Решебник дробей: Приведение дробей к общему знаменателю онлайн

§ 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Класс

• 1 класс

• 2 класс

  • Английский язык
  • Математика

• 3 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика

• 4 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика

• 5 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология

• 6 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология

• 7 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 8 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 9 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 10 класс

  • Английский язык
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 11 класс

  • Английский язык
  • Биология
  • Химия

8 КЛАСС

§ 3.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Найти общий знаменатель.   Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Преобразовать левую часть тождества.

Найти общий знаменатель. Упростить числитель.

Найти общий знаменатель. Упростить числитель.

Найти общий знаменатель. Упростить числитель.

Найти общий знаменатель. Подставить значение переменной.

Найти общий знаменатель. Подставить значение переменной.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей, либо воспользоваться формулами сокращенного умножения (ФСУ).

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей, либо воспользоваться формулами сокращенного умножения (ФСУ).

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей, либо воспользоваться формулами сокращенного умножения (ФСУ).

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей, либо воспользоваться формулами сокращенного умножения (ФСУ).
  

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей, либо воспользоваться формулами сокращенного умножения (ФСУ).

Составить уравнение (перемножить "крест накрест").

Упростить выражение; должно получиться выражение, возведенное в четную степень (тогда при любом значении переменной будут неотрицательные значения)

Упростить выражение.

Упростить левую часть и сравнить с правой частью тождества.

Вопросники:

Вопрос:

Вопрос:

Пары:

Пропуски:

умножаетсяскладываетсяостаётся прежнимперемножается

Сложение и вычитание десятичных дробей — как правильно? Правила и примеры

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Цицерон сказал: «Без знания дробей никто не может признаться знающим арифметику». С этим не поспоришь! Продолжим изучать десятичные дроби через правила сложения и вычитания.

Понятие десятичной дроби

Прежде, чем перейдем к тому, как выполнить сложение и вычитание десятичных дробей, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это число в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель.

Ее записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

• 0,8
• 7,42
• 9,932

Конечная десятичная дробь — это когда количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой. 

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Свойства десятичных дробей

Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить.

Например:

• 0,600 = 0,6
• 21,10200000 = 21,102

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и т. д.
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и т. д. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Сложение десятичных дробей

Мы знаем, что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. При сложении десятичных дробей нужно отдельно сложить каждую часть.

Рассмотрим пример сложения 3,2 и 5,3. Для удобства используем метод столбика.

Запишем эти две дроби в столбик. При этом целая часть одной дроби должна быть под целой частью другой. В школе это называют «запятая под запятой». Вот так:

Складываем дробные части: 2 + 3 = 5. Запишем пятерку в дробной части ответа:

Теперь целые части: 3 + 5 = 8. Запишем восьмерку в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной, чтобы запятая была под запятой:

Получили ответ: 3,2 + 5,3 = 8,5.

Вычитание десятичных дробей

Процесс вычитания десятичных дробей очень похож на сложение. Будем использовать те же правила: «запятая под запятой» и «равное количество цифр после запятой».

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2

Запишем в столбик выражение так, чтобы запятая была под запятой:

Вычислим дробную часть 5 − 2 = 3. Запишем тройку в десятой части ответа:

Вычислим целую часть 2 − 2 = 0. Запишем ноль в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной:

Вот и ответ: 2,5 − 2,2 = 0,3.

Пример 2. Вычислить: 7,353 – 3,1

В этом выражении разное количество цифр после запятой: в 7,353 три цифры после запятой, а в 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце добавим два нуля, чтобы уравнять количество цифр в обеих дробях. То есть: 3,1 = 3,100.

Запишем в столбик и посчитаем:

Ответ: 7,353 – 3,1 = 4,253.

Пример 3. Вычислить: 3 − 1,2

В этом примере из целого числа нужно вычесть десятичную дробь. Запишем это выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 была под числом 3. Вот так:

Сделаем количество цифр после запятой одинаковым:

Теперь вычитаем десятые части: 0 − 2. От нуля невозможно вычесть число 2. Поэтому займем единицу у соседнего разряда. Таким образом 0 превращается в число 10. Вычисляем десятые части: 10 − 2 = 8. Запишем восьмерку в десятой части ответа:

Сейчас вычтем целые части. В самом начале было число 3, но мы заняли у него единицу, поэтому оно обратилось в двойку. Поэтому: 2 − 1 = 1. Запишем единицу в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной:

Ответ: 3 − 1,2 = 1,8.

