Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y x 3 y x: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x3, y=x

2, x=-1, x=0 — Учеба и наука

Лучший ответ по мнению автора

24. 03.17 Лучший ответ по мнению автора

Михаил Александров Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Eleonora Gabrielyan Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Решено

в зоопарке живут крокодилы и страусы. В сумме у них 40 голов и 94 ноги. Сколько там крокодилов и страусов?

Решено

В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 4, tg А=0.75 . Найдите АС.

задача для 5 класса. После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на

Решено

В лесу на разных кустах висят 100 шнурков. Сова утверж-дает, что в среднем три шнурка из четырёх, которые мож-но найти в лесу, ей не подходят,

В клетки таблицы 4×4 вписаны числа (возможно, нецелые) так, что для любой клетки сумма чисел в клетках, соседних с ней по стороне, равна 23. Чему

Пользуйтесь нашим приложением

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции » задачи

интеграл »

• Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y=\frac{16}{x^2}, \\ y=2x, \\ x=4.

  4_0= \\ = \frac{64}{3} -32+20=9 \frac{1}{3} $$

• В прямоугольник со сторонами 16см и 18см вписывается ромб, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника. В полученный ромб аналогичным образом вписывается прямоугольник, а в него снова ромб и так далее. Докажите, что площади полученных фигур образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии

  
  Решение: S₁(данного прямоугольника)=a·b=18·16;
  S₂(ромба вписанного в данный прямоугольник)=(1/2)·D₁·D₂=(1/2)·16·18;
  S₃=(a/2)(b/2)=(18·16)/4;
  S₄=(1/2)·d₁·d₂=(1/2)·(16/2)·(18/2)=(16·18)/8;
  q=S₄:S₃=S₃:S₂=S₂:S₁=1/2.
  О т в е т. q=1/2.
  

• Найдите площадь фигуры, ограниченной линией

  
  модуль их Х + модуль из У=6
  Решение: |x|+|y|=6, график так заданной функции будет квадрат с вершинами (6;0)(0;6)(-6;0)(0;-6), что легко установить построив графики данной функции во всех 4 четвертях (квадрантах)
  а площадь такого квадрата можно найти из того, что диагональ равна 12
  , ну например из теоремы Пифагора следует, что квадрат диагонали квадрата равен удвоенному квадрату стороны, а значит удвоенный квадрат стороны(площадь) равна половине квадрата диагонали
  площадь равна 12*12/2=12*6=72 
  Ответ:72 квадратных единицы
  

• Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y=4x-x^2; e=4-x; б) y=x^2, y=2x; в) y=x^2-4x+4, y=4-x^2; г) y=x^2 -2x+2, y=2+6x-x^2;

  
  Решение: 1) пределы интегрирования:
  $$ 4x-x^{2}=4-x \\ 4x-x^{2}-4+x=0 \\ x^{2}-5x+4=0, D=25-16=9>0 \\ x_{1}= \frac{5-3}{2}=1 \\ x_{2}= \frac{5+3}{2}=4 \\ S= \int\limits^4_1 {(4x-x^{2}-4+x)} \\, dx= \int\limits^4_1 {(5x-x^{2}-4)} \\, dx= \frac{5x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-4x=\frac{5*4^{2}}{2}-\frac{4^{3}}{3}-4*4-(\frac{5}{2}-\frac{1}{3}-4)=\\=40-\frac{64}{3}-16-\frac{5}{2}+\frac{1}{3}+4=28-\frac{63}{3}-\frac{5}{2}=\\=28-\frac{63*2+15}{6}=28-23. \frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}} {cosx} \, dx = sin\frac{\pi}{2}-sin(-\frac{\pi}{2}))=1-(-1)=2 $$ в)

1 2 3 > >>

математика — Стр 4

3.Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс ( f ( x ) ≥ 0 ), равна соответствующему оп-

ределенному интегралу:

b

S = ∫ f ( x )dx .

a

В общем случае, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1( x ) и y = f2 ( x ) , прямыми x = a и x = b , при

	b
условии, что	f2 ( x ) ≥ f1( x ) , равна S = ∫(f2 ( x ) − f1( x ))dx .
	a
Пример
Найти	площадь фигуры, ограниченной линиями
y = −x2 , y = x − 2 .

