Матрицы ba ab – Онлайн калькулятор. Умножение матриц.

10 Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц

Б.М.Верников

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики

Б.М.Верников

Лекция 10: Умножение матриц

Вступительные замечания

В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются ее свойства и указываются некоторые ее приложения. Как мы увидим, используя умножение матриц можно существенно сократить как запись многих формул, так и доказательства некоторых утверждений. Операция умножения матриц будет активно использоваться в дальнейшем в данном курсе и во многих других математических курсах.

Б.М.Верников

Лекция 10: Умножение матриц

Определение произведения матриц

Прежде всего отметим, что

!!произведение двух матриц определено лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго.

Иными словами, если матрица A имеет размер k `, а матрица B размер r m, то произведение AB существует тогда и только тогда, когда

` = r.

Определение

Пусть A = (aij ) матрица размера k `, а B = (bij ) матрица размера ` m. Тогда произведением AB матриц A и B называется матрица

C = (cij ) размера k m такая, что

cij = ai1b1j + ai2b2j + + ai`b`j :

Иными словами, cij есть сумма произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Для краткости правило вычисления элементов произведения матриц часто формулируют так:

элемент cij равен произведению i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B.

Б.М.Верников

Лекция 10: Умножение матриц

Некоммутативность произведения матриц (1)

Легко понять, что

произведение матриц некоммутативно,

т. е. равенство AB = BA выполняться не обязано. Прежде всего, может оказаться, что произведение матриц A и B в одном порядке существует, а в другом нет. Например, если матрица A имеет размер 3 5, а матрица B размер 5 4, то матрица AB существует (и имеет размер 3 4), а матрицы BA не существует. Далее, матрицы AB и BA могут существовать, но иметь разные размеры. Например, если A имеет размер 3 5, а B размер 5 3, то AB квадратная матрица порядка 3, а BA квадратная матрица порядка 5. Как показывает следующее замечание, ситуация, когда произведения AB и BA существуют и имеют одинаковые размеры, встречается довольно редко.

Замечание 1

Если произведения AB и BA существуют и имеют одинаковые размеры, то A и B квадратные матрицы одного и того же порядка.

Доказательство замечания 1 дано на следующем слайде.

Б.М.Верников

Лекция 10: Умножение матриц

Некоммутативность произведения матриц (2)

Доказательство. Пусть A матрица размера m n, а B матрица размера r s. Из существования произведения AB вытекает, что n = r, а из существования произведения BA что m = s. Но тогда AB квадратная матрица порядка m, а BA квадратная матрица порядка n. Поскольку размеры матриц AB и BA совпадают, получаем, что m = n. Таким образом, A и B квадратные матрицы порядка n.

Но и в случае, когда A и B квадратные матрицы одного и того же порядка, равенство AB = BA может не выполняться. Пусть, например,

1	5	4 0
A = 3	2	и B = 2 1 :
Тогда		12	8
22 1
AB = 14 3 ;		а BA = 5	1 :

Б.М.Верников

Лекция 10: Умножение матриц

Свойства произведения матриц

Свойства произведения матриц

1)Если произведения матриц AB и BC определены, то (AB)C = A(BC)

(умножение матриц ассоциативно).

2)Если A и B матрицы одного и того же размера и произведение матриц AC определено, то (A + B)C = AC + BC (умножение матриц дистрибутивно относительно сложения по первому аргументу).

3)Если B и C матрицы одного и того же размера и произведение матриц AB определено, то A(B + C) = AB + AC (умножение матриц дистрибутивно относительно сложения по второму аргументу).

4)Если произведение матриц AB определено, а t произвольное число, то (tA)B = A(tB) = t(AB).

5)Если E единичная матрица такая, что произведение AE [соответственно EA] определено, то AE = A [соответственно EA = A].

6)Если O нулевая матрица такая, что произведение AO [соответственно OA] определено, то AO = O [соответственно OA = O].

7)Если произведение матриц AB определено, то (AB)> = B>A>.

Б.М.Верников

Лекция 10: Умножение матриц

Обоснование свойств произведения матриц

Доказательство. Свойства 2)–7) проверяются простыми вычислениями, основанными на определениях операций над матрицами. Докажем свойство 1). Нам понадобится следующее свойство суммирования:

p	q	q	p
Xi 1	Xj 1	Xj 1	Xi 1
	xij =		xij :
=	=	=	=

Пусть A = (aij )m n, B = (bij )n r , C = (cij )r s , AB = D = (dij )m r ,

BC = F = (fij )n s , (AB)C = G = (gij )m s и A(BC) = H = (hij )m s .

Требуется доказать, что gij = hij			для всех i = 1; 2; : : : ; m и j = 1; 2; : : : ; s.
Возьмем в матрице G произвольный элемент gij и преобразуем его:
s	s	n	s n

h i

X X X XX

gij = dik ckj = ai`b`k ckj = ai`b`k ckj =

k=1	k=1	`=1
n	s	n
= `=1	k=1 ai`b`k ckj =	`=1 hai`
XX		X

Требуемое равенство доказано.

k=1 `=1

sn

i

XX

	b`k ckj = ai`f`j = hij :
k=1	`=1

Б.М.Верников

Лекция 10: Умножение матриц

Полураспавшаяся матрица

Произведение двух квадратных матриц одного и того же порядка есть квадратная матрица того же порядка. Нашей ближайшей целью является доказательство того факта, что определитель произведения таких матриц равен произведению их определителей. Для доказательства этого факта нам понадобятся некоторые новые понятия и результаты.

Определение

Квадратная матрица G порядка n называется полураспавшейся, если существуют натуральные числа p и q такие, что p + q = n и на пересечении последних q строк и первых p столбцов матрицы G стоит нулевая матрица.

Обозначим через A квадратную матрицу порядка p, стоящую на пересечении первых p строк и первых p столбцов полураспавшейся матрицы G, через B квадратную матрицу порядка q, стоящую на пересечении последних q строк и последних q столбцов матрицы G, а через F матрицу размера p q, стоящую на пересечении первых p строк и последних q столбцов матрицы G. Иными словами,

В этом случае мы будем говорить, что G полураспавшаяся матрица с диагональными блоками A и B.

Б.М.Верников

Лекция 10: Умножение матриц

Определитель полураспавшейся матрицы (1)

Предложение 1

Если G полураспавшаяся матрица с диагональными блоками A и B, то jGj = jAj jBj.

Доказательство. Пусть матрица G имеет вид (1), причем A и B квадратные матрицы порядков p и q соответственно, а F матрица размера p q. Положим A = (aij ), B = (bij ) и F = (fij ). Иными словами,

	0a21		a22	: : : a2p		f21	f22	: : : f2q 1
		a11	a12	: : :	a1p	f11	f12	: : :	f1q
	Ba. . . .a. . . .:.:.:. .a. . . . f. . . . .f. . .							:.:.:. . .f. . C		:
	= B p1 p2				pp p1 p2				pq C
G	B	0 0		: : :	0 b11		b12	: : :	C
	B								b1qC
	B	0 0		: : :	0 b21		b22	: : :	C
	B								b2qC
	B								C
	B								C
	B								C
	B								C

@. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A

0 0 : : : 0 bq1 bq2 : : : bqq

Доказательство предложения проведем индукцией по p.

Б.М.Верников

Лекция 10: Умножение матриц

Определитель полураспавшейся матрицы (2)

База индукции. Пусть p = 1. Тогда

			0	b11	b12
			a11	f11	f12
G	=		0	b21	b22
j j
		. . . . . . . . . . .
			0	bq1	bq2

:: : f1q

:: : b1q

: : : b2q :

. . . . . . . .

: : : bqq

Разложив определитель из правой части этого равенства по первому столбцу, получим, что j Gj = a11 jBj. С другой стороны, в рассматриваемом случае A = (a11) и jAj = a11. Следовательно,

j Gj = jAj jBj. База индукции доказана.