Мы рассмотрели несколько примеров сложения и вычитания десятичных дробей. Чтобы каждый ученик в 5 и 6 классе мог повторить эту последовательность, есть специальный алгоритм:

Алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей Уравнять в дробях количество знаков после запятой. Записать дроби друг под другом так, чтобы одна запятая оказалась под другой запятой. Выполнить сложение (вычитание) и не обращать внимание на запятую. Поставить в ответе запятую под запятой.

Проще говоря, правило сложения (вычитания) десятичных дробей звучит так: чтобы сложить (вычесть) две десятичные дроби, нужно записать их в столбик друг под другом, запятая под запятой. А потом сложить (вычесть) как обыкновенные числа и снести запятую.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Вычитание столбиком

К следующей статье

Умножение многочлена на многочлен

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Руководство по дробям в 10 простых фактах | Бретт Берри | Математические приемы

Без шуток, просто

Математики любят дроби, а остальной мир их ненавидит . Я не знаю, какие травмирующие события вы пережили в детстве, но мне жаль, что они были такими болезненными.

В ДЕСЯТИ ФАКТАХ я объясню все, что вам нужно знать о дробях, как можно яснее.

Да, один урок, десять основных идей, менее десяти минут чтения.

Готов?

факт первый

Каждая дробь имеет числитель , который равен количеству частей, у нас есть , и знаменатель , равный общему количеству частей в целом.

Как и в случае с тортом, у вас может быть 2 маленьких кусочка или 1 кусок в два раза больше, и это будет столько же. Следовательно, многие дроби эквивалентны, например, 2/5 и 4/10.

4/102/5

факт два

Напишите любое целое число, превышающее 1 , чтобы оно стало дробью, поскольку общее количество частей в любом неделимом целом равно единице.

факт три

Умножение дробей легко , просто умножить прямо.

3 x 7 = 21 и 5 x 8 = 40

Примечание. Смешанные числа необходимо сначала преобразовать в неправильные дроби, читайте об этом подробнее.

факт четыре

Число 1 называется мультипликативное тождество , потому что мы можем умножить его на любое число, и число останется прежним. Это важно для дробей, потому что часто нам нужно изменить внешний вид дроби без фактического изменения ее значения.

Например, я могу преобразовать 1/3 в эквивалентную дробь 3/9, умножив на 3/3.

Умножение на 1 в виде 3/3 превращает 1/3 в эквивалентную дробь 3/9

Факт пять

При сложении и вычитании дробей знаменатели должны быть одинаковыми . В этом есть смысл. Если мы хотим объединить или убрать части, мы должны говорить о частях одинакового размера, иначе это приведет к путанице.

Так что же делать, если ваши дроби не имеют одинаковых размеров?

Умножьте на единицу, чтобы привести знаменатели к общему размеру. По сути, мы делим дроби на части меньшего размера, пока они не станут одинакового размера. Это называется найти общий знаменатель.

По правде говоря, подойдет любой общий знаменатель, но люди предпочитают находить наименьший. В этом случае наименьшее число, в которое входят и 7, и 3 без остатка, равно 21. Итак, умножьте первую дробь на 3/3, а вторую на 7/7.

Умножьте на формы 1, чтобы получить общий знаменатель 21.

Если вы не можете придумать наименьший общий знаменатель, вы всегда можете умножить каждую дробь на противоположный номинал . Иногда, как в данном случае, это оказывается наименьшим общим знаменателем. Если это не так, просто сократите свой ответ в конце.

Когда знаменатели совпадут, вычтите числители, чтобы получить 8/21.

15–7 = 8

Это работает, как и следовало ожидать. Графически начните с 15 штук из 21 всего.

Обратите внимание: у меня 5/7 повторяются 3 раза, это напрямую связано с умножением 5/7 на 3/3 для получения 15/21.

Удалите краску с 7 из 15 синих блоков.

Что оставляет 21 августа, как и ожидалось.

факт шесть

смешанное число представляет собой комбинацию целого числа и дроби.

