Матрицы решение задач: Онлайн решение задач по математике. Матрицы

Примеры решения матриц с ответами

О чем статья

Теорема

Матрица – это математическая таблица с числовыми значениями. Обозначаются матрицы латинскими буквами.

Есть два отличия между матрицами:

1. Комплексные матрицы.  Это когда хотя бы одно число равно  комплексному.
2. Действительные матрицы. Это когда в матрице содержаться действительные числа.

С матрицей можно выполнять самые наипростейшие действия: умножение, деление, сложение, вычитание и трансформация.

Сложение и вычитание

Данные действия можно совершать тогда, когда матрицы равны между собой, чтобы в конце получилось выражение аналогичной размерности. Сложение и вычитание выполняются по аналогии друг друга.

Пример 1

Задание

Даны две матрицы, найдите их  сумму.

Решение

Элемент первой строки складывается с элементом второй. Абсолютно также совершается вычитание, только вместо плюса, нужно поставить минус.

Пример 2

Задание

Даны две матрицы, найдите их разность.

Решение

Пример 3

Задание

Найдите C=2A +3B, если :

Решение

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Умножение

В математике умножать таблицу с числами можно абсолютно любую. В таком случае число умножается с показателем. Умножаем первое число на первой строке с числом второго столбца и так далее.

Пример

Задание

Даны две матрицы. Умножьте их друг на друга.

Решение

=

Матрицы можно перемножать друг на друга, только если количество столбцов в первой матрице, равно количеству строк второй. Элемент матрицы будет равняться сумме произведений (Aji), где i – строки в таблице; j – строки чисел второй таблицы.

Возведение матрицы в степень

Данную формулу используют лишь в случаях, если матрица стоит в квадратном выражении. Важно  знать, что степень должна быть у таких выражений натуральной!

Если число не будет натуральным, то это усложняет возведение матрицы в степень, так как степень n придётся умножить саму на себя n количество раз. Но если у Вас такой случай, то используется следующая формула.

Пример

Задание

Найдите

матрицы.

Решение

В первую очередь найдём, для этого нужно будет просто умножить её саму на себя.

После по формуле подставляем числовые значения.

Расчёт определителя

В математике линейной есть два понятия – определитель и детерминант. Определитель – это какое-либо число, которое ставится в соответствии с квадратной матрицей. Определитель используется при решении многих задач. Найти его можно с помощью формулы.

А детерминант находиться с помощью перемножения простых матриц, используются числа только с побочной и главной диагоналях.

Есть вероятность, что произведения матрицы будут значительно отличаться друг от друга. Если индекс чётный, то число будет со знаком плюс, если нечётный, то число будет со знаком минус. Обозначается определитель det А, а круглые скобки меняются на квадратные.

Пример 1

Дано

Решение

Пользуемся свойствам степеней – A^{3}=A^{2}*A

Возведём А в A^{2}

Далее используем свойство степеней

Ответ

Пример 2

Задание

Найдите определитель матрицы А.

Решение

Обратная матрица

Перед тем, как речь непосредственно пойдёт о самой обратной связи матрицы, давайте разберём алгоритм трансформирования матрицы. Во время трансформации столбцы и строки меняются местами.

Пример

Задание

Найти обратную матрицу А.

Решение

Приписываем к матрице А матрицу третьего ряда.

Переводим всё в единичную матрицу.

Ответ

Обратная матрица схожа с алгоритмом нахождения обратных чисел. К примеру, если умножить матричную таблицу на обратную матрицу, то в итоге мы получаем A*A(-1)=E. Но чтобы перейти уже к нахождению обратной матрицы, нам придётся найти её определитель. Мы рассмотрим самый простой способ – алгебраических дополнений.

Пример 1

Задание

В пример возьмём квадратную матрицу, она находиться с помощью следующей формулы:

, где

-транспортированные матрицы;|А| – определитель.

Рассмотрим самый простейший пример, где размер таблицы  2*2.

Найти обратную матрицу

Решение

Для начала находим определитель матрицы.

Если ответ равен нулю, то обратной матрицы нет! Так как наш ответ равен -2, то всё в порядке. Следующим действием нам нужно будет рассчитать матрицу миронов. Таблица элементов при этом не изменяется. Где прописан нужным нам элемент, нужно вычеркнуть строчку или столбец, оставшееся число и будет являться мироном.

Подставляем числа, возвращаясь к матрица, которая указана выше.

Всегда начинаем с левого верхнего угла и делаем следующее:

← линиями показано, что нужно и как зачеркнуть.

Как итог, у нас остаётся число 4

Теперь мы переходим к нахождению алгебраических дополнений.

Первым делом нужно поменять знаки у двух чисел в мироне.

  ← подчёркнуты те числа, у которых мы будем менять знаки.

, вот что у нас получилось.

И наконец-то мы переходим к завершающему этапу, к нахождению транспортированной матрице.

, вспоминаем формулу нахождения, и подставляем числовые значения

В завершении желательно проверить правильно ли мы нашли числовую таблицу. Это делать не обязательно, но рекомендуется, чтобы удостовериться в том, то ответ верный.

Пример 2

Задание

Найдите матрицу А.

Начинаем с определения матрицы.

Дело осталось за малым – осталось начти алгебраическое дополнение матрицы А:

Не забываем записать союзную матрицу:

И уже из неё находим обратную матрицу:

Получаем ответ

Средняя оценка 2 / 5. Количество оценок: 39

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

65043

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Матрицы и детерминанты — задачи с решениями

Задача 1

Каков размер матрицы $A$?

5

$5 \times 4$

$4 \times 5$

20

Задача 2

$A=\left( \begin{array}{ccccc} 2 & -2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1% \end{array}% \right) $

Чему равен элемент $A_{2,4}$?

Задача 3

$A=\left( \begin{array}{ccccc} 2 & -2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1% \end{array}% \right) $

Чему равен элемент $A_{3,2}$?

Задача 4

Запишите данную систему уравнений в виде расширенной матрицы.

$\left\{ \begin{array}{c} 3x-2y=3 \\ 5x+y=0 \end{array} \right\} $

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{array} \right)$

$\left( \begin{matrix} 3 & 5 \\ -2 & 1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right)$

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 3 \\ 5 & 1 & 0 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 3 \\ 5 & 1 & 3 \end{array} \right)$

Задача 5

Чему равна сумма матриц?
$\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{array} \right) =$

$\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 3 & 2 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 3 & 4 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 2 & -1 \end{array} \right)$

Задача 6

Найдите матрицу $A$, чтобы выполнялось следующее равенство.

$A+\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 1 & 5 \end{array} \right) $

$A=\left( \begin{array}{cc} 5 & 4 \\ 3 & -4 \end{array} \right)$

$A=\left( \begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 5 & 4 \end{array} \right)$

$A=\left( \begin{array}{cc} -3 & 4 \\ -5 & -2 \end{array} \right)$

$A=\left( \begin{array}{cc} 7 & 2 \\ -3 & 4 \end{array} \right)$

Задача 7

Каков результат умножения?
$5 \times \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right) =$

$\left( \begin{array}{ccc} -20 & 15 & -10 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 15 \\ 20 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} -20 \\ 15 \\ -10 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \\ -20 \end{array} \right)$

Задача 8

Найдите матрицу $X$.

$\frac{3}{2}X+\left( \begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 2 & -2 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 5 & 4 \end{array} \right) $

$X=\left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ \frac{8}{3} & -\frac{14}{3} \end{array} \right)$

$X=\left( \begin{array}{cc} 6 & -\frac{21}{2} \\ \frac{9}{2} & 9 \end{array} \right)$

$X=\left( \begin{array}{cc} \frac{8}{3} & -\frac{14}{3} \\ 2 & 4 \end{array} \right)$

$X=\left( \begin{array}{cc} 3 & -\frac{3}{2} \\ \frac{21}{2} & 3 \end{array} \right)$

Задача 9

Если $A=B\times C$, найдите матрицу $A$.

$B=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & -2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right)$ $C=\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -2 & -1 \\ 3 & 0 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 6 & -6 \\ 2 & 0 & 0 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 7 & 2 \end{array} \right)$

Задача 10

Найдите определитель матрицы.
$A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{array} \right) $

Задача 11

Найдите определитель матрицы.
$A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 0 & 0 \end{array} \right) $

Задача 12

Найдите обратную матрицу матрицы $A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{array} \right) $

$\left(\begin{matrix}110 & 66\\-88 & 44\end{matrix} \right)$

$\frac{1}{22}$

$\left(\begin{matrix}\frac{5}{22} & \frac{3}{22}\\\frac{-2}{11} & \frac{1}{11}\end{matrix} \right)$

Задача 13

Найдите обратную матрицу матрицы $A=\left( \begin{array}{cc} 0 & \frac{-3}{4} \\ \frac{7}{3} & 0 \end{array} \right)$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 0 & \frac{3}{7} \\ -\frac{4}{3} & 0 \end{array}\right)$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & -\frac{4}{3} \end{array}\right)$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 0 & \frac{3}{4} \\ -\frac{7}{3} & 0 \end{array}\right)$

Обратная матрица матрицы A не существует. {-1}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$

Обратная матрица матрицы A не существует.

Задача 15

$A=\left( \begin{array}{cc} 7 & -4 \\ 4 & -3 \end{array} \right)$ $B=\left( \begin{array}{cc} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & -\frac{7}{5} \end{array} \right) $
Является ли $B$ мультипликативной инверсией $A$(можем ли мы сказать, что $A \cdot B = B \cdot A$)?

Задача 16

$A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{array} \right)$ $B=\left( \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ -3 & 2% \end{array} \right)$
Можем ли мы сказать, что $A \cdot B = B \cdot A$?

Задача 17

Какое значение должен принимать $x$, чтобы $B$ была бы обратной $A$?
$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{array}% \right) \qquad B=\left( \begin{array}{cc} \frac{2}{5} & x \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{array} \right)$

Задача 18

Какое значение должен принимать $x$, чтобы у матрицы $A$ не было бы обратной матрицы?

$A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ x & -2 \end{array} \right)$

$\frac{4}{3}$

$-\frac{3}{4}$

$-\frac{4}{3}$

$\frac{3}{4}$

Задача 19

Какое значение должен принимать $x$, чтобы у матрицы $A$ не было бы обратной матрицы?

$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2+x \\ x & -1 \end{array} \right)$

Прислать задачу

Правильный:

Неверный:

Неразрешенные задачи:

Матрицы и действия над ними.

Что такое матрица

Таблица чисел  вида

состоящая из  строк и  столбцов называется матрицей. Числа  называются ее элементами.

