Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка онлайн: Дифференциальные уравнения. Пошаговый калькулятор

Уравнения, допускающие понижение порядка

Мы умеем решать уравнения первого порядка. Поэтому возникает естественное желание свести уравнение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка. В некоторых случаях это удаётся сделать. Рассмотрим их.

1. Уравнения вида y(n)=f(x) решаются последовательным интегрированием n раз
, ,… .
Пример №1. Решить уравнение xy''=1. Можем записать , следовательно, y’=ln|x| + C₁и, интегрируя ещё раз, окончательно получаем y=∫ln|x| + C₁x + C₂

2. В уравнениях вида F(x,y(k),y(k+1),..,y(n))=0 (то есть не содержащих в явном виде неизвестной функции и некоторых её производных) порядок понижается с помощью замены переменной y^(k) = z(x). Тогда y^(k+1)=z'(x),…,y⁽ⁿ

) = z^(n—k)(x) и мы получаем уравнение F(x,z,z’,. .,z^(n—k)) порядка n-k. Его решением является функция z = φ(x,C₁,C₂,…,C_n) или, вспоминая, что такое z, получаем уравнение y^(n-k) = φ(x,C₁,C₂,…,C_n—k) рассмотренного в случае 1 типа.

Пример №2. Решить уравнение x2y'' = (y')2. Делаем замену y'=z(x). Тогда y''=z'(x). Подставляя в исходное уравнение, получаем x²z’=z². Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем , или, что тоже самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, окончательно получаем

Пример №3. Решить уравнение x3y'' +x2y'=1 .Делаем замену переменных: y’=z; y»=z’

x³z’+x²z=1. Делаем замену переменных: z=u/x; z’=(u’x-u)/x²
x³(u’x-u)/x²+x²u/x=1 или u’x²-xu+xu=1 или u’x^2=1. Откуда: u’=1/x² или du/dx=1/x² или u = int(dx/x²) = -1/x+c₁
Поскольку z=u/x, то z = -1/x²+c₁/x. Поскольку y’=z, то dy/dx=-1/x²+c₁/x
y = int(c₁dx/x-dx/x²) =c₁ln(x) + 1/x + c₂. Ответ: y = c₁ln(x) + 1/x + c₂

3. Следующим уравнением, допускающим понижение порядка, является уравнение вида F(y,y',y'',…,y(n))=0, не содержащее в явном виде независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены переменной y’=p(y), где p — новая искомая функция, зависящая от y. Тогда
= и так далее. По индукции имеем y⁽ⁿ⁾=φ(p,p’,..,p^(n-1)). Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок на единицу.

Пример №4. Решить уравнение (y')2+2yy''=0. Делаем стандартную замену y’=p(y), тогда y″=p′·p. Подставляя в уравнение, получаем Разделяя переменные, при p≠0, имеем Интегрируя, получаем или, что то же самое, . Тогда или . Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем При разделении переменных мы могли потерять решение y=C, которое получается при p=0, или, что то же самое, при y’=0, но оно содержится в полученном выше.

4. Иногда удаётся подметить особенность, позволяющую понизить порядок уравнения отличными от рассмотренных выше способами. Покажем это на примерах.

Замечания.
1. Если обе части уравнения yy'''=y′y″ разделить на yy″, то получим уравнение , которое можно переписать в виде (lny″)′=(lny)′. Из последнего соотношения следует, что lny″=lny+lnC, или, что то же самое, y″=Cy. Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа.
2. Аналогично для уравнения yy″=y′(y′+1) имеем , или (ln(y’+1))’ = (lny)’. Из последнего соотношения следует, что ln(y’+1) = lny + lnC₁, или y’=C₁y-1. Разделяя переменные и интегрируя, получаем, ln(C₁y-1) = C₁x+C₂

Решить уравнения, допускающие понижение порядка можно с помощью специального сервиса Дифференциальные уравнения онлайн.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн

• Определение
• Однородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка
• Неоднородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка
• Методы решения других видов дифференциальных уравнений
  • Дифференциальные уравнения — основные понятия
  • Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
  • Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
  • Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
  • Дифференциальные уравнения высших порядков
  • Системы дифференциальных уравнений

Определение

---

Уравнение

   (*)

где  и  – непрерывные функция в интервале  называется неоднородным линейным дифференциальным уравнение второго порядка, функции  и  – его коэффицинентами. Если  в этом интервале, то уравнение принимает вид:

   (**)

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.  Если уравнение (**) имеет те же коэффициенты  и , как уравнение (*), то оно называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (*).

Однородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка

---

Пусть в линейном уравнении

 и   — постоянные действительные числа.

Частное решение уравнения будем искать в виде функции  , где  – действительное или комплексное число, подлежащее определению. Дифференцируя по , получаем:

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Отсюда, учитывая, что , имеем:

Это уравнение называется характеристическим уравнением однородного линейного дифуравнения.

Характеристическое уравнение и дает возможность найти . Это уравнение второй степени, поэтому имеет два корня. Обозначим их через  и . Возможны три случая:

Корни действительные и разные

В этом случае общее решение уравнения:

---

Пример 1

Решение

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решение характеристического уравнения:

Общее решение исходного дифуравнения:

---

 

Корни действительные и равные

В этом случае общее решение уравнения:

---

Пример 2

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решение характеристического уравнения:

Общее решение исходного дифуравнения:

---

Корни комплексные

В этом случае общее решение уравнения:

---

Пример 3

Решение

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решение характеристического уравнения:

Общее решение исходного дифуравнения:

---

Неоднородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка

---

Рассмотрим теперь решение некоторых типов линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

где  и  – постоянные действительные числа,  – известная непрерывная функция в интервале . Для нахождения общего решения такого дифференциального уравнения необходимо знать общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения  и частное решение .  Рассмотрим некоторые случаи:

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

Частное решение дифференциального уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:

Подставляя  и  в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.

Если нуль – однократный корень характеристического уравнения, то

Если нуль – двухкратный корень характеристического уравнения, то

Аналогично обстоит дело, если  – многочлен произвольной степени

---

Пример 4

Решение

Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного дифуравнения:

Подставляя найденные производные в исходное дифуравнение, получаем:

Искомое частное решение:

Общее решение исходного дифуравнения:

---

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

Частное решение ищем в виде , где  – неопределенный коэффициент.

Подставляя  и  в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициент.

Если  – корень характеристического уравнения, то частное решение исходного дифференциального уравнения ищем в виде  , когда  – однократный корень, и , когда  – двукратный корень.

---

Пример 5

Решение

Характеристическое уравнение:

Общее решение соответствующего однородного дифференциального  уравнения:

Найдем частное решение соответствующего неоднородного дифференциального  уравнения:

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Общее решение дифуравнения:

---

 

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

В этом случае частное решение  ищем в форме тригонометрического двучлена:

где  и  – неопределенные коэффициенты

Подставляя  и  в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.

Эти уравнения определяют коэффициенты  и  кроме случая, когда  (или когда  – корни характеристического уравнения). В последнем случае частное решение дифференциального уравнения ищем в виде:

---

Пример 6

Решение

Характеристическое уравнение:

Общее решение соответствующего однородного дифуравнения:

Найдем частное решение неоднородного дифуравнения

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Общее решение исходного дифуравнения:

{\ простое \ простое} + py’ + qy = 0. \]

Теорема.

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения \({y_0}\left( x \right)\) родственного однородного уравнения и частного решения \({y_1}\left( x \right) \) неоднородного уравнения:

\[y\влево( x \вправо) = {y_0}\влево( x \вправо) + {y_1}\влево( x \вправо). \]

Ниже мы рассмотрим два метода построения общего решения неоднородного дифференциального уравнения.

Метод вариации констант

Если известно общее решение \({y_0}\) ассоциированного однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка равно

\[{y_0}\влево( x \вправо) = {C_1}{Y_1}\влево( x \вправо) + {C_2}{Y_2}\влево( x \вправо).\]

Вместо констант \({C_1}\) и \({C_2}\) будем рассматривать произвольные функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \ справа).\) Найдем такие функции, что решение

\[y = {C_1}\влево( x \вправо){Y_1}\влево( x \вправо) + {C_2}\влево( x \вправо){Y_2}\влево( x \вправо)\]

удовлетворяет неоднородному уравнению с правой частью \(f\left( x \right).\)

Неизвестные функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \right)\) можно определить из системы двух уравнений:

\[\left\{ \begin{array}{l} {C’_1}\left( x \right){Y_1}\left( x \right) + {C’_2} \left( x \right) {Y_2}\влево( x \вправо) = 0\\ {C’_1} \влево( x \вправо){Y’_1} \влево( x \вправо) + {C’_2} \влево( x \вправо ){Y’_2} \left( x \right) = f\left( x \right) \end{массив} \right. s},\) где \(s\) — порядок корня \(\alpha\) в характеристическом уравнении.

В случае \(2,\), если число \(\alpha + \beta i\) совпадает с корнем характеристического уравнения, ожидаемое выражение для частного решения следует умножить на дополнительный множитель \(x.\ )

Неизвестные коэффициенты можно определить путем подстановки ожидаемого типа частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Принцип суперпозиции

Если правая часть неоднородного уравнения является суммой нескольких функций рода 92} = — 1,\;\; \Rightarrow {k_{1,2}} = \pm i.\]

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

\[{y_0}\left( x \right) = {C_1}\cos x + {C_2}\sin x.\]

Вернемся к неоднородному уравнению. Будем искать ее решение в виде

\[y\влево( x \вправо) = {C_1}\влево( x \вправо)\cos x + {C_2}\влево( x \вправо)\sin x,\]

методом вариации констант.

Функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \right)\) можно определить из следующей системы уравнений: 9\ простое число} = {\ грех 2x} \end{массив} \right. 3}x + {A_1},\] 9{\простое\простое}_1} = 0.\]

Подстановка в дифференциальное уравнение дает:

\[0 + A — 6\left( {Ax + B} \right) = 36x,\;\; \Правая стрелка А — 6Ах — 6В = 36х.\]

Последнее уравнение должно выполняться для всех значений \(x,\), поэтому коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) в правой и левой частях должны быть одинаковыми:

\[\left\{ \begin{массив}{l} — 6А = 36\\ А — 6В = 0 \конец{массив} \право..\]

Находим из этой системы, что \(A = -6,\) \(B = -1.\) В результате частное решение записывается как 9{2x}} — 6x — 1.\]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Начальные задачи для неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка — Криста Кинг Математика

Шаги для решения начальной задачи для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

Чтобы решить начальную задачу для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, мы будем следовать очень специфическому набору шагов.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Мы можем обобщить эти шаги следующим образом:

1. Найдите дополнительное решение ???y_c(x)???.

2. Найдите частное решение ???y_p(x)???.

3. Сложите их вместе, чтобы найти общее решение ???y(x)=y_c(x)+y_p(x)???.

4. Найдите производную общего решения ???y'(x)=y_c'(x)+y_p'(x)???.

5. Подставьте заданные начальные условия к общему решению и его производной, чтобы создать систему линейных уравнений.

6. Решите систему, чтобы найти значения для ???c_1??? и ???c_2???.

7. Заглушка ???c_1??? и ???c_2??? вернуться к общему решению, чтобы решить проблему начального значения.

Пример неоднородного дифференциального уравнения с показательной функцией

9{-Икс}???

Чтобы решить задачу с начальными значениями для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, мы выполним очень специфический набор шагов.