Квадратное неравенство: Квадратные неравенства — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Квадратные неравенства, примеры, решения

В данном разделе мы собрали информацию о квадратных неравенствах и основных подходах к их решению. Закрепим материал разбором примеров.

Что представляет собой квадратное неравенство

Давайте посмотрим, как по виду записи различать неравенства различных видов и выделять среди них квадратные.

Определение 1

Квадратное неравенство – это такое неравенство, которое имеет вид a·x2+b·x+c<0, где a, b и c – некоторые числа, причем aне равно нулю. x – это переменная, а на месте знака < может стоять любой другой знак неравенства.

Вторым названием квадратных уравнений является название «неравенства второй степени». Объяснить наличие второго названия можно следующим образом. В левой части неравенства находится многочлен второй степени – квадратный трехчлен. Применение к квадратным неравенствам термина «квадратичные неравенства» некорректен, так как квадратичными являются функции, которые задаются уравнениями вида y=a·x2+b·x+c.

Приведем пример квадратного неравенства:

Пример 1

Возьмем 5·x2−3·x+1>0. В этом случае a=5, b=−3 и c=1.

Или вот такое неравенство:

Пример 2

−2,2·z2−0,5·z−11≤0, где a=−2,2, b=−0,5 и c=−11.

Покажем несколько примеров квадратных неравенств:

Пример 3

Здесь коэффициенты этого квадратного неравенства есть ; 123·x2-x+57<0, в этом случае a=123, b=-1, c=57.

Особое внимание нужно обратить на тот факт, что коэффициент при x2 считается неравным нулю. Объясняется это тем, что иначе мы получим линейное неравенство вида b·x+c>0, так как квадратная переменная при умножении на ноль сама станет равной нулю. При этом, коэффициенты b и c могут быть равны нулю как вместе, так и по отдельности.

Пример 4

Пример такого неравенства x2−5≥0.

Способы решения квадратных неравенств

Основным метода три:

Определение 2

графический;
метод интервалов;
через выделение квадрата двучлена в левой части.

Графический метод

Метод предполагает проведение построения и анализа графика квадратичной функции y=a·x2+b·x+c для квадратных неравенств a·x2+b·x+c<0 (≤, >, ≥). Решением квадратного неравенства являются промежутки или интервалы, на которых указанная функция принимает положительные и отрицательные значения.

Метод интервалов

Решить квадратное неравенство с одной переменной можно методом интервалов. Метод применим для решения любого вида неравенств, не только квадратных. Суть метода в том, чтобы определить знаки промежутков, на которые разбивается ось координат нулями трехчлена a·x2+b·x+c при их наличии.

Для неравенства a·x2+b·x+c<0 решениями являются промежутки со знаком минус, для неравенства a·x2+b·x+c>0, промежутки со знаком плюс. Если мы имеем дело с нестрогими неравенствами, то решением становится интервал, который включает точки, которые соответствуют нулям трехчлена.

Выделение квадрата двучлена

Принцип выделения квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства состоит в выполнении равносильных преобразований, которые позволяют перейти к решению равносильного неравенства вида (x−p)2<q (≤, >, ≥), где p и q – некоторые числа.

Неравенства, сводящиеся к квадратным

К квадратным неравенствам с помощью равносильных преобразований можно прийти от неравенств других видов. Сделать это можно разными способами. Например, перестановкой в данном неравенства слагаемых или переносом слагаемых из одной части в другую.

Приведем пример. Рассмотрим равносильное преобразование неравенства 5≤2·x−3·x2. Если мы перенесем все слагаемые из правой части в левую, то получим квадратное неравенство вида 3·x2−2·x+5≤0.

Пример 5

Необходимо найти множество решений неравенства 3·(x−1)·(x+1)<(x−2)2+x2+5.

Решение

Для решения задачи используем формулы сокращенного умножения. Для этого соберем все слагаемые в левой части неравенства, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

3·(x−1)·(x+1)−(x−2)2−x2−5<0, 3·(x2−1)−(x2−4·x+4)−x2−5<0, 3·x2−3−x2+4·x−4−x2−5<0, x2+4·x−12<0.

Мы получили равносильное квадратное неравенство, которое можно решить графическим способом, определив дискриминант и точки пересечения.

D’=22−1·(−12)=16, x1=−6, x2=2

Построив график, мы можем увидеть, что множеством решений является интервал (−6, 2).

Ответ: (−6, 2).

Примером неравенств, которые часто сводятся к квадратным, могут служить иррациональные и логарифмические неравенства. Так, например, неравенство 2·x2+5<x2+6·x+14

равносильно квадратному неравенству x2−6·x−9<0, а логарифмическое неравенство log3(x2+x+7)≥2 – неравенству x2+x−2≥0.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Квадратичные неравенства — подготовка к ЕГЭ по Математике

Покажем, как с помощью графика функции y = ax² + bx + c решать квадратные неравенства.

Квадратичная функция, или парабола, — это функция вида

Вспомним свойства этой функции:

Координаты вершины параболы:

Если , ветви вверх

Если , ветви вниз

Точки пересечения с осью X: и

где и — корни квадратного уравнения

Точка пересечения с осью Y: М (0; с).

Вспомним также, как выражение раскладывается на множители.

где и — корни квадратного уравнения

1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство

x² < 400

Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.

Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? 🙂

Давайте решим это неравенство с помощью графика. Изобразим схематично график функции y = x² и отметим все значения x, для которых y < 400.

Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).

Запомним: извлекать корень из неравенства нельзя. Такого действия просто нет.

2. Следующее неравенство:

Переносим всё в левую часть неравенства. Раскладываем левую часть на множители.

Рисуем ось X. Рисуем параболу с ветвями вверх.

Эта парабола пересекает ось X в точках — 4 и 4. Отмечаем знаки выражения в левой части на каждом интервале.

Записываем ответ:

3. Решим неравенство: x² − 3x − 10 ≥ 0.

Графиком функции y = x² − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x

2 − 3x − 10 = 0, находим x₁ = −2 и x₂ = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:

Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при .

Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!

4. Ещё одно неравенство: x² + 2x + 4 > 0.

Ветви параболы y = x² + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x² + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.

Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.

Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.

Ответ: .

Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.

5. Следующее квадратичное неравенство:

Разложим его левую часть на множители.

Получим:

И больше ничего не пишем. Рисуем ось X. Рисуем параболу с ветвями вверх.

Эта парабола пересекает ось X в точках 1 и 5. Отмечаем знаки выражения в левой части на каждом интервале.

Записываем ответ:

6. Еще неравенство:

Квадратное уравнение не имеет решений — его дискриминант отрицателен. Это значит, что парабола нигде не пересекает ось X. Ветви этой параболы направлены вверх. Все значения функции положительны. Неравенство выполняется для всех действительных X.

Соберем в одну таблицу примеры решения различных квадратичных неравенств.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Квадратичные неравенства» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08. 05.2023

Свойства неравенств

Неравенство говорит нам о относительном размере двух значений.

(Возможно, сначала вы захотите прочитать небольшое введение в неравенства)

4 неравенства

Символ	Слова	Пример
>	больше	х+3 > 2
<	меньше	7x < 28
≥	больше или равно	5 ≥ x−1
≤	меньше или равно	2 года+1 ≤ 7

Символ «указывает» на меньшее значение

Свойства

Неравенства имеют свойства. .. все со специальными именами!

Здесь мы перечисляем каждый с примерами.

Примечание: значения a , b и c , которые мы используем ниже, являются действительными числами.

Переходное свойство

Соединяя неравенства по порядку, мы можем «перепрыгнуть» среднее неравенство.

Если a < b и b < c, то a < c

Аналогично:

Если a > b и b > c, то a > c

Пример:

Если Алекс старше Билли и
Билли старше Кэрол,

тогда Алекс тоже должен быть старше Кэрол!

Реверсивное свойство

Мы можем поменять местами на и на , если убедимся, что символ по-прежнему «указывает» на меньшее значение.

Если a > b, то b < a
Если а < b, то b > а

Пример: Алекс старше Билли, поэтому Билли моложе Алекса

Закон трихотомии

«Закон трихотомии» гласит, что верно только одно из следующего:

Логично, правда? a должно быть либо на меньше, чем b , либо равно b , либо на больше, чем b . Это должен быть один из тех, и только один из них.

Пример: У Алекса больше денег, чем у Билли

Мы могли бы записать это так:

a > b

Итак, мы также знаем, что:

Алекс действительно не имеет меньше денег, чем Билли (не a
Алекс имеет , а не ту же сумму денег, что и Билли (не a=b)

(Конечно!)

Сложение и вычитание

Добавление c к обеим частям неравенства всего сдвигает все по , а неравенство остается прежним.

Если a < b, то a + c < b + c

Пример: У Алекса меньше денег, чем у Билли.

Если и Алекс, и Билли получат на 3 доллара больше, то у Алекса все равно будет меньше денег, чем у Билли.

Аналогично:

Если a < b, то a − c < b − c
Если a > b, то a + c > b + c, и
Если a > b, то a − c > b − c

Таким образом, добавление (или вычитание) одного и того же значения к a и b не изменит неравенство

Умножение и деление

Когда мы умножаем a и b на положительное число , неравенство остается тем же .

Но когда мы умножаем a и b на отрицательное число , неравенство заменяет !

Обратите внимание, что a становится b после умножения на (-2)
Но неравенство остается тем же при умножении на +3

Вот правила:

Если a < b и c положительно , то ac < bc
Если a < b и c отрицательно , то ac > bc (неравенство меняется местами!)

«Положительный» пример:

Пример: 3 балла Алекса на меньше, чем баллов Билли 7.

a < b

Если и Алекс, и Билли сумеют набрать удвоить своих баллов (×2), балл Алекса все равно будет ниже балла Билли .

2а < 2б

Но при умножении на минус происходит обратное:

Но если количество очков станет минус , то Алекс потеряет 3 очков, а Билли теряет 7 очков

Итак, теперь Алекс сделал лучше , чем Билли!

−а > −b

Почему при умножении на минус знак меняется на противоположный?
Ну, вы только посмотрите на числовой ряд!
Например, от -3 до -7 это уменьшение , а от 3 до 7 увеличение .
Обратите внимание, что −7 < −3
но+7 > +3
Таким образом, знак неравенства меняется на противоположный (от < к >)
Добавка, обратная
Как мы только что видели, постановка минусов перед a и b меняет направление неравенства. Это называется «Аддитивная инверсия»:
Если a < b, то -a > -b
Если a > b, то −a < −b
Это действительно то же самое, что и умножение на (-1), и именно поэтому оно меняет направление.
Пример: У Алекса больше денег, чем у Билли, поэтому Алекс впереди.
Но новый закон гласит, что «все ваши деньги теперь являются долгом , который вы должны погасить тяжелым трудом»
Так что теперь Алексу хуже, чем Билли.
Мультипликативный инверсный
Взятие обратной величины (1/значение) для a и b может изменить направление неравенства.
Когда a и b равны , оба положительные или , оба отрицательные :
Если a < b, то 1/a > 1/b
Если a > b, то 1/a < 1/b
Пример: Алекс и Билли проехали 12 километров.
Алекс бежит со скоростью 6 км/ч , а Билли идет со скоростью 4 км/ч .
Скорость Алекса больше скорости Билли
6 > 4
Но время Алекса меньше времени Билли:
12/6 < 12/4
2 часа < 3 часа
Но когда a или b отрицательно (не оба) направление остается прежним:
Если a < b, то 1/a < 1/b
Если a > b, то 1/a > 1/b
Пример: a = +7 и b = −3
a > b, и одно из них отрицательное, поэтому:
1 +7 > 1 −3
1 7 > − 1 90 409 3
Неотрицательное свойство квадратов
Квадрат числа больше или равен нулю:
а ² ≥ 0
Пример:
(3) ² = 9
(−3) ² = 9
(0) ² = 0
Всегда больше (или равно) нулю
Свойство квадратного корня
Извлечение квадратного корня не изменит неравенство (но только когда и a, и b больше или равны нулю) .
Если a ≤ b, то √a ≤ √b
(для a,b ≥ 0)
Пример: a=4, b=9
4 ≤ 9, поэтому √4 ≤ √9

2064, 2065, 2066, 2067, 445, 446, 2320, 2321, 2322, 2323
Решение неравенств с использованием квадратных корней (видео и практика)
TranscriptPractice
Привет и добро пожаловать в это видео на Решение неравенств с использованием квадратных корней .
При решении неравенств с квадратными корнями нам нужно выполнить два простых шага. Первый шаг — решить неравенство для x так же, как и любое другое неравенство. В этом шаге нет ничего особенного. Но второй шаг уникален для неравенств с четными корнями. Сегодня мы рассмотрим именно квадратные корни. Второй шаг — установить все, что находится под радикальным символом, больше или равное нулю, и снова найти x . Мы делаем это, потому что у вас не может быть отрицательного значения x под квадратный корень. Другими словами, вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Это даст нам два неравенства, которые мы затем объединим, чтобы составить составное неравенство, если знаки противоположны. Если знаки совпадают, используем более ограничительное неравенство.
Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, о чем я говорю.
\(\sqrt{x+3}\)>\(4\)

Во-первых, мы хотим нормально решить это неравенство для x . Мы делаем это, следуя тем же шагам, как если бы решали уравнение, а не неравенство.
Начнем с возведения в квадрат обеих сторон.
\(x+3\)>\(16\)

И затем мы вычтем 3 с обеих сторон.
\(x\)>\(13\)

Это дает нам x больше 13.
Теперь пришло время для нашего специального шага. Мы хотим установить то, что находится под радикальным символом, больше или равно 0 и снова найти x .
Итак, x плюс 3 находится под подкоренным символом.
Итак, поставим x плюс 3 больше или равно 0
\(x+3\)≥\(0\)

Итак, теперь мы собираемся вычесть 3 из обеих частей.
\(x\)≥\(-3\)

Что дает нам x больше или равно отрицательному числу 3. один как наш окончательный ответ. \(x\)>\(13\) является более ограничительным, чем \(x\)≥\(-3\), потому что, согласно второму неравенству, 0 может быть включено, поскольку оно больше или равно -3, но это не совсем наш набор решений, потому что он не больше 13. Поэтому мы хотим рассматривать только значения x больше 13.
Давайте попробуем другой.
Найти x .
\(\sqrt{2x-5}+7\)
Начнем с вычитания 7 с обеих сторон.
\(\sqrt{2x-5}\)
Затем возводим обе стороны в квадрат.
\(2x-5\)
Прибавьте 5 к обеим сторонам
\(2x\)
И разделите на 2 с обеих сторон.
\(x\)
Далее мы установим \(2x–5\) больше или равным 0 и найдем x снова.
\(2x-5\)≥\(0\)

Итак, мы собираемся добавить 5 к обеим сторонам.
\(2x\)≥\(5\)

И разделите на 2 с обеих сторон.
\(x\)≥\(\frac{5}{2}\)

В этом примере наши знаки неравенства направлены в противоположные стороны, поэтому мы хотим объединить их, чтобы получить составное неравенство. Наш окончательный ответ: \(\frac{5}{2}\)≤\(x\)
Давайте попробуем вместе еще один пример.

