Чем алгебра отличается от математики – Чем математика отличается от алгебры?

Содержание

Отличия алгебры от арифметики

Алгебра, так же как и арифметика, занимается нахождением решений различных вопросов, относящихся к числам. Но между этими двумя науками есть существенная разница:

Алгебра имеет дело не с числами, а с буквами, которые могут обозначать какие угодно числа.
В арифметике мы стараемся найти решение только одного данного вопроса с известными определенными числами. В алгебре — найти общее решение всех вопросов одного рода, какие бы числа не были даны.

Чтобы выяснить, что такое общее решение численного вопроса, решим задачу:

Два путешественника в одно и то же время выходят навстречу друг другу из двух городов, находящихся на расстоянии 240 километров. Первый проходит в день 25 километров, второй 35 километров. Через сколько дней после своего отправления они встретятся?

Каждый день они приближаются друг к другу на 25 + 35 = 60 километром; следовательно они пройдут весь разделяющий их путь и встретятся через 240 : 60 = 4 дня.

Предположим теперь, что требуется решить ту же задачу, но не над тремя данными числами 240, 25 и 25 километров, а над какими угодно числами. Это часто делается для того, чтобы решение вопроса имело более общее значение, то есть годилось бы для всех одинакового рода задач, какие бы целые или дробные числа не были даны. В таком случае мы уже не можем обозначать данные величины цифрами, имеющими одно известное числовое значение, а должны пользоваться какими-нибудь другими знаками, под которыми можно было бы подразумевать какие угодно числа. За такие знаки берут буквы латинского алфавита.

Назовем поэтому число километров между двумя городами буквой a, количество километров, проходимых в день первым путешественником, буквой b, а вторым c.

Решая задачу в этом общем виде, найдем, что оба путешественника каждый день приближаются друг к другу на

b + c километров и, следовательно, встретятся через столько дней, сколько раз сумма b + c километров заключается в километрах разделяющего их пути, то есть через дней. Полученное выражение представляет общее решение данного вопроса. Подставив вместо букв числа и произведя действия, найдем прежний ответ: .

Буквенное или общее решение имеет следующие преимущества перед числовым или частным решением:

Оно пригодно не для одной предложенной задачи, а для всех однотипных задач, какие бы числа в них не были даны. Например, если вместо 240, 25 и 35 даны числа 360, 20 и 40, то, подставив их в полученное выражение вместо a, b, и c, найдем, что искомое число дней равно и так далее.
Из буквенного выражения ясно видно, какие действия и в каком порядке надо совершить над данными величинами для получения искомого ответа.

Легко заметить, что при решении вопросов, подобных данному, имеет существенное значение не «именование» предметов или понятий, данных в задаче, но количественная их величина, а потому прямо переходим к тому, что нашу задачу можно обобщить.

Например, два предмета одновременно начинают двигаться из двух мест, находящихся на расстоянии a единиц длины (всё равно каких: метры, километры, футы и т.д.). Первый предмет проходит в каждую единицу времени (сутки, час, секунду) b, а второй c таких единиц длины. Через сколько единиц времени они встретятся? Решение, очевидно, будет прежнее: через единиц времени.

Эта запись называется общей формулой, она дает нам возможность любую новую задачу с подобными условиями решить без повторения рассуждений — одним вычислением.

Итак, алгебра имеет целью находить общие решения вопросов, относящихся к числам, а также обобщать эти вопросы.

Кроме того, алгебра занимается тем, чтобы эти общие решения представлять в наиболее простом и ясном виде, также она учит, как преобразовывать одно буквенное выражение в другое, тождественное с ним, то есть в такое, которое остается равным первому при каких угодно числах.

naobumium.info

Школьную математику разобьют на три уровня и сделают «честной»

Единой программе обучения математике в России пришел конец

— Алексей Львович, зачем нам новая концепция матобразования? Что не так с нынешней?

— Начнем с того, что нынешней у нас нет, а внезапная насильственная революция нам не нужна. Концепция, в создании которой принимали участие сотни учителей, преподавателей вузов, профессиональных математиков,ясно формулирует вектор развития, отражающий реальную необходимость. У вектора, как хорошо понимают математики, и мы хотим, чтобы понимал каждый гражданин страны, есть несколько компонентов – измерений. Одним из таких измерений является честность.

