Предел числовой последовательности
Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства.
Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
Для любого положительного E найдется N зависящее от E такое что для любого члена последовательности с номером больше N будет выполняться модульное неравенство: A-E<an<A+У (будут попадать в епселен окрестность точки А)
Предел функции, геометрическая интерпретация
Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
У равнения касательной и нормали
Рассмотрим кривую, уравнение которой
есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку
M(x0, y0), и составим уравнение касательной
к данной кривой в точке M, предполагая,
что эта касательная не параллельна оси
Oy.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k= f'(x0), то получаем уравнение y= f'(x0)·x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x0, y0). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y0= f'(x0)·x0 + b. Отсюда b=y0– f'(x0)·x0.
Таким образом, получаем уравнение касательной y= f'(x0)·x +y0 – f'(x0)·x0 или y = f ‘(x0)·(x – x0) + f(x0)
Если касательная, проходящая через точку М(x0,y0) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x0.
Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.
Нормалью к кривой в данной точке
называется прямая, проходящая через
эту точку перпендикулярно к касательной
в данной точке.
Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент kn связан с угловым коэффициентом касательной k равенством:
Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M(x0, y0), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид:
Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е.f'(x0) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y0, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x0.
Гиперболические функции
Г иперболические функции, функции, определяемые формулами: (гиперболический синус), (гиперболический косинус). Иногда рассматривается также гиперболический тангенс:
Г. ф. связаны между собой соотношениями, аналогичными соотношениям между тригонометрическими функциями:
Г. ф. можно выразить через тригонометрические: Геометрически Г. ф. получаются из
рассмотрения равнобочной гиперболы
х2—у2 = 1, которую можно задать
параметрическими уравнениями х = ch t, у
= sh t, аргумент t представляет двойную
площадь сектора гиперболы ОАС (см. рис.
2). Обратные Г. ф. (ареа-синус гиперболический
и ареа-косинус гиперболический)
определяются формулами:
Расовое неравенство сочинение пример
- Опубликовано: 19.10.2020
- Предмет: Социальные вопросы, социология
- Темы: Раса и этническая принадлежность, расизм, Расовая сегрегация, Расовый Реализм, Сравнение движений расового равенства
Возможно, этому следует предшествовать очень очевидное, хотя иногда и заниженное изложение фактов: расовое равенство или его отсутствие – это не просто вопрос черного и белого. Фактически, недавняя политическая риторика привлекла к себе внимание многих других предрассудков, которые, похоже, становятся все более заметными аспектами темной стороны американской культуры. В частности, к людям мексиканского или ближневосточного наследия все чаще обращаются таким образом, что их следует повсеместно считать ужасающими. Все это говорит о том, что было бы очень трудно провести дискуссию о расовом неравенстве в Америке, не обращая внимания на большое несоответствие между тем, как черные и белые общины испытывают жизнь. Сегодня мы рассмотрим все эти аспекты неравенства в нашей культуре.
Что мы подразумеваем под неравенством
Расовое неравенство не обязательно то же самое, что и расизм, хотя оба эти фактора часто идут рука об руку. Возможно, было бы справедливо сказать, что расизм определяется предрассудками в отношении группы людей по признаку их расы или этнической принадлежности, и расовое неравенство является результатом этого предубеждения. Например, хотя было бы трудно указать на расизм какого-либо отдельного человека для объяснения неравенства между богатством в белых семьях и богатством в черных семьях, тем не менее это, безусловно, пример расового неравенства. Тот факт, что среднестатистические чернокожие люди имеют меньше денег, чем белые, очевидно, является результатом отсутствия возможностей.
В конце концов, мы совершенно ясно знаем, что, хотя западная культура (в частности, Соединенные Штаты) ценит «подтянись повествованием о самозагрузке», в конечном итоге победа обычно приносит богатство поколений.
Расовое неравенство в данном случае является результатом того факта, что афроамериканцы начинали как рабы в этой стране, а затем пострадали по законам Джима Кроу, а также из-за других обстоятельств, которые затрудняли установление плацдарма в условиях процветания. .
