Модуль числа | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия
Модуль числа и уравнения с модулем — тема особенная, прямо-таки заколдованная 🙂 Она совсем не сложная, просто в школе её редко объясняют нормально. В результате без специальной подготовки почти никто из школьников не может дать правильное определение модуля и тем более решить уравнение с модулем. И эту картину мы наблюдаем на протяжении многих лет.
Поэтому осваивайте тему «Уравнения и неравенства с модулем» по нашим статьям и на наших занятиях! Вы сумеете обойти множество конкурентов на ЕГЭ, олимпиадах и вступительных экзаменах.
Модуль числа называют ещё абсолютной величиной этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. В записи положительного числа и так нет. никакого знака, поэтому модуль положительного числа равен ему самому. Например, Модуль нуля равен нулю. А модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному
Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен:
Определение модуля
Вот оно:
От большинства известных из школы определений оно отличается лишь одним: в нём есть выбор. Есть условие. И в зависимости от этого условия мы раскрываем модуль либо так, либо иначе.
Так же, как в информатике — в разветвляющихся алгоритмах с применением условных операторов. Как, вообще-то, и в жизни: сдал ЕГЭ на минимальный балл — можешь подавать документы в ВУЗ. Не сдал на минимальный балл — можешь идти в армию 🙂
Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению. Например,
В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например, так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых x и y. Или: так так как выражение под модулем неположительно при любых z.
Геометрическая интерпретация модуля
Нарисуем числовую прямую. Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Например, То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Эта геометрическая интерпретация очень полезна для решения уравнений и неравенств с модулем.
Рассмотрим простейшее уравнение . Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и −3. Значит, у уравнения есть два решения: x = 3 и x = −3.
Вообще, если имеются два числа a и b, то равно расстоянию между ними на числовой прямой.
(В связи с этим нередко встречается обозначение длины отрезка AB, то есть расстояния от точки A до точки B.)
Ясно, что (расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a).
Решим уравнение . Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки x до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Мы видим, что наше уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы решили его самым простым способом — без использования определения модуля.
Перейдём к неравенствам. Решим неравенство .
Эту запись можно прочитать так: «расстояние от точки x до точки −7 меньше четырёх». Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Ответ: (-11; -3).
Другой пример. Решим неравенство |10 − x| ≥ 7.
Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.
Ответ:
График функции
Этот график надо знать обязательно. Для имеем y = x. Для имеем y = −x. В результате получаем:
С помощью этого графика также можно решать уравнения и неравенства.
Корень из квадрата
Нередко в задачах ЕГЭ требуется вычислить , где – некоторое число или выражение. Не забывайте, что
Действительно, по определению арифметического квадратного корня — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен . Оно равно при и при , т. е. как раз .
Примеры заданий ЕГЭ
1. Найдите значение выражения при .
Заметим, что при . Следовательно, значение нашего выражения равно: .
2. Найдите значение выражения при .
Действуем аналогично:
В следующей статье мы рассмотрим более сложные уравнения и неравенства с модулем.
Читайте также: Уравнения с модулем
Модуль числа. Модуль разности чисел. Модуль действительного числа.
В этой статье мы обсудим наиболее непонятную для многих тему модуль числа, научимся решать неравенства, связанные с абсолютными значениями.
Что такое модуль числа?
Модуль числа — это его абсолютное значение (отрицательное или положительное значение) обозначается как \(|a |\) :
\(|-\frac{4}{7}|= -(-\frac{4}{7}) = \frac{4}{7}\) если \(-\frac{4}{7}<0 \)
\( |0|=0\), так как \( 0≥0 \)
Решение :
\(x-3= 4 \) \(-(х-3)= 4\)
\( х= 7 \) \( x-3= -4 \)
\( x= -1\)
Ответ: \( х= 7 \) ; \( x= -1\)
Пример 2. Решить \( |3x-2 | = |5x+4| \)
Решение:
\( |3x-2 | = |5x+4| \) \(3x-2 = — (5x+4)\)
\(3x-5x = 4+2\) \(x=-\frac{1}{4}\)
\( — 2x = 6\)
\( x = -3 \)
Ответ: \( x = -3 \) ; \(x=-\frac{1}{4}\)
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Наши преподаватели
Оставить заявкуРепетитор по математике
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Любите ли Вы математику так, как люблю ее я? Я поделюсь с Вами этим чувством, ведь математическая дисциплина не только интересна и полезна, от нее можно получить истинное удовольствие. Математика ценит настойчивость и терпение, за которые щедро вознаграждает. Благодаря точным наукам можно почувствовать себя настоящим волшебником, великим ученым и смелым первооткрывателем! Дифференцированное обучение, помноженное на доброжелательность и ответственность, помогут возвести в положительную степень уверенность ученика в своих силах и в способностях к математике. Присоединяйтесь! Вместе мы — сила!
Репетитор по математике
МГУ им. А.А.КулешоваПроведенных занятий:
Форма обучения:
Репетитор 5-11 классов. Стараюсь заинтересовать ученика, показывая, где и как могут быть применены знания в жизни. Учу их рассуждать и делать верные выводы. При обучении достаточно часто использую задачи, требующие нестандартного решения.
Оставить заявкуРепетитор по математике
Национальный исследовательский Томский государственный университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Преподаватель в университете — 5 лет, Работа со школьниками 5-9 класса. Математика универсальна и является важнейшим инструментов в изучении всех точных наук. С удовольствием помогу любому ученику разобраться и понять сложные темы. На занятиях разложим все знания по полочкам, будем идти от простого к сложному.
Математика 11 класс
- — Индивидуальные занятия
- — В любое удобное для вас время
- — Бесплатное вводное занятие
Математика 10 класс
- — Индивидуальные занятия
- — В любое удобное для вас время
- — Бесплатное вводное занятие
Похожие статьи
Модуль числа. Абсолютная величина | Математика
Модуль числа обозначается двумя вертикальными чертами, между которыми заключается число:
|-7| — модуль числа -7.
Модуль числа — это абсолютная величина числа. Абсолютная величина — это неотрицательное число, удовлетворяющее условиям:
|x| = x, если x ⩾ 0;
|x| = —x, если x < 0.
Следовательно, модуль числа – это положительное число или нуль.
Модуль на координатной прямой
Модуль числа — это расстояние от начальной точки до соответствующей точки на координатной прямой. Рассмотрим координатную прямую с точками A и B:
Точка A соответствует числу -5
, которое находится в пяти единичных отрезках от начальной точки, то есть длина отрезка AO равна 5. Так как модуль равен расстоянию от начала координат до точки, то модуль числа -5 равен 5, это можно записать так:
|-5| = 5.
Точка B соответствует числу 4,5
, значит длина отрезка OB равна 4,5. Следовательно, модуль числа 4,5 равен 4,5:
|4,5| = 4,5.
Точка O соответствует числу 0
и является начальной точкой, следовательно, модулем нуля будет нуль:
|0| = 0.
Следует иметь ввиду, что чем дальше от нуля точка, изображающая данное число, тем больше модуль этого числа.
Свойства абсолютной величины
Абсолютной величиной нуля является число нуль.
Пример:
|+0| = |-0| = 0.
Модулем положительного числа называется само это число.
Пример:
|+2| = 2; |+35| = 35 и т. д.
Модулем отрицательного числа называется противоположное ему числу.
Пример:
|-10| = 10,
потому что -(-10) = 10.
Модули противоположных чисел равны.
Пример:
|+7| = |-7| = 7, |-5| = |+5| = 5.
Онлайн урок: Модуль числа по предмету Математика 6 класс
Рассмотрим некоторые свойства модуля числа.
1. Модуль нуля равен нулю
Так как от нуля до начала отсчета нет никакого расстояния (0 единичных отрезков), модуль нуля и есть нуль.
|0| = 0
2. Модуль числа всегда число неотрицательное (т.е. положительное или нуль)
Модуль положителен, так как по определению модуль — это расстояние, а расстояние всегда является положительным числом.
Приведем пример:
Мяч катнули вдоль прямой на расстояние, равное 3 м вправо, мяч ударился о стену и покатился вдоль прямой в обратном направлении на 3 м и остановился.
Изобразим на координатной прямой координаты точек в момент каждой остановки мяча.
Точка О на координатной прямой- это точка откуда катнули мяч- точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1метр.
Точка А с координатой А (+3) — момент удара мяча о стенку.
Точка В с координатой В (0) — совпадает с точкой отсчета.
Можно ли утверждать, что мяч не преодолевал никакого расстояния, оставаясь в исходной точке в состоянии покоя, ведь в конечном счете мяч оказался в точке 0 м (от точки ноль до начала отсчета О не помещается ни одного единичного отрезка)? Конечно же, нет!
Путь мяча был бы равен нулю, если бы его вообще никуда не пинали, и он оставался в состоянии покоя в точке О.
Но мы должны понимать, что путь (расстояние), которое преодолел мяч, состоит из 3 единичных отрезков в правую сторону и 3 единичных отрезков в левую сторону; сложив все единичные отрезки, получим:
3 единичных отрезка + 3 единичных отрезка = 6 единичных отрезков
6 единичных отрезков = 6 м
Для определения пути мы складывали только числовое значение без учета направления. Это числовое значение и есть модуль числа.
