куб каждое из них, вы получите \(\sqrt 3 — i\) .

    Нахождение корней комплексных чисел

    Нахождение корней комплексных чисел — Precalculus

    —>

    • Войти
    • Биографии репетитора
    • Подготовка к тесту
      СРЕДНЯЯ ШКОЛА
      • ACT Репетиторство
      • SAT Репетиторство
      • Репетиторство PSAT
      • ASPIRE Репетиторство
      • ШСАТ Репетиторство
      • Репетиторство STAAR
      ВЫСШАЯ ШКОЛА
      • Репетиторство MCAT
      • Репетиторство GRE
      • Репетиторство по LSAT
      • Репетиторство по GMAT
      К-8
      • Репетиторство AIMS
      • Репетиторство по HSPT
      • Репетиторство ISEE
      • Репетиторство ISAT
      • Репетиторство по SSAT
      • Репетиторство STAAR
      Поиск 50+ тестов
    • Академическое обучение
      репетиторство по математике
      • Алгебра
      • Исчисление
      • Элементарная математика
      • Геометрия
      • Предварительный расчет
      • Статистика
      • Тригонометрия
      репетиторство по естественным наукам
      • Анатомия
      • Биология
      • Химия
      • Физика
      • Физиология
      иностранные языки
      • Французский
      • немецкий
      • Латинский
      • Китайский мандарин
      • Испанский
      начальное обучение
      • Чтение
      • Акустика
      • Элементарная математика
      прочее
      • Бухгалтерский учет
      • Информатика
      • Экономика
      • Английский
      • Финансы
      • История
      • Письмо
      • Лето
      Поиск по 350+ темам
    • О
      • Обзор видео
      • Процесс выбора наставника
      • Онлайн-репетиторство
      • Мобильное обучение
      • Мгновенное обучение
      • Как мы работаем
      • Наша гарантия
      • Влияние репетиторства
      • Обзоры и отзывы
      • Освещение в СМИ
      • О преподавателях университета

    Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

    (888) 888-0446

    Все ресурсы Precalculus

    12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

    ← Предыдущая 1 2 Следующая →

    Precalculus Help » Полярные координаты и комплексные числа » Степени и корни комплексных чисел » Найдите корни комплексных чисел

    Вычислить , где – натуральное число,  – комплексное число.

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Обратите внимание, что

     

    Сообщить об ошибке

    Какова  длина 

    ?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    У нас есть

    .

    Следовательно,

    .

    Сообщить об ошибке

    Решить для  (может быть несколько решений).

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Решение этого уравнения эквивалентно решению корней многочлена .

    Очевидно, что один из корней равен 1.

    Таким образом, мы можем разложить многочлен как

    , чтобы найти корни .

    Используя квадратное уравнение, мы находим корни, которые равны .

     

    Это означает, что решения   равны

     

    Сообщить об ошибке

    Напомним, что это просто сокращение для комплексных чисел в полярной форме.

    Экспресс в полярной форме.

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Сначала мы понимаем, что пытаемся решить  где .

    Затем мы хотим преобразовать  в полярную форму, используя

     и .

    Тогда, поскольку теорема Муавра утверждает, что

      если  является целым числом, мы можем сказать

    .

    Сообщить об ошибке

    Решить для  (может быть несколько решений).

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Чтобы найти корни, просто приравняйте их к нулю и найдите z, используя квадратичную формулу () :  и теперь приравняв  и  равно нулю, мы получим ответы  и  

     

    Сообщить об ошибке

    Вычислить

     

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    2

    2

    2 Объяснение:

    Чтобы решить этот вопрос, вы должны сначала вывести несколько значений и преобразовать уравнение в экспоненциальную форму: :  

     

    Теперь снова подключитесь к исходному уравнению и решите:   

     

    Сообщить об ошибке

    Определите длина

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    , поэтому

    Отчет о ошибке

    Решите для всех возможных решений для квадратичного выражения:

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Найдите комплексные значения m, используя вышеупомянутую квадратичную формулу: 

    Отчет о ошибке

    Что из следующих перечислений всех возможных решений для квадратичного выражения:

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    . Объяснение:

    Найдите комплексные значения с помощью квадратичной формулы:

    Сообщите об ошибке

    Определите длину .

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Для начала мы должны вспомнить, что . Подключите это, чтобы получить . Длина должна быть положительным значением, поэтому мы возьмем абсолютное значение: . Таким образом, длина равна 3.

