Найдите промежутки возрастания и убывания функции. Алгебра 10-11 класс Колмогоров упр 283 – Рамблер/класс
Найдите промежутки возрастания и убывания функции. Алгебра 10-11 класс Колмогоров упр 283 – Рамблер/классИнтересные вопросы
Школа
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?
Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?
Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?
Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?
Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?
Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?
Решали? Подскажите как правильно сделать)
графики функций:
a) f (x) = x3 + 3×2 — 9х + 1;
в) f(x) = 2 + 9x + Зх2-х3:
б) f (х) = 4×3 — 1,5×4;
г) f (x) = x4 — 2×2.
ответы
Правильно, вот так:
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
Юмор
Олимпиады
ЕГЭ
10 класс
похожие вопросы 5
В какой момент времени ускорение движения будет наименьшим? Колмогоров Алгебра 10-11 класс Упр 309
Привет! Поможете с решением?)
Скорость изменяется по закону
(скорость измеряется в метрах в секунду). В какой момент времени (Подробнее…)
ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.10 классАлгебра
Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308
Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее. ..)
ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?
С чем связано окончание приема учащихся в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»? (Подробнее…)
ВузыПоступление11 классНовости
Какой был проходной балл в вузы в 2017 году?
Какой был средний балл ЕГЭ поступивших в российские вузы на бюджет в этом году? (Подробнее…)
Поступление11 классЕГЭНовости
11. Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е. Русский язык ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. ГДЗ. Вариант 12.
11.
Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е.
произнос., шь (Подробнее…)
ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.
Как найти возрастающие интервалы с помощью графических функций
Все ресурсы исчисления 1
10 Диагностические тесты 438 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 Следующая →
Исчисление 1 Помощь » Функции » Графические функции » Интервалы » Увеличение интервалов » Как найти возрастающие интервалы по графикам функций
На каких интервалах увеличивается f(x) = (1/3)x 3 + 2,5x 2 – 14x + 25?
Возможные ответы:
(–∞, –7)
(–∞, –7) и (2, ∞)
(–∞, –7), (–7, 2), и (2, ∞)
(2, ∞)
(–7, 2), и (2, ∞)
Правильный ответ:
(–∞, –7) и (2, ∞)
Объяснение:
Мы будем использовать наклон касательной, чтобы определить увеличение/уменьшение f(x). Для этого начнем с первой производной от f(x):
f'(x) = x 2 + 5x – 14
Найдите потенциальные относительные максимумы и минимумы, установив f'(x) равным 0 и решив:
x 2 + 5x – 14 = 0 ; (x – 2)(x + 7) = 0
Возможные относительные максимумы/минимумы: x = 2, x = –7
Мы должны проверить следующие интервалы: (–∞, –7), (–7, 2 ), (2, ∞)
f'(–10) = 100 – 50 – 14 = 36
f'(0) = –14
f'(10) = 100 + 50 – 14 = 136
Следовательно, уравнение возрастает на (–∞, –7) и (2, ∞)
Сообщить об ошибке
Найдите интервал(ы), в котором следующая функция возрастает. График, чтобы перепроверить свой ответ.
Возможные ответы:
Никогда
Всегда
Правильный ответ:
4
55
5
Объяснение: Чтобы определить, когда функция возрастает, вы должны сначала взять производную, затем приравнять ее к 0, а затем найти, между какими нулевыми значениями функция положительна.
Сначала возьмем производную:
Приравняем к 0 и решим:
Теперь проверьте значения со всех сторон, чтобы найти, когда функция положительна и, следовательно, возрастает. Я проверю значения -6, 0 и 2.
Поскольку значения являются положительными, когда x = -6 и 2, интервал увеличивается на интервалах, которые включают эти значения. . Поэтому наш ответ:
Сообщить об ошибке
Найдите интервал(ы), когда следующая функция возрастает. График, чтобы перепроверить свой ответ.
