2. Решение систем уравнений и неравенств в пакете Mathcad
2.1 Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау)
СЛАУ – это система уравнений вида:
Здесь m – количество уравнений, а n – количество неизвестных. x1, x2, …, xn— неизвестные, которые надо определить.a11, a12, …, amn— коэффициенты системы — и b1, b2, … bm— свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.
Рассмотрим в этой работе решение способами: матричным методом, с применением функции lsolve, методом Крамера и при помощи решающего блокаGivenи функцииFind.
Способ 1. Решение СЛАУ матричным методом
Решение этим методом заключается в
решении матричного уравнения вида
R:=M-1*V.
Для этого необходимо:
сформировать матрицу коэффициентов системы линейных уравнений – М;
сформировать вектор-столбец свободных членов системы линейных уравнений – V;
н
Рисунок 6– Решение СЛАУ матричным методом
айти искомые параметры с помощью матричного уравнения.
Пусть задана система:
Решение матричным методом показано на рис.6.
С
Рисунок 7– Решение СЛАУ с применением функцииlsolve
пособ 2. Решение СЛАУ с применением функцииlsolve
Для решения этим способом нужно:
сформировать матрицу коэффициентов системы линейных уравнений – М;
сформировать вектор-столбец свободных членов системы линейных уравнений – V;
вызвать с помощью мастера функций функцию lsolveс параметрамиMиVкак показано на рис.
7.
7.Способ 3. Решение СЛАУ методом Крамера
Д
Рисунок 8– Решение СЛАУ методом Крамера
ля решения этим способом нужно:
сформировать матрицу коэффициентов системы линейных уравнений – М;
сформировать вектор-столбец свободных членов системы линейных уравнений – V;
найти определитель матрицы М;
сформировать матрицы по количеству неизвестных системы из коэффициентов СЛАУ, в каждом из которых заменить один из столбцов на столбец вектора свободных членов V;
найти определители сформированных матриц;
частное от деления определителей этих матриц на определитель матрицы М – решение СЛАУ (рис.8).
Способ 4. Решение СЛАУ при помощи решающего блока Given и функции Find
К
Рисунок 9– Решение СЛАУ при помощи решающего блока Given и функции Find
ак уже говорилось ранее в описании
решения уравнения с помощью решающего
блокаGivenи функцииFind,
первоначально определяются нулевые
приближения, затем после указания
зарезервированного словаGivenдаются уравнения системы, причем
равенство берется с панели «Булева
алгебра».
Решение приведено на рис.9.
2.2 Решение систем нелинейных уравнений (сну)
С
Рисунок 10– Решение СНУ при помощи решающего блока Given и функции Find | Рисунок 11– Решение системы неравенств |
истема нелинейных уравнений – система, содержащая трансцендентные уравнения. Трансцендентное уравнение – уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции. ВMathcadтакие системы решаются при помощи решающего блока Given и функции Find. Пример такого решения приведен на рис. 10.
Животное внутри лидера: на чем держится управление в компаниях :: РБК Pro
Pro Партнер проекта*
Телеканал
Pro
Инвестиции
Мероприятия
РБК+
Новая экономика
Тренды
Недвижимость
Спорт
Стиль
Национальные проекты
Город
Крипто
Дискуссионный клуб
Исследования
Кредитные рейтинги
Франшизы
Газета
Спецпроекты СПб
Конференции СПб
Спецпроекты
Проверка контрагентов
РБК Библиотека
Подкасты
ESG-индекс
Политика
Экономика
Бизнес
Технологии и медиа
Финансы
РБК КомпанииРБК Life
Материал раздела Основной
Саморазвитие   · Карьера
Статьи BITOBE
Даже в бирюзовых компаниях все равно есть лидер.
Фото: Shutterstock
Плоские организации, матричные организационные структуры, бирюзовые компании, коучинг вместо директивного руководства — все это темы многочисленных работ авторов нескольких последних десятилетий. Теоретики менеджмента ищут, а практики апробируют различные подходы, при которых на смену жесткому управлению могло бы прийти самоуправление, вместо авторитарной власти могла бы реализоваться модель коллегиальной ответственности, основанная на ценностях.