Важно отметить, что ситуации расового неравенства не обязательно относятся к каждому члену данной расы. Например, не все афроамериканцы ведут экономическую борьбу, и не все кавказцы процветают в финансовом отношении. На самом деле, есть бесчисленное множество примеров каждого случая, где верно обратное. Когда люди ссылаются на расовое неравенство, они говорят о моделях, которые слишком часто проявляются в нашем обществе.
Кто виноват
Иногда очень легко определить, когда кто-то пропагандирует расовое неравенство. Когда кто-то с большой платформой заявляет, что все определенные группы людей являются преступниками, это, без сомнения, усугубляет проблему расового неравенства в нашей стране. Эти очевидные случаи расового неравенства, хотя и ужасающие, также в некоторых отношениях легче смягчить. Относительно просто противостоять представлению о том, что одна группа людей отвечает за все проблемы в стране. В то время как определенные группы людей, вероятно, будут верить лжи, заявленные люди в любом случае могут быть предрасположены к таким мнениям. В целом, факты имеют силу над вопиющим расизмом, даже когда указанная власть действует не так быстро, как того требует общество.
Историческое расовое неравенство гораздо сложнее противодействовать. Чтобы следовать примеру, проиллюстрированному в предыдущем разделе, нетрудно признать, что афроамериканское сообщество исторически не пользовалось таким же количеством возможностей, как другие общины в Соединенных Штатах. Это совсем другое – знать, что с этим делать. В случае системного расизма (как бы) не так легко узнать, на кого указывать пальцем, и даже когда вы знаете, кого винить, их, как правило, уже давно нет. Итак, что с этим можно сделать?
Что можно сделать с расовым неравенством
К сожалению, никто точно не знает, что делать с расовым неравенством. Если бы они это сделали, можно было бы хотя бы надеяться, что к этому моменту мы добились большего прогресса. Теперь, когда это сказано, также стоит упомянуть, что был достигнут прогресс. Рабство окончено, школы больше не разделены, и общее отношение к нации в целом улучшилось. Но как вы можете обратить вспять то, что является продуктом истории?
Хотя точного ответа на этот вопрос нет, осознание, безусловно, является хорошим первым шагом. Признание в качестве нации того факта, что плохие вещи, которые произошли в нашей истории, все еще влияют на наше настоящее, потенциально может иметь большое значение для создания новых возможностей. Конечно, этого будет недостаточно. Активные инициативы, которые предоставляют рабочие места и возможности для образования иным образом обездоленным или недостаточно представленным слоям населения, являются ключом к минимизации последствий расового неравенства в нашей стране. В то время как для некоторых людей подобные инициативы рассматриваются некоторыми людьми неблагоприятно, я бы сказал, что они не должны рассматриваться как раздаточные материалы.
Создание возможностей для тех, кому исторически было отказано, – это не благотворительность, а справедливость, и, возможно, это самый определенный шаг вперед для обеспечения прогресса. Эти инициативы могут быть реализованы отдельными лицами, которые стремятся предоставить квалифицированным кандидатам на работу меньшинств возможность трудоустройства, а также могут быть достигнуты в более широком масштабе посредством предоставления стипендий и других широких усилий. Так же, как ничто не создает расовое неравенство, так и никто не может его исправить, но последовательные и всесторонние усилия, безусловно, являются ключом к продолжению прогресса.
Заключение
Расовое равенство не будет достигнуто всесторонне в считанные дни, месяцы или даже годы. Это культурный рак, который накапливался веками, и в этом случае можно только с полным основанием ожидать, что может оказаться столь же трудным исправить проблемы нашего прошлого и настоящего. Хотя человек не может переписать историю или даже изменить способ, которым некоторые люди думают в настоящем, он может начать активно вносить свой вклад, чтобы сделать вещи немного лучше для тех, кто в этом нуждается. Несомненно, эти усилия не будут быстрыми и не будут легкими. Процесс занимает время, но в конечном итоге стоит всех усилий.
