Круг тангенса: Тригонометрический круг. Значения тангенса и котангенса на круге

Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.

Объяснение урока: Касательные окружности

В этом объяснении мы узнаем, как использовать свойства касательных окружностей для нахождения недостающих углов или длин сторон.

Напомним, что касательной к окружности называется прямая, проходящая ровно через одну точку окружности. Линия не войти в круг, но он просто проходит через периметр круга, как показано на диаграмме ниже.

Начнем с важной теоремы об угле между касательной и радиусом окружности.

Теорема: угол между касательной и радиусом окружности

Любая касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания.

Доказательство этой теоремы основано на том факте, что кратчайшее расстояние между прямой и точкой есть перпендикуляр расстояние между двумя объектами. Другими словами, кратчайший отрезок от точки до данной прямой должен пересекаться перпендикулярно линии.

Если прямая касается окружности, то любая точка прямой находится вне окружности, за исключением точки касания, лежащей на круг. Мы знаем, что расстояние между центром окружности и внешней точкой окружности должно быть больше, чем радиус окружности. С другой стороны, расстояние между центром окружности и точкой касания есть радиус круга. Следовательно, радиус должен быть кратчайшим расстоянием между центром окружности и касательной, так как все остальные точки касательной лежат вне окружности. Поскольку радиус — это кратчайший отрезок, соединяющий центр окружности касательной, она должна быть перпендикулярна касательной. Это доказывает теорему.

В нашем первом примере мы будем использовать эту теорему, чтобы найти неизвестную длину на диаграмме, включающей окружность и касательную.

Пример 1. Нахождение длины стороны прямоугольного треугольника по другой Длины двух сторон с использованием свойств касательных

Линия ⃖⃗𝐴𝐶 касается окружности с центром 𝑀 в точке точка 𝐴. Учитывая, что 𝐵𝑀=55см, 𝐴𝐶=96см, что такое 𝐵𝐶?

Ответ

Длина 𝐵𝐶, которую мы ищем, является длиной стороны в треугольнике 𝐴𝐵𝐶, поэтому начнем с определения угол в этом треугольнике. Мы можем определить ∠𝐵𝐴𝐶, вспомнив, что касательная к окружности перпендикулярна до радиуса в точке контакта.

Нам дано, что ⃖⃗𝐴𝐶 касается окружности с центром 𝑀 в точке 𝐴, и мы можем видеть, что 𝑀𝐴 — это радиус окружности с центром в 𝑀, пересекающей с касательной в точке касания. Это говорит нам о том, что угол ∠𝐶𝐴𝑀 прямой; следовательно, треугольник △𝐶𝐴𝐵 прямоугольный.

Длина искомой прямой 𝐵𝐶 есть гипотенуза прямоугольного треугольника. Используя теорему Пифагора, мы можем написать 𝐴𝐶+𝐴𝐵=𝐵𝐶.

Нам известна длина одной стороны этого треугольника, 𝐴𝐶=96см. Оставшаяся сторона 𝐴𝐵 — это диаметр окружности, который в два раза больше радиуса. Поскольку нам дано радиус 𝐵𝑀=55см, диаметр должен быть 55×2=110 см. Это ведет к 𝐴𝐵=110см. Подставляя эти значения в приведенное выше уравнение, у нас есть 96+110=𝐵𝐶𝐵𝐶=√96+110=146.

Следовательно, 𝐵𝐶=146см.

В предыдущем примере нам нужен был только тот факт, что касательная и радиус перпендикулярны, чтобы найти недостающую длину. В более сложных задачах геометрии нам может понадобиться использовать более одного геометрического свойства или теоремы, чтобы найти недостающее. длины или углы. Наш следующий пример дополнительно потребует напоминания о свойстве серединного перпендикуляра к аккорд.

Пример 2. Вычисление периметра составной фигуры с использованием свойств хорд и свойства касательных

На рисунке ниже 𝑀 — центр круга, 𝑀𝐵=15 см, 𝐴𝐵=20см, 𝑀𝐶=9см, и ⃖⃗𝐴𝐵 является касательной. Найдите периметр фигуры 𝐴𝐵𝐶𝑀.

Ответ

Напомним, что периметр четырехугольника равен сумме длин его сторон. Начнем с добавления заданных длин к диаграмме, а также выделить периметр, который мы хотим вычислить.