Между тем в любой «бирюзе» все равно есть какой-то главный лидер. Среди равных рыцарей, сидящих за круглым столом, есть некий «король Артур», который выше, значимей, главнее прочих. В любой компании, даже имеющей самую плоскую организационную структуру, есть высший руководитель, какое-то число руководителей нижележащего уровня и исполнители.
Почему это так? Ответ, с моей точки зрения, нужно искать не у социологов, не у психологов, а у этологов. Лидерство — это не феномен, присущий исключительно людям, а некий универсальный способ организации любых животных, живущих стаями. И в основе лидерства, с точки зрения этологии, лежат инстинкты.
c++ — Наиболее эффективный способ решения системы линейных уравнений
спросил
Изменено 4 года, 11 месяцев назад
Просмотрено 35 тысяч раз
У меня есть (n x n) симметричная матрица A и (n x 1) вектор B.
По сути, мне просто нужно найти Ax = b для x. Проблема в том, что A потенциально может быть массивным. Поэтому я ищу наиболее эффективный алгоритм решения линейных уравнений на C++. Я просмотрел библиотеку Эйгена. По-видимому, у него есть метод SVD, но мне сказали, что он медленный. Решение x=inverse(A)*b также кажется неоптимальным. uBLAS быстрее? Есть ли более эффективные методы? Спасибо.
Изменить: матрица A положительно определена и не разрежена.
- c++
- матрица
- линейная алгебра
- собственный
7
Лучший способ решить систему линейных уравнений вида Ax = b состоит в следующем.
- разложить
Ав форматА = М1 * М2(гдеМ1иМ2треугольные) - Решите
M1 * y = bдляy, используя обратную замену - Решите
M2 * x = yдляx, используя обратную замену
Для квадратных матриц шаг 1 будет использовать LU-разложение.
Для неквадратных матриц шаг 1 будет использовать QR-разложение.
Если матрица A является положительно определенной, а не разреженной , вы должны использовать разложение Холецкого для первого шага.
Если вы хотите использовать собственное число, вам придется сначала разложить его, а затем решить треугольным методом.
Если это все еще медленно, к счастью, существует множество доступных библиотек линейной алгебры, которые могут помочь улучшить производительность. Подпрограмма, которую вы должны искать, это dpotrs . Вот некоторые библиотеки, в которых это реализовано:
- Lapack от Netlib: документация и загрузка (бесплатно)
- Intel MKL: документация и загрузка (бесплатно для некоммерческого использования).
- ACML от AMD: Скачать (бесплатно)
- ПЛАЗМА: Скачать (бесплатно, оптимизировано для нескольких ядер)
- MAGMA : Скачать (бесплатно, реализовано на CUDA, OpenCL)
- CULA: Скачать (бесплатно, реализовано в CUDA).
Если вы используете eigen во всем проекте, вы можете подключить необходимую процедуру LAPACK, как описано здесь.
1
Зарегистрируйтесь или войдите
Зарегистрироваться через Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Решение системы уравнений на чистом Python без Numpy или Scipy — интегрированное машинное обучение и искусственный интеллект на
GitHub Ознакомьтесь с Integrated Machine Learning & AI скоро появится на YouTube.
Введение
Этот пост посвящен решению системы уравнений от математики до полного кода, и он ОЧЕНЬ тесно связан с пост инверсии матрицы . Иногда нам нужна обратная матрица системы для многократного использования решения для X , но в большинстве случаев нам просто нужно одно решение X для системы уравнений, и есть метод это позволяет нам решать непосредственно для X , где нам не нужно знать обратную системную матрицу.
Мы снова будем использовать python, и хотя код похож, он немного отличается. Так что есть отдельная Репозиторий GitHub для этого проекта. Кроме того, мы знаем, что можно использовать модули numpy, scipy или sklearn, но мы хотим посмотреть, как решить X в системе уравнений без использования какого-либо из них, потому что этот пост, как и большинство постов на этом сайте, о понимании принципов от математики до полного кода. Однако ближе к концу поста есть раздел, в котором показано, как решить X в системе уравнений с использованием numpy/scipy.
