Формула d1 алгебра: Внеклассный урок — Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант

Внеклассный урок — Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант

 

Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.

  

Формула №1:

         —b ± √D
x =  ————,  где D = b² – 4ac.
             2a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x² + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

Итак:

D = b² – 4ac = 7² – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

         —b ± √D      -7 ± √1         -7 ± 1
x =  ———— = ———— = ————
             2a                24                 24

Находим оба значения x:

        -7 + 1        -6      -1          1
x₁ = ——— = —— = — = – —
           24           24       4          4

 

         -7 – 1       -8       -1         1
x₂ = ——— = —— = — = – — .
           24           24       3          3

 

                        1                   1
Ответ: x₁ = – —,    x₂ = – —
                        4                   3

 

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

      —k ± √D₁
x = ————,   где D₁ = k² – ac
             a

Пример. Решим уравнение 5x² – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8,  a = 5,  c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D₁:

D₁ = k² – ac = (-8)² – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

      —k ± √D₁       — (-8) ± √49      8 ± 7
x = ———— =  ————— = ———
             a                     5                  5

Отсюда:

          8 + 7       15
x₁ = ——— =  — = 3
            5            5

 

         8 – 7         1
x₂ = ——— =  — = 0,2
             5           5 

 

Ответ: x₁ = 3; x₂ = 0,2.

 

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

 

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D₁ = k² − ac, а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x² + 6x − 16 = 0. В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k.

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k, то есть 2k.

n = 2k

Например, число 10 можно представить как 2 × 5.

10 = 2 × 5

В этом произведении k = 5.

---

Число 12 можно представить как 2 × 6.

12 = 2 × 6

В этом произведении k = 6.

---

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7.

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k.

В уравнении x² + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6. Это число можно представить как 2 × 3. В этом произведении k = 3. Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

D₁ = k² − ac = 3² − 1 × (−16) = 9 + 16 = 25

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x² + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8.

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта (D=b² − 4ac), в формуле D₁ = k² − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac.

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

---

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x² − 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3). То есть k = −3. Найдём дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

D₁ = k² − ac = (−3)² − 5 × 1 = 9 − 5 = 4

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

---

Пример 3. Решить квадратное уравнение x² − 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5). То есть k = −5. Найдём дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

D₁ = k² − ac = (−5)² − 1 × (−24) = 25 + 24 = 49

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2k. Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k, нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

---

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k. Получается, что

Найдём дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

---

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

b = 2k

Заменим в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

ax² + 2kx + c = 0

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

D = b² − 4ac = (2k)² − 4ac = 4k² − 4ac

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

D = b² − 4ac = (2k)² − 4ac = 4k² − 4ac = 4(k² − ac)

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k² − ac.

В выражении 4(k² − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k² − ac. Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k² − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D₁

D₁ = k² − ac

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k. Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k. Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k² − ac)

Но ранее было сказано, что выражение k² − ac обозначается через D₁. Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; 0,6

Показать решение

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Показать решение

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −1,4

Показать решение

Задание 4. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Показать решение

Задание 5. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Показать решение

Задание 6. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Показать решение

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Показать решение

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

дискриминантных формул — что такое дискриминантные формулы? Примеры

Формулы дискриминанта используются для нахождения дискриминанта полиномиального уравнения. В частности, дискриминант квадратного уравнения используется для определения количества и характера корней. Дискриминант полинома – это функция, состоящая из коэффициентов полинома. Давайте изучим формулы дискриминанта вместе с несколькими решенными примерами.

Что такое дискриминантные формулы?

Дискриминантные формулы дают нам общее представление о природе корней. Дискриминант квадратного уравнения получается из квадратной формулы. Дискриминант обозначается D или Δ. Дискриминантные формулы для квадратного уравнения и кубического уравнения:

Дискриминантная формула квадратного уравнения

Дискриминантная формула квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 есть, Δ (или) D = b ²  — 4ач. Мы знаем, что квадратное уравнение имеет максимум 2 корня, так как его степень равна 2. Мы знаем, что квадратная формула используется для нахождения корней квадратного уравнения на оси 9.0013 2 + bx + c = 0. Согласно квадратичной формуле, корни можно найти, используя x = [-b ± √ (b ²  — 4ac) ] / [2a]. Здесь b ²  — 4ac — это дискриминант D, который находится внутри квадратного корня. Таким образом, квадратичная формула становится x = [-b ± √D] / [2a]. Здесь D может быть либо >

0, = 0, (или) < 0. Определим характер корней в каждом из этих случаев.

• Если D > 0, то квадратная формула принимает вид x = [-b ± √(положительное число)] / [2a], и, следовательно, в этом случае квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если D = 0, квадратная формула принимает вид x = [-b] / [2a], и, следовательно, в этом случае квадратное уравнение имеет только один действительный корень.
• Если D < 0, то квадратная формула принимает вид x = [-b ± √(отрицательное число)] / [2a], и, следовательно, в этом случае квадратное уравнение имеет два различных комплексных корня (это связано с тем, что квадратный корень из отрицательного число приводит к мнимому числу. Например, √(-4) = 2i).

Дискриминантная формула кубического уравнения

Дискриминантная формула кубического уравнения ax

3  + bx ²  + cx + d = 0 is, Δ (или) D = b ² c ² − 4ac ^{3 1} 4 г − 27а ² г ²  + 18abcd. Мы знаем, что кубическое уравнение имеет максимум 3 корня, поскольку его степень равна 3. Здесь

• . Если D > 0, все три корня действительны и различны.
• Если D = 0, то действительны все три корня, из которых хотя бы два равны между собой.
• Если D < 0, то два его корня — комплексные числа, а третий корень — вещественный.

 

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Закажите бесплатный пробный урок

Мы можем увидеть применение формул дискриминанта в следующем разделе.

Примеры использования дискриминантных формул

Пример 1: Определить дискриминант квадратного уравнения 5x ² + 3x + 2 = 0. Также определить природу его корней.

Решение:

Данное квадратное уравнение имеет вид 5x ² + 3x + 2 = 0.

Сравнивая это с ax ² + bx + c = 0, получаем и c = 2.

Используя дискриминантную формулу,

D = b ² — 4ac

= 3 ² — 4(5)(2)

= 9 — 40

= -31

Ответ: Дискриминант равен -31. Это отрицательное число, поэтому данное квадратное уравнение имеет два комплексных корня.

Пример 2:  Определить дискриминант квадратного уравнения 2x ²  + 8x + 8 = 0. Также определить характер его корней.

Решение:

Данное квадратное уравнение равно 2x ² + 8x + 8 = 0.

Сравнивая это с ax ² + bx + c = 0, мы получаем a = 2, b = 8 и c = 8.

Используя дискриминантную формулу,

D = b ²  — 4ac

= 8 ² — 4( 2)(8)

= 64 — 64

= 0

Ответ: Дискриминант равен 0 и, следовательно, данное квадратное уравнение имеет два комплексных корня.

Пример 3: Определить природу корней кубического уравнения x ³  — 4x ²  + 6x — 4 = 0.

Решение:

Данным кубическим уравнением является x ³  — 4x ²  + 6x — 4 = 0.

Сравнивая это с , b = -4, c = 6 и d = -4. по дискриминантной формуле abcd

= (-4) ² (6) ² − 4(1)(6) ³ − 4(-4) ³ (-4) − 27(1) ² (-4) ² + 18(1)(-4)(6)(-4)

= -16

Ответ: Поскольку дискриминант является отрицательным числом, данное кубическое уравнение имеет два комплексных корня и один действительный корень.

Часто задаваемые вопросы о формулах дискриминанта

Что такое формулы дискриминанта?

Дискриминант полиномиального уравнения – это функция, выраженная через его коэффициенты. Дискриминант уравнения используется для определения характера его корней. Дискриминантные формулы следующие:

• Дискриминантная формула квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 is, Δ (или) D = b ²  — 4ac.
• Дискриминантная формула уравнения куба − 27a ² d ²  + 18abcd.

Как вывести дискриминантную формулу квадратного уравнения?