Под решением матрицы обычно понимают проведение таких операций как нахождение обратной матрицы, нахождение определителя, умножение матрицы на число и другое. Кроме того действия могут проводиться сразу над несколькими матрицами. То есть матрицы могут между собой складываться, перемножаться. Все эти так называемые решения матриц проводятся по определенным схемам или алгоритмам. Обратите внимание что действия над матрицами выполняются по определенным правилам и дело тут не в сложности этих правил, а в старательности и внимательности при вычислениях.

Определитель матрицы и его вычисление

Рассмотрим квадратную матрицу:

порядка . Из элементов этой матрицы составим всевозможные произведения так, чтобы они содержали по одному и только по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. В каждом из этих произведений сомножители (которых будет ) расположим таким образом, чтобы первые индексы образовали перестановку . В результате полученные произведения будут иметь вид:

где  – некоторая перестановка чисел 1,2,3…n. Очевидно, что число всевозможных произведений составленных из элементов матрицы по приведенному выше правилу будет равно числу всевозможных перестановок из множества вторых индексов сомножителей произведений, то есть из чисел , или то же самое, числу перестановок из чисел , а таких перестановок будет . Каждая перестановка будет иметь некоторое число инверсий, образованных вторыми индексами сомножителей произведений. Условимся перед произведением ставить плюс если число инверсий четное (то есть перестановка вторых индексов четная), и минус, если число инверсий нечетное (то есть перестановка вторых индексов нечетная).

Просуммировав все произведения вида (*) составленные из матрицы и взятые с указанными знаками, получим число, называемое определителем.

Для определителя, как и для матрицы, используются такие понятия, как строка, столбец, главная и побочная диагонали и т. п. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю,— вырожденной.

Рассмотрим частные случаи определителей:

Определитель 2-го порядка:

 Определитель третьего порядка:

Для его вычисления удобно пользоваться следующей схемой:

Для определителей порядка выше третьего неудобно запоминать какую-либо символическую схему, так как, например, определитель уже четвертого порядка есть алгебраическая сумма 24 слагаемых, каждое из которых является произведением четырех сомножителей.

Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычерчиванием той строки и того столбца, которым принадлежит этот элемент.

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком .

В общем случае определителем  порядка, соответствующим квадратной матрице  порядка можно назвать число, равное сумме парных произведении элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Обратная матрица

Пусть  – квадратная невырожденная матрица n-го порядка. Обратной матрицей  для матрицы  называется матрица, для которой справедливо равенство:

где  – единичная матрица

Обратная матрица  определена только для квадратных невырожденных матриц и вычисляется по формуле:

где  – определитель матрицы , а матрица  (союзная матрица) получается из матрицы  заменой всех ее элементов соответствующими им алгебраическими дополнениями.

Транспонирование матрицы

Замена каждой строки матрицы  ее столбцов называется транспонированием. Транспонированная по отношению к матрице  матрица обозначается .

Если задана матрица

то ее транспонированная матрица имеет вид:

Сумма матриц и произведение матрицы на число

Суммой матриц  и   называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

Для суммы матриц используют обозначение

Произведением матрицы  на число  называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

Для произведения матрицы на число используют обозначение .

Произведение матриц

Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

Из определения умножения матриц следует, что элемент  в матрице  является суммой произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы  и j-го столбца матрицы . На рисунке схематично показано получение элемент  в произведении матриц

Для произведения матриц используют обозначение

Произведение матриц определено только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведение матриц содержит столько строк, сколько имеет первая матрица, и столько столбцов, сколько имеет вторая матрица.

Error

Sorry, the requested file could not be found

More information about this error

Jump to… Jump to…Согласие на обработку персональных данных Учебно-тематический планАвторы и разработчики курсаИнформация для студентов и преподавателейВводная лекцияIntroductory lectureЛекция о системе обозначений Lecture on the notation systemВидеолекция (часть 1)Lecture (Part 1)Видеолекция 2. Операции над функциями. Свойства функции. Lecture 2. Operations on functions. The properties of the functionТеоретический материал Практическое занятие. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson. Investigation of the properties of functions by definitionЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.1(Часть 1). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 1)Тест 1.1.1(Часть 2). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 2)Видеолекция 1. Числовая последовательность Lecture 1. Numeric sequenceВидеолекция 2. Предел числовой последовательностиLecture 2. The limit of a numeric sequence.Practical lesson 1. Study of properties of a numerical sequence by conventionПрактическое занятие 1 (часть 2)Теоретический материалЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.2. Числовые последовательностиВидеолекция 1. Предел функции в точкеLecture 1. The limit of a function at a pointВидеолекция (часть 2)Практическое занятие 1. Вычисление пределов, неопределенности.Practical lesson 1. Calculation of limits. UncertaintiesПрактическое занятие 2.

python — Заполнить матрицу, зная сумму по строке и по столбцу

Вопрос задан 7 месяцев назад

Изменён 7 месяцев назад

Просмотрен 117 раз

Всем привет! Есть задача заполнить матрицу MxN рандомными целыми значениями от a до b. Затык в том, что по каждой строке и по каждому столбцу есть фиксированная сумма. И надо, чтобы эти вот рандомные значения в сумме давали эти числа.

Пробовал выехать на рандоме (цикл выбрал с ограничением, чтобы не работал слишком долго):

from random import randint
import numpy as np
stolbcov = 3
strok = 3
massiv = np.zeros(shape=(strok,stolbcov), dtype=int) #создаю нулевой массив
summy_strok = np.array([10,12,6]) #Указываю суммы по каждой строке 
summy_stolbcov = np.array([10,11,7]) #Указываю суммы по каждому столбцу 
#беру функцию, которая дает мне строку данных с нужной суммой
def create_array(n, b):
  for i in range(100):
    a = np.random.randint(0,6,n)
    sum = np.sum(a)
    if sum == b:
      return(a)
      break
  else:
    return(np.random.randint(0,6,stolbcov)) #возвращаем рандомную строку, если не получилось
#в цикле построчно заполняю матрицу. В конце итерации проверяю совпадение по сумме стобцов
for i in range(1000):
  for x in range(strok):
    massiv[x] = create_array(stolbcov,summy_strok[x])
  if np. array_equal(np.sum(massiv, axis=0), summy_stolbcov):
    print(massiv)
    break

Проблема в том, что он отрабатывает на небольших матрицах 4х4 ещё приемлемо решает. Дальше уже задумывается надолго.

Пробовал просто рандомно создавать массивы нужной размерности стандартной функцией numpy. Сравнивая суммы в итоге. Этот вариант оказался вообще провальным. Даже 3х3 решить не может.

Может быть, кто знает нормальный алгоритм решения такой задачи без такого вот наглого рандома? Тут больше матан, чем программирование, но буду признателен, если натолкнете на мысль.

• python
• массивы
• pandas
• numpy
• матрицы

1

Такие задачи обычно решаются методом поиска с возвратом. Но, по сути, это тоже перебор значений, хотя и оптимизированный. например, есть библиотека python-constraint, которая может решать такого типа задачи просто задав входные значения и наложив на них ограничения. Но её скорость тоже оставляет желать лучшего. Пример:

from constraint import *
from random import shuffle
summy_strok = [14, 16, 12, 20, 15] #Указываю суммы по каждой строке 
summy_stolbcov = [16, 15, 21, 25] #Указываю суммы по каждому столбцу 
assert sum(summy_strok) == sum(summy_stolbcov)
stolbcov = len(summy_stolbcov)
strok = len(summy_strok)
a, b = 1, 9
values = list(range(a, b+1))
shuffle(values)
#print(values)
problem = Problem()
problem.addVariables(range(strok*stolbcov), values)
for col in range(stolbcov):
    v = [col + stolbcov*row for row in range(strok)]
    problem.addConstraint(ExactSumConstraint(summy_stolbcov[col]), v)
for row in range(strok):
    v = [col + stolbcov*row for col in range(stolbcov)]
    problem.addConstraint(ExactSumConstraint(summy_strok[row]), v)
solution = problem.getSolution()
result = [v for k,v in sorted(solution.items())]
print(*[result[i:i+stolbcov] for i in range(0, strok*stolbcov, stolbcov)], sep="\n")

Результат:

[8, 2, 2, 2]
[2, 8, 2, 4]
[3, 2, 6, 1]
[2, 2, 7, 9]
[1, 1, 4, 9]

В общем случае ваша задача не имеет решения, даже в вещественных, а не целых числах.

Задачу можно сформулировать так. Есть M*N неизвестных, M+N уравнений: M уравнений для строк и N уравнений для столбцов. Нужно найти решение такой недоопределённой системы уравнений.

Если переменные упорядочены слева направо сверху вниз, то элемент матрицы, стоящий в строке r и столбце c будет иметь номер r*N + c. Тогда матрица системы уравнений будет выглядеть как-то так

array([[1., 1., 1., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 1., 1., 1.],
       [1., 0., 0., 1., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 1., 0., 0., 1.]])

(пример для случая 2 x 3).

Такие системы проще всего «решать» методом наименьших квадратов, который найдёт такое значение x, что |Ax - B| будет минимальным. Если у системы есть решение, то минимум достигается именно в нём. Слово «решать» взято в кавычки, так как в общем случае минимум совсем не обязательно равен нулю. Другими словами, решение задачи наименьших квадратов вовсе необязательно является решением исходной системы.

Я попробовал решить вашу задачу для случая матрицы 2 x 3, переменные от 1 до 5, сумма по строкам 7, сумма по столбцам 5.

По ссылке лежит блокнот Jupyter с решением средствами numpy и scipy. Наименьшие квадраты глобальный минимум нашли, но он даже близко не является решением. То есть такая система решений не имеет. В вещественных числах не имеет, не говоря уже о целых.

2

Ваш ответ

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

Задачи линейной алгебры.

Скачай Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц реферат по математике и еще Сочинения в формате PDF Математика только на Docsity! Министерство науки и образования Украины ДГМА Реферат на тему: Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц. Подготовил учащийся 1КД гр. Сергей Шрам Краматорск 2003 Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с где d1 , d2 , …, dn—какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d1 = d2 = … = dn то для любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство А D = D А. Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d1 = d2 = … = dn = = d особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается символом Е. Вторая матрица получается при d = 0, называется нулевой матрицей n-го порядка и обозначается символом O. Таким образом, E = O = В силу доказанного выше А Е = Е А и А О = О А. Более того, легко показать, что А Е = Е А = А, А О = О А = 0. (1.6) Первая из формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножений вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство А + 0 = 0 + А = А. В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадрат- ных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равныї нулю). Блочные матрицы Предположим, что некоторая матрица A = || a ij || при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицыі А = || A F 0 6 1F 0 6 2 ||, элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер «блочного» столбца. Например, матрицу можно рассматривать как блочную матрицу элементами которой служат следующие блоки: Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки. Понятие определителя. 0 0 1 FРассмотрим произвольную квадрат ную матрицу любого порядка п: A = (1.7) 0 0 1 FС каждой такой матрицей свяжем вполне определенную числен ную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице. Если порядок n матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемен- та аi j определителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента. Если далее порядок п матрицы (1.7) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид A = (1.8) 0 0 1 Fто определителем второго порядка, соответствующим такой мат рице, назовем число, равное а11 а22 — а12 а21 и обозначаемое одним из символов: Итак, по определению (1.9) Формула (1.9) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.8), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второго и более высоких порядков находят широкое применение при решении систем линейных уравнений. Рассмотрим, как выполняются операции с матрицами в системе MathCad. Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и векторные операции MathCad 2001. Векторы являются частным случаем матриц размерности n x 1, поэтому для них 0 0 1 Fсправедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения осо бо не оговорены (например, некоторые операции применимы только к квадратным матрицам n x n). Какие-то действия допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а какие-то, 0 0 1 Fнесмотря на одинако вое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы. При работе с матрицами используется панель инструментов “Матрицы” Рис.1 Панель инструментов Матрицы Для ввода матрицы: • введите имя матрицы и знак присваивания (двоеточие) • щелкните по значку “создать матрицу” в панели “Матрицы”. • В появившемся диалоге задайте число строк и столбцов матрицы. • После нажатия кнопки OK открывается поле для ввода элементов матрицы. Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение. Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно: • выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции, • или щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы. Меню “Символы” содержит три операции — транспонирование, инвертирование, определитель. Это означает, например, что вычислить определитель матрицы можно, выполнив команду Символы/Матрицы/Определитель. Номер первой строки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN. По умолчанию отсчет ведется от нуля. В математической записи чаще принято вести отсчет от 1. Для того, чтобы MathCAD вел отсчет номеров строк и столбцов от 1, нужно задать значение переменной ORIGIN:=1. Функции, предназначенные для работы с задачами линейной алгебры, собраны в разделе “Векторы и матрицы” диалога “вставить функцию” (напоминаем, что он вызывается кнопкой на панели “Стандартные”). Основные из этих функций будут описаны позже. Транспонирование Транспортированием 0 01 F называют операцию, переводящую матрицу размерно сти mxn в матрицу размерности n x m, 0 01 F делая столбцы исходной матрицы стро ками, а строки — столбцами. Пример приведен в листинге на рис.2. Ввод символа транспонирования (transpose) 0 0 1 Fосуществляется с помощью панели инстру ментов Matrix (Матрица) или нажатием клавиш <Ctrl>+<1>. He забывайте, что для вставки символа транспонирования матрица должна 0 0 1 Fнаходиться ме жду линиями ввода. Напоминание о линиях ввода по отношению к матрицам приведено ранее. Сложение В MathCAD можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются символы <+> или <-> 0 01 F соответст венно. Матрицы должны иметь 0 0 1 Fодинаковую размерность, иначе будет выда но сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых (пример на рис.3). Кроме сложения матриц, MathCAD поддерживает операцию сложения матрицы со скалярной величиной, т.е. числом (пример на рис.4). Каждый элемент результирующей матрицы равен сумме соответст-вующего элемента исходной матрицы и скалярной величины. Результат смены знака матрицы эквивалентен смене знака всех ее элементов. Для того чтобы изменить знак матрицы, достаточно ввести перед ней знак минуса, как перед обычным числом (пример на рис.4). Умножение При умножении следует помнить, что матрицу размерности m x n допустимо умножать только на матрицу-размерности n x p (р может быть любым). В результате получается матрица размерности m х р. Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой <*> или воспользоваться панелью инструментов Matrix (Матрица), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение) (рис.1). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой, как показано в примере на рис 6. Символ умножения матриц можно выбирать точно так же, как и в скалярных выражениях. Обратите внимание, что попытка перемножить матрицы A и B несоответствующего (одинакового 2х3) размера оказалась безрезультатной: после введенного знака равенства находится пустой местозаполнитель, а само выражение в редакторе MathCad выделяется красным цветом. При установке курсора на это выражение, появляется сообщение о несовпадении числа строк первой матрицы числу столбцов второй матрицы. Еще один пример, относящийся к умножению вектора на матрицу- строку и, наоборот, строки на вектор, приведен на рис. 7. Во второй строке этого примера показано, как выглядит формула при выборе отображения оператора умножения No Space (Вместе). Однако тот же самый оператор умножения действует на два вектора по-другому. Аналогично сложению матриц со скаляром определяется умножение и деление матрицы на 0 0 1 Fскалярную величину (пример на рис.8). Символ умножения вво дится так же, как и в случае 0 0 1 Fумножения двух матриц. На скаляр можно ум ножать любую матрицу размера m x n. Определитель квадратной матрицы Определитель (Determinant) матрицы обозначается стандартным математическим

Матрицы — Решение, Типы, Значение, Примеры

Матрицы — форма множественного числа матрицы, которая представляет собой прямоугольный массив или таблицу, в которой числа или элементы расположены в строках и столбцах. Они могут иметь любое количество столбцов и строк. С матрицами можно выполнять различные операции, такие как сложение, скалярное умножение, умножение, транспонирование и т. д.

Существуют определенные правила, которым необходимо следовать при выполнении этих матричных операций, например, их можно складывать или вычитать, если только они имеют одинаковое количество строк. и столбцы, тогда как они могут быть умножены, если только столбцы в первом и строки во втором точно такие же. Давайте разберемся в различных типах матриц и этих правилах в деталях.

1.	Что такое матрицы?
2.	Определение матрицы
3.	Обозначение матриц
4.	Вычислить матрицы
5.	След матрицы
6.	Определитель матриц
7.	Минор матрицы
8.	Кофактор матрицы
9.	Сопряжение матриц
10.	Обратные матрицы
11.	Типы матриц
12.	Решение системы уравнений с использованием матриц
13.	Ранг матрицы
14.	Собственные значения и собственные векторы матриц
15.	Матричные формулы
16.	Часто задаваемые вопросы о матрицах

Что такое матрицы?

Матрицы , множественная форма матрицы, представляют собой расположение чисел, переменных, символов или выражений в прямоугольной таблице, которая содержит различное количество строк и столбцов. Это массивы прямоугольной формы, для которых определены различные операции, такие как сложение, умножение и транспонирование. Числа или записи в матрице известны как ее элементы. Горизонтальные элементы матрицы называются строками, а вертикальные — столбцами.

Определение матрицы

Матрица — это прямоугольный массив чисел, переменных, символов или выражений, которые определены для таких операций, как вычитание, сложение и умножение. Размер матрицы (известный как порядок матрицы) определяется количеством строк и столбцов в матрице. Порядок матрицы с 6 строками и 4 столбцами представлен как 6 × 4 и читается как 6 на 4. Например, данная матрица B является матрицей 3 × 4 и записывается как \([{B}] _{3 \раз 4}\):

\(B = \left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 & 5 \\ 0 & 5 & 2 & 7\\ 1 & -1 & -2 & 9 \end{array} \справа]\)

Обозначение матриц

Если в матрице m строк и n столбцов, то в ней будет m × n элементов. Матрица представлена ​​заглавной буквой, в данном случае «А», а элементы в матрице представлены строчной буквой и двумя нижними индексами, представляющими положение элемента в номере строки и столбца в том же порядке. , в данном случае ‘\(a_{ij}\)’, где i — количество строк, а j — количество столбцов. Например, в данной матрице A элемент в 3-й строке и 2-м столбце будет \(a_{32}\), что можно проверить в приведенной ниже матрице:

\(A = \left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} .. .& a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} … & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} . ..& a_{3n} \\ : & : & : & : \\ a_{ m1} & a_{m2} & a_{m3} …& a_{mn} \end{массив}\right] \)

Вычисление матриц

Мы можем решать матрицы, выполняя над ними такие операции, как сложение, вычитание, умножение и так далее. Вычисление матриц зависит от количества строк и столбцов. Для сложения и вычитания количество строк и столбцов должно быть одинаковым, тогда как для умножения количество столбцов в первой и количество строк во второй матрице должно быть равным. Основные операции, которые можно выполнять с матрицами:

• Сложение матриц
• Вычитание матриц
• Скалярное умножение
• Умножение матриц
• Транспонирование матриц

Добавление матриц

Добавление матриц возможно только в том случае, если количество строк и столбцов обеих матриц одинаково. Добавляя 2 матрицы, мы добавляем соответствующие элементы. т. е. (A + B) = [a\(_{ij}\)] + [b\(_{ij}\)] = [a\(_{ij}\) + b\(_{ij} \)], где i и j — количество строк и столбцов соответственно. Например: \(\begin{bmatrix} 2 & {-1}\\ \\ 0 & 5\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 2+0 & {-1} +2 \\ \\ 0+1 & 5+(-2) \end{bmatrix}\\ = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ \\1 & 3 \end{bmatrix} \)

Вычитание матриц

Вычитание матриц также возможно, только если количество строк и столбцов обеих матриц одинаково. Вычитая 2 матрицы, мы вычитаем соответствующие элементы. т. е. (A — B) = [a\(_{ij}\)] — [b\(_{ij}\)] = [a\(_{ij}\) — b\(_{ij} \)], где i и j — номер строки и номер столбца соответственно. Например: \( \begin{bmatrix} 2 & {-1}\\ \\ 0 & 5 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ \\1 & -2 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 2-0 & {-1} -2\\ \\ 0-1 & 5-(-2) \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 2 & -3\ \ \\ -1 & 7 \end{bmatrix} \)

Скалярное умножение

Произведение матрицы A с любым числом «c», полученное путем умножения каждого элемента матрицы A на c, называется скалярным умножением. т. е. (cA)\(_{ij}\) = c(A\(_{ij}\))

Свойства скалярного умножения в матрицах

Различные свойства матриц для скалярного умножения любых скаляров K и l с матрицами A и B задаются как

• K(A + B) = KA + KB
• (К + 1)А = КА + 1А
• (Кл)А = К(1А) = 1(КА)
• (-К)А = -(КА) = К(-А)
• 1·А = А
• (-1)А = -А

Умножение матриц

Умножение матриц определяется только в том случае, если число столбцов в первой матрице и количество строк во второй матрице равны. Чтобы понять, как перемножаются матрицы, давайте сначала рассмотрим вектор-строку \(R=\left[ {{r}_{1}}\ {{r}_{2}}…{{r}_{n }} \right]\) и вектор-столбец \(C=\left[ \begin{align} \; \ {{c}_{1}} \;\\ \; \ {{c}_{2} } \; \\ \; \ \ \vdots \; \ \\ \; \ {{c}_{n}} \;\ \\ \end{align} \right]\). Тогда произведение R и C можно определить как

\(RC=\left[ {{r}_{1}}\ \ {{r}_{2}}\ \ …\ {{r} _{n}} \right]\ \left[ \begin{align} & \ {{c}_{1}} \\ & \ {{c}_{2}} \\ & \ \ \\vdots \ \ \ & \ {{c}_{n}}\ \\ \end{align} \right]\ \\ =[{{r}_{1}}{{c}_{1}}+{{r }_{2}}{{c}_{2}}+…+{{r}_{n}}{{c}_{n}}]\). Например,

\(\left[ 1\ \ 3\ \ 2 \right]\ \ \left[ \begin{align} & \ \ 2 \\ & -1 \\ & \ \ 4 \\ \end{ align} \right]=[7]\)

Теперь мы обсудим умножение матриц. Вскоре станет очевидно, что для умножения 2 матриц на A и B и чтобы найти AB , количество столбцов в A должно равняться количеству строк в B .

Пусть A имеет порядок m × n и B имеет порядок n × p . Матрица AB будет иметь порядок m × p и будет получена путем последовательного умножения каждого вектора-строки A на вектор-столбец в B . Давайте разберемся в этом на конкретном примере: \(A=\left[ \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{a}_{2}} & {{a}_{3}} \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2 }} & {{c}_{3}} \\\end{matrix} \right]B=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\beta}_{ 1}} \\ {{\alpha}_{1}} & {{\beta}_{2}} \\ {{\alpha}_{3}} & {{\beta}_{3}} \ \\конец{матрица} \право]\)

Чтобы получить элемент \(a_{11}\) из AB, мы умножаем \(R_1\) из A на \(C_1\) из B :

Чтобы получить элемент \(a_{12}\ ) из AB, мы умножаем \(R_1\) из A на \(C_2\) из B:

Чтобы получить элемент \({{a}_{21}}\) из AB, мы умножаем \( R_2\) из A с \(C_1\) из B:

Продолжая таким образом, мы получаем все элементы AB.

Обобщим это: если A имеет порядок m × n и B порядка n × p, то для получения элемента \( a_{ij}\) в AB умножаем \(R_i\) в A на \(C_j\) в B:

Свойства умножения матриц

Существуют различные свойства, связанные с умножением матриц. Для любых трех матриц A, B и C:

• AB ≠ BA
• А(ВС) = (АВ)С
• А(В + С) = АВ + АС
• (А + В)С = АС + ВС
• A\(I_m\) = A = AI _n , для единичных матриц I\(_m\) и I _n .
• A\(_{m\times n}\)O\(_{n\times p}\) = O\(_{m\times p}\), где O — нулевая матрица.

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы выполняется при замене строк матрицы столбцами и столбцов строками. Перестановка строк и столбцов называется транспонированием матриц. В приведенной ниже матрице у нас есть элементы строки: строка-1: 2, -3, -4 и строка-2: -1, 7, -7. При транспонировании мы получим элементы в столбце-1: 2, -3, -4 и столбце-2: -1, 7, -7, мы можем проверить это на изображении, приведенном ниже:

Свойства транспонирования в матрицах

Существуют различные свойства, связанные с транспозицией. Для матриц A и B, заданных как

• (A ^T ) ^T = A
• (A + B) ^T = A ^T + B ^T , A и B одного порядка.
• (KA) ^T = KA ^T , K — любой скаляр (действительный или комплексный).
• (AB) ^T = B ^T A ^T , A и B соответствуют продукту AB. (Этот закон также называют обратным законом.)

Помимо этих операций, у нас есть несколько других операций с матрицами, таких как нахождение следа, определителя, миноров и кофакторов, сопряженных, обратных и т. д. Давайте подробно изучим каждую из них в следующих разделах.

След матрицы

След любой матрицы A, Tr(A) определяется как сумма ее диагональных элементов. Некоторые свойства следа матриц:

• tr(AB) = tr(BA)
• tr(A) = tr(A ^Т )
• tr(cA) = c tr(A), для скаляра ‘c’
• тр(А + В) = тр(А) + тр(В)

Определитель матриц

Определитель матрицы — это число, определенное только для квадратных матриц. Он используется при анализе линейных уравнений и их решении. Формула определителя помогает вычислить определитель матрицы, используя элементы матрицы. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов определенной строки или столбца с их соответствующими кофакторами. Определитель матрицы A обозначается как |A|. Допустим, мы хотим найти определитель матрицы \(A = \left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22 } & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{массив}\right] \) 9{1 + 3} \!\!\left|\begin{matrix}a_{21}\!\!\!&a_{22}\\a_{31}\!\!\!&a_{32}\end{ матрица}\справа|\)

Минор матрицы

Минор для конкретного элемента в матрицах определяется как определитель матрицы, который получается при удалении строки и столбца матрицы, в которой находится этот конкретный элемент, и минор элемента \(a_{ij} \) обозначается как \(M_{ij}\). Например, для данной матрицы минор \( a_{12}\) матрицы \(A = \left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{массив}\right] \) равно:

\(M_{12} = \left|\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{23} \\ \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right| \)

Аналогично, мы можем найти все миноры матрицы и получим минорную матрицу M данной матрицы A как:

\(M = \left[\begin{array}{ccc} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \end{массив}\right] \)

Кофактор матрицы

Кофактор элемента в матрице A получается, когда минор \(M_{ij}\) матрицы умножается на (-1) 9{i+j} M_{ij}\)

Найдя все сомножители матрицы, мы получим матрицу сомножителей C данной матрицы A:

\(C = \left[\begin{array}{ ccc} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end {array}\right] \)

Примечание. Будьте особенно осторожны с отрицательным знаком при вычислении кофактора матрицы.

Сопряжение матриц

Сопряжение матриц вычисляется путем нахождения транспонирования сомножителей элементов данных матриц. Чтобы найти сопряжение матрицы, мы должны вычислить кофакторы элементов матрицы, а затем транспонировать матрицу кофакторов, чтобы получить сопряжение данной матрицы. Сопряженная матрица A обозначается через adj(A). Давайте разберем это на примере: у нас есть матрица \(A = \left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \ конец{массив}\справа] \)

Тогда минорная матрица M данной матрицы будет:

\(M = \left[\begin{array}{ccc} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{array}\right] \)

Мы получим матрицу кофакторов C данной матрицы A как:

\(C = \left[\begin{array}{ccc} — 8 & 2 & -5 \\ -5 & -7 & 1 \\ -17 & -4 & 10 \end{array}\right] \)

Тогда транспонирование матрицы кофакторов даст сопряжение заданного матрица:

прил(А) = C ^T = \(\left[\begin{array}{ccc} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \конец{массив}\справа] \)

Обратные матрицы

Обратная любая матрица обозначается как матрица, возведенная в степень (-1), т. е. для любой матрицы «А» обратная матрица обозначается как А ^-1 . Обратная квадратная матрица A равна A ^-1 только тогда, когда: A × A ^-1 = A ^-1 × A = I . Существует вероятность того, что иногда обратная матрица не существует, если определитель матрицы равен нулю (|A| = 0). Обратная матрица показана как A ^-1 . Обратные матрицы вычисляются по следующей формуле:

A ^-1 = (1/|A|)(Adj A)

, где

• |A| является определителем матрицы A и |A| ≠ 0,
• Adj A является сопряженным к данной матрице A.

Обратная матрица 2 × 2 \(A = \left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ \\ a_{21} & a_{22} \end{ array}\right] \) вычисляется по формуле: A ^-1 = \(\dfrac{1}{a_{11}a_{22} — a_{12}a_{21}}\left(\begin{matrix}a_{22}&-a_{12}\ \ \\-a_{21}&a_{11}\end{matrix}\right)\)

Найдем обратную матрицу 3 × 3, которую мы использовали в предыдущем разделе: \(A = \left[ \begin{массив}{ccc}
2&-1&3\
0 и 5 и 2 \
1 и -1 и -2
\end{массив}\right] \)

Так как adj(A) = \(\left[\begin{array}{ccc}
-8&-5&-17\
2&-7&-4\
-5 и 1 и 10
\end{array}\right] \)

И вычислив определитель, получим |A| = -33

Следовательно, A ^-1 = (1/-33) × \(\left[\begin{array}{ccc}
-8&-5&-17\
2&-7&-4\
-5 и 1 и 10
\end{массив}\right] \)

Следовательно, A ^-1 = \(\left[\begin{array}{ccc}
0,24&0,15&0,51\
-0,06&0,21&0,12\
0,15 и -0,03 и -0,39
\конец{массив}\справа] \)

Типы матриц

Существуют различные типы матриц в зависимости от количества элементов и расположения элементов в них.

Матрица-строка: Матрица-строка — это матрица, имеющая одну строку, которая называется матрицей-строкой. Пример: [1, −2, 4].

Матрица-столбец: Матрица-столбец — это матрица, имеющая один столбец, которая называется матрицей-столбцом. Пример: [−1, 2, 5] ^Т .

Квадратная матрица: Матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов, называется квадратной матрицей. Например: \(B= \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 &6& 1 \end{array}\right] \)

Прямоугольная матрица : Матрица, имеющая неравное количество строк и столбцов, называется прямоугольной матрицей. Например: \(B= \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \\ 0 & 1 & 4 \end{array}\right] \)

Диагональные матрицы: Матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю, называется диагональной матрицей.
Пример: \(A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 &0 & 3 \end{array}\right] \)

Матрицы идентичности : Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, называется единичной матрицей.
Пример: \(B= \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 &0 & 1 \end{array}\right] \)

Симметричные и кососимметричные матрицы:
Симметричные матрицы: квадратная матрица D размера n×n считается симметричной тогда и только тогда, когда D ^T = D. Например, D = \(\left[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 6 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 5 & 9 \end{array}\right] \) является симметричной матрицей, потому что

D ^T = \(\left[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 6 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 5 & 9 \end{массив}\right]\) = D

Кососимметричные матрицы. Квадратная матрица F размера n×n считается кососимметричной тогда и только тогда, когда F ^T = — F.

\(F = \left[\begin{array}{ccc } 0 & 3 \\ \\ -3 & 0 \end{array}\right]\) является кососимметричной матрицей, поскольку

• F ^T = \(\left[\begin{array}{cc} 0 & -3\\ \\ 3 & 0 \end{массив}\right]\)
• -F = \(\left[\begin{array}{cc} 0 & -3\\ \\ 3 & 0 \end{array}\right]\)

Инвертируемая матрица: Любая квадратная матрица A называется обратимой матрицей, если существует другая матрица B, такая что AB = BA = \(I_n\), где \(I_n\) — единичная матрица размера n × n.