Помните также, что старайтесь разрабатывать код самостоятельно с минимальной помощью поста, насколько это возможно, и используйте пост для сравнения с вашей математикой и подходом. Тем не менее, просто проработать пост и убедиться, что вы полностью понимаете шаги, — тоже отличная вещь.
История линейной алгебры
Сначала давайте рассмотрим линейную алгебру, иллюстрирующую систему уравнений. Рассмотрим AX=B, где нам нужно решить для X .
Рассмотрим типичную систему уравнений, например:
AX=B,\hspace{5em}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{11}&a_{12} &a_{13}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}\\ x_{21}\\x_{31}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}b_{11}\\ b_{21 }\\b_{31}\end{bmatrix}
Мы хотим найти X, поэтому мы выполняем операции со строками над A, которые переводят его в единичную матрицу. Когда мы проделаем те же шаги с B, B станет значением X.
IX=B_M,\hspace{5em}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{11}\\ x_{21}\\x_{31}\end{ bmatrix}= \begin{bmatrix}bm_{11}\\ bm_{21}\\bm_{31}\end{bmatrix}
B был переименован в B_M, а элементы B были переименованы в b_m, а M и m означают morphed, потому что с каждым шагом мы меняем (морфируем) значения B.
Выполнение операций со строками над A для преобразования его в единичную матрицу и выполнение тех же операций со строками над B приведет к тому, что элементы B станут элементами X.
Приведенная ниже матрица просто используется для иллюстрации шагов для выполнить эту процедуру для «системы уравнений» любого размера, когда A имеет размеры n\,x\,n. Обратите внимание, что эти шаги сосредоточены на элементе, используемом для масштабирования в рамках текущих операций со строками. Каждый шаг включает в себя две строки: одна из этих строк s используется для действия на другой ряд из этих двух рядов.
S = \begin{bmatrix}S_{11}&\dots&\dots&S_{k2} &\dots&\dots&S_{n2}\\S_{12}&\dots&\dots&S_{k3} &\dots&\dots &S_{n3} \\\vdots& & &\vdots & & &\vdots\\ S_{1k}&\dots&\dots&S_{k1} &\dots&\dots &S_{nk}\\ \vdots& & &\vdots & & &\vdots\ \S_{1 n-1}&\dots&\dots&S_{k n-1} &\dots&\dots &S_{n n-1}\\ S_{1n}&\dots&\dots&S_{kn} &\dots&\dots &S_{n1}\\\конец{bmatrix}
Глядя на вышеизложенное, подумайте о методе решения как о наборе шагов, S, для каждого столбца , и в каждом столбце есть один диагональный элемент.
Мы работаем со столбцами слева направо и работаем над изменением каждого элемента каждого столбца на 1 , если он находится по диагонали, и на 0 , если он не по диагонали. Мы будем называть текущий диагональный элемент фокусным диагональным элементом или сокращенно fd .
Первым шагом для каждого столбца является масштабирование строки с фд в нем по 1/фд . Затем мы работаем с оставшимися строками, без fd , следующим образом:
- Используем элемент, который находится в том же столбце, что и fd , и делаем его масштабером;
- Заменить строку результатом … [текущая строка] – масштабатор * [строка, содержащая fd ];
- Это оставит ноль в столбце, совместно используемом fd .
Мы делаем это для столбцов слева направо в обеих матрицах A и B. Когда это завершено, A является единичной матрицей, а B становится решением для X.
Эти этапы по существу идентичны этапам, представленным в посте инверсии матрицы . Это концептуальный обзор. Подробный обзор с цифрами будет выполнен в ближайшее время. Метод решения представляет собой набор шагов S, фокусирующихся на одном столбце за раз. Конечно, в каждом столбце есть диагональный элемент, и они показаны как диагональные элементы S_{kj}. Начнем с левого столбца и, двигаясь вправо, назовем текущий элемент диагонали элементом диагонали фокуса ( fd ). Мы масштабируем строку с фд в нем 1/фд . Затем для каждой строки без fd в них мы:
- делаем элемент в строке столбца с fd масштабером ;
- обновить эту строку с помощью … [текущая строка] – масштабатор * [строка с fd ];
- ноль теперь будет находиться в столбце fd для этой строки.
