Показательные неравенства и способы их решения с примерами: Показательные неравенства | ЮКлэва

alexxlab / / Разное
{\log_{0,2}{4}}\)

 

Избавимся от оснований с переменой знака т.к. \(0,2<1\)

\(-7x+4≤\log_{0,2}⁡{4}\)

 

\(\log_{0,2}{⁡4}\) – число некрасивое, но все-таки число, т.е. перед нами обычное линейное неравенство.
Будем выражать \(x\), для этого перенесем \(4\) в правую часть

\(-7x≤\log_{0,2}{⁡4}-4\)

 

Поделим обе части на \(-7\)

\(x≥\) \(\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}\)

Ответ: \(x∈\)\([\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}\)\(;∞)\) 

Знаю, выглядит не очень, но ответ не выбирают. x>-5\) будет любое число: \(x∈(-∞;∞)\).

Смотрите также:
Показательные  уравнения
Логарифмические  уравнения
Равносильные преобразования неравенств
Логарифмические  неравенства

Показательные уравнения и неравенства, и примеры решения, урок и презентация в 11 классе

Дата публикации: .

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Скачать:Показательные уравнения и показательные неравенства (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов «Тригонометрия»
Интерактивное пособие для 10–11 классов «Логарифмы»


Определение показательных уравнений


Ребята, мы изучили показательные функций, узнали их свойства и построили графики, разобрали примеры уравнений, в которых встречались показательные функции. {x+2}-1}

экспоненциальных неравенств | Brilliant Math & Science Wiki

Александр Кац, Джефф Пиллинг, Каустуб Миглани, и

способствовал

Содержимое
  • Введение
  • Экспоненциальные неравенства — одно и то же основание
  • Экспоненциальные неравенства — основание меньше 1
  • Экспоненциальные неравенства — аналогичное основание
  • Экспоненциальные неравенства — другое основание
  • Экспоненциальные неравенства — несколько терминов
    • 9x\) равно монотонно возрастающему \(\big(\)возрастающему \(x\) всегда возрастает \(f(x)\big)\) при \(a>1\), а монотонно убывающему \( \big(\) при увеличении \(x\) всегда уменьшается \(f(x)\big)\) при \(0 {9x ?\]

    Когда два основания различны и не связаны общим основанием (как в предыдущем разделе), становится необходимым использование логарифмов. К счастью, логарифмы обладают теми же свойствами, что и экспоненты:

    .

    Если \(a>1\) и \(x>

    y\), то \(\log_ax>\log_ay\). В противном случае, если \(0

    Верно и обратное:

    Если \(a>1\) и \(\log_ax>\log_ay\), то \(x>y\). В противном случае, если \(0(8-5x)\log 5,\]

    , поэтому \(5x\log 2>8\log 5-5x\log 5.\) Перестановка дает \(5x(\log 2+\log 5)>8\log 5.\) Так как \(\log 2+ \log 5=\log 10=1,\) это эквивалентно \(5x>8\log 5,\), поэтому \(x>\frac{8}{5}\log 5.\) \(_\ квадрат\)

    В случае нескольких членов, как правило, стоит присвоить другую переменную экспоненциальному члену, решить полученное неравенство, а затем работать с одночленным неравенством. Например,

    9{4x}\). x). \] Каково значение \( a + b? \) 92-x-4=0 \ подразумевает x=\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}\). Только \(\frac{1-\sqrt{17}}{2} \in [ -2, 1 ] \), так что это единственное решение в этом подслучае.

    При объединении случаев получается набор решений

    .

    \[x<-2,\x=\frac{1-\sqrt{17}}{2},\x=-1,\x=0,\x>1.\ _\square\]

    • Экспоненты
    • Правила экспонентов
    • Логарифмы
    • Логарифмические неравенства

    Процитировать как: Экспоненциальные неравенства. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/exponential-inequalities/

    6.3: Экспоненциальные уравнения и неравенства

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  • 9{x}\right) & = & \ln(129) & \mbox{Возьмем натуральный логарифм обеих сторон.
    } \\ x \ln(2) & = & \ln(129) & \mbox{степенное правило} \\[4pt] x & = &\dfrac{\ln(129)}{\ln(2)} & \\ \end{массив}\nonumber\]

    «Взять натуральный логарифм» обеих сторон сродни возведению обеих сторон в квадрат: поскольку \(f(x) = \ln(x)\) является функцией , пока две величины равны, их натуральные логарифмы равны равный. 2 Также обратите внимание, что мы рассматриваем \(\ln(2)\) как любое другое ненулевое действительное число и делим его на 3 , чтобы изолировать переменную \(x\). Ниже мы суммируем два распространенных способа решения показательных уравнений, мотивированных нашими примерами.