Мы видим, что две длины, 𝑀𝐶 и 𝐴𝐵, включенные в периметр, уже предоставлены. Следовательно, мы нужно получить длины 𝑀𝐴 и 𝐵𝐶.

Начнем с длины 𝐵𝐶. Из диаграммы видно, что 𝐶 — это середина аккорда 𝐵𝐷. Напомним, что биссектриса хорды проходит через центр окружности. Так как 𝑀𝐶 делит пополам хорду 𝐵𝐷 и проходит через центр 𝑀 окружности, она должна быть серединным перпендикуляром к хорде. Это говорит нам о том, что ∠𝑀𝐶𝐵 — прямой угол; следовательно, треугольник △𝑀𝐶𝐵 прямоугольный. Применяя к этому теорему Пифагора треугольник, мы можем написать 𝐵𝐶+𝑀𝐶=𝑀𝐵.

Замена предоставленной длины 𝑀𝐶=9см и 𝑀𝐵=15см в это уравнение и решая выходы 𝐵𝐶+9=15𝐵𝐶=15−9=144𝐵𝐶=√144=12.

Это дает нам 𝐵𝐶=12см.

Далее найдем длину 𝑀𝐴. Напомним, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке контакт. На данной диаграмме ⃖⃗𝐴𝐵 является касательной к окружности, пересекающейся с радиусом 𝑀𝐵, поэтому угол ∠𝑀𝐵𝐴 должен быть прямым. Тогда мы можем применить пифагорейскую теорема к прямоугольному треугольнику 𝑀𝐵𝐴 написать 𝑀𝐵+𝐴𝐵=𝑀𝐴.

Нам дано 𝐴𝐵=20см и 𝑀𝐵=15 см, поэтому 15+20=𝑀𝐴𝑀𝐴=√15+20=25.

Это дает нам 𝑀𝐴=25см. Тогда по периметру фигуры 𝐴𝐵𝐶𝑀 𝑀𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝑀𝐶=25+20+12+9=66.cm

В предыдущих примерах мы применяли теорему о том, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке контакта, чтобы найти недостающие длины. Другое приложение этой теоремы касается соотношения между длинами двух касательных из одной точки.

Теорема: длины двух касательных из внешней точки

Для данной внешней точки к окружности длины двух касательных из этой точки к окружности равны.

Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим диаграмму, где 𝑀 — центр окружности, 𝐴 — внешняя точка, а 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 — две касательные к окружности с точками контакта 𝐵 и 𝐶.

Мы знаем, что касательные пересекаются ортогонально с радиусами, что говорит нам о ∠𝐴𝐶𝑀 и ∠𝐴𝐵𝑀 прямые углы, как показано на диаграмме. Длины 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 можно получить, используя теорему Пифагора о двух прямоугольных треугольниках △𝐴𝐶𝑀 и △𝐴𝐵𝑀: 𝐴𝐶+𝑀𝐶=𝐴𝑀,𝐴𝐵+𝑀𝐵=𝐴𝑀.

Поскольку правые части обоих уравнений одинаковы, мы можем приравнять левые части обоих уравнений, чтобы получить 𝐴𝐶+𝑀𝐶=𝐴𝐵+𝑀𝐵.

Мы также знаем, что стороны 𝑀𝐶 и 𝑀𝐵 имеют одинаковую длину, так как они являются радиусами одной окружности. Следовательно, члены 𝑀𝐶 и 𝑀𝐵 в приведенном выше уравнении нейтрализуют друг друга, что приводит к 𝐴𝐶=𝐴𝐵.

Это дает нам 𝐴𝐶=𝐴𝐵, что означает, что длины двух касательных 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 равны, как утверждается в теореме.

Рассмотрим пример, в котором мы используем эту теорему для нахождения недостающих длин в диаграмме, включающей две касательные к окружность из внешней точки.

Пример 3. Нахождение длин двух отрезков с использованием свойств касательных окружностей

Определить 𝐴𝑀 и 𝐴𝐵, округлив до сотых.

Ответ

На данной диаграмме 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 две касательные из внешней точки 𝐴 в окружность с центром в 𝑀. Напомним, что длины двух касательных из внешней точки к окружности равны. Следовательно, длины этих касательные должны быть равны. Поскольку нам дано 𝐴𝐶=10,73 см, мы также должны иметь 𝐴𝐵=10,73см.