Типичная школьная картина: половина учеников не усваивают объяснений на уроках математики, не выполняет простейших заданий. А учителя закрывают на это глаза и ставят им «липовые» «тройки». Оправдание для такой нечестности у всех простое: ребенок просто не способен к математике, но переводить его из класса в класс нужно, аттестат выдавать нужно. Между тем, детей, не способных к математике, нет! Бывают, конечно, тяжелые отклонения в умственном и психическом развитии. Но тогда об этом надо честно сказать и учить таких детей по специальным программам. Что же касается детей, которые смогут сосчитать сдачу в магазине, но слыхом не слыхивали о целых разделах математики, то здесь речь должна идти не о «неспособности», а об отсутствии части звеньев в цепочке их математических знаний, умений, навыков, компетенций, и как следствие – распада всей цепи. Приходит такой ученик в старшую школу, ему дают логарифмы и он, не понимая основ, начинает хитрить, списывать и т.д. А восстанови эту цепочку — и любой ребенок «вылезает» на надежную «тройку» или «четверку». Для этого могут понадобиться дополнительные занятия. Эти занятия могут вести тьюторы – учителя, выходящие на пенсию, на место которых будут приходить лучшие выпускники педагогических вузов (которые тоже во время учебы работали тьюторами). В итоге выиграют все. Для хороших учителей освободятся места. А с классом, лишившимся отстающих, будет проще работать.

Уверяю вас: базовая математическая грамотность доступна любому в той же степени, что умение рассуждать или говорить по-русски. Это представление и лежит в основе нашей концепции.

Другая нечестность, доставшаяся нам как историческое наследство – это «абсолютная», «объективная» отметка, которую ученик получает на уроке. Ясно же, что тройка в хорошей математической школе может оказаться выше, чем пятерка в обычной. Во многих образовательных сообществах разных стран от представления о единой отметке давно отказались. Ключевая идея — вести обучение математике в школе индивидуализированно. В текущих отметках надо открыто фиксировать соответствие результатов ребенка запланированным для него индивидуальным целям и отсутствие пробелов между звеньями его знаний.. Тогда измерения как раз и можно сделать объективными, автоматизировать их, дать учителю и ученику материал для индивидуализированному планированию. На уровень грамотности мы должны вывести — причем, обязательно честно — любого учащегося обычной школы. А дальше будем ставить отметки в зависимости от индивидуальной траектории и достигнутого уровня. Ребенок будет знать: у него «четверка», но второго уровня. А чтобы перейти на третий, надо много работать.

Перечисленные традиции, наряду с привычкой к школьному списыванию, наличием высококонкурсных направлений в вузах и службой в армии, необходимостью выдавать аттестат каждому, приводят к массовой нечестности в ЕГЭ. В ЕГЭ есть и менее откровенная нечестность – задачи, которые даются на экзамене, в существенной части берутся не произвольно из курса математики, а похожи не демонстрационные, тренировочные, известные с осени. Это подталкивает учителей к тому, чтобы «натаскивать» учеников именно на них.

Честности в итоговой аттестации нужно добиваться в первую очередь в государственной итоговой аттестации за 9-ый класс, это будет влиять и на честность в ЕГЭ. В девятом классе будут идти с опережением и другие изменения. Например, в прошлом году в ГИА-9 появились три раздела: традиционная алгебра и арифметика; геометрия; реальная математика. В каждом надо было набрать необходимый минимум.

— Чем алгебра отличается от геометрии, я понимаю. Но чем она отличается от «реальной математики»?

— Реальная математика это умение применять свои знания на практике. То самое понятие «компетентности», которое так не нравится многим преподавателям математики, для которых очень важны «знания». Эту компетентность и выявляет международное тестирование PISA. И тут у нас серьезные проблемы: решить несложную задачку, но непривычного вида – например, найти неизвестную величину из физической формулы – даже не пытаются 40% российских школьников! Да что там дети! Против таких задач возражают и учителя, уверяя, что на экзамене по математике нельзя давать задачи «по физике»! Между тем, при решении заданий PISA требуется лишь немножко подумать и распознать, какой кусочек математики нужен, притом более простой, чем у нас проходят в 9-м классе. Конечно, «подгонять» систему образования «под Пизу» столь же бессмысленно, как и «учить математику под ЕГЭ». Но мы ожидаем, что изменения, которые мы в прошлом году внесли в аттестацию для 9-го класса приведут не только к улучшению способности наших школьников применять математические знания, но и к улучшению позиции страны в исследовании PISA.