Ортогональная матрица: Любая квадратная матрица A является ортогональной, если ее транспонирование равно обратному. т. е. А ^Т = А ^-1

Решение системы уравнений с использованием матриц

При решении системы уравнений с использованием матриц у нас есть три матрицы A, B и X, где A известна как матрица коэффициентов, B известна как матрица констант, а X содержит все известные переменные уравнений как переменная матрица. Матрица A имеет порядок m × n, а B — матрица-столбец порядка m × 1. Произведение матрицы A и матрицы X дает матрицу B; следовательно, X также является матрицей-столбцом порядка n × 1,

Матрицы расположены следующим образом:

A • X = B

Давайте разберемся, как решить систему уравнений с помощью матриц на примере. У нас есть набор из двух уравнений, как показано ниже. Уравнения:

x + y = 8
2x + 3y = 10

Расположите все коэффициенты, переменные и константы в матрице таким образом, чтобы всякий раз, когда мы находим произведение матриц, полученный результат приводил к уравнению. Тогда матричное уравнение будет таким: AX = B, где: 9{-1}\) и B. Получаем

\(\begin{bmatrix}
3&-1\\
-2 и 1
\end{bmatrix}
%
\begin{bmatrix}
8\\
10
\end{bmatrix}
\
=
\begin{bmatrix}
14\\
-6
\end{bmatrix}
\)

Следовательно, значение матрицы X равно

\(X = \begin{bmatrix}
14\\\
-6\
\end{bmatrix}\)

Ранг матрицы

Ранг матрицы A определяется как максимальное количество линейно независимых векторов строк (или столбцов) матрицы. Это означает, что ранг матрицы всегда будет меньше или равен количеству ее строк или столбцов. Ранг нулевой матрицы равен нулю, поскольку она не имеет независимых векторов строк или столбцов.

Собственные значения и собственные векторы матриц

Если A — любая квадратная матрица порядка n, то можно составить матрицу A — λI, где I — единичная матрица порядка n, такая, что число λ, называемое собственным значением, и ненулевой вектор v , называемый собственным вектором, удовлетворяют уравнению Av = λv. λ является собственным значением n × n-матрицы A тогда и только тогда, когда A − λI _n необратим, что эквивалентно Det(A — λI) = 0,

Матричные формулы

Существуют различные формулы, связанные с матричными операциями, в зависимости от типа матрицы. Некоторые формулы матриц перечислены ниже:

• A(adj A) = (adj A) A = | А | я _п
• | прил А | = | А | ^н-1
• прил (прил А) = | А | ^н-2 А
• | прил (прил А) | = | А | 92
• прил (АВ) = (прил Б) (прил А)
• прил (А ^м ) = (прил А) ^м ,
• прил (kA) = k ^n-1 (прил A) , k ∈ R
• прил(I _n ) = I _n
• прил 0 = 0
• А симметрично ⇒ (прил. А) также симметрично.
• А диагональное ⇒ (прил. А) также диагональное.
• A треугольный ⇒ прил. A также треугольный.
• A в единственном числе ⇒| прил А | = 0
• А ^-1 = (1/|А|) прил А
• (АВ) ^-1 = В ^-1 А ^-1

Важные примечания о матрицах:

• Кофактор матрицы A получается, когда минор \(M_{ij}\) матрицы умножается на (-1) ^i+j .
• Матрицы представляют собой массивы прямоугольной формы.
• Обратная матрица вычисляется по данной формуле: A ^-1 = (1/|A|)(прил. A).
• Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда |A| ≠ 0,

☛ Связанные темы:

• Матричный калькулятор
• Калькулятор диагональной матрицы
• Калькулятор матрицы транспонирования
• Калькулятор сложения матриц

Решенные примеры на матрицах

1. Пример 1: Пусть \(A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2\\ \\ 3 & 1 \\\end{matrix} \right],\ B=\left[ \begin{matrix } 1 & 4\\ \\ 3 & -1 \\\end{matrix} \right]\). Вычислите А + В.

   Решение:
   Здесь матрица A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2\\ \\ 3 & 1 \\\end{matrix} \right]\)
   матрица B = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 4\\ \\ 3 & -1 \\\end{matrix} \right]\)

   Используя свойство сложения матриц, A + B = \( \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ \\ 3 & 1 \\\end{matrix} \right]\) + \(\left[ \begin{matrix} 1 & 4\\ \\ 3 & -1 \\\end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 6\\ \\ 6 & 0 \end{matrix} \right]\)

   Ответ: Сумма матриц A и B, A + B = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 6\\ \\ 6 & 0 \end{matrix} \right]\)

2. Пример 2: Найдите обратную матрицу A =\(\left[\begin{matrix}1 & -2\\ \\2 & -3 \end{matrix}\right]\).

   Решение:

   Дана матрица A = \(\left[\begin{matrix}1 & -2\\ \\2 & -3 \end{matrix}\right]\).

   Используя формулу обратной матрицы: A ^-1 = \(\dfrac{1}{a_{11}a_{22} — a_{12}a_{21}}\left[\begin{matrix}a_{22}&-a_{12}\ \ \\-a_{21}&a_{11}\end{matrix}\right]\)

   Используя обратную матричную формулу, мы можем вычислить A ^-1 следующим образом.

   A ^-1 = \(\dfrac{1}{(1 × -3) — (-2 × 2)}\left[\begin{matrix}-3&2\\ \\-2&1\end{matrix }\right]\)

   = \(\dfrac{1}{-3 +4}\left[\begin{matrix}-3&2\\ \\-2&1\end{matrix}\right]\)

   = \(\left[\begin{matrix}-3&2\\ \\-2&1\end{matrix}\right]\)

   Ответ: Поэтому A ^-1 = \(\left[\begin{matrix}-3&2\\ \\-2&1\end{matrix}\right]\).

3. Пример 3: Докажите, что произведение матриц A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1\\ 3 & 2 & 0\\ -4 & 0 & 2\ end{array}\right]\), а единичная матрица порядка 3×3 является самой матрицей.

   Решение:

   Единичная матрица порядка 3×3: I = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{массив}\right]\).

   Теперь AI = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1\\ 3 & 2 & 0\\ -4 & 0 & 2\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{rr}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{массив}\right]\)

   = \(\left[ \begin{массив}{rr}1+0+0 и 0+2+0 и 0+0-1
   \\ 3+0+0 и 0+2+0 и 0+0+0
   \\ -4+0+0& 0+0+0& 0+0+2\end{массив}\right]\)

   = \(\left[\begin{массив}{rr}1 & 2 & -1 \\ 3 & 2 & 0\\ -4 & 0 & 2\end{массив}\right]\)

   = A

   Ответ: Мы доказали, что AI = A.

перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по матрицам

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о матрицах

Что такое матрица в математике?

Матрица в представляет собой расположение чисел, переменных, символов или выражений в прямоугольной таблице, которая содержит различное количество строк и столбцов, для которых определены такие операции, как сложение, умножение, транспонирование и т. д.

Как решать матрицы?

Мы можем решать матрицы , выполняя над ними матричные операции, такие как сложение, вычитание, умножение и т. д. Мы должны заботиться о порядке при решении матриц.

• Для сложения/вычитания 2-х матриц их порядок должен быть одинаковым.
• Для умножения матриц количество столбцов левой матрицы должно быть равно количеству строк правой матрицы.

Как решать системы уравнений с матрицами?

Чтобы решить систему уравнений с матрицами, мы выполним шаги, указанные ниже.

• Расположите элементы уравнений в матрицах и найдите матрицу коэффициентов, матрицу переменных и матрицу констант.
• Запишите уравнения в форме AX = B.
• Возьмем обратную А, найдя сопряженную и определитель А.
• Умножить обратную матрицу A на матрицу B, тем самым найдя значение переменной матрицы X.

Что такое формула обратной матрицы 3×3?

Формула обратной матрицы для матрицы 3×3: A ^-1 = adj(A)/|A|; |А| ≠ 0, где A = квадратная матрица, adj(A) = сопряженная квадратная матрица и A ^-1 = обратная матрица A.

В чем особенность формулы определителя матриц?

Определитель матрицы определен только для квадратных матриц, и это свойство формулы определителя делает ее единственной. Кроме того, значение определителя можно вычислить, используя элементы любой строки или любого столбца.

Как вычислить определитель матрицы 2×2, используя формулу определителя?

Формула определителя для матрицы 2×2, \(A =\begin{pmatrix}a &b\\ \\c&d\end{pmatrix}\) определяется формулой |A| = объявление — до н.э.

При каком условии возможно умножение матриц?

Умножение матриц возможно только в том случае, если матрицы совместимы, т. е. умножение матриц допустимо только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Каковы свойства перестановки матриц?

Для заданных 2 матриц, A и B, свойства перестановки матриц могут быть объяснены следующим образом:

• (A ^Т ) ^Т = А
• (А + В) ^Т = А ^Т + В ^Т
• (кА) ^T = кА ^T , k — любой скаляр
• (АВ) ^Т = В ^Т А ^Т

Что такое формула обратной матрицы?

Формула обратной матрицы используется для определения обратной матрицы для любой заданной матрицы. Обратная квадратная матрица A равна A ^-1 . Формула обратной матрицы может быть представлена ​​как A ^-1 = прил(А)/|А|; |А| ≠ 0, где A — квадратная матрица. Также для матрицы и ее обратной мы имеем A × A ^-1 = A ^-1 × A = I.

Как использовать обратную формулу матрицы?

Формулу обратной матрицы можно использовать, выполнив указанные шаги:

• Шаг 1: Найдите матрицу миноров для данной матрицы.
• Шаг 2: Преобразуйте полученную минорную матрицу в матрицу кофакторов.
• Шаг 3: Найдите сопряженную матрицу путем транспонирования матрицы кофакторов.
• Шаг 4: Наконец, разделите сопряженную матрицу на ее определитель.

Какие бывают типы матриц?

Существуют различные типы матриц в зависимости от свойств их свойств. Некоторые из них задаются как

• Матрица строк и матрица столбцов
• Квадратная матрица и прямоугольная матрица
• Диагональная матрица
• Скалярная матрица
• Идентификационная матрица
• Нулевая матрица
• Верхняя треугольная матрица и нижняя треугольная матрица
• Идемпотентная матрица
• Симметричная и кососимметричная матрица

Каковы свойства скалярного умножения в матрицах?

