Математический анализ. (Виленкин)
Математический анализ. (Виленкин)
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯВВЕДЕНИЕ 2. Числовые множества. 3. Пустое множество. 4. Подмножество. 5. Пересечение множеств. 6. Сложение множеств. 7. Разбиение множеств.  8. Вычитание множеств. 9. Отображение множеств. 10. Краткие исторические сведения. Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. Тождественные преобразования многочленов 2. Целые рациональные выражения и функции. 3. Степень с натуральным показателем и ее свойства. 4. Многочлены. 5. Умножение многочленов. 6. Числовые кольца и поля. 7. Кольцо многочленов над данным числовым полем. 8. Бином Ньютона. § 2. Деление многочленов. Корни многочленов 2. Теорема Безу. Схема Горнера. 3. Корни многочлена. 4. Интерполяционные формулы. 5. Кратные корни. 6. Многочлены второй степени. 7. Многочлены с целыми коэффициентами. 8. Краткие исторические сведения. Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА § 1. Общая теория уравнений 2. Область допустимых значений. 3. Уравнения. 4. Совокупности уравнений. 5. Преобразования уравнений. 6. Теоремы о равносильности уравнений. § 2. Уравнения с одним неизвестным 2.  Метод разложения на множители.3. Метод введения нового неизвестного. 4. Биквадратные уравнения. 5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней. § 3. Функциональные неравенства 2. Равносильные неравенства. 3. Доказательство неравенств. 4. Линейные неравенства. 5. Решение неравенств второй степени. 6. Решение алгебраических неравенств высших степеней. 7. Краткие исторические сведения. Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 1. Степени с целым показателем 2. Степень с нулевым показателем. 3. Степень с целым отрицательным показателем. § 2. Корни. Степени с рациональными показателями 2. Степени с рациональными показателями. 3. Свойства степеней с рациональными показателями. § 3. Иррациональные алгебраические выражения 2. Одночленные иррациональные выражения. 3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю. 5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень.  6. Возведение корня в степень. 7. Извлечение корня из корня. 8. Подобные корни. 9. Сложение и вычитание корней. 10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби. 11. Преобразование выражений вида … 12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений. § 4. Иррациональные уравнения и неравенства 2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным. 3. Уединение радикала. 4. Введение нового неизвестного. 5. Особые случаи решения иррациональных уравнений. 6. Иррациональные неравенства. 7. Краткие историчесие сведения. Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 1. Системы алгебраических уравнений 2. Системы уравнений. 3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными. 4. Совокупность уравнений. 5. Равносильные системы уравнений. 6. Метод подстановки. 7. Метод алгебраического сложения уравнений.  8. Метод введения новых неизвестных. 9. Системы однородных уравнений. 10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными. § 2. Системы линейных уравнений 2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений. 3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса. 4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду). 5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений. 6. Системы однородных линейных уравнений. § 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений 3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных. 4. Системы симметрических алгебраических уравнений. 5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений. § 4. Неравенства с многими переменными 2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел. 3. Неравенство Коши (двумерный вариант). 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.  § 5. Решение неравенств 2. Неравенства с двумя переменными. 3. Задание областей неравенствами и системами неравенств. 4. Понятие о линейном программировании. 5. Краткие исторические сведения. Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Комплексные числа в алгебраической форме 2. Комплексные числа. 3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа. 4. Умножение комплексных чисел. 5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами. 6. Деление комплексных чисел. 7. Сопряженные комплексные числа. 8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел 2. Полярная система координат. 3. Тригонометрическая форма комплексного числа. 4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. 5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра. 6. Извлечение корня из комплексного числа. 7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.  § 3. Некоторые виды алгебраических уравнений 2. Двучленные уравнения. 3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников. 4. Трехчленные уравнения. § 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия 3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами. 4. Краткие исторические сведения. Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ § 1. Конечные цепные дроби 2. Пример цепной дроби. 3. Определение цепной дроби. 4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби. 5. Подходящие дроби. 6. Свойства подходящих дробей. 8. Подходящие дроби и календарь. 9. Приближение цепной дроби подходящими дробями. § 2. Бесконечные цепные дроби 2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными. 3. Цепные дроби как вычислительный инструмент. 4. Краткие исторические сведения. Глава VII. КОМБИНАТОРИКА § 1. Комбинаторные задачи § 2.  Комбинаторные задачи. Продолжение§ 3. Определения и формулы § 4. Соединения с повторениями § 5. Комбинаторные задачи. Окончание § 6. Бином Ньютона и его обобщения § 7. Краткие исторические сведения Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ § 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности § 3. Примеры вычисления вероятностей § 4. Полная вероятность. Формула Байеса § 5. Повторение испытаний § 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание § 7. Краткие исторические сведения |
1.12. Извлечение квадратного корня из комплексного числа
Извлечение корня из комплексного числа можно осуществить, не обращаясь к тригонометрической форме. Выведем алгебраическую формулу для выполнения этого действия.