Возможные ответы:
Никогда
Всегда
Правильный ответ: 9005 294
55
5
Объяснение:
Чтобы определить, когда функция возрастает, вы должны сначала взять производную, затем приравнять ее к 0, а затем найти, между какими нулевыми значениями функция положительна.
Сначала возьмем производную:
Приравняем к 0 и решим:
Теперь проверьте значения со всех сторон, чтобы найти, когда функция положительна и, следовательно, возрастает. Я проверю значения 0, 2 и 10.
Поскольку значение является положительным, когда x = 0 и 10, интервал увеличивается в обоих этих интервалах. Поэтому наш ответ:
Сообщить об ошибке
Увеличивается или уменьшается на интервале?
Возможные ответы:
По убыванию. на интервале.
Увеличение. на интервале.
Увеличение. на интервале.
Невозможно определить на основании предоставленной информации
Уменьшается. на интервале.
Правильный ответ:
Возрастание. на интервале.
Объяснение:
Чтобы найти возрастающие и убывающие интервалы, нам нужно найти, где наша первая производная больше или меньше нуля. Если наша первая производная положительна, наша исходная функция возрастает, а если g'(x) отрицательна, g(x) убывает.
Начните с:
Если мы подставим любое число от 3 до 6, мы получим положительное число для g'(x). Таким образом, эта функция должна возрастать на интервале {3,6 }, так как g'(x) положительна.
Сообщить об ошибке
Увеличивается или уменьшается на интервале?
Возможные ответы:
Уменьшение, так как положительно.
Возрастание, поскольку положительно.
Уменьшение, поскольку отрицательно.
Возрастает, потому что отрицательное значение.
не увеличивается и не уменьшается на заданном интервале.
Правильный ответ:
Возрастает, потому что положительно.
Объяснение:
Чтобы узнать, возрастает функция или убывает, нам нужно определить, положительна или отрицательна первая производная на заданном интервале.
Итак, начиная с:
Мы получаем:
используя степенное правило .
Найдите функцию на каждом конце интервала.
Итак, первая производная положительна на всем интервале, поэтому g(t) возрастает на интервале.
Сообщить об ошибке
Является ли следующая функция возрастающей или убывающей на интервале?
Возможные ответы:
По убыванию, т.к. на заданном интервале отрицательно.
Возрастание, так как на данном интервале положительно.
Функция не возрастает и не убывает на интервале.
Возрастание, поскольку отрицательно на заданном интервале.
По убыванию, так как на данном интервале положительно.
Правильный ответ:
Возрастание, т.к. положительно на данном интервале.
Объяснение:
Функция возрастает на интервале, если для каждой точки этого интервала первая производная положительна.
Итак, нам нужно найти первую производную, а затем подставить конечные точки нашего интервала.
Найдите первую производную с помощью степенного правила
Подставьте конечные точки и оцените функцию.
Оба положительны, поэтому наша функция возрастает на данном интервале.
Сообщить об ошибке
С какими интервалами увеличивается следующая функция?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение: Первый шаг — найти первую производную.
Помните, что производная от
Далее найдите критические точки, которые являются точками, где или не определены. Чтобы найти точки, установите числитель на , чтобы найти неопределенные точки, установите знаменатель на . Критические точки и
Последним шагом является проверка точек во всех регионах, чтобы увидеть, какой диапазон дает положительное значение для .
Если мы подставим число из первого диапазона, т.е. получим отрицательное число.
Из второго диапазона мы получаем положительное число.
Из третьего диапазона мы получаем отрицательное число.
Из последнего диапазона мы получаем положительное число.
Таким образом, второй и последний диапазоны — это те, где увеличивается.
Сообщить об ошибке
Ниже приведен полный график . На каком интервале(ах) происходит увеличение?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
увеличивается, когда является положительным (над осью). Это происходит на интервалах .
Сообщить об ошибке
Функция A
Функция B
9 10004
Функция C
4 Функция 022
Функция E
Показаны 5 графиков различных функций выше. На каком графике показана возрастающая/неубывающая функция ?
