Нахождение сложной производной: Производная сложной функции, примеры решений

Содержание

Нахождение производных сложной и обратных тригонометрических функций | План-конспект занятия по алгебре (10, 11 класс):

Нахождение производных сложной и обратных тригонометрических функций

Цель работы: овладение методами вычисления производной сложной и обратных тригонометрических функций.

Умение и навыки, которые должны приобрести студенты: самостоятельно вычислять производные сложных функций, осуществлять поиск информации с использованием компьютерной техники и Интернета

Формирование компетенций:.

Рекомендации по выполнению.

1.Разобрать решение примеров.

2.Выполнить задания тренажера, используя указания.

3.Оформить решение задач тренажера в тетради.

1.Разберите решение примеров:

Вычисление производных сложных функций осуществляется по правилу дифференцирования сложной функции:

Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто , а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
Функция – это сложная функция, причем многочлен является вложенной функцией , а – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является вложенной, а какая – внешней.

После того, как определены вложенная и внешняя функции применяют правило дифференцирования сложной функции .

Вычислим производную:

Сначала находят производную внешней функции , по формуле . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если заменить сложным выражением, в данном случае:

При выполнении вычислений вложенная функция не изменилась.

По формуле получаем:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Пример 2

Найти производную функции

Запишем

Определим где внешняя функция, а где вложенная. Для этого пробуем вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть вложенная функция. И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция.
По правилу дифференцирования сложной функции , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. По формуле вычисляем производную:

Пример 3

Найти производную функции

Для того чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это вложенная функция, а возведение в степень – внешняя функция.По правилу дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала , а для производной вложенной функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Пример 4

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение подставив значение . Если использовать для вычислений калькулятор, то сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение.

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой вложенной функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

По правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Вычислим производную показательной функции: .Вместо рассмотрим сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Теперь опять необходимо вычислить производную сложной функции взяв за вложенную функцию – арксинус, а за внешнюю функцию – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Далее находим по таблице производную арксинуса:

Пример 5

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

Далее дважды необходимо применить правило :

Согласно правилу , получаем:

Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

2.Выполните задания тренажера «Производная сложной функции»:

	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) ,
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) ,
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) .
	а) ,	б) ,
	в) ,	г) .
	а) ,	б) .
	в) ,	г) .

3.Оформить решение примеров в тетради.

4. По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме дифференцированного зачета.

Шкала оценки образовательных достижений

Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
Процент результативности (правильных ответов)	Балл (оценка)	Вербальный аналог
90-100	5	отлично
80-89	4	хорошо
70-79	3	удовлетворительно
менее 70	2	неудовлетворительно

Нахождение производных сложных функций, экзаменационный тест

Математика \ Высшая математика

Страницы работы

10 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Содержание работы

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ ТЕСТ (2 СЕМЕСТР)

Для каждой из данных функций укажите способ (правило) нахождения её производной y’(x).

1) Логарифмическая производная (1,6)

2) Производная функции заданной неявно (3,7)

3) Производная сложной функции (4,5)

4) Производная функции заданной параметрически (2)

2. Дана функция , x>0.

Найти производную функции , где

верного ответа нет

3. Найти производную функции , где

Информация о работе

Скачать файл

Выбери свой ВУЗ

АлтГТУ 419
АлтГУ 113
АмПГУ 296
АГТУ 267
БИТТУ 794
БГТУ «Военмех» 1191
БГМУ 172
БГТУ 603
БГУ 155
БГУИР 391
БелГУТ 4908
БГЭУ 963
БНТУ 1070
БТЭУ ПК 689
БрГУ 179
ВНТУ 120
ВГУЭС 426
ВлГУ 645
ВМедА 611
ВолгГТУ 235
ВНУ им. Даля 166
ВЗФЭИ 245
ВятГСХА 101
ВятГГУ 139
ВятГУ 559
ГГДСК 171
ГомГМК 501
ГГМУ 1966
ГГТУ им. Сухого 4467
ГГУ им. Скорины 1590