Таким образом, можно сказать, что любое число состоит из знака и абсолютного значения (модуля).
Поэтому, чтобы найти модуль числа, нужно записать это число без учета знака.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
ЗакрытьВ математике для лучшего восприятия темы «Модуль числа» придумали шуточную ассоциацию.
Представляют, что модуль- это баня, а знак «минус» — это грязь.
Заходя в баню (оказываясь под знаком модуль), отрицательное число моется, освобождается от знака. Из бани (из под знака модуль) число выходит «чистым»- без знака «минус».
В такой бане могут «мыться» положительные, отрицательные числа и ноль.
3. Модули противоположных чисел равны
Рассмотрим на примере данное утверждение:
Пусть модуль х равен 4, получим равенство |x| = 4
Отметим на координатной прямой точки, которые удовлетворяют этому равенству:
Точка О — начало отсчета координатной прямой х.
Модул ь- это расстояние от начала отсчета до точки в единичных отрезках, равное в данном случае четырем.
Откладываем 4 единичных отрезка вправо, получаем точку с координатой 4
Но такое же количество единичных отрезков можно отложить влево, тогда получим точку с координатой (-4)
Получим на координатной прямой две точки, которые удовлетворяют условию |x| = 4
В данном примере значение х может быть равным:
х = 4
х = —4
Числа 4 и —4 отличаются только знаками, поэтому смело можем сказать, что это противоположные числа.2 = 4}\)
6. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей
\(\mathbf{\Bigl| \frac{x}{y}\Bigr| = \frac{|x|}{|y|} , y \neq 0}\)(так как на нуль делить нельзя).
Пример:
\(\mathbf{\Bigl| \frac{8}{2}\Bigr| = \frac{|8|}{|2|}= \frac{8}{2} = 4 }\)
\(\mathbf{\Bigl| -\frac{8}{2}\Bigr| = \frac{|-8|}{|2|}= \frac{8}{2} = 4 }\)
Модуль числа
Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой.
Модуль обозначается с помощью символа: | |.
- Запись |6| читается как «модуль числа 6», или «модуль шести».
- Запись |8| читается как «модуль 8-ми».
Модуль положительного числа равен самому числу. Например, |2| = 2. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу <=> |-3| = 3. Модуль нуля равен нулю, то есть |0| = 0. Модули противоположных чисел равны, то есть |-a| = |a|.
Для лучшего понимания
темы: «модуль числа» предлагаем воспользоваться методом ассоциаций.Представим, что модуль числа — это баня
, а знак «минус» — грязь .Оказываясь под знаком модуля (то есть в «бане») отрицательное число «моется»
, и выходит без знака «минус» — чистым .МодульВ бане могут «мыться»
(то есть стоять под знаком модуля) и отрицательные , и положительные числа , и число ноль . Однако будучи «чистым» положительные числа , и ноль свой знак при выходе из «бани» (то есть из под знака модуля) не меняют !Модуль числа
История модуля числа или 6 интересных фактов о модуле числа
1. Слово «модуль» произошел от латинского названия modulus, что в переводе обозначает слово «мера».
2. Ввел в обращение этот термин ученик Исаака Ньютона — английский математик и философ Роджер Котс (1682 – 1716).
3. Великий немецкий физик, изобретатель, математик и философ Готфрид Лейбниц в своих работах и трудах использовал функцию модуля, которую он обозначил mod x.
4. Обозначение модуля было введено в 1841 году немецким математиком
Карлом Вейерштрассом (1815 — 1897).
5. При написании модуль обозначается с помощью символа: | |.
6. Еще одной версии термин «модуль» был введен в 1806 году французским
математиком по имени Жан Робер Аргáн (1768 — 1822). Но это не совсем так.
В начале девятнадцатого века математики Жан Робер Аргáн (1768 — 1822)
и Огюстен Луи Коши (1789 — 1857) ввели понятие «модуль комплексного числа»,
который изучается в курсе высшей математики.
Решение задач на тему «Модуль числа»
Задача №1. Расположи выражения: -|12|, 0, 54, |-(-2)|, -17 в порядке возрастания.
Решение:
Для начала раскроем скобки и модули:
— | 12 | = — 12
| — ( — 2) | = 2
Далее осталось расположить числа: -12, 0, 54, 2, -17 в порядке возрастания. Получим следующее неравенство:
-17 < -12 < 0 < 2 < 54, что будет равносильно:
-17 < -|12| < 0 < | — ( — 2) | < 54.
Ответ: -17 < -|12| < 0 < | — ( — 2) | < 54.
Задача№2. Нужно расположить выражения: -|-14|, -|30|, |-16|, -21, | -(-9) |
в порядке убывания.
Решение:
Для начала раскроем скобки и модули:
— | — 14| = — 14
— |30| = -30
|-16| = 16
| -(-9) | = 9
Далее осталось расположить числа: -14, -30, 16, -21, 9 в порядке убывания. Получим следующее неравенство:
16 > 9 > -14 > — 21 > — 30 что будет равносильно:
|-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|.
Ответ: |-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|
Урок 17. противоположные числа. модуль числа — Математика — 6 класс
Математика
6 класс
Урок № 17
Противоположные числа. Модуль числа
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Понятие противоположного числа.
- Понятие модуля числа.
- Решение различных заданий по теме «Противоположные числа. Модуль числа».
Тезаурус
Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными.
Модулем положительного числа называют само это число.
Модулем отрицательного числа называют противоположное ему (положительное) число.
Модулем числа 0 является число 0.
Основная литература
- Никольский С. М. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е.Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
- Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И.Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Считается, что если перед целым числом поставить знак «+», то это не изменяет самого числа.
Например,
число 7 можно записать как + 7
число – 7 можно записать как + (– 7)
7 = + 7
– 7 = + (– 7)
Поэтому ряд целых чисел можно записывать в виде:
…, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, …
Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными.
Например, противоположные числа:
– 7 и + 7
– 53 и 53
Модуль или абсолютная величина числа.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Единичный выбор.
Ответ: + 107.
№2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в текст.
Что такое модуль числа в математике
Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.…
Вконтакте
Google+
Мой мир
Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.
Графически абсолютное значение а обозначается как |a|.
Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.
Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.
Это интересно: умножение на 0 — правило для любого числа.
Геометрическое значение
Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.
- Для примера можно взять координатную прямую и на ней нанести 2 произвольные точки. Допустим, одна из точек (А) будет иметь числовое значение 5, а вторая (В) — 6.
- Если рассмотреть полученный чертёж, можно увидеть, что точка, А находится на расстоянии 5 единиц от нуля (начала координат). Точка В находится от нуля на 6 единиц. Таким образом, модулем точки, А будет число 5, а модулем точки В — число 6.
- В этом случае графическое обозначение выражения будет следующим: | 5 | = 5.
- Иными словами, если взять любое произвольное число и обозначить его на координатной прямой в виде точки А, то расстояние от нуля до этой точки и будет модулем числа А.
Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.
Это интересно: признак перпендикулярности прямой и плоскости, теория и практика.
Свойства абсолютной величины
Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:
- Модулем любой цифры является величина неотрицательная. Таким образом, абсолютным значением положительной величины будет выступать она сама. Графически эта закономерность выражается следующим образом: |a| = a, если a> 0.
- Модули противоположных величин равны друг другу Это объясняется тем фактом, что на координатной прямой противоположные числа хотя и располагаются в разных точках, но находятся на одинаковом расстоянии от начальной точки отсчёта. Графически это выражается как: |а| = |-а|.
- Третьим свойством является то, что абсолютным значением нуля равняется сам нуль. Это условие считается верным в том случае, когда действительное число является нулем. Поскольку нулю соответствует начало отсчета в системе координат, то модулем числа ноль является сам ноль по определению. Графически: |0| = 0|.
- Еще одним важным свойством является то, что абсолютное значение произведений двух любых действительных чисел равняется произведению двух этих величин. Это условие необходимо рассмотреть более подробно. Иначе говоря, абсолютным значением произведения величин, А и В будет АВ в случае если оба этих значения положительные или же оба отрицательные, или -АВ при условии, что одно из этих чисел будет отрицательным. В записи эта закономерность будет выглядеть следующим образом: |А*В| = |А| * |В|.
- Абсолютная величина суммы любых двух действительных чисел меньше или равна сумме их модулей.
- Абсолютная величина разности двух произвольных величин меньше или равна разности двух абсолютных величин.
- Если в математическом выражении имеется постоянный положительный множитель, его можно выносить за знак | |.
- Такое же правило распространяется и на показатель степени выражения.
Это интересно: что такое разность в математике?
Особенности решения уравнений с модулем
Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.
|А + 5| = А + 5, если, А больше или равняется нулю.
5-А, если, А значение меньше нуля.
В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.
Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.
Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.
Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.
Видео: Модуль числа. Математика 6 класс.
2 $ = 0 ⇒ a = 0 и b = 0, т.е. z = 0 + i0 = 0
Итак, | z | = 0, если, z = 0
(III) Абсолют произведения двух комплексных чисел z1 и z2 равен произведению абсолютных значений чисел. т.е.
$ \ left | z1.z2 \ right | $ = $ \ left | z1 \ право. | $ $ \ left | z2 \ right | $
(IV) Абсолют частного двух комплексных чисел z1 и z2 (0) равен частному абсолютных значений делимого и делителя.