Есть и еще одна нечестность в содержании школьного математического образования. Мы живем в цифровом мире. Для применения математики и в повседневной жизни и в профессиональной деятельности человек использует компьютер, телефон и другие средства информационных технологий. А наша школа, особенно средняя, да и высшая во многом тоже, этого как будто «не замечает», и иногда и активно отрицает. Цифровые инструменты математической деятельности школьники должны осваивать во время учебы в школе. Возможность использовать такие инструменты при выполнении части традиционных заданий, позволит нам высвободить больше времени для понимания математического материала, самостоятельных рассуждений, доказательств и математических экспериментов учащихся, соотнесения математических моделей с реальным миром. Это может дать нашим школьникам преимущество перед ребятами из стран, где также по инерции этого не делают и продолжают учить по старой модели. Конечно, надо знать теоретическую математику и ее инструментарий. Но надо уметь реализовывать этот инструментарий в современной технологической среде!

— Я поняла, что школа будет стараться честно выучить ученика к концу девятого класса всей базовой математике без пробелов. Но что делать, все-таки, с теми, кто математику не освоил, ни из-за неспособности, а из-за социальных причин. Получат ли они свои «тройки», проходной балл ГИА?

— Это принципиальный вопрос. С одной стороны, мы ожидаем, что таких будет становиться все меньше, в том числе – и за счет помощи тьюторов, о которых я говорил выше. С другой стороны, для того, чтобы это происходило, нужно показать «серьезность наших намерений» — действительно, «ставить двойки». Сейчас число детей с «липовыми» «тройками» составляет не менее 10%, а то и 15-20%, а мы хотим, чтобы таких случаев стало меньше!

Мы считаем, что ученик, не сдавший государственную итоговую аттестацию за 9-ый класс, может поступить в 10-ый и там заниматься по особой программе, повторно сдавать экзамен после 10-го и 11-го классов. Сдача этого экзамена не позволит ему поступать в вуз, где требуется ЕГЭ по математике, но будет означать, что он обладает базовой математической грамотностью, необходимой каждому.

— Математическое образование в школе перестанет быть единым? Так это же революция!

— И здесь никакой революции нет. Еще в середине 1960-ых годов в стране появились «школы с углубленным изучением отдельных предметов». В массовом масштабе были школы с углубленным изучением иностранных языков – для социальной элиты и математические школы – для элиты интеллектуальной. В дальнейшем «профилизация» расширялась. Появились «гуманитарные гимназии», где было сокращено преподавание математики и естественно-научных дисциплин и т. д. И до ЕГЭ варианты выпускных экзаменов (не говоря уже о вступительных) были различными для различных категорий выпускников. Так что мы, как и в некоторых других изменениях, которые проводили в ЕГЭ, возвращаемся к «еще не хорошо забытому» старому. Нынешний Федеральный государственный образовательных стандарт средней школы явно предполагает разные варианты изучения математики в 10-11 классах. Естественно иметь и аттестацию на трех уровнях. Первый – уровень математической грамотности; второй будет готовить к профессиональному применению математики, а третий уровень — творческий. С отметкой только по ГИА-9 нельзя будет поступать в технический вуз, но в гуманитарный – пожалуйста.

Второй уровень аттестации — для детей, которые неплохо знают математику, и смогут использовать свои знания при продолжении обучения в техническом, экономическом и т. д. вузе. В нынешней концепции старшей школы, сделанной по модели международного бакалавриата, можно ввести курс, развивающий важные вещи – умение решать нестандартные (хотя и простые) задачки, расширять свой математический кругозор, получить представление об истории математических открытий, о современных применениях математики и т.д. После него будет несложно сдать нормальный ЕГЭ, а полученных баллов, возможно, хватит для поступления в технический вуз. Но в сильный технический вуз конкуренция будет расти, для поступления в него понадобиться усиленная математика в школе.

Наконец, третий уровень аттестации предназначен для отбора школьников, способных продолжать заниматься творческой математикой в университетах. Большинство из них будет учиться в специализированных школах, развивающих современную сеть таких школ. Все знают о Колмогоровском интернате при МГУ, Второй, Пятьдесят седьмой и т. д. школах в Москве, 239-ой в Петербурге. При этом будут широко использоваться и дистанционные образовательные технологии. Но и здесь не будет радикальной революции – прообразом такой системы является Заочная математическая школа советского времени.

— Трехуровневое матобразование будет только в 10-м и 11-м классах?

