Дифференцирование таблично заданной функции
Об объекте
Интерполяция функции одной переменной
Решение нелинейных уравнений
Решение систем линейных уравнений
Дифференцирование таблично заданной функции
Реализация и примеры
Интегрирование функции одной переменной
Решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
Литература
Дифференцирование таблично заданной функции
Один из широко применяемых методов дифференцирования таблично
заданной функции состоит в том, что по узловым (табличным) точкам
строится интерполяционный многочлен, а затем вычисляется производная
этого многочлена. Например, формулы численного дифференцирования могут
быть получены их интерполяционного многочлена Лагранжа. Для многочлена
второго порядка, построенного по трем точкам (x
легко получить производную
Если это выражение вычислить при x=x0, то
получим значение производной по правым разностям, при x=x1
– по центральным разностям, а при x=x2
– по левым разностям.
Для того чтобы получить более точные значения производной используют
интерполяционные многочлены высоких порядков.
Расчетные формулы сильно упрощаются в случае, если шаг табулирования
функции постоянен (xi+1 – xi
= h = const).
В таблицах приведены наиболее часто используемые формулы вычисления
первой и второй производных таблично заданной функции. Приводятся также
значения погрешностей (главная часть) указанных формул.
Приближенные формулы дифференцирования правых разностей
Производные | Вторые разности | Третьи разности |
|
||
Приближенные формулы дифференцирования центральных разностей
Производные | Третьи разности |
Пятые разности |
Приближенные формулы дифференцирования левых разностей
Производные | Вторые разности | Третьи разности |
« Previous | Next »
Первый производный тест: значение и примеры
Американские горки — это одна из первых вещей, которая может привлечь ваше внимание в парке развлечений. Удивительно видеть, как люди кричат от волнения, когда тележка переезжает с одного места на другое! Вы когда-нибудь катались на американских горках?
Типичные американские горки
Есть моменты, когда тележка поднимается, и моменты, когда она опускается. Между ними есть небольшой момент, когда тележка будет выровнена по горизонтали, где вы сможете перевести дыхание.
Точки, в которых это происходит, имеют специальные названия и являются важным объектом изучения в исчислении. Кто сказал, что расчет и веселье несовместимы?
Значение теста первой производной
С тестом первой производной тесно связана концепция стационарной точки . Начнем с его определения.
Пусть \( f \) — дифференцируемая функция. Стационарная точка или критическая точка \(c\) — это значение x, для которого производная \(f\) равна 0. То есть
\[f'(c)=0.\]
Поскольку производная функции в критической точке равна 0, касательная к функции в этой точке будет иметь наклон 0, т. е. будет горизонтальная линия.
Линии, касающиеся кубической функции в ее критических точках
Функция может иметь более одной критической точки, и Первый тест производной является методом их нахождения. Теперь мы рассмотрим, как выполнить Первый тест на производную 9.0014 .
Первый тест производной — это метод нахождения критических точек дифференцируемой функции \(f.\). Он состоит из следующего:
- Найдите производную функции.
- Вычислите производную функции в критической точке и приравняйте ее к 0, то есть напишите уравнение, утверждающее, что \( f'(c)=0. \)
- Решите уравнение предыдущего шага, чтобы найти значение (я) \ ( c \) внутри области \ ( f \), которые являются критическими точками. 92+6х+10. \]
Используйте тест первой производной, чтобы найти его критические точки.
Ответ:
Прежде всего заметим, что, поскольку ничего другого не указано, можно предположить, что область определения функции состоит из всех действительных чисел. Теперь о шагах:
1. Найдите производную функции.
Данная функция является полиномиальной функцией, поэтому вы можете найти ее производную с помощью степенного правила, то есть
\[f'(x)=2x+6.\]
2. Вычислите производную в критической точке и приравняйте ее к 0.
Сначала вы вычислите производную в критической точке \( c, \), поэтому
\[f'(c)=2c+ 6,\]
и затем вы устанавливаете его равным 0, в результате чего уравнение Полученное уравнение представляет собой линейное уравнение, которое можно решить, выделив \( c, \), то есть
\[\begin{align}2c &= -6 \\ c &= -3.\end{align}\] 92+2x+2, \quad \text{for}\quad x\geq 0.\]
Используйте критерий первой производной, чтобы найти критические точки.