Выведем дискриминантную формулу квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0. По квадратичной формуле решения этого уравнения находятся с использованием x = [-b ± √ (b ²  — 4ac) ] / [2a]. Здесь b ²  — 4ac находится внутри квадратного корня, и, следовательно, мы можем определить природу корней, используя свойства квадратного корня (например, квадратный корень из положительного числа является действительным числом, квадратный корень из a отрицательное число является мнимым числом, а квадратный корень из 0 равен 0). Таким образом, дискриминант квадратного уравнения равен b ²  — 4ач.

Каковы применения формулы дискриминанта?

Формула дискриминанта используется для определения природы корней квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равен D = b ²  — 4ac.

• Если D > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня.
• Если D = 0, то уравнение имеет только один действительный корень.
• Если D < 0, то уравнение имеет два различных комплексных корня.

Что такое дискриминантная формула кубического уравнения?

Дискриминантная формула кубического уравнения ax ³  + bx ²  + cx + d = 0 обозначается Δ (или) D и находится по формуле Δ (или) D = b ² c ² − 4ac ³ − 4b ³ d − 27a ² d ² + 18abcd.

Использование формулы расстояния, скорости и времени

Результаты обучения

• Использование метода решения задач для решения задач с использованием формулы расстояния, скорости и времени

Одна из формул, которую вы будете часто использовать в алгебре и в повседневной жизни, — это формула расстояния, пройденного объектом, движущимся с постоянной скоростью. Основная идея, вероятно, вам уже знакома. Знаете ли вы, какое расстояние вы проехали, если ехали с постоянной скоростью [латекс]60[/латекс] миль в час в течение [латекс]2[/латекс] часов? (Это может произойти, если вы используете круиз-контроль вашего автомобиля во время движения по межштатной автомагистрали.) Если вы сказали [латекс]120[/латекс] миль, вы уже знаете, как использовать эту формулу!

Математика для расчета расстояния может выглядеть так:

[латекс]\begin{array}{}\\ \text{расстояние}=\left(\Large\frac{60\text{ миль}}{1 \text{час}}\normalsize\right)\left(2\text{часы}\right)\hfill \\ \text{расстояние}=120\text{миль}\hfill \end{массив}[/latex]

В общем случае формула, связывающая расстояние, скорость и время, выглядит следующим образом: Скорость и время

Для объекта, движущегося с постоянной (постоянной) скоростью, пройденное расстояние, прошедшее время и скорость связаны формулой

[латекс]d=rt[/латекс]

, где [латекс]d=[/латекс] расстояние, [латекс]r=[/латекс] скорость и [латекс]t=[/латекс] время.

Обратите внимание, что единицами измерения скорости, которые мы использовали выше, были мили в час, которые мы можем записать как отношение [латекс]\большой\фрак{мили}{час}[/латекс]. Затем, когда мы умножили время в часах, общие единицы «час» разделились. Ответ был в милях.

пример

Джамал едет на велосипеде с постоянной скоростью [latex]12[/latex] миль в час в течение [latex]3\Large\frac{1}{2}[/latex] часов. Какое расстояние он проехал?

Решение:

Шаг 1. Прочтите задачу. Вы можете создать мини-диаграмму, чтобы обобщить информацию о проблеме.	[латекс]d=?[/латекс] [латекс]r=12\текст{миль в час}[/латекс] [латекс]t=3 \Large\frac{1}{2}\normalsize\text{часы}[/latex]
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	пройденное расстояние
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления.	пусть d = расстояние
Шаг 4. Перевести. Напишите формулу, соответствующую ситуации. Замените предоставленную информацию.	[латекс]d=rt[/латекс] [латекс]d=12\cdot 3\Большой\фракция{1}{2}[/латекс]
Шаг 5. Решите уравнение.	[латекс]d=42\текст{миль}[/латекс]
Шаг 6. Проверка: Имеет ли значение 42 мили?
Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.	Джамал проехал 42 мили.

 

попробуй

В следующем видео мы приводим еще один пример того, как решить для расстояния по скорости и времени.

Пример

Рей планирует выехать из своего дома в Сан-Диего, чтобы навестить свою бабушку в Сакраменто, расстояние [латекс]520[/латекс] миль.