Пример смешанного числа

Смешанные числа плохо сочетаются с другими дробями. Рекомендуется сначала преобразовать их в неправильные дроби.

Примечание: неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя, поэтому ее значение больше единицы.

факт семь

Чтобы преобразовать 2 и 4/5 в неправильную дробь , прибавьте 2 + 4/5.

Шаг 1: Начните с перезаписи 2 как 2/1.

Шаг 2: Умножьте 2/1 на 5/5, чтобы получить эквивалент дроби 10/5 с желаемым общим знаменателем 5.

5/5 = 1, мультипликативное тождество 10/5 + 4/5.

Наш результат — эквивалент неправильной дроби 14/5.

Чтобы преобразовать обратно в смешанное число, выполните деление. Например, 5 входит в число 14 два раза (поскольку 5 x 2 = 10), и остается 4 части.

Равные дроби в неправильной (слева) и смешанной форме (справа)

факт восемь

Предположим, мы хотим определить, что больше: 5/12 или 6/13.

Сначала убедитесь, что они не в форме смешанных чисел!

Шаг первый: Умножьте диагональ и запишите произведение над числителем.

Шаг второй: Умножьте другую диагональ и запишите ее произведение над числителем.

Шаг третий: Сравните продукты. Сторона с большим произведением является большей дробью. Итак, в данном случае 5/12 меньше, чем 6/13.

Примечание: символ больше/меньше всегда открывается в сторону большего значения.

Мы также можем определить, равны ли дроби, используя векторные произведения.

Перекрестное произведение 3/7 и 12/28 равно 84, поэтому 3/7 = 12/28.

факт девять

Самое лучшее в дробях заключается в том, что вы можете найти множество возможностей отменить. Что делает их быстрыми и легкими в управлении.

Допустим, у меня есть дробь 8/10. И 8, и 10 можно переписать с множителем 2.

Поскольку 2/2 = 1, я могу сократить двойки, оставив 4/5 в виде сокращенной дроби.

Вычеркните двойки, так как 2/2 = 1

Используйте эту стратегию, чтобы упростить умножение дробей.

Начните с перезаписи каждого числа в множителях.

Отменить все пары чисел, которые делятся на 1. Например, 5/5 = 1.

У меня есть еще пара пятерок, а также пара троек, которые тоже делятся на 1.

Ой! Я мог бы переписать 6 как 2 x 3 и отменить пару двоек. Ничего страшного, если вы пропустите какой-то фактор, просто продолжайте, пока не получите их все.

Примечание: я переписал 2 как 2 x 1, так что, когда я исключаю двойки, в числителе остается единица.

Если бы умножить 15/25 на 10/18 напрямую, то пришлось бы много арифметических действий, используя отмену I , предварительно уменьшив дроби и упростив умножение.

факт десять

Делить дроби легко на простых примерах, таких как:

В целом две половины, поэтому в 5 целых 10 половинок.

Но с более сложными дробями эта концепция усложняется.

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать два факта:

1. Мы можем умножать на любую форму единицы (т.е. на что угодно над самим собой)
2. Умножая на обратную величину 3/2, которая равна 2/3, приводит к 1 через отмену

Шаг первый: Начните с умножения на обратную величину над собой.

Теперь нам нужно решить две меньшие задачи (синяя и зеленая).

Шаг второй: Отменить все, что делится на 1 в нижней (зеленой) дроби. Это должно всегда давать результат 1.

Теперь нам осталось решить главную проблему.

Шаг третий: Используйте отмену для предварительного уменьшения дроби. Сделав эти сокращения, умножьте, чтобы получить 4/3.

Ярлык

Это механика длинной руки “ флип и умножение. ”

Мы можем пропустить умножение на обратную величину внизу, так как она всегда сокращается до 1. Поэтому все, что вам нужно сделать, это умножить числитель на обратную величину знаменателя.

Почему работает трюк с перекрестным произведением?

Отличный вопрос! Чтобы обобщить, составьте две дроби, используя буквы a, b, c и d, чтобы представить четыре разных числа.

Умножьте обе дроби на b•d (это позволит нам сократить знаменатели).

Теперь сократите b слева и d справа, так как они делятся на 1. У нас больше нет дробей, только произведения d•a и c•b.

