Найдите сумму разность произведение и частное комплексных чисел: Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел

Содержание

1) Найдите сумму, разность, произведение и частное компле… -reshimne.ru

Новые вопросы

Ответы

Как найти произведение двух комплексных чисел: формулы, примеры

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel. ru Математика Алгебра Умножение комплексных чисел

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти произведение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической или тригонометрической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.

Умножение в алгебраической форме
Произведение в тригонометрической форме

Умножение в алгебраической форме

Произведением двух комплексных чисел x = a₁ + b₁i и y = a₂ + b₂i также является комплексное число z:

z = x ⋅ y = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂) ⋅ i

Формула получается путем перемножения двучленов (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i). При этом не забываем, что i² = -1.

Пример 1
Найдем произведением комплексных чисел: x = 3 + 7i и y = 2 – i.

Решение:
x ⋅ y = (3 + 7i)(2 – i) = 3 ⋅ 2 – 3 ⋅ i + 7i ⋅ 2 – 7i ⋅ i = 6 – 3i + 14i – 7i² = 6 + 11i – 7 ⋅ (-1) = 13 + 11i.

Произведение в тригонометрической форме

Комплексные числа могут быть заданы в тригонометрической форме, например x = |x| ⋅ (cos φ₁ + i ⋅ sin

φ₁) и y = |y| ⋅ (cos φ₂ + i ⋅ sin φ₂).

В этом случае формула произведения выглядит следующим образом:

x ⋅ y = |x| ⋅ |y| ⋅ [cos(φ₁ + φ₂) + i ⋅ sin(φ₁ + φ₂)]

Пример 2
Выполним умножение двух комплексных чисел: x = 2 ⋅ (cos 15° + i ⋅ sin 15°) и y = 5 ⋅ (cos 30° + i ⋅ sin 30°).

Решение:
|x| ⋅ |y| = 2 ⋅ 5 = 10
φ₁ + φ₂ = 15° + 30° = 45°
x ⋅ y = 10 ⋅ (cos 45° + i ⋅ sin 45°)

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

6.

Произведения и частные комплексных чисел

М. Борна

При выполнении сложения и вычитания комплексных чисел используйте прямоугольную форму . (Это потому, что мы просто добавляем действительные части, а затем добавляем мнимые части, или вычитаем действительные части, вычитаем мнимые части.)

При умножении или нахождении степеней и корней комплексных чисел используйте полярные числа и показательных форм . (Это потому, что это намного проще, чем прямоугольная форма.)

Мы начнем с примера, использующего экспоненциальную форму, а затем обобщим его для полярных и прямоугольных форм.

Пример 1

Найти (3 e ^{4 j} )(2 e ^{1.7 j} ), где `j=sqrt(-1).`

Ответить

Здесь мы умножаем два комплексных числа в экспоненциальной форме. Это ничем не отличается от умножения всякий раз, когда используются индексы.

(3 и ^{4 9((тета_1+\ тета_2)j`}

Из этого мы можем вывести формулу умножения с использованием полярной формы:

`r_1(cos\ theta_1+j\ sin\ theta_1)` `xxr_2(cos\ theta_2+j\ sin\ theta_2)`

`=r_1r_2(cos[theta_1+theta_2]` `{:+j\ sin[ тета_1+тета_2])`

или с эквивалентным значением:

`r_1/_theta_1xxr_2/_theta_2=r_1r_2/_[theta_1+theta_2]`

На словах вся эта запутанная алгебра просто значит.

Чтобы умножить комплексные числа в полярной форме,

Multiply r части
Добавить угол детали

Пример 2

Найти 3(cos 120° + j sin 120°) × 5(cos 45° + j sin 45°)

Ответить

3(cos 120° + j sin 120°) × 5(cos 45° + j sin 45°)

= (3)(5)(cos(120° + 45°) + 9(\ 2.4j)`

[Мы разделили числовые части и вычли индексы, используя обычную алгебру.]

Из вышеприведенного примера можно сделать следующий вывод:

`(r_1(costheta_1+j\ sintheta_1))/(r_2(costheta_2+j\ sintheta_2))` `=r_1/r_2(cos[theta_1-theta_2]+j\ sin[theta_1-theta_2])`

или

`(r_1/_theta_1)/(r_2/_theta_2)=r_1/r_2/_[theta_1-theta_2]`

На словах это просто означает… 9″о»`.

Часть (ii) ПРОВЕРКА:

`(-2+5j)/(-1-j)`

`=((-2+5j)(-1+j))/((-1-j) )(-1+j))`

`=(-3-7j)/2`

`=-1. 5-3.5j`

Вот объяснение того, что произошло в расширении терминов в приведенном выше ответе.

Верхняя часть дроби (числитель):

(−2 + 5 j )(−1 + j )

Это дает нам

−2(−1 + j ) + 5 j (−1 + j )

= 2 − 2 j − 5 j + 5 j ²
= 2 − 2 − 5 − 5
= −3 − 7 j

Нижняя часть дроби равна

(−1 − j )(−1 + j )

= (−1) ² − ( j ) ²
= 1 — (-1)
= 1 + 1
= 2

[В Части (i) есть ошибка округления, так как мы везде использовали десятичные аппроксимации. Ответ в Части (ii) таков: точно.]

5.3.5: Теоремы о произведении и частном

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 4163

Упрощенный способ умножения и деления комплексных чисел.

Комплексные числа встречаются в реальных вычислениях, включая квантовую механику, анализ сигналов, гидродинамику, теорию управления и многие другие области.

В электротехнике комплексные числа используются для расчетов, включающих импеданс (сопротивление электрическому потоку в цепи).

Инженеры-электрики знакомы с формулой: 9{j\omega t}=V_0(\cos\omega t+j\sin\omega t)\)

, сравнив его с аналогичным выражением ниже, которое исследуется в этом уроке, можете ли вы идентифицировать переменную \(j\)?

\(r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\)

Теоремы о произведении и частном

Теорема о произведении

Поскольку комплексные числа можно преобразовать в полярную форму, умножение комплексных чисел также можно выполнять в полярной форме. Предположим, мы знаем \(z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\), \(z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\) 92 = -1\), собрать одинаковые члены, вынести i, подставить формулы суммы углов для синуса и косинуса)

\(z_1 \cdot z_2 =r_1r_2 cis \; [(\theta_1+\theta_2)]\)

Это последнее уравнение утверждает, что произведение двух комплексных чисел в полярной форме может быть получено путем умножения полярных значений r каждого из комплексных чисел, а затем умножения этого значения на цис суммы каждого из двух углов отдельного комплексного числа числа. Это более лаконично, чем прямоугольная форма для умножения комплексных чисел.

Теорема о частных

Деление комплексных чисел в полярной форме можно показать с помощью аналогичного доказательства, которое использовалось для доказательства умножения комплексных чисел. Здесь мы опускаем доказательство и приводим результат. Для \(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\) и \(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\), тогда \(\dfrac{z_1}{ z_2} =\dfrac{r_1}{r_2} \times \; cis \; [\theta_1−\theta_2]\)

Пример \(\PageIndex{1}\) 9{j\omega t}=V_0(\cos \omega t+j\sin \omega t)\)

Решение

В электрических расчетах буква I обычно используется для обозначения тока , поэтому мнимые числа обозначаются буквой j.

Обратите внимание на аналогичное использование i в \(r(\cos\theta+i\sin\theta)\).

Пример \(\PageIndex{2}\)

Умножьте \(z_1 \cdot z_2 \), где \(z_1 =2+2i\) и \(z_2 =1−\sqrt{3i}\).

