Корень квадратный из 41: Mathway | Популярные задачи

2

Семьдесят два извлечь корень квадратный. Что такое квадратный корень

Как извлечь корень из числа. В этой статье мы будем учиться извлекать квадратный корень из четырехзначных и пятизначных чисел.

Давайте, для примера, извлечем квадратный корень из числа 1936.

Следовательно, .

Последняя цифра в числе 1936 — цифра 6. На 6 заканчивается квадрат числа 4 и числа 6. Следовательно, 1936 может быть квадратом числа 44 или числа 46. Осталось проверить с помощью умножения.

Значит,

Извлечем квадратный корень из числа 15129.

Следовательно, .

Последняя цифра в числе 15129 — цифра 9. На 9 заканчивается квадрат числа 3 и числа 7. Следовательно, 15129 может быть квадратом числа 123 или числа 127. Проверим с помощью умножения.

Значит,

Как извлечь корень — видео

А теперь предлагаю вам посмотреть видео Анны Денисовой — «Как извлечь корень «, автора сайта » Простая физика «, в котором она рассказывает, как извлекать квадратные и кубические корни без калькулятора.

В видео рассматривается несколько способов извлечения корней:

1. Самый простой способ извлечения квадратного корня.

2. Подбором, используя квадрат суммы.

3. Вавилонский способ.

4. Способ извлечения квадратного корня в столбик.

5. Быстрый способ извлечения кубического корня.

6. Способ извлечения кубического корня в столбик.

Математика зародилась тогда, когда человек осознал себя и стал позиционироваться как автономная единица мира. Желание измерить, сравнить, посчитать то, что тебя окружает, — вот что лежало в основе одной из фундаментальных наук наших дней. Сначала это были частички элементарной математики, что позволили связать числа с их физическими выражениями, позже выводы стали излагаться лишь теоретически (в силу своей абстрактности), ну а через некоторое время, как выразился один ученый, «математика достигла потолка сложности, когда из нее исчезли все числа». Понятие «квадратный корень» появилось еще в то время, когда его можно было без проблем подкрепить эмпирическими данными, выходя за плоскость вычислений.

С чего все начиналось

Первое упоминание корня, который на данный момент обозначается как √, было зафиксировано в трудах вавилонских математиков, положивших начало современной арифметике. Конечно, на нынешнюю форму они походили мало — ученые тех лет сначала пользовались громоздкими табличками. Но во втором тысячелетии до н. э. ими была выведена приближенная формула вычислений, которая показывала, как извлечь квадратный корень. На фото ниже изображен камень, на котором вавилонские ученые высекли процесс вывода √2 , причем он оказался настолько верным, что расхождение в ответе нашли лишь в десятом знаке после запятой.

Помимо этого, корень применялся, если нужно было найти сторону треугольника, при условии, что две другие известны. Ну и при решении квадратных уравнений от извлечения корня никуда не деться.

Наравне с вавилонскими работами объект статьи изучался и в китайской работе «Математика в девяти книгах», а древние греки пришли к выводу, что любое число, из которого не извлекается корень без остатка, дает иррациональный результат.

Происхождение данного термина связывают с арабским представлением числа: древние ученые полагали, что квадрат произвольного числа произрастает из корня, подобно растению. На латыни это слово звучит как radix (можно проследить закономерность — все, что имеет под собой «корневую» смысловую нагрузку, созвучно, будь то редис или радикулит).

Ученые последующих поколений подхватили эту мысль, обозначая его как Rx. Например, в XV веке, дабы указать, что извлекается корень квадратный из произвольного числа a, писали R 2 a. Привычная современному взгляду «галочка» √ появилась лишь в XVII веке благодаря Рене Декарту.

Наши дни

С точки зрения математики, квадратный корень из числа y — это такое число z, квадрат которого равен y. Иными словами, z 2 =y равносильно √y=z. Однако данное определение актуально лишь для арифметического корня, так как оно подразумевает неотрицательное значение выражения. Иными словами, √y=z, где z больше либо равно 0.

В общем случае, что действует для определения алгебраического корня, значение выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, в силу того, что z 2 =y и (-z) 2 =y, имеем: √y=±z или √y=|z|.

Благодаря тому, что любовь к математике с развитием науки лишь возросла, существуют разнообразные проявления привязанности к ней, не выраженные в сухих вычислениях. Например, наравне с такими занятными явлениями, как день числа Пи, отмечаются и праздники корня квадратного. Отмечаются они девять раз в сто лет, и определяются по следующему принципу: числа, которые обозначают по порядку день и месяц, должна быть корнем квадратным из года. Так, в следующий раз предстоит отмечать сей праздник 4 апреля 2016 года.

Свойства квадратного корня на поле R

Практически все математические выражения имеют под собой геометрическую основу, не миновала эта участь и √y, который определяется как сторона квадрата с площадью y.

Как найти корень числа?

Алгоритмов вычисления существует несколько. Наиболее простым, но при этом достаточно громоздким, является обычный арифметический подсчет, который заключается в следующем:

1) из числа, корень которого нам нужен, по очереди вычитаются нечетные числа — до тех пор, пока остаток на выходе не получится меньше вычитаемого или вообще будет равен нулю. Количество ходов и станет в итоге искомым числом. Например, вычисление квадратного корня из 25:

Следующее нечетное число — это 11, остаток у нас следующий: 1

Для таких случаев существует разложение в ряд Тейлора:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , где n принимает значения от 0 до

+∞, а |y|≤1.

Графическое изображение функции z=√y

Рассмотрим элементарную функцию z=√y на поле вещественных чисел R, где y больше либо равен нулю. График ее выглядит следующим образом:

Кривая растет из начала координат и обязательно пересекает точку (1; 1).

Свойства функции z=√y на поле действительных чисел R

1. Область определения рассматриваемой функции — промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль включен).

2. Область значений рассматриваемой функции — промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль опять же включен).