$ \ осталось | \ frac {z1} {z2} \ right | $ = $ \ frac {\ left | z1 \ right |} {\ left | z2 \ right |} $
(V) Абсолют суммы двух сопряженных комплексные числа z1 и z2 никогда не могут превышать сумму своих абсолютных значений, т.е. $ \ left | z1 + z2 \ right | $ $ \ leq $ $ \ left | z1 \ right | $ + $ \ left | z2 \ right | $
Это неравенство называется неравенством треугольника .
От модуля комплексного числа к дому
Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.
Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.
Модуль комплексного числа: определение и примеры — видео и стенограмма урока
Нахождение модуля
Обратите внимание, что вектор, представляющий комплексное число a + bi , также является гипотенузой (или самым длинным катетом) прямоугольного треугольника с более короткими сторонами длиной a и b .
Из-за этого есть хорошо известная теорема, которую мы можем использовать, чтобы найти общую формулу для модуля комплексного числа.Эта теорема — теорема Пифагора. Теорема Пифагора гласит: «Если прямоугольный треугольник имеет длину стороны a , b и c , где c — гипотенуза или самая длинная сторона, то a 2 + b . 2 = c 2. »
Если c — модуль комплексного числа, a + bi , то по теореме Пифагора a 2 + b 2 = c 2.Если извлечь квадратный корень из обеих частей этого уравнения, мы получим следующее:
c = √ ( a 2 + b 2)
Это дает нам общую формулу для модуля комплексного числа: a + bi . Поскольку он описывает длину, вы можете видеть, что √ ( a 2 + b 2) даст нам только положительное действительное число или ноль для модуля. Давайте рассмотрим несколько примеров нахождения модуля комплексных чисел.
Некоторые примеры
Предположим, что мы хотим найти модуль комплексного числа 3–4 i . Все, что нам нужно сделать, это определить a и b , а затем вставить эти значения в нашу формулу для модуля. В 3 — 4 i , a = 3 и b = -4. Подставляя их в формулу, получаем следующее:
c = √ ((3) 2 + (-4) 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
Мы получаем, что модуль упругости комплексное число 3-4 и равно 5.Эта формула, несомненно, упрощает задачу!
Рассмотрим другой пример. В этом примере мы хотим найти модуль комплексного числа, показанного на графике ниже.
График комплексного числа — точка (2, 7). Это говорит нам, что a = 2 и b = 7, поэтому мы имеем дело с комплексным числом 2 + 7 i . Чтобы найти модуль, мы просто подставляем a = 2 и b = 7 в нашу формулу:
c = √ (22 + 72) = √ (4 + 49) = √ (53) ≈ 7.28
Модуль комплексного числа, показанного на графике, равен √ (53), или приблизительно 7,28. Я думаю, мы уже разбираемся в этом!
Краткое содержание урока
Комплексное число — это число в форме a + bi , где a и b — действительные числа, а i — мнимое число √ (-1) . Мы можем изобразить комплексное число a + bi на комплексной плоскости, нанеся точку ( a , b ) на комплексной плоскости.Это дает модуль комплексного числа.
Если мы проведем отрезок линии от начала комплексной плоскости до нанесенного на график комплексного числа ( a , b ), мы создадим вектор , представляющий комплексное число a + bi . Модуль , c , a + bi — это длина этого направленного отрезка прямой или величина вектора, и его можно найти по следующей формуле:
c = √ ( a 2 + b 2)
Какая изящная концепция! В математике всегда прекрасно, когда все складывается таким образом и раскрываются взаимосвязи между концепциями.Давайте уберем эти новообретенные знания в наш набор инструментов для умственной математики для использования в будущем!
Праймер для комплексных чисел
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметкиПохоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон).Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Сопряжение и модуль
В предыдущем разделе мы рассмотрели алгебраические операции над комплексными числами.Есть несколько других операций, на которые мы должны обратить внимание, поскольку они, как правило, появляются время от времени. Мы также рассмотрим довольно много интересных фактов об этих операциях.
Комплексный конъюгат
Первое, что мы рассмотрим, это комплексное сопряжение (или просто сопряжение). С учетом комплексного числа \ (z = a + bi \) комплексное сопряжение обозначается \ (\ overline z \) и определяется как,
\ begin {уравнение} \ overline z = a — bi \ end {уравнение}Другими словами, мы просто меняем знак мнимой части числа.
Вот несколько основных фактов о конъюгатах.
\ begin {align} \ overline {\ overline {z}} & = z \\ \ overline {{z_1} \ pm {z_2}} & = {\ overline z_1} \ pm {\ overline z_2} \ label {eq: consum} \\ \ overline {{z_1} {z_2}} & = {\ overline z_1} \, {\ overline z_2} \ label {eq: conprod} \\ \ overline {\ left ({\ frac {{{z_1}}} {{{z_2}}}} \ right)} & = \ frac {{{{\ overline z} _1}}} {{{{\ overline z} _2}}} \ end {align}Первый просто говорит, что если мы спрягаем дважды, мы вернемся к тому, с чего начали, и, надеюсь, в этом есть какой-то смысл.Остальные три просто говорят, что мы можем разбить сумму, разницы, продукты и частные на отдельные части, а затем соединить их.
Итак, чтобы мы могли сказать, что мы проработали несколько примеров, давайте сделаем пару примеров, иллюстрирующих приведенные выше факты.
Пример 1 Рассчитайте каждое из следующих значений.- \ (\ overline {\ overline {z}} \) для \ (z = 3 — 15i \)
- \ (\ overline {{z_1} — {z_2}} \) для \ ({z_1} = 5 + i \) и \ ({z_2} = — 8 + 3i \)
- \ ({\ overline {z_1}} — {\ overline {z_2}} \) для \ ({z_1} = 5 + i \) и \ ({z_2} = — 8 + 3i \)
а \ (\ overline {z} = 3 + 15i \ hspace {0.5 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} \ overline {\ overline {z}} = \ overline {3 + 15i} = 3 — 15i = z \)
Разумеется, мы видим, что после двойного спряжения мы возвращаемся к нашему исходному числу.
b \ ({z_1} — {z_2} = 13 — 2i \ hspace {0,5 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} \ overline {{z_1} — {z_2}} = \ overline {13 — 2i} = 13 + 2i \)
c \ ({\ overline z_1} — {\ overline z_2} = \ overline {5 + i} — \ left ({\ overline {- 8 + 3i}} \ right) = 5 — i — \ left ({- 8 — 3i} \ справа) = 13 + 2i \)
Мы видим, что результаты из (b) и (c) совпадают с предполагаемым фактом.
Есть еще один интересный факт, в котором используются конъюгаты, на которые, вероятно, стоит обратить внимание. Однако вместо того, чтобы просто выдавать этот факт, давайте выведем его. Начнем с комплексного числа \ (z = a + bi \), а затем выполните каждую из следующих операций.
\ [\ begin {array} {rlcrl} z + \ overline {z} & = a + bi + \ left ({a — bi} \ right) & \ hspace {0,5in} & z — \ overline {z} & = a + bi — \ left ({a — bi} \ right) \\ & = 2a & \ hspace {0.5in} & & = 2bi \ end {array} \]Теперь, вспоминая, что \ ({\ mathop {\ rm Re} \ nolimits} \, z = a \) и \ ({\ mathop {\ rm Im} \ nolimits} \, z = b \), мы видим, что иметь,
\ begin {Equation} {\ mathop {\ rm Re} \ nolimits} z = \ frac {{z + \ overline z}} {2} \ hspace {0,75in} {\ mathop {\ rm Im} \ nolimits} z = \ frac {{z — \ overline z}} {{2i}} \ label {eq: ReImDefn} \ end {уравнение}Модуль
T Другая операция, которую мы хотим рассмотреть в этом разделе, — это модуль комплексного числа.2} \]
Если мы извлечем квадратный корень из обеих сторон, получим
\ [\ left | г \ право | \ ge \ left | {{\ mathop {\ rm Re} \ nolimits} \, z} \ right | \], где \ (\ left | {\, \, \ cdot \,} \ right | \) на \ (z \) — это модуль комплексного числа, а \ (\ left | {\, \, \ cdot \,} \ right | \) на \ ({\ mathop {\ rm Re} \ nolimits} \, z \) — столбцы абсолютного значения. Наконец, для любого действительного числа \ (a \) мы также знаем, что \ (a \ le \ left | a \ right | \) (абсолютное значение…), и поэтому мы получаем
\ begin {Equation} \ left | г \ право | \ ge \ left | {{\ mathop {\ rm Re} \ nolimits} \, z} \ right | \ ge {\ mathop {\ rm Re} \ nolimits} \, z \ label {eq: zRez} \ end {уравнение}Мы можем использовать аналогичный аргумент, чтобы прийти к
\ begin {Equation} \ left | г \ право | \ ge \ left | {{\ mathop {\ rm Im} \ nolimits} \, z} \ right | \ ge {\ mathop {\ rm Im} \ nolimits} \, z \ label {eq: zImz} \ end {уравнение}Существует очень хорошая связь между модулем комплексного числа и его сопряженным.2} \ label {eq: zConjz} \ end {уравнение}
Иногда бывает приятный и удобный факт.