ГМА им. Макарова 299
ДГПУ 159
ДальГАУ 279
ДВГГУ 134
ДВГМУ 408
ДВГТУ 936
ДВГУПС 305
ДВФУ 949
ДонГТУ 498
ДИТМ МНТУ 109
ИвГМА 488
ИГХТУ 131
ИжГТУ 145
КемГППК 171
КемГУ 508
КГМТУ 270
КировАТ 147
КГКСЭП 407
КГТА им. Дегтярева 174
КнАГТУ 2910
КрасГАУ 345
КрасГМУ 629
КГПУ им. Астафьева 133
КГТУ (СФУ) 567
КГТЭИ (СФУ) 112
КПК №2 177
КубГТУ 138
КубГУ 109
КузГПА 182
КузГТУ 789
МГТУ им. Носова 369
МГЭУ им. Сахарова 232
МГЭК 249
МГПУ 165
МАИ 144
МАДИ 151
МГИУ 1179
МГОУ 121
МГСУ 331
МГУ 273
МГУКИ 101
МГУПИ 225
МГУПС (МИИТ) 637
МГУТУ 122
МТУСИ 179
ХАИ 656
ТПУ 455
НИУ МЭИ 640
НМСУ «Горный» 1701
ХПИ 1534
НТУУ «КПИ» 213
НУК им. Макарова 543
НВ 1001
НГАВТ 362
НГАУ 411
НГАСУ 817
НГМУ 665
НГПУ 214
НГТУ 4610
НГУ 1993
НГУЭУ 499
НИИ 201
ОмГТУ 302
ОмГУПС 230
СПбПК №4 115
ПГУПС 2489
ПГПУ им. Короленко 296
ПНТУ им. Кондратюка 120
РАНХиГС 190
РОАТ МИИТ 608
РТА 245
РГГМУ 117
РГПУ им.

Герцена 123
РГППУ 142
РГСУ 162
«МАТИ» — РГТУ 121
РГУНиГ 260
РЭУ им. Плеханова 123
РГАТУ им. Соловьёва 219
РязГМУ 125
РГРТУ 666
СамГТУ 131
СПбГАСУ 315
ИНЖЭКОН 328
СПбГИПСР 136
СПбГЛТУ им. Кирова 227
СПбГМТУ 143
СПбГПМУ 146
СПбГПУ 1599
СПбГТИ (ТУ) 293
СПбГТУРП 236
СПбГУ 578
ГУАП 524
СПбГУНиПТ 291
СПбГУПТД 438
СПбГУСЭ 226
СПбГУТ 194
СПГУТД 151
СПбГУЭФ 145
СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
ПИМаш 247
НИУ ИТМО 531
СГТУ им. Гагарина 114
СахГУ 278
СЗТУ 484
СибАГС 249
СибГАУ 462
СибГИУ 1654
СибГТУ 946
СГУПС 1473
СибГУТИ 2083
СибУПК 377
СФУ 2424
СНАУ 567
СумГУ 768
ТРТУ 149
ТОГУ 551
ТГЭУ 325
ТГУ (Томск) 276
ТГПУ 181
ТулГУ 553
УкрГАЖТ 234
УлГТУ 536
УИПКПРО 123
УрГПУ 195
УГТУ-УПИ 758
УГНТУ 570
УГТУ 134
ХГАЭП 138
ХГАФК 110
ХНАГХ 407
ХНУВД 512
ХНУ им.
Каразина 305
ХНУРЭ 325
ХНЭУ 495
ЦПУ 157
ЧитГУ 220
ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов 2

Но я не уверен и ошибся. пожалуйста, помогите мне.

Подписаться І 3

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые

Питер Г. ответил 10/10/16

Репетитор

4.9 (43)

Успехи в математике и английском языке; Магистр математики/логики; 99-й процентиль

Смотрите таких репетиторов

Посмотреть таких репетиторов

При дифференцировании всегда обращайте внимание на то, что является константой, а что функцией переменной. Здесь у вас есть константа, умноженная на 8 функцию, функция равна 7 ^-θ , поэтому сначала применяется правило константы. Затем вычисление производной от 7 ^-θ , вы пытаетесь использовать правило степени, но это правило для случаев, когда показатель степени является константой. Здесь показатель степени является функцией переменной θ, а основание является константой. Таким образом, мы используем правило d/dx e ^x = e ^x, объединенное сначала с тождеством, а затем с цепным правилом следующим образом: θ = e ^{— (ln 7) θ} .

d/dx 7 ^-θ = d/dx e ^{-(ln 7)θ}

= e ^{-(ln 7)θ} (d/dx -(ln 7)θ)

= e ^{-(ln 7)θ} (-ln 7)

По константному правилу в открытии мы имеем константу 8 впереди, что дает

= -8(ln 7)e ^{-(ln 7)θ}

= -8(ln 7)7 ^— ^θ .

(d) Вы совершаете одну ошибку, когда выполняете цепное правило с показателем степени 5z числа e. Производная от 5z равна 5, а не 5z. Также у вас есть сложенные дроби, поэтому используйте общий знаменатель в числителе, и у вас есть множитель e ^5z , которое можно вынести из числителя, а затем сократить с чем-то в знаменателе, что даст

(1-10z)/(2(√z)e ^5z )

Надеюсь, это поможет.

