Медианы в равностороннем треугольнике формула: Медиана равностороннего треугольника abc: свойства, примеры задач

Медиана равностороннего треугольника – формула

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 137.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 137.

Равносторонний треугольник стоит особняком среди всех фигур: в нем легко можно найти значение всех сторон и углов, так как все углы известны заранее, а найдя одну сторону, можно найти сразу все три. Но именно из-за этих свойств, составители задач любят писать каверзные условия, в которых не всегда можно разобраться с первого раза, например, не всегда можно понять, что такое медиана, потому что человеку проще воспринимать понятие высоты, нежели медианы. Рассмотрим же понятие медианы в равностороннем треугольнике подробно.

Определения

Равносторонний треугольник – это треугольник, все стороны которого равны, а углы по 60 градусов.

Равносторонний треугольник это частный случай равнобедренного, но в равностороннем любую сторону можно считать основанием.

Рис. 1. Равносторонний треугольник.

Из этого следует, что любая высота равностороннего треугольника является медианой и биссектрисой, так как любая высота проводится к стороне, которую можно считать основанием.

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположно стороны. Медиана также имеет ряд свойств, которые можно использовать в решении задач.

Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делят эту точку в отношении 2:3, считая от вершины. При этом медианы разбивают треугольник на 6 разновеликих треугольников. Если посмотреть на рисунок, то можно увидеть, что в равностороннем треугольнике каждый из 6 этих треугольников будет прямоугольным.

Формула медианы равностороннего треугольника

Выведем формулу медианы равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике АВС проведем высоту АН. Она же будет являться медианой и высотой. Медиана разобьет треугольник на два прямоугольных: АНС и АНВ. Рассмотрим треугольник АНС.

Рис. 2\over4}}$$

Это и есть формула медианы равностороннего треугольника. С другой стороны, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и вывести еще одну формулу:

$$sin(ACH)={AH\over AC}$$

При этом угол АСН равен 60 градусам. Значит, можно определить синус угла: $$sin(ACH)={\sqrt{3}\over 2}$$

Выразим значение медианы АН

$$АН=sin(ACH)*AC={\sqrt{3}\over2}*AC={\sqrt{3}\over2}*a$$

Вот еще одна формула, характерная для равностороннего треугольника.

Задача

Для закрепления темы решим простую задачу на обратное использование формулы медианы.

В равностороннем треугольнике медиана равна $$20\over{\sqrt{3}}$$. Найти площадь треугольника.

Для нахождения площади воспользуемся классической формулой.

Классическую формулу можно использовать для нахождения площади любого треугольника.

Для нее нам нужно значение стороны и высоты. Высота в равностороннем треугольнике совпадает с медианой, поэтому нужно найти только сторону.

Выразим ее через формулу медианы равностороннего треугольника.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

$$m={\sqrt{3}\over2}*a$$

$$a={m\over{\sqrt{3}\over2}}=m*{2\over\sqrt{3}}$$

Подставим в формулу значение медианы:

$$a={20\over\sqrt{3}}*{2\over\sqrt{3}}={40\over3}$$

Посчитаем площадь:

$$S={1\over2}*a*m={1\over2}*{40\over3}*{20 \over\sqrt{3}}={400\over{3\sqrt{3}}}$$

Что мы узнали?

Мы вывели две формулы медианы равностороннего треугольника, дали определения, необходимые для решения задач и решили небольшую задачу для закрепления знаний.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Александр Рудаков

  5/5

Оценка статьи

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 137.

---

А какая ваша оценка?

формула нахождения, свойства, известные следствия

Геометрия

12. 11.21

13 мин.

Пожалуй, каждый хоть раз сталкивался с геометрическими вычислениями. Одной из самых распространённых фигур является многоугольник. Его особенность заключается в свойствах, благодаря которым можно легко и быстро определить нужные параметры. Часто при расчётах приходится использовать медиану. В равностороннем треугольнике она разбивает фигуру на две равные площади. При этом она и центр тяжести, чем зачастую и пользуются при решении задач.

Оглавление:

• Свойства и виды треугольников
• Особенности медианы
• Решение задачи
• Онлайн-расчёты на калькуляторе

Свойства и виды треугольников

Многоугольник с тремя углами называют треугольником. Образуется он тремя отрезками, соединяющими 3 точки, располагающиеся на разных прямых. Эти точки называются вершинами, а замкнутые линии — сторонами. Площадь, заключённую сторонами, называют внутренней.