Также обратите внимание, что при вычислении модуля знак действительной и мнимой части комплексного числа не влияет на значение модуля, поэтому мы также можем видеть, что,
\ begin {Equation} \ left | г \ право | = \ left | {\ overline z} \ right | \ label {eq: MzMzbar} \ end {уравнение}и
\ begin {Equation} \ left | {- z} \ right | = \ left | z \ right | \ end {уравнение}Теперь мы можем формализовать процесс деления из предыдущего раздела, теперь, когда у нас есть модуль и сопряженные обозначения.2}}} {{164}} = \ frac {{21}} {{41}} — \ frac {9} {{82}} i \]
Вот еще несколько интересных фактов о модуле комплексного числа.
\ begin {align} {\ rm {If}} \ left | г \ право | & = 0 \, \, \, {\ rm {then}} \, z = 0 \ label {eq: Mzero} \\ \ left | {{z_1} \, {z_2}} \ right | & = \ left | {{z_1}} \ right | \, \ left | {{z_2}} \ right | \ label {eq: MProd} \\ \ left | {\ frac {{{z_1}}} {{{z_2}}}} \ right | & = \ frac {{\ left | {{z_1}} \ right |}} {{\ left | {{z_2}} \ right |}} \ label {eq: MQuot} \ end {align}Свойство \ (\ eqref {eq: Mzero} \) должно иметь для вас некоторый смысл.2} \]
Наконец, напомним, что мы знаем, что модуль всегда положителен, поэтому извлеките квадратный корень из обеих частей, чтобы получить
. \ [\ left | {{z_1} \, {z_2}} \ right | = \ left | {{z_1}} \ right | \, \, \ left | {{z_2}} \ right | \]Свойство \ (\ eqref {eq: MQuot} \) можно проверить с помощью аналогичного аргумента.
Неравенство треугольника и варианты
Свойства \ (\ eqref {eq: MProd} \) и \ (\ eqref {eq: MQuot} \) связывают модуль произведения / частного двух комплексных чисел с произведением / частным модуля отдельных чисел.Теперь нам нужно взглянуть на аналогичное соотношение для сумм комплексных чисел, которое называется неравенством треугольника и равно
. \ begin {Equation} \ left | {{z_1} + {z_2}} \ вправо | \ le \ left | {{z_1}} \ right | + \ влево | {{z_2}} \ right | \ label {экв: треугольник} \ end {уравнение}Мы также сможем использовать это, чтобы получить соотношение для разности комплексных чисел.
Неравенство треугольника на самом деле довольно просто доказать, так что давайте сделаем это.2} = {z_1} \, {\ overline z_1} + {z_1} \, {\ overline z_2} + {z_2} \, {\ overline z_1} + {z_2} \, {\ overline z_2} \ label {eq : tripfone} \ end {уравнение}
Затем обратите внимание, что,
\ [\ overline {{z_2} {{\ overline z} _1}} = {\ overline z_2} {\ overline {\ overline {z_1}}} = {\ overline z_2} {z_1} \]и поэтому, используя \ (\ eqref {eq: ReImDefn} \), \ (\ eqref {eq: zRez} \) и \ (\ eqref {eq: MzMzbar} \), мы можем написать два средних члена правой части \ (\ eqref {eq: tripfone} \) как
\ [{z_1} \, {\ overline z_2} + {z_2} \, {\ overline z_1} = {z_1} \, {\ overline z_2} + \ overline {{z_1} \, {{\ overline z} _2 }} = 2 {\ mathop {\ rm Re} \ nolimits} \ left ({{z_1} \, {{\ overline z} _2}} \ right) \ le 2 \ left | {{z_1} \, {{\ overline z} _2}} \ right | = 2 \ влево | {{z_1}} \ right | \, \ left | {{{\ overline z} _2}} \ right | = 2 \ влево | {{z_1}} \ right | \, \ left | {{z_2}} \ right | \]Также используйте \ (\ eqref {eq: zConjz} \) в первом и четвертом членах в \ (\ eqref {eq: tripfone} \), чтобы записать их как,
\ [{z_1} \, {\ overline z_1} = {\ left | {{z_1}} \ right | ^ 2} \ hspace {0.2} \]Теперь, вспоминая, что модуль всегда положителен, мы можем извлекать квадратный корень из обеих сторон и прийти к неравенству треугольника.
\ [\ left | {{z_1} + {z_2}} \ вправо | \ le \ left | {{z_1}} \ right | + \ влево | {{z_2}} \ right | \]Существует несколько вариантов неравенства треугольника, которые легко вывести.
Давайте сначала начнем с предположения, что \ (\ left | {{z_1}} \ right | \ ge \ left | {{z_2}} \ right | \). Это не требуется для вывода, но поможет получить более общая версия того, что мы собираемся здесь получить.Итак, давайте начнем с \ (\ left | {{z_1}} \ right | \) и поработаем над ним.
\ begin {align *} \ left | {{z_1}} \ right | & = \ left | {{z_1} + {z_2} — {z_2}} \ вправо | & \\ & \ le \ left | {{z_1} + {z_2}} \ вправо | + \ влево | {- {z_2}} \ right | & \ hspace {0.25in} {\ text {Используя неравенство треугольника}} \\ & = \ left | {{z_1} + {z_2}} \ вправо | + \ влево | {{z_2}} \ right | & \ end {выровнять *}А теперь немного перепишем, и мы получим
\ begin {Equation} \ left | {{z_1} + {z_2}} \ вправо | \ ge \ left | {{z_1}} \ right | — \ left | {{z_2}} \ right | \ ge 0 \ label {eq: revtrione} \ end {уравнение}Если теперь предположить, что \ (\ left | {{z_1}} \ right | \ le \ left | {{z_2}} \ right | \), мы можем проделать тот же процесс, что и выше, за исключением этого переключателя времени \ ({ z_1} \) и \ ({z_2} \), и мы получаем
\ begin {Equation} \ left | {{z_1} + {z_2}} \ вправо | \ ge \ left | {{z_2}} \ right | — \ left | {{z_1}} \ right | = — \ left ({\ left | {{z_1}} \ right | — \ left | {{z_2}} \ right |} \ right) \ ge 0 \ label {eq: revtritwo} \ end {уравнение}Теперь, вспоминая определение абсолютного значения, мы можем объединить \ (\ eqref {eq: revtrione} \) и \ (\ eqref {eq: revtritwo} \) в следующий вариант неравенства треугольника.
\ begin {Equation} \ left | {{z_1} + {z_2}} \ вправо | \ ge \ left | {{\ kern 1pt} \ left | {{z_1}} \ right | — \ left | {{z_2}} \ right | {\ kern 1pt}} \ right | \ label {eq: revtrithree} \ end {уравнение}Кроме того, если мы заменим \ ({z_2} \) на \ (- {z_2} \) в \ (\ eqref {eq: треугольник} \) и \ (\ eqref {eq: revtrithree} \), мы получим два больше вариаций неравенства треугольника.
\ begin {Equation} \ left | {{z_1} — {z_2}} \ right | \ le \ left | {{z_1}} \ right | + \ влево | {{z_2}} \ right | \ end {уравнение} \ begin {Equation} \ left | {{z} _ {1}} — {{z} _ {2}} \ right | \ ge \ left | \ left | {{z} _ {1}} \ right | — \ left | {{z} _ {2}} \ right | \ право | \ label {eq: revtri} \ end {уравнение}Иногда вы увидите \ (\ eqref {eq: revtri} \), называемое неравенством обратного треугольника .
Абсолютное значение (модуль / величина) онлайн-калькулятора комплексных чисел
Поиск инструмента
Комплексное число Модуль упругости / величина
Инструмент для вычисления значения модуля / величины комплексного числа | z | (абсолютное значение): длина сегмента между исходной точкой комплексной плоскости и точкой z
Результаты
Модуль комплексного числа / величина — dCode
Тэги: Арифметика, Геометрия
Поделиться
dCode и другие
dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Калькулятор модуля (абсолютного значения)
Комплекс из калькулятора модулей и аргументов
Ответы на вопросы (FAQ)
Каков модуль комплексного числа? (Определение)
Модуль (или величина) — это длина (абсолютное значение) в комплексной плоскости, определяющее комплексное число $ z = a + ib $ (где $ a $ действительная часть, а $ b $ мнимая часть), это обозначается $ | z | $ и равен $ | z | = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} $.2} = \ sqrt {5} $
Вычисление также применимо к экспоненциальной форме комплексного числа.
Как рассчитать модуль действительного числа?
Модуль (или величина) действительного числа эквивалентен его абсолютному значению.
Пример: $ | -3 | = 3 $
Каковы свойства модуля?
Для комплексных чисел $ z, z_1, z_2 $ комплексный модуль имеет следующие свойства:
$$ | z_1 \ cdot z_2 | = | z_1 | \ cdot | z_2 | $$
$$ \ осталось | \ frac {z_1} {z_2} \ right | = \ frac {| z_1 |} {| z_2 |} \ quad z_2 \ ne 0 $$
$$ | z_1 + z_2 | \ le | z_1 | + | z_2 | $$
Модуль — это абсолютное значение, поэтому обязательно положительное (или нулевое):
$$ | z | \ ge 0 $$
Модуль комплексного числа и сопряженного с ним числа равны:
$$ | \ overline z | = | z | $$
Задайте новый вопросИсходный код
dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Модуль комплексного числа / величина».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Модуль комплексного числа / величина» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любые другие Функция «Модуль комплексного числа / величина» (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.) и никакая загрузка данных, скрипт, копирование-вставка или доступ к API для «Комплексного числового модуля / величины» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.
Нужна помощь?
Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!
Вопросы / комментарии
Сводка
Похожие страницы
Поддержка
Форум / Справка
Ключевые слова
модуль, величина, комплекс, число, значение, плоскость, калькулятор
Ссылки
Источник: https: // www.dcode.fr/complex-number-modulus
© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF. Калькулятор по модулю[Примеры модификаций]
Этот калькулятор по модулю — удобный инструмент, если вам нужно найти результат операций по модулю. Все, что вам нужно сделать, это ввести начальное число x и целое число y , чтобы найти число по модулю r , согласно x mod y = r . Читайте дальше, чтобы узнать, что такое операции по модулю, как вычислить по модулю и как правильно использовать этот калькулятор.
Что такое операции по модулю?
Представьте себе часы, висящие на стене. Допустим, уже поздно — 23 часа. Вы задаетесь вопросом, во сколько вы проснетесь после 8 часов сна. Вы не можете просто прибавить 8 к 11, потому что нет такого времени, как 19 часов утра. Чтобы найти правильный ответ, вам нужно выполнить операцию по модулю (mod 12) — вы складываете эти два числа и продолжаете вычитать 12, пока не получите число меньше 12. В этом случае 7. Вы только что подсчитали, что проснетесь в 7 утра.
Операции по модулю в случае часов настолько интуитивно понятны, что мы их даже не замечаем.В математике есть много типов более сложных операций по модулю, которые требуют большего осмысления. Мы можем записать это:
x модуль y = r
истинно, если такое целое число q (называемое частным ) существует, тогда:
y * q + r = x .
В противном случае число r — это остаток от деления, где x — это делимое , а y — делитель .
Если определение по модулю вам не нравится, и вы все еще не знаете, как вычислить по модулю, посмотрите следующий абзац, и все должно стать кристально ясным.
Что такое сравнение по модулю?
Два числа a и b считаются равными по модулю n , когда их разность a - b целиком делится на n (так что (a - b) делится на n ).
Математически формула сравнения по модулю записывается как:
a ≡ b (мод. N)
и n называется модулем сравнения.
С другой стороны, вы можете сказать, что a и b считаются равными по модулю n , когда они оба имеют одинаковый остаток при делении на n:
мод n = r
b мод n = r
, где r — общий остаток.
Итак, проще говоря — совпадение по модулю происходит, когда два числа имеют одинаковый остаток после одного и того же делителя, например: 24 по модулю 10 и 34 по модулю 10 дают тот же ответ: 4.Следовательно, 24 и 34 сравнимы по модулю 10.
Давайте посмотрим на другой пример:
9 ≡ 21 (мод.6) ,
, потому что 21 - 9 = 12 делится на 6. Его также можно кратко записать как 6 | (21 - 9) . Или, что то же самое, 21 и 9 имеют одинаковый остаток, когда мы делим их на 6:
9 мод 6 = 3
21 mod 6 = 3
Как вычислить по модулю — пример
Рассчитать модуль вручную — несложная задача.Просто следуйте инструкциям ниже!
- Начните с выбора начального числа (перед выполнением операции по модулю). Допустим, 250. Это наши дивиденды.
- Выберите делитель. Возьмем 24. Операция, которую мы хотим вычислить, будет тогда
250 mod 24(250% 24, если используется другое соглашение). - Разделите одно число на другое с округлением в меньшую сторону:
250/24 = 10. Это частное. Кроме того, вы можете думать об этой операции как о целочисленном делении и — типе деления, при котором нам не важна дробная часть результата. - Умножьте делитель на частное. Итак, в нашем примере это
10 * 24 = 240. - Вычтите это число из вашего начального числа (делимого). Здесь:
250 - 240 = 10. - Полученное число является результатом операции по модулю. Мы можем записать это как
250 mod 24 = 10.
Как пользоваться нашим калькулятором модов? 10 mod 3 и другие примеры по модулю
Определить модуль с помощью нашего инструмента просто и удобно.Чтобы найти результат операций по модулю между целыми числами, вам необходимо:
- Введите начальное число — делимое — в первое поле . Возьмем пример из предыдущего абзаца, поэтому введите 250.
- Введите делитель . В нашем случае 24.
- Тадааа! Наш калькулятор по модулю вернет вам результат — остаток! И это неудивительно, оно равно 10 — то же самое число, которое мы вычисляли ранее.
Ниже вы найдете несколько типичных запросов, касающихся модуля:
- 1 mod 1 = 0 (поскольку mod 1 всегда равен 0)
- 1 мод 2 = 1
- 1 мод 3 = 1
- 5 мод 2 = 1
- 5 мод 3 = 2
- 6 мод 3 = 0
- 7 мод 3 = 1
- 10 мод 3 = 1
- 18 мод 3 = 0
- 100 мод 3 = 1
- 100 мод 7 = 2
Если вы не видите здесь тот, который хотите найти, воспользуйтесь нашим калькулятором по модулю!
Модульная арифметика
Модульная арифметика — это, вообще говоря, арифметическая система для целых чисел, в которой числа «оборачивают» определенное число.Подведем итог тому, что мы узнали о различных представлениях операций по модулю — все приведенные ниже утверждения являются эквивалентами:
-
A ≡ B (мод. C) -
A мод C = B мод C -
C | (А - В) -
A = B + K * C, гдеK— некоторое целое число
Мы также можем выполнять вычисления по модулю операций.
1. Модульное сложение и вычитание
(A + B) мод C = (A мод C + B мод C) мод C
(A - B) мод C = (A мод C - B мод C) мод C
Итак, сумма по модулю суммы двух чисел равна сумме по модулю этих чисел, вычисленных отдельно, а затем умноженных на делитель по модулю.Первый этап делается для того, чтобы избавиться от частной части, а затем снова используется операция mod. Взгляните на пример:
А = 11, В = 7, С = 4
(11 + 7) по модулю 4 = (11 по модулю 4 + 7 по модулю 4) по модулю 4левая часть уравнения:
(11 + 7) mod 4 = 18 mod 4 = 2правая часть уравнения:
(11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4 = (3 + 3) mod 4 = 6 mod 4 = 2
Аналогично, вычисления аналогичны для вычитания.
2. Модульное умножение
(A * B) мод C = (A мод C * B мод C) мод C
Такое уравнение может быть полезно при работе с большими числами, и мы не можем сразу узнать модуль этого большого числа. Давайте посмотрим на тот же пример (A = 11, B = 7, C = 4) — можете ли вы найти результат 77 mod 4 на месте? 11 mod 4 и 7 mod 4 вычислить проще:
(11 * 7) по модулю 4 = (11 по модулю 4 * 7 по модулю 4) по модулю 4левая часть уравнения:
(11 * 7) mod 4 = 77 mod 4 = 1правая часть уравнения:
(11 mod 4 * 7 mod 4) mod 4 = (3 * 3) mod 4 = 9 mod 4 = 1
3.100 мод 3 = (1 * 1) мод 3 = 1
Для некоторых конкретных случаев существуют даже более быстрые методы модульного возведения в степень (если B — степень двойки). Если вы хотите прочитать о них и попрактиковаться в модульной арифметике, ознакомьтесь с отличным учебником от Khan Academy под названием «Что такое модульная арифметика?»
Неопределенность определения по модулю
Слово modulo происходит от латинского слова modus , означающего меру. Обычно, когда мы используем слово по модулю , мы имеем в виду операцию по модулю , например, e.г. 11 по модулю 3 равно 2, поэтому нужно просто найти остаток. В строгом понимании, модуль означает:
.По указанному модулю
или
A то же самое, что B по модулю C, за исключением различий, учитываемых или объясняемых C
Это определение, о котором мы писали в сравнении по модулю абзаца.
Однако, по модулю используется не только в математическом контексте.Иногда вы можете услышать это в повседневном разговоре, где это, вероятно, означает игнорирование, не учет чего-либо, с должным учетом чего-то, например:
Дизайн был лучшим до сих пор, по модулю тех частей, которые все еще нуждаются в доработке.
Percent — символ операции по модулю
Операция по модулю часто используется в языках программирования. Для этого% — процент — используется для обозначения этой операции (или иногда оператор остатка для отрицательных чисел).Если вам интересно узнать о происхождении знака%, мы настоятельно рекомендуем вам прочитать небольшой абзац, который мы составили об истории знака процента.
Вам нужно быть осторожным, так как при учете отрицательных значений есть некоторая двусмысленность с определением по модулю. Для остатка есть два возможных варианта — отрицательный и положительный, и результат зависит от реализации на выбранном языке программирования.
Приложения Modulo
На первый взгляд они могут быть неочевидными, но существует множество применений модуло — от повседневной жизни до задач по математике и естествознанию!
Самый очевидный и известный пример — так называемая арифметика часов 🕞.Это может быть добавление часов, как в объяснении по модулю выше, или минут, или секунд! Никто не скажет, что «у вас осталось 40 минут 90 секунд », верно? Единственный вариант — выполнить операцию по модулю и найти частное и остаток —
60 * 1 + 30 = 90. 41 минута 30 секунд звучит намного лучше.Операции по модулю используются для вычисления контрольных сумм серийных номеров. Контрольные цифры используются в основном в длинных числах, и это цифры, вычисляемые алгоритмом.Они готовы сообщить вам о возникающих ошибках, например от опечаток. Вы можете найти применение по модулю в:
- GTIN, UPC, EAN контрольных цифр используются для подтверждения целостности штрих-кода. В формуле для контрольных цифр используется модуль 10.
- Номера ISBN и ISSN , которые являются уникальными периодическими идентификаторами и идентификаторами книг, имеют модуль 11 или 10, а в формуле контрольной цифры применяется средний вес.
- IBAN — Номера международных банковских счетов — используйте модуль 97, чтобы проверить, правильно ли клиент ввел номер.
- NPI — Национальный идентификатор провайдера США использует операцию по модулю 10 для вычисления десятой цифры.
Поскольку контрольные цифры используются для выявления человеческих ошибок транскрипции, они часто используются для длинных серийных номеров. Другие примеры алгоритмов контрольных цифр с использованием операций по модулю:
- национальный идентификационный номер (например, в Исландии, Турции, Польше)
- фискальный идентификационный номер (Испания)
- идентификационный номер автомобиля (США)
- и многие, многие другие.
Он применяется во многих научных областях, таких как компьютерная алгебра, криптография, информатика или простая школьная математика — как в алгоритме Евклида для вычисления наибольшего общего множителя.
Modulo полезен, когда вам нужно что-то разделить. Примером из реальной жизни может быть разделение пиццы с друзьями или семьей.
Предположим, что в большой пицце для вечеринки 10 ломтиков, а вы — группа из трех человек.Сколько кусочков останется, если пиццу разделить поровну?
Это как раз тот случай, когда можно использовать по модулю! 10 mod 3 = 1. Другими словами, 10, разделенное на 3, равняется 3, но остается 1 кусок 🍕. Это был не самый сложный пример, но мы надеемся, что вы видите полезность модуло.
Кстати , а вы видели нашу коллекцию калькуляторов пиццы? У нас есть удивительный калькулятор вечеринки с пиццей, который может помочь оценить, сколько пиццы вам нужно заказать, а также инструменты, помогающие сравнить размеры пиццы — если вы когда-нибудь задумывались, что лучше купить две пиццы среднего размера или одну большую, пиццу Калькулятор сравнения — беспроигрышный вариант.Также мы подготовили калькуляторы для тех, кто хочет испечь идеальной пиццы самостоятельно!
О нет. Мы проголодались. Давайте оставим это вкусное отвлечение и вернемся на Землю. Если вы заинтересованы в поиске более забавных приложений модульной арифметики, ознакомьтесь с этим сообщением в блоге betterexplained.com.
Объяснитель урока: модуль комплексного числа
В этом пояснителе мы узнаем, как использовать общую формулу для вычисления модуля комплексного числа.
Помните, что комплексное число 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 — это комплекс двух вещей: действительной части ((𝑧) = 𝑎) Re и мнимой части ((𝑧) = 𝑏) Im. Чисто мнимое число 𝑖 определяется как 𝑖 = −1 или 𝑖 = √ − 1. Комплексное число 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 представлено точкой (𝑎, 𝑏) на диаграмме Аргана.
Теперь мы определим модуль комплексного числа.
Определение: модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа 𝑧 = 𝑎 + определяется как | 𝑧 | = √𝑎 + 𝑏.
Эквивалентно это можно записать как | 𝑧 | = ((𝑧)) + ((𝑧)).ReIm
Если 𝑧 — действительное число, его модуль просто соответствует абсолютному значению. По этой причине модуль иногда называется абсолютным значением комплексного числа. Аналогично, если мы рассмотрим 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 как представление вектора ⃑𝐴 = (𝑎, 𝑏) на диаграмме Аргана, мы видим, что | 𝑧 | представляет величину вектора: ‖‖⃑𝐴‖‖.
Следовательно, модуль иногда также называют величиной комплексного числа. Это также подчеркивает геометрическую интерпретацию модуля как величины комплексного числа или его расстояния от начала координат.
Давайте посмотрим на наш первый пример, где нам нужно найти модуль заданного комплексного числа.
Пример 1: Модуль комплексного числа
Учитывая, что 𝑍 = 8 + 4𝑖, найти | 𝑍 |.
Ответ
Определение модуля комплексного числа 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖: | 𝑤 | = √𝑎 + 𝑏. Следовательно, | 𝑍 | = √8 + 4 = √64 + 16 = √80.
Учитывая, что 80 = 2 × 5, мы можем переписать это как | 𝑍 | = √2 × √5 = 4√5.
Теперь мы рассмотрим в нашем втором примере взаимосвязь между комплексным сопряжением и модулем комплексного числа.
Пример 2: Связь между комплексным сопряжением и модулем
Рассмотрим комплексное число 𝑧 = −4 + 𝑖√5.
- Рассчитать | 𝑧 |.
- Рассчитать || 𝑧 ||.
- Определить 𝑧𝑧.
Ответ
Часть 1
Напомним, что для комплексного числа 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 модуль определяется как | 𝑤 | = √𝑎 + 𝑏. Следовательно, | 𝑧 | = (−4) + √5 = √16 + 5 = √21.
Часть 2
Чтобы найти модуль комплексного числа, мы меняем знак мнимой части числа.Следовательно, 𝑧 = −4 − 𝑖√5. Следовательно, | 𝑧 | = (−4) + − √5 = √16 + 5 = √21.
Часть 3
Используя значение 𝑧 из части 2, мы имеем 𝑧𝑧 = − 4 + 𝑖√5 − 4 − 𝑖√5.
Используя FOIL или другой метод, мы можем расширить скобки следующим образом: 𝑧𝑧 = (- 4) + 4 × 𝑖√5−4 × 𝑖√5 − 𝑖√5 = 16−5𝑖.
Используя тот факт, что 𝑖 = −1, имеем 𝑧𝑧 = 21.
Мы могли бы также вычислить это, используя тождество, которое для сложного число 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑤𝑤 = 𝑎 + 𝑏.
В предыдущем примере были выделены некоторые свойства модуля, в частности, те, которые связаны с конъюгатом. В рамке ниже приведены эти свойства.
Свойство: Свойства модуля комплексного числа
Для комплексного числа 𝑧:
- | 𝑧 | = | 𝑧 |,
- | 𝑧 | = 𝑧𝑧.
Теперь рассмотрим свойства модуля по отношению к другим операциям с комплексными числами, включая сложение, умножение и деление.Мы начнем с рассмотрения дополнения.
Пример 3: Связь между сложением и модулем комплексного числа
Рассмотрим два комплексных числа 𝑤 = −1 + 7𝑖 и 𝑧 = 5−3𝑖.
- Рассчитать | 𝑤 | + | 𝑧 | до двух знаков после запятой.
- Вычислить | 𝑧 + 𝑤 | до двух знаков после запятой.
- Какому из следующих соотношений удовлетворяют 𝑤 и 𝑧?
- | 𝑤 | + | 𝑧 | = | 𝑧 + 𝑤 |
- | 𝑤 | + | 𝑧 | ≥ | 𝑧 + 𝑤 |
- | 𝑤 | + | 𝑧 | ≤ | 𝑧 + 𝑤 |
- | 𝑤 | + | 𝑧 | = 2 | 𝑧 + 𝑤 |
- √ | 𝑤 | + | 𝑧 | = | 𝑧 + 𝑤 |
Ответ
Часть 1
Используя определение модуля комплексного числа, мы имеем | 𝑤 | = (−1) + 7 = √1 + 49 = 5√2.
Аналогично, | 𝑧 | = 5 + (- 3) = √25 + 9 = √34.
Соединяя эти два, мы имеем | 𝑤 | + | 𝑧 | = 5√2 + √34.
Используя калькулятор, мы можем вычислить это и округлить до двух десятичных знаков (2 d.p.) следующим образом: = 12,9020… = 12,90 (2.). D.p
Часть 2
Начнем с вычисления 𝑧 + 𝑤 следующим образом: 𝑧 + 𝑤 = 5−3𝑖 + (- 1 + 7𝑖) = 4 + 4𝑖. Теперь рассчитаем его модуль: | 𝑧 + 𝑤 | = √4 + 4 = 4√2.
Оценивая это на калькуляторе, получаем | 𝑧 + 𝑤 | = 5.6568… = 5,66 (2.). D.p
Часть 3
Очевидно, | 𝑤 | + | 𝑧 | ≠ | 𝑧 + 𝑤 |. Следовательно ответ не может быть (А). Вместо этого мы обнаруживаем, что | 𝑤 | + | 𝑧 | ≥ | 𝑧 + 𝑤 |, что одновременно подтверждает, что (B) правильный ответ и что (C) это неверно. Кроме того, оценивая 2 | 𝑧 + 𝑤 | = 11,31 (2.) п.п. мы видим, что вариант (D) также неверен. Наконец, мы проверяем вариант (E) оценивая √ | 𝑤 | + | 𝑧 | = 3,59 (2.) п.п. Это подтверждает, что вариант (E) также неверен.Следовательно, единственный правильный вариант — это (В).
В предыдущем примере мы показали, что комплекс 𝑧 и 𝑤 удовлетворяют соотношению | 𝑤 | + | 𝑧 | ≥ | 𝑧 + 𝑤 |. Это соотношение справедливо не только для конкретных чисел и в примере, но на самом деле также верно для любых двух комплексных чисел. Это соотношение часто называют неравенством треугольника.
Неравенство: неравенство треугольника для комплексных чисел
Для двух комплексных чисел 𝑧 и выполняется следующее неравенство: | 𝑧 + 𝑧 | ≤ | 𝑧 | + | 𝑧 |.
Равенство выполняется, когда 𝑧 = 𝑐𝑧 для некоторого действительного ≥0.
Изобразим неравенство треугольника на диаграмме Аргана.
Мы видим, что мы можем образовать треугольник со сторонами длиной | 𝑧 | , | 𝑧 | и | 𝑧 + 𝑧 | . Неравенство треугольника, как следует из названия, гласит, что сумма длин двух сторон всегда больше, чем длина одной стороны. Если бы это было не так, то треугольник не мог бы быть сформирован, потому что две стороны не могли бы соединиться.
Имеется равенство | 𝑧 + 𝑧 | = | 𝑧 | + | 𝑧 | , когда 𝑧 = 𝑐𝑧 для некоторого действительного 𝑐≥0, потому что в этом случае 𝑧 и 𝑧 выровнены с происхождение и находятся на той же стороне от начала координат.Тогда комплексное число + then находится на одном луче от начала координат: у нас есть не треугольник, а три сегмента на одном луче.
Алгебраически мы видим, что | 𝑧 + 𝑧 | = | 𝑧 + 𝑐𝑧 | = | (𝑐 + 1) 𝑧 | .
Так как 𝑐≥0, имеем | 𝑧 + 𝑧 | = (𝑐 + 1) | 𝑧 || 𝑧 + 𝑧 | = 𝑐 | 𝑧 | + | 𝑧 | = | 𝑧 | + | 𝑧 | .
Мы будем Теперь исследуем свойства модуля в отношении умножения и деления.
Пример 4: Модуль произведений и коэффициентов
Рассмотрим комплексные числа 𝑧 = 3−4𝑖 и 𝑤 = −15 + 8𝑖.
- Найти | 𝑧 | и | 𝑤 |.
- Вычислить | 𝑧𝑤 |. Как это соотносится с | 𝑧 || 𝑤 |?
- Рассчитать || 𝑧𝑤 ||. Как это соотносится с | 𝑧 || 𝑤 |?
Ответ
Часть 1
Используя определение модуля, мы вычисляем | 𝑧 | = 3 + (- 4) = √9 + 16 = √25 = 5.
Аналогично находим | 𝑤 | = (−15) + 8 = √225 + 64 = √289 = 17.
Часть 2
Теперь вычисляем произведение 𝑧𝑤 следующим образом: 𝑧𝑤 = (3−4𝑖) (- 15 + 8𝑖).
Раскрывая скобки с помощью ФОЛЬГИ или другого метода, получаем 𝑧𝑤 = −45 + 24𝑖 + 60𝑖 − 32𝑖.
Так как 𝑖 = −1, имеем 𝑧𝑤 = −13 + 84𝑖.
Теперь рассчитаем модуль: | 𝑧𝑤 | = (−13) + 84 = √169 + 7056 = √7225 = 85.
Используя ответы из части 1, мы имеем | 𝑧 || 𝑤 | = 5 × 17 = 85. Отсюда получаем, что | 𝑧 || 𝑤 | = | 𝑧𝑤 |.
Часть 3
Начнем с вычисления 𝑧𝑤 следующим образом: 𝑧𝑤 = 3−4𝑖 − 15 + 8𝑖.
Умножая числитель и знаменатель на комплексное сопряжение знаменателя, имеем 𝑧𝑤 = (3−4𝑖) (- 15−8𝑖) (- 15 + 8𝑖) (- 15−8𝑖).
Раскладывая скобки в числителе и знаменателе, получаем 𝑧𝑤 = −45−24𝑖 + 60𝑖 + 32𝑖225−120𝑖 + 120𝑖 − 64𝑖.
Используя 𝑖 = −1, имеем 𝑧𝑤 = −77 + 36𝑖289 = −77289 + 36289𝑖.
Теперь мы можем рассчитать его модуль следующим образом: || 𝑧𝑤 || = − 77289 + 36289.
Мы можем переписать это, взяв общий знаменатель вне квадратного корня следующим образом: || 𝑧𝑤 || = √77 + 36289 = √5929 + 1296289 = √7225289 = 85289 = 517.
Наконец, мы сравниваем это с | 𝑧 || 𝑤 |.Используя ответ из части 1, мы видим, что это равно 517. Следовательно, | 𝑧 || 𝑤 | = || 𝑧𝑤 ||.
Используя методы, использованные в последнем примере, довольно просто доказать, что для любых двух комплексных чисел = 𝑎 + 𝑏𝑖 и 𝑧 = 𝑐 + 𝑑𝑖 мы можем обобщить то, что мы показали в последнем примере, и напишите следующие тождества умножения и деления.
Тождество: тождества умножения и деления
Для любых двух комплексных чисел 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 и 𝑧 = 𝑐 + 𝑑𝑖 имеем | 𝑧𝑧 | = | 𝑧 || 𝑧 |, ||| 𝑧𝑧 ||| = | 𝑧 || 𝑧 |.
Следующий пример продемонстрирует, как мы можем решать проблемы, применяя свойства модуля.
Пример 5: Решение уравнений, учитывающих модуль
Если 𝑍 = 1𝑍, где 𝑍 — комплексное число, что такое | 𝑍 |?
Ответ
Исходя из уравнения 𝑍 = 1𝑍, мы можем взять модуль обеих частей уравнения, чтобы получить | 𝑍 | = ||| 1𝑍 |||.
Поскольку для любых двух комплексных чисел ||| 𝑍𝑍 ||| = | 𝑍 || 𝑍 | , мы можем переписать уравнение в виде | 𝑍 | = | 1 ||| 𝑍 ||.
Кроме того, мы знаем, что || 𝑍 || = | 𝑍 | и | 1 | = 1. Следовательно, | 𝑍 | = 1 | 𝑍 |.
Умножая обе части уравнения на | 𝑍 | дает | 𝑍 | = 1.
Наконец, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей этого уравнения. Поскольку модуль всегда положительный число, нам нужно только считать положительный квадратный корень. Следовательно, | 𝑍 | = 1.
В нашем последнем примере мы рассмотрим взаимосвязь между модулем и мощностью.
Пример 6: Степени комплексных чисел и модуль
Учитывая комплексное число 𝑧 = 𝑎 +, каков модуль?
Ответ
Мы знаем, что для любых двух комплексных чисел модуль их произведения является произведением их модулей: | 𝑧𝑧 | = | 𝑧 || 𝑧 |.
Следовательно, в частном случае, когда 𝑧 = 𝑧 = 𝑧, имеем || 𝑧 || = | 𝑧 || 𝑧 | = | 𝑧 | .
Используя определение модуля | 𝑧 |, имеем || 𝑧 || = √𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏.
Используя логику, аналогичную той, которая применялась в предыдущем примере, мы можем видеть, что для комплексного числа 𝑧 модуль его 𝑛-й степени будет равен | 𝑧 | = | 𝑧 | .
Ключевые моменты
- Модуль комплексного числа 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 определяется как | 𝑧 | = √𝑎 + 𝑏. Геометрически он представляет собой расстояние 𝑧 от начала координат.
- Модуль имеет следующие свойства:
- | 𝑧 | = || 𝑧 ||,
- | 𝑧 | = 𝑧𝑧,
- | 𝑧 + 𝑧 | ≤ | 𝑧 | + | 𝑧 | ,
- | 𝑧𝑧 | = | 𝑧 | | 𝑧 | ,
- ||| 𝑧𝑧 ||| = | 𝑧 || 𝑧 | ,
- | 𝑧 | = | 𝑧 | .
| Исчисление | Графики | Примеры | Решения
Функция модуля дает величину числа независимо от его знака. Ее также называют функцией абсолютного значения.
В этом мини-уроке мы узнаем об определении функции модуля, вычислении модуля для чисел, переменных и многочленов, а также решенных примерах и вопросах функции модуля.
Попробуйте калькулятор функции mod, чтобы найти модуль числа!
План урокаЧто такое функция модуля?
Модуль функции, который также называется абсолютным значением функции, дает величину и абсолютное значение числа независимо от того, положительное или отрицательное число. Он всегда дает неотрицательное значение любого числа или переменной.
Представляется как
\ (\ begin {align} y = | x | \ end {align} \)
или
\ (\ begin {align} f (x) = | x | \ end {align} \)
, где \ (\ begin {align} f: R \ rightarrow R \ end {align} \) и \ (\ begin {align} x \ in R \ end {align} \)
\ (\ begin {align} | x | \ end {align} \) — модуль \ (\ begin {align} x \ end {align} \), где \ (\ begin {align} x \ end { align} \) — неотрицательное число.
Если \ (\ begin {align} x \ end {align} \) положительное значение, то \ (\ begin {align} f (x) \ end {align} \) будет иметь то же значение \ (\ begin {align } х \ конец {выравнивание} \). Если \ (\ begin {align} x \ end {align} \) отрицательно, то \ (\ begin {align} f (x) \ end {align} \) будет величиной \ (\ begin {align} х \ конец {выравнивание} \).
Подводя итог вышеприведенным строкам,
Это означает, что если значение \ (\ begin {align} x \ end {align} \) больше или равно 0, то функция модуля принимает фактическое значение, но если \ (\ begin {align} x \ end {align} \) меньше 0, тогда функция берет минус фактического значения ‘x’.
Как рассчитать функцию модуля?
Шаги по вычислению функций модуля приведены ниже.
, если \ (\ begin {align} x = -3 \ end {align} \), то
\ (\ begin {align} y = f (x) = f (-3) = — (-3) = 3 \ end {align} \), здесь \ (\ begin {align} x \ end {align} \) меньше 0
, если \ (\ begin {align} x = 4 \ end {align} \), то
\ (\ begin {align} y = f (x) = f (4) = 4 \ end {align} \), здесь \ (\ begin {align} x \ end {align} \) больше 0
, если \ (\ begin {align} x = 0 \ end {align} \), то
\ (\ begin {align} y = f (x) = f (0) = 0 \ end {align} \), здесь \ (\ begin {align} x \ end {align} \) равно 0
Подводя итог, можно сказать, что модуль отрицательного числа и положительного числа — это одно и то же число.
График функции модуля
Теперь давайте посмотрим, как построить график для функции модуля и найти ее область и диапазон.
Рассмотрим x как переменную, принимающую значения от -5 до 5
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y = f (x) | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
При вычислении модуля упругости для положительных значений ‘x’ линия на графике имеет вид ‘y = x’
, а для отрицательных значений «x» линия на графике имеет вид «y = -x».
Обратите внимание, что мы можем применить модуль к любому действительному числу. Диапазон функции модуля — это набор неотрицательных целочисленных переменных, который обозначается как \ (\ begin {align} (0, \ infty) \ end {align} \), а область определения функции модуля — R (где R относится к набору всех положительных действительных чисел)
Поскольку мы обсуждали модуль — это неотрицательное значение, и в соответствии с этой интерпретацией мы также можем сказать, что модуль — это квадратный корень из квадрата переменной. 2} \ end {align} \)
Есть несколько других неотрицательных выражений, которые перечислены ниже.{2n} \ end {align} \) где \ (\ begin {align} n \ in Z \ end {align} \)
\ (\ begin {align} y = 1 — sin \: x; y = 1 — cos \: x \: as \: sin \: x ≤1 \: и \: cos \: x ≤1 \ end { align} \)
Функция Signum
Signum функция определяется как математическая функция, которая дает знак действительного числа. Сигнум-функция выражается следующим образом.
График сигнум-функции выглядит следующим образом.
Модуль комплексного числа
Комплексное число — это число, имеющее форму \ (\ begin {align} a + bi \ end {align} \), где ‘a’ и ‘b’ — действительные числа, а ‘i’ — мнимая единица.2} \ end {align} \)
Важные свойства функции модуля Свойство 1: Модуль и равенство
Функция модуля всегда возвращает неотрицательное число для всех действительных значений ‘x’. Также некорректно приравнивать функцию модуля к отрицательному числу.
\ (\ begin {align} | f (x) | = a; \: a> 0⇒f (x) = ± a \\ | f (x) | = a; \: a = 0⇒f (x ) = 0 \\ | f (x) | = a; a <0 \ end {align} \)
Недвижимость 2: Модуль и неравенствоСлучай 1: (Если a> 0)
Неравенство отрицательного числа
\ (\ begin {align} | f (x) | Неравенство для положительного числа \ (\ begin {align} | f (x) |> a; a> 0 \ Rightarrow -a Случай 2: (Если <0) \ (\ begin {align} | f (x) | \ (\ begin {align} | f (x) |> a; a <0 \ Rightarrow \ end {align} \) - это действительно для всех реальных значений f (x). Если x, y — действительные переменные, то \ (\ begin {align} | -x | = | x | \ end {align} \) \ (\ begin {align} | x − y | = 0⇔x = y \ end {align} \) \ (\ begin {align} | x + y | ≤ | x | + | y | \ end {align} \) \ (\ begin {align} | x − y | ≥ || x | — | y || \ end {align} \) \ (\ begin {align} | xy | = | x | \ times | y | \ end {align} \) \ (\ begin {align} | \ dfrac {x} {y} | = \ dfrac {| x |} {| y |}; | y | \ neq 0 \ end {align} \) Теперь давайте рассмотрим некоторые решенные вопросы о модульных функциях, чтобы лучше понять их. Найдите модуль x для Решение а) х = -4 \ (\ begin {align} | x | = | -4 | = — (-4) = 4 \ end {align} \) б) х = 6 \ (\ begin {align} | x | = | 6 | = 6 \ end {align} \) Для x = -4, \ (\ begin {align} | -4 | = 4 \ end {align} \) и для x = 6 \ (\ begin {align} | 6 | = 6 \ end {align} \) Решить \ (\ begin {align} | x + 3 | = 8 \ end {align} \) Решение Сформируем два уравнения следующим образом. Корпус 1: Значение функции модуля отрицательное. \ (\ begin {align} | x + 3 | = 8 \ end {align} \) \ (\ begin {align} — | x + 3 | = 8 \ end {align} \) \ (\ begin {align} x + 3 = -8 \ end {align} \) \ (\ begin {align} x = -8 — 3 \ end {align} \) \ (\ begin {align} x = -11 \ end {align} \) Корпус 2: Значение функции модуля положительное. \ (\ begin {align} | x + 3 | = 8 \ end {align} \) \ (\ begin {align} x + 3 = 8 \ end {align} \) \ (\ begin {align} x = 8 — 3 \ end {align} \) \ (\ begin {align} x = 5 \ end {align} \) Следовательно, возможные значения x в модульной функции: \ (\ begin {align} x = 5, -11 \ end {align} \) Нарисуйте график для \ (\ begin {align} y = | x +2 | \ end {align} \) Решение Согласно определению функции модуля, мы имеем \ (\ begin {align} y = | x + 2 | = x + 2, если \: x \ geq 1 \\ — 2 — x, если \: x <1 \ end {align} \) Изобразим таблицу с положительными и отрицательными значениями ‘x’. Построение графика с различными значениями \ (\ begin {align} x \ end {align} \) и \ (\ begin {align} -x \ end {align} \) мы получаем график для модуля функция, как показано ниже, Решить \ (\ begin {align} | 2x — 4 | = 5 — x \ end {align} \) Решение Согласно определению функции модуля имеем В зависимости от функции модуля могут быть две возможности. Корпус 1: \ (\ begin {align} — | 2x — 4 | = 5 — x \ end {align} \) \ (\ begin {align} 2x — 4 = — (5 — x) \ end {align} \) \ (\ begin {align} 2x — 4 = -5 + x \ end {align} \) \ (\ begin {align} 2x — x & = -5 + 4 \\ x & = -1 \ end {align} \) Корпус 2: \ (\ begin {align} | 2x — 4 | = 5 — x \\ 2x — 4 = 5 — x \\ 2x + x = 5 + 4 \\ 3x = 9 \ x = 3 \ end {align} \) Урок был посвящен увлекательной концепции модульной функции, ее области и диапазона.Надеюсь, вам понравилось их изучать. Просматривая решенные примеры и решая неэффективные вопросы, вы получите больше знаний по предмету. Вы также можете попробовать калькулятор функции модуля, чтобы проверить модуль числа. В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов! Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя исследуют тему со всех сторон. Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению. Уравнение, которое дает модуль или величину данного числа, называется уравнением модуля. Обозначается как y = | x |. Модуль означает определение положительного или отрицательного числа. Применение модуля к неотрицательному и отрицательному числу всегда приводит к одному и тому же числу. Взяв отрицательные значения, такие как (-1, -2, -3), и положительные значения, такие как (1,2,3), в соответствии с данным уравнением модуля, мы можем нарисовать функцию модуля. Функция модуля используется для определения величины положительного или отрицательного числа. Модуль положительного числа положителен. x может иметь значения \ (\ begin {align} x = 5, -11 \ end {align} \) х y = | x + 2 | -7 | -7 + 2 | = | -5 | = 5 -6 | -6 + 2 | = | -4 | = 4 -5 | -5 + 2 | = | -3 | = 3 -4 | -4 + 2 | = | -2 | = 2 -3 | -3 + 2 | = | -1 | = 1 -2 | -2 + 2 | = | 0 | = 0 -1 | -1 + 2 | = | 1 | = 1 0 | 0 + 2 | = | 2 | = 2 1 | 1 + 2 | = | 3 | = 3 2 | 2 + 2 | = | 4 | = 4 3 | 3 + 2 | = | 5 | = 5 4 | 4 + 2 | = | 6 | = 6 Это график для функции модуля x + 2 \ (\ begin {align} x = -1 \: and \: x = 3 \ end {align} \)
Интерактивные вопросы
Подведем итоги
Часто задаваемые вопросы по модульной функции 1. Что такое уравнение модуля?
2. Что означает модуль?
3. Как вы решаете задачи модуля упругости?
4. Как нарисовать модульную функцию?
5. Почему мы используем Mod?
6. Всегда ли модуль упругости положителен?