Математика уравнения: Решение уравнений — урок. Математика, 6 класс.

Содержание

Теория линейных уравнений и задачи

Значение неизвестной величиной, для которой из данного уравнения мы получим истинное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Два уравнения называются эквивалентными, если множества их корней совпадают, корни первого уравнения являются также корнями второго и наоборот. Действуют следующие правила:
1. Если в данном уравнении значение заменяется другим, но идентичным, мы получаем уравнение, эквивалентное данному.
2. Если в данном уравнении некоторое значение переносится из одной стороны на другую с противоположным знаком, мы получаем уравнение, эквивалентное (равное) заданному.
3. Если мы умножаем или делим обе стороны уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, мы получаем уравнение, эквивалентное заданному.
Уравнение вида $ax + b = 0$, где $a, b$ — заданные числа, называется простым уравнением по отношению к неизвестной величине $х$.

Задача 1 Решите уравнение:
A) $16x + 10 – 32 = 35 – 10x — 5$

B) $y + \frac{3}{2}y + 25 = \frac{1}{2}y + \frac{3}{4}y – \frac{5}{2}y + y + 37$
C) $7u – 9 – 3u + 5 = 11u – 6 – 4u$

Решение:

A)После проведения некоторых действий, получаем
$16х – 22 = 30 – 10x$
После использования правила 2 мы находим, что $16x + 10x = 30 + 22$
После сложения получаем $26x = 52$
Мы находим неизвестную величину, разделив произведение на другой множитель. 2 + 6x + 6 \Leftrightarrow$
$2 = 6x + 6 \Leftrightarrow 6x = -4 \Leftrightarrow x = -\frac{2}{3}$

Задача 3 Решите уравнение:
A) $\frac{5x-4}{2} = \frac{0,5x+1}{3}$
B) $1 –\left[\frac{x-3}{5}\right] = \frac{-3x+3}{3}$
C) $\frac{x+1}{3} – \frac{2x+5}{2} = -3$
D) $\frac{3(x-1)}{2} + \frac{2(x+2)}{4} = \frac{3x+4,5}{5}$

Решение:

A) $\frac{5x-4}{2} – \frac{0,5x+1}{3} \Leftrightarrow$
$3(5x — 4) = 2(0,5x + 1) \Leftrightarrow$
$15x — 12 = x + 2 \Leftrightarrow$

$15x – x = 12 + 2\Leftrightarrow$
$14x = 14 \Leftrightarrow x = 1$

B) $1 – \left[\frac{x-3}{5}\right] = \frac{3(1-x)}{3}\Leftrightarrow$
$1 –\left[\frac{x-3}{5}\right] = 1 – x \Leftrightarrow$
$-x + 3 = — 5x \Leftrightarrow$
$5x – x = — 3 \Leftrightarrow$
$x = -\frac{3}{4}$

C) $\frac{2(x+1)-3(2x+5)}{6} = — 3 \Leftrightarrow$
$\frac{2x+2-6x-15}{6} = — 3 \Leftrightarrow$
$-4x — 13 = -18 \Leftrightarrow$
$-4x = -18 + 13 \Leftrightarrow$
$-4x = -5 \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}$

D) После нахождения и сокращения общего знаменателя, который для 2, 4 и 5 есть 20
$\frac{3(x-1)}{2} + \frac{2(x+2)}{4} = \frac{3x+4,5}{5} \Leftrightarrow$
$30(x — 1) + 10(x + 2) = 4(3x + 4,5) \Leftrightarrow$
$30x — 30 + 10x + 20 = 12x + 18 \Leftrightarrow$
$40x — 12x = 18 + 10 \Leftrightarrow$
$28x = 28 \Leftrightarrow x = 1$

Задача 4 Докажите, что любое значение неизвестной величины является корнем уравнения:

A) $7x — 13 = — 13 + 7x$
B) $\left(\frac{1}{2} – x\right)^2 – \left(\frac{1}{2} + x\right)^2 = -2x$
C) $3x — 3x = 26 — 2(7 + 6)$
D) $\frac{-3x+4x^2}{5} = (0,8x — 0,6)x$