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
Поделиться сочинением
Поделиться в telegram
Поделиться в whatsapp
Поделиться в vk
Поделиться в facebook
Поделиться в twitter
ПредМодульное кораблестроение
Есть ли дефицит демократии в ВеликобританииСледующая
Ещё сочинения
Гендерное разнообразие в организации
30. 10.2020
Комментариев нет
Споры о важности разнообразия на рабочем месте не новы. Это обсуждалось последние 6 десятилетий. Многие исследователи, академики, специалисты по кадрам и предприниматели спорили о его
Культура корейской кухни
30.10.2020 Комментариев нет
Согласно Оксфордскому словарю, определение культуры – это искусство и такие проявления, как гуманитарные науки, литература, музыка и живопись, интеллектуальные достижения человека считаются общими. Это также
Читать полностью »
Изучение различий учителей в американских школах
30.10.2020 Комментариев нет
Разнообразие в американском образовании Бозер (2011) провел национальное исследование о разрыве в разнообразии между учителями белых и черных в американском образовании. Три наиболее значимых результата
Читать полностью »
Оглавление
Симметрия | Бесплатный полнотекстовый | Субмодульное неравенство операторов агрегирования
1.

В широком круге практических задач естественным образом возникает вопрос об объединении нескольких единиц входной информации в одну простую. Методы слияния, основанные на операторах агрегации, очень полезны в подобных задачах. В последнее время теория операторов агрегации стала важным инструментом в различных областях прикладных наук [1,2,3,4,5,6,7,8,9]. Операторы агрегации интересны не только с теоретической точки зрения, но и своими приложениями, поскольку они доказали свою полезность в нескольких областях, таких как нечеткая логика, экспертные системы, нейронные сети, распознавание образов и нечеткое решение. В частности, функциональные уравнения операторов агрегации являются важными направлениями исследований, привлекающими интерес исследователей. На это есть две основные причины:
- (1)
Для выбора подходящего оператора агрегирования можно использовать функциональные уравнения;
- (2)
Функциональные уравнения могут использоваться для изучения свойств методов слияния, поскольку они могут характеризовать соответствующие операторы агрегирования.
Обратите внимание, что эти функциональные уравнения обычно связаны с некоторыми свойствами операторов агрегирования, которые часто происходят из некоторых конкретных приложений. Уравнение дистрибутивности сильно связано с псевдооператорами в нечетких мерах и нечетких интегралах. В [10] обсуждались уравнения дистрибутивности треугольных норм и конорм. Уравнения дистрибутивности унинорм и нульнорм (или t-операторов) рассматривались в [11,12,13]. Кроме того, модульное уравнение также является важным. С одной стороны, оно тесно связано с уравнением дистрибутивности, которое обычно требуется в нечеткой логике. С другой стороны, его можно рассматривать как ассоциативное уравнение с ограничениями, что очень полезно в теории нечетких множеств. В [14] обсуждались модулярные уравнения треугольных норм и конорм. Более того, решения модулярных уравнений для унинорм и нульнорм приведены в [15,16].
Неравенства распределения между двумя операторами агрегирования недавно обсуждались в [17,18,19]. Субмодульные неравенства между треугольными нормами и конормами тройки Де Моргана изучались в [20] и приводились некоторые решения. Таким образом, изучение субмодулярных неравенств для общих операторов агрегирования будет представлять интерес. В этой статье будут представлены некоторые новые результаты для субмодулярных неравенств, в том числе некоторые общие свойства двойственности и изоморфизма, а также разрешение субмодулярных неравенств для общих треугольных норм и конорм.
В этой статье мы сосредоточимся на субмодульном неравенстве между двумя общими операторами агрегирования. Раздел 2 содержит некоторые важные понятия, касающиеся оператора агрегирования, конъюнктора, t-нормы и субмодулярного неравенства. В разделе 3 обсуждается субмодульное неравенство двух операторов агрегации в условиях двойственности и изоморфизма. В разделе 4 мы приводим один результат о субмодулярных неравенствах для конъюнкторов порядковых сумм. Раздел 5 посвящен субмодулярным неравенствам между треугольными нормами и конормами. Мы заканчиваем статью выводами и некоторыми направлениями будущей работы.