Ответ:
Теперь область определения функции состоит из всех неотрицательных чисел. Вы должны следить за этим при решении уравнения на третьем шаге!
1. Найдите производную функции.
Эту полиномиальную функцию можно дифференцировать по степенному правилу, поэтому
\[h'(x)=2x+2.\]
2. Вычислить производную в критической точке и приравнять ее к 0.
Вычислить \(h'(x)\) в \(x=c,\)
\[h'(c)=2c+2 ,\]
и приравнять его к 0
\[2c+2=0.\]
3. Решить полученное уравнение относительно \( c.\)
Решить полученное уравнение можно в шаг выше, изолируя \(c,\), поэтому
\[\begin{align} 2c &= -2 \\ c &= -1.\end{align}\]
Это значение равно , а не внутри область определения функции, следовательно, функция не имеет критических точек!
Первый производный тест и локальные экстремумы
Критические точки тесно связаны с относительными экстремумами, поэтому, прежде чем продолжить, напомним, что означает экстремум.
Экстремум функции относится либо к максимуму, либо к минимуму. Экстремум — множественное число слова экстремум. 2 + 6x + 10\) имеет критическую точку в точке \(-3.\). Теперь взгляните на ее график.
График линии, касательной к функции в ее критической точке
Похоже, что критическими точками являются также точки, в которых функция имеет локальные экстремумы. Это не всегда так, но есть теорема, которая устанавливает эту связь.
Теорема Ферма утверждает, что если функция \(f\) имеет локальный максимум или локальный минимум в точке \(x=c,\) и функция дифференцируема в этой точке, то \(f'(c) =0.\)
Другими словами, теорема Ферма говорит вам, что если функция имеет локальный максимум или локальный минимум в точке, где она дифференцируема, то это критическая точка. Будьте осторожны, чтобы не истолковать эту теорему неправильно, так как есть несколько распространенных ошибок при построении моста между локальными экстремумами и критическими точками. 92=0.\]
3. Решить полученное уравнение для \( c.\)
Уравнение, полученное на предыдущем шаге, верно только тогда, когда \(c=0,\), что означает, что существует есть только одна критическая точка в точке \(x=0. \)
Теперь у вас может возникнуть соблазн предположить, что функция имеет локальный экстремум в точке 0, но это не так. Взгляните на его график.
График кубической функции без локальных экстремумов
Эта кубическая функция не имеет локальных экстремумов , но тем не менее критическая точка находится в \(x=0.\) Обратите внимание, что наклон в критической точке равен 0.
График кубической функции с линией, касательной к критической точке
Вы нашли что не все критические точки являются локальными экстремумами в приведенном выше примере . Давайте теперь рассмотрим еще одну распространенную ошибку.
Рассмотрим функцию
\[g(x)=|x-2|+1.\]
Теперь посмотрим на ее график.
График функции абсолютного значения
Функция имеет относительный минимум в точке \(x=2,\), поэтому у вас может возникнуть соблазн предположить, что это также критическая точка. Однако функция не дифференцируема в точке \(x=2,\), поэтому она является , а не критической точкой.
Теперь вы обнаружили, что не все локальные экстремумы являются критическими точками . Вам нужно, чтобы функция была дифференцируемой в своих относительных экстремумах, чтобы быть критической точкой.
Первый производный тест для функций многих переменных
При поиске информации о тесте первой производной вы можете встретить функции с несколькими переменными. Этот предмет обычно зарезервирован для более высоких уровней, поэтому, если вам достаточно любопытно, погрузитесь в него!
Когда вам дается функция многих переменных, тест первой производной слегка модифицируется. Вам нужно сделать следующее:
- Найти каждую частичную производную функции по всем ее переменным.
- Вычислите каждую частную производную в критической точке и установите их все равными 0. То есть напишите систему уравнений, утверждающую, что каждая частная производная, оцененная в критической точке, равна 0. 92-xy+2y.\]
Найдите его критические точки.
Ответ:
Поскольку его входами являются точки на плоскости, его критические точки будут упорядоченными парами вида \( (a,b). \)
1. Найдите каждую частную производную функции с относительно всех его переменных.
