Найти матрицу методом гаусса онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

6. Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Найти определитель исходной матрицы. Если = 0, то матрица А – вырожденная и обратная ей матрица не существует. Если , то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Найти матрицу , транспонированную к матрице А.

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы , , и составить из них присоединенную матрицу : , , .

4. Вычислить обратную матрицу по формуле: .

5. Проверить правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса:

1) к матрице А приписать справа единичную матрицу Е той же размерности;

2) путем преобразований методом Гаусса над строками расширенной матрицы (А | E) матрица А приводится к единичной матрице;

3) в результате вычислительного процесса на месте приписанной справа матрицы Е получится обратная матрица .

Схематично процесс нахождения обратной матрицы выглядит следующим образом: (А | E) (E | ).

Пример 3. Найти обратную матрицу методом Гаусса для .

Решение.

1.Составим расширенную матрицу .

2. Элементы первой строки умножим на (- 3) прибавим соответственно к элементам второй строки, получим . Затем элементы второй строки прибавим соответственно к элементам первой строки, получим . При выполнении следующего преобразования элементы второй строки умножим на (-1/2). В результате получим матрицу .

3. Итак, обратная матрица имеет вид .

Лекция 2

Контрольные вопросы:

1. Определение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Метод Крамера.

3. Метод Гаусса.

4. Метод обратной матрицы.

1. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид

(4)

где — коэффициенты системы, — свободные члены . Определитель третьего порядка Δ, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

2. Если Δ ≠ 0, то единственное решение системы (4) выражается формулами Крамера:

, (5)

где — определители третьего порядка, получаемые из определителя системы Δ заменой первого, второго или третьего столбца соответственно столбцом свободных членов .

Систему (4) можно записать в матричной форме: , где

.

Тогда ее решение имеет вид

, (6)

если определитель матрицы А отличен от нуля.

3. Одним из наиболее универсальных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Процесс решения методом Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду (в частности, к треугольному) виду.

Для исходной системы т алгебраических уравнений п неизвестными

система в ступенчатом виде может быть представлена следующим образом:

где , , . Коэффициенты называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) происходит последовательное нахождение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Рассмотрим данный метод на примере решения системы (4). Будем считать, что элемент (иначе первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при ). Используя элементарные преобразования системы (4), исключим неизвестное во всех уравнениях, кроме первого. Для этого умножим обе части первого уравнения на и прибавим соответственно ко второму уравнению системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и прибавим соответственно к третьему уравнению системы. Получим эквивалентную систему

Здесь , ( ) – новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после выполнения первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом , исключим неизвестное из третьего уравнения системы. На этом шаге выполнение прямого хода заканчивается.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. В последнем уравнении выражаем и подставляем во второе уравнение найденное значение. Из второго уравнения находим и подставляем значения и в первое уравнение, из которого находим значение .

Замечание. На практике удобно работать не с системой (4), а с расширенной матрицей этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками.

4. Метод обратной матрицы решения систем алгебраических уравнений заключается в нахождении обратной матрицы по одному из алгоритмов, представленных в п.4, и использовании формулы

для нахождения решения системы.

Замечание. Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е.

r < n, (7)

то система имеет бесконечное множество решений. Свободные n—r неизвестных выбираются произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.

Пример 4. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений

(8)

Решение.

Вычислим определитель системы

.

Так как Δ ≠ 0, то решение системы может быть найдено по формулам Крамера (5). Для этого найдем :

.

Подставляя найденные значения определителей в формулы (5), получим искомое решение системы: .

Пример 5. Найти решение системы примера 4 с помощью обратной матрицы.

Решение.

Здесь

.

Так как определитель матрицы системы отличен от нуля: |A|=-26, то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы . Транспонированная матрица имеет вид:

.

Согласно формуле (3), матрица , обратная к матрице _{А имеет вид}

.

Проверим правильность вычисления _{, исходя из определения обратной матрицы (2) и используя формулу (1):}

Матричное решение системы (8) в силу формулы (6) имеет вид

,

откуда следует (из условия равенства двух матриц), что .

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Здесь

.

Расширенная матрица системы имеет вид

.

Выполним прямой ход метода Гаусса.

Шаг 1. Для удобства вычислений поменяем местами первую и вторую строки:

.

Так как , то умножая первую строку на (-2) и на (-1) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй и третьей строкам, исключим переменную из всех строк, начиная со второй:

.

Шаг 2. Так как , то умножим вторую строку на (-3/5) и прибавим к третьей, таки образом исключим переменную из третьей строки:

.

Получили систему уравнений, соответствующую последней матрице:

откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из третьего уравнения ; из второго уравнения найдем ; из первого уравнения .

Ответ: (3; -5; 2).

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Здесь

.

Расширенная матрица системы имеет вид

.