    Этапы решения уравнения с экспоненциальными функциями

    1. Изолировать экспоненциальную функцию.
      1. Если удобно, выразите обе части с помощью общего основания и приравняйте степени.
      2. В противном случае возьмите натуральный логарифм обеих частей уравнения и используйте правило степени. 9{2x}\справа)\). Правило мощности дает \((x+2)\ln(3) = 2x\ln(7)\). Хотя это уравнение кажется очень сложным, имейте в виду, что \(\ln(3)\) и \(\ln(7)\) — это просто константы. Уравнение \((x+2) \ln(3) = 2x \ln(7)\) на самом деле является линейным уравнением, и поэтому мы собираем все члены с \(x\) на одной стороне, а константы с другой. Затем мы делим обе части на коэффициент \(х\), который мы получаем путем факторизации.

        \[\begin{array}{rclr} (x+2) \ln(3) & = & 2x \ln(7) & \\ x \ln(3) + 2 \ln(3) & = & 2x \ln(7) & \\ 2 \ln(3) & = & 2x \ln(7) — x \ln(3) & \\ 2 \ln(3) & = & x (2 \ln(7) — \ln(3)) & \mbox{Коэффициент.}\\ x & = & \frac{2 \ln(3)}{2\ln(7) — \ln(3)} & \\[4pt] \конец{массив}\номер\] 9{\log_{3}(2)} & \mbox{Изменение базы}\\ 2000 & \stackrel{?}{=} & 1000 \cdot 2 & \mbox{Обратное свойство}\\ 2000 & \stackrel{\ галочка}{=} & 2000 & \\ \end{массив}\номер\]

        Другие решения можно проверить, используя комбинацию логарифмических и обратных свойств. Одни выпадают довольно быстро, а другие более вовлекаются. {\ln\left(\frac{1}{4}\right )}- 4\ln\left(\frac{1}{2}\right) & \\ & = & \frac{1}{4} \ln\left(\frac{1}{2}\right) — 4 \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{15}{4} \ln\left(\frac{1}{2}\right) & \end{array} \номер\] 9{-0.1t} = \frac{1}{3}\), так что \(t = -10\ln\left(\frac{1}{3}\right)\), которое после быстрого применения Правило степени оставляет нам \(t = 10\ln(3)\). Если мы хотим избежать использования калькулятора для выбора тестовых значений, заметим, что, поскольку \(1 < 3\), \(0 = \ln(1) < \ln(3)\), так что \(10\ln( 3) > 0\). Поэтому мы выбираем \(t = 0\) в качестве тестового значения в \([0, 10 \ln(3))\). Поскольку \(3 < 4\), \(10 \ln(3) < 10 \ln(4)\), то последнее является нашим выбором тестового значения для интервала \((10 \ln(3), \infty)\). Наша диаграмма знаков находится ниже, а рядом с ней наш график \(y=T(t)\) из примера 6.1.2 с горизонтальной линией \(y = 100\). 9{x}\) растет относительно любого многочлена?