Вершины фигуры принято обозначать большими латинскими буквами A, B, C. Углы же греческими символами α, β, γ. Треугольники принято различать по видам. Они бывают:

• остроугольными — все углы в фигуре имеют разворот меньше 90 градусов;
• тупоугольными — один из углов треугольника больше 90 градусов;
• прямоугольными — 2 стороны фигуры образуют прямой угол.

Кроме этого, их разделяют по числу равных сторон на разносторонние, равнобедренные и равносторонние (правильные). В треугольнике можно построить так называемые замечательные прямые. Отрезок, проведённый из середины вершины к противолежащей стороне, является медианой. В любом виде фигуры может быть построено 3 таких прямых. Они будут пересекаться в центре внутренней площади треугольника, а их общая точка являться центром массы.

Кроме медианы, может быть отложена высота и биссектриса. Первая это перпендикуляр, опущенный из угла на противоположное основание, а вторая — линия, проходящая из угла и делящая противоположную сторону пополам.

Зная высоту или биссектрису, найти медиану равностороннего треугольника очень просто. Всё дело в том, что для него все 3 линии полностью совпадают. Это и есть одно из замечательных свойств равносторонней фигуры,поэтому знание этого параметра позволяет находить много различных размеров многоугольника.

В треугольник можно вписать окружность и описать её вокруг него. Радиус вписанной фигуры находится из отношения площади фигуры к полупериметру, а описанной — как произведение сторон, делённое на 4 площади. Внутреннее пространство для равносторонней фигуры можно определить по формуле: S = (a2 √3) / 4. При этом углы любого равностороннего треугольника будут равны 60 градусам.

Особенности медианы

С латинского «медиана» переводится как «средняя», поэтому так называют отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположного углу отрезка. Точку, в которой она соприкасается с прямой, называют основанием медианы. Существуют свойства, характерные только для рассматриваемой прямой. Так, можно, зная медиану, найти сторону треугольника, его площадь или угол вершины.

К свойствам отрезков, делящих сторону пополам в произвольном треугольнике, относят:

• деление медиан в точке их пересечения в отношении 2:1;
• разделение фигуры на 2 треугольника с равными площадями, то есть являющимися равновеликими;
• если построить 3 медианы, то треугольник окажется разделённым на 6 одинаковых фигур;
• зная значения сторон, длину параметров можно вычислить по следующей формуле: m = √(2b² + 2c² — a²) / 2.

Для доказательства равенства площадей нужно построить треугольник и провести медиану, например, из вершины B. Точку пересечения с противоположной стороной можно обозначить буквой D. Площадь новых фигур будет равняться: S1 = (AD * BE) / 2 и S2 = (DC * BE) / 2. Так как ограниченная прямая — это медиана, то AD = DC. Отсюда следует, что фигура делится на 2 равные части. Значит, S1 = S2, что и нужно было доказать.

Доказательство равенства 6 фигур при построении трёх медиан: пусть одна из полученных фигур будет иметь вершины A, O, F. Если из угла опустить перпендикуляр на линию BF, будет верным равенство: S = (OF * AK) / 2 = (BF * AK) / 6 = S / 3. Беря во внимание свойства, что линия рассекает фигуру на 2 равные части, можно утверждать о справедливости записи: Sabf = Sabc / 2 → Saof = Sabf / 3 = Sabc / 6. Свойство доказано.

В равнобедренном треугольнике медиана совпадает с высотой. Доказать это утверждение просто. Пусть есть многоугольник ABC. Из вершины B опущена высота BD. Полученные 2 фигуры равны: ABD = CDB, значит, их сторона BD — общая и является катетом. Следовательно, AD = CD. Так как гипотенузы треугольников равны, AB = BC. Замечательное свойство доказано.

Существуют 2 следствия из свойств:

• если вокруг прямоугольного треугольника описать круг, его центр совпадёт с серединой гипотенузы;
• треугольник, где медиана равна половине длины стороны, к которой её построили, будет прямоугольным.

Эти свойства и следствия очень важны. Зная их и формулы нахождения площади, решить большинство задач не составит труда. Но при этом часто приходится использовать формулу нахождения длины медианы.

Решение задачи

Для закрепления теоретического материала преподаватель учащимся предлагает решить ряд задач. Самостоятельное вычисление ответа позволяет не только научиться применять знания на практике, но и разобраться в различных тонкостях. Вот одна из таких задач, рассчитанная на школьников среднего уровня подготовки.

Дан равносторонний треугольник ABC. Длина медианы BH, проведённой на основание AC, составляет 9 * √3. Определить, чему равны стороны фигуры. Перед тем как непосредственно перейти к решению, нужно обратить внимание, что все стороны у фигуры будут одинаковые, при этом углы также равны. По сути, равносторонний многоугольник является равнобедренным, поэтому медиана является и высотой, а значит, угол H будет составлять 90 градусов.