Шаг индукции. Предположим, что доказываемое равенство выполнено при p = r 1, и докажем, что тогда оно выполнено при p = r. Минор матрицы A, соответствующий элементу aij , будем, как обычно, обозначать через Mij . Разложив определитель матрицы G по первому столбцу и использовав после этого предположение индукции, получим, что

Б.М.Верников

Лекция 10: Умножение матриц

studfiles.net

Операции над матрицами

Операции над матрицами

1. Найдите , если  , 
2. Найдите , если , 
3. Найдите произведение AB и BA (если это возможно) при  , 
4. Определите, являются ли матрицы A и B коммутативными, если  , 
5. Транспонировать матрицу  
6. Найти и , если 

Ответы

3. AB=, BA не существует
4. Нет
5.  
6. , 

 

Метки матрицы. Смотреть запись.

www.itmathrepetitor.ru

matrices — Матрицы — Условия для $ AB + BA = 0 $

The Problem Let $A$ be the matrix $bigl(\begin{smallmatrix}a&b\c&d\end{smallmatrix}\bigr)$ , where no one of $a,b,c,d$ is $0$ . Let $B$ be a $2\times 2$ matrix such that $AB+BA=\bigl(\begin{smallmatrix} 0&0\0&0 \end{smallmatrix}\bigr)$ . Show that either

1. $a+d=0$ , in which case the general solution for $B$ depends on 2 parameters, or
2. $ad-bc=0$ , in which case the general solution for $B$ depends on one parameter.

(this is question 22 of the last matrix exercise of Further Pure Mathematics by Bostock et al.)

Comments Writing $B=\bigl(\begin{smallmatrix} e&f\g&h \end{smallmatrix}\bigr)$ and multiplying out I get that

1. $(a+d)(f+g)+(b+c)(e+h)=0$
2. $ae+bg+cf+dh=0$

but I am unable to get the required restrictions on $a,b,c,d$ . Is there a quick way of doing the problem that doesn’t require manual computation? I thought of considering invertible and non-invertible cases but couldn’t get anywhere. Help would be much appreciated.

Проблема Пусть $A$ матрица $bigl(\begin{smallmatrix}a&b\c&d\end{smallmatrix}\bigr)$ , где ни один из $a,b,c,d$ не равен $0$ . Пусть $B$ — матрица $2\times 2$ , такая, что $AB+BA=\bigl(\begin{smallmatrix} 0&0\0&0 \end{smallmatrix}\bigr)$ . Покажите, что либо

1. $a+d=0$ , в этом случае общее решение для $B$ зависит от 2-х параметров или
2. $ad-bc=0$ , в этом случае общее решение для $B$ зависит от одного параметра.

(это вопрос 22 из последней матрицы осуществления Далее чистой математики по Бостоку и др.)

Комментариев Запись $B=\bigl(\begin{smallmatrix} e&f\g&h \end{smallmatrix}\bigr)$ и перемножения Я понимаю, что

1. $(a+d)(f+g)+(b+c)(e+h)=0$
2. $ae+bg+cf+dh=0$

, но я не могу получить необходимые ограничения на $a,b,c,d$ . Есть ли быстрый способ решить проблему, которая не требует ручного вычисления? Я думал о рассмотрении обратимых и необратимых случаев, но никуда не мог добраться. Помощь будет высоко оценена.

math.stackovernet.com

12 3 -2 1 -4 3 A=(-4 0 -3 ) B=(0 5 -3 ) 0 -4 3 2 1 1

• Главная
• Вопросы и ответы
• линейная алгебра матрицы и определители Вычислить AB-BA,если матрицы A и B заданы: 12 3 -2 1 -4 3 A=(-4 0 -3 ) B=(0 5 -3 ) 0 -4 3 2 1 1

Выполним умножение матриц:

 

AB = 

 

BA = 

Расчитаем их разность:

+

(- 

) = 

+

 

=  

=  

Ответ:

AB — BA =  

globuss24.ru

No related posts.