92} \\&=\sqrt{1+3} \\ &=\sqrt{4}\\ &=2\end{выровнено}\)

\(\begin{aligned} \tan \theta_2 &=\dfrac{- \sqrt{3}}{1} \\ \theta_2&=\dfrac{5 \pi}{3} \end{aligned}\)

Теперь мы можем использовать формулу \(z_1 \cdot z_2 =r_1\cdot r_2\;cis \;(\theta_1+\theta_2)\)

Замена дает:

\(\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 =2\sqrt{2} \times 2 \; cis \; \left[\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{5\pi}{3} \right] \\ =4\sqrt{2} \;cis \;\left[\dfrac{23\ пи }{12}\справа] \конец{выровнено}\) 92}\)

\(r_1=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3} \) и \(r_2=\sqrt{16+48}=\sqrt{64} =8\)

Для \(\theta_1\) сначала найдите \(\tan \theta_{ref}=\left | \dfrac{y}{x} \right|\)

\(\begin{aligned } \ tan \ theta_ {ref} & = \ dfrac {(2 \ sqrt {3} )} {6} \\ \ tan \ theta_ {ref} & = \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} \\ \theta_{ref}&=\dfrac{\pi}{6} \end{aligned}\)

Поскольку \(x > 0\) и \(y < 0\) мы знаем, что \(\theta_1\) находится в 4 ^-м квадранте:

\(\theta_1=11\dfrac{\pi}{6}\)

Для \(\theta_2\),

\(\begin{aligned} \tan \theta_{ref}&=\dfrac{(4\sqrt{3} )}{4} \\ \tan \theta_{ ref}&=\sqrt{3} \\ \theta_{ref}&=\dfrac{\pi}{3} \end{aligned}\)

Так как \(\theta_2\) находится в первом квадранте,

\(\theta_2=\dfrac{\pi}{3}\)

Использование полярного умножения,

\(\begin{aligned} z_1 \times z_2 &=4\sqrt{3} \times 8\left( \; цис \; \left[\dfrac{11\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right] \right) \\ z_1 \times z_2 &=32\sqrt{3} \left (\; цис \; \left[\dfrac{13 \pi}{6}\right] \right) \end{aligned}\) 92}\) или \(\sqrt{16}=4\) и \(\tan \theta_2=\dfrac{−2}{(−2\sqrt{3} )}\), поэтому \(\theta_2= \dfrac{7 \pi}{6}\) (3 ^rd квадрант)

Используя формулу, \(z_1 z_2 =r_1r_2\times \; cis \; [\theta_1−\theta_2]\) или

\(\begin{align} &=5\sqrt{2} 4\times \; cis \; \left[\dfrac{7\pi}{4}−\dfrac{7 \pi}{6}\right] \\ &=5\sqrt{2} 4\times \;cis \;\left[\dfrac{7 \pi}{12}\right] \\ &=5\sqrt{2} 4\left[\cos \dfrac{7 \pi}{12}+i \sin \dfrac{7 \pi}{12}\right]\\ &=1,768[−0,259{2}} \\
&=\dfrac{-10 \sqrt{3}+10 i+10 \sqrt{3} i+10}{12+4} \\
&=\dfrac{(-10 \ sqrt{3}+10)+(10+10 \sqrt{3}) i}{16} \\
&=\dfrac{(-17. 3+10)+(10+17.3) i}{16} \\
&=\dfrac{(-7.3)+(27.3) i}{16} \qquad \text { or } \; -0,456+1,706 i
\end{aligned}\)

Два радикально разных подхода дают один и тот же ответ. Небольшая разница между двумя ответами является результатом десятичного округления.

Пример \(\PageIndex{5}\)

Найдите произведение: \(\left(7\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\cdot \left(5 \left (−\dfrac{\pi}{4}\right) \right)\).

Решение

Это проще, чем кажется: вспомните \(z_1 \cdot z_2 =r_1\cdot r_2 \; цис \; (\theta_1+\theta_2)\).

\(\begin{aligned} r_{1} \cdot r_{2} &\rightarrow 7 \cdot 5=35 && \text{Подстановкой и умножением}\\ \theta_{1}+\theta_{2} & \rightarrow\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\left(\dfrac{-\pi}{4}\right) && \text{Substitute} \\
&\left(\dfrac {2 \pi}{12}\right)+\left(\dfrac{-3 \pi}{12}\right) && \text{Найти общий знаменатель} \\ &\left(\dfrac{-\pi} {12}\right) && \text{Упростить} \\ 92}=\sqrt{5}\)

\(\begin{align} \tan \theta_1&=\dfrac{2}{1} \\ \tan \theta_1&=2 \\ \theta_{ref}&=1,107 \text{ радианы} \end{выровнено}\)

, поскольку угол находится в квадранте 1 ^st

\(\theta_1 = 1,107 \text{ радианы}\)

для \(\theta_2\),

\(\begin{align} \tan \theta_2&=\dfrac{−1}{2} \\ \tan \theta_{ref}&=\dfrac{1}{2} \\ \theta_{ref}& =0,464 \text{ радиан }\end{aligned}\)

, так как\(\theta_2\) находится в 4 ^{-й квадрант}, между 4,712 (или \(\dfrac{3 \pi }{2}\)) и 6,282 радиан (или \(2\pi \))

\(\theta_2 = 5,820 радиан\)

Наконец, используя формулу деления,

\(\begin{aligned} \dfrac{z_1 }{z_2} &=\dfrac{\sqrt{5} }{\sqrt{5} }[\; cis \; (1,107 −5,820)] \\ \dfrac{z_1 }{z_2} &=[\; цис \; (−4,713)] \\ \dfrac{z_1 }{z_2}&=[\cos (−4,713)+i \sin (−4,713)] \\ \dfrac{z_1 }{z_2}&=[\cos (1,570)+i \sin (1,570)] \end{aligned}\)

Если предположить, что \(\dfrac{\ пи {2}=1,570\), тогда

\(\begin{align} &\ приблизительно \dfrac{z_1}{z_2}=[\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i \sin\left(\dfrac{\ pi }{2}\right)] \\ \dfrac{z_1 }{z_2}&=0+1i=i \end{aligned}\)

Обзор

Найдите продукт, используя полярную форму: \( (2+2i)(\sqrt{3}-i)\)
\(2 цис \; (40)\cdot 4 цис \; (20)\)
Умножить: \(2\left(\cos \dfrac{\pi }{8}+i \sin \dfrac{\pi }{8}\right)\cdot 2 \left(\cos \dfrac{\pi } {10}+i \sin \dfrac{\pi }{10}\right)\) 9{\circ})\)

Если \(z_1 =7\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\) и \(z_2 =5\left(\dfrac{-\pi }{4}\right)\) найти :

\(z_1 \cdot z_2\)
\(\влево(\dfrac{z_1}{z_2}\вправо)\)
\(\влево(\dfrac{z_2}{z_1}\вправо)\)

Если \(z_1 =8\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\) и \(z_2 =5\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\) найти:

\(z_1 z_2\)
\(\влево(\dfrac{z_1}{z_2}\вправо)\)
\(\влево(\dfrac{z_2}{z_1}\вправо)\) 9{\circ})\)

Обзор (ответы)

Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 4. 9.

Словарь

Срок	Определение
Комплексно-сопряженный	Комплексно-сопряженные числа — это пары комплексных биномов. Комплексное сопряжение \(a+bi\) равно \(a−bi\). При умножении комплексно-сопряженных чисел получается единственное действительное число. 907:30
комплексный номер	Комплексное число — это сумма действительного и мнимого чисел, записанная в виде \(a+bi\).
прямоугольная форма	Прямоугольная форма точки или кривой задается через x и y и изображается на декартовой плоскости.

Дополнительные ресурсы

Видео: Теорема комплексных сопряжений — обзор

Практика: теоремы о произведении и частном

Эта страница под названием 5.