Пусть . Интересен случай, поэтому рассмотрим только его. Тогда. Это равносильно системе уравнений:
(1.
Эта задача имеет вещественные решения, так как всегда существует квадратный корень из комплексного числа. Из второго уравнения системы , подставляя которое в первое уравнение системы (1.12), получаем биквадратное уравнение относительно неизвестного. Его решениями являются, поэтому. Для любого вещественного числаtсуществует функция, которая задается следующим образом:
(1.13)
С учетом введенной функции получаем формулу для нахождения квадратного корня из комплексного числа:
. (1.14)
П р и м е р. Найти корни уравнения.
Решение.Корни уравненияравны. Пусть=. Относительно неизвестныхиимеем систему уравнений
Из второго уравнения
этой системы
,
поэтому относительно неизвестногополучаем уравнение,
или.
Учитывая, чтовещественное число,
находим,
т.
1.13. Показательная форма комплексного числа
В различных разделах современной математики, а также ее приложениях применяется показательная форма комплексного числа. В основе показательной формы лежит формула Эйлера, устанавливающая связь между тригонометрическими функциями действительного аргумента и показательной функцией мнимого аргумента.
Первая формула Эйлера (без вывода):
, (1.15) где е – иррациональное число, принятое за основание натуральных логарифмов (е 2,718).
Если в формуле произвести замену по формуле (1.15), то получим. Это и есть показательная форма комплексного числа. В этой записи− модуль комплексного числа,− его аргумент. Заменим в формуле (1.15)на -, получим вторую формулу Эйлера:
.
(1.
16)
Из формул (1.15) и (1.16) следует, что
, . (1.17)
Равенства (1.17) также называются формулами Эйлера и выражают тригонометрические функции действительного переменного через показательные функции мнимого аргумента. Формулы (1.17) справедливы и тогда, когдазаменяется любым комплексным числом, т. е.,. Эти равенства принимают за определение косинуса и синуса комплексного аргумента.
Тригонометрические функции комплексного переменного также периодичны, причем период . Покажем это для функции. Действительно,====, так как по формулам Эйлера,. Примечательно, что все формулы обычной тригонометрии сохраняют свою силу в комплексной плоскости, например,. Однако в отличие от действительных чисел могут иметь место неравенстваи. Например,
.
Многочлены
Многочлен от одной переменной.
Действия
ДействияНад многочленами. Корни многочленов. Теорема Безу
Определение.Одночленом от переменнойс коэффициентом из множестваАназывается выражение вида, где,− целое неотрицательное число.
Считается, что , поэтому все элементы множестваАявляются одночленами частного вида.
Определение.Одночлены называются подобными, если показатели степениодинаковы.
Подобные одночлены складываются по правилу , которое называетсяправилом приведения подобных членов. Для одночленов определяется и действие умножения.
Определение.Многочленомn-й степени от неизвестногохназывается сумма целых неотрицательных степеней, не превышающихп, неизвестногох, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, т. е. выражение вида
,
(2.
1)
причем .
В многочлене порядок слагаемых безразличен, и подобные одночлены можно соединять по правилу приведения подобных членов. Запись (2.1) называется канонической формоймногочлена. Иногда удобно записывать многочлены в порядке возрастания показателей. Многочлены обозначаются,,и т. д.
Пусть , причем. Одночленназываетсявысшим (старшим) членоммногочлена, а показатель−степеньюмногочленаи обозначается. Нулевой многочлен не имеет высшего члена в смысле данного определения и считается, что он равен 0. Степень нулевого многочлена считается равной символу.
Определение.Два многочлена называются равными (или тождественно равными), если они составлены в канонической записи из одинаковых одночленов, т.е.в том и только в том случае, если,.
Иными словами, в
равных многочленах равны коэффициенты
при одинаковых степенях неизвестного х.
Определение.Суммойдвух многочленов называется многочлен, получающийся при объединении одночленов, составляющих слагаемые. После объединения необходимо привести подобные члены. Таким образом,=++ … + +.
Определение.Произведениемдвух многочленов называется многочлен, составленный из произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго. После приведения подобных членов получим, что=.
Коэффициент при равен, если считать, чтоприипри.
Пусть даны два многочлена и, причеми. Тогда произведениесодержит ненулевой одночлен, который будет высшим для произведения данных многочленов, так как остальные произведения членовна членыимеют меньшую, чемстепень.
