Крамера уравнение: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

определение, теорема и примеры решения задач

Содержание:

• Теорема Крамера
• Примеры решения систем уравнений

Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым определителем основной матрицы. Назван по имени Габриэля Крамера, автора метод.

Теорема Крамера

Теорема

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

$x_{i}=\frac{\Delta_{i}}{\Delta}$

где $\Delta$ — определитель матрицы системы, $\Delta_{i}$ — определитель матрицы системы, где вместо $i$ -го столбца стоит столбец правых частей.

Замечание

Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.

Замечание

Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+2 x_{2}=7 \\ 2 x_{1}+x_{2}=9 \end{array}\right.$ при помощи метода Крамера.

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right|=5 \cdot 1-2 \cdot 2=1 \neq 0$$

Так как $\Delta \neq 0$ , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определитель $\Delta_{1}$ получим из определителя $\Delta$ заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:

$$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{ll} 7 & 2 \\ 9 & 1 \end{array}\right|=7-18=-11$$

Аналогично, определитель $\Delta_{2}$ получается из определителя матрицы системы $\Delta$ заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:

$$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ll} 5 & 7 \\ 2 & 9 \end{array}\right|=45-14=31$$

Тогда получаем, что

$$x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{-11}{1}=-11, x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{31}{1}=31$$

Ответ. $x_{1}=-11, x_{2}=31$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$

Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:

$$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+(-2) \cdot(-1) \cdot 1+$$ $$+1 \cdot 0 \cdot 2-2 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-(-2) \cdot 1 \cdot 2=4$$ $$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-2) \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 1+2 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-2) \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 2 \cdot 2=-4$$ $$\Delta_{3}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 2+$$ $$+1 \cdot(-2) \cdot 3-3 \cdot(-1) \cdot 2-(-1) \cdot(-2) \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-12$$

Таким образом,

$x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{4}{-4}=-1 \quad x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{-4}{-4}=1 \quad x_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{-12}{-4}=3$

Ответ. $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Читать дальше: метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных.

Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений

Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами — числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй — при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство.

Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной

Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае — несовместимой.

Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственный, систему уравнений называют неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами.

МЕТОД КРАМЕРА

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

— определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.

—————————————————————

Задача 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Задача 2.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

Найдем составляющие определителя:

Подставим найденные значения в определитель

Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

По формулам Крамера находим

Решение системы

Данный пример можно решить математическим калькулятором YukhymCALC . Фрагмент программы и результаты вычислений наведены ниже.

——————————

МЕТОД К Р А М Е Р А

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

 

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4*3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5*4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9-40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52=10

 

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

 

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4*2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2)= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

 

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

 

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1+24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1*(-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

 

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

 

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4*3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

 

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

 

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1*(5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+(-3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2-30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+1*88=-26-2+88=60

 

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000

x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Посмотреть материалы:

• Матричный метод решения системы линейных уравнений
• Метод Гаусса
• Решение методом Крамера СЛАУ 3-4-го порядка
• Решение СЛАУ 3-4 порядка матричным методом
• Решение методом Гаусса СЛАУ 3-5-ого порядка

{jcomments on}

Правило Крамера с двумя переменными

Правило Крамера — это еще один метод, позволяющий решать системы линейных уравнений с помощью определителей.

С точки зрения обозначений, матрица представляет собой массив чисел, заключенный в квадратные скобки, а определитель представляет собой массив чисел, заключенный в две вертикальные черты.

Обозначения

---

Формула для нахождения определителя матрицы 2 x 2 очень проста.

Давайте кратко рассмотрим:

Определитель матрицы 2 x 2

---

Краткие примеры того, как найти определители матрицы 2 x 2

Пример 1 : Найдите определитель матрицы A ниже.

---

Пример 2 : Найдите определитель матрицы B ниже.

---

Пример 3 : Найдите определитель матрицы C ниже.

Узнав, как найти определитель матрицы 2 x 2, вы теперь готовы изучить процедуры или шаги по использованию правила Крамера. Вот так!