Имея матрицы A и B (обе одного порядка) и скаляры K и l, различные свойства, связанные с умножением матриц, можно представить как

• (K + l)A = KA + lA
• К(А + В) = КА + КБ
• (-К)А = -(КА) = К(-А)
• (Кл)А = К(1А) = 1(КА)
• (-1)А = -А
• 1·А = А

Что такое матричный многочлен?

Дан многочлен вида f(x) = a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^n-1 + a ₂ x ^n-1 + . . . + a _n-1 x + a _n и A как квадратная матрица порядка n. Тогда f(A) = a ₀ A ⁿ + a ₁ А ^н-1 + а ₂ А ^н-2 + . . . + a _n-1 A + a _n A + a _n называется матричным полиномом.

Что такое эшелонированная форма матриц?

Матрица A = (a\(_{ij}\)\(_{m\times n}\) называется ступенчатой, если она находится либо в верхнетреугольной, либо в нижнетреугольной форме. Чтобы преобразовать матрицу

Как представить матрицу в виде суммы симметричной и несимметричной матриц?

Любая квадратная матрица A может быть записана как A = P + Q, где P и Q — симметричная и кососимметричная матрицы соответственно, такие, что P = (A + A ^T )/2 и Q = (A — А ^Т )/2.

Матрица решения проблем — Discover Your Solutions LLC

Расширенный решатель сложных проблем.

«Не то, чего ты не знаешь, приводит тебя в беду. Это то, что ты точно знаешь, что это не так.» — Марк Твен

Цель: Решить вашу проблему с помощью нашей уникальной 4-мерной матрицы.

Матричная диаграмма

Шаг 1. Изучите приведенную ниже диаграмму — это визуализация всей нашей Матрицы решения проблем.

Полезный совет:

Если вы смотрите на этот рисунок впервые, мы не ожидаем, что вы полностью поймете его с первого взгляда. Мы знаем, что это выглядит сложно, но каждый шаг довольно прост. Причина, по которой мы представили его здесь, заключается в том, что вы можете иметь обзор, на который можно ссылаться, когда вы проходите через этот процесс.

Word-версия Матрицы решения проблем.docx ( Щелкните ссылку для загрузки Word версии ).

Версия Excel для решения проблем Matrix.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Excel ).

PDF-версия Матрицы решения проблем.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Основные категории

Шаг 2:  Разбейте свою проблему на ее основные составные части. Мы называем эти основные категории. Ваша цель здесь состоит в том, чтобы определить все ваши основные категории. Для справки используйте наш инструмент «Основные категории» в наборе инструментов, чтобы разложить вашу проблему на ее основные факторы.

Основные категории должны быть:

• Четко определены,
• Взаимоисключающие и
• В совокупности исчерпывающий.

Полезный совет:

Это очень важный шаг! Ваши основные категории — это основа, на которой будет строиться остальная часть вашей структуры решения проблем. Не торопитесь здесь. Вы хотите получить это право в первый раз.

Объективные данные вашей проблемы

Шаг 3:  Мы начнем с работы над 1-м квадрантом матрицы решения проблем. Это упражнение фокусирует ваш анализ на объективных данных вашей проблемы (обведены красным ниже).

Шаг 4. Теперь давайте увеличим масштаб. Вот крупный план 1-го квадранта матрицы решения проблем. Эта матрица показывает ваши основные категории в столбцах по вопросительным параметрам в строках. Вы, возможно, заметили, что это очень похоже на List Solver, за исключением того, что основные категории отображаются в столбцах.

Версия Word Матрицы решения проблем для объективных данных.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Word ).

Excel-версия Матрицы решения проблем для объективных данных.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Excel ).

PDF-версия Матрицы решения проблем для объективных данных.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 5:  Загрузите или распечатайте нашу Форму решателя матриц для ваших объективных данных (см. версии Word, Excel и PDF ниже). Распечатайте по одной копии формы решателя матриц для каждой из ваших основных категорий.

Версия Word формы Matrix Solver для объективных данных.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Word версии ).

Excel версия формы решателя матриц для объективных данных.xlsx ( Щелкните ссылку для загрузки Excel версии ). Предпочтительный вариант — для опытных пользователей Excel (см. вкладку «Все данные о задаче»).

PDF-версия формы решателя матриц для объективных данных.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 6:  Подготовьтесь записывать свои объективные данные в формы для решения матриц. Ваши объективные данные включают в себя:  Ключевые вопросы, информацию (ответы), задачи и цели.

Вы будете группировать их по:  Кто, Что, Когда, Где, Почему, Как, Откуда и Куда.

Шаг 7.  Начните с формы решателя матриц для ответа «Кто». У вас должна быть форма «Кто» для каждой из ваших основных категорий. Впишите свои основные категории в отведенное место в верхней части каждой из ваших форм.

Запишите вопросы «Кто», которые, по вашему мнению, наиболее важны для понимания вашей проблемы.

Если вам нужна помощь в составлении хороших вопросов «Кто», перейдите в Инструментарий и ознакомьтесь с нашим Предварительным списком стандартных вопросов «Кто».

Полезный совет:

Не зацикливайтесь на ответах на каждый из ключевых вопросов по мере их возникновения; просто запишите их. После того, как вы составили список всех ключевых вопросов, вы можете вернуться и решить, на какие из них нужно ответить в первую очередь. При этом, если появится хороший быстрый ответ — обязательно запишите его.

Шаг 8:  Запишите любую информацию, связанную с вашими вопросами «Кто» (т. е. вашими ответами). Помните, что вопросы «Кто» связаны с людьми, группами и человеческими аспектами, имеющими отношение к вашей проблеме. Кроме того, запишите задачи и цели, которые у вас есть для себя, для других людей и для групп, которые вы включили в свой анализ.

Шаг 9:  После того, как вы закончите изучение аспектов проблемы «Кто», повторите процесс (этапы 7 и 8) для определения «Что», «Когда», «Где», «Почему», «Как», «Откуда» и «Куда».

Шаг 10. Просмотрите объективные данные о своей проблеме. Есть ли пробелы в ваших данных?

Полезный совет:

Сложные проблемы могут генерировать сотни и даже тысячи строк данных. Вот почему мы создали программное обеспечение базы данных MySolver™. Это для решения действительно больших проблем.

Субъективные мысли о вашей проблеме

Шаг 11:  Далее мы начнем работать над 2-м квадрантом матрицы решения проблем (обведен красным). Здесь вы анализируете свои субъективные мысли о своей проблеме.

Шаг 12. Вот крупный план 2-го квадранта матрицы решения проблем. Эта матрица показывает ваши основные категории в столбцах по предрасположенностям в строках.

Word-версия Матрицы решения проблем для субъективных мыслей.docx ( Щелкните ссылку для загрузки Word версии ).

Excel-версия Матрицы решения проблем для субъективных мыслей.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Excel-версию ).

PDF-версия Матрицы решения проблем для субъективных мыслей.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 13:  Загрузите или распечатайте нашу Форму решателя матриц для ваших субъективных мыслей (см. версии Word, Excel и PDF ниже):

Версия Word формы решателя матриц для субъективных мыслей.docx ( Щелкните ссылку для загрузки Word версии ).

Excel-версия формы решателя матриц для субъективных мыслей.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Excel-версию ). Предпочтительный вариант — для опытных пользователей Excel (см. вкладку «Все субъективные мысли о проблеме»).

PDF-версия формы Matrix Solver Form for Subjective Thoughts.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 14:  Подготовьтесь записывать свои субъективные мысли в формах решателя матриц. Ваши субъективные мысли — это ваши личные мысли, тесно связанные с вашей проблемой.

Вы будете группировать их по:  намерениям, ожиданиям, предположениям, интуиции, мнениям, заключениям, суждениям, убеждениям, надеждам и внутренним ощущениям.

Шаг 15:  Начните с формы решателя матриц для «Намерений». Запишите свои Намерения, которые, по вашему мнению, наиболее важны в вашей ситуации. Не забудьте сгруппировать их в соответствии с вашими основными категориями. Если вам нужна помощь в определении ваших намерений, перейдите к нашему инструменту Intentions в нашем наборе инструментов.

Полезный совет:

Если вы не можете быстро придумать свои Намерения, просто пропустите это и перейдите к следующей предрасположенности. Имейте в виду, что ваше внимание должно быть сосредоточено на личных мыслях, которые лежат в основе вашей проблемы. Другими словами, это упражнение больше касается качества, чем количества.

Шаг 16:  Запишите любую другую информацию, связанную с вашими «Намерениями». Помните, что ваши «намерения» связаны с вашими стремлениями, целями и амбициями.

Шаг 17:  После завершения изучения Намерений, связанных с вашей проблемой, повторите процессы, описанные в Шагах 11 и 12, для ваших ожиданий, предположений, интуиции, мнений, выводов, суждений, убеждений, надежд и внутренних ощущений.

Шаг 18:  Распечатайте приведенную ниже форму субъективных мыслей. Если вы впервые используете эту форму, потратьте несколько минут, чтобы ознакомиться с ней.

,

Word-версия формы субъективных мыслей.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Word-версию ).

PDF-версия формы субъективных мыслей.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 19.  Выберите одну из своих субъективных мыслей, которая лежит в основе вашей проблемы. Запишите это в поле 1 формы субъективных мыслей.

Шаг 20:  Следуйте инструкциям в форме субъективных мыслей и заполните остальные поля формы.

Шаг 21:  Просмотрите свои субъективные мысли, особенно любые неоспоримые ментальные модели, которые могут их поддерживать.

Создайте свои решения

Шаг 22:  Теперь, когда у вас есть полное представление о вашей проблеме, пришло время обратить внимание на ваше решение. Вы можете начать процесс создания решений, взглянув на свои цели и задачи. Перейдите к своим формам решателя матриц для ваших объективных данных и выделите свои цели. В ваших формах «Куда» должны быть какие-то цели.

Шаг 23.  Используйте инструмент «Цели» в нашем наборе инструментов, чтобы найти и упорядочить свои цели.

Полезный совет:

Уточнение ваших целей поможет правильно сфокусировать вашу цель на пути к успешному решению.

Шаг 24:   Если у вас еще нет идей для решений, найдите несколько минут, чтобы просмотреть раздел «Создание решений» в нашем наборе инструментов. Мы посвятили целый раздел в нашем Инструментарии, чтобы помочь вам создавать решения. Ниже мы перечислили несколько рекомендуемых нами инструментов.

Шаг 25. Перейдите к нашему инструменту «Аналогии», чтобы создавать новые идеи, проводя аналогии.

Шаг 26.  Сравните свою проблему с аналогией, используя наш инструмент сходств и различий.

Шаг 27:  Используйте наш инструмент «Матрица структурированных аналогий», чтобы сравнить свою проблему с несколькими аналогиями.