Выполним прямой ход метода Гаусса. Для этого произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:

̴ ̴ ̴

Полученная матрица соответствует системе

Выполним обратный ход метода Гаусса, найдем значения неизвестных: , , .

Ответ: (1; 1; 1).

Лекция 3

Как решить систему линейных уравнений методом Гаусса: принцип, пример

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Метод Гаусса для решения СЛАУ

В данной публикации мы рассмотрим, что такое метод Гаусса, зачем он нужен, и в чем заключается его принцип. Также мы на практическом примере продемонстрируем, как метод можно применить для решения системы линейных уравнений.

• Описание метода Гаусса
• Принцип метода Гаусса
• Пример решения СЛАУ

Описание метода Гаусса

Метод Гаусса – классический способ последовательного исключения переменных, применяемый для решения системы линейных уравнений. Назван так в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777 – 1885).

Но для начала напомним, что СЛАУ может:

• иметь одно единственное решение;
• иметь бесконечное множество решений;
• быть несовместной, т.е. не иметь решений.

Практическая польза

Метод Гаусса – отличный способ решить СЛАУ, которая включает более трех линейных уравнений, а также систем, не являющихся квадратными.

Принцип метода Гаусса

Метод включает следующие этапы:

1. прямой – расширенная матрица, соответствующая системе уравнений, путем элементарных преобразований над строками приводится к верхнему треугольному (ступенчатому) виду, т.е. под главной диагональю должны находиться только элементы, равные нулю.
2. обратный – в полученной матрице элементы над главной диагональю также обнуляются (нижний треугольный вид).

Пример решения СЛАУ

Давайте решим систему линейных уравнение ниже, воспользовавшись методом Гаусса.

Решение

1. Для начала представим СЛАУ в виде расширенной матрицы.

2. Теперь наша задача – это обнулить все элементы под главной диагональю. Дальнейшие действия зависят от конкретной матрицы, ниже мы опишем те, что применимы к нашему случаю. Сначала поменяем строки местами, таким образом расположив их первые элементы в порядке возрастания.

3. Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – утроенную первую.

4. Прибавим к третьей строке вторую.

5. Отнимем из первой строки вторую, и одновременно с этим действием разделим третью строку на -10.

6. Первый этап завершен. Теперь нам нужно получить нулевые элементы над главной диагональю. Для этого из первой строки вычтем третью, умноженную на 7, а ко второй прибавим третью, умноженную на 5.

7. Финальная расширенная матрица выглядит следующим образом:

8. Ей соответствует система уравнений:

Ответ: корни СЛАУ: x = 2, y = 3, z = 1.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

найти базис для пространства 2 2 нижних треугольных матриц chegg

AlleBilderVideosBücherMapsNewsShopping

suchoptionen

Найти базис для пространства 2×2 нижних треугольных матриц — Chegg

9000 9

www. chegg.com › вопросы и ответы › find-bas…

Найти базис пространства нижних треугольных матриц 2×2: Задача решена! Вы получите подробное решение от эксперта в предметной области, который …

Решено Найдите основу для пространства 2×22×2 ниже | Чегг.com

www.chegg.com › вопросы и ответы › найти-баз…

Найти базис пространства нижних треугольных матриц 2×22×2. Эта проблема решена! Вы получите подробное решение по теме …

Решено (1 балл) Найдите основу для пространства 2 х 2 ниже | Chegg.com

www.chegg.com › вопросы и ответы › 1-балл-…

Вопрос: (1 балл) Найдите базис пространства нижних треугольных матриц 2 x 2. Основа = (1 балл) Найдите основу для пространства 2 х 2 нижнего треугольника.

Решено (1 балл) Найдите размеры следующего линейного — Chegg

www.chegg.com › вопросы и ответы › 1-точка-…

Введите многочлен или список разделенных запятыми многочлены. (1 балл) Найдите базис пространства нижних треугольных матриц 2 x 2. Основание { НО.

Найдите базис пространства нижних треугольных матриц 2×2.

www.storyofmathematics.com › поиск основы для…

Bewertung 5,0

(16)

28.11.2022 · Следовательно, окончательный ответ состоит в том, что базисным пространством для нижних треугольных матриц является X . Размерность этого базисного пространства равна 3, потому что оно имеет базис …

[PDF] Глава вторая — Векторные пространства — Линейная алгебра

web.cortland.edu › jubrani

Первая глава началась с введения метода Гаусса и закончил с хорошим пониманием, основанным на лемме о линейных комбинациях, того, как он находит.

[PDF] Выпускной экзамен по математике 340 19 декабря, 2002 1. (10) Найти базис для …

www.math.umd.edu › ~hck

19.12.2002 · 1. (10) Найти базис для векторного пространства нижнего треугольника 2 × 2 матрицы. Какова размерность этого векторного пространства? Основой является (.

Список доступных предметов — Chegg India

www.