2. Предварительные сведения
В этом разделе мы дадим некоторые основные определения и результаты, связанные с операторами агрегирования.
Очевидно, что t-норма является специальным конъюнктором. Т-норма непрерывна, если она непрерывна как бинарная функция. Т-норма T называется архимедовой, если она непрерывна и T(x,x)
Хорошо известно, что бинарная функция T:[0,1]2→[0,1] является непрерывной архимедовой t-нормой тогда и только тогда, когда существует строго убывающая и непрерывная функция t:[0,1 ]→[0,+∞] с t(1)=0 таким, что
где t(−1) — это псевдообратное значение t, определяемое формулой
t тогда называется аддитивным генератором T. Если t(0)=+∞, то псевдообратный t(−1)=t−1 является обратным к t, а T является строгим и его аддитивным генератор уникален с точностью до положительной мультипликативной константы. Для нильпотентной t-нормы T единственный аддитивный генератор с t(0)=1 называется нормализованным аддитивным генератором, а NT(x)=t−1(1−t(x)):[0,1]→ [0,1] называется соответствующим сильным отрицанием T.
В литературе основные t-нормы TM, TP, TL и TD задаются как
Хорошо известно, что T≤TM для произвольной t-нормы T. В случае t-конормы, являющейся N-двойственной t-норме, некоторые симметричные результаты аналогичным образом представлены в [23] .
Субмодульные неравенства для t-норм над t-конормами триплета Де Моргана обсуждались в [14]. Поэтому интересно разобраться с субмодульными неравенствами для общих t-норм и t-конорм, включая операторы агрегирования.
3. Субмодулярное неравенство операторов агрегирования при двойственности и изоморфизме
Этот раздел посвящен общим свойствам субмодулярных неравенств между бинарными операторами агрегирования.
Субмодульное неравенство операторов агрегации при изоморфизме
Следующая теорема доказывает симметричность (асимметрию) сравнения двух бинарных операторов агрегации относительно возрастающей (убывающей) биекции.
4. Субмодулярное неравенство порядковой суммы конъюнкторов
В этом разделе мы имеем дело с субмодульными неравенствами между двумя конъюнкторами с одинаковой структурой порядковой суммы. Следующая теорема раскрывает симметрию сравнения двух конъюнкторов порядковых сумм.
Доказательство.
Предположим, что A⪯smB, т. е. для всех x,y,z∈[0,1] и z≤x выполняется равенство

Обе части содержат φi, т. е. Ai(x,Bi(y,z))≤Bi(Ai(x,y),z) при z≤x.
Обратно, предположим, что Ai⪯smBi для каждого i∈I. Учтите, что для любых x,y,z∈[0,1], z≤x нам нужно доказать, что A⪯smB в следующих случаях:
- (1)
x,y,z∈[ai ,bi],z≤x,i∈I. Для возрастающей биекции φi:[ai,bi]→[0,1], x→x−aibi−ai и согласно порядковой сумме A,B и теореме 2 имеем
- (2)
y≤z≤x.
y∉[ai,bi] для любого i∈I. Следовательно, By,z=y,Ax,y=y, и
y∈[ai,bi],z∈[ai,bi],x∉[ai,bi] для некоторого i∈I. Следовательно, x>bi,Ax,y=y и
y∈[ai,bi],z∉[ai,bi],x∉[ai,bi] для некоторого i∈I. Следовательно, By,z=y,Ax,y=y и
- (3)
z≤y≤x.
z∉[ai,bi] для любого i∈I.
Следовательно, By,z=z,Ax,z=z и
z∈[ai,bi],y∈[ai,bi],x∉[ai,bi] для некоторого i∈I. Следовательно, x>bi,Ax,y=y и
z∈[ai,bi],y∉[ai,bi],x∉[ai,bi] для некоторого i∈I. Следовательно, By,z=z,Ax,z=z,A(x,y)≥bi и
- (4)
z≤x≤y.
z∉[ai,bi] для любого i∈I. Следовательно, By,z=z,Ax,z=z и
z∈[ai,bi],x∈[ai,bi],y∉[ai,bi] для некоторого i∈I. Следовательно, y>bi,B(y,z)=B(bi,z),
A(x,y)=A(x,bi) и
z∈[ai,bi],x∉[ai,bi],y∉[ai,bi] для некоторого i∈I. Следовательно, x,y>bi,A(x,y)≥bi и
Это завершает доказательство того, что A⪯smB. □
Для замечания 2 нам нужно только сосредоточиться на субмодульном неравенстве архимедовой t-нормы и t-конормы, чтобы изучить субмодулярное неравенство непрерывной t-нормы и t-конормы.