3. Минимальное значение (0) функция принимает лишь в точке (0; 0). Максимальное значение отсутствует.

4. Функция z=√y ни четная, ни нечетная.

5. Функция z=√y не является периодической.

6. Точка пересечения графика функции z=√y с осями координат лишь одна: (0; 0).

7. Точка пересечения графика функции z=√y также является и нулем этой функции.

8. Функция z=√y непрерывно растет.

9. Функция z=√y принимает лишь положительные значения, следовательно, график ее занимает первый координатный угол.

Варианты изображения функции z=√y

В математике для облегчения вычислений сложных выражений порой используют степенную форму написания корня квадратного: √y=y 1/2 . Такой вариант удобен, например, в возведении функции в степень: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Этот метод является удачным представлением и при дифференцировании с интегрированием, так как благодаря ему корень квадратный представляется обычной степенной функцией.

А в программировании заменой символа √ является комбинация букв sqrt.

Стоит отметить, что в данной области квадратный корень очень востребован, так как входит в состав большинства геометрических формул, необходимых для вычислений. Сам алгоритм подсчета достаточно сложен и строится на рекурсии (функции, что вызывает сама себя).

Корень квадратный в комплексном поле С

По большому счету именно предмет данной статьи стимулировал открытие поля комплексных чисел C, так как математикам не давал покоя вопрос получения корня четной степени из отрицательного числа. Так появилась мнимая единица i, которая характеризуется очень интересным свойством: ее квадратом есть -1. Благодаря этому квадратные уравнения и при отрицательном дискриминанте получили решение. В С для корня квадратного актуальны те же свойства, что и в R, единственное, сняты ограничения с подкоренного выражения.

Ученики всегда спрашивают: «Почему нельзя пользоваться калькулятором на экзамене по математике? Как извлечь корень квадратный из числа без калькулятора?» Попробуем ответить на этот вопрос.

Как же извлечь корень квадратный из числа без помощи калькулятора?

Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.

√81= 9 9 2 =81

Если из положительного числа извлечь корень квадратный и результат возвести в квадрат, получим то же число.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь устно. Обычно в школе учат таблицу квадратов натуральных чисел до двадцати. Зная эту таблицу легко извлечь корни квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Из чисел больших 400 можно извлекать методом подбора используя, некоторые подсказки. Давайте попробуем на примере рассмотреть этот метод.

Пример: Извлечь корень из числа 676 .

Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20

Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.

Цифру 6 дают 4 2 и 6 2 .
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.

Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Ответ: √676 = 26 .

Еще пример: √6889 .

Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.

Проверяем: 83 2 = 6889.

Ответ: √6889 = 83 .

Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.

Например, найти √893025 .

Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Еще пример: √20736 . Разложим число 20736 на множители:

Получаем √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Конечно, разложение на множители требует знания признаков делимости и навыков разложения на множители.

И, наконец, есть же правило извлечение корней квадратных . Давайте познакомимся с этим правилом на примерах.

Вычислите √279841 .

Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41

Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27).
Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98).
Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на нее число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ≈ 2), испытывают частное (102 ∙2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня.

Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41).
Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 ∙2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ≈ 9), испытывают частное (1049 ∙9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.

Получили ответ √279841 = 529.

Аналогично извлекают корни из десятичных дробей . Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы запятая была между гранями.

Пример . Найдите значение √0,00956484.

Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается .

Итак, теперь вы познакомились с тремя способами извлечения корня. Выбирайте тот, который вам больше подходит и практикуйтесь. Чтобы научиться решать задачи, их надо решать. А если у Вас возникнут вопросы, записывайтесь на мои уроки .

www.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

14 декабря 2012

Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень . Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перерешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины:

1. Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах. Особенно в текстовых;
2. Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно.

Этот алгоритм мы сегодня и рассмотрим. Возможно, какие-то вещи покажутся вам непонятными. Но если вы внимательно отнесетесь к этому уроку, то получите мощнейшее оружие против

квадратных корней .

Итак, алгоритм:

1. Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Таким образом, мы сократим диапазон поиска до 10 чисел;
2. Из этих 10 чисел отсеять те, которые точно не могут быть корнями. В результате останутся 1—2 числа;
3. Возвести эти 1—2 числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.

Прежде чем применять этот алгоритм работает на практике, давайте посмотрим на каждый отдельный шаг.

Ограничение корней

В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
. ..
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получим ряд чисел:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:

[Подпись к рисунку]

То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:

[Подпись к рисунку]

Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.

Отсев заведомо лишних чисел

Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.

Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:

Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа .

Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.

Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8.

С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:

[Подпись к рисунку]

Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:

[Подпись к рисунку]

Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

Финальные вычисления

Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.

Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный:)

Примеры вычисления корней

Теория — это, конечно, хорошо. Но давайте проверим ее на практике.

[Подпись к рисунку]

Для начала выясним, между какими числами лежит число 576:

400 20 2

Теперь смотрим на последнюю цифру. Она равна 6. Когда это происходит? Только если корень заканчивается на 4 или 6. Получаем два числа:

Осталось возвести каждое число в квадрат и сравнить с исходным:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Отлично! Первый же квадрат оказался равен исходному числу. Значит, это и есть корень.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

900 30 2

Смотрим на последнюю цифру:

1369 → 9;
33; 37.

Возводим в квадрат:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

Вот и ответ: 37.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Ограничиваем число:

2500 50 2

Смотрим на последнюю цифру:

2704 → 4;
52; 58.

Возводим в квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

Получили ответ: 52. Второе число возводить в квадрат уже не потребуется.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Ограничиваем число:

3600 60 2

Смотрим на последнюю цифру:

4225 → 5;
65.

Как видим, после второго шага остался лишь один вариант: 65. Это и есть искомый корень. Но давайте все-таки возведем его в квадрат и проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

Все правильно. Записываем ответ.