Решение

Изобразим кривые на чертеже. Решив систему

		y = −x2
		y = x − 2 ,					получаем координаты двух точек пересе-
	чения (1; -1) и (-2; -4). Искомая площадь S криволинейно-
	го треугольника						можно представить как разность площадей
	(рис.3).
	1						1
	S = ∫( −x2 −( x − 2 ))dx = = ∫(−x2 − x + 2)dx =
		−2							−2
	= (−	x3		−	x2	+ 2x)			1−2 = 9 = 4,5 .
	3			2					2
							31

Рис. 3

4.Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат

Фигура, ограниченная графиком функции (рис.4) r = r(ϕ ) и двумя лучами ϕ = α и ϕ = β , называется криво-

линейным сектором. Его площадь вычисляется по формуле

S = 1 ∫β r2 (ϕ )dϕ . 2 α

32

r(ϕ)

ϕ=β

ϕ=α

Рис.4

Если плоская фигура имеет более сложную форму, то необходимо разбить ее лучами, выходящими из полюса на криволинейные сектора, к которым применять либо полученную формулу, либо формулу для сектора, ограниченного

двумя непрерывными линиями r = r1 ( ϕ) и r = r2 ( ϕ)

(рис. 5).

ϕ=β r1(ϕ)

r2(ϕ) ϕ=α

Рис.5

33

S = 1 ∫β ( r12 (ϕ ) − r2 2 (ϕ ))dϕ . 2 α

Пример

Найти площадь кривой, ограниченной кривой r = 2 cos 3ϕ (рис. 6).

π

6

Рис.6

Решение

Так как площади всех лепестков «трехлепестковой розы» равны, а каждый лепесток симметричен относительно своей оси, то найдем площадь половины одного лепестка и умножим ее на 6, получим площадь искомой фигуры:

			π	π
S1	=	1	∫6	( 2 cos 3ϕ )2 dϕ = 2∫6	1 + cos 6ϕ dϕ =
		2	0	0	2

34

ππ

	= (ϕ	6	+	sin 6ϕ 6		) = (	π	+ 0)	=	π	.
		0		6	0		6			6

Тогда площадь всей фигуры равна

S= 6S1 = 6 π6 = π .

5.Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой y = f ( x ) , где a ≤ x ≤ b .

Если функция			f ( x ) и ее производная непрерывны на
отрезке [a;b], то кривая АВ имеет длину, равную
b
l = ∫		′		2	dx .
	1 +( f ( x ))
a
Если линия задана уравнением x = ϕ( y ),						c ≤ y ≤ d , то
ее длина вычисляется по формуле
d
l = ∫		′		2	dy .
	1 +( ϕ( y ))
c
Если уравнение кривой АВ задано в параметрической
x = x( t )		, α ≤ t ≤ β , причем x( t ), y( t )				– непрерыв-
форме	= y( t )
y

ные функции с непрерывными производными и a = x(α ) , b = x( β) , то длина кривой АВ находится по формуле

β
l = ∫	′	2	′	2	dt .
	( x ( t ))		+( y ( t ))

α

35

Примеры

1) Найти длину дуги кривой y = ln( 2x ) на промежутке

3 ≤ x ≤ 8 .

Решение

y′ =

2

=

1

+

( y′)

2

=1 +

1

=

1

+ x2

x

, 1

и

2x

x2

x2

tdt

l = ∫

1

+ x2 dx

= t =

1 + x

2

; x

=

t

2

−1; dx =

t2 −1 =

8

3

x

x = 3 t = 2; x = 8 t = 3

3

t

2

dt

3

1

3 +

1 ln

t −1

3 = 1 +

1 ln 3 .

= ∫

=

∫( 1

+

)dt = t

2

2

2

t

−1

2

t

−1

2

2

t +1

2

2 2

2)

Найти длину дуги кривой x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t

при 0 ≤ t ≤ π4 .

Решение

Найдем значение производных:

x′ = −6 cos2 t sin t , y′ = 6 sin2 t cos t .

π

Отсюда l = ∫4 36 cos4 t sin2 t + 36 sin4 t cos2 tdt =

0

36

π	π	π

= ∫4	6 cos t sin tdt = 3∫4	sin 2tdt = − 3 cos 2t 4 =		3 = 1,5 .
0	0	2	0	2
	6. Вычисление объема тела вращения
	Объем тела ( рис.7), образованного			вращением во-
круг оси Оx криволинейной трапеции,				ограниченной не-
прерывной кривой		y = f (x) , осью Оx	и прямыми x = a и

b

x = b , вычисляется по формуле Vox = π∫ f 2 ( x )dx .

	a
y	y=f(x)

Рис. 7

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = ϕ( y ) и прямыми x = 0, y = c и

y = d( c < d ) , то объем тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен

d

Voy = π∫x2 ( y )dy .

c

37

Пример

Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат плоской фигуры, ограниченной линиями y = x2 , y = x3 .

Решение

Сделаем рисунок (рис. 8) и убедимся, что искомый объем получится в результате разности двух объемов: объема V1 , полученного от вращения вокруг оси Oy фигуры,

ограниченной линиями x = 3 y , x = 0, y =1, и объема тела

вращения V2 x = 0, y =1 .

Тогда

1

V1 = π∫( 3

0

1

V2 = π∫(

0

фигуры, ограниченной линиями x = y ,

			5
y )	2	dy = π	3 y	3		1	=		3π		;
			5			0				5
y )	2	dy = π	y2		1	=		π		.
			2		0			2

Окончательно V =V1 −V2 = 35π − π2 = 10π = 0,1π.

38

y=x3 y=x2

Рис. 8

Задания для контрольной работы № 5

201-210. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость.

∞

dx

∞

201.

∫

.

202. ∫ln xdx .

x(x −1)

2

1

x

4

dx

∞

dx

203. ∫3

204. ∫e

.

.

( x −3 )2

x ln2 x

∞

dx

2

xdx

205.

∫0

206. ∫0

.

.

x2 + 4x +8

( x2 − 4 )3

1

x

2

dx 3 .

∞

207.

∫

208. ∫xe−x dx .

0

1 − x

0

39

0	dx			∞	6×3	2	+2	5 dx .
209. ∫			.	210. ∫
	( x + 4 )	4
−4				1		x

211-220. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделайте чертеж.

211. a) y =		x2	, y =	4 − 2 x2			;	216.	а) y = x2 −3x, y = 4 −3x;
	3			3					б) ρ = 2sin 2ϕ
б)	ρ = 2 +cosϕ .
212. а) x + y = 2, x = 2, y = 2;								217.	а) y = 3 − x2 , y =1 − x ;
б) ρ =1 +cos 2ϕ .									б) ρ = 2cos 2ϕ .
213.	а) 2 y = x2 , y =				3	− x ;			а) y = 3×2 +1, y = 3x + 7 ;
								218.	б) ρ = 3cos3ϕ.
				2

б) ρ = 2 −cosϕ .

214.а) y = 4 – x2, y = x2 –2x;	219.	а) y = 2x − x2 , y
б) ρ =1 −sin 2ϕ .
		б) ρ =1 −sinϕ .
215.а) y = (x – 1)2, y2 = x – 1;	220.	а) y = x2 − 2x, y
б) ρ = 2 +sinϕ .		б) ρ = 2 − sinϕ .

=−x ;

=x ;

221-230. Найти длину дуги с помощью определенного интеграла.

221.Кривой x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t , ( 0 ≤ t ≤ π4 ).

222.Кривойx = 5( t − sin t ) , y = 5(1 −cos t), ( 0 ≤ t ≤ π ).

223.Кривой y = ln(sin x ) , ( π4 ≤ t ≤ π2 ).

224.Кривойx = 4(cos t + t sin t ) , y = 4(sin t −t cos t ) , ( 0 ≤ t ≤ 2π ).

40

1.1: Площадь между двумя кривыми

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

501

• Ларри Грин
• Общественный колледж Лейк-Тахо

91 \\ &=\big(-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{2} \big) — \big(\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2} \big) \\ &=\dfrac{3}{2} \end{align*}. \]

Приложение

Пусть \(y = f(x)\) будет функцией спроса на продукт и \( у = g(x)\) — функция предложения. Затем мы определяем точку равновесия как пересечение двух кривых. Излишек потребителя определяется площадью выше равновесного значения и ниже кривой спроса, а излишек производителя определяется площадью ниже равновесного значения и выше кривой предложения. 9х \) и \( у = 2х +1 \).

Авторы и авторство

---

Эта страница под названием 1.1: Area Between Two Curves распространяется по незаявленной лицензии и была создана, изменена и/или курирована Ларри Грином.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Ларри Грин

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. Площадь между двумя кривыми, интегрированная по оси x
   2. Площадь между двумя кривыми, интегрированная по оси Y

Мэтуэй | Популярные проблемы

9(3x) по отношению к x 92+1

1	Найдите производную — d/dx	натуральное бревно х
2	Оценить интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3	Найдите производную — d/dx 92)
21	Оценить интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22	Найдите производную — d/dx	грех(2x)
23	Найдите производную — d/dx
41	Оценить интеграл	интеграл от cos(2x) по x
42	Найдите производную — d/dx	1/(корень квадратный из х)
43	Оцените интеграл 9бесконечность
45	Найдите производную — d/dx	х/2
46	Найдите производную — d/dx	-cos(x)
47	Найдите производную — d/dx	грех(3x)
68	Оценить интеграл	интеграл от sin(x) по x
69	Найдите производную — d/dx	угловой синус(х)
70	Оценить предел	ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85	Найдите производную — d/dx	лог х
86	Найдите производную — d/dx	арктан(х)
87	Найдите производную — d/dx	бревно натуральное 5х93 Целью этого вопроса является нахождение центра масс области, ограниченной кривыми в первом квадранте. Центроид — это центральная точка любой фигуры или объекта, в данном случае — центральная точка любой фигуры, нарисованной в 2D. Другой способ определить центроид — это точка области, в которой область сбалансирована по горизонтали, когда она подвешена к этой точке. Область, определенная в этом вопросе, находится в первом квадранте декартовой плоскости, что означает, что значения по оси x и по оси y точек являются положительными. Область образована двумя кривыми, которые пересекают друг друга в двух разных точках в первом квадранте. Сначала мы найдем площадь A области между точками пересечения двух кривых, а затем найдем центроид, вычислив моменты. Моменты любой области измеряют тенденцию этой области вращаться вокруг начала координат. Centroid C будет: \[ C = \left( \dfrac{M_y}{A}, \dfrac{M_x}{A} \right) \] где $M_x$ и $M_y$ — моменты x и y соответственно. Ответ эксперта: Как обсуждалось выше, область, образованная двумя кривыми, показана на рисунке 1. Мы найдем центр тяжести области, найдя ее площадь и ее моменты. Для этой области будет два момента: $x$-момент и $y$-момент. Делим $y$-момент на площадь, чтобы получить $x$-координату, и делим $x$-момент на площадь, чтобы получить $y$-координату. фигура 1 92 \} \,dx \] Подстановка значений из решенных уравнений, \[ \overline{y} = \dfrac{-0,23}{-0,5} \] \[ \overline{y} = 0,46 \] \[ ( \overline{x} , \overline{y} ) = (0.46, 0.46) \] $( \overline{x} , \overline{y} )$ — координаты центроида данного региона, показанного на рисунке 1. Альтернативное решение: Когда заданы значения моментов области и площади области. Мы можем найти значения центроида, напрямую подставив значения в следующие формулы. 9{9/4}}{9} \Big{]} \] Упрощение, \[ M_y = -0,278 \] Теперь мы можем вычислить координаты центроида $ ( \overline{x} , \ overline{y} )$, используя рассчитанные выше значения площади и момента области. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт