Найти расстояние от точки до плоскости проходящей через три точки онлайн: Онлайн калькулятор. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до заданной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до плоскости введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Для нахождения расстояния от точки M₀ до плоскости α, необходимо найти расстояние от точки M₀ до проекции точки M₀ на плоскость α:

Нахождение расстояния от точки до плоскости содержит следующие шаги:

1. построение прямой L, проходящей через точку M₀ и перпендикулярной плоскости α.
2. нахождение точки M₁ пересечения плоскости α с прямой L(Рис.1).
3. вычисление расстояния между точками M₀ и M₁.

1. Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M

₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

2. Найдем точку пересечения прямой (4) с плоскостью (1). Для этого нужно найти такой параметр t, при котором точка M(x, y, z) принадлежит плоскости (1). Поэтому подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

A(At+x0)+B(Bt+y0)+C(At+z0)+D=0,

A2t+Ax0 +B2t+By0+C2t+Cz0+D=0,

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M₁(x₁, y₁, z₁) точки M₀ на плоскость (1).

3. Найдем, наконец, расстояние от точки M₀ до плоскости (1). Очевидно, что расстояние от точки M₀ до плоскости (1) − это расстояние от точки M₀ до точки M₁. А это расстояние вычисляется так:

Учитывая значение параметра t, имеем:

 

Пример 1. Найти расстояние от точки M₀(2, -1, -9/31) до плоскости

Решение.

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

n=(5, 1, 2),

т.е. A=5, B=1, C=2.

Координаты точки M₀: x₀=2, y₀=−1, z₀=−9/31.

Подставляя координаты точки M₀ и нормального вектора плоскости в (5), получим:

Из выражений (4) находим:

Проекцией точки M₀(2, -1, -9/31) на плоскость (7) является точка:

Вычислим расстояние между точками M₀ и M₁:

Упростим:

Ответ:

Расстояние от точки M₀(2, -1, -9/31) до плоскости (7):

Найти расстояние от точки М0 до плоскости, проходящей через три точки М1, М2, М3.

М1 (-3,4,-7); М2 (1,5,-4); М3 (-5,-2,0); М0 (-12,7,-1) — вопрос №2658966 — Учеба и наука

Лучший ответ по мнению автора

помогу решить в чате. 15. 11.17 Лучший ответ по мнению автора Ответ понравился автору вопроса

Другие ответы

15. 11.17 Ответ понравился автору вопроса

Решение отправлю по чату. 15. 11.17 Ответ понравился автору вопроса

Михаил Александров Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Eleonora Gabrielyan Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

через час к станции с. ..

Коля, Дима и Саша собрали…

Решено

вычислить скалярное произведение векторов m и n, если m=a + 2b — c, n=2a — b. /a/=2. /b/=3. угол между а и b равен 60 градусов. с перпендикулярно а, с перпендикулярно b

Решено

Дан куб ABCDA1B1C1D1 Найдите угол между прямыми AD1 и BM, где М-середина ребра DD1

Решено

В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 4, tg А=0.75 . Найдите АС.

Пользуйтесь нашим приложением

Расстояние от точки до плоскости

Вот краткий набросок того, как рассчитать расстояние от точки $P=(x_1,y_1,z_1)$ в плоскость, определяемую вектором нормали $\vc{N}=(A,B,C)$ и точка $Q=(x_0,y_0,z_0)$. Уравнение для плоскость, определяемая $\vc{N}$, и $Q$ есть $A(x-x_0)+B(y-y_0) +C(z-z_0) = 0$, что можно записать как $Ax+By+Cz+D=0$, где $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$.

Этот апплет демонстрирует настройку задачи и метод, который мы будем использовать для вывода формулы расстояния от плоскости до точка $P$.

Загрузка апплета

Расстояние от точки до плоскости. Эскиз способа расчета расстояния от точки $\color{red}{P}$ (выделена красным) до плоскости. Вектор $\color{green}{\vc{n}}$ (выделен зеленым цветом) является единичным вектором нормали к плоскости. Вы можете перетаскивать точку $\color{red}{P}$, а также вторую точку $\vc{Q}$ (желтого цвета), которая ограничена плоскостью. Хотя вектор $\color{green}{\vc{n}}$ не меняется (поскольку плоскость фиксирована), он перемещается вместе с $\color{red}{P}$, чтобы всегда находиться в конце серого цвета. отрезок прямой из $\color{red}{P}$, перпендикулярный плоскости. Это расстояние от $\color{red}{P}$ до плоскости равно длине этого сегмента серой линии. Это расстояние является длиной проекции вектора из $Q$ в $P$ (фиолетового цвета) на вектор нормали $\color{green}{\vc{n}}$. 2}}. \конец{выравнивание*} Это расстояние отображается на голубом ползунке, помеченном справа $d$. фигуры. 92}}. \конец{выравнивание*} Из этой окончательной формулы видно, что расстояние не зависит в точке $Q=(x_0,y_0,z_0)$. Пока $Q$ в самолете $Ax+By+Cz+D=0$, то мы знаем, что $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$. Две приведенные выше формулы для $d$ эквивалентны независимо от того, где находится $Q$ в плоскости. Из рисунка видно, что расстояние $d$ не должно меняться при перемещайте $Q$ по плоскости. Вектор $\vc{v}$ меняется, но его проекция на $\vc{n}$ постоянна.

Вы можете увидеть пример использования этой формулы для расчета расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между точкой и плоскостью

Расстояние между точкой и плоскостью — это длина перпендикуляра к плоскости, проходящего через данную точку. Другими словами, мы можем сказать, что расстояние между точкой и плоскостью — это длина вектора нормали, опущенного из данной точки на данную плоскость. Если мы хотим определить расстояние между точкой P с координатами (x _o , y _o , z _o ) и данной плоскостью уравнением Ax + By + Cz = D, то расстояние между точкой P и данная плоскость задается |Ax _o + By _o + Cz _o + D|/√(A ² + B ² + C ² ).

1.	Что такое расстояние между точкой и плоскостью?
2.	Расстояние между точкой и плоскостью Формула
3.	Расстояние между точкой и плоскостью Доказательство
4.	Как применить формулу расстояния между точкой и плоскостью?
5.	Часто задаваемые вопросы о расстоянии между точкой и плоскостью

Что такое расстояние между точкой и плоскостью?

Расстояние между точкой и плоскостью — это кратчайшее перпендикулярное расстояние от точки до данной плоскости. Проще говоря, кратчайшее расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, параллельного вектору нормали, опущенного из данной точки на данную плоскость. Давайте теперь посмотрим формулу для расстояния между точкой и плоскостью.

Расстояние между точкой и плоскостью Формула

Кратчайшее расстояние между точкой и плоскостью равно длине вектора нормали, который начинается в данной точке и касается плоскости. Рассмотрим точку P с координатами (x _o , y _o , z _o ) и данную плоскость π с уравнением Ax + By + Cz = D. Тогда расстояние между точкой P и плоскостью π равно дается |Ax _o + By _o + Cz _о + D|/√(A ² + B ² + C ² ).

Расстояние между точкой и плоскостью Доказательство

Теперь, когда мы знаем формулу расстояния между точкой и плоскостью, выведем ее формулу, используя различные формулы трехмерной геометрии. Рассмотрим точку P с координатами (x _o , y _o , z _o ) в трехмерном пространстве и плоскость с вектором нормали, скажем, v = (A, B, C) и точку Q с координатами (x ₁ , у ₁ , з ₁ ) на самолете. Тогда уравнение плоскости задается как A(x — x ₁ ) + B(y — y ₁ ) + C(z — z ₁ ) = 0. Это уравнение можно переписать как Ax + By + Cz + (- Ax ₁ — By ₁ — Cz ₁ ) = 0 ⇒ Ax + By + Cz + D = 0, где D = — (Ax ₁ + By ₁ + Cz 9002 9 1 ). Отсюда имеем:

• Уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0
• Точка P: (x _о , у _о , з _о )
• Нормальный вектор: Ai + Bj + Ck

Пусть w вектор, соединяющий точки P(x _o , y _o , z _o ) и Q(x ₁ , y ₁ , z ₁ ). Тогда w = (x _o — x ₁ , y _o — y ₁ , z _o — z ₁ ). Теперь давайте вычислим единичный вектор нормали, т. Е. Вектор нормали с величиной, равной 1, который определяется делением вектора нормали v на его величину. Единичный вектор нормали определяется выражением

n = v/||v||

= (A, B, C)/√(A ² + B ² + C ² )

Теперь расстояние между точкой P и данной плоскостью есть не что иное, как длина проекции вектор w на единичный вектор нормали n. Как мы знаем, длина вектора n равна единице, расстояние от точки P до плоскости есть модуль скалярного произведения векторов w и n, т. е.

