Переход от натурального логарифма к десятичному: Натуральные логарифмы. Переход от натуральных к десятичным

Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным.

		Раздел недели: Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.
Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Таблицы логарифмов и основные формулы. Десятичные и натуральные логарифмы. Степени, корни.  / / Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным. Поделиться:    Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным. Если Вам известен десятичный логарифм какого-то числа Х (равный lg(X)), то натуральный логарифм этого числа (равный ln(X)) будет равен, согласно основным свойствам логарифмов : ln(X)=In10*lg(X)=(1/Ig(e))*lg(X)=(1/M)*lg(X), т.е. натуральный логарифм числа, равен десятичному логарифму этого числа умноженному на «число 1/М»=1/Ig(e). Для быстрых оценок приводим табличку: Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным (таблица умножения на «число 1/М» (у англосаксов это «число 1/A») = In 10 = 2,3025851). «> Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным (таблица умножения на «число 1/М» (у англосаксов это «число 1/A») = In 10 = 2,3025851). 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0,0000 23,026 46,052 69,078 92,103 115,129 138,155 161,181 184,207 207,233 1 2,3026 25,328 48,354 71,380 94,406 117,431 140,458 163,484 186,509 209,535 2 4,6052 27,631 50,657 73,683 96,709 119,734 142,760 165,786 188,812 211,838 3 6,9078 29,934 52,959 75,985 99,011 122,037 145,062 166,089 191,115 214,140 4 9,2103 32,236 55,262 78,288 101,314 124,340 147,365 170,391 193,417 216,443 5 11,513 34,539 57,565 80,590 103,616 126,642 149,668 172,694 195,720 218,746 6 13,816 36,841 59,867 82,893 105,919 128,945 151,971 174,997 198,022 221,048 7 16,118 39,144 62,170 85,196 108,221 131,247 154,273 177,299 200,325 223,351 8 18,421 41,447 64,472 87,498 110,524 133,550 156,576 179,602 202,627 225,653 9 20,723 43,749 66,775 89,801 112,827 135,853 158,878 181,904 204,930 227,956 Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Десятичные и натуральные логарифмы: определения, свойства и примеры

1. Десятичный логарифм и его свойства
2. Натуральный логарифм и его свойства
3. Примеры

п.1. Десятичный логарифм и его свойства

Логарифмы чисел по основанию 10 называют десятичными.
Для десятичных логарифмов принято специальное обозначение: \begin{gather*} \log_{10}x\overset{def}{=}\lg x \end{gather*}

Основание десятичных логарифмов \(10\gt 1\), поэтому они обладают всеми свойствами логарифмов с основанием больше единицы (см. §30 данного справочника).

Но у десятичных логарифмов есть также целых ряд дополнительных свойств, благодаря которым в докомпьютерную эпоху они широко использовались для трудоемких вычислений. Роль калькулятора тогда выполняли логарифмическая таблица и логарифмическая линейка.

Целая часть десятичного логарифма \([\lg x]\) называется характеристикой, а дробная часть \(\left\{\lg x\right\}\) – мантиссой. n\)
характеристика равна порядку числа \([\lg b]=n\), мантисса \(\left\{\lg b\right\}=\lg a\)

О стандартном виде числа, см. §41 справочника для 8 класса.

Например:

Число b	Стандартный вид	Характеристика	Мантисса b	Унифицированная запись	Логарифм числа \(\lg b\)
420	4,2·102	2	0,623	2,623	2,623
42	4,2·101	1	0,623	1,623	1,623
4,2	4,2	2	0	0,623	0,623
0,42	4,2·10–1	–1	0,623	\(\overline{1},623\)	–0,377
0,042	4,2·10–2	–2	0,623	\(\overline{2},623\)	–1,377

\(\lg 4,2\approx 0. 623\)

Если использовать унифицированную запись, как в представленной таблице, то мантисса всегда лежит в промежутке \(0\lt \lg a\lt 1\). У чисел, отличающихся только порядком, мантисса одинакова. Можно составить таблицы мантисс и пользоваться ими для умножения и деления, «разбавляя» их несложным сложением и вычитанием целых характеристик по необходимости.

Первые таблицы логарифмов были изданы в 1617 году оксфордским математиком Бригсом. Таблицы пересчитывались, дополнялись и переиздавались вплоть до 70-х гг. ХХ века, когда на столах стали появляться калькуляторы.
Таблицы Брадиса, которыми по традиции пользуются наши школьники с 1921 года, издаются до сих пор и постепенно перекочевывают в Интернет.

Непосредственная связь десятичных логарифмов с десятичной системой исчисления делает их удобным инструментом для оценки порядка числа и сравнения чисел.

В практике приближенных вычислений используется следующая оценочная таблица:

\(\lg 1\)

\(\lg 2\)

\(\lg 3\)

\(\lg 4\)

\(\lg 5\)

\(\lg 8\)

0

0,3

0,5

0,6

0,7

0,9

Относительная погрешность этих приближений (кроме \(\lg 3)\) \(\delta\sim 0,5\text{%}\)

Например:
Сравним \(\log_23\) и \(log_5⁡8\)
Сравнивая с помощью оценки, получаем: \begin{gather*} \log_23=\frac{\lg 3}{\lg 2}\approx\frac{0,5}{0,3}=\frac53,\ \ \log_58=\frac{\lg 8}{\lg 5}\approx\frac{0,9}{0,7}=\frac97\\ \frac{35}{21}\gt \frac{27}{21}\Rightarrow \frac53\gt \frac97\Rightarrow\log_23\gt\log_58 \end{gather*}

п.

3}{3}\)0,0953330,02%0,1826670,19%\(y=\ln(1+x)\)0,0953100,182322

Формула смены базы | Purplemath

Основные правилаExpandingCondensingTrick Q’s

Purplemath

Существует еще одно «правило» журнала, но это скорее формула, чем правило.

Возможно, вы заметили, что ваш калькулятор имеет ключи только для вычисления значений для обычного (то есть по основанию 10) журнала и естественного (то есть по основанию

e ) журнала. Для других баз ключей нет. Некоторые учащиеся пытаются обойти это, «оценивая» что-то вроде «журнала 9».0011 3 (6)» следующими нажатиями клавиш:

[ LOG ]    [ 3 ]   [ ( ]    [ 6 ]  [ ) ]

Конечно, тогда получить неправильный ответ, потому что приведенное выше фактически (обычно) вычисляет значение «log ₁₀ (3) × 6». Это не то, что было задумано. Базовая формула

Чтобы оценить журнал нестандартной базы, вы должны использовать формулу изменения базы:

Формула изменения базы:

На практике это правило говорит о том, что вы можете оценить журнал нестандартной базы, преобразовав его в дробь формы «(логарифм стандартной базы аргумент), разделенный на (тот же стандартный журнал нестандартной базы)». Я поддерживаю это прямо, глядя на положение вещей. В исходном журнале аргумент находится «над» базой (поскольку база индексирована), поэтому я оставлю все так, когда разделю их:

Вот простой пример применения этой формулы:

Аргумент равен 6, а основание равно 3. Я подставлю их в формулу изменения базы, используя натуральный журнал в качестве журнала новой базы:

Тогда ответ, округленный до трех знаков после запятой, будет следующим:

log ₃ (6) = 1,631

---

Я получил бы такой же окончательный ответ, если бы использовал обычный журнал вместо натурального, хотя числитель и знаменатель промежуточной дроби отличались бы от того, что я показал выше:

Как видите, не имеет значения, какую стандартную базу вы используете, если вы используете одну и ту же базу как для числителя, так и для знаменателя.

---

Хотя я показал значения числителя и знаменателя в приведенных выше расчетах, на самом деле лучше всего выполнять расчеты полностью в вашем калькуляторе. Вам не нужно утруждать себя записью этого промежуточного шага.

На самом деле, чтобы свести к минимуму ошибки округления, лучше попытаться выполнить все шаги по делению и вычислению в калькуляторе за один раз. В приведенном выше вычислении вместо того, чтобы записывать первые восемь или около того знаков после запятой в значениях ln(6) и ln(3) и затем делить, вы просто сделали бы «ln(6) ÷ ln(3)» в своем калькулятор.

---

Вы можете получить несколько простых (но довольно бесполезных) упражнений на эту тему. Не завидуйте им; это простые пункты, пока вы держите формулу смены основания прямо в голове. Например:

Я не могу придумать какой-либо конкретной причины, по которой журнал с основанием 5 может быть полезен, поэтому я думаю, что единственная цель этих проблем — дать вам возможность попрактиковаться в использовании изменения основания. Отлично; Я включу:

---

С какой стати мне это делать (в «реальной жизни»), если я уже могу оценить натуральный логарифм в своем калькуляторе? я бы не стал; это упражнение предназначено только для практики (и простых моментов).

Я подключу и пыхтит к формуле изменения основания:

Поскольку получение фактического десятичного значения не является целью в упражнениях такого рода (преобразование с использованием изменения основания точку), просто оставьте ответ в виде логарифмической дроби.

---

Хотя приведенные выше упражнения были довольно бессмысленными, использование формулы изменения базы может быть очень удобно для поиска точек графика при построении графиков нестандартных бревен, особенно когда предполагается использование графического калькулятора.

Если бы я работал вручную, я бы использовал определение бревен, чтобы отметить, что:

• поскольку 2 ^-2 = ¼, то log ₂ (¼) = -2
• , так как 2 ^–1 = ½, тогда log ₂ (½) = –1
• , так как 2 ⁰ = 1, тогда log ₂ (1) = 0
• , так как 2 ¹ = 2, тогда log ₂ (2) = 1
• , так как 2 ² = 4, тогда log ₂ (4) = 2
• , так как 2 ³ = 8, тогда log ₂ (8) = 3
• , так как 2 ⁴ = 16, тогда log ₂ (16) = 4

А потом я рисовал свой график от руки.

(Почему я выбрал именно эти значения x ? Потому что любое меньшее значение было бы слишком маленьким для построения графика вручную, а любое большее привело бы к смехотворно широкому графику. Я выбрал значения, которые соответствовали моим потребностям.)

Но в данном случае я должен построить график с помощью своего графического калькулятора. Как я могу это сделать? (Или что, если я просто хочу использовать функцию «ТАБЛИЦА» моего графического калькулятора, чтобы найти несколько хороших аккуратных сюжетных точек?) У меня нет кнопки «логарифм с основанием два». Однако я могу ввести заданную функцию в свой калькулятор, используя формулу изменения базы, чтобы преобразовать исходную функцию в нечто, указанное в терминах базы, которую может понять мой калькулятор. Подбрасывая монету, я выбираю натуральное бревно:

(Я мог бы также использовать общий журнал. В этом случае функция была бы « y 1 = log( x )/log(2)».)

В моем графическом калькуляторе , после настройки окна просмотра на показ полезных частей плоскости, график будет выглядеть примерно так:

Кстати, можно проверить, что график содержит ожидаемые «аккуратные» точки (т. е. точки I рассчитал бы вручную, как показано выше), чтобы убедиться, что на картинке отображается правильный график:

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/logrules5.htm

Страница 1 Страница 2 Страница 3 Страница 4

Изменение базовой формулы | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• Перепишите логарифмы с другим основанием, используя формулу замены основания.

Использование формулы замены основания для логарифмов

Большинство калькуляторов могут вычислять только обычные и натуральные логарифмы. Для вычисления логарифмов с основанием, отличным от 10 или [latex]e[/latex], мы используем формула замены основания переписать логарифм как частное логарифмов по любому другому основанию; при использовании калькулятора мы бы изменили их на обычные или натуральные журналы.

