Найти область сходимости ряда — примеры, решения
Пример 1:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 2:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:
R — радиус сходимости. Вычислим его:
x1 = 2 — 1 = 1
x2 = 2 + 1 = 3
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (1;3)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = 1
Получаем ряд:
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.
Второе условие Лейбница выполняется.
Ряд сходится, значит, x = 1 — точка сходимости.
При x = 3
получаем ряд:
числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 3 — точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x [1;3)
Пример 4:
Исследовать область сходимости функционального ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 5:
Найти область сходимости степенного ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 6:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом члены ряда не определены при х=-3/11, а если х≠-3/11, то
при любом х – ряд расходится всюду.
Пример 7:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:
R — радиус сходимости. Вычислим его:
x1 = -1 — 2 = -3
x2 = -1 + 2 = 1
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-3;1)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = -3
Получаем ряд:
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие не выполняется
1б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.
Второе условие Лейбница не выполняется.
Ряд расходится, значит, x = -3 — точка расходимости.
При x = 1
получаем ряд:
числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши.
Рассмотрим несобственный интеграл:
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 1 — точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x (-3;1)
Пример 8:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом
Следовательно, ряд сходится, если
и расходится, если
Если x=4/9, то ряд принимает вид — знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).
Если x=2/3, то ряд принимает вид — такой ряд расходится (по признаку сравнения, т.к. и ряд расходится (гармонический ряд)).
Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [4/9;2/3).
Пример 9:
Найдите множество абсолютной (условной) сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 10:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом
Следовательно, ряд сходится, если
и расходится, если
Если x=-3/7, то ряд принимает вид — знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами.
Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).
Если x=-1/7, то ряд принимает вид — такой ряд также сходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=11>1).
Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [-3/7;-1/7].
Пример 11:
Найдите множества абсолютной (условной) сходимости ряда
Решение от преподавателя:
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
Проверяем выполнение признака Лейбница:
Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, то ряд сходится.
Ряд знакочередующийся. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда
По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется
Второе условие Лейбница выполняется.
Данный ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница для знакочередующихся рядов.
Следовательно, ряд условно сходящийся.
Следовательно, сходится условно и исходный ряд.
Область сходимости ряда:(-∞; +∞)
Пример 12:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид — обобщенный гармонический ряд с параметром .
Такой ряд сходится, если
Однако и поэтому при любом х – ряд всюду расходится.
Пример 13:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
По признаку Лейбница ряд расходится
Т. о., область сходимости имеет вид (-1; 1)
Пример 14:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом
Следовательно, ряд сходится, если
и расходится, если
Если x=1/6, то ряд принимает вид — такой ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости).
Если x=3/2, то ряд принимает вид — такой ряд также расходится (также не выполнено необходимое условие сходимости).
Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: .
Пример 15:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти радиус и область сходимости степенного ряда. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн
Краткая теория
Функциональным рядом называется ряд вида:
где – функции, определенные на некотором множестве .
Множество всех точек сходимости ряда (*) называется его областью сходимости.
В области сходимости определены функции:
( n-я частичная сумма ряда)
(сумма ряда)
(остаток ряда)
Ряд
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
Из всех функциональных рядов наиболее часто применяют степенные ряды, которыми называют ряды вида
Действительные числа
называют коэффициентами ряда.
Неотрицательное число , такое, что ряд (**) сходится в интервале и расходится вне этого интервала, называется радиусом сходимости этого ряда, а интервал – интервалом сходимости ряда.
Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формулам:
или
Свойства степенных рядов
1. Сумма степенного ряда при всех значениях из интервала сходимости есть непрерывная функция.
2. Степенной ряд в его интервале сходимости можно почленно дифференцировать, то есть:
3. Степенной ряд можно интегрировать по любому отрезку, содержащемуся в интервале сходимости, причем:
Пример решения задачи
Задача
Найдите область сходимости степенного ряда:
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач.
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле:
В нашем случае:
Интервал сходимости:
Исследуем сходимость ряда на концах интервала:
При
Это знакопеременный ряд.
-абсолютные величины членов ряда монотонно убывают
По признаку Лейбница ряд сходится
При
Это ряд Дирихле — сходится, так как показатель степени в знаменателе больше единицы
Область сходимости:
Ответ:
.
Нахождение радиуса и интервала сходимости степенного ряда — Криста Кинг Математика
Каковы радиус и интервал сходимости ряда?
Интервал сходимости ряда — это набор значений, для которых ряд сходится. Помните, даже если мы можем найти интервал сходимости для ряда, это не означает, что весь ряд сходится, а только то, что ряд сходится в определенном интервале.
радиус сходимости ряда всегда составляет половину интервала сходимости. Вы можете помнить об этом, если будете думать об интервале сходимости как о диаметре круга.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Например, представим, что интервал сходимости ряда равен ???-3
Если интервал схождения представлен оранжевым диаметром, то радиус схождения будет равен половине диаметра.
Имея это в виду, мы можем констатировать универсальный факт, что для заданного интервала сходимости
???a радиус схождения ???R=\frac{b-a}{2}??? Чтобы найти радиус и интервал сходимости данного ряда, мы будем использовать критерий отношения, который говорит нам, что Если ???L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|???, то ряд сходится абсолютно если ???L<1???. ряд расходится
тест неубедительный если ???L=1???.
Так как мы знаем, что ряд сходится, когда ???L<1???, мы можем найти ???L???, установить его ???L<1???, а затем найти значения, для которых ряд сходится.