Далее рассмотрим 𝐴𝑀. Напомним, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке контакт. На диаграмме 𝐴𝐵 является касательной к окружности с центром в 𝑀, а 𝑀𝐵 — радиус окружности. Следовательно, ∠𝐴𝐵𝑀 должен быть прямым углом. Это говорит нам о том, что △𝐴𝐵𝑀 — прямоугольный треугольник, где 𝐴𝑀 — гипотенуза этого прямоугольного треугольника. Используя теорему Пифагора, мы можем написать 𝐴𝐵+𝐵𝑀=𝐴𝑀.

Замена 𝐴𝐵=10,73см и 𝐵𝑀=6 см в это уравнение дает 10,73+6=𝐴𝑀𝐴𝑀=√10,73+6=12,2936….

Округляя до сотых, 𝐴𝑀 и 𝐴𝐵 12,29 см и 10,73 см соответственно.

В следующем примере мы идентифицируем неизвестные константы на диаграмме, включающей две окружности, имеющие общие касательные.

Пример 4. Определение длины касательной к окружности путем решения двух линейных уравнений

Две окружности с центрами в точках 𝑀 и 𝑁 касаются друг друга снаружи. ⃖⃗𝐹𝐴 является общей касательной к ним в точке 𝐴 и 𝐵 соответственно, а ⃖⃗𝐹𝐶 является общей касательной к ним в точке 𝐶 и 𝐷 соответственно. Учитывая, что 𝐴𝐵=11,01 см и 𝐶𝐷=(𝑦−11,01) см, найти 𝑥 и 𝑦.

Ответ

Напомним, что длины двух касательных из внешней точки к окружности равны. Для окружности с центром в 𝑁, строки ⃖⃗𝐹𝐴 и ⃖⃗𝐹𝐶 касаются этой окружности в точках 𝐵 и 𝐷 соответственно. Следовательно, мы должны иметь 𝐹𝐵=𝐹𝐷, что означает 𝐹𝐵=12,31 см. Мы можем написать 𝑥−2=12,31, 𝑥=14,31, что приводит к

Далее рассмотрим круг с центром в 𝑀. Строки ⃖⃗𝐹𝐴 и ⃖⃗𝐹𝐶 касаются этой окружности в точках 𝐴 и 𝐶 соответственно. Следовательно, мы должны иметь 𝐹𝐴=𝐹𝐶. Нам дано 𝐴𝐵=11,01 см, и мы знаем, что 𝐹𝐵=12,31 см, значит 𝐹𝐴=𝐹𝐵+𝐴𝐵=12,31+11,01=23,32 см

Поскольку 𝐹𝐴=𝐹𝐶, мы знаем, что 𝐹𝐶=23,32 см. Поскольку 𝐹𝐶=𝐹𝐷+𝐶𝐷, мы можем заменить известные длины, чтобы написать 23,32=12,31+𝐶𝐷.

Это приводит к 𝐶𝐷=23,32−12,31=11,01.см

Также известно, что 𝐶𝐷=(𝑦−11,01)см; мы можем написать 𝑦−11,01=11,01, 𝑦=22,02, что приводит к

Таким образом, имеем 𝑥=14,31, 𝑦=22,02.

В предыдущих двух примерах мы применили тот факт, что две касательные из одной и той же точки к окружности имеют одинаковую длину, чтобы найти недостающие длины. Это свойство двух касательных приводит к ряду интересных геометрических теорем. В частности, мы рассмотрим две теоремы, которые следуют из этого свойства.

Теорема: Биссектриса угла, образованного двумя касательными, и центрального угла, образованного двумя радиусами Пересечение с касательными

Линия, соединяющая внешнюю точку с окружностью и центром окружности, делит пополам угол, образованный две касательные из точки к окружности и центральный угол, образованный двумя радиусами, пересекающимися с касательные.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим следующую схему.

На диаграмме выше линии 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 являются двумя касательными от внешней точки 𝐴 до окружности с центром в 𝑀. Мы знаем, что касательная пересекается с радиусом перпендикулярно в точке касания, поэтому ∠𝐴𝐵𝑀 и ∠𝐴𝐶𝑀 прямые углы, как показано на схеме. Мы также знаем, что длины двух касательных, выходящих из одной внешние точки равны, что говорит нам 𝐴𝐵=𝐴𝐶, как указано. Наконец, мы знаем, что радиусы одной и той же окружности имеют равные длины; следовательно, 𝐵𝑀=𝐶𝑀, как указано.