---

Правила Крамера для систем линейных уравнений с двумя переменными

• Дана линейная система

• Назовите каждую матрицу

матрица коэффициентов:

4   

03 X – матрица:     

Y – матрица:     

Чтобы найти переменную x:

Чтобы найти переменную y:

Несколько моментов, которые следует учитывать при рассмотрении формулы:

1) Столбцы \large{x}, \large{y} и постоянные члены \large{c} получаются следующим образом:

2) Оба знаменателя при решении \large{x} и \large {у} одинаковы. Они берутся из столбцов \large{x} и \large{y}.

3) Глядя на числитель при решении для \large{x}, коэффициенты столбца \large{x} заменяются постоянным столбцом (красным).

4) Таким же образом, чтобы найти \large{y}, коэффициенты \large{y}-столбца заменяются константным столбцом (красным).

---

Примеры решения системы линейных уравнений с двумя переменными с использованием правила Крамера

Пример 1 : Решение системы с двумя переменными с помощью правила Крамера

Начните с извлечения трех соответствующих матриц: коэффициент, \large{x } и \large{y}. Затем решите каждый соответствующий определитель.

• Для матрица коэффициентов

• Для X – матрица

• Для Y – матрица

После того, как все три определителя вычислены, пришло время найти значения \large{x} и \large{y}  с помощью приведенной выше формулы.

Я могу записать окончательный ответ как \large{\left( {x,y} \right) = \left({2, — 1} \right)}.

---

Пример 2 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Настройте матрицы коэффициентов, \large{x} и \large{y} из заданной системы линейных уравнений. Затем вычислите их определители соответственно.

Помните, что мы всегда вычитаем

произведений диагональных элементов.

• Для матрицы коэффициентов (используйте коэффициенты обеих переменных x и y)

• Для матрицы  X– (замените столбец x столбцом констант)
9003
• Для
  – матрица (замените столбец y на столбец констант)

  Надеюсь, вы освоились с вычислением определителя двумерной матрицы. Чтобы окончательно решить требуемые переменные, я получаю следующие результаты.

  Записав окончательный ответ в виде точек, я получил \large{\left( {x,y} \right) = \left( {6, — 5} \right)}.

  ---

  Пример 3 : Решить систему с двумя переменными по правилу Крамера

  На самом деле эту задачу довольно легко решить методом исключения. Это связано с тем, что коэффициенты переменной 90 155 x 90 156 «одинаковы», но только противоположны по знаку ( +1 и −1 ). Чтобы решить эту проблему с помощью метода исключения, вы добавляете соответствующие столбцы и

  x  – переменная исчезает – остается одношаговое уравнение в \large{y}. Я говорю об этом, потому что у каждой техники есть недостатки, и лучше выбрать самую эффективную. Всегда получайте разъяснения от своего учителя, можно ли использовать другой подход, если метод не указан для данной проблемы.

  В любом случае, поскольку мы учимся решать по правилу Крамера, давайте продолжим и поработаем с этим методом.

  Я построю три матрицы (коэффициент, \large{x} и \large{y}) и оценю их соответствующие определители.

  • Для матрица коэффициентов
  • Для X – матрица (записывается прописной буквой D с нижним индексом x)

  После получив значения трех необходимых определителей, я вычислю \large{x} и \large{y} следующим образом.

  Окончательный ответ в точечной форме: \large{\left( {x,y} \right) = \left( { — 1,2} \right)} .

  ---

  Пример 4 : Решение системы с двумя переменными по правилу Крамера

  Поскольку мы уже рассмотрели несколько примеров, я предлагаю вам решить эту задачу самостоятельно. Затем сравните свои ответы с решением ниже.

  Если вы сделаете это правильно с первого раза, это означает, что вы становитесь «профессионалом» в отношении правила Крамера. Если вы этого не сделали, попытайтесь выяснить, что пошло не так, и научитесь не совершать ту же ошибку в следующий раз. Так вы станете лучше в математике. Изучайте различные виды задач и, что более важно, выполняйте много самостоятельной практики.

  • Для матрица коэффициентов
  • Для X – матрица
  • Для Y – матрица
  0

  ---

  Пример 5 : Решите систему с две переменные по правилу Крамера

  В нашем последнем примере я включил ноль в столбец констант. Каждый раз, когда вы видите число ноль в столбце констант, я настоятельно рекомендую использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений. Почему? Потому что вычисление определителей для матриц \large{x} и \large{y} становится очень простым. Проверьте сами!

  • Для матрицы коэффициентов
  • Для X – матрица
  • Для Y – матрица

  8

  ---

  Вас также может заинтересовать:

  Правило Крамера 3×3

  определителей и правило Крамера | безграничная алгебра |

  Матрицы

  Определители квадратных матриц 2 на 2

  Определитель числа

  2×22\times 22×2

   квадратная матрица — математическая конструкция, используемая при решении задач, которая находится по специальной формуле.

  Цели обучения

  Потренируйтесь находить определитель матрицы

  2×22\times 22×2

  над матрицей умножение, полилинейное по строкам и столбцам и принимает значение 1 для единичной матрицы. Его аббревиатура «

  дет⁡\детдет

  «.

  Что такое определитель?

  Матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений, и определитель может использоваться для решения этих уравнений. Использование определителей в исчислении включает определитель Якоби в правиле замены переменных для интегралов функций многих переменных. Детерминанты также используются для определения характеристического многочлена матрицы, что важно для задач на собственные значения в линейной алгебре. В аналитической геометрии определители выражают знаковые

  ннн

  -мерные объемы

  ннн

  -мерные параллелепипеды. Иногда определители используются просто как компактная запись для выражений, которые в противном случае было бы громоздко записывать.

  Можно доказать, что любая матрица имеет единственную обратную, если ее определитель отличен от нуля. Также можно доказать различные другие теоремы, в том числе то, что определитель произведения матриц всегда равен произведению определителей; и определитель эрмитовой матрицы всегда действителен.

  Определитель матрицы

  [A][A][A]

  обозначается как

  det⁡(A)\det(A)det(A)

  ,

  det⁡ A\det\ Adet A

  или

  ∣A∣\left | А \право |∣А∣

  . В случае, когда элементы матрицы выписаны полностью, определитель обозначается путем окружения элементов матрицы вертикальными чертами вместо скобок или круглых скобок матрицы.

  Например, определитель матрицы

  [abde]\begin{bmatrix} a & b \\ d & e \end{bmatrix}[ad​be​]

  пишется

  ∣abde∣\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}∣

  ∣​ad​be​∣

  ∣​

  .

  Определитель матрицы 2 на 2

  В линейной алгебре определитель — это значение, связанное с квадратной матрицей. Его можно вычислить из элементов матрицы с помощью определенного арифметического выражения, показанного ниже:

  Для

  2×22 \times 22×2

  матрица,

  [abcd]\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}[ac​bd​]

  ,

  определитель

  ∣abcd∣\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}∣

  ∣​ac​bd​∣

  ∣​

   определяется как

  ad-bcad-bcad-bc

  .

  Пример 1. Найдите определитель следующей матрицы:

  [4−275]\displaystyle \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 7 & 5 \end{bmatrix}[47​−25​]

  Определитель

  ∣4−275∣\begin{vmatrix} 4 & -2\\ 7 & 5 \end{vmatrix}∣

  ∣​47​−25​∣

  ∣​

  равен:

  (

  4⋅5)−(−2⋅7)=20−(−14)=34\displaystyle \начать{выравнивать} (4 \cdot 5) — (-2 \cdot 7)&= 20 — (-14)\\ &=34 \end{align}(4⋅5)−(−2⋅7)​=20−(−14)=34​​

  Кофакторы, миноры и дополнительные детерминанты

  Кофактор записи

  (i,j)(i,j)(i,j)

  матрицы

  AAA

  — знаковый минор этой матрицы.

  Цели обучения

  Объясните, как использовать минорные матрицы и матрицы кофакторов для вычисления определителей

  Ключевые выводы

  Ключевые точки

  Ключевые термины

  • кофактор : Знаковый минор записи матрицы.
  • младший : Определитель некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из матрицы

    AAA

    путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов.

  Кофактор и минор: определения

  Кофактор

  В линейной алгебре кофактор (иногда называемый дополнением) описывает конкретную конструкцию, которая полезна для вычисления как определителя, так и обратной квадратной матрицы. В частности, кофактор записи

  (i,j)(i,j)(i,j)

  матрицы, также известной как

  (i,j)(i,j)(i,j) Кофактор

  этой матрицы является минорным знаком этой записи.