При этом все остальные углы равны 60 градусам.

Решить задачу можно двумя способами:

1. Первый предполагает решение через тригонометрические функции. Так как известен острый угол в прямоугольном треугольнике ABH, используя синус (значение противолежащего катета к гипотенузе) можно записать: sin BAH = BH / AB. Отсюда AB = BH / sin BAH = (9 * √3) / (√3 / 2) = 9 * 2 = 18.
2. В основе второго способа лежит теорема Пифагора. Сторона AB — это гипотенуза. Для удобства её можно обозначить как х. Так как медиана делит сторону пополам, то AH = x / 2. По теореме: AB2 = Ah3 + Bh3. Подставив известные значения в формулу, можно получить выражение: x2 = (x/2)² + (9 * √3)² = (x² / 4) + 81 * 3 = 81 * 4. Отсюда x = √ 81 * √ 4 = 9 * 2 = 18.

Это классические методы, с помощью которых можно найти сторону треугольника, если известна медиана. Какой из них выбрать, зависит от предпочтения решающего задачу. Конечно же, первый занимает меньше времени, но требует знаний хотя бы основ тригонометрии.

Следует отметить, что формула: m = a √3 / 2 называется выражением медианы через высоту. И находится она как раз по теореме Пифагора. Это позволяет, зная лишь высоту или биссектрису, находить не только величину сторон, но и площадь фигуры, радиусы вписанной и описанной окружностей. При этом эта формула работает и в обратном направлении. Так, сторона будет равна: а = m / (√3 / 2).

Онлайн-расчёты на калькуляторе

Найти медиану в треугольнике при известных размерах сторон или площади фигуры довольно просто. В школьных задачах обычно подбираются исходные данные так, что при решении не нужно пользоваться калькулятором или делать сложные расчёты. Ответ часто получается в удобной форме в виде десятичных чисел.

Но на практике начальные данные, используемые для нахождения медианы, могут представлять коренные, степенные, дробные выражения, поэтому приходится выполнять громоздкие вычисления, которые могут занять много времени. При этом существует риск допустить оплошность, приводящую к неправильному ответу.

В интернете существуют математические онлайн-калькуляторы. Это сервисы, предлагающие услуги по автоматическому нахождению ответа в различных заданиях. Чтобы воспользоваться сайтом, пользователю даже не нужно знать формулы. Всё что от него требуется, это просто указать значения сторон в предложенной форме и нажать кнопку «Рассчитать» или «Вычислить». При этом эти сервисы бесплатны и не требуют даже регистрации.

Из онлайн-калькуляторов, существующих в русском сегменте интернета, можно отметить следующие:

1. Allcalc. Настоящий комбайн вычислений. Сайт содержит несколько сотен математических калькуляторов и конвертеров. Пользователь также может скачать бесплатное приложение для системы Android.
2. Planetcalc. Отличается удобной навигацией и интуитивно понятным интерфейсом. Работу того или иного калькулятора можно оценить в комментариях.
3. Geleot. Позиционируется не только как онлайн-расчётчик, но и как справочник.

Кроме быстрого и правильного расчёта, сайты могут предложить пользователю различный теоретический материал, касающийся вычислений. На их страницах приведены не только формулы, используемые для нахождения ответа, но и их объяснения. При этом расчёт сопровождается комментариями и подробными действиями.

Использовать онлайн-калькулятор для вычисления медианы не зазорно, особенно в процессе обучения. Благодаря ему можно не только проверить ответ, но и в случае ошибки быстро её найти и разобраться в причинах появления, поэтому ими часто пользуются не только школьники, но и инженеры, выполняющие сложные геометрические расчёты.

[Решено] Найдите длину медианы равностороннего ΔPQR, у которого

Найдите длину медианы равностороннего ΔPQR, стороны которого равны 10 см.

Этот вопрос ранее задавался в

Тест SSC CHSL на основе памяти (13 марта 2023 г. )

(3√3)/2

(5√3)

Вариант 4 : (5√3)

Бесплатно

Январь Месяц Текущие дела (1 января — 15 января)

2,5 миллиона пользователей

30 вопросов

30 баллов

30 минут

Дано:

ΔPQR — равносторонний треугольник.

Длина стороны (a) = 10 см

Используемая концепция:

В равностороннем треугольнике

Высота = медиана

Высота равностороннего треугольника = (√3a)/2, где a = сторона 

Расчет:

Пусть PS будет медианой ΔPQR

В равностороннем ΔPQR,

Высота (PS) = медиана (PS)

Высота равностороннего треугольника = (√2/9 × 0)

⇒ Медиана равностороннего ΔPQR = (√3 × Сторона)/2

⇒ Медиана равностороннего ΔPQR = (√3 × 10)/2

⇒ Медиана равностороннего ΔPQR = (5√3)

∴ Длина медианы равностороннего ΔPQR равно (5√3).