радиус конвергенции ???R??? ряда будет дано ???|x-a| интервал сходимости будет задан как ???a-R Когда у нас есть интервал сходимости, нам нужно проверить сходимость концов интервала, вставив конечные точки в исходный ряд и используя любой тест сходимости, который мы можем сказать, сходится ли ряд в конечная точка. Если ряд расходится в обоих конечных точек, интервал сходимости равен ???a-R Если ряд расходится на левом конце и сходится на правом конце, интервал сходимости равен ???a-R Если ряд расходится на правом конце и сходится на левом конце, интервал сходимости равен ???a-R\leq x ???L=\lim_{n\to\infty}\left|-\frac{n+1}{n}\cdot x-4\cdot\frac13\right|??? ???L=\lim_{n\to\infty}\left|-\frac{(n+1)(x-4)}{3n}\right|??? Поскольку мы имеем дело с скобками абсолютного значения, ???-1??? можно сбросить. ???L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)(x-4)}{3n}\right|??? Так как он не содержит ???n??? условия и, следовательно, не будут затронуты лимитом, мы можем вытащить ???x-4??? впереди, пока мы держимся внутри скобок абсолютного значения, поскольку есть некоторые значения ???x??? для чего ???x-4??? будет отрицательным. ???L=|x-4|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{3n}\right|??? Поскольку оценка предела в этой точке привела бы к неопределенной форме ???\infty/\infty???, нам нужно манипулировать нашей дробью. ???L=|x-4|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{3n}\left(\frac{\frac{1}{n}}{ \frac{1}{n}}\right)\right|??? ???L=|x-4|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{3n {п}}\право|??? ???L=|x-4|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1+\frac{1}{n}}{3}\right|??? Оценить предел. ???L=|x-4|\frac{1+\frac{1}{\infty}}{3}??? ???L=|x-4|\frac{1+0}{3}??? ???L=\frac13|x-4|??? Тест отношения говорит нам, что наш ряд сходится, когда ???L<1???, поэтому мы установим ???L<1??? и преобразуем неравенство в форму ???|x-a| ???|x-4|<3??? При таком виде неравенства можно сказать, что радиус сходимости нашего ряда равен ???R=3???. радиус сходимости ряда всегда составляет половину интервала сходимости. Чтобы найти интервал сходимости, мы просто решаем ???|x-4|<3??? за ???х???. Для этого мы просто убираем скобки абсолютного значения и добавляем ???-R??? в левую часть неравенства, вот так: ???-3 ???-3+4 ???1 Прежде чем мы сможем сказать, что это интервал сходимости, мы должны проверить конечные точки интервала, чтобы увидеть, сходится ли ряд в одной или обеих конечных точках. Мы можем сделать это, подключив конечные точки обратно к исходному ряду, а затем проверив конвергенцию. 9нн\neq0??? тогда ряд расходится в точке ???x=7??? по тесту на дивергенцию. Поскольку ряд не сходится ни на одном из концов, интервал сходимости равен ???1 Начать Изучение математикиКриста Кинг математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление II, радиус и интервал сходимости, радиус сходимости, интервал сходимости, степенные ряды, последовательности и ряды, бесконечные ряды , тестирование конечных точек Серия Power Определение серии Power Определение серии Power Пусть f(x) — функция, представленная рядом В более общем случае, если f(x) представлена рядом Радиус конвергенции Чтобы вычислить радиус сходимости, мы используем критерий отношения. Решение: Мы используем тест отношения: или |x — 3| < 2 1 < x < 5 1 Упражнение: Найти радиус сходимости Интервал сходимости Чтобы найти интервал сходимости, мы делаем три шага: Используйте тест отношения, чтобы найти интервал, в котором ряд абсолютно
сходящийся. Подключите левую конечную точку, чтобы увидеть, сходится ли она в левой конечной точке.
(АСТ может быть полезен). Подключите правую конечную точку, чтобы увидеть, сходится ли она в правильной конечной точке.
(АСТ может быть полезен). Пример: Найдите интервал сходимости для предыдущего примера: Решение: Мы уже сделали этот шаг и обнаружили, что ряд сходится
абсолютно Подставим x = 1, чтобы получить Подставляем x = 5, чтобы получить Следовательно, конечные точки не входят в интервал сходимости. Мы
можно заключить, что интервал сходимости равен 1 < х < 5 Упражнение Найдите интервал сходимости предыдущего упражнения: Дифференциация и интеграция серии Power Поскольку степенной ряд является функцией, естественно спросить, является ли функция
непрерывная, дифференцируемая или интегрируемая. Следующая теорема
отвечает на этот вопрос. Теорема Предположим, что функция задана степенным рядом и что интервал сходимости равен (c —
R, c + R) (плюс возможные конечные точки) то f(x) непрерывна, дифференцируема и интегрируема на этом отрезке
(не обязательно включая конечные точки). Как рассчитать радиус и интервал сходимости
Получить доступ к полному курсу Calculus 2
Силовая серия
Тогда f(x) называется силовая серия функция.
Тогда мы называем f(x) степенным рядом с центром в точке x =
с .
Область f(x) называется интервалом сходимости и половиной
длина домена называется радиусом конвергенции .
Пример: Найти радиус схождения
Решаем
так что
(5 — 1) = 2
2
радиус сходимости равен 2. Обратите внимание, что
мы могли бы использовать тест геометрического ряда и получить тот же результат.
Тест отношения — это, скорее всего, тест, который сработает, но иногда и другой тест.
такие как тест геометрического ряда или тест корня проще в использовании. 
для 1 < x < 5.
Этот ряд расходится по предельному признаку.
Этот ряд также расходится по предельному признаку.