    Сообщить об ошибке

    ← Предыдущая 1 2 Следующая →

    Уведомление об авторских правах

    Посмотреть репетиторов по предварительному исчислению

    Долорес
    Сертифицированный репетитор

    , Колледж математики Вирджинии, Ассоциированный научный сотрудник.

    Посмотреть репетиторов по математике

    Малик
    Сертифицированный репетитор

    Северо-восточный университет, бакалавр наук, физика.

    Посмотреть репетиторов по математике

    Алан
    Сертифицированный репетитор

    Стэнфордский университет, бакалавр электротехники. Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл, магистр автобусных…

    Все ресурсы по предварительному исчислению

    12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

    7. Степени и корни комплексных чисел

    М. Борна

    Рассмотрим следующий пример, вытекающий из основ алгебры:

    (5 e 3 j ) 2 = 25 e 6 j

    Мы можем обобщить этот пример следующим образом:

    ( r e ) n = r n e jnθ

    Приведенное выше выражение, записанное в полярной форме, приводит нас к теореме Де Муавра.

    Теорема Де Муавра

    [ r (cos θ + j sin θ )] n = r n (cos + j sin )

    , где `j=sqrt(-1)`. Эквивалентно

    ( r θ ) n = r n nθ 33

    вызов

    Я собираюсь бросить тебе вызов…

    Мне никогда не удавалось найти инженера-электронщика или электрика, который хотя бы слышал о теореме Де Муавра. Конечно, все инженеры, которых я спрашивал, не знают, как это применяется в «реальной жизни».

    Мне всегда казалось, что хотя это и хорошая математика, но довольно бесполезная.. 🙂

    Вот несколько ответов, которые я получил на свой вызов:

    Некоторые возможности

    Я получил этот ответ на свой вызов от пользователя Ричарда Редди:

    Многое из того, что вы делаете со сложными экспонентами, является расширением теоремы Де Муавра. В общем, теорема имеет практическое значение для преобразования уравнений, чтобы с ними было легче работать. Часто то, что вы видите в EE, является решением проблем. в физике. Было время, до появления компьютеров, когда решение тензорной задачи вручную могло занять 6 месяцев. Теорема Де Муавра — это тождество, экономящее время, которое легче применять, чем эквивалентные тригонометрические тождества.

    Мне нравится ваш сайт.

    И это пришло от Рассела Дэвиса:

    Я инженер-электронщик. Что касается практического применения, я видел, как теорема Де Муавра использовалась в цифровой обработке сигналов и разработке квадратурных модуляторов/демодуляторов.

    Читатель Энди добавил:

    Теорему Де Муавра можно использовать для нахождения вторичного коэффициента Z 0 (импеданс в омах) линии передачи при исходных первичных константах R, L, C и G . (сопротивление, индуктивность, емкость и проводимость), используя уравнение

    `Z_0=sqrt((R+jomegaL)/(G+jomegaC))`,

    , где «омега» — угловая частота источника в радианах в секунду. В этом случае степень « n » равна половине из-за квадратного корня, а члены внутри квадратного корня могут быть упрощены до комплексного числа в полярной форме.

    Читатель Дэвид из IEEE ответил:

    Теорема де Муавра является фундаментальной для цифровой обработки сигналов, а также находит косвенное применение для компенсации нелинейности при аналого-цифровом и цифро-аналоговом преобразовании.

    После этих ответов я все больше убеждаюсь, что инженерам-электрикам стоит изучить теорему де Муавра. Пожалуйста, дайте мне знать, если есть какие-либо другие приложения.

    Пример 1

    Найти (1 − 2 j ) 6

    Ответить

    Во-первых, мы выражаем `1 — 2j` в полярной форме: 9текст(о)]`

    (Последняя строка верна, потому что «360° × 4 = 1440°», и мы вычитаем это из «1779,39°».)

    В прямоугольной форме,

    х = 125 cos 339,39 или = 117

    y = 125 sin 339,39 o = -44

    Так (1 — 2 j ) 6 = 117 — 44 j

    Сложные корни

    Если a n = x 9″о»/н` друг от друга. То есть

    2 корня будут разнесены на 180°

    3 корня будут отстоять друг от друга на 120°

    4 корня отстоят друг от друга на 90°

    5 корней будут отстоять друг от друга на 72° и т. д.

    Пример 3

    Найдите два квадратных корня из `-5 + 12j` .

    Ответить

    Для первого корня нам нужно найти `sqrt(-5+12j`.

    Это то же самое, что (-5 + 12 j ) 1/2 . [email protected]`

    Это первый квадратный корень из . Прямоугольной формы,

    х = 3,61 cos56,31° = 2

    у = 3,61 sin56,31° = 3

    Итак, первый корень равен 2 + 3 j .

    ЧЕК: (2 + 3 j ) 2 = 4 + 12 j — 9 = -5 + 12 j [Проверено OK]

    Чтобы получить другой квадратный корень, мы применяем тот факт, что если мы нужно найти 9текст (o)/n` друг от друга.

    В данном случае `n = 2`, поэтому наши корни равны `180°` друг от друга.

    Прибавив «180°» к нашему первому корню, мы получим:

    x = 3,61 cos(56,31° + 180°) = 3,61 cos(236,31°) = -2

    y = 3,61 sin(56,31° + 180°) = 3,61 sin(236.31°) = -3

    Итак, наш второй корень из равен «-2 — 3j».

    Таким образом, два квадратных корня из «-5 — 12j» равны «2 + 3j» и «-2 — 3j».

    Упражнения:

    1. [email protected]`

    `= 256`

    2. Найти: (−2 + 3 j ) 5

    Ответить

    (-2 + 3 J ) 5

    = (3,60555 секрет 123,69007 °) 5 (преобразование в полярную форму)

    = (3,6055555555555 года) 5 8888

    = (3,605555) 5 88888888,69 (3,605555) 5 8888888,69 (3,605555) 5 888888

    . (теорема де Муавра)

    = 609,33709 ∠ 618,45035°

    = −121,99966 − 596,99897 j (обратное преобразование в прямоугольную форму)

    = −122,0 − 597. 0 j (с точностью до 1 знака после запятой)

    Для сравнения, точный ответ (из умножения скобок в исходном вопросе)

    −122 − 597 й

    [ Примечание: В приведенном выше ответе я сохранил полное количество знаков после запятой в калькуляторе, чтобы обеспечить максимальную точность, но я отображаю только числа с точностью до 5 знаков после запятой до последней строки.]

    3. (i) Найдите первые 2 корня четвертой степени. из 81 (поскольку 60 9″о»)`

    ` = 2,90 + 0,78j`

    II Второй корень:

    Добавить «90°» к первому корню:

    3(cos(15 o + 90 o ) + j sin(15 o + 90 или ))

    = 3(cos105 o + j sin 105 o )

    = -0,78 + 2,90 Дж

    Итак, первые 2 корня четвертой степени из 81 (cos 60 o + j sin 60 93= 8`.

    Найдите корни и зарисуйте их.

    Ответить

    В полярной форме 8 = 8 (cos 0 o + j sin 0 o ).

    Есть 3 корня, поэтому они будут отстоять друг от друга на `θ = 120°`.

    Используя теорему Де Муавра:

    а п = r n (cos + j sin ),

    Первый корень: 9текст(о))`

    `=2`

    Второй корень:

    Добавить «120°» к первому корню:

    8 1/3 (cos 120 o + j sin 120 o ) = −1 + 1.732

    Третий корень:

    Добавить «120°» ко второму корню:

    8 1/3 (cos 240 o + j sin 240 o ) = −1 − 1.732


    Таким образом, 3 кубических корня из числа 8 равны:

    . «2», «-1 + 1,732j» и «-1 — 1,732j».

    Чтобы проверить правильность корней, возведите каждый из них в степень «3» и умножьте их.

    Корни комплексных чисел: примеры, теоремы и формулы

    Фраза «квадратный корень» знакома, но я уверен, что фраза «комплексные числа», скорее всего, незнакома и пугает. Страшные вещи могут быть забавными, после этого вы будете учиться и получать удовольствие , находя корни комплексных чисел .

    Что такое вычисление корней комплексных чисел?

    Вычисление корней комплексных чисел – это процесс нахождения корней (квадратных, кубических и т.д.) комплексных чисел в виде:

    где, а – действительная составляющая комплексных чисел,

    b — мнимая составляющая комплексного числа, а

    i — .

    Для запоминания необходимо напомнить вам, что такое комплексные числа, прежде чем переходить к поиску их корней.

    Что такое комплексные числа?

    Комплексные числа — это числа, представленные в виде:

    , где a — действительное число, а bi — мнимое значение, используемое для представления корня отрицательных значений (например, и т. д.). Кроме того, i представляет собой йоту и иногда обозначается буквой j, причем оба значения означают .

    В математике нет решения для нахождения корней отрицательных чисел, поэтому возникла идея комплексных чисел, чтобы углубиться в нахождение корней отрицательных чисел. Здесь корень из отрицательного числа может быть решен как:

    где дано значение i, тогда

    Обратите внимание, что:

    Вычисление квадратного корня из комплексных чисел быть достигнуто с помощью более прямого подхода, а не применения формулы. Пример ниже покажет вам это.

    Найдите квадратный корень из следующего.

    Решение:

    Первый шаг — приравнять комплексное число к квадрату общего уравнения, поэтому

    Вспомним, что все выражения, где i является мнимым выражением, следовательно, перегруппируем выражения, приведя одинаковые члены:

    В обеих частях уравнения у нас есть действительное и мнимое выражения. Приравняйте выражения, основанные на сходных компонентах (т. е. действительное к действительному и мнимое к мнимому). Итак, для вещественного компонента имеем:

    и для мнимой составляющей мы имеем:

    Подставляем значение as в уравнение, . Следовательно,

    Умножить на b 2 ,

    Пусть

    Тогда

    Следовательно, значение x4 равно 1 или -4. Напомним, что:

    Таким образом,

    Это означает, что b равно или , мы знаем, что это неверно, но есть решение для . Следовательно, b равно +1 или -1. Напомним, что:

    Следовательно,

    или

    Напомним, что:

    Подставив значения a и b, чтобы получить корень комплексного числа, мы имеем;

    или

    Таким образом, квадратные корни комплексного числа isor.

    Что такое корни комплексных чисел в полярной форме?

    Чтобы вывести корни комплексных чисел в полярной форме, вам необходимо понять, как комплексные числа выражаются в полярной форме. При хорошем понимании этого стало бы легче определять корни комплексных чисел в полярных формах.

    Считайте Z комплексным числом a + bi, расстояние между началом координат и точкой Z считается модулем. Это представлено как |Z| и равен квадратному корню из суммы квадратов a и b.

    Угол θ составляет угол между положительной действительной осью и линией модуля Z, конец которой находится в начале координат. θ называется аргументом модуля z.

    Где,

    Иллюстрация модуля и аргумента комплексного числа — StudySmarter Originals

    На приведенном выше рисунке, где b — воображаемая ось, а a — действительная положительная ось, мы можем определить комплексное число Z через его модуль |Z| и аргумент θ как:

    Однако модуль комплексного числа |Z| часто упоминается как r с аргументом θ, это приводит к полярной форме комплексного числа, представленного с помощью (r, θ). Следовательно, комплексное число Z можно переписать через его модуль r и аргумент θ как:

    Это уравнение является выражением комплексного числа в его полярной форме.

    Выразите комплексное число в полярной форме.

    Решение:

    Полярная форма комплексного числа выражается через (r,θ). Чтобы получить оба, во-первых, нам нужно найти модуль r, поэтому:

    Затем нам нужно найти аргумент θ. Таким образом,

    Теперь, когда были получены оба значения модуля и аргумента, мы можем представить их в уравнении полярной формы, Таким образом,

    Формула вычисления корней комплексных чисел

    Чтобы вывести формулу, которая поможет вам успешно вычислить корни комплексных чисел, вы должны понимать умножение комплексных чисел в их полярной форме. Следовательно, для двух комплексных чисел Z 1 и Z 2 , выраженных как:

    Тогда произведение Z 1 и Z 2 будет:

    Мы остановимся только на умножении комплексных чисел в их полярных формах, так как это остается для нас более важным, чем операции деления. Теперь вы видели, что происходит с эксплуатацией продукта, можете ли вы теперь представить, как заводятся корни? Прежде чем перейти к корням, давайте посмотрим, что происходит с показателями полярных форм.

    Мы знаем, что обычно экспоненты имеют вид Z n . По-видимому, в этом случае проще всего иметь дело с показателем Z 2 . Конечно, вы согласны с тем, что:

    Где,

    Также это работает для аргумента, θ 1 и θ 2

    Это подразумевает, что:

    , для эксплуатации. комплексного числа, Z n , мы можем сказать,

    Приведенная выше формула — это то, что мы рассматриваем как Теорема Муавра . Мы обсудим это позже.