      6.3.2. Ответы

      1. \(x = \frac{3}{4}\)
      2. \(х = 4\)
      3. \(х=2\)
      4. \(х = -\фракция {1}{4}\)
      5. \(х = -\фракция {7}{3}\)
      6. \(х = -1, \, 0, \, 1\)
      7. \(х = \фракция{16}{15}\)
      8. \(х=-\фракция{2}{11}\)
      9. \(х = \frac{\ln(5)}{2\ln(3)}\)
      10. \(х = -\frac{\ln(2)}{\ln(5)}\)
      11. Нет решения.
      12. \(x = \frac{\ln(29) + \ln(3)}{\ln(3)}\)
      13. \(x = \frac{\ln(3)}{12\ln(1,005)}\)
      14. \(k = \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{-5730} = \frac{\ln(2)}{5730}\)
      15. \(t=\frac{\ln(2)}{0,1} = 10\ln(2)\)
      16. \(x=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\ln(2)\)
      17. \(t = \frac{\ln\left(\frac{1}{18}\right)}{-0,1} =10 \ln(18)\)
      18. \(x=-10\ln\left(\frac{5}{3}\right) = 10\ln\left(\frac{3}{5}\right)\)
      19. \(х=\ln(2)\)
      20. \(t=\frac{1}{3}\ln(2)\)
      21. \(t = \frac{\ln\left(\frac{1}{29}\right)}{-0,8} = \frac{5}{4}\ln(29)\)
      22. \(x = \frac{\ln\left(\frac{2}{5}\right)}{\ln\left(\frac{4}{5}\right)} = \frac{\ln( 2)-\ln(5)}{\ln(4) — \ln(5)}\)
      23. \(х = \ln(2)\)
      24. \(x = -\frac{1}{8} \ln\left(\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}\ln(2)\)
      25. \(x = \frac{\ln(3)}{\ln(3) — \ln(2)}\)
      26. \(x = \frac{\ln(3) + 5\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(3) — \ln\left(\frac{1}{) 2}\right)} = \frac{\ln(3)-5\ln(2)}{\ln(3)+\ln(2)}\)
      27. \(x = \frac{4 \ln(3) — 3 \ln(7)}{7 \ln(7) + 2 \ln(3)}\)
      28. \(х=\ln(5)\)
      29. \(х=\ln(3)\)
      30. \(x=\frac{\ln(3)}{\ln(2)}\)
      31. \(х=\ln(3)\)
      32. \(х=\лн(3)\), \(\лн(5)\)
      33. \(x=\frac{\ln(5)}{\ln(3)}\)
      34. \((\ln(53), \infty)\)
      35. \(\left[\frac{\ln(3)}{12\ln(1. 005)}, \infty\right)\)
      36. \((-\infty, -1) \чашка (0, 1)\)
      37. \(\left(-\infty, \frac{\ln\left(\frac{2}{5}\right)}{\ln\left(\frac{4}{5}\right)} \right ] = \left(-\infty, \frac{\ln(2)-\ln(5)}{\ln(4)-\ln(5)} \right]\)
      38. \(\left(-\infty, \frac{\ln\left(\frac{2}{377}\right)}{-0,8} \right] = \left(-\infty, \frac{5} {4}\ln\left(\frac{377}{2}\right) \right]\)
      39. \(\left[\ln\left(\frac{1}{18}\right)}{-0.1}, \infty\right) = [10\ln(18), \infty)\)
      40. \(х \приблизительно -0,76666, \, х = 2, \, х = 4\)
      41. \(х \приблизительно 0,01866, \, х \приблизительно 1,7115\)
      42. \(х = 0\)
      43. \((-\infty, 1]\)
      44. \(\приблизительно (-\infty, 2.7095)\)
        45. 9{-1}\) имеют домен \((-\infty, \infty)\) и диапазон \((-\infty, \infty)\).

      Артикул

      1 Можно использовать натуральные бревна или обычные бревна. Мы выбираем натуральные бревна. (Из исчисления вы узнаете, что это самые «математические» логарифмы. )

      2 Это также часть оператора «если» \(\log _{b}(u)=\log _{b}(w)\) тогда и только тогда, когда \(u = w\) в теореме 6.4.

      3 Не поддавайтесь искушению делить обе части на ln вместо ln(2). Точно так же, как не имеет смысла делить обе части на символ квадратного корня \(‘\sqrt ‘\) при решении \(x \sqrt{2}=5\), нет смысла делить на ‘ln’ .

      4 Это потому, что основание \(\ln (x)\) равно \(e>1\). Если бы основание \(b\) находилось в интервале \(0

      5 Можно, конечно, воспользоваться калькулятором, но разве это будет весело?

      6 В этот момент можно использовать калькулятор. Как обычно, мы действуем без извинений аналитическим методом.

      7 Примечание: \(\ln (2) \приблизительно 0,693\).

      8 Критики могут указать, что, поскольку нам все равно нужно было использовать калькулятор для интерпретации нашего ответа, почему бы не использовать его раньше для упрощения вычислений? Справедливый вопрос, на который мы несправедливо отвечаем: это наша книга

      Эта страница под названием 6.

      No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *