Радиус и область сходимости ряда
Степенные и функциональные ряды могут быть сходящимися на множестве действительных чисел, на определенном интервале, или быть расходящимися. Установка радиуса сходимости и области сходимости ряда является важным при исследовании рядов. Радиус сходимости равный половине ширины области сходимости. На практике обе характеристики найти не трудно и Вы в этом скоро убедитесь.
Пример: 3.6 Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов:
а)
Вычисления: Для оценки сходимости ряда составим ряд с модулей членов заданного ряда, то есть ряд с последующим общим членом
Далее, исходя с того что полученный ряд имеет положительные члены — исследовать его на сходимость будем с помощью признака Даламбера:
Для этого выписываем следующий после общего член ряда
и подставляем в формулу предела. Вид членов ряда непрост, поэтому будьте внимательны при упрощении предела
Наконец приходим к экспоненте и функциональному множителю.
Если граница меньше единицы
то ряд сходится по теореме Даламбера, причем абсолютно.
Отсюда составляем ограничения на допустимые «иксы»
— область сходимости ряда.
Итак, ми нашли — радиус сходимости и
— область сходимости ряда в виде интервала.
Для себя запомните, что радиус сходимости функционального ряда равен половине расстояния между крайними точками области сходимости.
б)
Вычисления: Составим ряд из модулей членов заданного ряда, то есть с общим членом
Нетрудно видеть что такой прием позволяет получить ряд с положительными членами и при этом исследовать его на сходимость с помощью признака Даламбера.
Для предела нам еще нужен следующий член ряда
Подставляем члены ряда в предел и вычисляем
При пределе меньшей единицы — ряд убывает за Даламбером.
Из этого условия находим
— область сходимости в виде ограничений переменной.
В итоге мы нашли R=4 — радиус сходимости ряда и его область сходимости
Пример: 3.
11 Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда:
а)
Вычисления: Члены заданного функционального ряда
определены на всей действительной оси, то есть область определения следующая
Составляем ряд из модулей членов заданного ряда
Его общий член может бить выражен формулой
Поскольку новый ряд имеет положительные члены — исследуем на сходимость по Даламберу:
При — ряд совпадает по теореме Даламбера, то есть необходимо, чтобы выполнялись условия
Отсюда находим R = 2 — радиус сходимости ряда и (0; 4) — область сходимости.
б)
Вычисления: Члены заданного функционального ряда
определены для всех действительных переменных то есть область определения следующая
Составим ряд из модулей членов заданного ряда
Снова применяем признак Даламбера для исследования ряда на сходимость
За Даламбером при пределе меньше единицы — ряд убывает.
Отсюда находим область сходимости
и R=1/3 радиус сходимости.
Из приведенных примеров
Вы могли увидеть такую закономерность что значение которое ограничивает модуль с переменной и является радиусом сходимости ряда.
Область сходимости имеет в два раза большую длину и определяется раскрытием модуля.
Пример: 3.17 Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов:
а)
Вычисления: Члены функционального ряда
определены при то есть
Составим ряд из модулей членов заданного ряда
то есть
Исследуем его на сходимость по признаку Даламбера. Выписываем следующий после общего члена ряда
и подставляем в предел
При 3|x|<1 — ряд убывает,
отсюда находим
– область сходимости ряда.
Все что находится справа от модуля это R = 1/3 — радиус сходимости ряда, а ограничения на «икс»
– это область сходимости.
б)
Вычисления: Члены функционального ряда
определены на всей действительной прямой , их область определения имеет вид .
По схеме составляем ряд из модулей членов заданного ряда
и получаем ряд со следующим общим членом
Образованный ряд будем анализировать на сходимость по признаку Даламбера
Выписываем следующий член ряда
и подставляем в предел
При 2|x|<1- ряд будет сходящимся.
Раскрываем модуль и находим
— область сходимости и R=1/2 – радиус сходимости.
В виде интервала записываем область сходимости ряда
Пример: 3.27 Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда
а)
Вычисления: Члены функционального ряда определены на действительной оси
Сначала составим ряд из модулей членов этого ряда
Общий член задается формулой
Исследуем ряд с модулей на сходимость по признаку Даламбера:
Находим предел отношения следующего члена ряда общему
Поскольку A=0<1 то ряд сходится при всех действительных переменных, то есть имеет неограниченную — область сходимости.
Ряд имеет бесконечный радиус сходимости.
б)
Вычисления: Члены ряда определены на множестве действительных чисел
Построим ряд с модулей членов ряда:
Далее записываем общий и следующий после него члены ряда
и подставляем в предел
По теореме Даламбера ряд сходится при
3|x|<1.
Из этого условия определяем
— область сходимости ряда
и R=1/3 – радиус сходимости.
В виде интервала записываем в ответ область сходимости
Теперь Вы знаете как найти область сходимости и радиус сходимости ряда. Пользуйтесь приведенными формулами и успешной Вам сдачи сессии.
