Алгоритм построения (вычисления) обратной матрицы
Статья — Алгоритм построения (вычисления) обратной матрицы| Домой | Софт | Мастерская | Лирика | ЧаВО | Юмор | 197-577-902 |
Описание алгоритма
Пусть А — исходная матрица, обратную к которой мы хотим найти.
n и k — кол-во строк и столбцов в ней соотвественно.
- Сначала проверим является ли А квадратной, т.е. совпадают ли n и k.
- Затем проверим равен ли определитель мартицы А нулю. Если он равен нулю, то обратной матрицы не существует.
- Создаем матрицу Inv равную единичной размерности nxn.
- А затем при помощи элементарных преобразований: сложения строк матрицы, умножения строки на число, перестановки столбцов и строк приведем матрицу A к единичной.
Причем, параллельно, те же самые преобразования будем производить и с матрицей
Inv (переставлять и складывать те же строки/столбцы, и умножать на это же число). - В результате, матрица Inv — будет являться обратной матрицей к исходной матрице A.
Рассмотрим четвертый шаг алгоритма более подробно.
Это цикл по количеству строк матрицы А. Каждая итерация цикла устроена следующим образом:
- На каждой итерации мы смотрим на элемент A(i,i). Если он равен нулю, то мы ищем в матрице А ненулевой элемент. Причем ищем его только в прямоугольнике (i, i, n, n) матрицы A. Если он найден, и его координаты (i2, j2), то меняем местами i-ую строку с i2-ой, и j-ый столбец с j2-ым. Те же перестановки делаем в матрице Inv.
- Делим i-ую строку матриц А и Inv на элемент A(i, i) (делить можно, т.к. мы на шаге 1 позаботились о том, чтобы этот элемент не был равен 0).
Таким образом элемент A(i, i) теперь равен 1.- При помощи вычитания i-й строки матрицы А, с определенным коэффициентом, из остальных ее строк зануляем все элементы стоящие выше и ниже элемента с индексом (i, i). С тем же коэфициентом вычитаем i-ую строку матрицы Inv из ее остальных строк.
Причем, параллельно, те же самые преобразования будем производить и с матрицей 
Пример
Припишем справа через черту матрицу Inv:
Вычтем из второй строки первую с коэффициентом 3:
Поделим вторую строку на -2:
Вычтем вторую строку из первой с коэффициентом 2:
Таким образом, обратная матрица равна:
Реализация
Скачать уже реализованный класс «Матрица» с методом нахождения обратной матрицы вы можете отсюда.
| Слава Антонов © 2002 — August 13, 2008 |
Матрица Эйзенхауэра: что это такое
Содержание
- Матрица Эйзенхауэра: что такое простыми словами
- Категории матрицы Эйзенхауэра
- Первая категория (важно/срочно)
- Вторая категория (важно, несрочно)
- Третья категория (срочно, неважно)
- Четвёртая категория (несрочно, неважно)
- Как применять матрицу Эйзенхауэра
- Где собирать матрицу Эйзенхауэра
- Советы по работе с матрицей
Матрица Эйзенхауэра: что такое простыми словами Матрица Эйзенхауэра — модель организации дел, которая помогает определить приоритеты и эффективно распределить время на задачи.
Цель — сосредоточиться на важных делах и проектах, не браться за ненужное. Эту модель придумал президент США Дуайт Эйзенхауэр, чтобы оптимизировать процесс принятия решений. Матрица Эйзенхауэра состоит из четырёх полей, категорий. Достаточно распределить все задачи по матрице — найти подходящее поле для каждого дела. […]
Матрица Эйзенхауэра: что такое простыми словами
Матрица Эйзенхауэра — модель организации дел, которая помогает определить приоритеты и эффективно распределить время на задачи. Цель — сосредоточиться на важных делах и проектах, не браться за ненужное. Эту модель придумал президент США Дуайт Эйзенхауэр, чтобы оптимизировать процесс принятия решений.
Матрица Эйзенхауэра состоит из четырёх полей, категорий. Достаточно распределить все задачи по матрице — найти подходящее поле для каждого дела. В итоге получится четыре списка задач. Слева вверху — приоритетные, справа внизу — те, которые можно оставить на потом или не делать.
Онлайн-обзор платформы Roistat
В прямом эфире расскажем, как сделать маркетинг эффективным
Подключиться
Пример: маркетинговый отдел банка обсуждает на встрече все текущие задачи, цель — решить, что нужно делать прямо сейчас, а что может подождать.
| Категория | Срочно | Не срочно |
| Важно | Запуск кампании для новой кредитной карты | Создание лендинга для вебинара |
| Не важно | Создание Telegram-канала на замену Instagram* | Запуск собственного медиа |
Матрица помогает определить, что в первую очередь нужно работать над новой рекламной кампанией, а запуск собственного медиа можно отложить.
Как настраивать рекламу в рекламной сети Яндекса — рассказали в блоге.