Для любых двух многочленов иможно найти такие многочленыи, что
, (2.2)
причем степень
меньше степениили же.
Многочленыи,
удовлетворяющие условию (2.2), определяются
однозначно. Многочленназываетсячастным, а−остатком.
Определение. Пусть даны два ненулевых многочленаи. Если остаток от делениянаравен нулю, то многочленназываетсяделителеммногочлена.
Определение.Если− многочлен,, тоназывается значением многочленапри.
Теорема.Остаток от деления многочленана линейный многочленравен значениюмногочленапри.
Доказательство.Согласно (2), где− многочлен нулевой степени, т. е. константа. Переходя в этом равенстве к значениям при, получим, откуда. Теорема доказана.
П р и м е р. Найти остаток от деления многочленана многочлен.
Решение. По доказанной ранее теореме.
Если для полиномов
исуществует такой полином,
что,
то говорят, что полиномделится на полином.
Рассмотрим вопрос о делимостина линейный двучлен,
где.
Теорема (Безу).Для того чтобы полиномделился на, необходимо и достаточно, чтобы.
Доказательство.А.Необходимость.Пустьделится на, т. е.. Тогда. Б.Достаточность. Пусть. Тогда в равенствебудет, т. е.. Теорема доказана.
Определение.Числосназываетсякорнем полинома, если.
С использованием этого определения теорема Безу может быть сформулирована следующим образом: для того чтобы полином делился на двучлен, необходимо и достаточно, чтобыс было корнем. Таким образом, отыскание корней многочлена равносильно отысканию его линейных делителей.
П р и м е р.Является ли линейный многочленделителем многочлена?
Решение.Найдем:, следовательно,не является делителем многочлена.
Определение, формула и способы нахождения
Квадратный корень из заданного комплексного числа представляет собой комплексное число.
что при возведении в квадрат возвращается одно и то же комплексное число. Комплексное число в математике — это комбинация вещественных и мнимых элементов. Обычно записывается как z=x+iy, где «x» — действительная часть, а «iy» — мнимая часть.
Квадратный корень из заданного числа в математике представляет собой обратный процесс по сравнению с квадратом числа. В этой статье вы узнаете о квадратном корне из формулы комплексного числа с примерами и инструкциями по его нахождению. 92\), то извлекая квадратный корень, получаем \(\sqrt{p}=+a\) и \(\sqrt{p}=-a\). Точно так же мы получим пару комплексных чисел как квадратный корень из комплексного числа. Мы узнаем больше о формуле и выводе в следующем заголовке.
Формула квадратного корня из комплексного числа
Подобно квадратному корню из натурального числа, квадратный корень из комплексного числа получается парами. Когда мы возводим эти пары в квадрат, в результате мы получаем исходное комплексное число. Формула для нахождения квадратного корня комплексного числа выглядит следующим образом: 92}-x}{2}}\right)\right]\)
ИЛИ
\(\sqrt{x+iy}=\pm\left[\left(\sqrt{\frac{\left|z \right|+x}{2}}\right)+i\frac{y}{|y|}\left(\sqrt{\frac{\left|z\right|-x}{2}}\right )\верно]\).
{th}\) корень уравнения, \(z=r\left(\cosθ+i\sinθ\right)\). Следовательно; 9{\ frac {1} {2}} \ left [\ cos \ frac {θ + 2 \ pi k} {2} + i \ sin \ frac {θ + 2 \ pi k} {2} \ right] \) , в радианах.
Для приведенного выше уравнения значение k = 0, 1.
Узнайте здесь о различных операциях с комплексными числами.
Решенные примеры на квадратный корень из комплексного числа
Со всем знанием квадратного корня из комплексного числа сокращения формулы, определение и как найти то же самое. Давайте потренируемся на некоторых решенных примерах, чтобы понять эти концепции с точки зрения экзамена.
92}=\sqrt{13}\)Подставляя значения в уравнение:
\(\sqrt{x+iy}=\pm\left[\left(\sqrt{\frac{\sqrt{13} +2}{2}}\right)+i\frac{3}{3}\left(\sqrt{\frac{\sqrt{13}-2}{2}}\right)\right]\)
\(\sqrt{x+iy}=\pm\left[2.8027+i0.8027\right]\)
Следовательно, \(\sqrt{2+3i}=\pm\left[2.8027+i0.8027 \right]\)
Изучите различные свойства комплексных чисел.
Решено Пример 2: Найдите квадратный корень из комплексного числа 5 + 12i.
92}=13\)Подставляя значения в уравнение:
\(\sqrt{x+iy}=\pm\left[\left(\sqrt{\frac{13+5}{2}}\ справа)+i\frac{12}{12}\left(\sqrt{\frac{13-5}{2}}\right)\right]\)
\(\ sqrt{x+iy}=\ pm\left[\left(\sqrt{\frac{18}{2}}\right)+i\left(\sqrt{\frac{8}{2}}\right)\right]\)
\ (\sqrt{x+iy}=\pm\left[\left(\sqrt{9}\right)+i\left(\sqrt{4}\right)\right]\)
\(\sqrt{ x+iy}=\pm\left[3+i2\right]\)
Следовательно, \(\sqrt{5+12i}=\pm\left[3+i2\right]\) 9{\ frac {1} {2}} \ left [\ cos \ frac {\ frac {\ pi} {3} + 2 \ pi1} {2} + i \ sin \ frac {\ frac {\ pi} {3 }+2\pi1}{2}\right]\)
\(z_b=\sqrt{3}\left[\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi }{6}\right]\)
Мы надеемся, что приведенная выше статья поможет вам понять и подготовиться к экзамену. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам.
Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам.
Квадратный корень из комплексного числа Часто задаваемые вопросы
В.1 Как определить комплексное число?
Ответ 1 Комплексное число в математике представляет собой комбинацию действительных и мнимых элементов. Обычно записывается как z=x+iy.
В.2 Как определить квадратный корень из комплексного числа?
Ответ 2 Квадратный корень из комплексного числа дает нам пару комплексных чисел.
Q.3 Какова формула модуля комплексного числа? 92}\).
Q.4 Какова формула квадратного корня из комплексного числа?
Ответ 4 Формула квадратного корня из комплексного числа: \(\sqrt{x+iy}=\pm\left[\left(\sqrt{\frac{\left|z \right|+x}{2}}\right)+i\frac{y}{|y|}\left(\sqrt{\frac{\left|z\right|-x}{2}}\right )\right]\)
Q. {\frac{1}{2} }}\left[\cos\frac{θ+2\pi k}{2}+i\sin\frac{θ+2\pi k}{2}\right]\), в радианах.
| XXV Римские цифры: Правила преобразования, диаграмма, списки и решающие примеры | |
| Узнайте о Numerator & Deninator с их определением, Proterties, Antipertiancs & Reture | . с решенными примерами |
| Положительные целые числа: пояснение определения со списком, использованием, решенными примерами и часто задаваемыми вопросами | |
| Индийская таблица стоимости мест: периоды и особенности с примерами |
Квадратный корень из комплексного числа
на
Квадратный корень из x — это число r таким образом, что r² = x. Когда он представлен в форме или, в частности, , квадратный корень из x также может быть известен как surd или радикал.
Следовательно, квадратный корень — это корень n-й степени, имеющий значение n = 2.
Следует отметить, что любое положительное действительное число содержит 2 квадратных корня, один из которых положительный, а другой — отрицательный. Скажем, 16 имеет квадратный корень как +4 и -4, так как (-4)² = (+4)² = 16,
Любое действительное число, имеющее неотрицательное значение, x содержит уникальный квадратный корень, который является неотрицательным, то есть «r»; и это известно как главный квадратный корень и записывается как или .
Допустим, главный квадратный корень из 16 равен √16 = +4, а альтернативный квадратный корень из 16 = -√16 = -4. Однако в общем случае, как указано, обычно используется квадратный корень, что означает «главный квадратный корень». Функция главного квадратного корня является обратной функцией для значения .
Для определения квадратного корня комплексного числа a + ib
Где a &*b (≠0) — действительные значения
Предположим, что √a + ib = x + iy, где значения x и y являются реальными.
Тогда a + ib = (x + iy) 2 = x 2 + i 2 y 2 + 2x * iy = x 2 – y 2 ⵈ i *0312 a +b)² = a² + 2ab + b²
Теперь, приравнивая мнимую и действительную части, имеем
x 2 – y 2 = a Ур. 1
2xy = b Уравнение 2
Now, (x 2 + y 2 )2 = (x 2 – y 2 )2 + 4x 2 y 2 = a 2 + b 2
Следовательно, x 2 + y 2 = +√a 2 + b 2 (∵ x, y оба действительны) Уравнение 3
Теперь, сложив уравнения – (1) и (3) получаем,
Теперь уравнение (3) – уравнение (1) дает,
Итак, из второго уравнения понятно, что оба значения x и y состоят из одних и тех же знаков, которые могут быть как +ve, так и оба -ve.
Когда b содержит значение +ve, а значения x и y охватывают два разных знака, а именно как положительный, а другой как отрицательный.