5. Субмодульное неравенство T-нормы и T-конормы
В этом разделе мы имеем дело с субмодульными неравенствами t-норм и t-конорм.
5.1. Субмодулярное неравенство T-нормы над T-конормой
В этом подразделе мы обсудим субмодулярные неравенства t-нормы над t-конормой.
Из примера 2 мы знаем, что существуют t-норма T и t-конорма S такие, что T не является субмодулярной над S. Далее приводятся некоторые достаточные и необходимые условия для субмодулярных неравенств.
Доказательство.
Предположим, что A субмодулярна над B. Тогда по лемме 1 имеем
для x,y,z∈[0,1]. Приведенное выше неравенство можно сформулировать следующим образом:
или эквивалентно как
и, устанавливая tx=a,ty=b,tz=c и h(x)=g∘t−1(x), приведенное выше неравенство выполняется тогда и только тогда, когда
для всех a,b,c∈[0,∞]. Уравнение (2) выполняется тогда и только тогда, когда функция h(x)=g∘t−1(x) выпукла.
Действительно, если h выпукло, то h−1 выпукло, потому что h убывает. Рассмотрим функцию Hx=h−1hb+hc+x−h−1hb+x+hc. Если 0≤x
Поскольку h убывает, h−1 выпукло, и согласно лемме 6.1.1 из [25] имеем h(b+x)≥h(b+y),
и
Следовательно, H(x)−H(y)≤0 и H возрастает. Ввиду того, что H(0)=0, выполняется уравнение (2).
Так как h убывает, а h−1 выпукло, то по лемме 6.1.1 из [25] H(x)−H(y)≤0. Таким образом, Н увеличивается. Поскольку H(0)=0, выполняется уравнение (2).
И наоборот, предположим, что уравнение (2) выполняется. Пусть 0≤x
Значит, h−1 выпуклая. Поскольку h−1 убывает, h также выпукло. □
Доказательство.
Предположим, что NA есть отрицание, связанное с t-нормой A. Пусть h=g∘t−1:0,1→0,∞. Очевидно, что h непрерывно, строго убывает и что h(1)=0, h(0)=∞. Следовательно, h можно рассматривать как аддитивный генератор одной строгой t-нормы Th, т. е. Th=h(−1)hx+hy для любых x,y∈[0,1].
Согласно теореме 2.10 из [14] A субмодулярна над B тогда и только тогда, когда t-норма Th подтверждает
для всех a,b,c∈[0,1] таких, что a≥b.
Предположим сначала, что A субмодулярна над B, т. е.
для x,y,z∈[0,1]. Если x≥NA(y), то tx+ty≤1. Более того, поскольку By,z≥y, то в силу монотонности t имеем tx+tBy,z≤1. Таким образом, уравнение (4) можно сформулировать следующим образом:
или эквивалентно как
и устанавливая tx=u,ty=v,tz=w и h=g∘t−1, мы имеем
для всех u,v,w∈0,1 таких, что u+v≤1. Теперь, взяв u+v=a,v=b,w=c, мы можем получить следующее:
для всех a,b,c∈[0,1] таких, что a≥b. Следовательно, мы подтверждаем, что Th проверяет уравнение (3) для всех a,b,c∈[0,1], таких что a≥b.
Обратно, предположим, что Th проверяет уравнение (3) для всех a,b,c∈[0,1], таких что a≥b. Затем нам нужно доказать, что A субмодулярна над B в следующих случаях:
x≥NAy.
Доказательство представляет собой обращение приведенных выше рассуждений.
x
В этом случае A(x,B(y,z))=0, B(A(x,y),z)=B(0,z)=z≥A(x,B(y,z) )).
NABy,z≤x
В этом случае tx+ty>1,Ax,y=0,t(x)+tBy,z≤1. Установив a=t(x),b=t(y),c=t(z) в уравнении (3), мы имеем
Следовательно, c−h−1hb+hc≤a и t(z)−t∘g−1gy+gz≤tx. Затем мы получаем
или эквивалентно как
Итак, имеем
Из предыдущего обсуждения мы знаем, что A субмодулярна над B. □
С аналогичным доказательством мы получаем следующий результат для субмодулярного неравенства между строгой t-нормой A и нильпотентной t-конормой B.
Доказательство.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.7 в [14]. Предположим, что NA и NB — отрицания, связанные с t-нормой A и t-конормой B соответственно. Пусть h=g∘t−1:0,1→0,1. Очевидно, что h непрерывно, строго убывает и h(1)=0, h(0)=1. Следовательно, h можно рассматривать как нормализованный аддитивный генератор одной нильпотентной t-нормы Th, т. е. Th(x,y)=h(−1)hx+hy для каждого x,y∈[0,1]. Согласно теореме 2.10 из [14], A субмодулярна над B тогда и только тогда, когда t-норма Th проверяет
для всех a,b,c∈[0,1] таких, что a≥b.
Предположим сначала, что A субмодулярна над B, т. е.
для x,y,z∈[0,1] по лемме 1. Затем докажем уравнение (5) в двух разных случаях.
x≥NAy,z≤NBy. В этом случае имеем tx+ty≤1 и gy+gz≤1. Более того, поскольку By,z≥y и Ax,y≤y, в силу монотонности t и g имеем tBy,z+tx≤1 и gAx,y+gz≤1. Таким образом, уравнение (6) можно сформулировать следующим образом:
или эквивалентно как
и устанавливая tx=u,ty=v,tz=w и h=g∘t−1, мы имеем
для всех u,v,w∈0,1 таких, что u+v≤1 и hv+hw≤1. Теперь, взяв u+v=a,v=b,w=c, получаем следующее:
для всех a,b,c∈[0,1] таких, что a≥b и hb+hc≤1. Из уравнения (7) мы подтверждаем, что Th подтверждает уравнение (5) для всех a,b,c∈[0,1], таких что a≥b и hb+hc≤1.
x≥NAy,NBy
1 и g∘t−1tx+ty+gz≤1. Следовательно, By,z=1, Ax,By,z=x. Таким образом, уравнение (6) можно сформулировать следующим образом: то есть,
и устанавливая tx=u,ty=v,tz=w и h=g∘t−1, мы имеем
для всех u,v,w∈0,1 таких, что u+v≤1 и hv+hw>1 и hu+v+hw≤1.
Теперь, взяв u+v=a,v=b,w=c в уравнении (8), мы получим следующее:
для всех a,b,c∈[0,1], таких что a≤b, ha+hc>1 и hb+hc≤1. В частности, когда a≥b, ha+hc>1 и hb+hc>1, Thb,c−Tha,c=0≤a−b, т. е. выполняется уравнение (5).
x≥NAy,z>NBAx,y. В этом случае у нас есть BA(x,y),z=1 и результат.
Обратно, предположим, что Th проверяет уравнение (5) для всех a,b,c∈[0,1], таких что a≥b. Нам нужно доказать, что A субмодулярна над B в следующих случаях:
x≥NAy,z≤NBy.
Доказательство представляет собой обращение приведенных выше рассуждений.
x≥NAy,NBy
Доказательство представляет собой обращение приведенных выше рассуждений.
x≥NAy,NBy
В этом случае BAx,y,z=1, и результат тривиален.
x≤NABy,z
В этом случае Ax,By,z=0, и результат тривиален.
NABy,z
В этом случае доказательство двойственно для второго случая.