Возможные ответы:
Функция A
Функция E
Функция B
Функция C
Функция D
Правильный ответ:
Функция E
Объяснение:
Функция возрастает, если для любого , (т. е. наклон всегда больше или равен нулю)
Функция – единственная функция, обладающая этим свойством. Обратите внимание, что функция E возрастает, но не строго возрастает
Сообщить об ошибке
Найдите возрастающие интервалы следующей функции на интервале :
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти возрастающие интервалы заданной функции, нужно определить интервалы, на которых функция имеет положительную первую производную. Чтобы найти эти интервалы, сначала найдите критические значения или точки, в которых первая производная функции равна нулю.
Для данной функции .
Эта производная была найдена с помощью правила степени
.
При нулевом значении . Поскольку мы рассматриваем только открытый интервал (0,5) для этой функции, мы можем игнорировать . Далее мы смотрим интервалы вокруг критического значения , которые равны и . На первом интервале первая производная функции отрицательна (подстановка значений дает нам отрицательное число), что означает, что функция на этом интервале убывает. Однако для второго интервала первая производная положительна, что указывает на возрастание функции на этом интервале.
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 3 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы исчисления 1
10 Диагностические тесты
438 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept
Увеличение и уменьшение интервалов — определение, формулы
Задумывались ли вы, почему расстояние сокращается, как только вы приближаетесь к дому вашего друга? И почему это происходит наоборот, когда вы едете в противоположном направлении? Это из-за функций. В исчислении возрастающие и убывающие функции — это функции, для которых значение f (x) увеличивается и уменьшается соответственно с увеличением значения x.
Чтобы проверить изменение функций, нужно найти производные таких функций. Если значение функции увеличивается со значением x, то функция положительна. Если значение функции уменьшается с увеличением значения x, то говорят, что функция отрицательна.
Интервалы возрастания и убывания действительных чисел — это действительнозначные функции, которые имеют тенденцию возрастать и уменьшаться при изменении значения зависимой переменной функции. Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нужно определить первую производную функции. Это делается для того, чтобы найти знак функции, будь то отрицательный или положительный. Интервал функции называется положительным, если значение функции f(x) увеличивается с увеличением значения x. Напротив, интервал функции называется отрицательным, если значение функции f (x) уменьшается с увеличением значения x.
Альтернативно, интервал функции положителен, если положительный знак первой производной. Интервал функции отрицательный, если знак первой производной отрицательный. Следовательно, положительный интервал увеличивается, тогда как отрицательный интервал называется убывающим интервалом.
Как записать интервалы возрастания и убывания? Вы можете представлять интервалы возрастания и убывания, понимая простые математические понятия, приведенные ниже:
- Говорят, что значение интервала увеличивается для каждого x < y, где f (x) ≤ f (y) для действительнозначной функции f (x).
- Если значение интервала f (x) ≥ f (y) для каждого x < y, то интервал называется убывающим.
Вы также можете использовать первую производную, чтобы найти интервалы возрастания и убывания и соответственно записать их.
- Если первая производная функции равна f’ (x) ≥ 0, интервал увеличивается.
- С другой стороны, если значение производной f’ (x) ≤ 0, то интервал называется убывающим.
Определение интервалов возрастания и убывания Поскольку вы умеете записывать интервалы возрастания и убывания, пора научиться находить интервалы возрастания и убывания. Давайте научимся находить интервалы возрастания и убывания на примере.
Рассмотрим функцию f(x) = x 3 + 3x 2 – 45x + 9. Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нужно продифференцировать их относительно x. После дифференцирования вы получите первую производную как f’(x).
Следовательно, f’(x) = 3x 2 + 6x – 45
Вынимая из всего члена 3 общих, получаем 3 (x 2 + 2x -15). Теперь, находя множители этого уравнения, мы получаем, 3 (x + 5) (x – 3). Если вы замените эти значения эквивалентными нулю, вы получите значения x.