Посмотрите на исходные дроби. Это те же произведения, как если бы мы перемножили диагонали. Поэтому проще всего сравнить перекрестный продукт.

❤ ОСТАВАЙТЕСЬ НА СВЯЗИ ❤

Будьте в курсе всех новостей Math Hacks!

Инстаграм | Фейсбук | Twitter

Далее: Головоломка с числами 8, 8, 3, 3

Спасибо за чтение!

Math Hacks уже на YouTube!

Присоединяйтесь ко мне, и мы будем вместе решать математические задачи за раз.

Распространение любви к математике + расширение прав и возможностей. Подпишитесь на новые…

www.youtube.com

Распространенная математическая ошибка, которую я заметил в последнее время

Вы случайно сделали это с домашним заданием вашего ребенка?

medium.com

Комбинации и перестановки

Мы используем термин «комбинация» вольно и обычно неправильно. Мы говорим что-то вроде: «Эй, что у тебя…

medium.com

Понимание логарифмов и корней

Бревна и корни — нет, я не говорю о деревьях. Я говорю о математическом роде. Бьюсь об заклад, вы думаете,

medium.com

Объяснение дробей – руководство для родителей

• Советы по математике
• 6-7 лет
• 8-9 лет

Будучи взрослыми, мы используем дроби каждый день — делим пиццу, определяем время и делим счет — но большинство из нас почти забыли , как мы узнали и поняли их.

В штаб-квартире Komodo мы знаем, как важно иметь возможность помочь нашим детям изучать темы, с которыми они борются (а дроби могут быть трудными ), поэтому мы составили это руководство по дробям, чтобы вы могли поддержать своего ребенка, когда им нужна дополнительная помощь.

Прочитайте наше введение в дроби здесь

Как детей учат дробям

Дети лучше понимают дроби , когда они используются в контексте реальной жизни, например, в отношении длины, времени, денег и веса — так, как мы используем их каждый день, будучи взрослыми. Однако дети лучше усваивают дроби, используя модели, дающие наглядное представление.

Модели площадей

‘ Модели площадей’ используют цветные фигуры для обучения дробям. С их помощью легко увидеть, сколько всего занимает каждая фракция. Типичным упражнением для детей может быть определение того, какая часть каждой фигуры окрашена.

Распространенное у детей заблуждение состоит в том, что чем меньше знаменатель, тем меньше дробь. Например, дети могут подумать, что 1/5 больше 1/3 просто потому, что 5 больше, чем 3. 

С другой стороны, большинство детей понимают, что они получат больший кусок пиццы, если его поделят между собой. три человека, а не пять, поэтому используйте эту аналогию (и дробную стену, которую вы можете распечатать здесь), чтобы помочь им увидеть, как это работает!

Наборы

Использование наборов объектов — еще один способ обучения дробям. В задании, основанном на наборах, детей можно попросить нарисовать кольцо вокруг 1/2 предметов из приведенных ниже наборов.

Ребенок, которому трудно понять дроби, может попытаться ответить на этот вопрос, разрезав каждую фигуру пополам, например: дробь как самостоятельное число. Понять это помогут многочисленные упражнения с использованием сетов!

Прочтите нашу статью о трудностях с дробями, чтобы узнать больше о том, как справляться с подобными проблемами.

Числовые строки

Числовые строки помогают учащимся перейти к восприятию дробей как чисел, находящихся между целыми числами, и понять их как способ говорить о времени и расстоянии. Типичное упражнение может быть таким:

Итак, ваш ребенок должен посчитать, сколько раз каждая числовая строка была разделена, и решить, как далеко по линии проходит дробь.

Наслаждайтесь изучением дробей с помощью визуальных моделей — загляните в наш глоссарий дробей ниже, чтобы узнать, в каких терминах вы не уверены!

Глоссарий дробей

О Komodo —  Komodo — это увлекательный и эффективный способ развить начальные математические навыки. Комодо, предназначенное для детей от 5 до 11 лет для использования дома, использует небольшой и частый подход к изучению математики (15 минут, три-пять раз в неделю), который вписывается в занятую рутину. Komodo помогает пользователям развить беглость и уверенность в математике – не удерживая их на экране долго .