Обе частные производные этой функции можно найти с помощью степенного правила, поэтому
\[\frac{\partial f}{\partial x}=2x-y,\]
и
\[\frac{\partial f}{\partial y}=-x+2.\]
2. Оценить каждую частную производную в критической точке и приравнять их все к 0.
Поскольку критические точки имеют вид \( (a,b),\) оценивают обе частные производные, используя \(x=a\) и \(y=b,\), поэтому
\[\left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(a,b)}=2a-b,\]
и
\[\left. \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(a,b)}=-a+2.\]
Приравняв приведенные выше выражения к 0, вы получите систему уравнений
\[\begin{cases}2a-b &= 0 \\ -a+2 &= 0.\end{cases}\]
3. S Рассмотрите Систему Уравнений, чтобы найти критические точки .
Теперь вы можете решить приведенную выше систему уравнений, используя метод по вашему выбору, получив
\[\begin{cases}a &= 2 \\ b &= 4.\end{cases}\]
Это означает, что существует только одна стационарная точка, которая находится в \( (2,4).\)
Обратите внимание, что если функция имеет три переменные, вам придется вычислить все три частные производные и написать три уравнения. В общем, если функция имеет \(n\) переменных, вам понадобятся \(n\) частные производные и \(n\) уравнения. 93-4c=4c(c-1)(c+1).\]
Подставив это обратно в уравнение, вы получите
\[4c(c-1)(c+1)=0,\]
что означает, что
\[4c=0,\]
\[c-1=0,\]
и
\[c+1=0.\]
Решив приведенные выше уравнения, вы можете найти что \( c=0,\) \(c=1,\) и \(c=-1.\) Следовательно, эта функция имеет три критические точки!
Давайте теперь рассмотрим пример с тригонометрической функцией.
Рассмотрим функцию
\[g(x)=\sin{x}.\]
Используйте тест первой производной, чтобы найти критические точки.
Ответ:
1. F инд производная функции.
Производная функции синуса есть функция косинуса, т.е. оно равно 0.
Вычисляя приведенную выше функцию в \(x=c\) 9\pi / _2, \), то есть
\[\pm\frac{\pi}{2},\, \pm\frac{3\pi}{2},\, \pm\frac{5\ pi}{2},\]
и так далее. Вы можете выразить эти нечетные множители, используя коэффициент \( 2n-1\), потому что вычитание 1 из четного числа дает нечетное число, поэтому
\[c = \left( 2n-1 \right)\frac{ \pi}{2}, \quad \text{ for }\, n=1, 2, 3, \dots .\]
Функция синуса имеет бесконечное количество критических точек!
Тест первой производной и вогнутость
Несмотря на то, что он связан с формой графика, тест первой производной является тестом для нахождения критических точек, но не тестом для нахождения вогнутости графа. В этом случае вам следует взглянуть на нашу статью о тесте второй производной.
Первый тест производной – ключевые выводы
- стационарная точка или критическая точка – это значение x, для которого производная функции равна 0.
- Первый тест производной состоит в нахождении критической точки функции.
- Вы можете выполнить первый тест производной, выполнив следующие действия:
- Найдите производную функции.
- Вычислите производную функции в критической точке \(c\) и приравняйте ее к 0. То есть запишите уравнение \( f'(c)=0.\)
- Решите приведенное выше уравнение, чтобы найти критические точки. Не забудьте включить только значения внутри домена функции!
- Первый критерий производной связан с локальными экстремумами посредством теоремы Ферма о стационарных точках.
- То, что что-то является критической точкой, не означает, что это локальный экстремум!
Правило первой производной
Главная > Математика > Предварительное исчисление > Правило первой производной
Первая производная может использоваться для определения точек локального минимума и/или максимума функции, а также интервалов возрастания и убывания.
На рис. 1 представлен график полиномиальной функции 2x 3 + 3x 2 — 30x.
Первая производная точки — это наклон касательной в этой точке. Когда наклон касательной равен 0, точка является либо локальным минимумом, либо локальным максимумом. Таким образом, когда первая производная точки равна 0, точка является местоположением локального минимума или максимума.
ПРОВЕРКА ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ:
Предположим, что c является точкой, в которой первая производная равна 0, f ‘ (c) = 0
- , тогда c является локальным максимумом .