Решение: Для простого уравнения с неизвестной величиной $x$ любое x является решением, если уравнение сокращается к следующему эквивалентному уравнению 0. 2 — 12x — 8 \Leftrightarrow$
$0 = 9 \Rightarrow$ нет решения

Задача 7 Решите уравнение:
A) $\frac{6x-1}{5} — \frac{1-2x}{2} = \frac{12x+49}{10}$
B) $\frac{x-3}{2} + \frac{2x-2}{4} = \frac{7x-6}{3}$

Решение:

A)После нахождения и сокращения общего знаменателя, мы получаем:
$12x — 2 — 5 +10x = 12x + 49 \Leftrightarrow$
$22x — 12x = 49 + 7 \Leftrightarrow$
$10x = 56 \Leftrightarrow x = 5,6$

B) $\frac{x-3}{2} + \frac{2x-2}{4} = \frac{7x-6}{3} \Leftrightarrow$
$\frac{x-3+x-1}{2} = \frac{7x-6}{3} \Leftrightarrow$
$3(2x — 4) = 2(7x — 6) \Leftrightarrow$
$6x -12 = 14x — 12 \Leftrightarrow$
$8x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Задача 8 Дана функция $f(x) = x + 4$. Решите уравнение:
$\frac{3f(x-2)}{f(0)} + 4 = f(2x + 1)$

Решение:

Мы вычисляем $f(0), f(x -2), f(2x +1)$. То есть, $f(0) = 0 + 4 = 4$;
$f(x — 2) = x — 2 + 4 = x + 2$;
$f(2x + 1) = 2x + 1 + 4 = 2x + 5$. 2 + 9 = x + \frac{1}{4} \Leftrightarrow$
$9 = x + 2x \Leftrightarrow$
$9 = 3x \Leftrightarrow x = 3$

Задача 13 Докажите, что уравнения эквивалентны:
A) $\frac{x-5}{2} + \frac{x-1}{8} = \frac{1,5x-10}{4}$ и $\frac{x+6}{2} – \frac{5,5-0,5x}{3} = 1,5$
B) $x – \frac{8x+7}{6} + \frac{x}{3} = -1.\left(\frac{1}{6}\right)$ и $2x – \frac{6-x}{3} — 2\left(\frac{1}{3}\right)x = -2$

Решение:

A) Для первого уравнения получаем:
$4(x — 5) + x — 1 = 2(1,5x — 10) \Leftrightarrow$
$4x — 20 + x — 1 = 3x — 20 \Leftrightarrow$
$5x – 3x = — 20 + 21 \Leftrightarrow$
$2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$,
для второго уравнения получаем
$3(x + 6) — 2(5,5 — 0,5y) = 6 \cdot 1,5 \Leftrightarrow$
$3x + 18 — 11 + x = 9 \Leftrightarrow$
$4y = 9 — 7 \Leftrightarrow$
$x = \frac{2}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ Поэтому, уравнения являются эквивалентными (равными).

B) Aналогично A), попробуйте решить это самостоятельно

Задача 14 Решите уравнение:
A) $(2x + 1)^2 – x(1 — 2x)(1 + 2x) = (2x — 1)^2 + 4x^3 — 3$
B) $(2x — 1)^2 + (x — 2)^3 = x^2(x — 2) + 8x — 7$
C) $(x + 2)(x^2 — 2x + 4) + x(1 – x)(1 + x) = x — 4$
D) $\frac{8x+5}{4} – \frac{1}{2}\left[2 – \frac{3-x}{3}\right] = 2x + \frac{5}{6}$
E) $\frac{x}{3} — \frac{x + 3}{4} = x-\frac{1}{3}\left[1 — \frac{3 — 24x}{8}\right]$
F) $\frac{x}{5}- \left[\frac{(2x — 3)^2}{3}\right] = \frac{1}{5}\left[ 5 — \frac{(20x — 43x)}{3}\right]$

Решение:

A) $4x^2 + 4x + 1 – x(1 — 4x^2) = 4x^2 — 4x + 1 + 4x^3 — 3 \Leftrightarrow$
$4x – x + 4x^3 = -4x + 4x^3 -3 \Leftrightarrow$
$3x + 4x = -3 \Leftrightarrow$
$7x = — 3 \Leftrightarrow x = -\frac{3}{7}$

B) $4x^2 — 4x + 1 + x^3 — 3x^2\cdot2 + 3x\cdot2^2 — 8 = x^3 -2x^2 + 8x — 7 \Leftrightarrow$
$4x^2 — 6x^2 — 4x + 1 + 12x — 8 = — 2x^2 + 8x -7 \Leftrightarrow$
$-2x^2 + 8x — 7 = — 2x^2 + 8x — 7 \Leftrightarrow$
$0 = 0 \Rightarrow$ любое x есть решением;

C) $x^3 + 2x^2 — 2x^2 — 4x + 4x + 8 + x(1 – x^2) = x — 4 \Leftrightarrow$
$x^3 + 8 + x – x^3 = x — 4 \Leftrightarrow$
$8 = -4$, что невозможно. 2 + 43x \Leftrightarrow$
$63x — 43x = 15 + 45 \Leftrightarrow$
$20x = 60 \Leftrightarrow x = 3$

Добавление математических уравнений в Pages на Mac

В документ можно включать математические выражения и уравнения. Чтобы добавить уравнение, его необходимо создать в диалоговом окне уравнения Pages с помощью команд LaTeX или элементов MathML, а затем вставить в документ.

Добавляя уравнение в текстовый документ, можно сделать его встроенным в текст, чтобы оно оставалось на той же строке и перемещалось вместе с текстом по мере ввода, либо сделать его плавающим объектом и разместить в любой части страницы. В документах с макетом страницы новые уравнения всегда добавляются на страницу как плавающие объекты.

В текстовых документах и документах с макетом страницы можно добавлять уравнения, встроенные в текст внутри текстовых блоков и фигур.

Добавление уравнения с помощью LaTeX или MathML

Выполните одно из описанных ниже действий.
- Добавление уравнения, встроенного в текст. Поместите точку вставки внутри текста, текстового блока, фигуры или ячейки таблицы либо выберите текст, вместо которого нужно вставить уравнение.
- Добавление уравнения, которое может перемещаться свободно. Нажмите в углу страницы, чтобы отменить выбор любых объектов. Также можно выбрать миниатюру страницы в панели «Миниатюры страниц».
Нажмите в панели инструментов, затем выберите «Уравнение».
Можно также выбрать «Вставка» > «Уравнение» (меню «Вставка» расположено у верхнего края экрана).
С помощью команд LaTeX или элементов MathML введите уравнение в поле.
Нажмите «Вставить».
Если Вы добавили встроенное уравнение, оно появится в точке вставки в документе, а размер и цвет уравнения будут такими же, как у окружающего текста. При изменении размера или цвета окружающего текста размер и цвет уравнения также меняются.
Если Вы добавили уравнение на страницу, оно появится в центре экрана, а его размер и цвет будут заданы по умолчанию. Эти параметры можно изменить в боковой панели «Формат» . Перетяните уравнение, чтобы изменить его положение на странице.

Редактирование, удаление или перемещение встроенного уравнения с помощью LaTeX или MathML

Добавив встроенное уравнение в текст, Вы можете его изменить.

Редактирование уравнения. Дважды нажмите уравнение, внесите изменения и нажмите «Обновить».
Перемещение уравнения внутри текста. Выберите уравнение и перетяните его на новое место в основном тексте, сноске или колонтитуле. Также можно перетянуть его в другой текстовый блок или фигуру.
Изменение размера, цвета или выравнивания уравнения. Нажмите уравнение и используйте элементы управления на вкладке «Текст» в боковой панели «Формат» , чтобы изменить размер шрифта, цвет и выравнивание уравнения.
Копирование уравнения. Нажмите уравнение, выберите «Правка» > «Скопировать» (меню «Правка» расположено у верхнего края экрана), поместите точку вставки в место вставки уравнения, — в текст, ячейку таблицы или колонтитул на странице — затем выберите «Правка» > «Вставить». Также можно выбрать объект на странице (например, фигуру), затем выбрать «Правка» > «Вставить», чтобы вставить уравнение на страницу как плавающий объект.
Удаление уравнения. Нажмите уравнение, затем нажмите клавишу Delete на клавиатуре.
Перемещение встроенного уравнения на страницу (за пределы текста). В текстовом документе выберите уравнение, затем в боковой панели «Расстановка» нажмите всплывающее меню «Обтекание текстом» и выберите вариант, отличающийся от варианта «Встроено в текст». См. раздел Обтекание объекта текстом.
В документе с макетом страницы выберите уравнение, выберите «Правка» > «Вырезать» (или «Скопировать», затем выберите «Правка» > «Вставить». Перетяните уравнение в нужное место на странице.