Следовательно, значение x = -5, 3.
Чтобы найти значение функции, подставьте эти значения в исходную функцию, и вы получите значения, как показано в таблице ниже.
Интервал Значение x f'(x) Возрастание/уменьшение 2 0 (-∞, -5) х = -6 е ‘(-6) = 27 > 0 Увеличение (-5, 3) x = 0 f'(0) = -45 < 0 Уменьшение ∞ ) x = 4 f'(4) = 27 > 0 Возрастание
Следовательно, для данной функции f (x) = x 3 + 3x 2 – 45x + 9 возрастающие интервалы равны (-∞, -5) и (3, ∞), а убывающие интервалы равны (-5, 3).
Частный случай: функция «один к одному»
Строго возрастающие или убывающие функции обладают особым свойством, называемым инъективными или взаимно однозначными функциями. Это означает, что вы никогда не получите одно и то же значение функции дважды.
Например, вы можете получить значение функции дважды на первом графике. Однако на втором графике у вас никогда не будет одинакового значения функции. Следовательно, график справа известен как взаимно однозначная функция.
Это полезно, потому что инъективные функции могут быть обращены. Вы можете вернуться от значения «y» функции к значению «x». Обычно это невозможно, так как существует более одного возможного значения x.
Пример 1: Какими будут интервалы возрастания и убывания функции f (x) = -x 3 + 3x 2 + 9?
Решение: Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нужно продифференцировать функцию относительно x. Следовательно, f’(x) = -3x 2 + 6x.
Теперь, убрав из уравнения 3 обычных, мы получим -3x (x – 2). Чтобы найти значения x, приравняем это уравнение к нулю, получим f'(x) = 0
⇒ -3x (x – 2) = 0
⇒ x = 0 или x = 2.
Следовательно , интервалы для функции f (x) равны (-∞, 0), (0, 2) и (2, ∞). Чтобы найти значения функции, ознакомьтесь с таблицей ниже.
Интервал Значение x f'(x) 1 Возрастание/уменьшение 7 (-∞, 0) х = -1 е ‘(-1) = -9 < 0 По убыванию (0, 2) x = 1 f'(1) = 3 > 0 По возрастанию 7 2, 55519 7 ) x = 4 f'(4) = -24 < 0 Уменьшение
Следовательно, (-∞, 0) и (2, ∞) — убывающие интервалы, а (0, 2) — возрастающие интервалы.
Пример 2: Считаете ли вы, что интервал (-∞, ∞) является строго возрастающим интервалом для f(x) = 3x + 5? Если да, то докажите это.
Решение: Чтобы доказать утверждение, рассмотрим два действительных числа x и y в интервале (-∞, ∞), такие что x < y.
Тогда 3x < 3y.
⇒ 3x + 5 < 3y + 5
⇒ f (x) < f (y)
Так как x и y являются произвольными значениями, следовательно, f (x) < f (y) всякий раз, когда x < y. Следовательно, интервал (-∞, ∞) является строго возрастающим интервалом для f(x) = 3x + 5. Следовательно, утверждение доказано.
Пример 3: Найдите, является ли функция f (x) x 3 −4x для x в интервале [−1, 2] возрастающей или убывающей.
Решение: вам нужно начать с -1, чтобы построить функцию на графике. -1 выбрано потому, что интервал [−1, 2] начинается с этого значения. При x = -1 функция убывает. Как только он достигнет значения 1,2, функция увеличится. После того, как функция достигла значения больше 2, значение будет продолжать увеличиваться. При точном анализе нельзя найти, увеличивается интервал или уменьшается. Итак, скажем, в интервале [−1, 2],
- Кривая спадает в интервале [−1, прибл. 1,2]
- Кривая возрастает в интервале [прибл. 1,2, 2]
Определение интервалов возрастания и убывания с помощью графика В приведенных выше разделах вы научились писать интервалы возрастания и убывания. В этом разделе вы узнаете, как находить интервалы возрастания и убывания с помощью графиков. Было бы полезно, если бы вы изучили приведенную ниже таблицу, чтобы четко понять концепцию.