NABy,z
В этом случае имеем Ax,y=0,By,z=1. Следовательно, Ax,By,z=x и BAx,y,z=z; поэтому мы докажем, что x≤z. Пусть b∈[0,1] такое, что t(b)=y. Поскольку h — убывающая выпуклая функция с h(0)=1 и h(1)=0, h(b)−h(0)b≤h(1)−h(0)≤h(1)−h( 1−b)b по лемме 6.1.1 из [25]. Таким образом, h(1−b)≤1−h(b), т. е. g∘t−11−ty≤1−gy. Тогда t−11−ty≤g−11−gy. Следовательно, у нас есть
по предположению.
Из вышеизложенного мы знаем, что A субмодулярна над B. □
5.2. Субмодулярное неравенство T-конормы над T-нормой
В этом подразделе мы обсудим субмодулярные неравенства t-конормы над t-нормой.
Легко видеть, что существует асимметрия между разделами 5.1 и 5.2.
5.3. Субмодульное неравенство T-нормы над T-нормой
В этом подразделе мы имеем дело с субмодульным неравенством t-нормы над t-нормой.
Из примера 5 мы имеем, что TD,TL,TP являются субмодульными над TM. Действительно, аналогичный результат справедлив для произвольной t-нормы.
5.4. Субмодулярное неравенство T-конормы над T-конормой
В этом пункте мы имеем дело с субмодульным неравенством t-конормы над t-конормой.
В приведенном выше примере мы имеем следующий общий результат.
Из приведенных выше результатов мы можем видеть симметрию между разделами 5.3 и 5.4.
6. Выводы
В этой статье мы в основном изучали субмодулярное неравенство для двух операторов агрегирования. К основным результатам работы относятся следующие:
- (1)
Обсуждены некоторые общие свойства субмодулярных неравенств в смысле двойственности и изоморфизма. Субмодульное неравенство сохранялось при изоморфизме операторов агрегирования и обращалось при двойственности операторов агрегирования.
- (2)
Субмодулярное неравенство между порядковой суммой конъюнкторов с одинаковой суммой и носителями определялось субмодульным неравенством между всеми соответствующими суммами и конъюнкторами [23].
- (3)
Характеристика t-норм и t-конорм в субмодульных неравенствах дана в терминах состава их аддитивных образующих. В частности, в случаях, когда архимедова t-норма была субмодулярной над архимедовой t-конормой, мы предложили характеристику, основанную на выпуклости композиции их аддитивных образующих.
В дальнейшем мы сосредоточимся на субмодульных неравенствах других классов операторов агрегирования, таких как унинормы и нульнормы [23]. Более того, связь между различными неравенствами, такими как неравенство дистрибутивности, субмодульное неравенство и супермиграция, также будет представлять интерес.
Модулярное переменное неравенство Орлича для локального максимального оператора
Ключевые слова: пространства Мусиелака–Орлича; локальный максимальный оператор; переменные показатели; переменные пространства Лебега; модульное неравенство
[1]
К. Беннетт и Р. Шарпли,
Интерполяция операторов,
Чистое приложение Мат. 129,
Академическая пресса, Бостон, 1988.
Поиск в Google Scholar
[2] К. Капоне, Д. Крус-Урибе и А. Фиоренца, Дробно-максимальный оператор и дробные интегралы на переменных пространствах Lp, Преподобный мат. Ибероам. 23 (2007), вып. 3, 743–770. 10.4171/RMI/511Поиск в Google Scholar
[3] К. Капоне и А. Фиоренца, Максимальные неравенства в весовых пространствах Орлича, Ренд. аккад. науч. Фис. Мат. Наполи (4) 62 (1995), 213–224. Поиск в Google Scholar
[4] Д. Крус-Урибе, Г. Ди Фратта и А. Фиоренца, Модульные неравенства для максимального оператора в переменных пространствах Лебега, Нелинейный анал. (2018), 10.1016/ж.на.2018.01.007. 10.1016/j.na.2018.01.007Поиск в Google Scholar
[5] Д. Крус-Урибе и А. Фиоренца, LlogL результаты для максимального оператора в переменных пространствах Lp, Транс. амер. Мат. соц. 361 (2009), вып. 5, 2631–2647. 10.1090/S0002-9947-08-04608-4Поиск в Google Scholar
[6]
Д. Крус-Урибе и А. Фиоренца,
Переменные пространства Лебега. Основы и гармонический анализ,
заявл. Число. Хармон. Анальный.,
Биркхойзер, Гейдельберг, 2013 г.