Редактирование, удаление или перемещение плавающего уравнения с помощью LaTeX или MathML

Добавив плавающее уравнение на страницу, Вы можете его изменить.

Редактирование уравнения. Дважды нажмите уравнение, внесите изменения и нажмите «Обновить».
Перемещение уравнения. Перетяните уравнение в другое место на странице.
Изменение размера, цвета или выравнивания уравнения. Нажмите уравнение, затем воспользуйтесь элементами управления в боковой панели, чтобы изменить размер шрифта и цвет уравнения. Также можно изменить размер шрифта для уравнения, перетягивая манипулятор.
Копирование уравнения. Нажмите уравнение, выберите «Правка» > «Скопировать», прокрутите до той страницы, на которую нужно поместить уравнение, и выберите «Правка» > «Вставить». Также можно поместить точку вставки в ячейку таблицы или колонтитул страницы. Выберите «Правка» > «Вставить», чтобы вставить уравнение как встроенный объект.
Удаление уравнения. Нажмите уравнение, затем нажмите клавишу Delete на клавиатуре.
Перемещение плавающего уравнения вместе с текстом. В текстовом документе выберите уравнение, затем в боковой панели «Расстановка» нажмите кнопку «Двигать с текстом». Нажмите всплывающее меню «Обтекание текстом» и выберите вариант «Встроенный в текст». Перетяните уравнение на нужное место.
В документе с макетом страницы выберите плавающее уравнение и вставьте его в текстовый блок или фигуру. См. раздел Встраивание объектов в текстовый блок или фигуру.

См. такжеАвтоматическое форматирование дробей в Pages на MacПоднятие и опускание символов и текста в Pages на MacДиакритические знаки и специальные символы в Pages на MacРазмещение и выравнивание объектов в Pages на Mac

Что такое уравнение в математике? Определение, типы, примеры, факты

Существует множество способов, которыми можно определить уравнение. В своей простейшей форме в алгебре определение уравнения представляет собой математическое утверждение, показывающее, что два математических выражения равны. Например, 3x + 5 = 14 — это уравнение, в котором 3x + 5 и 14 — это два выражения, разделенные знаком «равно». Самые основные и простые алгебраические уравнения состоят из одной или нескольких переменных в математике. 9{3} $ + 5x

Связанные игры

Различные типы уравнений:

Некоторые из математических уравнений, используемых в алгебре:

Линейное уравнение

Линейное уравнение может иметь более одной переменной. Линейное уравнение — это уравнение, в котором наивысшая степень переменной всегда равна 1. Оно также известно как уравнение одной степени.

Квадратное уравнение

Это уравнение второго порядка. В квадратных уравнениях хотя бы одна из переменных должна быть возведена в степень 2. 9{3}$ – 27 = 0

Рациональное уравнение

Рациональное уравнение — это уравнение, содержащее дроби с переменной в числителе, знаменателе или в обоих.

Пример: $\frac{x}{2} = \frac{x + c}{4}$.

Связанные листы

Выражение и уравнение

Математическое выражение отличается от математического уравнения. Уравнение всегда будет использовать оператор равенства (=) между двумя математическими выражениями.

Например,

Что такое решение уравнения?

Значение переменной, которая делает уравнение истинным утверждением, является решением уравнения.

Пример 1:

Проверить, что x = 3 является решением уравнения 4x − 8 = − 5 + 3x

Подставить x = 3 в данное уравнение

LHS

4x − 8 = 4(3) − 8 = 12 − 8 = 4

RHS

−5 + 3x = −5 + 3(3) = −5 + 9 = 4

LHS = RHS

Таким образом, x = 3 является решением уравнения 4x − 8 = −5 + 3x.

Пример 2:

Убедитесь, что y = −2 является решением уравнения 2m – 4 = 1

Подставьте y = −2 в данное уравнение.

левый

2m – 4 = 2(−2) – 4 = – 4 – 4 = – 8 HS

Таким образом, y = −2 равно не решение данного уравнения 2m – 4 = 1.

Как решать линейные уравнения с одной переменной

Упростите выражения в скобках, фигурных скобках и дробях.
Одно и то же количество можно складывать, вычитать, умножать или делить из обеих частей уравнения без изменения равенства.

Или

Любой член уравнения можно перевести из одной части в другую с изменением его знака. Этот процесс называется транспозицией.

Пример:

4a – 9 = 13 – 7a

4a + 7a = 13 + 9 [транспонировать −7a в левое положение и −9 в правое]

11a = 22 [добавить похожие термины]

a = $\ frac{22}{11}$ [транспонировать 11 в RHS]

a = 2

Пример:

$\frac{1}{5} + 3w = \frac{2}{5}$

3w = $\frac{2}{5} – \frac{1 }{5}$ [транспонировать 15 в RHS]

3w = $\frac{1}{5}$

w = $\frac{1}{5\times 3}$ [транспонировать 3 в RHS]

w = $\frac{1}{15}$

Решенные примеры для уравнения

Пример 1: Решите для x .

x + 8 = 12

Решение:

Вот уравнение, которое нужно решить: x + 8 = 12

Нам нужно оставить x в одной части уравнения. Для этого мы должны отнять по 8 с обеих сторон.

Итак, x + 8 – 8 = 12 – 8

или x = 4

Пример 2: Определите, является ли значение 3 решением уравнения:

4x – 2 = 3x + 1

Решение:

Подставим значение 3 в это уравнение и проверим, равно ли левое уравнение правой части.

Итак,

4(3) – 2 = 3(3) + 1

или 12 – 2 = 9 + 1

или 10 = 10

Да, 3 является решением данного уравнения.

Пример 3: Решите уравнение: 6(2x + 3) + x – 7 = 3(5x + 7) + 2x

Решение:

6(2x + 3) + x – 7 = 3 (5x + 7) + 2x

Раскрывая полученные члены,

12x + 18 + x – 7 = 15x + 21 + 2x

или, 13x + 11 = 17x + 21

При дальнейшем упрощении, 900 07

13x – 17x = 21 – 11

−4x = 10

x = -$\frac{10}{4}$

x = -$\frac{5}{2}$

Практические задачи на уравнение

Какое из этих уравнений является уравнением?

7x + 5y = 19

5 — 2

$\frac{4}{7} — \frac{2}{7}$

3a + 9b

Правильный ответ: 7x + 5y = 19
Поскольку вариант a имеет знак равенства (=) между двумя математическими выражениями, это уравнение. Другие параметры являются выражениями.

Определите уравнение, для которого 7 не является решением.

n + 2 = 9

7 — g = 0

x — 4 = 3

h$\times$ 1 = 8

Правильный ответ: h$\times$ 1 = 8
7$\times $ 1 = 7 и 7 ≠ 8. Таким образом, 7 не является решением данного уравнения.

Решить 9k = −27

−3

−1

Правильный ответ: −3
9k = −27
к = -$\фракция{27}{9} $
k = -3

Вывод

Таким образом, мы узнали определение уравнения и его различные типы. Кроме того, здесь также было решено несколько вопросов, чтобы дать учащимся четкое представление о решении уравнения. Учащийся может хорошо усвоить эту концепцию, решая такие задачи. Преподавание математических понятий может быть сложной задачей, особенно когда ученики маленькие дети. Итак, чтобы облегчить жизнь родителей и учителей, SplashLearn предлагает несколько курсов, специально разработанных для учащихся K-8. Ведь учиться должно быть весело!

Часто задаваемые вопросы по уравнениям

Какие бывают типы уравнений?

Существует три типа уравнений, основанных на степени. Линейное уравнение, квадратное уравнение и кубическое уравнение.

Как линейные уравнения используются в повседневной жизни?

Линейные уравнения используются для определения заработной платы на основе почасовой ставки, скорости и дозировки лекарств в зависимости от веса пациента.

Что должно быть в уравнении?