Проделываем эти шаги для каждой строки, в которой нет фокусной диагонали, чтобы довести все элементы в текущем столбце до 0 , которые НЕ находятся в ряду с диагоналями фокусировки.
Как только диагональный элемент становится 1 , а все остальные элементы в столбце с ним равны 0 и , этот диагональный элемент становится опорной позицией, а этот столбец — опорной колонкой. Эти операции продолжаются слева направо на матрицах A и B. В конце процедуры A равняется единичной матрице, а B становится решением для B.
Теперь давайте выполним эти шаги на матрице 3 x 3, используя числа. . Наши начальные матрицы A и B копируются по коду в A_M и B_M, чтобы сохранить A и B для последующего использования.
A=\begin{bmatrix}5&3&1\\3&9&4\\1&3&5\end{bmatrix},\hspace{5em}B=\begin{bmatrix}9\\16\\9\end{bmatrix}
Наши исходные матрицы:
A_M=\begin{bmatrix}5&3&1\\3&9&4\\1&3&5\end{bmatrix},\hspace{4em}B_M=\begin{bmatrix}9\\16\\9\end{bmatrix}
Используя шаги, показанные в приведенной выше матрице S, давайте начнем выполнять шаги, чтобы найти X.0005
A_M=\begin{bmatrix}1&0,6&0,2\\3&9&4\\1&3&5\end{bmatrix},\hspace{4em}B_M=\begin{bmatrix}1,8\\16\\9\end{bmatrix}
2.
(2-я строка A_M) – 3,0 * (1-я строка A_M)
(2-я строка B_M) – 3,0 * (1-я строка B_M)
A_M=\begin{bmatrix}1&0,6&0,2\\0&7,2&3,4\\1&3&5\end{bmatrix},\hspace{4em}B_M=\begin{bmatrix}1,8\\10,6\\9\end{ bматрица}
3. (3-я строка A_M) – 1,0 * (1-я строка A_M)
(3-я строка B_M) – 1,0 * (1-я строка B_M)
A_M=\begin{bmatrix}1&0,6&0,2\\0&7,2&3,4\\0&2,4&4,8\end{bmatrix},\hspace{4em}B_M=\begin{bmatrix}1,8\\10,6\\ 7.2\конец{bmatrix}
4. 1/7,2 * (2-й ряд A_M) и 1/7,2 * (2-й ряд B_M)
A_M=\begin{bmatrix}1&0,6&0,2\\0&1&0,472\\0&2,4&4,8\end{bmatrix},\hspace{4em}B_M=\begin{bmatrix}1,8\\1,472\\7,2\ конец {bmatrix}
5. (1-й ряд A_M) – 0,6 * (2-й ряд A_M)
(1-й ряд BM) – 0,6 * (2-й ряд B_M)
A_M=\begin{bmatrix}1&0&-0,083\\0&1&0,472\\0&2,4&4,8\end{bmatrix},\hspace{4em}B_M=\begin{bmatrix}0,917\\1,472\\7,2\end{ bматрица}
6.
(3-я строка A_M) – 2,4 * (2-я строка A_M)
(3-я строка B_M) – 2,4 * (2-я строка B_M)
A_M=\begin{bmatrix}1&0&-0,083\\0&1&0,472\\0&0&3,667\end{bmatrix},\hspace{4em}B_M=\begin{bmatrix}0,917\\1,472\\3,667\end{bmatrix}
7. 1/3,667 * (3-я строка A_M) и 1/3,667 * (3-я строка B_M)
A_M=\begin{bmatrix}1&0&-0,083\\0&1&0,472\\0&0&1\end{bmatrix},\hspace{4em}B_M=\begin{bmatrix}0,917\\1,472\\1\end{bmatrix}
8. (1-я строка A_M) – -0,083 * (3-я строка A_M)
(1-я строка B_M) – -0,083 * (3-я строка B_M)
A_M=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0,472\\0&0&1\end{bmatrix},\hspace{4em}B_M=\begin{bmatrix}1\\1,472\\1\end{bmatrix}
9. (2-я строка A_M) – 0,472 * (3-я строка A_M)
(2-я строка B_M) – 0,472 * (3-я строка B_M)
A_M=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix},\hspace{4em}B_M=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}
Выглядит правильно.
Давай проверим.
A \cdot B_M = A \cdot X =B=\begin{bmatrix}9\\16\\9\end{bmatrix},\hspace{4em}ДА!
A \cdot B_M должно быть B и это так! Таким образом, B_M превратился в X. Пожалуйста, оцените, что я полностью выдумал числа, чтобы мы получили X всех 1 из .
Код на Python, использующий эти методы, показан в блокноте Jupyter под названием 9.0055 SystemOfEquationsStepByStep.ipynb в репозитории. В репозитории GitHub есть и другие блокноты Jupyter, которые, я думаю, вам захочется посмотреть и попробовать. Один создает текст для математических макетов, показанных выше, используя математическое кодирование LibreOffice. Для каждой записной книжки есть дополнительные файлы .py, если вы не используете Jupyter.
Посмотреть код на Gist.
Программирование ( лишних строк вывода документации по шагам были удалены) находится в блоке ниже.
AM = копирующая_матрица (A)
п = лен (А)
BM = копирующая_матрица (B)
index = list(range(n)) # разрешаем гибкие ссылки на строки ***
для fd в диапазоне (n): # fd обозначает диагональ фокуса
fdScaler = 1,0 / AM[fd][fd]
# ПЕРВОЕ: масштабировать строку fd с помощью обратного fd.
for j in range(n): # Используйте j для обозначения зацикливания столбцов.
AM[fd][j] *= fdScaler
BM[fd][0] *= fdScaler
# ВТОРОЙ: работать со всеми строками, кроме строки fd.
for i in index[0:fd] + index[fd+1:]: # пропустить строку fd.
crScaler = AM[i][fd] # cr обозначает текущую строку
для j в диапазоне (n): # cr - crScaler * fdRow.
AM[i][j] = AM[i][j] - crScaler * AM[fd][j]
BM[i][0] = BM[i][0] - crScaler * BM[fd][0]
for j in range(n): # Используйте j для обозначения зацикливания столбцов.
AM[fd][j] *= fdScaler
BM[fd][0] *= fdScaler
# ВТОРОЙ: работать со всеми строками, кроме строки fd.
for i in index[0:fd] + index[fd+1:]: # пропустить строку fd.
crScaler = AM[i][fd] # cr обозначает текущую строку
для j в диапазоне (n): # cr - crScaler * fdRow.
AM[i][j] = AM[i][j] - crScaler * AM[fd][j]
BM[i][0] = BM[i][0] - crScaler * BM[fd][0]
В верхней части кода копии A и B сохраняются для последующего использования, и мы сохраняем квадратный размер A для последующего использования. Затем мы сохраняем список индексов fd по причинам, которые будут объяснены позже. Затем мы вводим цикл for для fd . В верхней части этого цикла мы масштабируем fd строк, используя 1/fd . Первый вложенный цикл for работает со всеми строками A , кроме строки, содержащей fd .
Следующий вложенный цикл for вычисляет (текущая строка) – (строка с fd ) * (элемент в текущей строке и столбце fd ) для матриц A и B .
Пожалуйста, клонируйте код в репозиторий , поэкспериментируйте с ним и перепишите его в своем собственном стиле. Файл с именем LinearAlgebraPurePython.py содержит все необходимое, чтобы сделать все это на чистом питоне. LinearAlgebraPurePython.py импортируется LinearAlgebraPractice.py .
Эту работу можно выполнить всего за 10–12 строк Python. Одна такая версия показана на ShortImplementation.py . Я бы не стал его использовать. Наименьшее количество строк кода редко бывает хорошим кодом. Тем не менее, это свидетельствует о том, что для Python можно решить систему уравнений с таким небольшим количеством кода.
Решение системы уравнений
WITH Numpy / Scipy С помощью одной простой строки кода Python, следующих строк для импорта numpy и определения наших матриц, мы можем получить решение для X .