  Кофактор 9{i+j}M_{ij}Cij​=(−1)i+jMij​

  Незначительный

  Чтобы узнать, что такое знаковый минор, нам нужно знать, что такое минор матрицы. В линейной алгебре минор матрицы

  AAA

  является определителем некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из

  AAA

  путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов. Миноры, полученные удалением всего одной строки и одного столбца из квадратных матриц (первые миноры), необходимы для вычисления матрицы кофакторов.

  Пусть

  AAA

   будет

  m×nm \times nm×n

   матрица, а

  kkk

   целое число, где 90≤0059 m0

  и

  k≤nk \leq nk≤n

  . A

  k×kk \times kk×k

   младшая из

  AAA

   является определителем матрицы

  k×kk \times kk×k

  , полученной из 9 0205 A

  5 90AA 90 удалив

  м-км-км-к

  строк и

  н-кн-кн-к

  столбцов.

  Вычисление определителя

  Определитель любой матрицы можно найти, используя ее знаковые миноры. Определитель — это сумма миноров со знаком любой строки или столбца матрицы, масштабированных по элементам в этой строке или столбце.

  Расчет миноров

  Следующие шаги используются, чтобы найти определитель данного минора матрицы A:

  1. Выберите запись

     aija_{ij}aij​

     из матрицы.
  2. Вычеркнуть записи, лежащие в соответствующей строке

     iii

     и столбце

     jjj

     .
  3. Переписать матрицу без отмеченных элементов.
  4. Получите определитель этой новой матрицы.

  MijM_{ij}Mij​

  называется второстепенным для записи

  aija_{ij}aij​

  .

  Примечание: если

  i+ji+ji+j

  четное число, то кофактор совпадает с его минором:

  Cij=MijC_{ij}=M_{ij}Cij​=Mij​

  . В противном случае он равен аддитивной величине, обратной своему минору: 

  Cij=-MijC_{ij}=-M_{ij}Cij​=-Mij​

  Вычисление определителя

  Мы найдем определитель следующей матрицы A, вычислив определители ее сомножителей для третьего, самого правого столбца, а затем умножив их на элементы этого столбца.

  [147305−1911]\displaystyle \begin{bmatrix} 1 и 4 и 7\\ 3 & 0 & 5\\ -1& 9&11\\ \end{bmatrix}⎣

  ⎡​13−1​409​7511​⎦

  ⎤​

  В качестве примера вычислим определитель минора

  M23M_{23}M23​

  5 , которая является определителем матрицы

  2×22 \times 22×2

  , образованной удалением

  222

  -й строки и

  333

  -го столбца. Черная точка представляет элемент, который мы удаляем.

  ∣14∙∙∙∙−19∙∣=∣14−19∣=(9−(−4))=13\displaystyle \начать{выравнивать} \begin{vmatrix} 1 & 4 & \bullet\\ \bullet& \bullet& \bullet\\ -1& 9&\bullet \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & 4\\ -1&9 \end{vmatrix}\\ &=(9-(-4))\\&=13 \end{align}∣

  ∣​1∙−1​4∙9​∙∙∙​∣

  ∣​​=∣

  ∣​1−1​49​∣

  ∣​=(9− (−4))=13​

  Поскольку

  i+j=5i+j=5 i+j=5

   является нечетным числом, кофактор является аддитивной величиной, обратной его минору: 

  −(13 )=−13-(13)=-13−(13)=−13

  Умножаем это число на

  a23=5a_{23}=5a23​=5

  , что дает

  −65-65−65

  .

  Тот же процесс выполняется для нахождения определителей чисел

  C13C_{13}C13​

   и

  C33C_{33}C33​

  , которые затем умножаются на

  0a 5 901_31 a3}

  и

  a33a_{33}a33​

  соответственно. Затем определитель находится путем суммирования всех этих значений:

  det⁡A=a_13det⁡C_13+a_23det⁡C_23+a_33det⁡C_33=7⋅27−5⋅13+11⋅−12=−8\begin {align} \ det{A} &= a\text{\textunderscore}{13}\det{C\text{\textunderscore}{13}}+a\text{\textunderscore}{23}\det{C\text{\textunderscore {23}}+a\text{\textunderscore}{33}\det{C\text{\textunderscore}{33}} \\ &= 7\cdot27-5\cdot13+11\cdot-12 \\& =-8 \end{align}detA​=a_13detC_13+a_23detC_23+a_33detC_33=7⋅27−5⋅13+11⋅−12=−8​​

  Правило Крамера

  Правило Крамера использует определители для решения уравнения

  Ax=bAx=bAx=b

  , когда

  AAA

  является квадратной матрицей.