— Индивидуализация образования должна быть всюду – в дошколке, в младшей школе, в основной. Но сейчас базисные учебные планы в начальной и основной школе сделаны достаточно жестко, а потому индивидуализация там идет главным образом в виде работы с отстающими. Но не исключено, что и в основной школе удастся продолжить традицию углубленного изучения математике. Особо важным для нас будет дошкольное образование. Там сейчас новый Федеральный стандарт запускает тихую революцию, но это – предмет особого разговора.

— Что концепция меняет в подготовке учителей математики?

— Первое. Сейчас на математическом факультете будущим учителям преподают высшую математику. Те ее не особенно усваивают, но кое-как сдают: списывают или, в лучшем случае, что-то выучивают, но сразу после экзамена все забывают. А вот решать задачи их не учат, хотя именно этого ждут от них в школе. Но можно ли выучить детей тому, чего не умеешь сам?! Значит, надо менять программу. Студентов на 80% надо учить тому, что позже они будут требовать от детей в школе. Таким образом, с 1-го курса они должны решать те самые задачи, которые потом будут решать их ученики. При этом каждый студент должен выйти на собственный уровень сложности. Выходит на «двойку» — надо отчислять. Если у него школьная «тройка», граничащая с «двойкой», пусть доучится, но учителем ему быть не надо – слишком важна эта профессия, а он пусть работает где-нибудь еще. Студенты-хорошисты могут работать в районных общеобразовательных школах. А отличников с удовольствием возьмут лучшие школы, стонущие сейчас из-за отсутствия кадров.

Второе. Принципиально иным станет объем практики: с 1-го курса студенты должны много времени проводить в школе и в детском саду. При этом психолого-педагогическая составляющая будет строиться на базе практического опыта – с проработкой того, что, по словам будущего учителя, у него пока не получается.

Третье. Все, что студент наработал в ходе педпрактики в школе, будет фиксироваться в информационной среде и войдет в цифровой портфолио, с которым он потом будет устраиваться на работу. Согласитесь: достаточно посмотреть 2-3 минуты видео его взаимодействия с классом или увидеть, как он оценивает чью-то контрольную работу, чтобы понять, брать его в школу или нет. Тем самым мы, с одной стороны, поставим на выходе из вуза мощный профессиональный фильтр, а, с другой, приучим будущего учителя к школе и дадим ему нужные практические навыки для хорошо оплачиваемой работы, да еще поблизости от дома.

Четвертое. Учить будущих математиков должны люди соответствующего уровня математической деятельности. Специалистов высшего уровня – математиков-теоретиков должны растить профессора мехматов, время от времени что-то сами доказывающие и публикующие статьи. Будущих инженеров и программистов, профессионально применяющих математику, но ничего принципиально нового в ней не изобретающих – преподаватели инженерных вузов, занимающиеся приложением математики к свой области — например, работающие на какую-то фирму. А преподаватели педвузов должны время от времени учить детей в школе, или, скажем, придумывать новые задания для открытого банка ЕГЭ. Другими словами, заниматься тем самым делом, которому учат.

www.mk.ru

Что такое арифметика и чем она отличается от математики?

С одной стороны это очень простой вопрос. С другой, школьники, да и многие взрослые, часто путают арифметику и математику и толком не знают в чем же разница между этими двумя предметами. Математика — это наиболее обширное понятие, которое включает в себя любые действия с числами. Арифметика же лишь один из разделов математики. К арифметике относятся знакомство с цифрами, простой счет и операции с числами. Раньше в школах уроки назывались именно арифметикой и лишь со временем стали носить название математика, которая плавно перетекает в алгебру. По сути алгебра начинается тогда, когда в примерах появляются неизвестные числа и вместо них используются буквы. То есть по-простому операции с x и y.

Термин «арифметика» произошел от греческого слова «arithmos», что означает «число». В 14-15 веках данный термин переводился в Англии не совсем верно — «the metric art», что по сути означало «метрическое искусство», подходящее больше для геометрии, нежели простого счета и несложных действий с числами.

Одна из причин, почему в школах не используется понятие «арифметика» заключается в том, что даже на уроках в начальных классах помимо цифр изучают также геометрические формы и единицы измерения (сантиметр, метр и т.д.), а это уже выходит за пределы обычного счета. Тем не менее, обучение ментальной арифметике происходит в жизни ребенка в какой-то степени само собой, в процессе знакомства с окружающим миром. Термин «ментальная арифметика» означает умение считать в уме. Согласитесь, каждый из нас в какой-то момент жизни учится этому и не только благодаря школьным урокам.