Возрастающий интервал Уменьшающийся интервал На приведенном ниже графике показана возрастающая функция. Это можно определить, взглянув на приведенный график. Поскольку график идет вверх по мере движения слева направо по оси X, говорят, что график увеличивается. На приведенном ниже графике показана убывающая функция. Это можно определить, взглянув на приведенный график. Поскольку график идет вниз при движении слева направо по оси X, говорят, что график уменьшается.
Наводит на размышления - Функция выдаст постоянное значение и будет называться постоянной, если f’(x) = 0 в течение этого интервала.
- Для вещественнозначной функции f (x) интервал I называется строго возрастающим интервалом, если для каждого x < y выполняется f (x) < f (y).
- Для вещественнозначной функции f (x) интервал I называется строго убывающим интервалом, если для каждого x < y выполняется f (x) > f (y).
- Для функции f (x), когда x1 < x2, тогда f (x1) ≤ f (x2), интервал называется возрастающим.
- Для функции f (x), когда x1 < x2, а затем f (x1) < f (x2), интервал называется строго возрастающим. Нужно быть внимательным, глядя на знаки возрастающих и строго возрастающих функций.
- Для функции f (x), когда x1 < x2, тогда f (x1) ≥ f (x2), интервал называется убывающим.
- Для функции f (x), когда x1 < x2, то f (x1) > f (x2), интервал называется строго убывающим.
Чтобы определить, когда функция возрастает, вы должны сначала взять производную, затем приравнять ее к 0, а затем найти, между какими нулевыми значениями функция положительна.
Сначала возьмем производную:
Приравняем к 0 и решим:
Теперь проверьте значения со всех сторон, чтобы найти, когда функция положительна и, следовательно, возрастает. Я проверю значения -6, 0 и 2.
Поскольку значения являются положительными, когда x = -6 и 2, интервал увеличивается на интервалах, которые включают эти значения. . Поэтому наш ответ:
Сообщить об ошибке
Найдите интервал(ы), когда следующая функция возрастает. График, чтобы перепроверить свой ответ.
Возможные ответы:
Никогда
Всегда
Правильный ответ: 9005 294
5
5
5
Объяснение:
Чтобы определить, когда функция возрастает, вы должны сначала взять производную, затем приравнять ее к 0, а затем найти, между какими нулевыми значениями функция положительна.
Сначала возьмем производную:
Приравняем к 0 и решим:
Теперь проверьте значения со всех сторон, чтобы найти, когда функция положительна и, следовательно, возрастает. Я проверю значения 0, 2 и 10.
Поскольку значение является положительным, когда x = 0 и 10, интервал увеличивается в обоих этих интервалах. Поэтому наш ответ:
Сообщить об ошибке
Увеличивается или уменьшается на интервале?
Возможные ответы:
По убыванию. на интервале.
Увеличение. на интервале.
Увеличение. на интервале.
Невозможно определить на основании предоставленной информации
Уменьшается. на интервале.
Правильный ответ:
Возрастание. на интервале.
Объяснение:
Чтобы найти возрастающие и убывающие интервалы, нам нужно найти, где наша первая производная больше или меньше нуля. Если наша первая производная положительна, наша исходная функция возрастает, а если g'(x) отрицательна, g(x) убывает.
Начните с:
Если мы подставим любое число от 3 до 6, мы получим положительное число для g'(x). Таким образом, эта функция должна возрастать на интервале {3,6 }, так как g'(x) положительна.
Сообщить об ошибке
Увеличивается или уменьшается на интервале?
Возможные ответы:
Уменьшение, так как положительно.
Возрастание, поскольку положительно.
Уменьшение, поскольку отрицательно.
Возрастает, потому что отрицательное значение.