Заключение

Увы, не лучше. Давайте разберемся в причинах. Их две:

• На любом нормальном экзамене по математике, будь то ГИА или ЕГЭ, пользоваться калькуляторами запрещено. И за пронесенный в класс калькулятор могут запросто выгнать с экзамена.
• Не уподобляйтесь тупым американцам. Которые не то что корни — они два простых числа сложить не могут. А при виде дробей у них вообще начинается истерика.

Для вычисления квадратного корня без калькулятора существует несколько методов.

Как найти корень из числа — 1 способ

• Один из методов заключается в разложении на множители того числа, которое находится под корнем. Эти составляющие в результате умножения образуют подкоренное значение. Точность полученного результата зависит от числа под корнем.
• Например, если взять число 1 600 и начать раскладывать его на множители, то рассуждение построится таким образом: данное число кратно 100, значит, его можно разделить на 25; так как корень из числа 25 извлекается, то число является квадратным и подходит для дальнейших вычислений; при делении получаем еще одно число – 64. Это число тоже квадратное, поэтому корень извлекается хорошо; после этих расчетов под корнем можно записать число 1600 в виде произведения 25 и 64.

• Одно из правил извлечения корня гласит, что корень из произведения множителей равен числу, которое получается при умножении корней из каждого множителя. Это значит, что: √(25*64) = √25 * √64. Если из 25 и 64 извлечь корни, то получим такое выражение: 5 * 8 = 40. То есть, квадратный корень из числа 1600 равен 40.
• Но бывает так, что число, находящееся под корнем, не раскладывается на два множителя, из которых извлекается целый корень. Обычно такое можно осуществить только для одного из множителей. Поэтому чаще всего найти абсолютно точный ответ в таком уравнении не получается.
• В таком случае можно высчитать только приблизительное значение. Поэтому нужно извлечь корень из множителя, который является квадратным числом. Это значение затем умножить на корень из второго числа, которое не является квадратным членом уравнения.
• Выглядит это таким образом, например, возьмем число 320. Его можно разложить на 64 и 5. Из 64 целый корень извлечь можно, а из 5 – нет. Поэтому, выражение будет выглядеть так: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Если есть необходимость, то можно найти приблизительное значение этого результата, вычислив
  √5 ≈ 2,236, следовательно, √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
• Также число под корнем можно разложить на несколько простых множителей, а одинаковые можно вынести из-под него. Пример: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Как найти корень из числа — 2 способ

• Другой способ заключается в делении в столбик. Деление происходит аналогично, но только искать нужно квадратные числа, из которых потом извлекать корень.
• В этом случае квадратное число пишем сверху и отнимаем его в левой части, а извлеченный корень снизу.
• Теперь второе значение нужно удвоить и записать снизу справа в виде: число_х_=. Пропуски необходимо заполнить числом, которое будет меньше или равно необходимому значению слева – все как в обычном делении.
• При необходимости этот результат снова вычитается слева. Такие вычисления продолжаются до тех пор, пока результат не будет достигнут. Нули также можно добавлять, пока не получите нужное количество знаков после запятой.

Извлечение квадратного корня в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Квадратный корень легко извлекается с помощью калькулятора. Для этого достаточно набрать на нём исходное число и нажать клавишу корня  √ .

Если калькулятора под рукой нет, то квадратный корень извлекают пользуясь алгоритмом извлечения квадратного корня.

Определение действия извлечения корня

Корнем n-й степени из числа а называется число х, n-я степень которого равна а. Например, число 2 есть корень пятой степени из 32, ибо Корень второй степени иначе называется квадратным корнем, корень третьей степени — кубическим корнем.

Действие, посредством которого по данному числу а и показателю n находится корень n-й степени из а, называется извлечением корня. Показатель n называется показателем корня. Извлечение корня есть
действие, обратное действию возведения в степень. Корень n-й степени из числа а обозначается следующим образом:

В случае квадратного корня показатель не указывается, так что квадратный корень из числа а обозначается

Из определения корня следует, что в частности

Арифметическое значение квадратного корня

Допустим, что нам дано положительное число а такое, что для него существует квадратный корень, например а = 4. Мы видим, что не одно, а целых два числа удовлетворяют определению квадратного корня из 4, именно числа 2 и —2. Действительно, Таким же образом обстоит дело и для всякого другого положительного числа а: если х удовлетворяет условию то и число —х удовлетворяет этому условию, именно Поэтому каждое из двух противоположных чисел х и —х с одинаковым основанием может быть названо квадратным корнем из числа а. Из этих двух чисел одно положительно, другое отрицательно. Однако положительное значение квадратного корня из положительного числа может существовать только одно.

Действительно, допустим, что

причем х и у оба положительны. Тогда

Разлагая на множители левую часть, мы придем к равенству

Произведение двух чисел х—у и х + у равно нулю. Следовательно, равен нулю один из сомножителей. Однако х + у есть положительное число, как сумма двух положительных чисел.

Следовательно,

Положительное значение квадратного корня из положительного числа называется арифметическим значением квадратного корня.

Условимся знаком обозначать именно арифметическое значение квадратного корня. Это условие вносит определенность при пользовании знаком корня. Так, согласно этому условию,

Однако приняв это условие, о нем необходимо помнить, чтобы не делать ошибок при пользовании знаком квадратного корня.

Так, а не —2, что, казалось бы, более естественно. Равенство есть верное равенство только при

При мы должны считать В то же время равенство будет верно всегда.

Постановка вопроса о приближенном вычислении корня

Извлечение квадратного корня из данного числа выполнимо далеко не всегда, если ограничиться рассмотрением рациональных чисел. Так, извлечение квадратного корня из отрицательного числа есть действие невыполнимое, ибо квадрат любого рационального числа не может быть отрицательным.

Более того, далеко не из каждого рационального положительного числа можно извлечь рациональный квадратный корень. Действительно, рассмотрим таблицу квадратов целых чисел:

Мы видим, что квадраты целых чисел очень быстро возрастают, так что промежутки между квадратами соседних целых чисел тоже довольно быстро растут. Целые числа, находящиеся внутри таких промежутков, не являются квадратами целых чисел. Докажем, что они не являются и квадратами дробных чисел.

Для этого достаточно установить, что квадрат дробного числа не может быть числом целым.

Действительно, каждое дробное число а может быть представлено в виде несократимой дроби т. е. в виде частного от деления двух целых чисел р и q, не имеющих общих простых множителей, причем q > 1.

Если Очевидно, что тоже есть
несократимая дробь, ибо содержит только те простые множители, которые входят в — только те простые множители, которые входят в q а р и q общих множителей не имеют. Таким образом, не может быть целым числом.

Итак, числа 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12… не являются ни квадратами целых чисел, ни квадратами чисел дробных. Следовательно, извлечение квадратного корня из этих чисел есть действие невыполнимое, если оставаться в области рациональных чисел.

Рассмотрим теперь более подробную таблицу квадратов, придавая числу а значения через Ограничимся при этом рассмотрением промежутка от а = 1 до а = 2:

Промежуток между двумя соседними квадратами в этой таблице в среднем в 10 раз меньше, чем промежуток между соседними квадратами 1 и 4 в предшествующей таблице.

Рассмотрим теперь таблицу квадратов, придавая числу а значения через , ограничившись промежутком от а = 1,4 до а =1,5:

По сравнению с предыдущей таблицей, промежутки между соседними квадратами еще уменьшились, в среднем в 10 раз.

Таким образом, если брать значения а все более «густо», т. е. делая промежутки между соседними значениями для а все меньше и меньше, то и промежутки между соседними значениями будут становиться все меньше и меньше. Поэтому, если взять промежутки
между соседними значениями для а достаточно малыми, мы можем приблизиться посредством значений к любому положительному числу b с любой степенью точности.

Проследим, например, за приближениями к числу 2 посредством квадратов на протяжении составленных таблиц. Из первой таблицы мы находим, что наиболее близкие к числу 2 квадраты имеют числа 1 и 2; Во второй таблице числами, дающими наиболее близкие к числу 2 квадраты, являются 1,4 и 1,5, причем Третья таблица дает еще лучшие приближения:

Если мы пожелаем еще улучшить приближения, мы можем рассмотреть квадраты чисел между 1,41 и 1,42, взяв их через 0,001. Это рассмотрение нам даст

Таким образом, среди рациональных чисел не существует числа, квадрат которого равен 2, но существуют числа, квадраты которых сколь угодно близко подходят к 2.

То же самое можно сказать о любом другом положительном числе, для которого точное извлечение корня в области рациональных чисел невозможно. Поэтому имеет смысл ставить вопрос о приближенном
вычислении квадратного корня с некоторой наперед заданной точностью. Так, числа 1 и 2 являются приближенными значениями для с точностью до 1; числа 1,4 и 1,5 являются приближенными значениями для с точностью до 0,1; 1,41 и 1,42 — приближенные значения с точностью до 0,01; 1,414 и 1,415 — приближенные значения с точностью до 0,001 и т. д.

Дадим теперь строгое определение приближенных значений квадратного корня из данного положительного числа.

Приближенным значением с недостатком для квадратного корня из данного положительного числа bс точностью до а называется такое положительное число а, что

В свою очередь, число а + а называется приближенным значением с избытком для с точностью до а.

Для практических целей в качестве меры точности а принимаются числа 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. В этих случаях за приближенное значение корня принимаются десятичные дроби с соответствующим числом цифр после запятой.

Приближенные значения корня можно находить посредством испытаний, постепенно увеличивая точность до той, которая требуется в задаче. Рассмотрим еще один пример.

Пример:

Вычислить с точностью до 0,01.

Решение:

Приближения с точностью до 0,1. мы находим из приведенной выше таблицы. Приближение с недостатком есть 1,7 ибо Для вычисления приближения с точностью до 0,01 испытываем Таким образом, с точностью до 0,01 (с
недостатком)

Способом испытаний мы можем приближенно вычислять корень из любого положительного числа с любой степенью точности. Однако этот способ требует хотя и простых, но утомительных вычислений. В следующих параграфах мы познакомимся с более удобными способами вычисления квадратного корня.

Отметим, что ставить вопрос о приближенном вычислении квадратного корня из отрицательного числа бессмысленно, так как приближаться к данному отрицательному числу посредством квадратов рациональных чисел невозможно.

Извлечение квадратного корня при помощи графика

Выведенные в предшествующих параграфах свойства и особенности действия извлечения квадратного корня становятся особенно наглядными, если перейти от рассмотрения таблицы квадратов к графику зависимости Этот график нами уже рассматривался в § 17 гл. II

Приводим снова этот график (рис. 26). Он имеет вид кривой линии, состоящей из двух бесконечных ветвей, симметричных относительно оси ординат. Эти ветви сходятся в начале координат, плавно переходя одна в другую. Как уже было сказано, эта кривая называется параболой.

Задача извлечения
квадратного корня заключается в
определении числа х из зависимости
при данном у. Для решения этой задачи при помощи
графика нужно на параболе
найти точки, имеющие данную ординату у, и определить абсциссы этих точек.

Очевидно, что при у < 0 таких точек нет, ибо весь график расположен выше оси абсцисс, касаясь ее лишь в начале координат. При у = 0 такая точка единственна, это начало координат. Абсцисса ее равна тоже нулю. При у > 0 таких точек оказывается две, расположенных симметрично относительно оси ординат. Это соответствует тому, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения, имеющие одинаковую абсолютную величину, но отличающиеся знаками. Выбор арифметического значения квадратного корня соответствует тому, что из двух ветвей параболы мы рассматриваем только одну, именно правую ветвь. На этой ветви точка с заданной ординатой оказывается уже единственной. Измерив абсциссу этой точки, мы получим приближенное значение с той точностью, которую допускает график.

Таким образом, из графика зависимости мы видим, что корень из отрицательного числа не существует и что корень из любого положительного числа существует и имеет два значения.

