Найдите две какие нибудь правильные дроби с разными знаменателями: найдите две какие-нибудь правильные дроби с разными знаменателями частное которых равно 3/5​

Мерзляк 5 класс — § 26. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей

• Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк
• Переход на главную страницу сайта

Вопросы к параграфу

1. Чему равна дробь, у которой числитель равен знаменателю?

Если числитель дроби равен знаменателю, то дроби равна единице.

2. Какую дробь называют правильной?

Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной.

3. Какую дробь называют неправильной?

Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной.

4. Какая из двух дробей с равными знаменателями больше? Меньше?

• Из двух дробей  одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
• Из двух дробей с одинаковыми меньше та, у которой числитель меньше.

5. Сравните с единицей любую правильную дробь; любую неправильную дробь.

• Все правильные дроби меньше единицы.
• Все неправильные дроби больше либо равны единице (в случае если числитель равен знаменателю).

6. Сравните любую неправильную дробь с любой правильной дробью.

Каждая неправильная дробь больше любой правильной дроби.

Каждая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.

7. Какая из двух дробей с одинаковыми числителями больше? Меньше?

• Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
• Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше.

Решаем устно

1. Какую часть составляет:

1) длина стороны квадрата от его периметра

2) секунда от часа

3) угол, градусная мера которого равна 15° от прямого угла

4) угол, градусная мера которого равна 20°, от развёрнутого угла

2. Дима находится в школе с 8 ч 30 мин до 14 ч 30 мин. Какую часть суток Дима проводит в школе?

1) 14 ч 30 мин — 8 ч 30 мин = 6 ч — время, которое Дима проводит в школе.

2) 6 ч = суток.

Ответ: Дима проводит в школе суток.

3. Ваня собрал 35 грибов, из которых составляют белые. Сколько белых грибов собрал Ваня?

35 : 7 • 4 = 5 • 4 = 20 (грибов) — белые.

Ответ: 20 белых грибов.

4. В саду растёт 36 вишнёвых деревьев, что составляет всех деревьев. Сколько деревьев растёт в саду?

36 : 9 • 4 = 6 • 4 = 24 (дерева) — вишнёвые.

Ответ: 24 вишнёвых дерева.

5. Пешеход и велосипедист отправились навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми равно 28 км. Пешеход до встречи прошёл  пути. Сколько километров проехал до встречи велосипедист?

1) 28 : 7 • 2 = 2 • 2 = 4 (км) — прошёл пешеход до встречи.

2) 28 — 4 = 24 (км) — проехал велосипедист до встречи.

Ответ: 24 км.

Упражнения

719. Запишите все правильные дроби со знаменателем 8.

,    , ,  ,  ,  ,  .

720. Запишите все правильные дроби со знаменателем 11.

,  ,  ,  , ,  ,  ,  ,  ,  .

721. Запишите все неправильные дроби с числителем 8.

,  ,  ,  ,  ,  , ,  .

722. Запишите все неправильные дроби с числителем 11.

,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ,  .

723. Сравните числа:

1) <   2) >   3) >

4) <   5) >   6) >

7) < 1   8) > 1   9) = 1

10) =   11) <    12) <

724. Сравните числа:

1) >    2) <   3) <

4) >   5) <   6) <

7) 1>    8) 1 <   9) 1 =

10) =   11) <   12) >

725.

Расположите дроби в порядке убывания:

,  ,  ,  , , .

726. Расположите дроби в порядке возрастания:

,  ,  ,  , ,  .

727. Масса осколка Царь-колокола равна 11 500 кг. Масса царь-колокола составляет —  массы этого осколка. Найдите массу Царь-колокола.

1) 11 500 : 23 • 400 = 500 •  400 = 200 000 (кг) — масса Царь-колокола.

Ответ: 200 000 кг.

728. Порция пельменей в кафе «Пампушечка» состоит из 18 пельменей. Иван Гурманов съедает за обедом порции. Сколько пельменей съедает за обедом Иван? На сколько пельменей больше одной порции он съедает?

1) 18 : 9 • 20 = 2 • 20 = 40 (шт) — пельменей съедает Иван Гурманов.

2) 40 — 18 = 22 (шт) — пельменей съедает Иван Гурманов больше одной порции.

Ответ: 40 штук пельменей, на 22 штуки больше одной порции.

729. Найдите все натуральные значения x, при которых дробь будет правильной.

Дробь будет правильной при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

730. Найдите все натуральные значения х, при которых дробь будет правильной.

Дробь будет правильной при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

731. Найдите все натуральные значения х, при которых дробь будет неправильной.

Дробь будет неправильной при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

732. Найдите все натуральные значения х, при которых дробь будет неправильной.

Дробь будет неправильной при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

733. Найдите все натуральные значения х, при которых выполняется неравенство:

1)  < , при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

2)  <  , при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

734. Найдите все натуральные значения х, при которых выполняется неравенство:

1)  >  , при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2)  >  , при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

735. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы: 

1) дробь  была неправильной

, ,  — неправильные дроби.

Значит можно подставить вместо звёздочек цифры 7, 8 и 9.

2) дробь   была правильной

,  — правильные дроби.

Значит можно подставить вместо звёздочек цифры 8 и 9.

736. Найдите все натуральные значения b, при которых дробь   будет правильной.

Дробь называют правильной, если числитель дроби меньше, чем её знаменатель.

Значит:

3b + 2 < 16
3b <  16 — 2
3b < 14

Такое соотношение возможно, если b = 1, 2, 3, 4.

737. Найдите все натуральные значения b, при которых дробь    будет правильной.

Дробь называют неправильной, если числитель дроби больше, чем её знаменатель или если числитель равен знаменателю.

Значит:

42 ≥ 10 + 4b
42 — 10 ≥ 4b
32 ≥ 4b

Такое соотношение возможно, если b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

738. Найдите все натуральные значения а, при которых:

1) обе дроби   и    будут правильными

Дробь    будет правильной при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11.

Дробь     будет правильной при а = 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т.д.

Значит, обе дроби будут правильными при а = 8, 9, 10 и 11.

Ответ: а = 8, 9, 10 и 11.

2) дробь    будет правильной, а дробь —   неправильной

Дробь     будет правильной при а = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и т.д.

Дробь    будет неправильной при а = 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Значит, первая дробь будет правильной , а вторая неправильной при а = 4, 5 и 6.

Ответ: а = 4, 5 и 6.

739. Найдите все натуральные значения а, при которых:

1) обе дроби     и    будут неправильными

Дробь    будет неправильной при а = 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 и т.д.

Дробь   будет неправильной при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Значит, обе дроби будет неправильными при а = 8 и 9.

Ответ: а = 8 и 9.

2) обе дроби    и    будут неправильными, а дробь  — правильной.

Дробь будет неправильной при а = 10, 11, 12, 13, 14, 15 и т. д.

Дроби будет неправильной при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 и 15.

Дробь будет правильной при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12.

Значит, первые две дроби будет неправильными, а третья дробь правильной при а = 10, 11 и 12.

Ответ: а = 10, 11 и 12.

Упражнения для повторения

740. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 180 дм³, а два его измерения — 6 дм и 15 дм. Найдите сумму длин всех рёбер параллелепипеда.