не увеличивается и не уменьшается на заданном интервале.
Правильный ответ:
Возрастает, потому что положительно.
Объяснение:
Чтобы узнать, возрастает функция или убывает, нам нужно определить, положительна или отрицательна первая производная на заданном интервале.
Итак, начиная с:
Мы получаем:
используя степенное правило .
Найдите функцию на каждом конце интервала.
Итак, первая производная положительна на всем интервале, поэтому g(t) возрастает на интервале.
Сообщить об ошибке
Является ли следующая функция возрастающей или убывающей на интервале?
Возможные ответы:
По убыванию, т.к. на заданном интервале отрицательно.
Возрастание, так как на данном интервале положительно.
Функция не возрастает и не убывает на интервале.
Возрастание, поскольку отрицательно на заданном интервале.
По убыванию, так как на данном интервале положительно.
Правильный ответ:
Возрастание, т.к. положительно на данном интервале.
Объяснение:
Функция возрастает на интервале, если для каждой точки этого интервала первая производная положительна.
Итак, нам нужно найти первую производную, а затем подставить конечные точки нашего интервала.
Найдите первую производную с помощью степенного правила
Подставьте конечные точки и оцените функцию.
Оба положительны, поэтому наша функция возрастает на данном интервале.
Сообщить об ошибке
С какими интервалами увеличивается следующая функция?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Первый шаг — найти первую производную.
Помните, что производная от
Далее найдите критические точки, которые являются точками, где или не определены. Чтобы найти точки, установите числитель на , чтобы найти неопределенные точки, установите знаменатель на . Критические точки и
Последним шагом является проверка точек во всех регионах, чтобы увидеть, какой диапазон дает положительное значение для .
Если мы подставим число из первого диапазона, т.е. получим отрицательное число.
Из второго диапазона мы получаем положительное число.
Из третьего диапазона мы получаем отрицательное число.
Из последнего диапазона мы получаем положительное число.
Таким образом, второй и последний диапазоны — это те, где увеличивается.
Сообщить об ошибке
Ниже приведен полный график . На каком интервале(ах) происходит увеличение?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
увеличивается, когда является положительным (над осью). Это происходит на интервалах .
Сообщить об ошибке
Функция A
Функция B
9 10004
Функция C
4 Функция 022
Функция E
Показаны 5 графиков различных функций выше. На каком графике показана возрастающая/неубывающая функция ?
Возможные ответы:
Функция A
Функция E
Функция B
Функция C
Функция D
Правильный ответ:
Функция E
Объяснение:
Функция возрастает, если для любого , (т. е. наклон всегда больше или равен нулю)
Функция – единственная функция, обладающая этим свойством. Обратите внимание, что функция E возрастает, но не строго возрастает
Сообщить об ошибке
Найдите возрастающие интервалы следующей функции на интервале :
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти возрастающие интервалы заданной функции, нужно определить интервалы, на которых функция имеет положительную первую производную. Чтобы найти эти интервалы, сначала найдите критические значения или точки, в которых первая производная функции равна нулю.
Для данной функции .
Эта производная была найдена с помощью правила степени
.
При нулевом значении . Поскольку мы рассматриваем только открытый интервал (0,5) для этой функции, мы можем игнорировать . Далее мы смотрим интервалы вокруг критического значения , которые равны и . На первом интервале первая производная функции отрицательна (подстановка значений дает нам отрицательное число), что означает, что функция на этом интервале убывает. Однако для второго интервала первая производная положительна, что указывает на возрастание функции на этом интервале.
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 3 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы исчисления 1
10 Диагностические тесты 438 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Увеличение и уменьшение интервалов — определение, формулы
Задумывались ли вы, почему расстояние сокращается, как только вы приближаетесь к дому вашего друга? И почему это происходит наоборот, когда вы едете в противоположном направлении? Это из-за функций. В исчислении возрастающие и убывающие функции — это функции, для которых значение f (x) увеличивается и уменьшается соответственно с увеличением значения x.