Мы можем заключить, что △𝐴𝐵𝑀 и △𝐴𝐶𝑀 конгруэнтны, используя Критерий равенства сторона-угол-сторона. Это дает нам равенство соответствующих углов 𝑚∠𝐵𝑀𝐴=𝑚∠𝐶𝑀𝐴, значит, 𝑀𝐴 является биссектрисой ∠𝐵𝑀𝐶. Точно так же конгруэнтность этих треугольников также говорит нам 𝑚∠𝐵𝐴𝑀=𝑚∠𝐶𝐴𝑀, что говорит нам о том, что 𝑀𝐴 — это биссектриса ∠𝐵𝐴𝐶. Это доказывает приведенную выше теорему.

В следующем примере мы применим приведенную выше теорему вместе с двумя ранее введенными теоремами. найти меру угла.

Пример 5. Нахождение меры угла по свойствам касательных к окружности

Учитывая, что 𝑚∠𝑀𝐶𝐵=49∘, где 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 касаются окружности в 𝐵 и 𝐶 найдите 𝑚∠𝐵𝐴𝑀.

Ответ

Нам дано, что 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 касаются окружности в 𝐵 и 𝐶. Напомним, что две касательные, выходящие из одной точки к окружности, имеют одинаковую длину, что дает нам 𝐴𝐵=𝐴𝐶. Добавим на диаграмму указание на этот факт, а также на приведенный угол.

Напомним также, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. В частности, это означает, что угол ∠𝐴𝐶𝑀 прямой. Мы можем вычислить 𝑚∠𝐴𝐶𝐵=𝑚∠𝐴𝐶𝑀−𝑚∠𝑀𝐶𝐵=90−49=41.∘∘∘

На диаграмме выше видно, что △𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник потому что 𝐴𝐵=𝐴𝐶. Это значит, что 𝑚∠𝐴𝐵𝐶=𝑚∠𝐴𝐶𝐵=41.∘

Поскольку сумма внутренних углов треугольника составляет 180∘, мы можем написать 𝑚∠𝐵𝐴𝐶+𝑚∠𝐴𝐵𝐶+𝑚∠𝐴𝐶𝐵=180.∘

Подставляя два полученных угла, 𝑚∠𝐵𝐴𝐶+41+41=180.∘∘∘

Это приводит к 𝑚∠𝐵𝐴𝐶=98∘.

Наконец, чтобы получить 𝑚∠𝐵𝐴𝑀, нужно вспомнить, что линия, соединяющая внешнюю точку и центр окружности является биссектрисой угла между двумя касательными, исходящими из точки. Это означает 𝑚∠𝐵𝐴𝑀=12𝑚∠𝐵𝐴𝐶=12×98=49. ∘∘

Следовательно, 𝑚∠𝐵𝐴𝑀=49∘.

В предыдущем примере мы применили теорему, утверждающую, что линия, соединяющая центр окружности с внешней точка делит пополам угол, образованный двумя касательными из внешней точки, и центральный угол, образованный два радиуса до точек касания. Другое применение этой теоремы может привести к следующей теореме о перпендикулярных биссектрисах.

Теорема: Биссектриса перпендикуляра хорды, соединяющей точки касания двух исходящих касательных из внешней точки

Для данной внешней точки к окружности и двух касательных от этой точки к окружности линия, соединяющая внешнюю точка и центр окружности является серединным перпендикуляром хорды между точками контакта двух касательных.

Рассмотрим следующую диаграмму, где 𝑀 — центр круга, а ⃖⃗𝐴𝐵 и ⃖⃗𝐴𝐶 касательные в точках касания 𝐵 и 𝐶 соответственно.

Из предыдущей теоремы мы знаем, что 𝑀𝐴 — биссектриса угла ∠𝐵𝑀𝐶, что говорит нам о том, что 𝑚∠𝐵𝑀𝐷=𝑚∠𝐶𝑀𝐷 как указано на схеме. Мы также знаем, что 𝑀𝐵=𝑀𝐶, так как это радиусы одной и той же окружности. Кроме того, сторона 𝑀𝐷 является общей для двух треугольников 𝑀𝐷𝐵 и 𝑀𝐷𝐶. По критерию равенства сторон треугольники 𝑀𝐷𝐵 и 𝑀𝐷𝐶 равны.