Дано:

a = 6 дм
b = 15 дм
V = 180 дм³
c = ? см
Сумма длин всех рёбер параллелепипеда = ? дм

Решение:

V = abc, значит c = V : (ab)

1) 180 : (6 • 15) = 180 : 90 = 2 (дм) — длина третьего измерения прямоугольного параллелепипеда.

Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда = 4a + 4b + 4c.

2) 4 • 6 + 4 • 15 + 4 • 2 = 24 + 60 + 8 = 92 (см) — сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 92 см.

741. Из двух городов, расстояние между которыми равно 392 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Скорость одного автомобиля равна 48 км/ч, что составляет скорости второго. Какое расстояние будет между автомобилями через 5 ч после начала движения?

1) 48 : 6 • 7 = 8 • 7 = 56 (км/ч) — скорость второго автомобиля.

2) 48 • 5 = 240 (км) — проехал за 5 часов первый автомобиль.

3) 56 • 5 = 280 (км) — проехал за 5 часов второй автомобиль.

4) 240 + 280 = 520 (см) — проехали за 5 часов оба автомобиля.

5) 520 — 392 = 128 (км) — будет расстояние между автомобилями через 5 часов.

Ответ: 128 км.

Задача от мудрой совы

742. Мартышка, Удав, Слонёнок и Попугай съели вместе 70 бананов, причём каждый из них съел хотя бы один банан. Мартышка съела больше, чем кто-либо из них, Попугай и Слонёнок съели вместе 45 бананов. Сколько бананов съел Удав?

1) 70 — 45 = 25 (бананов) — съели Мартышка и Удав.

2) 25 — 1 = 24 (банана) — самое большое количество бананов, которое могла съесть Мартышка.

И Слонёнок, и Удав, и Попугай съели меньше, чем Мартышка — меньше, чем 24 банана.

Найдём два числа, которые меньше чем 24, и сумма которых равна 45. Единственная пара подходящих чисел — это числа 23 и 22 (23 + 22 = 45).

Значит: 

• Слонёнок съел 22 или 23 банана
• Попугай съел 22 или 23 банана
• Мартышка съела 24 банана — самое большое число
• Удав съел 1 банан (25 — 24 = 1).

Ответ: Удав съел 1 банан.

• Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк
• Переход на главную страницу сайта

Как решать дроби с разными знаменателями. Вычитание дробей из целого числа

Содержание урока

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
2. Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4.

Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

1. Найти НОК знаменателей дробей;
2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается , если они имеют общий делитель, бóльший единицы.

Например, выражение можно вычислить двумя способами.

Первый способ . Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:

Второй способ . Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4 , поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:

Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:

Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:

А вот к примеру выражение можно вычислить только первым способом — умножить 7 на знаменатель дроби , а знаменатель оставить без изменений:

Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.

Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:

Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением деление выполнено только в числителе, поскольку записать это всё равно, что записать . Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

Дробные выражения сложны для понимания ребёнком. У большинства возникают сложности, связанные с . При изучении темы «сложение дробей с целыми числами», ребёнок впадает в ступор, затрудняясь решить задание. Во многих примерах перед тем как выполнить действие нужно произвести ряд вычислений. Например, преобразовать дроби или перевести неправильную дробь в правильную.

Объясним ребёнку наглядно. Возьмём три яблока, два из которых будут целыми, а третье разрежем на 4 части. От разрезанного яблока отделим одну дольку, а остальные три положим рядом с двумя целыми фруктами. Получим ¼ яблока в одной стороне и 2 ¾ — в другой. Если мы их соединим, то получим целых три яблока. Попробуем уменьшить 2 ¾ яблока на ¼, то есть уберём ещё одну дольку, получим 2 2/4 яблока.

Рассмотрим подробнее действия с дробями, в составе которых присутствуют целые числа:

Для начала вспомним правило вычисления для дробных выражений с общим знаменателем:

На первый взгляд всё легко и просто. Но это касается только выражений, не требующих преобразования.

Как найти значение выражения где знаменатели разные

В некоторых заданиях необходимо найти значение выражения, где знаменатели разные. Рассмотрим конкретный случай:
3 2/7+6 1/3

Найдём значение данного выражения, для этого найдём для двух дробей общий знаменатель.

Для чисел 7 и 3 – это 21. Целые части оставляем прежними, а дробные – приводим к 21, для этого первую дробь умножаем на 3, вторую – на 7, получаем:
6/21+7/21, не забываем, что целые части не подлежат преобразованию. В итоге получаем две дроби с одним знаменателям и вычисляем их сумму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Что если в результате сложения получается неправильная дробь, которая уже имеет целую часть:
2 1/3+3 2/3
В данном случае складываем целые части и дробные, получаем:
5 3/3, как известно, 3/3 – это единица, значит 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

С нахождением суммы всё понятно, разберём вычитание:

Из всего сказанного вытекает правило действий над смешанными числами, которое звучит так:

• Если же от дробного выражения необходимо вычесть целое число, не нужно представлять второе число в виде дроби, достаточно произвести действие только над целыми частями.

Попробуем самостоятельно вычислить значение выражений:

Разберём подробнее пример под буквой «м»:

4 5/11-2 8/11, числитель первой дроби меньше, чем второй. Для этого занимаем одно целое число у первой дроби, получаем,
3 5/11+11/11=3 целых 16/11, отнимаем от первой дроби вторую:
3 16/11-2 8/11=1 целая 8/11

• Будьте внимательны при выполнении задания, не забывайте преобразовывать неправильные дроби в смешанные, выделяя целую часть. Для этого необходимо значение числителя разделить на значение знаменателя, то что получилось, встаёт на место целой части, остаток – будет числителем, например:

19/4=4 ¾, проверим: 4*4+3=19, в знаменателе 4 остаётся без изменений.

Подведём итог:

Перед тем как приступить к выполнению задания, связанного с дробями, необходимо проанализировать, что это за выражение, какие преобразования нужно совершить над дробью, чтобы решение было правильным. Ищите более рациональные способ решения. Не идите сложными путями. Распланируйте все действия, решайте сначала в черновом варианте, затем переносите в школьную тетрадь.

Чтобы не произошло путаницы при решении дробных выражений, необходимо руководствоваться правилом последовательности. Решайте всё внимательно, не торопясь.

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти , а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)

В буквенном виде получаем такую формулу:

\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)

Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)

Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\) б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\) б) \(5\frac{1}{3}\)

а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\) б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\) в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)

Ответ: весь торт съели.

Одними из самых сложных для понимания школьника являются разные действия с простыми дробями. Это связано с тем, что детям еще сложно мыслить абстрактно, а дроби, по сути, для них именно так и выглядят. А потому, излагая материал, учителя часто прибегают к аналогиям и объясняют вычитание и сложение дробей буквально на пальцах. Хотя без правил и определений не обходится ни один урок школьной математики.

Базовые понятия

Прежде чем приступить к любым , желательно усвоить несколько базовых определений и правил. Изначально важно понимать, что такое дробь. Под ней подразумевается число, представляющее собой одну или несколько долей единицы. Например, если буханку разрезать на 8 частей и 3 ломтика из них выложить в тарелку, то 3/8 и будет дробью. Причем в таком написании это будет простой дробью, где число над чертой — это числитель, а под ней — знаменатель. А вот если ее записать как 0,375, это уже будет десятичная дробь.

К тому же простые дроби подразделяют на правильные, неправильные и смешанные. К первым относят все те, числитель которых меньше знаменателя. Если наоборот, знаменатель меньше числителя, это уже будет неправильная дробь. В случае если перед правильной стоит целое число, говорят о смешанных числах. Таким образом, дробь 1/2 — правильная, а 7/2 — нет. А если ее записать в таком виде: 3 1 / 2 , то она станет смешанной.

Чтобы легче было разобраться в том, что такое сложение дробей, и с легкостью его выполнять, важно еще запомнить Его суть в следующем. Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то дробь не изменится. Именно это свойство позволяет совершать простейшие действия с обыкновенными и другими дробями. По факту это означает, что 1/15 и 3/45, по сути, одно и то же число.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Выполнение этого действия обычно не вызывает больших затруднений. Сложение дробей в этом случае очень сильно напоминает подобное действие с целыми числами. Знаменатель остается без изменений, а числители просто складываются между собой. Например, если нужно сложить дроби 2/7 и 3/7, то решение школьной задачи в тетради будет вот таким:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

К тому же такое сложение дробей можно объяснить на простом примере. Взять обычное яблоко и разрезать, например, на 8 частей. Выложить отдельно сначала 3 части, а затем добавить к ним еще 2. И в результате в чашке будет лежать 5/8 целого яблока. Саму арифметическую задачу записывают, как показано ниже:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Но зачастую встречаются задачи посложнее, где нужно сложить между собой, например, 5/9 и 3/5. Вот здесь и возникают первые сложности в действиях с дробями. Ведь сложение таких чисел потребует дополнительных знаний. Теперь в полной мере потребуется вспомнить об их основном свойстве. Чтобы сложить дроби из примера, для начала их нужно привести к одному общему знаменателю. Для этого необходимо просто перемножить 9 и 5 между собой, числитель «5» умножить на 5, а «3», соответственно, на 9. Таким образом, уже складываются такие дроби: 25/45 и 27/45. Теперь только осталось сложить числители и получить ответ 52/45. На листке бумаги пример будет выглядеть так:

5/9 + 3/5 = (5 х 5)/(9 х 5) + (3 х 9)/(5 х 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/45 = 1 7 / 45 .

Но сложение дробей с такими знаменателями не всегда требует простого перемножения чисел под чертой. Сначала ищут наименьший общий знаменатель. К примеру, как для дробей 2/3 и 5/6. Для них это будет число 6. Но не всегда ответ очевиден. В этом случае стоит вспомнить правило поиска наименьшего общего кратного (сокращенно НОК) двух чисел.

Под ним понимают наименьший общий множитель двух целых чисел. Чтобы его найти, раскладывают каждое на простые множители. Теперь выписывают те из них, которые входят хотя бы один раз в каждое число. Перемножают их между собой и получают тот самый знаменатель. На деле все выглядит немного проще.

Например, требуется сложить дроби 4/15 и 1/6. Так, 15 получается перемножением простых цифр 3 и 5, а шесть — два и три. Значит, НОК для них будет 5 х 3 х 2 = 30. Теперь, разделив 30 на знаменатель первой дроби, получим множитель для ее числителя — 2. А для второй дроби это будет число 5. Таким образом, остается сложить обыкновенные дроби 8/30 и 5/30 и получить ответ 13/30. Все предельно просто. В тетради же следует эту задачу записать так:

4/15 + 1/6 = (4 х 2)/(15 х 2) + (1 х 5)/(6 х 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

НОК (15, 6) = 30.

Сложение смешанных чисел

Теперь, зная все основные приемы в сложении простых дробей, можно попробовать свои силы на более сложных примерах. И это будут смешанные числа, под которыми понимают дробь такого вида: 2 2 / 3 . Здесь перед правильной дробью выписана целая часть. И многие путаются при совершении действий с такими числами. В действительности, здесь работают все те же правила.

Чтобы сложить между собой смешанные числа, отдельно складывают целые части и правильные дроби. А затем уже суммируют эти 2 результата. На практике все намного проще, стоит только немного поупражняться. Например, в задаче требуется сложить такие смешанные числа: 1 1 / 3 и 4 2 / 5 . Чтобы это сделать, сначала складываются 1 и 4 — получится 5. Затем суммируют 1/3 и 2/5, используя приемы приведения к наименьшему общему знаменателю. Решением будет 11/15. А окончательный ответ — это 5 11 / 15 . В школьной тетради это будет выглядеть гораздо короче:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Сложение десятичных дробей

Помимо обыкновенных дробей, есть и десятичные. Они, кстати, намного чаще встречаются в жизни. Например, цена в магазине выглядит часто таким образом: 20,3 рубля. Это и есть та самая дробь. Конечно, такие складывать намного проще, чем обыкновенные. В принципе, нужно просто сложить 2 обыкновенных числа, главное, в нужном месте поставить запятую. Вот тут и возникают сложности.

К примеру требуется сложить такие 2,5 и 0,56. Чтобы сделать это правильно, нужно к первой в конце дописать ноль, и все будет в порядке.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Важно знать, что любая десятичная дробь может быть преобразована в простую, но не любую простую дробь можно записать как десятичную. Так, из нашего примера 2,5 = 2 1 / 2 и 0,56 = 14/25. А вот такая дробь, как 1/6, будет только приблизительно равна 0,16667. Такая же ситуация будет с другими подобными числами — 2/7, 1/9 и так далее.

Заключение

Многие школьники, не понимая практической стороны действий с дробями, относятся к этой теме спустя рукава. Однако в более эти базовые знания позволят щелкать как орешки сложные примеры с логарифмами и нахождением производных. А потому стоит один раз хорошо разобраться в действиях с дробями, чтобы потом не кусать от досады локти. Ведь вряд ли педагог в старших классах будет возвращаться к этой, уже пройденной, теме. Любой старшеклассник должен уметь выполнять подобные упражнения.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Понятие о НОК
Приведение дробей к одному знаменателю
Как сложить целое число и дробь

1 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК.

3 Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

1. Разложить эти числа на простые множители
2. Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
3. Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
4. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

4Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители . Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.

5Как сложить целое число и дробь

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например.

Как решить примеры с разными знаменателями. Сложение дробей с разными знаменателями методом нахождения общего кратного. Вычитание простых дробных величин, имеющих разный знаменатель

Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, — вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:

В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5 − 2 = 3 . Получается, что 5 8 — 2 8 = 3 8 .

Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.

Определение 1

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде a b — c b = a — c b .

Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры.

Пример 1

Вычтите из дроби 24 15 обыкновенную дробь 17 15 .

Решение

Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24 . Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 7 15 .

Наши подсчеты можно записать так: 24 15 — 17 15 = 24 — 17 15 = 7 15

Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.

Пример 2

Найдите разность 37 12 — 15 12 .

Решение

Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 37 12 — 15 12 = 37 — 15 12 = 22 12

Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 11 6 . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 11 6 = 1 5 6 .

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Определение 2

Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Рассмотрим на примере, как это делается.

Пример 3

Вычтите из 2 9 дробь 1 15 .

Решение

Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45 . Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5 , а для второй – 3 .

Подсчитаем: 2 9 = 2 · 5 9 · 5 = 10 45 1 15 = 1 · 3 15 · 3 = 3 45

У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45

Краткая запись решения выглядит так: 2 9 — 1 15 = 10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45 .

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Пример 4

Найдите разность 19 9 — 7 36 .

Решение

Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 76 9 и 7 36 .

Считаем ответ: 76 36 — 7 36 = 76 — 7 36 = 69 36

Результат можно сократить на 3 и получить 23 12 . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ — 1 11 12 .

Краткая запись всего решения — 19 9 — 7 36 = 1 11 12 .

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.

Пример 5

Найдите разность 83 21 – 3 .

Решение

3 – то же самое, что и 3 1 . Тогда можно подсчитать так: 83 21 — 3 = 20 21 .

Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби 83 21 при выделении целой части получится 83 21 = 3 20 21 .

Теперь просто вычтем 3 из него: 3 20 21 — 3 = 20 21 .

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.

Пример 6

Найдите разность: 7 — 5 3 .

Решение

Сделаем 7 дробью 7 1 . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7 — 5 3 = 5 1 3 .

Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.

Определение 3

Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1 . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

Пример 7

Вычислите разность 1 065 — 13 62 .

Решение

Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065 — 13 62 = (1064 + 1) — 13 62

Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064 + 1 — 13 62 . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 1 1 .

Получается, что 1 — 13 62 = 1 1 — 13 62 = 62 62 — 13 62 = 49 62 .

Теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 1064 49 62 .

Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:

1065 — 13 62 = 1065 1 — 13 62 = 1065 · 62 1 · 62 — 13 62 = 66030 62 — 13 62 = = 66030 — 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

Пример 8

Вычислите разность 644 — 73 5 .

Решение

Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.

Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: 630 — 3 5 = (629 + 1) — 3 5 = 629 + 1 — 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Свойства вычитания при работе с дробями

Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.

Пример 9

Найдите разность 24 4 — 3 2 — 5 6 .

Решение

Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 25 4 — 3 2 , а потом отнимем от нее последнюю дробь:

25 4 — 3 2 = 24 4 — 6 4 = 19 4 19 4 — 5 6 = 57 12 — 10 12 = 47 12

Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог — 3 11 12 .

Краткая запись всего решения:

25 4 — 3 2 — 5 6 = 25 4 — 3 2 — 5 6 = 25 4 — 6 4 — 5 6 = = 19 4 — 5 6 = 57 12 — 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.

Пример 10

Н айдите разность 98 + 17 20 — 5 + 3 5 .

Решение

Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98 + 17 20 — 5 + 3 5 = 98 + 17 20 — 5 — 3 5 = 98 — 5 + 17 20 — 3 5

Завершим расчеты: 98 — 5 + 17 20 — 3 5 = 93 + 17 20 — 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

• правильные;
• неправильные;
• смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Понятие о НОК
Приведение дробей к одному знаменателю
Как сложить целое число и дробь

1 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК.

3 Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

1. Разложить эти числа на простые множители
2. Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
3. Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
4. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

4Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители . Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.

5Как сложить целое число и дробь

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например.

Рассмотрим дробь $\frac63$. Ее величина равна 2, так как $\frac63 =6:3 = 2$. А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? $\frac63 \times 2=\frac{12}{6}$. Очевидно, величина дроби не изменилась, так $\frac{12}{6}$ как у также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и получить $\frac{18}{9}$, или на 27 и получить $\frac{162}{81}$ или на 101 и получить $\frac{606}{303}$. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что не изменилась.

Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби $\frac{120}{60}$ (равной 2) разделить на 2 (результат $\frac{60}{30}$), или на 3 (результат $\frac{40}{20}$), или на 4 (результат $\frac{30}{15}$) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.

Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу .

Если числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ умножить на 2, мы получим $\frac{2}{6}$, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$ идентичны. Сформулируем общее правило.

Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется.

Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.

Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби $\frac{126}{189}$ на 63 и получить дробь $\frac{2}{3}$ с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример. Числитель и знаменатель дроби $\frac{155}{31}$ можем разделить на 31 и получить дробь $\frac{5}{1}$ или 5, поскольку 5:1=5.

В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1 . Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть $\frac{273}{1}$ равно 273; $\frac{509993}{1}$ равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на , поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: $\frac{15}{1}+\frac{15}{1}=\frac{30}{1}$, $\frac{4}{1} \times \frac{3}{1}=\frac{12}{1}$.

Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами. Например, чтобы научится складывать дроби с разными знаменателями . Предположим, нам надо сложить $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$.

Мы знаем, что складывать можно только те дроби, знаменатели которых равны. Значит, нам нужно научиться приводить дроби к такому виду, когда их знаменатели равны. В этом случае нам опять пригодится то, что можно умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же число без изменения ее величины.

Сначала умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ на 5. Получим $\frac{5}{15}$, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ на 3. Получим $\frac{3}{15}$, опять величина дроби не изменилась. Следовательно, $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$.

Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.

Нам надо сложить $3 + \frac{1}{3}+1\frac{1}{4}$. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: $\frac31 + \frac{1}{3}+\frac{5}{4}$. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй — на 4, а третьей — на 3. В результате получаем $\frac{36}{12} + \frac{4}{12}+\frac{15}{12}$, что равно $\frac{55}{12}$. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби , ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей: $\frac{55}{12} = \frac{48}{12}+\frac{7}{12}$ или $4\frac{7}{12}$.

Все правила, позволяющие проводить операции с дробями , которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1: 3 можно записать как $\frac{-1}{3}$, а 1: (-3) как $\frac{1}{-3}$.

Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при деле­нии положительного числа на отрицатель­ное в результате мы получаем отрицатель­ные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть

$(-1) : 3 = \frac{1}{3}$ или $1: (-3) = \frac{1}{-3}$. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.

С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как $\frac{-1}{-3}$, а поскольку при деле­нии отрицательного числа на отрицатель­ное число мы получаем положительное число, то $\frac{-1}{-3}$ можно записать как $+\frac{1}{3}$.

Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дро­бей. Например, что такое $1- 1\frac13$? Пред­ставим оба числа в виде дробей и получим $\frac{1}{1}-\frac{4}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю и получим $\frac{1 \times 3}{1 \times 3}-\frac{4}{3}$, то есть $\frac{3}{3}-\frac{4}{3}$, или $-\frac{1}{3}$.

Действия с дробями.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования — мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.

Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.

Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.

Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.

А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями — это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.

Сложение и вычитание дробей.

Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:

Короче, в общем виде:

А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:

Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.

Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .

Ещё пример:

Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:

Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:

Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!

Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:

И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.

Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений…

Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой… Должно получиться 29/16.

Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах… И ничего не забыл.

А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да…

Итак, нам надо сложить два дробных выражения:

Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:

И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби — на х. Получится вот что:

Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки. ..

В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:

Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!

И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе — само число, в знаменателе — единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами — то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т. д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.

Ну, по сложению — вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой — повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)

Вычислить:

Ответы (в беспорядке):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Умножение/деление дробей — в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Как сложить 3 дроби с разными знаменателями?