Преимущества матрицы Эйзенхауэра:
- подходит для любой сферы бизнеса и жизни;
- не требует изучения и специальной подготовки;
- легко составляется — нужно лишь определить список задач и рассортировать их по полям матрицы;
- быстро даёт результат — сразу видно, что задачи из поля «важно/срочно» нужно брать в работу;
- помогает оценивать эффективность текущего плана — увидите, какие дела и проекты отнимают много ресурсов и, возможно, не стоят затрат времени.
Категории матрицы Эйзенхауэра
Не всегда легко определить, какая задача важная, а какая срочная. Универсальной формулы не существует, определять критерии придётся самостоятельно. За основу можно взять определения важности и срочности:
- Срочные задачи нужно делать прямо сейчас, они неизбежны. Пример — перезвонить крупному клиенту, составить отчёт для сегодняшнего совета директоров.
- Важные задачи помогают достигать целей, на их выполнение есть время и силы, они мотивируют. Пример — изучить исследования по рынку, внедрить удобную CRM-систему.
Первая категория (важно/срочно)
Самые актуальные дела, отказ от которых угрожает помешать достижению цели. В этот список попадают «горящие» задачи — их нужно сделать как можно быстрее, они имеют наивысший приоритет.
Большое количество дел в этом поле — признак неэффективного распределения задач. Это значит, что человек берёт слишком много проектов и не успевает закрывать их в срок. Задачи копятся, сроки выполнения истекают — человек работает в стрессовой обстановке, пытаясь всё успеть.
Обычно такое поведение приводит к выгоранию или срыву дедлайнов. Важных и срочных дел должно быть немного.
Вторая категория (важно, несрочно)
В неё попадают задачи, требующие максимум времени и сил. Однако на выполнение таких задач есть время, они не «горят». Дела из второй категории можно выполнять в комфортном темпе, а значит — с максимальной эффективностью.
Они не отвлекают от основных целей, как задачи из следующей категории. Выполняя важные, но несрочные дела, человек уменьшает уровень стресса. Есть время сделать то, что приносит результат и приближает к достижению целей.
Единственный риск — если слишком затянуть с важными, но не срочными задачами, они перейдут в первую категорию.
Третья категория (срочно, неважно)
Рутинные, повседневные дела, дополнительные проекты. Обычно их выполнения ждут другие люди, однако срочные, но неважные задачи не приближают человека, команду или компанию к достижению целей.
Дела из третьей категории отвлекают от более важных проектов, однако их всё равно нужно делать.
Если набрать множество задач, высока вероятность смешать дела из первой и из третьей категории. В этом случае человек будет делать только срочные проекты, оставляя без внимания те задачи, которые нужно выполнить для достижения целей отдела или компании.
Например, менеджер берёт на себя много задач по одному проекту — договаривается с заказчиком, формирует ТЗ для дизайнера, самостоятельно запускает кампанию на первый сегмент аудитории и пишет тексты для креативов. В итоге времени для запуска второй кампании не остаётся. Компания не дополучает прибыль, которую могли принести пользователи из второго сегмента. Решение — делегировать задачи или отказаться от некоторых проектов.
Четвёртая категория (несрочно, неважно)
Ненужные дела, которые больше всего отвлекают от целей и по-настоящему важных проектов. Задачи в четвёртой категории есть всегда. Если их слишком много, высока вероятность не достичь поставленных целей.
Например, интернет-маркетолог вместо запуска новой рекламной кампании решает написать тексты для email-рассылки, которая должна быть отправлена только через месяц.
Дела из четвёртой категории могут бесконечно долго отвлекать от цели. В итоге маркетолог не приведёт нужное количество лидов.
Как работать с задачами четвёртой категории:
- следить, сколько времени уходит на каждую такую задачу в течение дня;
- придумать, чем их заменить или как ограничить время на их выполнение.
Как применять матрицу Эйзенхауэра
- Тайм-менеджмент. Основная сфера применения модели — распределить время так, чтобы успевать сделать важные задачи. Матрица Эйзенхауэра в тайм-менеджменте — удобный инструмент планирования. Её можно использовать для формирования личного расписания или для работы целой команды.
- Приоритезация задач. Матрица приоритетов Эйзенхауэра помогает разобраться с «горящими» проектами. Помогает понять, что срочные задачи будут сделаны вовремя и какие несрочные задачи можно отложить.
- Управление проектом. Матрицу используют в бизнес-командах на планировании или ревью, когда оценивают успехи работы и ищут способы повысить эффективность.
Где собирать матрицу Эйзенхауэра
- В онлайн-сервисах. Существует множество программ и инструментов для организации дел. В большинстве из них можно расставлять приоритеты — делить задачи по блокам матрицы Эйзенхауэра. В Notion создаётся отдельная страница для приоритизации задач. В Trello удобно распределять проекты по системе Канбан — назначать приоритеты карточкам с заданиями, добавлять метки и статусы, указывать дедлайны.
- В приложениях. На смартфоне удобно заполнять готовые шаблоны — не нужно ничего чертить, достаточно добавить задачи и распределить их по блокам. Полезные приложения: Taskman, Todoist, Focus Matrix.