Важные моменты

В равностороннем треугольнике:

1. Все три стороны равны и Все три угла равны, каждый угол треугольника равен 60°.

2. Это правильный многоугольник с тремя сторонами.

3. Перпендикуляр, проведенный из вершины равностороннего треугольника на противоположную сторону, делит противоположную сторону пополам. Также угол вершины, из которой проведен перпендикуляр, делится на два равных угла, т.е. по 30 градусов каждый.

4. Ортоцентр, Инцентр, Окружной центр и центроид находятся в одной точке.

5. В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса угла и высота совпадают.

6. Площадь равностороннего треугольника равна √3a ² / 4

7. Периметр равностороннего треугольника равен 3a.

Скачать решение PDF

Поделиться в WhatsApp

Последние обновления SSC CHSL

Последнее обновление: 9 марта 2023 г.

Срок сдачи экзамена SSC ​​CHSL Tier II истек. Экзамен состоится 26 июня 2023 года. Это для цикла 2022 года. Экзамен уровня I для того же был запланирован с 9с марта по 21 марта 2023 года. Комиссия по отбору персонала объявила о наборе примерно 4500 вакансий. Кандидаты могут подать онлайн-заявку на участие в программе SSC CHSL с 6 декабря 2022 года по 4 января 2023 года. SSC также внесла некоторые существенные изменения в шаблон экзамена SSC ​​CHSL . Кандидаты, окончившие высшую среднюю школу (10+2), могут сдавать этот экзамен для найма на различные должности, такие как почтовый помощник, клерки низшего отдела, секретарь суда, помощники по сортировке, операторы ввода данных и т. д. Процесс отбора SSC ​​CHSL состоит из Компьютерный экзамен (уровень I и уровень II). Чтобы улучшить подготовку к экзамену, попрактикуйтесь в ответах на важные вопросы из статей SSC CHSL за предыдущие годы. Кроме того, попробуйте пробный тест SSC CHSL.

Калькулятор формул для уравнений равностороннего треугольника

Изменить уравнение
Выберите, чтобы найти другое неизвестное

Разносторонний треугольник:
Нет сторон с одинаковой длиной
Нет равных углов

Уравнения разностороннего треугольника
Эти уравнения применимы к любому типу треугольника. Сокращенные
уравнений для равностороннего, прямого и равнобедренного треугольников приведены ниже.

1 Основание

	Периметр
	Полупериметр
	Площадь
	Площадь
	42	Высота
	Биссектриса стороны a
	Биссектриса угла сторона b
	Биссектриса стороны c
	Медиана стороны a
	Медиана стороны b0142
	Медиана стороны c
	Высота стороны a
	Высота стороны b 9014 41	Высота стороны c
	Радиус описанной окружности
	Радиус вписанной окружности

Закон косинусов

	длина стороны a
0	0	00141 угол A

---

Равносторонний треугольник:
Все три стороны имеют одинаковую длину
Все три угла равны 60 градусов

Уравнения равностороннего треугольника

	Полупериметр
	Площадь
	Высота
	Медиана
	2 Угол0142
	Радиус описанной окружности
	Радиус вписанной окружности

---

Прямоугольный треугольник равен 900 909 градусов. 02 Уравнения прямоугольного треугольника

Угол 9 угла 509141 Медиана2 c

	Теорема Пифагора
	Периметр
	Полупериметр
	Площадь
	Высота a
	Высота b
	Высота c
	Биссектриса угла b
	Угол Биссектриса c
	Медиана a
	Медиана b
			Радиус вписанной окружности
	Радиус описанной окружности

---

Равнобедренный треугольник:
Две стороны имеют одинаковую длину 003

11245 90 Биссектриса сторон a и c

	Периметр
	Полупериметр
	Площадь
	Высота сторон a и c
	Высота стороны b
	Медиана сторон a и c
	Медиана стороны b
	Биссектриса угла стороны b
	Радиус описанной окружности
	Радиус вписанной окружности

Где

3

1 2 = Периметр s = Полупериметр a = 4 сторона 4 a2 901 0140 b = Длина стороны b c = Длина стороны c h = Высота м = Медиана 0 А = Угол A B = Угол B C = Угол C 901445 42 = Биссектриса угла R = Описанная Радиус окружности r = Радиус вписанной окружности

---

Справочник — Книги: 1) Макс А.