Дроби могут быть определены как числа, которые могут быть представлены в виде A/B , где A и B — целые числа, а B не должно быть равно нулю. В дроби верхняя часть называется Числитель , а нижняя часть называется Знаменатель.

Примеры: 1/2, 4/5, -2/3 и т. д.

Сложение дробей

Для сложения дробей существует правило, которое гласит, что знаменатели складываемых дробей должны быть равны . Если знаменатели дроби не равны, сделайте их равными, взяв наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

Как найти LCM?

Чтобы найти НОК чисел (здесь знаменатели), мы будем использовать метод деления .

Давайте разберемся с этим методом на примере, возьмем два числа 6 и 15 для нахождения НОК методом деления.

Шаг 1: Составьте таблицу, состоящую из левой и правой частей, в правой части укажите числа, НОК которых мы находим.

Шаг 2: Теперь начните с наименьшего числа (не 1) и проверьте, имеет ли любое число из заданных чисел это кратное. В примере 2 — это множитель 6, поэтому используйте его, чтобы разделить 6 в следующей строке.

Шаг 3: Теперь во второй строке 3 осталось 15, только множитель 3 равен 3, поэтому разделите его на 3. 3 также является коэффициентом 15, так что разделите 15 также. В результате получается 1, 5.

Шаг 4: Теперь 5 является коэффициентом 5, поэтому делим 5, результат равен 1, 1.

Шаг 5: Процесс завершен, так как мы получаем 1 для всех чисел , теперь умножьте все числа в левой части, которые равны 2, 3, 5, так что кратное из них равно 30.

Сложение 3 дробей с разными знаменателями

Шаги для сложения дробей с разными знаменателями:

Шаг 1: Найдите НОК знаменателей.

Шаг 2: Разделите LCM на знаменатель каждого числа, которое необходимо добавить.

Шаг 3: Умножьте числитель на частное ( найденное на предыдущем шаге).

Шаг 4: Сложите числители, которые мы получаем после умножения с частными, как при простом сложении.

Шаг 5: Знаменатель будет LCM.

Возьмем 3 дроби с разными знаменателями, 1/2, 2/3, 3/4

Шаг 1: Нахождение НОК 2,3,4

Шаг 2: Разделим НОК на знаменатель каждого числа, которое нужно сложить.

LCM = 12, поэтому разделите его на каждое число (знаменатель)

12/2 = 6 частное 1

12/3 = 4 частное 2

12/4 = 3 частное 3

3

3 Шаг 3: Умножьте числитель на частное (найденное на предыдущем шаге).

Числители 1, 2, 3, поэтому умножьте их на соответствующие частные.

1×6 = 6

2×4 = 8

3×3 = 9

Шаг 4: Сложите числители, которые мы получаем после умножения с частными, как простое сложение.

6 + 8 + 9 = 23, что является числителем.

Шаг 5: В знаменателе будет LCM, то есть 12.

Ответ: 23/12

Метод перекрестного умножения , 3/4

Шаг 1: Возьмите две дроби за один раз, чтобы взять 1/2 и 2/3

Шаг 2: Сначала мы найдем члены числителя, поэтому мы умножим числитель первого числа на знаменатель первого числа второе число, и аналогичным образом мы умножим числитель второго числа на знаменатель первого числа и сложим оба члена, чтобы получить числитель.

1×3 + 2×2 = 7, что является числителем

Шаг 3: Теперь давайте найдем знаменатель, для этого умножьте знаменатель первого члена на знаменатель второго члена, чтобы получить член знаменателя.

2×3 = 6, что является знаменателем.

Шаг 4: Мы находим новый член, который представляет собой сложение двух дробей, в данном случае новая дробь 7/6.

Шаг 5: Повторите описанную выше процедуру, взяв новую дробь 7/6 и третью дробь 3/4.

Наконец, мы получили ответ, который совпадает с найденным выше.

Примеры вопросов

Вопрос 1: Сложите указанные дроби 1/7, 2/7, 3/7.

Ответ: 

В данном вопросе знаменатели равны, поэтому просто сложите числители, и знаменатель будет равен 7. 6/7.

Вопрос 2: Найдите LCM 7, 3, 12.

Ответ:

Вопрос 3: Добавьте данную фракции, 2/7, 5/12, 1. /3.

Ответ:

Шаг 1: Нахождение НОК 7,12,3

МОК, которое мы получили, равно 84.

Шаг 2: Разделите НОК каждого числа, которое нужно добавить, на знаменатель .

LCM = 84, поэтому разделите его на каждое число (знаменатель)

84/7 = 12 частное 1

84/12 = 7 частное 2

84/4 = 21 частное 3

2 Шаг 3: Умножьте числитель на частное (найденное на предыдущем шаге).

Числитель 2, 5, 1, поэтому умножьте их на соответствующие частные.

2×12 = 24

5×7 = 35

1×21 = 21

Шаг 4: Сложите числители, которые мы получаем после умножения с частными, как простое сложение.

24 + 35 + 21 = 80, что является числителем. 84

Ответ:

Шаг 1: Нахождение НОК 5,10,3

МОК, которое мы получили, равно 30. быть добавлено.

LCM = 30, поэтому разделите его на каждое число (знаменатель)

30/5 = 6 частное 1

30/10 = 3 частное 2

30/3 = 10 частное 3

2 2 Шаг 3: Умножьте числитель на частное (найденное на предыдущем шаге).

Числители 4, 3, 1, поэтому умножьте их на соответствующие частные.

4×6 = 24

3×3 = 9

1×10 = 10

Шаг 4: Сложите числители, полученные после умножения на частные, как простое сложение.

24 + 9 + 10 = 43, что является числителем.

Шаг 5: Знаменатель будет LCM, поэтому будет 30.

Ответ: 43/30

Вопрос 5: Найдите LCM 7, 3, 12, 13

Ответ:

Вопрос 6: Сложите данные дроби 1/3, 1/4, 1/2 методом перекрестного умножения.

Ответ: 

Шаг 1: Возьмем две дроби за раз, так что возьмем 1/3 и 1/4 первое число со знаменателем второго числа, и аналогичным образом мы умножим числитель второго числа на знаменатель первого числа и сложим оба члена, чтобы получить числитель.

1×4 + 1×3 = 7, что является числителем

Шаг 3: Теперь давайте найдем знаменатель, для этого умножьте знаменатель первого члена на знаменатель второго члена, чтобы получить член знаменателя.

3×4 = 12, что является знаменателем.

Шаг 4: Мы находим новый член, который представляет собой сложение двух дробей, в данном случае новая дробь 7/12.

Шаг 5: Снова возьмите 7/12 и третью дробь, которая равна 1/2.

Шаг 6: Нахождение числителя

7×2 + 1×12 = 26, что является числителем

Шаг 7: Нахождение знаменателя

12×2 = 24, что является знаменателем

9/2 теперь упростив его, мы получим 13/12.

Вопрос 7: Сложите данные дроби 1/5, 2/5, 3/10 методом перекрестного умножения.

Ответ:

Шаг 1: Возьмите две дроби за один раз, так что возьмите 1/5 и 2/5

Шаг 2: Сначала мы найдем члены числителя, поэтому мы умножим числитель первого числа на знаменатель второго числа и аналогичным образом умножим числитель второго числа на знаменатель первого числа и сложим оба термина, чтобы получить числитель.

1×5 + 2×5 = 15, что является числителем

Шаг 3: Теперь давайте найдем знаменатель, для этого умножьте знаменатель первого члена на знаменатель второго члена, чтобы получить член знаменателя.

5×5 = 25, что является знаменателем.

Шаг 4: Находим новый член, который представляет собой сложение двух дробей, в данном случае новая дробь равна 15/25, при делении числителя и знаменателя на 5 получаем 3/5.

Шаг 5: Теперь возьмите 3/5 и третью дробь, которая равна 3/10.

Шаг 6: Нахождение числителя

3×10 + 3×5 = 45, что является числителем

Шаг 7: Нахождение знаменателя

10×5 = 50, что является знаменателем

Ответ 45/50 при делении числителя и знаменателя на 5 получаем 9/10.

Краткое руководство по сложению дробей (включая разные знаменатели)

В этом руководстве показано, как складывать дроби с помощью сложения и вычитания. Мы также включили дроби с разными знаменателями, которые требуют немного больше работы.

Во-первых, давайте начнем с видео о том, как складывать и вычитать дроби:

Дроби — это не что иное, как отношение «части» к «целому». Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить, понимая структуру дроби и следуя нескольким простым правилам. Эта статья покажет вам, как это сделать, но сначала давайте рассмотрим основы терминологии дробей.

Представьте одну сторону магического куба, как показано ниже. Он разделен на маленькие квадраты разного цвета одинакового размера. Какова доля желтых квадратов?

Чтобы определить эту долю, нам нужно посчитать желтые квадраты и соотнести это значение с общим количеством квадратов. «Часть» в данном случае — это три желтых квадрата, которые известны как числитель дроби. Это значение делится на общее количество квадратов или «целое». Всего квадратов шестнадцать, и это число равно 9.0428 знаменатель дроби.

При написании дроби деление обычно обозначается горизонтальной чертой, при этом числитель пишется вверху, а знаменатель — внизу.

Теперь давайте попробуем написать другую дробь:

Какова доля красных квадратов?

Да, верно! Это \(\frac{4}{16}\). Однако эту дробь можно упростить и записать как: \(\frac{1}{4}\).

Пожалуйста, найдите минутку, чтобы просмотреть нашу подробную статью о том, как упростить дроби, чтобы при необходимости просмотреть эту концепцию!

Теперь, если вас спросят, какова доля красных и желтых квадратов вместе взятых, как бы вы ответили? Это так просто, как кажется: просто подсчитайте общее количество красных и желтых квадратов, чтобы получить числитель. Знаменатель остается прежним:  

Всего красных и желтых квадратов: 3 + 4 = 7

Доля объединенных красных и желтых квадратов: \(\frac{7}{16}\)

Это означает что если долю желтых квадратов добавить к доле красных квадратов, ответ должен быть \(\frac{7}{16}\).

Прежде чем мы решим другую задачу, вот список полезных вещей, которые следует запомнить:

1. При сложении и вычитании дробей знаменатели не меняются. Сложение или вычитание выполняется только с числителями.

2. Прежде чем вы сможете складывать или вычитать дроби, знаменатели ваших дробей должны совпадать друг с другом.

3. Всегда старайтесь упрощать дроби, прежде чем работать с ними, чтобы числа, с которыми вы работаете, были как можно меньше.

Использование этих квадратов помогает визуализировать концепцию сложения дробей, но помните, что в большинстве случаев визуальные цифры недоступны. Итак, давайте уберем визуальные эффекты и пройдемся по математическим шагам на нескольких примерах:

Предположим, у вас нет доступного квадрата, и вас просто просят добавить \(\frac{3}{16}\) и \(\ гидроразрыва{1}{4}\). Как видите, знаменатели этих дробей не совпадают. Это должно быть исправлено, прежде чем мы сможем двигаться дальше:

Шаг 1

Найдите НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей обеих дробей. Обратите внимание, что при работе с дробями LCM также называется наименьшим общим знаменателем (LCD), потому что наша цель — сопоставить знаменатели дробей.

У нас есть полезная статья об определении GCF и LCM, которая может быть полезна для обзора, но мы также рассмотрим шаги здесь:

Мини-шаг 1.1:  Перечислите 9{4}\) = 16

LCD = 16

Шаг 3

(А вот и сложная часть, обратите внимание!)

После того, как мы узнаем LCD каждой дроби внесите корректировку в одну или обе исходные дроби. Давайте посмотрим на одну дробь за раз и ответим на следующий вопрос: соответствует ли знаменатель ЖК?

Первая дробь равна \(\frac{3}{16}\), и ответ на вопрос — да! Знаменатель 16 равен LCD 16. Эту дробь не нужно корректировать.

Вторая дробь: \(\frac{1}{4}\). Ясно, что 4 не равно LCD, равному 16.  Эту дробь необходимо скорректировать, чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем, равным 16.  Но как?

Регулировка проста: определите число, на которое нужно умножить знаменатель 4, чтобы получить ЖК-дисплей. Для этого просто разделите ЖК на исходный знаменатель. В этом случае \(16\дел 4=4\).

Теперь исходную дробь можно изменить, умножив числитель и знаменатель на этот коэффициент 4, как показано:

\((\frac{4}{4}\times \frac{1}{4})=\frac{4\times 1}{4\times 4}=\frac{4}{16}\)

Помните, что при умножении дробей выполняйте операцию «напрямую», то есть (числитель х числитель) и (знаменатель х знаменатель).

Это умножение на \(\frac{4}{4}\) не меняет значение исходной дроби, поскольку \(\frac{4}{4}\) = 1.

После эквивалентной дроби \ (\frac{4}{16}\) можно сложить дроби:

\(\frac{3}{16}+\frac{4}{16}=\frac{3+4}{ 16}=\frac{7}{16}\)

Как видите, именно это мы и получили, сложив доли желтых и красных квадратов!

Эти рисунки могут быть полезны для тех из вас, кто предпочитает наглядную демонстрацию определения ЖКИ перед сложением или вычитанием дробей:

Давайте рассмотрим еще один пример, где одна дробь является правильной дробью (числитель меньше знаменателя) и вторая — неправильная дробь (числитель больше знаменателя). Способ сложения тот же, и не имеет значения, правильная дробь или неправильная. 9{2} =36\)

LCD = 36

Шаг 3

Теперь пришло время выяснить, какие дроби нужно скорректировать, чтобы получить похожие знаменатели. Для каждой дроби спросите: «Соответствует ли знаменатель LCD?»

Первая дробь равна \(\frac{1}{12}\), и мы видим, что 12 не равняется LCD 36, поэтому эту дробь нужно будет скорректировать. Как и прежде, разделите ЖК на исходный знаменатель. В этом случае \(36\div 12=3\).

Теперь исходную дробь можно изменить, умножив числитель и знаменатель на 3, как показано:

\((\frac{3}{3}\times \frac{1}{12})=\frac{3\times 1}{3\times 12}=\frac{3}{36}\)

Вторая дробь, \(\frac{19}{18}\), также должна быть скорректирована, так как 18 не соответствует ЖК-дисплею.