Чтобы проверить изменение функций, нужно найти производные таких функций. Если значение функции увеличивается со значением x, то функция положительна. Если значение функции уменьшается с увеличением значения x, то говорят, что функция отрицательна.
Интервалы возрастания и убывания действительных чисел — это действительнозначные функции, которые имеют тенденцию возрастать и уменьшаться при изменении значения зависимой переменной функции. Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нужно определить первую производную функции. Это делается для того, чтобы найти знак функции, будь то отрицательный или положительный. Интервал функции называется положительным, если значение функции f(x) увеличивается с увеличением значения x. Напротив, интервал функции называется отрицательным, если значение функции f (x) уменьшается с увеличением значения x.
Альтернативно, интервал функции положителен, если положительный знак первой производной. Интервал функции отрицательный, если знак первой производной отрицательный. Следовательно, положительный интервал увеличивается, тогда как отрицательный интервал называется убывающим интервалом.
Как записать интервалы возрастания и убывания?Вы можете представлять интервалы возрастания и убывания, понимая простые математические понятия, приведенные ниже:
- Говорят, что значение интервала увеличивается для каждого x < y, где f (x) ≤ f (y) для действительнозначной функции f (x).
- Если значение интервала f (x) ≥ f (y) для каждого x < y, то интервал называется убывающим.
Вы также можете использовать первую производную, чтобы найти интервалы возрастания и убывания и соответственно записать их.
- Если первая производная функции равна f’ (x) ≥ 0, интервал увеличивается.
- С другой стороны, если значение производной f’ (x) ≤ 0, то интервал называется убывающим.
Поскольку вы умеете записывать интервалы возрастания и убывания, пора научиться находить интервалы возрастания и убывания. Давайте научимся находить интервалы возрастания и убывания на примере.
Рассмотрим функцию f(x) = x 3 + 3x 2 – 45x + 9. Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нужно продифференцировать их относительно x. После дифференцирования вы получите первую производную как f’(x).
Следовательно, f’(x) = 3x 2 + 6x – 45
Вынимая из всего члена 3 общих, получаем 3 (x 2 + 2x -15). Теперь, находя множители этого уравнения, мы получаем, 3 (x + 5) (x – 3). Если вы замените эти значения эквивалентными нулю, вы получите значения x.
Следовательно, значение x = -5, 3.
Чтобы найти значение функции, подставьте эти значения в исходную функцию, и вы получите значения, как показано в таблице ниже.
Интервал | Значение x | f'(x) | Возрастание/уменьшение 2 0 | (-∞, -5) | х = -6 | е ‘(-6) = 27 > 0 | Увеличение |
(-5, 3) | x = 0 | f'(0) = -45 < 0 | Уменьшение | ∞ ) | x = 4 | f'(4) = 27 > 0 | Возрастание |
Следовательно, для данной функции f (x) = x 3 + 3x 2 – 45x + 9 возрастающие интервалы равны (-∞, -5) и (3, ∞), а убывающие интервалы равны (-5, 3).
Частный случай: функция «один к одному»
Строго возрастающие или убывающие функции обладают особым свойством, называемым инъективными или взаимно однозначными функциями. Это означает, что вы никогда не получите одно и то же значение функции дважды.
Например, вы можете получить значение функции дважды на первом графике. Однако на втором графике у вас никогда не будет одинакового значения функции. Следовательно, график справа известен как взаимно однозначная функция.
Это полезно, потому что инъективные функции могут быть обращены. Вы можете вернуться от значения «y» функции к значению «x». Обычно это невозможно, так как существует более одного возможного значения x.
Пример 1: Какими будут интервалы возрастания и убывания функции f (x) = -x 3 + 3x 2 + 9?
Решение: Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нужно продифференцировать функцию относительно x. Следовательно, f’(x) = -3x 2 + 6x.