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Марк М. ответил 10/10/16

Репетитор

4.9 (920)

Пенсионер Матем. проф. Опытный репетитор Регентов по математике.

Об этом репетиторе ›

В части (d) производным от e ^5z является 5e ^5z , а не e ^5z (5z). В противном случае ваш ответ правильный.

Для части (c) нельзя использовать правило степени, поскольку показатель степени является переменной, а не константой.

Производная a ^u , где u – функция θ, определяется по формуле Dθ)

Таким образом, производная 8 (7 ^-θ) составляет 8 (LN7) (7 ^-θ) ( -1)

= -8 (LN7) (7 ^-θ )

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Яркая сторона математики

Здесь вы найдете всю серию моих видео о комплексном анализе в правильном порядке, и я также помогу вам с текстом вокруг видео. Если вы хотите проверить свои знания, воспользуйтесь викторинами и при необходимости просмотрите PDF-версию видео. Если у вас есть какие-либо вопросы, вы можете использовать комментарии ниже и спросить что-нибудь. Впрочем, без лишних слов начнем:

Часть 1 — Введение

Комплексный анализ – это серия видеороликов, которую я начал для всех, кто интересуется исчислением с комплексными числами и хочет расширить свои знания за пределами исчисления с действительными числами. Некоторые основные факты из моего курса «Настоящий анализ» необходимы, но они всегда упоминаются в видео.

YouTube Темный YouTube PDF Контрольный опрос

Теперь вы знаете основы, которые нам понадобятся, чтобы начать с этой серии. Некоторыми важными пунктами списка являются последовательности , непрерывность и производные для реальных функций. Тогда мы всегда будем расширять понятия до сложной сферы. Теперь в следующем видео давайте обсудим, что такое производная для сложной функции .

Часть 2. Комплексная дифференцируемость

Понятие производной является фундаментальным во многих математических темах. В моем курсе реального анализа вы уже научились определять его. Это буквально то же самое для сложных функций. Однако выводы из этого определения, которые мы можем сделать, могут быть разными. В следующем видео мы можем сразу определить, что значит функция сложный дифференцируемый . Поскольку это локальное свойство, мы должны зафиксировать точку в области определения функции. Однако, чтобы иметь смысл, домен должен быть открытым набором . Это общее понятие, сейчас тоже объясним:

YouTube Темный YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 3.

Комплексная производная и примеры

Теперь мы определим комплексную производную для функции и объясним получаемое из этого линейное приближение. Мы также объясняем некоторые примеры:

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 4. Голоморфные и целые функции 92 $

Преобразуем сложную функцию в реальную функцию:

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 6. Уравнения Коши-Римана

И теперь мы, наконец, можем поговорить о важных уравнениях Коши-Римана :

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 7.

Примеры уравнений Коши-Римана

Теперь рассмотрим примеров для уравнений Коши-Римана:

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 8. Производные Виртингера

Следующие производные Виртингера могут быть очень полезны для быстрых вычислений и дают красивую короткую формулу для уравнений Коши-Римана:

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 9 — Power Series

Теперь поговорим о силовой серии :

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 10.

Равномерная сходимость

Когда мы говорим о степенных рядах, понятие равномерной сходимости очень важно:

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 11 — Степенные ряды голоморфны — Доказательство

Докажем этот важный факт о степенных рядах :

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 12 — Exp, Cos и Sin как серия Power

Теперь поговорим о Exp , Cos и Sin как силовые серии:

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 13.

Комплексный логарифм

Зная экспоненциальную функцию, мы также можем определить обратную функцию, логарифм . Однако в комплексных числах это сложнее, чем в действительных числах.

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 14 — Степени

После определения логарифма мы можем определить степень в комплексных числах:

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 15 — Серия Laurent

Начнем с очень важной концепции: Laurent серии . Можно сказать, что они обобщают степенные ряды.

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 16.

Изолированные сингулярности

Узнав, что такое ряды Лорана, мы можем поговорить о другом важном понятии: изолированные особенности . Они также важны для голоморфных функций, которые не определены на всей комплексной плоскости.

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 17. Комплексное интегрирование на вещественных интервалах

Теперь мы, наконец, готовы распространить интеграл на комплексную область. Начнем с определения интеграл для функций на действительных интервалах :

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 18.

Комплексный контурный интеграл

На следующем этапе мы можем поговорить о важном контурном интеграле в комплексной плоскости. Начнем с определения и рассмотрим несколько простых примеров.