Увеличивая масштаб, мы можем построить график с любой заданной степенью точности. Следовательно, и само извлечение корня из данного положительного числа можно осуществить с любой точностью.

График зависимости может служить для фактического вычисления квадратных корней с небольшой точностью.

С этой целью следует тщательно построить график на
миллиметровой бумаге, приняв за единицу масштаба 10 см и придавая переменной х значения от 0 до 1 через каждые 0,1 (рис. 27). Тогда непосредственно по графику находятся квадратные корни чисел, заключенных между 0 и 1.

При помощи этого графика можно также находить значения корня из любого положительного числа b. Для этого нужно найти какое либо число а, удовлетворяющее условию Затем, найдя частное , которое будет меньше единицы, извлечь из него корень при помощи графика и умножить этот корень на а. Результат даст Действительно,

Следовательно,

Если подобрать а так, то точность при применении этого способа достигает 1 — 2% величины искомого корня.

Пусть, например, требуется найти Возьмем По графику, и следовательно, Ручаться за точность второго знака после запятой здесь нельзя,
возможна ошибка на 0,02 — 0,03 в ту или другую сторону. В действительности с точностью до 0,001

Извлечение квадратного корня из числа, заключенного между 1 и 100, с точностью до 0,1

Приступим к объяснению одной удобной арифметической схемы для приближенного извлечения квадратного корня с заданной точностью.

Допустим, что нам уже известно, что число 7,236 есть
приближенное значение квадратного корня из числа A= 52,365, взятое с недостатком, с точностью до 0,001. Тогда числа 7; 7,2; 7,23 и 7,236 представляют собой приближенные значения с недостатком, и каждое последующее из этих приближений является более точным, чем предыдущее. Мы можем считать, что каждое последующее получается из предыдущего прибавлением некоторой поправки. Именно, 7,2 = 7 + 0,2; 7,23 = 7,2 + 0,03; 7,236 = 7,23 + 0,006.

Мы сможем вычислять квадратные корни с любой степенью точности, если нам удастся указать способ вычисления поправки к уже известному приближению с недостатком так, чтобы после прибавления этой поправки получалось бы снова приближение с недостатком, но значительно более точное.

Для вывода удобного способа вычисления таких поправок рассмотрим задачу в общем виде.

Пусть а есть приближенное значение с недостатком для
квадратного корня из положительного числа A, и пусть b есть поправка, которую нужно добавить к числу а, чтобы получить более точное приближение к корню, тоже с недостатком. Предположим, что эта поправка мала по сравнению с самим числом а.

Примем сначала, что a + b есть точное значение . Тогда имеет место равенство Раскрывая скобки, получим

откуда

Вспомним теперь, что поправку b мы ищем только приближенно. Ввиду сделанного предположения, что искомая поправка мала по сравнению с числом а мы можем отбросить в знаменателе слагаемое b, и тогда получим для b приближенное равенство

В знаменателе мы отбросили положительное слагаемое, тем самым мы уменьшили знаменатель, а всю дробь увеличили. Следовательно, число больше истинной поправки. Поэтому если мы хотим получить значение корня снова с недостатком, то мы должны взять в качестве поправки число, несколько меньшее, чем , например округлить это частное, приняв во внимание только первую значащую цифру.

Для того чтобы проверить, что вычисленная таким способом поправка дает после прибавления к а снова приближение с недостатком, надо проверить, что разность положительна. Эту разность удобно представить в виде

Действительно, число уже вычислялось при вычислении поправки, а вычисление произведения выполняется без труда. Если исследуемая разность все же окажется отрицательной, то это обозначает, что вычисленная поправка велика и ее следует еще уменьшить.

Рассмотрим пример на применение этих соображений. Пример. Вычислить с точностью до 0,1.

Решение. В качестве первого приближения возьмем а = 9. В качестве поправки следует взять число, немного меньшее, чем

Берем поправку b = 0,6. Эта поправка дает значение с недостатком, ибо

Таким образом, число a + b = 9,6 есть приближение к с недостатком. Число 9,7 является приближением с избытком, ибо поправка , в силу сказанного выше, уже больше
истинной, а поправка 0,7 и подавно. Итак, с точностью до (с недостатком).

Все вычисления очень удобно производить по следующей схеме:

Порядок действий следующий:

1) пишем данное число под знаком корня;
2) определяем целую часть корня 9, возводим ее в квадрат и вычитаем из подкоренного выражения;
3) слева от полученной разности проводим вертикальную черту и слева от нее запишем4) приближенно делим разность 11,43 на 18 с точностью до 0,1 с недостатком. Получаем 0,6;
5) к числу 18 добавляем 0,6 и сумму умножаем на 0,6. Произведение записываем под ранее вычисленной разностью 11,43 и вычитаем из нее. Так как последняя разность 0,27 оказалась положительной, то вычисление заканчивается. Число 0,6 присоединяется к числу 9 в качестве поправки. Напоминаем, что последняя разность 0,27 есть разность чисел 92,43 и

Пример:

Вычислить с точностью до 0,1.

Решение:

Решаем этот пример, пользуясь той же схемой:

При делении числа 15 на 6 мы получим, после округления, 0,8. Однако такая поправка слишком велика, так как 6,8 • 0,8 = 5,44 > 5. Примем в качестве поправки 0,7.

Поправка 0,7 оказалась подходящей.

Последняя разность 0,31 есть К числу 5 мы приписали нули после запятой, чтобы было удобнее производить вычитание.

Пример:

Вычислить с точностью до 0,l. Решение.

При делении числа 2,41 на 2 получается с точностью до 0,1 число 1,2, которое явно велико в качестве поправки. Такой плохой результат получается потому, что здесь поправка совсем немала по сравнению с первым приближением, и поэтому приближенное равенство
оказывается очень грубым.

Даже 0,9 велико в качестве поправки, ибо 2,9 • 0,9 = 2,61 >2,41. Берем 0,8.