Чтобы получить формулу замены основания, мы используем свойство один к одному и правило степени для логарифмов .

Для любых положительных действительных чисел M , b и n , где [latex]n\ne 1 [/latex] и [latex]b\ne 1[/latex], мы показываем

[ латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} M \ text {=} \ frac {{\ mathrm {log}} _ {n} M} {{\ mathrm {log}} _ {n} b} [ /латекс] 9{y}\right)\hfill & ={\mathrm{log}}_{n}M\hfill & \text{Применить однозначное свойство}.\hfill \\ y{\mathrm{log}} _{n}b\hfill & ={\mathrm{log}}_{n}M \hfill & \text{Применить правило степени для логарифмов}.\hfill \\ y\hfill & =\frac{{\mathrm {log}}_{n}M}{{\mathrm{log}}_{n}b}\hfill & \text{Изолировать}y.\hfill \\ {\mathrm{log}}_{b}M \hfill & =\frac{{\mathrm{log}}_{n}M}{{\mathrm{log}}_{n}b}\hfill & \text{Замените}y.\hfill\end{ array}[/latex]

Например, чтобы вычислить [latex]{\mathrm{log}}_{5}36[/latex] с помощью калькулятора, мы должны сначала переписать выражение как частное обычных или натуральных журналов . Мы будем использовать общий журнал.

[латекс]\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{5}36\hfill & =\frac{\mathrm{log}\left(36\right)}{\mathrm{log }\left(5\right)}\hfill & \text{Применить изменение базовой формулы с использованием базы 10}\text{. }\hfill \\ \hfill & \приблизительно 2,2266\text{ }\hfill & \text{ Используйте калькулятор для расчета до 4 знаков после запятой}\text{.}\hfill \end{array}[/latex]

A Общее примечание: формула изменения основания

Формула изменения основания можно использовать для вычисления логарифма по любому основанию.

Для любых положительных действительных чисел M , b и n , где [латекс]n\ne 1 [/латекс] и [латекс]b\ne 1[/латекс],

[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} M \ text {=} \ frac {{\ mathrm {log}} _ {n} M} {{\ mathrm {log}} _ {n} b} [/latex ].

Из этого следует, что формула изменения основания может быть использована для перезаписи логарифма с любым основанием в качестве частного обычного или натурального логарифма.

[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} M = \ frac {\ mathrm {ln} M} {\ mathrm {ln} b} [/latex]

и

[latex]{\mathrm{log}}_{b}M=\frac{\mathrm{log}M}{\mathrm{log}b}[/latex]

Как: Дан логарифм form [latex]{\mathrm{log}}_{b}M[/latex], используйте формулу замены базы, чтобы переписать ее как частное логов с любым положительным основанием [latex]n[/latex], где [latex]n\ne 1[/latex]

1. Определите новую базу n , помня, что общий журнал, [latex]\mathrm{log}\left(x\right)[/latex], имеет основание 10, а натуральный логарифм [латекс]\mathrm{ln}\left(x\right)[/latex] имеет основание е .
2. Перепишите журнал как частное, используя формулу изменения основания:
   • Числитель частного будет логарифмом с основанием n  и аргументом M .
   • Знаменатель частного будет логарифмом с основанием n  и аргументом b .

Пример: преобразование логарифмических выражений в выражения, содержащие только натуральные логарифмы

Замените [латекс]{\mathrm{log}}_{5}3[/латекс] на частное натуральных логарифмов.

Показать решение

Попробуйте

Замените [латекс]{\mathrm{log}}_{0,5}8[/латекс] на частное натуральных логарифмов.

Показать решение

Вопросы и ответы

Можем ли мы заменить десятичные логарифмы на натуральные?

Да. Помните, что [латекс]\mathrm{log}9[/латекс] означает [латекс]{\текст{лог}}_{\текст{10}}\текст{9}[/латекс]. Итак, [латекс]\mathrm{log}9=\frac{\mathrm{ln}9}{\mathrm{ln}10}[/latex].