Теперь, убрав из уравнения 3 обычных, мы получим -3x (x – 2). Чтобы найти значения x, приравняем это уравнение к нулю, получим f'(x) = 0
⇒ -3x (x – 2) = 0
⇒ x = 0 или x = 2.
Следовательно , интервалы для функции f (x) равны (-∞, 0), (0, 2) и (2, ∞). Чтобы найти значения функции, ознакомьтесь с таблицей ниже.
Интервал | Значение x | f'(x) | 1 Возрастание/уменьшение 7 | |||
(-∞, 0) | х = -1 | е ‘(-1) = -9 < 0 | По убыванию | |||
(0, 2) | x = 1 | f'(1) = 3 > 0 | По возрастанию | 7 2, 55519 7 )x = 4 | f'(4) = -24 < 0 | Уменьшение |
Следовательно, (-∞, 0) и (2, ∞) — убывающие интервалы, а (0, 2) — возрастающие интервалы.
Пример 2: Считаете ли вы, что интервал (-∞, ∞) является строго возрастающим интервалом для f(x) = 3x + 5? Если да, то докажите это.
Решение: Чтобы доказать утверждение, рассмотрим два действительных числа x и y в интервале (-∞, ∞), такие что x < y.
Тогда 3x < 3y.
⇒ 3x + 5 < 3y + 5
⇒ f (x) < f (y)
Так как x и y являются произвольными значениями, следовательно, f (x) < f (y) всякий раз, когда x < y. Следовательно, интервал (-∞, ∞) является строго возрастающим интервалом для f(x) = 3x + 5. Следовательно, утверждение доказано.
Пример 3: Найдите, является ли функция f (x) x 3 −4x для x в интервале [−1, 2] возрастающей или убывающей.
Решение: вам нужно начать с -1, чтобы построить функцию на графике. -1 выбрано потому, что интервал [−1, 2] начинается с этого значения. При x = -1 функция убывает. Как только он достигнет значения 1,2, функция увеличится. После того, как функция достигла значения больше 2, значение будет продолжать увеличиваться. При точном анализе нельзя найти, увеличивается интервал или уменьшается. Итак, скажем, в интервале [−1, 2],
- Кривая спадает в интервале [−1, прибл. 1,2]
- Кривая возрастает в интервале [прибл. 1,2, 2]
В приведенных выше разделах вы научились писать интервалы возрастания и убывания. В этом разделе вы узнаете, как находить интервалы возрастания и убывания с помощью графиков. Было бы полезно, если бы вы изучили приведенную ниже таблицу, чтобы четко понять концепцию.
Возрастающий интервал | Уменьшающийся интервал |
На приведенном ниже графике показана возрастающая функция. Это можно определить, взглянув на приведенный график. Поскольку график идет вверх по мере движения слева направо по оси X, говорят, что график увеличивается. | На приведенном ниже графике показана убывающая функция. Это можно определить, взглянув на приведенный график. Поскольку график идет вниз при движении слева направо по оси X, говорят, что график уменьшается. |
- Функция выдаст постоянное значение и будет называться постоянной, если f’(x) = 0 в течение этого интервала.
- Для вещественнозначной функции f (x) интервал I называется строго возрастающим интервалом, если для каждого x < y выполняется f (x) < f (y).
- Для вещественнозначной функции f (x) интервал I называется строго убывающим интервалом, если для каждого x < y выполняется f (x) > f (y).
- Для функции f (x), когда x1 < x2, тогда f (x1) ≤ f (x2), интервал называется возрастающим.
- Для функции f (x), когда x1 < x2, а затем f (x1) < f (x2), интервал называется строго возрастающим. Нужно быть внимательным, глядя на знаки возрастающих и строго возрастающих функций.
- Для функции f (x), когда x1 < x2, тогда f (x1) ≥ f (x2), интервал называется убывающим.
- Для функции f (x), когда x1 < x2, то f (x1) > f (x2), интервал называется строго убывающим.