10.1007/978-3-0348-0548-3Поиск в Google Scholar
[7] Д. Крус-Урибе, А. Фиоренца и К. Дж. Нойгебауэр, Максимальная функция на переменных пространствах Lp, Анна. акад. науч. Фенн. Мат. 28 (2003), вып. 1, 223–238. Поиск в Google Scholar
[8] Д. Крус-Урибе, А. Фиоренца и К. Дж. Нойгебауэр, Исправления к: «Максимальная функция на переменных пространствах Lp» [ Энн. акад. науч. Фенн. Мат. 28 (2003), вып. 1, 223-238; MR1976842], Анна. акад. науч. Фенн. Мат. 29 (2004), вып. 1, 247–249. Поиск в Google Scholar
[9] Л. Дининг, П. Харьюлехто, П. Хастё и М. Ружичка, Пространства Лебега и Соболева с переменными показателями, Конспекты лекций по математике. 2017, Спрингер, Гейдельберг, 2011. 10.1007/978-3-642-18363-8Поиск в Google Scholar
[10]
Дж. Дуоандикоэчеа,
Анализ Фурье,
град. Стад. Мат. 29,
Американское математическое общество, Провиденс, 2001 г. Поиск в Google Академии
[11] А. Фиоренца, Несколько замечаний относительно результата Штейна LlogL, Дифференциальные интегральные уравнения 5 (1992), нет. 6, 1355–1362. Поиск в Google Scholar
[12] А. Фиоренца, О некоторых неравенствах в весовых пространствах Орлича Ренд. Мат. заявл. (7) 13 (1993), вып. 2, 421–430. Поиск в Google Scholar
[13] А. Фиоренца, В. Кокилашвили и А. Месхи, Максимальный оператор Харди – Литтлвуда во взвешенном пространстве большой переменной показателя Лебега, Медитерр. Дж. Матем. 14 (2017), вып. 3, статья ID 118. 10.1007/s00009-017-0921-yПоиск в Google Scholar
[14] Л. Греко, Т. Иванец и Г. Москариелло, Пределы улучшенной интегрируемости форм объема, Университет Индианы. Мат. J. 44 (1995), вып. 2, 305–339. 10.1512/iumj.1995.44.1990Поиск в Google Scholar
[15] П. А. Хястё, Максимальный оператор на обобщенных пространствах Орлича Дж. Функц. Анальный. 269 (2015), вып. 12, 4038–4048. 10.1016/j.jfa.2015.10.002Поиск в Google Scholar
[16]
П. А. Хястё,
Исправление к «Максимальному оператору в обобщенных пространствах Орлича» [ J. Функц. Анальный. 269 (2015) 4038-4048] [MR3418078],
Дж. Функц. Анальный. 271 (2016), вып. 1, 240–243.
10.1016/j.jfa.2016.04.005Поиск в Google Scholar
[17] В. Кокилашвили и М. Крбек, Весовые неравенства в пространствах Лоренца и Орлича, Всемирный научный журнал, River Edge, 1991. 10.1142/1367Поиск в Google Scholar
[18] В. Кокилашвили и А. Месхи, Максимальные операторы и операторы Кальдерона–Зигмунда в пространствах Лебега с большим переменным показателем, Грузинская математика. Журнал 21 (2014), вып. 4, 447–461. 10.1515/gmj-2014-0047Поиск в Google Scholar
[19] В. Кокилашвили, А. Месхи, Х. Рафейро и С. Самко, Интегральные операторы в нестандартных функциональных пространствах. Том. 1. Пространства Лебега с переменным показателем и амальгамы. Опер. Теория Adv. заявл. 248, Биркхойзер, Чам, 2016 г. 10.1007/978-3-319-21015-5_1Поиск в Google Scholar
[20]
Дж.