Сегодня есть целые методики для развития у детей навыков скоростного счета в уме. Например, особенно популярно древнее Абакус обучение, в основе которого лежит умение считать на специальных счетах (отличаются от обычных с десятками). Abacus в переводе с английского и есть «счеты», потому и название методики звучит так же. Японцы же эту методику называют Соробан обучение, т.к. на их языке «счеты» называются именно «soroban».

В арифметике используются четыре элементарные операции — сложение, вычитание, умножение и деление. Причем неважно целые числа используются в примере или же десятичные и дроби. Знакомить ребенка с цифрами можно еще с раннего детства, причем делать это непринужденно и в игре. В этом родителям поможет не только воображение, но и множество специальных развивающих материалов, найти которые можно в любом магазине.

По современным требованиям к первому классу ребенок должен уже считать минимум в пределе десяти (а лучше до 20), а также осуществлять со знакомыми цифрами основные операции — складывать их и вычитать. Важно также, чтобы ребенок мог сравнивать, какое из чисел больше, какое меньше, а какие числа равны. Таким образом, можно сказать, что именно арифметику ребенок должен знать еще до поступления в школу.

Такие требования предъявляются не только в России, но и во всем мире, т.к. темп жизни ускоряется, а объем знаний ежедневно увеличивается. То, что достаточно было знать в школьной программе еще 20-30 лет назад, сегодня занимает не более 50% преподаваемой учителями информации. Как бы там ни было, арифметика всегда останется основой основ для изучения цифр и счета, а также первоначальным уровнем математики, без которого невозможно изучить более сложные задания и умения.

potomy.ru

Почему математика, а не арифметика? |

Для того чтобы понять, чем отличается курс арифметики от математики, показать разницу между тем, как учили арифметике раньше и как изучают математику сейчас, вспомним свои школьные годы.

Учительница спрашивала: сколько будет 1 + 2 ? Весь класс хором отвечал: три! А сколько будет 2 + 2? Четыре!
И так до тех пор происходило обучение, пока действие сложения не закреплялось всеми учениками. Затем переходили к вычитанию. После этого учились умножать, а затем делить. Это был метод, при котором больше времени отводилось на запоминание результата каждого отдельного действия сложения, чем на развитие мышления младших школьников.

Целостность знания разбивалась на отдельные части — сложение, вычитание, деление, умножение, и каждая часть усваивалась отдельно. В первом классе элементы знания подавались как отдельные единицы, а во втором классе и в третьем эти умения и навыки соединялись в целостное знание.
Только после того, как первоклассники усваивали каждое математическое действие в отдельности, они начинали складывать их в единое целое, приступая к изучению математических отношений и связей.

От детей требовали, чтобы они внимательно слушали учительницу и запоминали приемы решения задачи или примера. Считалось, что такой традиционный подход к изучению математики отвечал особенностям психики младших школьников. Даже учебник назывался “Арифметика”. Тем самым подчеркивался тот факт, что в начальных классах изучается только один из разделов науки математики.
Современная программа начальной школы предусматривает иной подход к обучению детей основам математических знаний. Она позволяет приблизить школьный курс математики к современной науке, полнее использовать умственные возможности детей и развить их способности.

Теперь в младших классах используется более содержательный метод обучения математике. В новой программе предусматривается обучение детей одновременно сложению и вычитанию, умножению и делению.

Новый школьный курс математики объединяет арифметику с элементами геометрии и алгебры. Дети уже с первого класса узнают, как взаимосвязаны математические действия. Это более содержательный путь обучения, и он дает больше, чем простая сумма знаний о сложении, вычитании, делении и умножении.

Усвоение математических знаний становится более емким и приводит к пониманию сути математических действий.
Например, вот какие преобразования можно произвести с простым примером:
1 + 2 = 3, но и 2 + 1 = 3.

Значит, уже в первом классе школьники узнают переместительный закон сложения: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется.
С этими же числами можно произвести вычитание: 3-2=1.
И закончит целостную единицу математического знания решение примера:
3-1 = 2.

Усвоение школьниками этих четырех примеров помогает им разобраться во взаимосвязи математических отношений.

Знакомство с элементами алгебры приходит с решением простейших уравнений, которые даются в виде практических задач.

Например:
В коробке было несколько (х) конфет. Наташа положила в коробку еще 3 конфеты, и в ней стало 10 конфет. Сколько конфет было в коробке сначала ?
Простое вычитание 10 — 3 = 7 позволяет найти значение загадочного х. Можно записать решение в таком виде: х = 10 – 3; х = 7.

Новая методика преподавания математики основывается на противопоставлении сложения и вычитания, увеличения и уменьшения. У детей появляется представление о связях между предметами и явлениями. Ведь все в математике подчинено взаимосвязи понятий, логических построений, математических действий.

repetitor-problem.net

Алгебра — Циклопедия

Истоки алгебры // KhanAcademyRussian [5:48]

Алгебра, изначально, — раздел математики, посвященный изучению операций над элементами множеств, которые могут так или иначе обобщать множества чисел, а операции — обобщать сложение и умножение. Требуя внимания на знаковых, а не пространственных объектах, алгебра противопоставляется геометрии и дополняет её. Синтез алгебры и геометрии доставляет алгебраическая геометрия. Исторически алгебра зародилась при решении уравнений, и её истоки берут начало в работах арабских математиков.

Ныне «алгеброй» того или иного рода могут называться всевозможные математические объекты, изучение которых началось с изучения самого языка, которыми описывались свойства чисел в изначальной традиции алгебры. Ранним примером такого объекта служит булева алгебра.

[править] История алгебры

Арифметика изучается с самых древних сохранившихся текстов, относимых к математике. В нынешних справочниках признается, что на развитие алгебры оказал влияние труд древнегреческого математика Диофанта Александрийского «Арифметика» (3 век с рождества Христова).

В труде арабского математика Мухаммеда аль-Хорезми под названием «Альджебр аль-мукабала» (9 век нашей эры), рассмотрены методы решения задач, сводящихся в современной терминологии к алгебраическим уравнениям первой и второй степеней. От названия этой работы и произошел термин «алгебра».

В 15-17 веках в работах европейских математиков появились применяемые в настоящее время обозначения алгебраических операций («+», «-»), скобки, знаки радикалов, обозначение степеней числа. Франсуа Виет в конце 16 века ввел буквенные обозначения для переменных.

В 17-18 веках под алгеброй понимается наука о вычислениях с использованием переменных, записанных с помощью букв, в частности решение алгебраических уравнений. В настоящее время в школьном образовании подобные буквенные вычисления называются элементарной алгеброй.

Задача о нахождении корней общего алгебраического уравнения n-й степени

a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+…+a_n−1x+a_n = 0

с помощью элементарных арифметических операций и операции извлечения корней становится центральной задачей алгебры.

Итальянскими математиками в 15 веке были найдены формулы для решения общего уравнения 3-й и 4-й степени, однако для более высоких степеней задача до 19 века не поддавалась решению.

В 1824 году норвежский математик Нильс Абель доказал, что уравнения выше 4-й степени в общем случае в радикалах не разрешимы. В 1830 году французский математик Эварист Галуа в рамках созданной им теории Галуа вывел общий критерий разрешимости алгебраического уравнения в радикалах.

С середины 19 века в центре алгебраических исследований оказывается изучение произвольных алгебраических операций. Так расширялось понятия числа, появилось понятие алгебра логики, были исследованы кватернионы, создано матричное исчисление, получила развитие теория групп.

Алгебра как общая теория произвольных алгебраических операций стала восприниматься с начала 20 века с появлением работ Давида Гильберта, Э. Штейница, Э. Артина, Эмми Нётер. Это понимание было закреплено в вышедшей в 1930 году монографии Б. Л. ван дер Вардена «Современная алгебра», остающейся до настоящего времени востребованным учебником по алгебре.

[править] Предмет алгебры

Предметом изучения современной алгебры являются множества с заданными на них алгебраическими операциями. При этом если между такими множествами можно установить изоморфизм (взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее операции), то множества считаются одинаковыми, и поэтому природа множеств безразлична. Следовательно, объектом изучения алгебры являются сами алгебраические операции.

Примером изучаемого в рамках алгебры множества с операцией является группа: множество с одной ассоциативной бинарной операцией, содержащее единицу и для каждого элемента — обратный элемент. Понятие группы появилось в теории Галуа в 19 веке, в которой группы сопоставлялись уравнениям, а условием разрешимости уравнения в радикалах оказалась разрешимость соответствующей группы. В дальнейшем были изучены такие обобщения групп, как полугруппы, квазигруппы и лупы.

В рамках алгебры изучаются такие алгебраические множества с двумя бинарными операциями как кольца и поля. В этих структурах одна из операций называется сложением (она коммутативна и каждый элемент имеет обратный), а другая операция — умножением (обычно, она предполагается ассоциативной, хотя могут изучаться и неассоциативные кольца).

В рамках линейной алгебры изучается линейное пространство с операцией сложения, а также с умножением на элементы основного поля (скаляры). Модуль — обобщение линейного пространства, в нем вместо поля скаляров элементы модуля умножаются на элементы кольца, которое берется вместо основного поля.

Внесение дополнительных структур, согласованных с алгебраическими операциями, привело к появлению новых разделов алгебры, пограничных с другими разделами математики. Это топологическая алгебра, включая теорию топологических групп и групп Ли, теория нормированных колец, дифференциальная алгебра. Как самостоятельную дисциплину можно рассматривать гомологическую алгебру.

[править] Роль алгебры в математике

Математик Игорь Шафаревич в своей книге «Алгебра — 1» вслед за математиком и философом Германом Вейлем видит роль алгебры в математике в том, что она занимается координатизацией математических объектов.

Вместе с фундаментальной ролью внутри математики алгебра применяется в прикладных областях. Теория представлений групп используется в физике, дискретные группы применяются в кристаллографии. Алгебраические методы используются в криптографии, теории кодирования, математической экономике. Абстрактная алгебра охватывает возможности вычислений.

Статья Алгебра в Математической энциклопедии.

cyclowiki.org

Что такое математика — ИНФОРМАТ

Математика — царица всех наук
Гаусс Карл Фридрих

Математика — наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач. Наука, занимающаяся изучением чисел, структур, пространств и преобразований.

Как правило, люди думают, что математика — это всего лишь арифметика, то есть изучение чисел и действий с их помощью, например, умножения и деления. На самом деле математика — это намного больше. Это способ описать мир и то, как одна его часть сочетается с другой. Взаимоотношения чисел выражаются в математических символах, которые описывают Вселенную, в которой мы живем. Любой нормальный ребенок может преуспевать в математике, потому что «ощущение числа» — это врожденная способность. Правда, для этого нужно приложить некоторые усилия и затратить немного времени.

Умение считать — это еще не все. Ребенку необходимо уметь хорошо выражать свои мысли, чтобы понимать задачи и устанавливать связи между фактами, которые хранятся в памяти. Для того чтобы выучить таблицу умножения, нужны память и речь. Именно поэтому некоторым людям с поврежденным мозгом трудно умножать, хотя другие виды счета не представляют для них сложности.

Для того чтобы хорошо знать геометрию и разбираться в форме и пространстве, требуются и другие виды мышления. С помощью математики мы решаем в жизни проблемы, например, делим шоколадку поровну или находим нужный размер ботинок. Благодаря знанию математики ребенок умеет копить карманные деньги и понимает, что можно купить и сколько денег тогда у него останется. Математика — это еще и способность отсчитать нужное количество семян и посеять их в горшочек, отмерять нужное количество муки для пирога или ткани на платье, понять счет футбольной игры и множество других повседневных дел. Везде: в банке, в магазине, дома, на работе — нам необходимо умение понимать числа, формы и меры и обращаться с ними. Числа — это только часть особого математического языка, а лучший способ выучить любой язык — это применять его. И начинать лучше с ранних лет.

О математике «умно»

Обычно идеализированные свойства исследуемых объектов и процессов формулируются в виде аксиом, затем по строгим правилам логического вывода из них выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Т.о. первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное к математике положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе существует много различных определений математики.

Разделы математики

Математический анализ.
Алгебра.
Аналитическая геометрия.
Линейная алгебра и геометрия.
Дискретная математика.
Математическая логика.
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальная геометрия.
Топология.
Функциональный анализ и интегральные уравнения.
Теория функций комплексного переменного.
Уравнения с частными производными.
Теория вероятностей.
Математическая статистика.
Теория случайных процессов.
Вариационное исчисление и методы оптимизации.
Методы вычислений, то есть численные методы.
Теория чисел.

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного математика — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. Пространство Rⁿ, при n>3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях.

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Видео-лекция Смирнова С.К. и Ященко И.В. «Что такое математика»:

Похожая информация:

informat.name

Как понять математику? или Математика для чайников

Разобраться в математике, порой, действительно становится непросто. Кто-то упустил её ещё в школе, кто-то давным-давно позабыл то, что понимал когда-то, и в университете становится крайне сложно справляться с заданиями по высшей математике. «Горы» формул, интегралы, вычисление производной и прочие «прелести» программы повергают нас в ужас. Разбираясь в этом, зачастую можно почувствовать себя полным «чайником».