Шаг 28. Создавайте метафоры для создания новых идей.

Шаг 29.  Создайте гипотетические решения с помощью нашего инструмента Генератор гипотез.

Шаг 30:  Используйте наш Генератор множественных гипотез, чтобы создать несколько гипотез из одной гипотезы.

Полезный совет:

Ваше решение может быть не одним БОЛЬШИМ решением. Его можно разбить на множество более мелких решений. Разбейте свою проблему на более мелкие части. Посмотрите на решение каждой части отдельно. Атакуйте по одной проблеме за раз. Если проблем несколько, нужно решить, какую из них нужно решить в первую очередь.

Шаг 31. Составьте список альтернатив.

Шаг 32. Найдите точки доступа.

Шаг 33.  Если у вас еще нет четкого понимания, почему вам нужно более одного решения, воспользуйтесь нашим инструментом Rival Hypotheses. Итог:  Выбор одного – это не выбор.

Объективные данные ваших решений

Шаг 34:  Далее мы начнем работать с вашими решениями. Третий квадрант матрицы решения проблем имеет дело с объективными данными ваших решений (обведены красным ниже).

Полезный совет:

Как видите, 3-й квадрант является зеркальным отражением 1-го квадранта (за исключением Решений, а не Проблем). отражайте аспекты вашей проблемы. Эти «зеркальные» аспекты могут быть чрезвычайно важны для решения вашей проблемы.

Шаг 35. Вот третий квадрант матрицы решения проблем. Ваши решения заполняют столбцы этого графика.

Word версия Матрица решения проблем для объективных данных.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Word ).

Версия Excel Матрица решения проблем для объективных данных.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Excel ).

PDF версия Матрица решения проблем для объективных данных.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы скачать PDF версии ).

Шаг 36:  Подготовьтесь записать объективные данные ваших решений. Вы соберете воедино свои ключевые вопросы, информацию (ответы), задачи и цели для каждого решения, а затем сгруппируете их в вопросительные параметры: кто, что, когда, где, почему, как, откуда и Куда.

Шаг 37:  Загрузите или распечатайте наши формы решателя матриц для объективных данных (см. версии Word, Excel и PDF ниже):

Версия Word формы решателя матриц для объективных данных.docx ( Щелкните ссылку для загрузки Word версии ).

Excel версия формы решателя матриц для объективных данных.xlsx ( Щелкните ссылку для загрузки Excel версии ). Предпочтительный вариант — для опытных пользователей Excel (см. вкладку «Объективные данные всех решений».

PDF-версия формы решения матрицы для объективных данных.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 38. Начните с матрицы Формы решателя для «Кто». У вас должна быть форма «Кто» для каждого из ваших потенциальных Решений. Напишите свои Решения в верхней части каждой формы в отведенном месте. Затем начните вводить вопросы «Кто», которые вы считаете наиболее важными. важно. Если вам нужна помощь, чтобы придумать хорошие вопросы, перейдите к нашему списку стандартных вопросов Who в нашем наборе инструментов.

Полезный совет:

Пока не зацикливайтесь на ответах на каждый вопрос. После того, как вы составили список всех ключевых вопросов, вы можете расставить их по приоритетам.

Шаг 39.  Запишите любую информацию, связанную с вашими вопросами «Кто». Помните, что вопросы «Кто» связаны с «Людями, группами и человеческими аспектами». Кроме того, перечислите свои задачи и цели для людей и групп в форме.

Шаг 40.  После изучения аспектов проблемы «Кто» перейдите к разделам «Что», «Когда», «Где», «Почему», «Как», «Откуда» и «Куда».

Шаг 41. Просмотрите объективные данные.

Субъективные мысли о ваших решениях

Шаг 42:  Далее мы начнем работать над 4-м квадрантом матрицы решения проблем (обведен красным). Здесь вы анализируете свои субъективные мысли о своих решениях.

Полезный совет:

Как видите, 4-й квадрант является зеркальным отражением 2-го квадранта (за исключением того, что вы анализируете свои решения). Мы использовали этот «зеркальный» дизайн, потому что некоторые аспекты вашего решения будут отражать аспекты. вашей проблемы. Эти аспекты могут быть чрезвычайно важны для решения вашей проблемы.

Шаг 43.  Еще один способ просмотреть 4-й квадрант матрицы решения проблем.

Word версия Матрица решения проблем для субъективных мыслей.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Word ).

Версия Excel Матрица решения проблем для субъективных мыслей.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Excel ).

PDF версия Матрица решения проблем для субъективных мыслей.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы скачать PDF версию ).

Шаг 44:  Подготовьтесь записывать свои субъективные мысли. Соберите воедино свои личные мысли, которые тесно связаны с вашей проблемой. Вы будете сортировать их по своим решениям, а затем группировать их по предрасположенностям: намерения, ожидания, предположения, интуиция, мнения, выводы, суждения, убеждения, надежды и внутренние ощущения.

Шаг 45:  Загрузите или распечатайте наши формы решателя матриц для субъективных мыслей (см. версии Word, Excel и PDF ниже):

Версия Word формы Matrix Solver для субъективных мыслей.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Word ).

Excel-версия формы решателя матриц для субъективных мыслей.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Excel-версию ). Предпочтительный вариант — для опытных пользователей Excel (см. вкладку «Все решения, субъективные мысли»).

PDF-версия формы Matrix Solver Form for Subjective Thoughts.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 46:  Начните с формы решателя матриц для «Намерений». Просто запишите свои Намерения, которые, по вашему мнению, важны в этой ситуации. Если вам нужна помощь в определении ваших намерений, перейдите к нашему инструменту Intentions в нашем наборе инструментов.

Полезный совет:

Если вы не можете быстро придумать свои Намерения, просто пропустите его и перейдите к следующей предрасположенности. Имейте в виду, что ваше внимание должно быть сосредоточено на личных мыслях, которые лежат в основе вашей проблемы. Другими словами, это больше о качестве, чем о количестве.

Шаг 47. После того, как вы изучили свои Намерения, перейдите к своим Ожиданиям, Предположениям, Интуиции, Мнениям, Выводам, Суждениям, Убеждениям, Надеждам и Внутренним Чувствам.

Шаг 48:  Распечатайте приведенную ниже форму субъективных мыслей. Если вы впервые используете эту форму, потратьте несколько минут, чтобы ознакомиться с ней.

,

Word-версия формы субъективных мыслей.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Word-версию ).

PDF-версия формы субъективных мыслей.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 49:  Возьмите одну из своих Предрасположенностей, лежащую в основе вашего Решения, и запишите ее в поле 1 формы субъективных мыслей.

Шаг 50:  Следуйте инструкциям и заполните оставшуюся часть формы субъективных мыслей.

Шаг 51. Просмотрите свои субъективные мысли и бесспорные ментальные модели, которые их поддерживают.

Оценка Ваши решения

Шаг 52:  Теперь, когда вы создали и проанализировали свои решения, вам может потребоваться определить, какое решение лучше всего подходит для вас. Чтобы оценить свои решения, перейдите в раздел «Оценка решений» нашего инструментария. Ниже мы перечислили несколько рекомендуемых нами инструментов.

Шаг 53.  Перейдите к нашему инструменту негативного мозгового штурма, чтобы проверить свои решения на наличие потенциальных сбоев.

Шаг 54.  Проанализируйте свои решения на наличие потенциальных проблем с помощью нашего инструмента анализа потенциальных проблем.

Шаг 55. Сыграйте в роль Адвоката дьявола, представив наилучшее из возможных доводов против предложенного плана.

Шаг 56. Ранжируйте альтернативы, сравнивая их в парных наборах с помощью нашего инструмента анализа парных сравнений.

Шаг 57:  Используйте наш инструмент анализа сетки, чтобы создать оценку для каждой из ваших альтернатив, ранжируя свои решения для каждой основной категории, а затем взвешивая каждую из ваших основных категорий.

Шаг 58.  Создайте матрицу для проверки гипотез с помощью нашего инструмента «Матрица проверки гипотез».

Шаг 59. У нас также есть много методов принятия решений, перечисленных в конце раздела «Оценка решений» нашего инструментария.

Полезный совет:

Сложные проблемы могут генерировать сотни и даже тысячи строк данных. Вот почему мы создали программное обеспечение базы данных MySolver™. MySolver поможет вам справиться с действительно большими проблемами. Он помещает всю вашу информацию на кончиках ваших пальцев.

Ключевые точки:

• Определите основные категории вашей проблемы.
• Упорядочивайте свои данные и мысли, используя наши формы для решения матриц.
• Найдите ответы на свои ключевые вопросы и соберите другую важную информацию.
• Определите свои задачи и цели.
• Изучите свои субъективные мысли (то есть мысли, к которым вы предрасположены).
• Открывайте, тестируйте и улучшайте бесспорные ментальные модели.
• Придумайте разумные решения своей проблемы.
• Оцените свои решения.

Решенные примеры задач на приложения матриц: Решение системы линейных уравнений

Главная | | Математика 12 Std | Решенные примеры задач по применению матриц: решение системы линейных уравнений

• Предыдущая страница
• Следующая страница

Глава:

Решение системы линейных уравнений: (i) Метод матричной инверсии (ii) Правило Крамера (iii) Метод исключения Гаусса