Извлечение квадратного корня из числа, заключенного между 1 и 100, с точностью до 0,01

Пример:

Извлечь квадратный корень из числа 92,4317 с
точностью до 0,01.

Решение:

Сначала извлекаем корень с точностью до 0,1,
пользуясь уже рассмотренным способом:

Легко сообразить, что следует делать дальше. Примем а = 9,6 за исходное приближение и ищем для него поправку по прежнему правилу. Вычислять снова разность нам не нужно, ибо эта разность уже вычислена, ©на равна последней разности 0,2717. Мы должны поделить эту разность на 2-9,6 = 19,2 с точностью до 0,01. Получившуюся поправку b = 0,01 добавить к 2а =19,2, полученное число 2а -}-&= 19,21 умножить на 6 = 0,01 и сравнить с разностью 0,2717. Все эти действия удобно провести по прежней схеме. Полная запись будет выглядеть так:

Последняя разность 0,0796 есть

Заметим, что мы могли бы не записывать в третьей строчке две последние цифры, так как их роль сказывается только в пятой строчке. Далее, для упрощения записи можно было бы не писать запятых и
нулей перед значащими цифрами, имея при этом в виду, что тогда при делении последнюю цифру делимого нужно отбрасывать, выполняя деление с точностью до целого.

Принимая все это во внимание, запись можно провести так:

Продолжая вычисления, мы можем извлечь корень с точностью до 0,001; 0,0001 и т. д.

Извлечение квадратного корня из любого данного числа с любым заданным числом десятичных знаков

Способ извлечения квадратного корня, изложенный в § 5 и 6, применялся там только к числам, заключенным между 1 и 100, т. е. к числам с однозначной или двузначной целой частью. Однако этот способ легко распространяется на любые положительные числа, целые или заданные десятичной дробью. Это следует из того, что при умножении подкоренного числа на 100 корень увеличивается в 10 раз, а при делении подкоренного числа на 100 корень уменьшается в 10 раз.

Действительно, если то

так как а

ибо

Умножение или деление на 100 равносильно перенесению запятой на два разряда вправо или влево. Умножение или деление на 10 равносильно перенесению запятой на один разряд. Повторное умножение или деление на 100 равносильно перенесению запятой на четное число урядов. Очевидно, что за счет такого перенесения запятой в подкоренном числе можно добиться того, чтобы целая часть нового подкоренного числа оказалась однозначным или двузначным числом.

К этому числу можно применить указанный прием для извлечения квадратного корня. Чтобы получить корень из исходного числа, нужно в полученном корне перенести запятую в обратном направлении на вдвое меньшее число разрядов.

Например, чтобы извлечь корень мы сначала перенесем запятую на два разряда вправо. мы вычислили; он равен 9,61 (с точностью до 0,01). Следовательно, (с точностью до 0,001).

Сформулируем теперь общее правило для извлечения корня из данного числа с данным числом десятичных знаков, обобщив в этом правиле все высказанные выше соображения.

Правило. Чтобы извлечь квадратный корень из данного положительного целого или записанного в виде десятичной дроби числа с, данной точностью, нужно:

Целая часть, вычисляемая в п. 5 правила, может оказаться больше 9 только на первом шагу вычислений, т. е. при вычислении второй цифры.

1. Записать это число под знаком квадратного корня и разбить его цифры на «грани» по две цифры в каждой, начиная от запятой, вправо и влево. Если требуется вычислить корень с точностью до 1, то грани, расположенные направо от запятой, можно отбросить. Если требуется вычислить корень с точностью до 0,1, следует справа от запятой сохранить одну грань, при вычислении с точностью до 0,01 оставить две грани и т. д. Если при этом окажется, что цифр для заполнения нужного числа граней не хватает, приписать надлежащее количество нулей.
2. Извлечь корень из старшей грани с точностью до 1, с недостатком (или точно, если это возможно). Полученное число принять за первую цифру искомого корня.
3. Из старшей грани вычесть квадрат первой цифры и к полученной разности приписать вторую грань. Слева от полуденного результата провести вертикальную черту.
4. Слева от черты записать удвоенную первую цифру.
5. Найти целую часть частного от деления числа десятков первой разности на число, записанное слева. Если полученное число окажется больше 10, заменить числом 9.
6. Полученное однозначное число подвергнуть следующему испытанию: приписать его в качестве цифры к числу, записанному слева, получившееся число умножить на испытуемое однозначное число и сравнить произведение с разностью, записанной справа от черты. Если это произведение больше указанной разности, уменьшить испытуемое число на одну единицу и вновь подвергнуть испытанию.
7. Если после испытания произведение окажется меньше указанной разности, подписать его под ней и вычесть. Испытанное однозначное число принять за вторую цифру корня.
8. К вновь полученной разности приписать следующую грань и определить третью цифру тем же приемом, каким била определена вторая цифра.
9. Продолжать аналогичные вычисления до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.
10. Запятую в результате нужно поставить после того, как будут исчерпаны грани, предшествующие запятой в подкоренном числе.

Отрицательный результат испытания в п. 6 правила довольно часто имеет место на первом шагу вычислений, когда поправка еще не очень мала, по
сравнению с первым приближением. На дальнейших шагах вычислений отрицательный результат испытания получается крайне редко.

Если подкоренное число имеет 0 целых и вслед затем следует нуль, корень имеет тоже 0 целых и затем столько нулей, сколько граней из нулей следует за запятой в подкоренном числе. Первая значащая цифра корня есть целая часть корня из первой значащей грани подкоренного числа.

Применение графиков для приближенного решения уравнений и систем двух уравнений с двумя неизвестными

Мы уже не раз пользовались графиками для приближенных вычислений. Графический способ решения задач является очень полезным для приложений вследствие большой простоты и наглядности. Конечно, им следует пользоваться только в тех случаях, когда не требуется очень большой точности результата. Достоинством графического
способа является также его большая общность. В частности, с помощью графиков можно решать приближенно даже довольно сложные уравнения и системы уравнений. Не вдаваясь в общую теорию построения графиков и их применений* ограничимся рассмотрением двух примеров.

