Найти приближенное значение функции: 9.2. Приближенное вычисление приращения функции

9.2. Приближенное вычисление приращения функции

Приращение функции отличается от дифференциала функциина величину бесконечно малую высшего порядка относительно. Поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством, или в развернутом виде

.

Из последнего равенства получим формулу

.

Пример 10. Дана функция . Найти приближенное значение приращения прии.

Решение

Данная операция сопряжена с вычислительными трудностями, особенно при достаточно сложном выражении функции. Поэтому часто используют вместо вычисления приращения функции вычисление ее дифференциала. Дифференциал функции равен.

Отметим, что точное значение приращения функции равно

Значения иотличаются друг от друга на бесконечно малую величину. Это еще раз подтверждает целесообразность заменыпри малых приращенияна дифференциал.

10. Дифференциалы высших порядков

Дифференциал второго порядка равен произведению производной второго порядка на квадрат дифференциала:

.

Число называется порядком дифференциала.

Пример 11. Для функции найтии.

;

.

11. Монотонность функции

С помощью производной можно изучать различные свойства функции. Возрастающие или убывающие функции на называются монотонными на этом интервале.

ТЕОРЕМА (условия монотонности функции на интервале)

Пусть функция непрерывна и дифференцируема на интервале . Тогда

1) если производная для любого, то функциястрого возрастает на ;

2) если производная для любого, то функциястрого убывает на .

Таким образом, знак производной позволяет судить о характере изменения функции.

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

1. Область определения ;

2. производная положительна при(так какдля всех). Значит, напроизводная положительна и возрастает, а вне этого интервал функция убывает.

12. Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

Выбор наилучшего варианта из множества возможных называется оптимизацией, которая сводится к отысканию максимумов и минимумов функции.

• Значение функции называетсямаксимумом функции , если для любой точкииз окрестности точкивыполняется. Соответствующее значение аргументаназываетсяточкой максимума.

• Значение функции называетсяминимумом функции , если для любой точкииз окрестности точкивыполняется. Соответствующее значение аргументаназываетсяточкой минимума.

• Максимумы и минимумыфункции называютсяэкстремумами функции, а точки максимума и минимума — точками экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая то, что понятие экстремума связано с достаточно малой окрестностью точки .

Очевидно, прежде чем строить график функции, необходимо выяснить, имеет ли функция экстремумы, и найти их. Как это сделать?

1) ; 2)не существует.

Геометрически это означает, что в критической точке касательная к графику функции: 1) параллельна оси ОХ; 2) либо параллельна оси ОУ, либо касательная вовсе не существует.

Сформулируем необходимое условие экстремума функции.

ТЕОРЕМА (необходимое условие экстремума функции)

Если — точка экстремума функции, тоилине существует (то есть- критическая точка).

Отсюда следует, что точками экстремума непрерывной функции могут быть лишь критические точки. Однако это условие не является достаточным. Чтобы выяснить, является ли критическая точка точкой экстремума функции, нужно проверить выполнение достаточных условий.

Теорема (Первый достаточный признак экстремума).

Пусть функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки(в самой точке производная может не существовать). Если при переходе через точкуслева направо производная

1. меняет знак с плюса на минус, то являетсяточкой максимума;

2. меняет знак с минуса на плюс, то являетсяточкой минимума;

3. не меняет знак, то не являетсяточкой экстремума.

Схема исследования функции на экстремум

1. Найти область определения функции .

2. Найти производную .

3. Найти критические точки , в которых производная равна нулю или не существует (точки возможного экстремума).

4. Разбить область определения функции критическими точками на интервалы.

5. Определить знак

   производной на каждом интервале. На тех интервалах, где , функция возрастает, а там, где- функция убывает.

6. Если при переходе через критическую точку слева направо:

меняет знак с «+» на «-», то точка являетсяточкой максимума;

меняет знак с «-» на «+», то точка являетсяточкой минимума;

не меняет знак, то точка не являетсяточкой экстремума.

7. Вычислить значения функции ив точках экстремума.

Теорема (Второй достаточный признак экстремума).

Пусть функция и ее производныеинепрерывны в некоторой окрестности точкии. Тогда если значение второй производной в точке:

1. , то – точкамаксимума функции;

2. , то – точка

   минимума функции.