Расстояние, d = |w.n|

= | (х _о — х ₁ , у _o — у ₁ , z _o — z ₁ ). [(A, B, C)/√(A ² + B ² + C ² )] |

= |A(x _o — x ₁ ) + B(y _o — y ₁ ) + C(z _o — z ₁ )|/√(А ² + В ² + С ² )

= | Ax _o + By _o + Cz _o — (Ax ₁ + By ₁ + Cz ₁ ) |/√(A ² + В ² + С ² )

= | Ax _o + By _o + Cz _o + D |/√(A ² + B ² + C ² ) [Потому что D = — (Ax ₁ + По ₁ + Cz ₁ )]

Так как точка Q с координатами (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) является произвольной точкой на данной плоскости и D = — (Ax ₁ + Автор ₁ + Cz ₁ ), поэтому формула остается той же для любой точки Q на плоскости и, следовательно, не зависит от точки Q, т. е. где бы точка Q ни лежала на плоскости, формула для расстояния между точкой и плоскостью остается прежним. Следовательно, расстояние между точкой P(x _o , y _o , z _o ) и плоскость π: Ax + By + Cz + D = 0 определяется выражением, d = |Ax _o + By _o + Cz _{o 90 030 + Д |/√(А ² + В ² + С ² )}

Как применить формулу расстояния от точки до плоскости?

Мы вывели формулу расстояния от точки до плоскости, решим пример с помощью формулы, чтобы понять ее применение и определить расстояние между точкой и плоскостью.

Пример: Определить расстояние между точкой P = (1, 2, 5) и плоскостью π: 3x + 4y + z + 7 = 0

Решение: Мы знаем, что формула для расстояния между точкой и плоскость: d = |Ax _o + By _o + Cz _o + D |/√(A ² + B ² + C ² )

9 0002 Здесь А = 3, B = 4, C = 1, D = 7, x _o = 1, y _o = 2, z _o = 5

Подставляя значения в формулу, имеем

d = |Ax _o + By _o + Cz _o + D |/√(A ² + B ² + C ² )

= |3 × 1 + 4 × 2 + 1 × 5 + 7|/√(3 ² + 4 ² + 1 ² )

= |3 + 8 + 5|/√(9 + 16 + 1)

= |16 |/√26

= 8√26/13 ед. o + Cz _o + D |/√(A ² + B ² + C ² )

Расстояние между точкой и плоскостью равно нулю, если данная точка лежит на данной плоскости.

Темы, связанные с расстоянием между точкой и плоскостью

• Формула расстояния
• Расстояние между двумя точками
• Формула Евклидова расстояния

Часто задаваемые вопросы о расстоянии между точкой и плоскостью

Что такое расстояние между точкой и плоскостью в геометрии?

Расстояние между точкой и плоскостью — это длина перпендикуляра к плоскости, проходящего через данную точку. Другими словами, расстояние между точкой и плоскостью есть кратчайшее перпендикулярное расстояние от точки до данной плоскости.

Какова формула расстояния между точкой и плоскостью?

Расстояние между точкой P(x _o , y _o , z _o ) и плоскость π: Ax + By + Cz + D = 0 определяется выражением, d = |Ax _o + By _o + Cz _o + D |/√(A ² + B ² + C ² )

Как найти кратчайшее расстояние между точкой и плоскостью?

Чтобы найти кратчайшее расстояние между точкой и плоскостью, мы используем формулу ² ), где (х _o , у _o , z _o ) — заданная точка, Ax + By + Cz + D = 0 — уравнение данной плоскости.