Во многих случаях работает метод «списать у соседа». Но здесь есть 2 «но»: 1. одногруппники и одноклассники, зачастую, сами не знают, как решить задания, поэтому списывать оказывается не у кого; 2. это не поможет вам на экзамене и контрольной, ведь там у вас будет свой личный билет с заданиями, которые предстоит решать.

Что же делать?

Самый первый совет, если вы учитесь в университете, посещайте лекции и записывайте. Даже если вы ничего не поймёте на самой лекции, записанные темы и формулы дадут вам шанс разобраться дома, или, как минимум, предъявить конспект на экзамене лектору. Поверьте, наличие конспекта значительно повышает ваши шансы сдать экзамен, даже если знаете вы предельно мало.

В случае, если дома, глядя в учебник по математике и тетрадь, вы также чувствуете, себя «чайником», самым правильным решением будет обратиться к репетитору, лучше – к онлайн-репетитору. Т.к. во-первых, это дешевле, во-вторых, вам смогут объяснить темы и как решать отдельные задания практически в любое время суток, а это очень удобно. Опытных онлайн-репетиторов по вышмату, теории вероятностей и математической статистике вы найдёте здесь. Если нужна помощь по школьному курсу математики, то советуем перейти сразу сюда.

Но самый важный совет, который точно поможет вам в сложной ситуацией с математикой – освойте минимум! Если вы на экзамене не сможете дать правильный ответ на вопрос «Чему равна сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника» (а она равна квадрату гипотенузы), то скорее всего, дальше вас даже «тянуть» не станут. Поэтому важно запомнить основные правила, алгоритмы и формулы, которые преподаватели спрашивают на экзамене, либо дают на контрольных. Освоить необходимый минимум вам также легко поможет хороший репетитор по математике, либо, в случае студентов, высшей математике.

Из основного, давайте вспомним правила раскрытия скобок:

…+ (-a+b+c-d) = -a+b+c-d — Если перед скобками стоит знак плюс, то мы можем просто опустить скобку и оставить каждое значение с тем же знаком, с которым оно стоит.

…- (-a+b+c-d) = a-b-c+d– Если перед скобками стоит знак минус, то опуская скобки, мы меняем знак каждого значения (был «минус», значит после раскрытия скобки на его месте будет «плюс», и наоборот).

Даже если вы вдруг перепутаете это в письменном экзаменационном задании, а экзаменатор укажет вам на ошибку, вы можете быстро озвучить правило и сказать, что вы просто переволновались и неправильно написали. Это гораздо лучше, чем промолчать, опустив глаза, когда у вас спрашивают «Где здесь допущена ошибка?».

Такое же правило действительно и для умножения.

a(b-c) =ab-ac– Перед «а» нет минуса, а значит знаки сохраняются.

-a(b-c)= ab+ac– Перед «a» есть знак минуса, а значит при раскрытии скобок мы должны поменять знак.

В целом, важно помнить, что ДВА МИНУСА ДАЮТ ПЛЮС, а ТРИ МИНУСА – ДАЮТ МИНУС. Главное не запутаться в этом при решении задач по высшей или даже школьной математике.

Далее рассмотрим приведение подобных слогаемых.

Сталкиваясь с подобными примерами важно помнить, что вы можете вычитать и складывать только те значения, у которых одинаковые переменные и степени. Т.е. от 5ax можно вычесть 9 ax, но нельзя просто вычесть 9ax² (т.к. у х другая степень), либо нельзя прибавить 9yz, т.к здесь участвуют другие переменные.

Кстати, о степенях. Очень многие напрасно их пугаются, ведь на деле это обычное умножение числа на самого себя.

Как решать дроби?

На самом деле, с ними тоже довольно просто разобраться. Важно запомнить простое правило, что складывать и вычитать дроби можно только с одинаковым знаменателем.

Правило приведения дробей к общему знаменателю:

Например:

Очень важно помнить, что СНАЧАЛА делаем УМНОЖЕНИЕ или ДЕЛЕНИЕ, а ПОТОМ – ВЫЧИТАНИЕ и СЛОЖЕНИЕ. Т.е. в нашем примере будет крайне грубой ошибкой умножить 5 на 8 и сразу прибавить 7. Правильно сначала умножить 5 на 8, затем умножить 7 на 6. И только потом сложить полученные результаты!

Умножаются все дроби по принципу: числитель умножаем на числитель, знаменатель умножаем на знаменатель.