\(\sqrt{-3x+1}-9\)≥\(11\)

Решите для x обычным способом.
\(\sqrt{-3x+1}\)≥\(20\)

\(-3x+1\)≥\(400\)

\(-3x\)≥\(399\)

\(x\)≤\(-133\)

Затем решите так, чтобы то, что находится под радикалом, не было отрицательным.
\(-3x+1\)≥\(0\)

\(-3x\)≥\(-1\)

\(x\)≤\(\frac{1}{3}\ )

Так как знаки в одном направлении, мы выбираем более ограничительный случай в качестве нашего окончательного ответа: \(x\)≤\(-133\).
Прежде чем мы пойдем, я хочу решить еще одну задачу, но на этот раз попробуй ее сам. Как только я дам вам задачу, остановите видео и решите неравенство самостоятельно. Затем нажмите кнопку воспроизведения и посмотрите, совпадает ли ваш ответ с моим.
\(\sqrt{4x+4}+11\)
Думаете, у вас получилось? Давайте посмотрим!
Во-первых, мы хотим нормально решить наше неравенство.
\(\sqrt{4x+4}\)
\(4x+4\)
\(4x\)
\(x\)
Затем мы устанавливаем то, что под радикалом больше или равно 0, и решаем для x снова.
\(4x+4\)≥\(0\)

\(4x\)≥\(-4\)

\(x\)≥\(-1\)

Так как наши знаки находятся в противоположных направлениях, наше окончательное неравенство будет составным неравенством: \(-1\)≤\(x\)
Помните, что мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного значения, поэтому мы помещаем выражение под радикалом, чтобы оно было больше или равно 0. Это верно для любого четного корня, такого как корень четвертой или восьмой степени. Однако вполне нормально брать нечетный корень из отрицательного значения. Например, кубический корень из -8 равен -2, потому что \(-2 \times -2 \times -2 = -8\).

Если вас попросят решить неравенство с другим четным корнем, выполните те же действия, что и здесь. Если это нечетный корень, вам не нужно беспокоиться о втором шаге, и вы можете остановиться после первоначального решения неравенства.

Надеюсь, это видео о решении неравенств с квадратными корнями было полезным. Спасибо за просмотр и удачной учебы!
Вопрос №1:

Решите это неравенство для x .
\(\sqrt{x-5}\)
\(x\)
\(x≥5\)
\(-5≤x\)
\(5≤x\)
Показать Ответ
Ответ:
При решении неравенства мы выполняем те же действия, что и при решении уравнения. Поскольку значение под радикалом не может быть равно нулю, мы должны добавить дополнительный шаг, установив то, что находится под радикалом, больше или равное нулю, и решить для 92\) \(x-5\) \(x\)
\(x-5≥0\)
\(x≥5\)

Поскольку знаки противоположны, наш ответ будет составным неравенством \ (5≤x\)
Скрыть ответ
Вопрос №2:

Решите это неравенство для x .
\(\sqrt{3x+9}>12\)
\(x≥-3\)
\(x>45\)
\(-3≤x\)
\(3≤x \)
Показать ответ
Ответ:
При решении неравенства используем те же действия, что и при решении уравнения. Поскольку у нас не может быть нуля под радикалом, у нас есть дополнительный шаг, чтобы гарантировать, что наш набор решений не включает никакого значения для 92\)
\(3x+9>144\)
\(3x>135\)
\(x>45\)
\(3x+9≥0\)
\(3x≥-9\)
\(x≥-3\)
Поскольку знаки расположены в одном направлении, мы выбираем более строгий ответ, то есть \(x>45\).
Скрыть ответ
Вопрос №3:

Решите это неравенство для x .
\(\sqrt{5x-1}-2\)
\(x≥\frac{1}{5}\)
\(x\)
\(-\frac{1}{5} ≤x\)
\(\frac{1}{5}≤x\) 92\) \(5x-1\) \(5x\) \(x\)
\(5x-1≥0\)
\(5x≥1\)
\(x≥\frac{1}{5 }\)

Так как знаки противоположны, то наш ответ будет в виде составного неравенства \(\frac{1}{5}≤x\)
Скрыть ответ
Вопрос # 4:

Решите это неравенство для x .
No related posts.