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 19. Свойства комплексного контурного интеграла

Теперь мы расширим комплексный интеграл до кусочно-непрерывно дифференцируемых путей и поговорим о важных свойствах контурного интеграла.

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 20. Первообразные

В следующем видео мы представляем примитивов для комплекснозначных функций. Более подходящее название — просто первопроизводных . Их можно использовать для вычисления контурных интегралов.

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 21. Замкнутые кривые и первообразные

Опираясь на предыдущее видео, мы также можем посмотреть на обратное утверждение. Можем ли мы заключить из того факта, что контурные интегралы вдоль замкнутых кривых равны нулю, что должна существовать первообразная ?

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 22. Теорема Гурса

Теперь мы готовы сформулировать и доказать знаменитую интегральную теорему, известную как Теорема Гурса .

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 23 — Теорема Коши

Итак, обобщим последний результат и сформулируем Теорема Коши для дисков .

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 24 — Номер обмотки

В следующем видео вернемся к кривым в комплексной плоскости. С помощью теоремы Коши мы узнали, что важно знать, лежит ли кривая в круге для области определения функции. Это гарантирует, что ни одна точка вне области не будет окружена кривой. Это необходимо для применения теоремы Коши, как показывает нам контрпример функции $ f(z) = \frac{1}{z} $. Следовательно, чтобы обобщить теорему, нужно говорить о номер обмотки для кривых и точек.

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 25. Теорема Коши (общая версия)

Узнав, как работает теорема Коши об интегрировании для дисков, мы можем обобщить ее еще на две общие области. В частности, мы можем явно доказать Теорема Коши для большего количества областей :

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 26 — Контур замочной скважины

В следующем видео мы поговорим об особом контурном интеграле. Мы называем это контуром замочной скважины , потому что он похож на него. Используя интегральную теорему Коши, мы можем показать очень важный факт для голоморфных функций с изолированной особенностью.

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 27. Интегральная формула Коши

И теперь, наконец, мы можем доказать одну из самых важных формул комплексного анализа: Интегральная формула Коши

YouTube PDF Контрольный опрос 9\infty $-функция.

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 29.

Теорема Лиувилля

Следующий результат очень известен. Это Теорема Лиувилля . Он утверждает, что каждое целое либо постоянно, либо неограниченно. Для доказательства этого факта нам понадобится неравенств Коши , которые объясняют, насколько могут расти производные голоморфных функций.

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 30. Теорема о тождестве

Как следствие последних результатов, мы можем доказать знаменитую теорему о тождестве .

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 31. Применение теоремы о тождестве

Далее давайте посмотрим на несколько хороших приложений вышеописанной теоремы о тождестве.

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 32 — Остаток

Остаток является важным понятием в комплексном анализе.

YouTube PDF Контрольный опрос

Часть 33. Остаток для полюсов

Конечно, остаток полезен как концепция только в том случае, если мы можем найти для него дополнительные правила расчета. Для изолированных особенностей, которые являются так называемыми полюсами , мы находим очень хорошую формулу:

YouTube PDF Контрольный опрос

Нахождение производных сложной и обратных тригонометрических функций | План-конспект занятия по алгебре (10, 11 класс):

Нахождение производных сложных функций, экзаменационный тест

Страницы работы

Содержание работы

Похожие материалы

Информация о работе

2 ответа от опытных наставников

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

ИЛИ

Яркая сторона математики

Часть 1 — Введение

Часть 2. Комплексная дифференцируемость

Часть 3.

Часть 4. Голоморфные и целые функции 92 $

Часть 6. Уравнения Коши-Римана

Часть 7.

Часть 8. Производные Виртингера

Часть 9 — Power Series

Часть 10.

Часть 11 — Степенные ряды голоморфны — Доказательство

Часть 12 — Exp, Cos и Sin как серия Power

Часть 13.

Часть 14 — Степени

Часть 15 — Серия Laurent

Часть 16.

Часть 17. Комплексное интегрирование на вещественных интервалах

Часть 18.

Часть 19. Свойства комплексного контурного интеграла

Часть 20. Первообразные

Часть 21. Замкнутые кривые и первообразные

Часть 22. Теорема Гурса

Часть 23 — Теорема Коши

Часть 24 — Номер обмотки

Часть 25. Теорема Коши (общая версия)

Часть 26 — Контур замочной скважины

Часть 27. Интегральная формула Коши

Часть 29.

Часть 30. Теорема о тождестве

Часть 31. Применение теоремы о тождестве

Часть 32 — Остаток

Часть 33. Остаток для полюсов

Часть 34.

Добавить комментарий Отменить ответ