- Назад
- Вперёд
Калькулятор радиуса сходимости: Найдите интервал сходимости
Наш калькулятор радиуса сходимости специально разработан для расчета радиуса сходимости любого заданного степенного ряда.
Что такое конвергенция?
В математике сходимость определяется как:
«Свойство, которое используется для приближения к пределу все более и более абсолютно по мере увеличения или уменьшения переменной функции или по мере увеличения числа членов степенного ряда».
Например;
Рассмотрим функцию ниже;
$$ y=\frac{1}{x} $$
Эта функция сходится к нулю, если мы продолжаем увеличивать значение x.
Хотя едва ли возможно сделать y точно равным нулю, предельное значение y приближается к нулю, потому что мы можем сделать y настолько малым, насколько это возможно, выбрав большие значения x.
Сходящийся ряд:
В сходящемся ряду для любого заданного значения x, лежащего между -1 и +1, ряд 1 + x + x2 +⋯+ xn всегда стремится к пределу 1 / (1 -x) по мере увеличения числа членов (n) . Вы можете определить радиус сходимости сходящегося ряда с помощью бесплатного онлайн-калькулятора радиуса сходимости
Графическое представление сходящегося ряда:
Прежде чем двигаться дальше, давайте посмотрим, как члены сходящегося ряда отображаются на графике.
Визуализируя приведенный выше график, мы видим, что по мере увеличения числа членов частичная сумма ряда приближается к определенному числу.
Например:
Возьмем сходящийся ряд следующим образом:
1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 + 1 / 64 + …….
.
Посмотрим, как изменится сумма по мере добавления членов:
| Термины | Сумма |
| 1 / 2 | 1 / 2 = 0,5 |
| 1/2 + 1/4 | 3 / 4 = 0,75 |
| 1/2 + 1/4 + 1/8 | 7/8 = 0,87 |
| 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 | 15/16 = 0,93 |
| 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 | 63 / 64 = 0,98 |
Отсюда мы можем сказать, как сходящийся ряд приближается к определенному значению, если мы продолжаем добавлять частичные члены один за другим. 94+…. $$
Для приведенного выше степенного ряда, когда мы положили x = 0 , ряд рассчитывается как 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + … и сходится к 1 и не превосходит ряд за пределами 1, поскольку он сделает ряд расходящимся.
Однако онлайн-калькулятор радиуса и интервала сходимости находит диапазон ряда, для которого он сходится.
Радиус сходимости:
Когда степенной ряд сходится на некотором интервале, расстояние от центра схождения до другого конца называется радиусом схождения. Вы можете использовать наш бесплатный онлайн-калькулятор радиуса сходимости для накопления радиуса заданного ряда Тейлора.
Тест отношений:
Тест отношений — это один из тестов, используемых для определения сходимости, расхождения, радиуса сходимости и интервала сходимости степенного ряда.
$$ L=\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}} {a_n} $$
Как найти радиус сходимости?Давайте решим пример, чтобы понять, как определить радиус сходимости:
Пример № 01:
Найдите радиус сходимости r ряда ниже. 9{1}}{1}* \frac{∞}{\left(x-3\right)}] $$
$$ \left|x-3\right| $$
Теперь этот ряд будет сходиться, только если x-3 < 1 .
В противном случае при x-3 > 1 ряд расходится.
Итак, радиус сходимости равен 1.
Теперь, взяв любое из приведенных выше неравенств, мы можем определить интервал сходимости.
$$ \left|x-3\right|≤1 $$
$$ -1<\left|x-3\right|<1 $$
$$ -1+3 $$ 2 Каков интервал сходимости данного ряда. Вы можете упростить любой ряд, используя калькулятор свободного радиуса сходимости рядов Тейлора. Если вы хотите определить радиус сходимости с помощью бесплатного онлайн-калькулятора решений степенных рядов, вам необходимо выполнить следующие шаги. Ввод: Вывод: Для введенного ряда мощности калькулятор вычисляет: Радиус сходимости дает нам половину длины интервала сходимости. Мы можем вычислить радиус сходимости как бесконечный только в том случае, если ряд сходится для всех комплексных чисел z. Корневой тест — это простой тест, который говорит нам, что ряд определенно сходится к некоторому значению. Когда степенной ряд сходится в одной точке, то можно сказать, что радиус сходимости равен нулю. Да, радиус может быть отрицательным, что означает, что он измеряется на стороне, противоположной стороне окружности. Кроме того, окружность с нулевым радиусом — это всего лишь одна точка. Нахождение радиуса сходимости даст вам возможность определить радиус данного степенного ряда. Радиус сходимости фактически представляет собой расстояние от середины степенного ряда до конечных точек. Каждый степенной ряд является рядом Тейлора, но следует помнить, что ряды Тейлора связаны с абсолютной функцией. Как работает калькулятор радиуса сходимости?
Часто задаваемые вопросы:
Что нам говорит радиус сходимости?
Можем ли мы вычислить бесконечный радиус сходимости?
Что такое корневой тест сходимости?
Может ли радиус сходимости быть равен нулю?
Может ли радиус быть отрицательным?
Заключение:
