Частные производные первого, второго и третьего порядка: понятия и примеры решений
Чтобы понять частные производные, сначала нужно разобраться с обычными. И не нужно ничего искать: в нашей отдельной статье мы уже подготовили все для того, чтобы у вас это получилось. А сейчас речь пойдет о частных производных.
Добро пожаловать на наш телеграм-канал за полезной рассылкой и актуальными студенческими новостями.
Функция двух и более переменных
Прежде чем говорить о частных производных, нужно затронуть понятие функции нескольких переменных, без которого нет смысла в частной производной. В школе мы привыкли иметь дело с функциями одной переменной:
Производными таких функций мы и считали раньше. График функции одной переменной представляет собой линию на плоскости: прямую, параболу, гиперболу и т.д.
А что, если добавить еще одну переменную? Получится такая функция:
Это – функция двух независимых переменных x и y. График такой функции представляет собой поверхность в трехмерном пространстве: шар, гиперболоид, параболоид или еще какой-нибудь сферический конь в вакууме.
Частные производные функции z по иксу и игреку соответственно записываются так:
Существуют также функции трех и более переменных. Правда, график такой функции нарисовать невозможно: для этого понадобилось бы как минимум четырехмерное пространство, которое невозможно изобразить.
Частная производная первого порядка
Запоминаем главное правило:
При вычислении частной производной по одной из переменных, вторая переменная принимается за константу. В остальном правила вычисления производной не меняются.
То есть, частная производная по сути ничем не отличается от обычной. Так что, держите перед глазами таблицу производных элементарных функций и правила вычисления обычных производных. Рассмотрим пример, чтобы стало совсем понятно. Допустим, нужно вычислить частные производные первого порядка следующей функции:
Сначала возьмем частную производную по иксу, считая игрек обычным числом:
Теперь считаем частную производную по игреку, принимая икс за константу:
Как видите, ничего сложного в этом нет, а успех с более сложными примерами – лишь дело практики.
Частная производная второго порядка
Как находится частная производная второго порядка? Так же, как и первого. Чтобы найти частные производные второго порядка, нужно просто взять производную от производной первого порядка. Вернемся к примеру выше и посчитаем частные производные второго порядка.
По иксу:
По игреку:
Частные производные третьего и высших порядков не отличаются по принципу вычисления. Систематизируем правила:
- При дифференцировании по одной независимой переменной, вторая принимается за константу.
- Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка. Третьего порядка – производная от производной второго порядка и т.д.
Частные производные и полный дифференциал функции
Частый вопрос в практических заданиях – нахождение полного дифференциала функции. Для функции нескольких переменных полный дифференциал определяется, как главная линейная часть малого полного приращения функции относительно приращений аргументов.
Определение звучит громоздко, но с буквами все проще. Полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных выглядит так:
Зная, как считаются частные производные, нет никакой проблемы вычислить и полный дифференциал.
Частные производные – не такая уж и бесполезная тема. Например, дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка широко используются для математического описания реальных физических процессов.
Здесь мы дали лишь общее, поверхностное представление о частных производных первого и второго порядка. Вас интересует эта тема или остались конкретные вопросы? Задавайте их в комментариях и обращайтесь к экспертам профессионального студенческого сервиса за квалифицированной и скорой помощью в учебе. С нами вы не останетесь один на один с проблемой!
Иван Колобков, известный также как Джони.
Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Полный дифференциал
Перевод
Полный дифференциал
функции f (x, у, z,…) нескольких независимых переменных — выражение
в случае, когда оно отличается от полного приращения (См. Полное приращение)
Δf = f
(x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) — f (x, y, z, …)на величину, бесконечно малую по сравнению с
«Полный дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков»
Частной
производной по от
функции называется
предел отношения частного приращения по к
приращению ,
когда последнее стремится к
нулю:
.
Частной
производной по от
функции называется
предел отношения частного приращения по к
приращению ,
когда последнее стремится к нулю:
.
Пусть
задана функция .
Если аргументу сообщить
приращение ,
а аргументу –
приращение ,
то функция получит
приращение ,
которое называется полным
приращением функции и
определяется формулой:
.
Функция ,
полное приращение которой
в данной точке может быть представлено
в виде суммы двух слагаемых (выражения,
линейного относительно и ,
и величины бесконечно малой высшего
порядка относительно ):
,
где и стремятся
к нулю, когда и стремятся
к нулю (т.е. когда ),
называется
Для функции двух переменных их
четыре:Примеры решения задач
Пример 1. Найти полный дифференциал функции . Полным дифференциалом функции называется линейная (относительно и ) часть полного приращения функции: . Следовательно, для выполнения задания достаточно найти частные производные первого порядка от функции и подставить их в вышеприведенную формулу. Здесь и ниже использовалось правило дифференцирования произведения двух функций и правило дифференцирования сложной функции одной переменной. Ответ:
«Экстремум функции двух переменных»
Говорят, что функция имеет максимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё.
Говорят, что функция имеет минимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема (необходимое
условие экстремума функции двух
переменных).
Если функция достигает
экстремума при ,
то каждая частная производная первого
порядка от или
обращается в нуль при этих значениях
аргументов, или не существует.
Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е. , тогда при : 1) имеет максимум, если дискриминант и , где ; 2) имеет минимум, если дискриминант и ; 3) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ; 4) если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).
Нахождение частной производной первого порядка в точке
спросил
Изменено 5 лет, 10 месяцев назад
Просмотрено 3к раз
$\begingroup$
Я пытаюсь найти следующую частную производную первого порядка в данной точке: 92}$$
с $x = 2$ и $y = -1$ я получаю правильное решение $-4$.
2}$$ Подставляя $x=2, y=-1$, мы получаем, $$\frac{\partial f}{\partial y} = -4$$ Также обратите внимание, что вообще , $$\frac{\partial f}{\partial x} \neq \frac{\partial f}{\partial y}$$ Надеюсь, это поможет.
$\endgroup$
2
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
17.
5. Частные производные высшего порядка 17.5. Частные производные высшего порядка Частные производные второго порядка Нахождение частной производной второго порядка позволяет наблюдать множественные изменения одной и той же переменной или изменения одной переменной по отношению к другой переменной. Это похоже на получение второй производной производной функции, но только по отношению к интересующей нас переменной, сохраняя другие переменные первой производной постоянными. 93 Решение с помощью калькулятора
Используйте приведенный ниже синтаксис.
Дополнительные примеры
Найдите указанную частную производную второго порядка.
Синтаксис калькулятора: |
Синтаксис калькулятора: |
Синтаксис калькулятора: |
Синтаксис калькулятора: |
Частная производная третьего порядка 