- В блокноте или в тетради. Матрицу можно начертить от руки и заполнить категории. Выполненные задачи можно вычёркивать из списка.
Советы по работе с матрицей
- Установите комфортный лимит для каждого блока. Например, в одной категории не может быть больше 5 задач. Прежде чем добавить новую нужно выполнить одну из текущих.
- Начните заполнять матрицу с важных, но несрочных задач.
- Сперва внесите в своё расписание срочные и важные задачи, а потом — важные, но несрочные дела. Если осталось свободное время, добавьте неважные, но срочные проекты.
Прежде чем добавить новую нужно выполнить одну из текущих.*Meta и продукты компании — Instagram, Facebook — признаны экстремистскими организациями на территории РФ.
линейная алгебра — Почему обратная матрица включает деление на определитель?
Это только грубая версия ответа. Не стесняйтесь редактировать его.
Вот визуальное объяснение: Для начала нужно понять, что такое матрица и что такое определитель.
Матрица представляет линейное преобразование.
Мы можем думать о декартовой системе координат и применяемом к ней линейном преобразовании, переводящем $\hat{i}$ в (a,b) и $\hat{j}$ в (c,d).
Это преобразование может быть представлено матрицей $\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}$ .
Вектор, который изначально находился в (x,y), достигает новой позиции $$x \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} $$ $$= \begin{bmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{bmatrix}$$ Таким образом, новые координаты вектора равны $(ax+by,cx+dy)$. https://youtu.be/kYB8IZa5AuE
Видите ли, умножение матриц — это просто нахождение новых координат вектора, подвергшегося линейному преобразованию.
Итак, умножение матрицы 2×2 — это просто нахождение матрицы композиции двух линейных преобразований. Это поиск матрицы, которая при применении к векторному пространству дает тот же результат, что и применение одного преобразования за другим. https://youtu.be/XkY2DOUCWMU
Детерминант
Когда мы меняем базисные векторы и, следовательно, систему координат, любой квадрат, круг или любой вид области в системе координат расширяется или сжимается или остается прежним.
Определитель — это масштаб изменения площади. Если мы умножим начальную площадь на определитель, то получим конечную площадь.
https://youtu.be/Ip3X9LOh3dk
Нахождение обратной
Обратная матрица A — это матрица, умноженная на A, дает единичную матрицу.
Или, исходя из нашего понимания матрицы как преобразования, Обратное преобразование матрицы A (преобразование) — это преобразование, примененное к A, возвращает все векторы в исходное положение.
Если i и j изначально находились в $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 &1 \end{bmatrix}$ а затем преобразуется в $\begin{bmatrix} a & c\\ b& d \end{bmatrix}$, тогда мы можем сказать, что преобразование, обратное A, — это преобразование, которое возвращает i и j к их первоначальным координатам.
На данный момент координаты такие:
Теперь сначала мы вернем его, чтобы он совпадал с i и j. Помните, что мы должны сделать это с точки зрения преобразованных координат.
С начальной точки зрения
С преображенной точки зрения.
Теперь мы превратим этот прямоугольник в квадрат.
Для этого мы поменяем местами a и d, чтобы преобразованная версия a была уменьшена в d раз, а преобразованный вектор d был увеличен в а раз, что сделало его квадратным.
$$\begin{bmatrix} d & -c\\ -b& a \end{bmatrix}$$
Этот квадрат имеет площадь определителя A . Итак, чтобы преобразовать его в исходные i и j, мы должны сделать площадь равной 1. Итак, для этого мы делим это на определитель A.
Эта матрица при применении к A дает единичную матрицу, так что это обратная A.
Как я могу разделить две матрицы вместе?
Дата последнего обновления: 09 марта 2023 г.
•
Всего просмотров: 236.1k
•
Просмотров сегодня: 3.17k
Ответить
Проверено
236.1k+ просмотров
Подсказка: Прежде всего, нам нужно знать, что матрица представляет собой прямоугольное расположение элементов (чисел и ) в строки столбцы.
Технически матрицы не могут быть разделены. Но если вы помните основной принцип деления двух дробей, то одна дробь остается такой же, а другая дробь инвертируется и умножается на прежнюю дробь для выполнения деления. Аналогичным образом, если нам нужно разделить две матрицы вместе, мы должны взять обратную одну матрицу и умножить ее на другую матрицу.
Полный ответ:
Итак, если нам нужно разделить две матрицы вместе, мы должны взять обратную одну матрицу и умножить ее на другую матрицу. Но чтобы вынуть матрицу, мы должны убедиться, что матрица делителей квадратная, иначе однозначного решения не будет.
После проверки свойства обратимости мы должны проверить умножение двух матриц, которое может произойти или нет. Для этого нам нужно проверить, что количество столбцов в первой матрице должно совпадать с количеством строк во второй матрице.
Кроме того, Найдите определитель матрицы. если определитель отличен от нуля, мы сможем найти обратную эту матрицу.