  Цели обучения

  Используйте правило Крамера для решения одной переменной в системе линейных уравнений

  Ключевые выводы

  Ключевые моменты

  • Правило Крамера работает только с квадратными матрицами, которые имеют ненулевой определитель и единственное решение.
  • Рассмотрим линейную систему

    {ax+by=ecx+dy=f\left\{\begin{matrix} ax+by & ={\color{Red}e}\\ cx+dy & ={\color{Red }f} \end{matrix}\right.{ax+bycx+dy​=e=f​

    , что в матричном формате равно

    [abcd][xy]=[ef]\begin{bmatrix}a&b\\c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{Red}e}\\{\color{Red}f}\end{bmatrix}[ac ​bd​][xy​]=[ef​]

    . Предположим, что определитель отличен от нуля. Затем

    xxx

     и

    yyy

     и находятся по правилу Крамера:

    x = ∣ebfd∣∣abcd∣=ed-bfad-bcx=\frac{\begin{vmatrix}{\color{Red}e}&b\\{\color{Red}f}&d\end{vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} x = ∣

    ∣​ ac​bd​∣

    ∣​∣

    ∣​ef​bd​∣

    ∣​=ad-bced-bf​

      и

    y=∣aecf∣∣abcd∣=af-ecad-bcy= frac{\begin{vmatrix}a&{\color{Red}e}\\c&{\color{Red}f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}= \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} y = ∣

    ∣​ac​bd​∣

    ∣​∣

    ∣​ac​ef​∣

    ∣​=ad-bcaf-ec​

    .
  • Правило Крамера эффективно для решения небольших систем и может быть вычислено довольно быстро; однако по мере роста системы вычисление новых определителей может быть утомительным.

  Ключевые термины

  • определитель : Уникальная скалярная функция над квадратными матрицами, дистрибутивная при умножении матриц, полилинейная в строках и столбцах и принимающая значение

    111

    для единичной матрицы. Его аббревиатура «

    det⁡\detdet

    ».
  • квадратная матрица : Матрица, имеющая такое же количество строк, как и столбцов.

  «Правило Крамера» — это еще один способ решения системы линейных уравнений с матрицами. Он использует формулу для расчета решения системы с использованием определения определителей.

  Правило Крамера:  Определение

  Правило Крамера — это явная формула для решения системы линейных уравнений, в которой столько уравнений, сколько неизвестных, т. е. квадратная матрица, действительная, когда система имеет единственное решение. Он выражает решение через определители (квадратной) матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее путем замены одного столбца вектором правых частей уравнений.

  Правило Крамера:  Формула

  Правила для

  2×22\times 22×2

   Матрица

  Рассмотрим линейную систему:

  [abcd][xy]=[ef]\displaystyle \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{Red}e}\\{\color{Red} f}\end{bmatrix}[ac​bd​][xy​]=[ef​]

  Предположим, что определитель не равен нулю. Тогда

  xxx

  и

  yyy

  можно найти по правилу Крамера:

  x=∣ebfd∣∣abcd∣=ed-bfad-bc\displaystyle x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix }}=\frac{{\color{Red}e}db{\color{Red}f}}{ad-bc}x=∣

  ∣ac​bd​∣

  ∣​∣

  ∣​ ef​bd​∣

  ∣​=ad-bced-bf​

  And:

  y=∣aecf∣∣abcd∣=af-ecad-bc\displaystyle y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix }} = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} y = ∣

  ∣​ac​bd​∣

  ∣​∣

  ∣​ac​ef​∣

  ∣​=ad-bcaf-ec​

  Правила для a

  3×33 \times 0 Матрица

  Дано:

  [abcdefghi][xyz]=[jkl]\displaystyle \begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{Red}j}\\ {\color{Red}k}\\{\color{Red}l}\end{bmatrix}⎣