В частности, это означает, что 𝐵𝐷=𝐶𝐷, что означает, что 𝐷 является серединой аккорд 𝐵𝐶. Кроме того, поскольку 𝑚∠𝐵𝐷𝑀=𝑚∠𝐶𝐷𝑀 и эти углы в сумме составляют 180∘, оба эти угла должны быть прямыми. Это означает, что 𝑀𝐴 делит хорду 𝐵𝐶 пополам перпендикулярно. Это доказывает теорему.

Обратимся теперь к применению касательных к окружности в задачах с многоугольниками.

Определение: вписанные окружности и многоугольники

Окружность вписана в многоугольник, если каждая сторона многоугольника является касательной к окружности.

Многоугольник вписан в окружность, если многоугольник лежит внутри окружности и все вершины многоугольника лежат на окружности.

В следующем примере мы найдем площадь треугольника, вписанного в круг с другим меньшим кругом, вписанным в треугольнике.

Пример 6. Нахождение площади треугольника по радиусам его описанной окружности и вписанной окружности

Показанные концентрические окружности имеют радиусы 16 см и 8 см. Найдите площадь треугольника с округлением до двух знаков после запятой.

Ответ

На данной диаграмме линии 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, и 𝐴𝐵 касаются меньшего круга. Напомним, что линия, соединяющая внешнюю точку а центр окружности — биссектриса угла между двумя касательными, исходящими из точки. Следовательно, линии 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 и 𝑀𝐶 являются биссектрисами углов ∠𝐶𝐴𝐵, ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝐵𝐶𝐴 соответственно. Добавляем эти линии на схему.

Напомним также, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. Таким образом, радиусы 𝑀𝑋, 𝑀𝑌 и 𝑀𝑍 меньшего круга пересекаются перпендикулярно касательным 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐶𝐴 соответственно. Теперь добавим эти линии на диаграмму.

На диаграмме выше наш треугольник 𝐴𝐵𝐶 разделен на шесть меньших прямоугольных треугольников. Мы утверждаем, что все шесть правильных треугольники равны.

Чтобы доказать сравнение, сначала рассмотрим углы. Поскольку мы знаем, что 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 и 𝑀𝐶 — биссектрисы угла ∠𝐶𝐴𝐵, ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝐵𝐶𝐴 мы знаем, что пара углов при каждой вершине 𝐴, 𝐵 и 𝐶 имеют одинаковую меру. Дополнительно отметим что 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 и 𝑀𝐶 – радиусы большей окружности; следовательно, они имеют одинаковую длину. Это говорит нам о том, что треугольники 𝑀𝐴𝐶, 𝑀𝐴𝐵 и 𝑀𝐵𝐶 равнобедренные, что означает, что пара углов, удаленных от центральной вершины 𝑀 в каждом из этих треугольников равны. Вместе это говорит нам о том, что все шесть меньших углов при вершинах 𝐴, 𝐵 и 𝐶 имеют одинаковую меру. Тогда каждый из шести меньших прямоугольных треугольников делит этот угол.

Поскольку сумма внутренних углов треугольника должна составлять 180∘, третьи углы (угол при центральной вершине 𝑀) шести прямоугольных треугольников также должен иметь одинаковую меру. Наконец, повторное использование факта что 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 и 𝑀𝐶 равны длин, все шесть меньших прямоугольных треугольников удовлетворяют критерию конгруэнтности угол-сторона-угол.

В частности, это означает, что площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 в шесть раз больше площади треугольника 𝐴𝑀𝑋, например. Найдем площадь прямоугольного треугольника 𝐴𝑀𝑋. Поскольку 𝑀𝑋 — это радиус меньшего круга, мы знаем, что 𝑀𝑋=8см. Мы должны найдите 𝐴𝑋, чтобы найти площадь этого треугольника. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, мы можем написать 𝐴𝑋+𝑀𝑋=𝐴𝑀.

Мы знаем, что 𝑀𝑋=8см и 𝐴𝑀 радиус большего круга; следовательно, 𝐴𝑀=16см. Подставляя эти значения, 𝐴𝑋+8=16𝐴𝑋=16−8=192𝐴𝑋=√192.см

Вспоминая, что площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, площадь треугольника 𝐴𝑀𝑋 это 12×𝐴𝑋×𝑀𝑋=12×√192×8=4√192.см

Умножив эту площадь на 6, получим площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, округленную до сотых; то есть, 6×4√192=24√192=332,55 см

Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.