Уравнение в алгебре — это утверждение о равенстве, содержащее одну или несколько неизвестных величин или переменных.

Как решать уравнения?

Решение уравнений – общее правило

Удалите скобки и объедините одинаковые члены с каждой стороны уравнения.
Чтобы изолировать переменный термин, вы можете использовать сложение или вычитание.
Чтобы найти переменную, используйте умножение или деление. 2 Альберта Эйнштейна, получили большую часть общественной славы, многие менее известные формулы имеют своих сторонников среди ученых. LiveScience попросила физиков, астрономов и математиков назвать их любимые уравнения; вот что мы нашли.
Связанный: Из чего состоит Вселенная? Математика, говорит ученый
Общая теория относительности
(Изображение предоставлено: Shutterstock/R.T. Wohlstadter )
Приведенное выше уравнение было сформулировано Эйнштейном как часть его новаторской общей теории относительности в 1915 году. Теория произвела революцию как ученые поняли гравитацию, описывая силу как искривление ткани пространства и времени.
«Меня до сих пор удивляет, что одно такое математическое уравнение может описать пространство-время», — сказал астрофизик из Научного института космического телескопа Марио Ливио, назвав это уравнение своим любимым. «Весь истинный гений Эйнштейна воплощен в этом уравнении». [Викторина Эйнштейна: проверьте свои знания о гении]
«Правая часть этого уравнения описывает энергетическое содержание нашей вселенной (включая «темную энергию», которая обеспечивает текущее космическое ускорение)», — объяснил Ливио. «Левая часть описывает геометрию пространства-времени. Равенство отражает тот факт, что в общей теории относительности Эйнштейна масса и энергия определяют геометрию и, соответственно, кривизну, которая является проявлением того, что мы называем гравитацией». [6 странных фактов о гравитации]
«Это очень элегантное уравнение», — сказал Кайл Крэнмер, физик из Нью-Йоркского университета, добавив, что уравнение раскрывает связь между пространством-временем, материей и энергией. «Это уравнение говорит вам, как они связаны — как присутствие Солнца искривляет пространство-время, так что Земля движется вокруг него по орбите и т. д. Оно также говорит вам, как развивалась Вселенная после Большого взрыва, и предсказывает, что должно черные дыры.»
Стандартная модель
(Изображение предоставлено Shutterstock/R.T. Wohlstadter )
Еще одна господствующая теория физики. Стандартная модель описывает совокупность элементарных частиц, которые, как считается, в настоящее время составляют нашу Вселенную.
Теория может быть заключена в основное уравнение, называемое стандартной моделью Лагранжа (названное в честь французского математика и астронома 18-го века Жозефа Луи Лагранжа), которое было выбрано физиком-теоретиком Лэнсом Диксоном из Национальной ускорительной лаборатории SLAC в Калифорнии в качестве его любимая формула.
«Он успешно описал все элементарные частицы и силы, которые мы наблюдали в лаборатории на сегодняшний день, кроме гравитации», — сказал Диксон LiveScience. «Это включает, конечно, недавно открытый бозон Хиггса, фи в формуле. Он полностью согласуется с квантовой механикой и специальной теорией относительности».
Стандартная модельная теория, однако, еще не объединена с общей теорией относительности, поэтому она не может описать гравитацию. [Инфографика: объяснение стандартной модели]
Исчисление
(Изображение предоставлено Shutterstock/agsandrew )
Хотя первые два уравнения описывают отдельные аспекты нашей вселенной, другое любимое уравнение можно применять ко всем ситуациям. Основная теорема исчисления составляет основу математического метода, известного как исчисление, и связывает две его основные идеи, понятие интеграла и понятие производной.
«Проще говоря, [это] говорит о том, что чистое изменение гладкой и непрерывной величины, такой как пройденное расстояние, за заданный интервал времени (т.е. разница значений величины в конечных точках времени интервал) равен интегралу скорости изменения этой величины, то есть интегралу скорости», — сказала Мелкана Бракалова-Тревитик, заведующая кафедрой математики Фордемского университета, выбравшая это уравнение своим любимым. «Фундаментальная теорема исчисления (FTC) позволяет нам определить чистое изменение за интервал на основе скорости изменения за весь интервал».
Семена исчисления зародились в древние времена, но большая часть их была собрана в 17 веке Исааком Ньютоном, который использовал исчисление для описания движения планет вокруг Солнца.
Теорема Пифагора
(Изображение предоставлено: Shutterstock/igor. stevanovic (открывается в новой вкладке))
«Старое, но хорошее» уравнение — это знаменитая теорема Пифагора, которую изучает каждый начинающий студент, изучающий геометрию.
Эта формула описывает, как для любого прямоугольного треугольника квадрат длины гипотенузы, 92
«Самым первым математическим фактом, который меня поразил, была теорема Пифагора», — сказала математик Дайна Таймина из Корнельского университета. «Я тогда был ребенком, и мне казалось таким удивительным, что это работает в геометрии и работает с числами!» [5 ошеломляющих математических фактов]
1 = 0,999999999….
(Изображение предоставлено Shutterstock/Tursunbaev Ruslan )
Это простое уравнение, утверждающее, что число 0,999, за которым следует бесконечная цепочка девяток, эквивалентно единице, принадлежит математику Стивену Строгацу. Корнельского университета.
«Мне нравится, насколько это просто — все понимают, что там написано, — и в то же время провокационно», — сказал Строгац. «Многие люди не верят, что это может быть правдой. Это также прекрасно сбалансировано. Левая сторона представляет собой начало математики, правая сторона представляет тайны бесконечности».
Специальная теория относительности
(Изображение предоставлено Shutterstock/optimarc (открывается в новой вкладке))
Эйнштейн снова попал в список со своими формулами специальной теории относительности, которая описывает, что время и пространство не являются абсолютными понятиями, а скорее относительными в зависимости от скорости наблюдателя. Приведенное выше уравнение показывает, как время растягивается или замедляется, чем быстрее человек движется в любом направлении.
«Дело в том, что это действительно очень просто», — сказал Билл Мюррей, физик частиц из лаборатории CERN в Женеве. «Там нет ничего, что не мог бы сделать отличник, никаких сложных производных и алгебры следов. Но то, что он воплощает, — это совершенно новый взгляд на мир, целостное отношение к реальности и наше отношение к ней. неизменный космос сметается и заменяется личным миром, связанным с тем, что вы наблюдаете. Вы переходите от пребывания вне вселенной, глядя вниз, к одному из компонентов внутри нее. Но концепции и математику может понять каждый, кто хочет к.»
Мюррей сказал, что предпочитает уравнения специальной теории относительности более сложным формулам более поздней теории Эйнштейна. «Я никогда не мог следовать математике общей теории относительности», — сказал он.
Уравнение Эйлера
(Изображение предоставлено Shutterstock/Jezper (открывается в новой вкладке)) граней, ребер и вершин, и пусть F — количество граней, E — количество ребер и V — количество вершин, вы всегда получите V — E + F = 2», — сказал Колин Адамс, математик из Уильямс-колледжа в Массачусетс.
«Возьмем, к примеру, тетраэдр, состоящий из четырех треугольников, шести ребер и четырех вершин», — пояснил Адамс. «Если вы сильно подуете на тетраэдр с гибкими гранями, вы можете округлить его до сферы, так что в этом смысле сферу можно разрезать на четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. И мы видим, что V – E + F = 2. То же верно для пирамиды с пятью гранями — четырьмя треугольными и одной квадратной — с восемью ребрами и пятью вершинами» и любой другой комбинацией граней, ребер и вершин.
«Очень крутой факт! Комбинаторика вершин, ребер и граней улавливает что-то очень фундаментальное в форме сферы», — сказал Адамс.
Уравнения Эйлера-Лагранжа и теорема Нётер
(Изображение предоставлено Shutterstock/Marc Pinter )
«Это довольно абстрактно, но удивительно мощно», — сказал Кранмер из Нью-Йоркского университета. «Круто то, что такой взгляд на физику пережил некоторые крупные революции в физике, такие как квантовая механика, теория относительности и т. д.»
Здесь L означает лагранжиан, который является мерой энергии в физической системе, такой как пружины, рычаги или элементарные частицы. «Решение этого уравнения говорит вам, как система будет развиваться со временем», — сказал Кранмер.
Побочный продукт уравнения Лагранжа называется теоремой Нётер в честь немецкого математика 20-го века Эмми Нётер. «Эта теорема действительно фундаментальна для физики и роли симметрии», — сказал Кранмер. «Неформально теорема состоит в том, что если ваша система обладает симметрией, то существует соответствующий закон сохранения. Например, идея о том, что фундаментальные законы физики сегодня такие же, как и завтра (временная симметрия), подразумевает, что энергия сохраняется. идея о том, что законы физики здесь такие же, как и в космическом пространстве, подразумевает, что импульс сохраняется. Симметрия, возможно, является движущей концепцией в фундаментальной физике, в первую очередь благодаря вкладу [Нётер]».
Уравнение Каллана-Симанзика
(Изображение предоставлено Shutterstock/R.T. Wohlstadter )
«Уравнение Каллана-Симанзика — это жизненно важное уравнение из первых принципов 1970 года, необходимое для описания того, как наивные ожидания терпят неудачу в квантовом мире», — сказал физик-теоретик Мэтт Страсслер из Университета Рутгерса.
Это уравнение имеет множество применений, в том числе позволяет физикам оценить массу и размер протона и нейтрона, составляющих ядра атомов.
Основы физики говорят нам, что сила гравитации и электрическая сила между двумя объектами обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними. На простом уровне то же самое верно для сильного ядерного взаимодействия, которое связывает протоны и нейтроны вместе, образуя ядра атомов, и которое связывает кварки вместе, образуя протоны и нейтроны. Однако крошечные квантовые флуктуации могут немного изменить зависимость силы от расстояния, что имеет драматические последствия для сильного ядерного взаимодействия.
«Это предотвращает уменьшение этой силы на больших расстояниях и заставляет ее захватывать кварки и объединять их, чтобы сформировать протоны и нейтроны нашего мира», — сказал Штрасслер. «Уравнение Каллана-Симанзика связывает этот драматический и трудно поддающийся расчету эффект, важный, когда [расстояние] примерно равно размеру протона, с более тонкими, но более легкими для расчета эффектами, которые можно измерить, когда [ расстояние] намного меньше протона».
Уравнение минимальной поверхности
(Изображение предоставлено Shutterstock/MarcelClemens )
«Уравнение минимальной поверхности каким-то образом кодирует красивые мыльные пленки, которые образуются на границах проводов, когда вы опускаете их в мыльную воду», — сказал математик Фрэнк Морган из колледжа Уильямс. . «Тот факт, что уравнение является «нелинейным» и включает в себя степени и произведения производных, является закодированным математическим намеком на удивительное поведение мыльных пленок. Это контрастирует с более известными линейными уравнениями в частных производных, такими как уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнение Шрёдингера в квантовой физике».
Прямая Эйлера
(Изображение предоставлено Патриком Ионом/Mathematical Reviews/AMS)
Глен Уитни, основатель Музея математики в Нью-Йорке, выбрал другую геометрическую теорему, имеющую отношение к прямой Эйлера, названную в честь швейцарского математика и физика XVIII века Леонарда Эйлера.

«Начните с любого треугольника», — объяснила Уитни. «Нарисуйте наименьший круг, содержащий треугольник, и найдите его центр. Найдите центр масс треугольника — точку, в которой треугольник, если его вырезать из листа бумаги, балансировал бы на булавке. Нарисуйте три высоты треугольника. треугольника (линии, проведенные из каждого угла перпендикулярно противоположной стороне), и найдите точку, где они все пересекаются. Теорема состоит в том, что все три точки, которые вы только что нашли, всегда лежат на одной прямой, называемой «прямой Эйлера» треугольник».
Уитни сказала, что теорема заключает в себе красоту и силу математики, которая часто обнаруживает удивительные закономерности в простых, знакомых формах.
Подписывайтесь на Клару Московиц в Твиттере @ClaraMoskowitz или LiveScience @livescience. Мы также есть в Facebook и Google+.
Будьте в курсе последних научных новостей, подписавшись на нашу рассылку Essentials.
Свяжитесь со мной, чтобы сообщить о новостях и предложениях от других брендов Future.
No related posts.