- Если f ‘ меняется с отрицательного на положительное в точке c, то c является локальным минимумом
- Если f ‘ не меняется в точке с, то минимума/максимума в точке с не существует.
Поскольку производная представляет собой наклон касательной, если производная положительна, это означает, что наклон положителен и функция возрастает. Точно так же, если производная отрицательна, наклон отрицателен, и функция убывает. Поэтому у нас есть тест, чтобы определить, увеличивается или уменьшается интервал.
Если первая производная на интервале положительна, функция на этом интервале возрастает. Если первая производная на интервале отрицательна, то функция на этом интервале убывает.
ПРОВЕРКА ПОВЫШЕНИЯ/УМЕНЬШЕНИЯ:
- Если f ‘ > 0 на интервале, функция возрастает на этом интервале.
- Если f ‘
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Для работы с этими примерами требуется использование различных производных правил. Если вы не знакомы с правилом, перейдите в соответствующую тему для ознакомления.
Пример 1: Определить точки локального минимума и максимума и интервалы возрастания и убывания функции для f(x) = 2x 3 + 3x 2 — 36x.
Шаг 1: Найдите значения x, когда первая производная равна 0, f′(x)=0.
Найдите первую производную:
f(x) = 2x 3 + 3x 2 — 36x
f′(x)=6×2+6x−36
Установите производную равной нулю:
0 = 6х 2 + 6х — 36
Фактор:
0 = 6(х 2 + х — 6)
0 = 6 (х + 3) (х — 2)
Приравняйте каждый множитель к нулю и решите:
6 ≠ 0
х + 3 = 0; х = -3
х — 2 = 0; х = 2
Шаг 2: Создайте таблицу интервалов, которые заканчиваются/начинаются со значениями x, такими что f′(x)=0
Возьмите значения x, найденные на шаге 1, и создайте таблицу интервалов.
Чтобы определить знак первой производной, выберите число в интервале и решите.
Если первая производная на отрезке положительна, функция возрастает. Если первая производная на отрезке отрицательна, то функция снижается.
Интервал
ф
−∞≤x≤−3
f′(−4)=6(−4)2+6(−4)−36=36
+
Увеличение по −∞≤x≤−3
−3≤x≤2
f′(0)=6(0)2+6(0)−36=−36
—
Уменьшение на −3≤x≤2
f′(3)=6(3)2+6(3)−36=36
+
Возрастая на 2≤x≤∞
Шаг 3: Примените тест первой производной, чтобы определить точки минимума/максимума.
Поскольку первая производная изменяется с положительной на отрицательную при -3, при -3 имеется локальный максимум. Максимальное значение в этот момент:
f(−3)=2(−3)3+3(−3)2−30(−3)=63 Локальный максимум: (-3, 63)
Поскольку первая производная изменяется с отрицательной на положительную в точке 2, в точке 2 имеется локальный минимум. Максимальное значение в этой точке равно:
f(2)=2(2)3+3(2)2−30(2)=−32 Локальный минимум: (2, -32)
Пример 2: Определить точки локального минимума и максимума, а также интервалы возрастания и убывания функции для f(x) = 2 sin x на интервале 0≤x≤2π.
Шаг 1: Найдите значения x, когда первая производная равна 0, f′(x)=0.
Найдите первую производную:
f(x)=2sinx
f′(x)=2cosx
Установите производную равной нулю:
0 = 2 потому что х
Решите для х:
0 = потому что х
cos−10=x
π2, −3π2=x
Шаг 2: Создайте таблицу интервалов, которые заканчиваются/начинаются с таких значений x, что f′(x)=0.
Возьмите значения x, найденные на шаге 1, и создайте таблицу интервалов.
Чтобы определить знак первой производной, выберите число в интервале и решите.
Если первая производная на отрезке положительна, функция возрастает. Если первая производная на отрезке отрицательна, то функция снижается.
Интервал
f′(x)=2cosx
ф
0≤x≤π2
f′(1)=2cos1≈1,08
+
Возрастание на 0≤x≤π2
π2≤x≤3π2
f′(2)=2cos2≈−0,83
—
Убывающий по π2≤x≤3π2
3π2≤x≤2π
f′(6)=2cos6≈1,92
+
Возрастая по 3π2≤x≤2π
Шаг 3: Примените тест первой производной, чтобы определить точки минимума/максимума.