Разделить ЖК-дисплей на знаменатель 18: \(36\дел 18=2\).

Умножьте числитель и знаменатель второй дроби на 2, как показано:

\((\frac{2}{2}\times \frac{19}{18})=\frac{2\times 19} {2\times 18}=\frac{38}{36}\)

Теперь, когда каждый знаменатель соответствует ЖК-дисплею, можно сложить эквивалентные дроби:

\(\frac{3}{36}+\frac{38}{36}=\frac{3+38}{36}=\frac{41}{36}\)

Добавление более двух дроби

К этому моменту статьи мы надеемся, что вы овладели искусством сложения двух дробей. Если вам нужно добавить более двух фракций, процедура такая же. Давайте сделаем пример, чтобы проиллюстрировать это.

Добавить: \(\frac{4}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\)

Все эти дроби представлены в простейшей форме, так что давайте начнем процесс найти LCM и настроить каждую дробь так, чтобы знаменатели были одинаковыми. 9{2}\) × 5 = 20

LCD = 20 

Шаг 3

Теперь пришло время выяснить, какие дроби нужно изменить, чтобы получить похожие знаменатели. Для каждой дроби спросите: «Соответствует ли знаменатель LCD?»

Первая дробь равна \(\frac{4}{5}\), и мы видим, что 5 не равно 20. Как и прежде, разделите LD на исходный знаменатель. В этом случае \(20\дел 5=4\).

Теперь исходную дробь можно изменить, умножив числитель и знаменатель на 4, как показано:

\((\frac{4}{4}\times \frac{4}{5})=\frac{4\times 4}{4\times 5}=\frac{16}{20}\)

Вторая дробь, \(\frac{1}{2}\), также должна быть скорректирована, так как 2 не соответствует ЖК-дисплею.

Разделите LCD на знаменатель, 2: \(20\div 2=10\)

Умножьте числитель и знаменатель второй дроби на 10, как показано:

\((\frac{10}{ 10}\times \frac{1}{2})=\frac{10\times 1}{10\times 2}=\frac{10}{20}\)

Наконец, определите корректировку, которую необходимо преобразован в третью дробь, \(\frac{1}{4}\).

Разделите ЖК-дисплей на знаменатель 4, чтобы получить коэффициент 5. Отрегулируйте третью дробь, умножив на \(\frac{5}{5}\).

\((\frac{5}{5}\times \frac{1}{4})=\frac{5\times 1}{5\times 4}=\frac{5}{20}\)

Теперь, когда каждый из трех знаменателей соответствует ЖК-дисплею, можно сложить эквивалентные дроби:

\(\frac{16}{20}+\frac{10}{20}+\frac{5}{20} =\frac{16+10+5}{20}=\frac{31}{20}\)

Сложение дробей и целых чисел

Еще одна важная концепция, о которой следует помнить при изучении сложения дробей, заключается в том, как добавлять дроби к целым числам. К счастью, любое целое число можно переписать так, чтобы оно «выглядело» как дробь, путем деления его на единицу. Например,

4 = \(\frac{4}{1}\)

30 = \(\frac{30}{1}\)

72 = \(\frac{72}{ 1}\)

После того, как целое число будет записано в виде доли от единицы, процесс сложения и вычитания аналогичен тому, что мы обсуждали в этой статье.

Вот несколько примеров:

Добавить: 3 + \(\frac{3}{14}\)

Этот вопрос можно переписать так: \(\frac{3}{1}\) + \ (\frac{5}{14}\)

Шаг 1

Подумав, выберите ЖК-дисплей. На какое наименьшее число можно разделить без остатка и 14, и 1?

Как насчет 14? Это наименьшее число, на которое можно разделить как 1, так и 14. Используйте его в качестве ЖК-дисплея для настройки первой «дроби», \(\frac{3}{1}\).

Разделите LCD на знаменатель 1: \(14\div 1=14\)

Умножьте первую дробь на \(\frac{14}{14}\).

\((\frac{14}{14}\times \frac{3}{1})=\frac{42}{14}\)

Поскольку знаменатели совпадают, можно складывать дроби:

\(\frac{42}{14}+\frac{3}{14}=\frac{42+3}{14}=\frac{ 45}{14}\)

Заключительные мысли!

В этой статье мы узнали, как складывать дроби и как складывать целые числа в дроби. Это довольно полезный навык, который закладывает основу для некоторых сложных математических работ. Хотите сократить путь? Попробуйте наш калькулятор дробей! Посетите остальную часть нашего веб-сайта, чтобы узнать о других интересных и полезных математических понятиях, объясненных простым способом. Нужна дополнительная помощь, видеообзоры или практические вопросы? Кликните сюда!

Вычитание дробей с разными знаменателями

Дроби являются частями целого, т. е. представляют собой часть набора. Слово «фракция» происходит от «fractio», латинского слова, означающего «ломать». Египтяне использовали дроби для решения математических задач, в том числе для деления пищи и припасов. Древние римляне записывали дроби словами, а не числами. Индийцы сначала записывали дроби как числа, которые появлялись как одно число над другим. Арабы были первыми, кто добавил линию между числами, различая их как числители и знаменатели.

Когда мы делим что-то целое на разные части, каждая часть становится частью этого целого.

Например, если разрезать целый арбуз на две части, обе части станут половиной целого арбуза или частью арбуза. Тогда одна половина арбуза математически представляется как 12. Если вы разрежете две половинки арбуза еще на две части, весь арбуз разделится на четыре части или четверти всего арбуза. Тогда одна часть арбуза будет представлена ​​как ¼.

Другим прекрасным примером, иллюстрирующим эту концепцию, является пицца. Пицца представляет собой круг, разделенный на 4-6 или более частей, в зависимости от размера. В этом случае каждый кусочек пиццы представляет собой часть целого, которым является пицца.

Какие части дроби?

Числитель и знаменатель составляют две части дроби. Горизонтальная черта, разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой.

• Знаменатель — это количество разделов, на которые было разделено целое. Его место находится под дробной чертой.
• Числитель указывает количество частей фракции, которые представлены или выбраны. Его место над дробной чертой.

Например, в дроби  1227 12 — числитель, а 27 — знаменатель.

Почему мы используем дроби?

Дроби говорят нам, какая часть целого у вас есть, в чем вы нуждаетесь или хотите. Дроби также легче понять, чем десятичные. Они помогают лучше визуализировать концепцию или систему.

Типы фракций:

Существует четыре основных типа фракций. Вот они:

• Единица Дробь – Дробь с 1 в числителе. Например, 12, 14
• Правильная дробь — у них числитель меньше знаменателя. Пример:  49,  910
• Неправильная дробь. У них числитель больше знаменателя. Пример: 37,  128
• Смешанная дробь. Состоят из целого числа с правильной дробью. Пример 5 34, 10 12

Как упростить дроби?

Чтобы упростить дробь, вы можете выполнить любой из следующих шагов в зависимости от того, что больше подходит:

• Найдите наибольший общий делитель:

Для этого запишите множители для обоих числителей и знаменатель. Например:

Чтобы упростить дробь 824,

Шаг 1: Делители числителя и знаменателя:

Факторы

24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Множители 8 = 1, 2, 4, 8

Шаг 2: Наибольший/наивысший общий делитель равен числу 8.

Шаг 3 : Разделите как числитель, так и знаменатель на 8

8, разделенные на 8 = 1

24, разделенные на 8 = 3

Шаг 4: Упрощенная фракция составляет 13

• Упрощенные неправильные фракции для смешанных чисел

до смешанных чисел

до смешанных номеров до смешанных номеров упростить неправильную дробь до смешанного числа, шаги:

1. Разделить числитель на знаменатель
2. Записать целое число как результат
3. Записать остаток как числитель дроби
4. Знаменатель останется прежним

Сложение и вычитание дробей

4 складывать или вычитать дроби, давайте сначала разберемся в типах дробей по этому признаку:

• Как и дроби — у этих дробей одинаковый знаменатель.

Пример: 34, 54, 94. Все эти дроби имеют одинаковый знаменатель. Таким образом, они подобны дробям.

• В отличие от дробей – это дроби, имеющие разные знаменатели.

Пример: 53, 49, 27. Все эти дроби имеют разные знаменатели. Таким образом, они не похожи на дроби.

• Эквивалентные дроби — это дроби, которые после упрощения имеют одинаковое значение.

Пример: 25 и 410. Если упростить 410, получится 25. Таким образом, получится 25 и 410 эквивалентных дробей.

Сложение дробей:

Чтобы сложить дроби, первым шагом является определение того, являются ли знаменатели дробей одинаковыми или разными, т. е. являются ли они одинаковыми или разными дробями.

Для одинаковых дробей сложите числители и поместите ответ над тем же знаменателем.

Пример:

26 + 56 = 2+56 = 76

Тогда упростите, если возможно. В этом примере упрощение невозможно.

Для разных дробей сначала приведите знаменатели к одному числу. Числитель и знаменатель дробей следует умножить на их НОК (наименьшее общее кратное). Чтобы найти LCM, все, что вам нужно сделать, это определить кратные знаменателям, а затем найти наименьшее общее кратное. Наименьшее общее кратное — это меньшее число в списке кратных.

Пример:

Чтобы сложить 211 и 34

Наименьшее общее кратное 4 и 11 равно 44. Итак, умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на число, которое даст 44 в качестве знаменателя.

1×411×4 + 3×114×11 = 444 + 3344

Теперь сложим две дроби как равные дроби

444 + 3344 = 4 + 3344 = 3744

Вычитание множителей. может спросить, как вычитать дроби с разными знаменателями? Как и при сложении дробей, первым шагом при вычитании дробей является определение того, одинаковы или различны знаменатели дробей, т.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, вычтите числители и поднесите их разность к общему знаменателю.

Пример: 47-37 = 4-37 = 17

для вычитания фракций с не в отличие от знамениторов, есть два метода:

1. Cross-Multiplication

TO Cross-Multiplation

TO Cross-Multiplation

TO Cross-Multiplation . , вычтите второе число из первого, чтобы получить числитель ответа.

Пример: Найдите разницу между 67 и 25

Чтобы получить числитель, перемножьте две дроби крест-накрест. Затем вычтите их произведения.

 (6 x 5) – (2 x 7) = 30 – 14 = 16

 

Затем умножьте два знаменателя.

7 x 5 = 35

Положите произведение перекрестного умножения на знаменатель, чтобы получить ответ.

Таким образом, ваш ответ будет таким: 67 − 25 = 1635

2. Метод НОК:

Этот метод также используется для добавления разнородных фракций. [Совет: Будьте осторожны с размещением дробей, так как любая замена двух дробей будет иметь два совершенно разных результата. ]

Чтобы использовать этот метод, выполните следующие действия:

1. Шаг 1: Преобразуйте их в одинаковые дроби. . Сначала найдите НОК знаменателей. Выполните те же шаги, что и при сложении разных знаменателей, чтобы найти НОК знаменателей.
2. Шаг 2: Затем вычтите числители.
3. Шаг 3: При необходимости упростите дробь.

Пример: Вычтите 16 из 12

• Сначала найдите НОК знаменателей.

Кратные 2 = 2, 4, 6, 8

Кратные 6 = 6, 12, 18

Наименьший общий знаменатель равен 6.

• Во-вторых, найдите эквивалентную дробь, умножив числитель и знаменатель с числом, так что результирующий знаменатель равен 6. 

1×32×3 = 16

• Перепишите проблему с использованием фракций

12 — 16 = 36 — 16

• Далее, вычтите числители, поскольку конфессионаторы теперь одинаковые

36 — 16 = 3 — 16 = 26

36 — 16 = 3 — 16 = 26

• 9999999999999999999

36 — 16 = 3 — 16 = 26 0009

36 — 16 = 3 — 16 = 26 0009

если возможно

26 = 13

• Итак, окончательный ответ: 12 – 16 = 13

Итак, теперь вы знаете шаги сложения и вычитания дробей с разными знаменателями и одинаковыми знаменателями. Фракции важны, потому что мы применяем их в нашей повседневной жизни. При покупке еды, делении денег или расчете расстояния и времени дроби облегчают поиск решения вашей проблемы. Сознательно или неосознанно, нам нужны дроби в нашей повседневной жизни. Научиться складывать и вычитать дроби — это просто введение в мир дробей. Есть еще много методов, приложений и способов использования дробей. Как только вы научитесь складывать и вычитать дроби, у вас будет прочная основа для перехода к более сложным понятиям, таким как умножение и деление.

Рабочий лист для вычитания множителей с разными знаменателями.

1. Find the difference between:
   1. 59 – 26 = __________________
   2. 916 – 18 = __________________
   3. 820 – 618 = __________________
   4. 49 – 25 = __________________
   5. 314 – 29 = __________________
2. Решите эти текстовые задачи, используя метод НОК для вычитания дробей с разными знаменателями

1. Энни и Марк соревнуются в беге. Энни преодолела 24 из общей дистанции, а Марк преодолел 15 из общей дистанции. Какова разница в расстоянии, пройденном ими обоими?
2. У Тома 57 штук папайи. Если он отдаст 23 из них Джерри, какая часть папайи останется?
3. Рецепт требует 34 чайных ложки черного перца и 14 чайных ложек красного перца. Насколько больше черного перца, чем красного, нужно по рецепту?
4. Кайли живет 49милях от зоопарка. Сэнди живет в 24 милях от зоопарка. Насколько Сэнди ближе к зоопарку, чем Кайли?

Часто задаваемые вопросы

1. Что такое вычитание дробей с разными знаменателями?

Ответ. Если один из знаменателей — дробь, а другой — целое число, нужно преобразовать целое число в дробь, а затем вычесть. Рассмотрим пример:

2/3-1/4 = 2/3 – (1/4) = 2/3 – 1/4 = ¾

2. Как вычитать дроби с разными знаменателями?

Ответ. Вычитание дробей с разными знаменателями — простой процесс. Все, что вам нужно сделать, это найти наименьшее общее кратное числителей и умножить их на знаменатель вашего ответа.