Пример:

Решить приближенно уравнение

Решение:

Построим сначала график зависимости

а затем найдем на этом графике точки, для которых у = 0. Абсциссы этих точек и дадут решения уравнения. Прежде всего вычислим таблицу значений:

По этой таблице строим график (рис. 28), соединяя точки возможно более плавной линией. Из этого графика мы видим, что интересующих нас точек имеется три. Их абсциссы приближенно равны —1,8; 0,3 и 1,5. Следовательно, уравнение

имеет три решения

Чтобы найти более точные значения для корней уравнения, нужно построить с большей точностью и в большем масштабе участки графика, примыкающие к интересующим нас точкам.

Пример:

Решить приближенно систему уравнений

Для решения задачи строим на одном чертеже графики зависимостей и Нас интересуют точки, координаты которых связаны обеими зависимостями, т. е. точки, принадлежащие обоим графикам. Такими точками, являются точки пересечения графиков. Вычислим таблицы значений.

При вычислении второй таблицы мы придавали конкретные значения величине у и вычисляли соответствующие значения для х. Здесь это удобно, так как уравнение, определяющее зависимость, решено относительно х.

Графики по этим таблицам изображены на рис. 29. Мы видим, что графики пересекаются в четырех точках. Следовательно, система имеет четыре решения.

Приближенные решения системы даются следующими значениями для х и у:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Квадратный корень из 41 — Как найти квадратный корень из 41?

Знаете ли вы, что сумма первых шести простых чисел, то есть 2, 3, 5, 7, 11 и 13 равна 41? 41 – нечетное простое число. Простые числа были описаны как строительные блоки математики или, в частности, «атомы» математики. Давайте определим квадратный корень из 41 в этой статье.

• Квадратный корень из 41 : √41  = 6,40312423743
• Квадрат 41: 41 ² = 1681

1.	Что такое квадратный корень из 41?
2.	Является ли квадратный корень из 41 рациональным или иррациональным?
3.	Как найти квадратный корень из 41?
4.	Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 60
5.	Важные примечания
6.	Сложные вопросы
7.	Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 41

Что такое квадратный корень из 41?

Давайте сначала рассмотрим пример идеальных квадратов. Например, 3² = 3 × 3 = 9. Здесь 3 называется квадратным корнем из 9, а 9 — это полный квадрат. Означает ли это, что неквадратные числа не могут иметь квадратный корень? Неквадратные числа также имеют квадратный корень, но они не являются целыми числами.

Квадратный корень из 41

Квадратный корень из 41 в подкоренной форме выражается как √ 41 , а в форме экспоненты это выражается как 41 ^½ . Квадратный корень из 41, округленный до 5 знаков после запятой, равен ± 6,40312.

Является ли квадратный корень из 41 рациональным или иррациональным?

Число, которое нельзя выразить как отношение двух целых чисел, является иррациональным числом. Десятичная форма иррационального числа будет бесконечной (т. е. она никогда не заканчивается) и неповторяющейся (т. е. десятичная часть числа никогда не повторяет шаблон). Теперь давайте посмотрим на квадратный корень из 41.

• √41 = 6,40312423743

Как вы думаете, десятичная часть заканчивается после 6. 40312423743? Нет, она бесконечна, и вы не можете наблюдать никакой закономерности в десятичной части.

Таким образом, √41 – иррациональное число.

Как найти квадратный корень из 41?

Квадратные корни можно вычислить с помощью различных методов, таких как:

• Путем упрощения радикала чисел, которые являются полными квадратами.
• Методом деления в длину для полных и несовершенных квадратов

41 — простое число и, следовательно, это не полный квадрат. Следовательно, квадратный корень из 41 можно найти только методом деления в длинную сторону.

Упрощенная радикальная форма квадратного корня из 41

Чтобы упростить квадратный корень из 41, давайте сначала представим 41 как произведение его простых множителей. Разложение числа 41 на простые множители = 1 × 41. Следовательно, √41 находится в низшей форме и не может быть дополнительно упрощено. Таким образом, мы выразили квадратный корень из 41 в подкоренной форме. Можешь попробовать выразить квадратный корень из 29?Аналогичным образом?

Извлечение квадратного корня из 41 методом деления в длину

Давайте выполним следующие действия, чтобы найти корень из 41 путем деления в длину.

• Шаг 1. Сгруппируйте цифры в пары (для цифр слева от десятичной точки объединяйте их в пары справа налево), поместив над ними черту. Поскольку наше число 41, давайте представим его внутри символа деления.
• Шаг 2: Найдите наибольшее число, произведение которого при умножении на само себя меньше или равно 41. Мы знаем, что 6 × 6 = 36 и меньше 41. Теперь давайте разделим 41 на 6.
• Шаг 3: Поставим десятичную точку и пары нулей и продолжим деление. Теперь умножьте частное на 2, и произведение станет начальными цифрами нашего следующего делителя.
• Шаг 4. Выберите число вместо единицы для нового делителя, чтобы его произведение на число было меньше или равно 500. Мы знаем, что 2 находится в разряде десятков, а наше произведение должно быть равно 500 и ближайшему умножению. равно 124 × 4 = 496,
• Шаг 5:  Занесите следующую пару нулей и умножьте частное 64 (без учета десятичной дроби) на 2, что равно 128. Это число образует начальные цифры нового делителя.
• Шаг 6: Выберите наибольшую цифру на месте единицы для нового делителя так, чтобы произведение нового делителя на цифру на месте было меньше или равно 400. Мы видим, что 1281 при умножении на 1 дает 1281 что больше 400. Поэтому возьмем 1280 × 0 = 0, что меньше 400.
• Шаг 7. Добавьте еще пар нулей и повторите процесс нахождения нового делителя и произведения, как на шаге 2.