При исследовании функции на экстремум с помощью второго достаточного признака в схеме пункты 1, 2, 3 останутся без изменения, а пункт 4 формулируется так:

4. Найти вторую производную , определить еезнак в каждой критической точке и сделать вывод о наличии экстремумов в этой точке (с помощью второго достаточного признака экстремума).

Пример 2. Найти точки экстремума функции .

Функция определена при всех действительных значениях .

Производная равна нулю при . На знак производной влияет только числитель , так как знаменательпри любом.

При (слева от критической точки) производная отрицательна: например,. А при(справа от критической точки) производная положительна: например,.

Значит, по первому достаточному признаку экстремума точка есть точка минимума функции. Минимум функции равен .

Ответ.

Приближённые вычисления 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 

 

Тема: Производная

 

Урок: Приближенные вычисления

 

1. Приближенные вычисления

 

 

Приближенные вычисления можно рассматривать как одно из применений производной, а конкретно касательной данной функции. С приближениями мы встречаемся довольно часто, например, если нужно какие-то значения числа , то пишем ,  и т. д.

 

Рассмотрим общий прием получения с хорошей точностью приближенных значений. Предположим, что задана функция   и эта функция имеет сложный график. Достаточно задать точку , для того чтобы получить касательную. Проведем в точке  касательную. Запишем уравнение этой касательной . В окрестности точки  график касательной и график данной функции почти не отличаются (см. рис.1). Предположим, что приращение аргумента  невелико. Имеем  — точное значение функции в точке . Приближенное значение  дает касательная, и если   невелико, то , то есть значение функции в новой точке мало отличается от значения линейной функции (касательной).

Рис. 1. График функции  и касательная.

Итак, идея простая и ясная: в хорошей точки ( хорошая означает то, что в этой точке легко вычислить значение функции) легко вычислить значение . Если в точке  легко вычислить значение , то в новой точке  заменим значение  на значение , то есть кривую заменим касательной. Получим примерный результат. Этот результат будет тем точнее, чем меньше будет приращение .

Например, вычислить приближенно величину  (решение ниже).

Вычислить приближенно .

Сделаем иллюстрацию (см. рис.2).

Рис. 2. График функции .

, а . . Заменим значение функции в точке  значением касательной .

; ; . Итак, .

Таким образом, приближенные вычисления основываются на уравнении касательной. Методику применения мы рассмотрели на конкретном примере.

 

2. Вывод формулы для приближенных вычислений

 

 

Рассмотрим формулы для приближенных вычислений для функции  в окрестности точки , то есть в точке  (см. рис.3).

 

Рис. 3. Окрестность точки  .

Значение функции в точке  равно . Доказать, что .

Доказательство.

Заменим функцию касательной.

; ; . Если заменим значение функции значением касательной, то получим .

Получили формулу, которая позволяет примерно, с достаточной степенью точности, вычислять нужные значения.

Применим эту формулу для решения примера, который был дан вначале: найти приближенное значение .

Рис. 4. Приращение аргумента.

Вычислим приращение  (см. рис.4). Отсюда,

Если особая точность не нужна, то такое примерное вычисление довольно эффективно.

 

3. Итог урока

 

 

Итак, мы кратко рассмотрели теорию приближенных вычислений. Суть заключается в том, что сложную кривую в окрестности точки  заменяем прямой (касательной к графику функции). И если приращения аргумента не велики, то для каждой функции можно вывести соответствующую формулу, по которой осуществляются приближенные вычисления.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№ 639 – 642 (Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.)

 

2)}$?

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 7 месяцев назад

Изменено 5 лет, 7 месяцев назад

Просмотрено 5к раз

$\begingroup$

Мне трудно найти приблизительное значение для этого вопроса. . 92)$. У меня было что-то, но это не похоже на ответ,

1.1) Наконец, я снова попробовал первый метод (см. изображение), и у меня были некоторые ответы, но я не уверен. Так может кто-нибудь, пожалуйста, помогите мне решить этот вопрос ??

• вычисление
• производные
• приближение
• линейное приближение

$\endgroup$

2

$\begingroup$ 92$, потому что он маленький.

---

Согласно моему калькулятору, истинное значение равно $1,0624257107\ldots$ — достаточно близко.

(Хотя я, вероятно, должен был округлить 4,12296$ до 4,123$, а затем вместо этого округлить одну четвертую до 1,031$ — это было бы ближе).

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Подсказка: используйте формулу полного дифференциала для $f(x,y)=\frac{x^4}{y^2}$ в точке $(x,y)=(2,4)$.