 Для каждой ячейки result[i][j] нам нужно заменить значение на input[j][i] 
, где ввод — это транспонируемая матрица, а 
 результат — заполнитель для транспонированной матрицы.
  74. Поиск в двумерной матрице 
 В этой задаче нам нужно найти значение в отсортированной матрице. По сути, отсортированная матрица означает, что значение в ячейке A[i][j] всегда будет больше, чем значения во всех предшествующих ей ячейках.
 Ввод и ожидаемый результат
  Решение1  : Подход грубой силы к решению этой проблемы заключается в переборе каждой строки и каждого столбца, пока не будет найден целевой элемент или не будет достигнут конец матрицы.
 search Matrix — Brute Force
 Однако это O(M*N) и не использует структурную информацию матрицы, представленную в описании задачи.
 Как мы можем сделать это лучше? В матрице каждый элемент в строке сортируется, а все строки сортируются в порядке возрастания. Что мы используем для  искать значение в отсортированных массивах  ? Введите  Двоичный поиск  !
  Solution2  : Инициализируйте начало до 0 и конец до M-1, где M = количество строк. Найдите среднюю строку, а затем примените двоичный поиск для поиска целевого элемента в строке. Если целевой элемент найден, верните True, в противном случае измените среднюю строку по мере необходимости и продолжите поиск до начала ≤ конца. Итак, внешний бинарный поиск ищет строку, а внутренний бинарный поиск ищет элемент внутри строки. Вот прохождение:
 решение для бинарного поиска
 А вот код:
 Матрица поиска — Бинарный поиск
  Решение3  : Если мы внимательно посмотрим на матрицу, то увидим более простое решение. Обратите внимание, что элементы  становятся меньше, когда мы двигаемся влево по строке, и больше, когда мы двигаемся вниз по столбцу . Используя эту информацию, мы можем перемещаться по матрице, меняя направление в зависимости от значения в ячейке. Вот пошаговое руководство:
 Матрица поиска — используйте направление
 Вот код:
 поиск в матрице с использованием направления
  Примечание  : Мы начинаем не с  верхнего левого угла матрицы , а с верхнего правого  . Почему? Потому что, если мы проходим сверху слева, мы можем двигаться вправо или вниз, и в обоих случаях значения будут только увеличиваться.
  240. Поиск в 2D Matrix II 
 Это очень похоже на предыдущую задачу. В отличие от предыдущей задачи, где все элементы были отсортированы, здесь  предыдущая строка может иметь более высокие значения, чем строки, следующие за ней  . Таким образом, мы не можем использовать бинарный поиск, чтобы определить конкретную строку для поиска цели.
 Давайте сосредоточимся на направлении роста элементов. Значения увеличиваются вниз, а значения уменьшаются при движении влево. Используя эту информацию, мы можем использовать тот же алгоритм, что и в приведенной выше задаче, чтобы решить эту проблему. Вот пошаговое руководство:
 searchMatrixII пошаговое руководство
 Вот код:
 searchMatrixII
  73. Установка нулей матрицы 
 Моя первоначальная попытка решить эту проблему состояла в том, чтобы пройти по массиву и, если найден 0, обновить всю строку до 0.  Плохая  идея! Это приведет к потере информации о том, какие столбцы имели значение 0. Итак, перед тем, как мы на самом деле обновим массив, нам нужно что-то, чтобы сохранить запись о том, какие строки и столбцы содержат 0.
 Вот пошаговое руководство:
 setZeroMatrix пошаговое руководство
 Вот код:
 setZeros.py
 Теперь давайте посмотрим на обход матрицы по разному:  по спирали  и  по диагонали  .
  54. Спиральная матрица 
 Проблема на входе и ожидаемый результат
  Примечание  : Эту проблему можно решить несколькими способами. Однако то, чем я здесь делюсь, кажется наиболее интуитивным решением. Итак, давайте рассмотрим это шаг за шагом.
  Шаг 1  : Представьте, что мы решаем это вручную, и в этом случае мы можем двигаться только в 4 направлениях: мы начинаем с  вправо  , затем двигаем  вниз  , затем  влево  и, наконец,  вверх  (затем вправо опять таки).
 куда мы можем переехать?
  Шаг 2  : Как долго мы будем это делать? Посмотрите на изображение ниже.
 когда мы прекратим обход
 Рассмотрим матрицу как  сжимающееся пространство  между границами, которые  движутся в  . Мы знаем, что прошли всю матрицу, когда эти границы встречаются.
  Шаг 3  : Теперь мы уже обсудили направления движения. Давайте посмотрим, как меняются границы, когда мы перемещаемся в направлении.
 граница изменяется при движении по спирали
  Шаг 4  : Наконец, как нам избежать пересечения элемента, через который мы уже прошли ранее? Для этого мы поддерживаем другую матрицу, в которой мы храним информацию о том, какие позиции уже пройдены с логическим значением.
 Вот код
 SpiralMatrix1
  59. Spiral Matrix II 
 Эта задача очень похожа на первую. Вместо обхода матрицы здесь нам нужно построить квадрат матрицы «n». Для этого мы сначала строим матрицу из n*n логических значений, чтобы сохранить нашу результирующую матрицу, и продолжаем заполнять ее по мере продвижения по спирали — вправо → вниз → влево → вверх → вправо…, пока мы не заполним значения до n*n.
 Вот пошаговое руководство:
 Создать пошаговое руководство по матрице
 Вот код:
 SpiralMatrix2
  498. Диагональный ход 
 Ввод и ожидаемый результат
  Решение1  : Решая это вручную, мы видим, что мы можем двигаться в 4 направлениях: по диагонали вверх ( DU ), по диагонали вниз ( DD ), Вправо(  R  ) на 1 шаг, Вниз(  D  ) на 1 шаг.
 Теперь давайте посмотрим, как меняются идентификаторы строк и столбцов при движении в этих направлениях:
 обход матрицы по диагонали
 Вот код:
 диагональMatrix1
  Решение2  : Существует более простое решение, основанное на том факте, что сумма координат каждого элемента на диагонали будет одинаковой.
 Вот реализация:
 диагональMatrix.py
 Спасибо за чтение, и я надеюсь, что это помогло. Заканчивая этой цитатой из Матрицы, помните об этом при решении матричных задач или любой другой задачи :).
  Нео  : Что такое Матрица? 
  Тринити  : Ответ где-то рядом, Нео. Он ищет тебя, и  он найдет тебя, если ты этого захочешь. 
 https://www.ict.social/python/basics/многомерные-списки-в-питоне
 https://www.hackerearth.com/practice/data-structures/arrays/multi-diversity/tutorial /
 https://www.hackerearth.com/practice/data-structures/arrays/multi-diversity/tutorial/
 https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)
 https:/ /leetcode.com/
 Полное руководство по решению уравнений с помощью матриц 
 Многие ученики испытывают трудности с математикой, особенно с решением уравнений с матрицами. Прежде чем углубиться в тему, очень важно знать, что такое матрица. Матрица представляет собой прямоугольное расположение столбцов и чисел в строке. Это прямоугольное расположение чисел заключено в большие скобки [ ] или маленькие скобки ( ). Кроме того, матрицы обычно пишутся заглавными буквами, такими как A, B, C, D и т. д., а их множители — с мелкими элементами a, b, c, d и т. д.
 Например: A= [1, 6, 8], В= (а, б, в)
 Эти матричные уравнения несложно решить тем, кто знает хитрость. Но большинство учащихся сталкиваются с трудностями при быстром решении уравнений. Если вы один из них, то не расстраивайтесь. Вы находитесь в правильном месте, чтобы решить свои проблемы с математикой. Здесь вы можете получить подробное руководство по решению уравнений с матрицами.
 Изучить теоремы о матрицах: 
 Если вы испытываете трудности при решении уравнений с матрицей, одной из причин может быть отсутствие базовых знаний теорем о матрицах. Теорема о матрицах проведет вас через умножение матриц, сложение матриц, правила транспонирования, обратные правила и многие другие. Вам нужно понять и запомнить правила матричной алгебры, которые помогут вам решить матрицу.
 Знаете ли вы? Если у вас есть понимание основ матрицы, вы можете решить любую матричную задачу простым способом. И ваши базовые знания улучшат ваше решение уравнений с матрицей.
 Понимание типов матриц: 
 После понимания основных правил работы с матрицами важно понимать различные формы матриц. В главе о матрицах вам нужно пройти через такие типы, как матрица-строка, квадратная матрица, матрица-столбец, скалярная матрица, единичная матрица, одноэлементная матрица, сингулярная матрица, равная матрица, треугольная матрица, нулевые или нулевые матрицы и диагональная матрица.
 При решении уравнений с матрицами можно встретить любые вопросы, связанные с типами этих матриц. Поэтому вам нужно различать эти типы при попытке задать вопрос. Даже вам нужно понять некоторые приемы, чтобы решить матричные уравнения. Кроме того, более простое матричное уравнение можно легко решить, используя скалярное умножение и сложение матриц.
 Понять проблему или вопрос: 
 Многие студенты не пытаются глубоко понять вопросы из-за ограниченного времени экзамена или по другим причинам. По этой причине учащиеся не могут решить матричные вопросы. Отсутствует понимание матричного вопроса.
 Поэтому, когда вы сидите за решением математической задачи, не пугайтесь, увидев сам вопрос. И не паникуйте 
 об ограничении времени. Вам нужно прочитать матричный вопрос дважды или трижды. Здесь вам нужно дать время и попытаться подумать, каким образом вы можете решить вопросы. Уверены, вы найдете ответ.
 Делайте больше практик: 
 Вы, должно быть, слышали, что практика делает человека совершенным. Да, больше практики поможет вам в решении матричных задач. Даже вы можете чувствовать себя уверенно при решении задач, связанных с матрицей. Иногда студенты не могут управлять своим временем и не выбирают матричные вопросы на экзаменах. Но здесь больше практики поможет вам лучше решать матричные уравнения, и это поможет вам управлять временем во время экзамена.
 Если вы хотите решить матричное уравнение, вам нужно уделить больше времени этой главе. И вы должны увеличить практику матричного уравнения.
 Примите участие в групповых занятиях: 
 Многие люди думают, что групповые занятия — пустая трата времени. Многие говорят, что студенты не читают и не практикуются в групповых занятиях. Но это не совсем так. Есть много студентов, которые хотят узнавать что-то новое каждый день. Они не хотят тратить свое время. Если вы один из них, то групповые занятия — лучший способ получить знания. И это улучшает критическое мышление учащихся и навыки решения проблем.
 Если вы хотите повысить скорость решения матричных уравнений, вы можете пригласить своих друзей на групповые занятия. Здесь вы можете привлечь несколько способных студентов и некоторых средних студентов и сформировать группу, чтобы учиться друг у друга. Кроме того, вы можете узнать некоторые методы решения от своих друзей.
 Самостоятельная или индивидуальная практика: 
 Даже если вы выполняете групповую практику по решению уравнения с матрицей, вам нужно уделять ей отдельное время для практики. Часто учащиеся забывают методы и приемы решения уравнений, которые они узнали от своих друзей на групповых занятиях. 
 Эта проблема не возникнет, если вы запишете приемы и методы решения вопросов, а также будете практиковать их дома. Самостоятельная практика — отличный способ улучшить свои навыки решения проблем.
 Свяжитесь со своими факультетами/преподавателями: 
 Иногда студенты застревают в некоторых матричных задачах, где им нужна помощь эксперта. Ну не все же гении в решении уравнений матрицы. В какой-то момент вам понадобится помощь учителя или преподавателя. 
 Если вы потратили достаточно времени на решение уравнения, но так и не нашли никаких результатов, вы должны связаться со своим преподавателем. Они являются экспертами в этих главах, поскольку они учат тому же в течение длительного времени.
 МАКЕТ-тест: 
 МАКЕТ-тест означает проверку множественных вариантов. Этот тест помогает учащимся практиковать многие типы матричных вопросов. Даже многие эксперты говорят, что в настоящее время очень важно сдать пробный тест перед тем, как сдать выпускные экзамены.
No related posts.