Обратите внимание, что квадратный корень из 41 является иррациональным числом, т. е. никогда не заканчивается. Таким образом, вы можете остановить процесс после 4 или 5 итераций.

Изучение квадратных корней с помощью иллюстраций и интерактивных примеров

• Квадратный корень из 44
• Квадратный корень из 54
• Квадратный корень из 56
• Квадратный корень из 14
• Квадратный корень из 34

Важные примечания:

• Квадратный корень из 41 в подкоренной форме выражается как √41
• В форме экспоненты квадратный корень из 41 выражается как 41 ^½ .
• Действительные корни числа √41 равны ± 6,40312.

Наводящие вопросы:

• Сколько стоит √√√√41?
• Упрощение ((41) ^½ ) ^¾
• Найдите квадратный корень из 4141.

Квадратный корень из 41 (√41)

---

Здесь мы определим, проанализируем, упростим и вычислим квадратный корень из 41. Мы начнем с определения, а затем ответим на некоторые общие вопросы. вопросы о квадратном корне из 41. Затем мы покажем вам различные способы вычисления квадратного корня из 41 с и без компьютер или калькулятор. У нас есть много информации, чтобы поделиться, так что давайте начнем!

---

Квадратный корень из 41 определение
Квадратный корень из 41 в математической форме записывается со знаком радикала, таким как √41. Мы называем это квадратным корнем из 41 в радикальной форме. Квадратный корень из 41 — это величина (q), которая при умножении сама на себя будет равна 41.

√41 = q × q = q ²

---

Является ли 41 полным квадратом?
41 является полным квадратом, если квадратный корень из 41 равен целому числу. Как мы рассчитали дальше внизу на этой странице квадратный корень из 41 не является целым числом.

41 не является идеальным квадратом.

---

Является ли квадратный корень из 41 рациональным или иррациональным?
Квадратный корень из 41 является рациональным числом, если 41 является полным квадратом. Это иррациональное число, если оно не является полным квадратом. Поскольку 41 не является полным квадратом, это иррациональное число. Это означает, что ответ на вопрос «квадратный корень из 41?» будет бесконечное количество десятичных знаков. Десятичные дроби не прекратятся, и вы не сможете превратить их в точную дробь.

√41 — иррациональное число

---

Можно ли упростить квадратный корень из 41?
Число 41 можно упростить, если уменьшить число 41 внутри корня. Мы называем этот процесс «упрощать сурд». Квадратный корень из 41 нельзя упростить.

√41 уже находится в своей простейшей радикальной форме.

---

Как вычислить квадратный корень из 41 с помощью калькулятора
Самый простой и скучный способ вычислить квадратный корень из 41 — воспользоваться калькулятором! Просто введите 41, а затем √x, чтобы получить ответ. Мы сделали это с помощью нашего калькулятора и получили следующий ответ с 9десятичные числа:

√41 ≈ 6,403124237

---

Как вычислить квадратный корень из 41 на компьютере
Если вы используете компьютер с Excel или Numbers, вы можете ввести SQRT(41) в ячейку для получить квадратный корень из 41. Ниже приведен результат, который мы получили с 13 десятичными знаками. Мы называем это квадратным корнем из 41 в десятичной форме.

SQRT(41) ≈ 6,4031242374329

---

Чему равен квадратный корень из 41, округленный?
Квадратный корень из 41, округленный до ближайшей десятой, означает, что вам нужна одна цифра после запятой. Квадратный корень из 41, округленный до сотых, означает, что вы нужны две цифры после запятой. Квадратный корень из 41, округленный до ближайшей тысячной, означает, что вам нужны три цифры после запятой.

10-й: √41 ≈ 6,4

100-й: √41 ≈ 6,40

1000-й: √41 ≈ 6,403

---

1 Чему равен квадратный корень из 1?
Как мы сказали выше, поскольку квадратный корень из 41 является иррациональным числом, мы не можем превратить его в точную дробь. Однако мы можем превратить его в приблизительную дробь, используя квадратный корень из 41, округленный до сотых.

√41
≈ 6,40/1
≈ 640/100
≈ 6 2/5

---

Чему равен квадратный корень из 41, записанный с показателем степени?
Все квадратные корни можно преобразовать в число (основание) с дробным показателем степени. Квадратный корень из 41 не является исключением. Вот правило и ответ в «квадратный корень из 41, преобразованный в основание с показателем степени?»:

√b = b ^½

√41 = 41 ^½

---

method
Здесь мы покажем вам, как вычислить квадратный корень из 41, используя метод деления в длину с точностью до одного десятичного знака. это потерянный искусство того, как они вычисляли квадратный корень из 41 вручную до того, как были изобретены современные технологии.

Шаг 1)
Разместите 41 в парах из двух цифр справа налево и присоедините один набор 00, потому что нам нужен один десятичный знак:

---

Шаг 2)
Начиная с первого набора: самый большой полный квадрат, меньше или равный 41, равен 36, а квадратный корень из 36 равен 6. Следовательно, поместите 6 сверху и 36 снизу следующим образом: 41 00 36

---

Шаг 3)
Calculat 41 MIN. Затем переместитесь вниз к следующему набору чисел.

6
41	00
36
5	00

---

Шаг 4)
Удвойте число, выделенное зеленым сверху: 6 × 2 = 12. Затем используйте 12 и нижнее число, чтобы составить задачу:

12? × ? ≤ 500

Знаки вопроса «пробел» и такие же «пробел». Путем проб и ошибок мы нашли, что наибольшее число «пустых» может быть равно 4. Теперь введите 4 сверху:

6	4
41	00
36
5	00

Вот и все! Ответ сверху. Квадратный корень из 41 с точностью до одной цифры после запятой равен 6,4.

---

Квадратный корень из числа
Пожалуйста, введите другое число в поле ниже, чтобы получить квадратный корень из числа и другую подробную информацию, как вы получили для 41 на этой странице.