  ⎡​adg​beh​cfi​⎦

  ⎤​⎣

  ⎡​xyz​⎦

  ⎤ ​=⎣

  ⎡​jkl​⎦

  ⎤​

  Тогда значения

  xxx

  ,

  yyy

  и

  9 zzz

можно найти следующим образом: 05

х=∣jbckeflhi∣∣abcdefghi∣y =∣ajcdkfgli∣∣abcdefghi∣z=∣abjdekghl∣∣abcdefghi∣\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}{\color{Red}j}&b&c\\{\color{Red}k}&e&f\\{\color{Red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin {vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}} \четверка y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} j} & c \\ d & {\ color {Red} k} & f \\ g & {\ color {Red} l} & i \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} \четверка z = \ frac {\ begin {vmatrix} a & b & {\ color {Red} j} \\ d & e & {\ color {Red} k} \\ g & h & {\ color {Red} l} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}x=∣

∣​adg​beh​cfi​∣

∣​∣

∣​jkl​beh​cfi​∣

∣​​y=∣

509 0adg​beh​cfi ∣​ ∣

∣​adg​jkl​cfi​∣

∣​​z=∣

∣​adg​beh​cfi​∣

∣​∣

∣​jadg​0 0259 ∣

Использование правила Крамера

Пример 1.

Решите систему с помощью правила Крамера:

{3x+2y=10−6x+4y=4\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y & = 10\\ -6x+4y & = 4 \end{matrix}\right.{3x+2y−6x+4y​=10=4​

В матричном формате:

[32−64][xy]=[104]\displaystyle \begin{bmatrix}3&2\\-6&4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10\\4\end{bmatrix}[3−6​24 ​][xy​]=[104​]

x=∣ebfd∣∣abcd∣=ed-bfad-bc\displaystyle \начать{выравнивать} x&=\frac{\begin{vmatrix}{\color{Red}e}&b\\{\color{Red}f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix }}\\&=\frac{{\color{Red}e}db{\color{Red}f}}{ad-bc}\end{align}x​=∣

∣​ac​bd​∣

∣​∣

∣​ef​bd​∣

∣​=ad-bced-bf​​

x=∣10244∣∣32−64∣=10⋅4−2⋅4(3⋅ 4)−[2⋅(−6)]=3224=43\displaystyle \начать{выравнивать} x&=\frac{\begin{vmatrix}10&2\\4&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2\\-6&4\end{vmatrix}}\\&=\frac{10\cdot 4-2 \cdot 4}{(3 \cdot 4) -[2 \cdot (-6)]}\\&=\frac{32}{24}=\frac{4}{3}\end{align}x​ =∣

∣​3−6​24​∣

∣​∣

∣​104​24​∣

∣​​=(3⋅4)−[2⋅(−6)]10⋅4 −2⋅4​=2432​=34​​

y=∣aecf∣∣abcd∣=af-ecad-bc\displaystyle \начать{выравнивать} y&=\frac{\begin{vmatrix}a&{\color{Red}e}\\c&{\color{Red}f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix }}\\ & = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} \end{выравнивание}y​=∣

∣​ac​bd​∣

∣​∣

∣​ac​ef​∣

∣​=ad-bcaf-ec​​

y=∣310−63∣6∣ ∣=(3⋅4)−[10⋅(−6)](3⋅4)−[2⋅(−6)]=7224=3\displaystyle \начать{выравнивать} y&=\frac{\begin{vmatrix}3&10\\-6&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2\\-6&4\end{vmatrix}}\\ &=\frac{(3 \cdot 4)-[10 \cdot(-6)]}{(3 \cdot 4)-[2 \cdot (-6)]}\\ &=\фракция{72}{24}=3 \end{align}y​=∣

∣​3−6​24​∣

∣​∣

∣​3−6​104​∣

∣​=(3⋅4)−[2 ⋅(−6)](3⋅4)−[10⋅(−6)]​=2472​=3​

Решение системы:

(43,3)(\frac{4}{3}, 3)(34​,3)

.

Лицензии и атрибуции

Контент под лицензией CC, совместно используемый ранее

• Курирование и доработка. Автор : Boundless.com. Лицензия : Общественное достояние: Неизвестно Авторские права

Лицензионный контент CC, конкретное указание авторства

• Определяющее. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: определитель Attribution-ShareAlike
• . Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Незначительное (линейная алгебра). Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Кофактор (линейная алгебра). Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• несовершеннолетний. Предоставлено : Википедия.

  No related posts.