    Между тем, наша задача состоит в том, чтобы определить корни комплексных чисел в их полярной форме, а не в их показателях. Тем не менее, эта теорема полезна, поскольку помогает нам определять корни. Как?

    Интересно, вы знаете, что показатель степени комплексного числа Z имеет вид Z n , корни Z будут в виде Z 1/n . Таким образом, просто применяя теорему, мы можем очень близко подойти к решению нашей задачи по нахождению корней комплексных чисел в их полярной форме. Таким образом:

    Кроме того, эта формула не может быть эффективной, потому что работа с корнями подразумевает несколько других чисел, которые необходимо учитывать. Ниже в кружке:

    Иллюстрация корней комплексных чисел в координатной плоскости, StudySmarter Originals

    Можно сделать вывод, что расстояние между последовательными корнями выражается в радианах. Таким образом, чтобы учесть другие корни, корни комплексных чисел были эффективно скорректированы, чтобы стать

    , где k равно 0, 1, 2, 3…, n-2 и n-1.

    Это означает, что корни комплексных чисел в их полярной форме вычисляются по формуле

    Обратите внимание, что значения для k диапазонов начинаются с 0 и заканчиваются на n-1, потому что, когда k равно 0, у вас есть первый корень а когда k равно n-1, у вас есть последний корень.

    Как мы можем использовать теорему де Муавра для решения уравнений?

    Ранее мы упоминали теорему де Муавра,

    Теперь мы применим теорему де Муавра для определения корней комплексных чисел в их полярной форме. Между тем теорема де Муавра применима ко всем рациональным числам и дробям.

    Найдите четвертый корень уравнения.

    .

    Решение:

    Во-первых, нам нужно выразить комплексное число в его полярной форме. Но для этого необходимо получить аргумент θ. В соответствии с общим форматом:

    Затем

    Поскольку аргумент θ равен π, то полярная форма комплексного числа Z 4 может быть выражена как

    При нахождении корней комплексного числа в его полярной форме мы применяем формулу:

    Поскольку нам нужно найти значения для Z и у нас есть Z 4 , это означает, что у нас есть четыре корня. Это означает, что вам придется решать ситуации, когда k равно 0, 1, 2 и 3.

    Когда k равно 0, следовательно,

    Это первый корень комплексного числа.

    Чтобы найти второй корень, мы решаем для k как 1, следовательно,

    Это второй корень комплексного числа.

    Чтобы найти третий корень, мы решаем для k как 2, следовательно,

    Это третий корень комплексного числа.

    Чтобы найти четвертый или последний корень, мы решаем для k как 3, поэтому

    Это последний корень комплексного числа.

    Итак, наши корни:

    Обратите внимание, что корни уравнений в форме , называются корнями из единицы.

    Дополнительные примеры корней комплексных чисел

    Чтобы понять корни комплексных чисел, пригодятся еще несколько примеров.

    Найдите третий корень из 8 в прямоугольной форме.

    Решение:

    Первое, что нужно сделать, это представить 8 в общей форме комплексных чисел.

    Итак,

    Чтобы получить его корни, нам нужно найти значения для r и θ. Итак,

    Теперь у нас есть значения для r и θ, мы можем найти корень в полярной форме. Следовательно, мы должны применить нашу формулу для значений k 0, 1 и 2.

    Полученные нами корни (ответы выделены жирным шрифтом) находятся в полярных формах; чтобы преобразовать в прямоугольные формы, нам нужно найти значения косинуса и синуса и ввести их. Следовательно,

    Мы будем повторять те же значения k, что и для 1 и 2, но в следующих случаях первый угол равен 0°, поскольку первый корень расположен на положительной оси x и, таким образом, образованный угол ( θ) равно 0 °, что является аргументом, но следующие корни имеют углы больше 0 ° и будут получены с помощью, где π равно 180 °. Таким образом,

    Следовательно, комплексные корни числа 8: 2 и .

    Найдите корни четвертого комплексного числа в его полярной форме:

    Решение:

    Чтобы получить его корни, нам нужно найти значения для r и θ. Итак,

    Теперь у нас есть значения для r и θ, мы можем найти корень в полярной форме. Следовательно, мы должны применить нашу формулу для значений k 0, 1, 2 и 3.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.